compe aritmética trilce

8/9/2019 Compe Aritmética Trilce

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Aritmétic


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D pto. Pedagógico TRILCE D erechos de E dición A sociación Educativa TRILCE

Tercera Edición, 2007.

Todos los D erechos Reservados. Esta publicación no

puede ser reprodu cida, ni en tod o ni en p arte, ni

registrada en, o tran sm itida p or, un sistem a derecuperación de inform ación, en ninguna form a y por

ningún m edio, sea m ecánico, fotoquím ico, electrónico,

m agnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier

otro, sin el perm iso previo de la editorial.


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Ari tmética

INTROD UCCIÓN

El presente libro tiene com o objetivo incentivar e increm entar el estudio de la Aritm ética, la cual form a parte de la M atem ática.

Pero, amigo lector , ¿Quées la Matemática?...... es una expresión de la mente humana que refleja la vo luntad activa, la razón

contemp lati va y el deseo de la per fección estética, sus elementos básicos son : la lógica e intu ición, análisis y construcción,

generalidad y particular idad y lo que podría ser más importante, la dosificación de cada uno de sus temas.

Las primeras referencias de la Matemática datan del tercer milenio a.C. en Babilon ia y Egipto, que apuntan a la prevalencia

de la Ar itmética que, literalmente, significa el arte de contar. La palabra deriva del griego aritm etike , que combina dos palabras:

arithmos, que signifi ca "número", y techne , que se refiere a un arte o habilidad.

La Ari tmética se remonta a los primeros albores de la vida humana, las tribus más prim itivas apenas podían distingui r entr e

uno y m uchos. Más adelante, util izaron un lenguaje corporal (dedos, manos, codos, pies) y con ayuda de ramas y piedras

consiguieron contar números cada vez más grandes. No hay forma de establecer, a ciencia cierta, cuando el hombre comenzó a

uti lizar la Ari tmética; aunque sospechamos que el hombre primiti vo pudo conocer cuántos anim ales poseía, haciendo correspon-

der a cada animal una pequeña piedra; si tiempo después tenia más piedras que animales, era porque había perdido alguno de

ellos. Este primitivo concepto de cardinalidad fue el o rigen del concepto del número como un ente abstracto y dio comienzo al di fícil

y prolongado par to de una de las ramas más antiguas de la Matemática, como es la Ar itmética, l lamada después por Gauss : " La

rei na de la M atemáti ca".

Los babilónicos fueron los primeros que uti li zaron el cero para los cálculos matemáticos. Los signos que representan los

números no han sido siempre los mismos, por ejemplo, en Mesopotamia se representaban en form a de cuña; en Egipto, mediante

jeroglíficos; en Grecia, con las letras de su alfabeto; en Roma, con los símbolos: I, V, X, … y, en la actualidad, uti lizamos los símbolos

indo-arábigos: 0, 1, 2, 3, …,9

La numeración posee un significado muy profundo puesto que es la aplicación del conjunto de los números en el conjunto

de los objetos numerados y contr ibuye a poner “orden” a los objetos que componen el conjunto. Cuando los pueblos comenzaron a utili zar los números, sólo conocían una forma de operar con ellos: contar. Poco a poco, fueron descubriendo las cuatro operacio-

nes: adición, sustracción, mul tipl icación y división; pero ello fue un proceso lento hasta llegar a la creación de la teoría de números,

creada en su forma primi tiva por Euclides, con su famoso algoritmo hasta la llegada de Fermat con la construcción de la nueva teoría

de números en el siglo XVII, además de los impor tantes apor tes de matemáticos de la talla de Euler, Gauss, Cantor, Dedek ind,

Bol tzano, entre otros.

¿Cómo ut i l i zar el t ex to?

Cada capítulo del libro estácompuesto por un breve marco teórico y 60 ejercicios que han sido ordenados en forma

creciente según su nivel de di ficultad y cubren la totalidad de cada tema; pero ello no significa que tenga que ser estudiado problema

por problema; capítulo por capítulo, ya que puede ser uti lizado en fo rma independiente y de acuerdo al nivel de cada estudiante.

Los probl emas están seleccionados como básicos los 20 primeros, como nivel intermedio l os 20 siguientes que contienen exámenes de admisión de las diversas universidades nacionales y par ticulares y finalmente los 20 últimos prob lemas de alto nivel

académico; muchos de ellos, creados recientemente, en forma especial, para el presente texto.

Pero amigo lecto r, no se alarm e ni se impaciente si no puede resolver algún problema. Consulte a su profesor, deje que él

sea su guía en el uso del presente texto.

Asim ismo, queremos agradecer a todos los profesores de la plana de Ar itmética de la Organización Trilce por sus aportes y

colaboraciones para la elaboración del presente texto.

Nuestro trabajo ha sido realizado bajo r iguroso cuidado y dedicación volcando en él los años de experiencia en la docencia

Pre - Universitaria.

Finalm ente mucho agradecemos a los alumnos y colegas nos hagan llegar sus observaciones y sugerencias con respecto al

contenido de nuestro hum ilde trabajo.


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TRILCE

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C apít ulo

L GICA PROPOSICIONAL

INTRODUCCIÓN

La lógica estudia la form a de razonam iento. Es una discipli-

na que se utiliza para determ inar si un argum ento es válido,

tiene aplicación en todos los cam pos del saber; en la filoso-

fía, para determ inar si un razonam iento es válido o no, ya

que una frase puede tener diferentes interpretaciones; sin

em bargo la lógica perm ite saber el significado correcto. Los

m atem áticos usan la lógica, para dem ostrar teorem as e infe-

rir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones .

En la com putación, para revisar program as y crear sus

algoritm os, es utilizada en el diseño de com putadoras. Exis-

ten circuitos integrados que realizan operaciones lógicas con

los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecom unica-

ciones (telefonía m óvil, internet, ...)

ENUNC IADO: Es cualquier frase u oración que expresa

una idea.

PROPOSICIÓN: Son oraciones aseverativas que se pue-

den calificar com o verdaderas o falsas. S e representan con

las letras m inúsculas del abecedario: p ; q ; r ; s.

E jemp lo :

* Túpac Am aru m urió decapitado.

* 9 < 10

* 45 = 3 2

ENUNC IADO AB IERTO: So n enunciados que pueden

tom ar cualquiera de los 2 valores de verdad.

E jemp lo :

Si : 6x:)x(P

Se cum ple que:

69:)9(P es verdadero

62:)2(P es falso

El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, tam bién,

se le conoce com o función proposicional.

CLASES D E PROPOSICI ON ES:

1 . P ro p osi c i ón Si m pl e: Son proposiciones que no

tienen con jun ciones gram aticales ni ad verbio de

negación.

E jemp lo :

* C incuenta es m últiplo de diez.

2 . Pr o po si c ión Compuest a: Form ada por dos o m ásproposiciones sim ples unidas por conectivos lógicos o

por el adverbio de negación.

E jemp lo :

* 29 es un núm ero prim o y 5 es im par.

CON ECTIVOS LÓGICO S: Sím bolos que enlazan dos o

m ás proposiciones sim ples para form ar una propo sición

com puesta.

Los conectores lógicos que usarem os son :

SÍMB OL OOPERACIÓN

LÓGICAS IGN IF ICADO

~ N egación N o p C onjunción p y q

D isyunción p o q

C ondicional Si p, entonces q

B icondicional p si y sólo si q

D isyunción

Exclusiva"o ........ o ........"

OBS: La negación es un conector m onádico, afecta sola-

m ente a una proposición.

OPERACIO NES LÓGICA S Y TABLA S DE VERDAD

La validez de una proposición com puesta depende de los

valores de verdad de las proposiciones sim ples que la com -

ponen y se determ ina m ediante una tabla de verdad.

1 . C onj unc ión: Vincula dos proposiciones m ediante el

conectivo lógico "y".

Tabl a de Verdad

FFFFVF

FFV

VVV

qpqp


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Aritmética

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2 . D i syunc ión: Vincula dos proposiciones m ediante el

conectivo lógico "o".

Tabl a de Verdad

FFF

VVF

VFVVVV

qpqp

3 . D i syu nc i ón Ex cl u si va: V incula dos proposicionesm ediante el conectivo lógico: "o ..........., o ............."

Tabl a de Verdad

FFFVVF

VFV

FVV

qpqp

4 . C ondi ci onal : Vincula dos proposiciones m ediante el

conectivo lógico :

"Si ............, entonces .............."

Tabl a de Verdad

FFF

VVF

FFV

VVV

qpqp

V

5 . B ico ndi ci onal : Vincula dos proposiciones m ediante

el conectivo lógico:

".............. si y sólo si .............."

Tabl a de Verdad

VFF

FVF

FFV

VVV

qpqp

6 . N egac i ón : A fecta a una sola proposición. E s un

operador m onádico que cam bia el valor de verdad de

una proposición:

Tabl a de Verdad

V

F

p~

F

V

p

OBSERVACIÓN: La cantidad de filas en una tabla es:

# filas = 2n

D onde n es la cantidad de proposiciones sim ples.

IMPORTANTE:

* C uando los valores del operado r principal son todos

verdaderos se dice que el esqu em a m olecular es

tau to lóg ico .

* Se dirá que el esquem a m olecular es cont rad ic to r io

si los valores del operador principal son todos falsos.

* Si los valores del operador principal tiene por lo m enos

una verdad y una falsedad se dice que es cont ingente

o consisten te .

LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIO NAL

Son equivalencias lógicas que nos perm iten reducir esque-

m as m oleculares com plejos y expresarlos en form a m ás sen-cilla. Las dem ostraciones de dichas leyes se hacen constru-

yendo la tabla de verdad en cada caso.

Princ ipales Leyes:

a . L ey d e I d empot en ci a:

ppp

ppp

b. L ey C onm ut at iva:

pqqppqqp

c . L ey A so ci at iva:

)rq(pr)qp(

)rq(pr)qp(

d. L ey D i st r ibut i va:

)rp()qp()rq(p

)rp()qp()rq(p

e . Ley de la Dob le Negac ión :

p)p(~~

f . L eyes d e I den ti dad :

FF p; pVp

pF p; VVp

g . L eyes d el Comp lemen t o:

Fp~p

Vp~p

h . L ey d el C o nd ic io nal :

qp~qp


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TRILCE

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i . L ey d e l a B i co nd ic io nal :

)qp(~qp

)q~p(~)qp(qp

)pq()qp(qp

j . Ley de Abso r ción :

qp)qp(~p

qp)qp(~p

p)qp(p

p)qp(p

k . L eyes d e "De Mor gan ":

q~p~)qp(~

q~p~)qp(~

CUANTIF ICADORES:

1 . C u an t i f i c ad o r U n i ver sa l : S ea la función

proposicional)x(

f sobre un conjunto A, el cuantificador

("para todo") indica que todos los valores del

conjunto A hacen que la función proposicional)x(

f

sea verdadera.

se lee : "Para todo"

E jemp lo :

Sea : 52x:f3

)x( donde Nx

La proposición cuantificada es :

52x;Nx 3 es falsa.

2 . C u an t i fi c ad o r ex i st en ci al : Sea)x(

f una función

proposicional sobre un conjunto A el cuantificador

(existe algún) indica que para algún valor del conjunto

A, la función proposicional )x(f es verdadera.

se lee : "Existe algún"

E jemp lo :

Sea 85x:f2

)x( , donde :

Zx , la proposición:

85x/Zx2 es verdadera:

CIRCUI TOS LÓGICO S

U n circuito conm utador puede estar solam ente en dos esta-

dos estables : cerrado o abierto, así com o una proposición

puede ser verdadera o falsa, entonces podem os representar

una proposición utilizando un circuito lógico:

1 . C ir cui to Ser ie: D os interruptores conectados en serie

representan una conjunción.

p q q p

2 . C i rc ui t o Par al el o: D os interruptores conectados en

paralelo representan una disyunción.

p

q

q p

LÓGICA B INA RIA

La lógica binaria trata con variables que tom an 2 valores

discretos y con operaciones que asum en significado lógico,

para este propósito es conveniente asignar los valores de 1

y 0.

PRINCI PAL ES COMPUERTAS LÓGICA S

* C om puerta AN D de dos entradas.

pq

qp

* C om puerta O R de dos entradas

pq qp

* Com puerta NO T

~ pp

* C om puerta N AN D de dos entradas

pq qp ~ ( )

* C om puerta N O R de dos entradas

pq

qp~ ( )


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Aritmética

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EJERCICIOS PROPUESTOS

01 . D e los siguientes enunciados:

* Q ué rico durazno.

* 7 + 15 > 50

* 25yx 22

¿Q ué alternativa es correcta?

a) U na es proposición.

b) D os son enunciados abiertos.

c) D os son expresiones no proposicionales.

d) D os son proposiciones.

e) Todas son proposiciones.

02. ¿C uántas de las siguientes expresiones son

proposiciones?

* ¡D ios m ío .... se m urió!

* El calor es la energía en tránsito.

* Baila a m enos que estés triste.* Siem pre que estudio, m e siento feliz.

* El delfín es un cetáceo, ya que es un m am ífero m a-

rino.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

03. D adas las siguientes expresiones:

* El átom o no se ve, pero existe.

* Lo s tigres no son paquiderm os, tam poco las nu-

trias.

* Tom a una decisión rápida.

* H ay 900 núm eros naturales que se representan con

tres cifras.* La M atem ática es ciencia fáctica.

* Es im posible que el año no tenga 12 m eses.

¿Cuántas no son proposiciones sim ples?

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

04. H allar el valor de verdad de las siguientes

proposiciones:

)1127()523(

)8102()314(

)512()1073(

2

3

2

1121

2

a) VVFV b) V FVV c) VVVV

d) VVVF e) FVVV

05. D eterm inar el valor de verdad de cada una d e la

siguientes proposiciones:

I. Si : 3 + 1 = 7, entonces : 4 + 4 = 8

II. N o es verdad que :

2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.

III. M adrid está en España o Londres está en Francia.

a) VFV b) VVV c) VFF

d) FVF e) FFF

06. Si : r)q~p( ; es falsa, determ inar los valores deverdad de "p", "q" y "r".

a) VVF b) VFF c) VVV

d) VFV e) FFF

07. Sim bolizar:

~ p

q

~ q

Si la proposición que se obtiene es falsa.

¿C uáles son los valores de p y q respectivam ente?

a) VV b) VF c) FV

d) FF e) N o se puede precisar

08. S i la propo sición: )sr(~)q~p( es falsa,

deducir el valor de verdad de :

p~)q~p(~

a) V b) F

c) V o F. d) N o se puede determ inar.

e) Es V si p es F.

09 . Si la proposición com puesta:

)tr()qp(

Es falsa. Indicar las proposiciones que son verdaderas:

a) p ; r b) p ; q c) r ; t

d) q ; t e) p ; r ; t

10. Si "p" es una proposición falsa, determ ina el valor de

verdad de la expresión:

)qpr()]}pq(~r[)qp{(

a) Verdadero.

b) Falso.

c) Verdadero o falso.

d) Verdadero sólo si q es verdadero.

e) Falso sólo si r es falso.

11 . Si la proposición:

)rq()qp(

es falsa, hallar el valor de verdad de las siguientes

fórm ulas:

I. )qp()rp(~ II. )qr(~)q~p( III. )r~p()]r~q()qp[(

a) VVF b) VFV c) VVV

d) VFF e) FVV


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TRILCE

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12. Los valores de verdad de las proposiciones "p" , "q" , "r"

y "s" son respectivam ente V, F, F y V.

O btener los valores de verdad de:

I. s]r)qp[(

II. )ps(r

III. )s~r()rp(

a) VFF b) FVV c) VVV

d) VVF e) FFF

13 . Si la proposición:

)sr(p

Es falsa, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son

verdaderas?

I. p~)ts(~

II. pr

III. r~

IV. )ts()pr(

a) N inguna b) U na c) D os

d) Tres e) C uatro

14 . Si la proposición com puesta:

]q)~r()r~p[(~

no es falsa. H allar el valor de verdad de las

proposiciones r, p y q respectivam ente.

a) FVV b) VVF c) VFV

d) FVF e) VFF

15. D e la falsedad de la proposición :

)sr(~)q~p( se deduce que el valor de verdad

de los esquem as:

I. )q(~)q~p(~

II. ]s)rq[(~)qr(~

III. ]q~)qp[()qp(

Son respectivam ente :

a) VFV b) FFF c) VVV

d) VVF e) FFV

16. Sean las proposiciones:

* 1x , Rx:p0

)x(

* 0 y/ Ny:q2

)y(

* )3z)(3z(9 z, Rz:r22

)z(

Indique el valor de verdad de:

qp , rp , qr

a) FFV b) FVV c) VFV

d) VVV e) FFF

17. Sea : U = {1 , 2 , 3}, el conjunto universal.

H allar el valor de verdad de:

I. 1yx/y,x2

II. 12yx/y,x22

III. 12yx/y,x

22

IV. 12yx/y,x

22

a) VFVF b) V VFF c) VVVF

d) VVVV e) VVFV

18. Si : U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

¿C uál es el valor de verdad de las siguientes

proposiciones?

I. 4x3x:Ux II. 6x82x:Ux III. 21-x52x:Ux

a) VVV b) FFV c) VFVd) FVF e) FFF

19. H allar los valores de verdad de las siguientes

proposiciones:

I. x)1x,Rx(x)x,Rx(

II. 1)-x1x,Zx(x)x,Rx(2

III. 0)x,Qx(0)x,Nx(

IV. x)1x,Rx(x)3x,Nx(

a) FVVF b) FVVV c) VVFF

d) VFFF e) VVVF

20. Sea : A = {1 , 2 , 3}

D eterm inar el valor de verdad de las siguientes

expresiones:

I. 1yx/Ay,Ax2

II. 12yx/Ay,Ax22

III. 222 z2yxA /z ,Ay,Ax

IV.222 z2yxA /z,Ay,Ax

a) VFVV b) V VFV c) VVVF

d) FVVV e) VVVV

21. Señalar la expresión equivalente a la proposición:

)p~q(~)p~p(

a) pq

b) qp

c) p~)qp(

d) )qp(p~

e) p~)pq(


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Aritmética

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22. Indicar el valor de verdad de:

I. )qp(p

II. )qp()qp(

III. ]p)qp[(~

a) VVV b) VFV c) VVF

d) FVF e) FVV


I. ]p)qp[(~

II. p)qp(

III. )qp()qp(

IV. )qp(p

a) VFVF b) V VVF c) FVFV

d) VFFV e) FVVV

24. Sim plificar el siguiente circuito:

~ pq

q

~ p

~ q

p

A B

a) qp b) qp~ c) qp

d) qp~ e) q~p~

25. H allar la proposición equivalente al circuito lógico:

p

q

~ q

~ p

p q

a) p b) q~p c) qp

d) qp~ e) q~p

26. Sim plificar la proposición que corresponde al circuito:

q

~ p

pq

~ q

p

a) qp b) qp~ c) qp

d) qp~ e) q~p~

27. Sim plificar a su m ínim a expresión:

)]qp()q~p[()qp(

a) p b) q c) qp

d) qp e) qp

28 . Sim plificar:

)qp(~)]pq(~)qp[(~M

a) q b) p c) ~ p

d) ~ q e) qp~

29 . Sim plificar:

)]q~p(q[]p~)qp[(~~

a) q~p b) qp~

c) )qp(~ d) )qp(~

e) qp

30. D e la veracidad de:

)]s~r(~)q~p[(~

D educir el valor de verdad de :

I. p~)s~q(~~

II. )q~p(~)sr(~~

III. )]rs(~q[~p

a) FVV b) VVF c) FFV

d) VFF e) FFF


I. )qp()q~p(~

es una contradicción.

II. )rp()]rq()qp[(

es una tautología.

III. r)q()]qp(p[ es una contingencia.

a) VVV b) VVF c) VFF

d) VFV e) FVV

32 . D e los siguientes esquem as:

* )rp(~)rq(

* p)]qp(p[

* )]q~p(~r[~]r~)qp[(~

Indicar en el orden dad o cuál es Tautología (T),

C ontingencia (S) o C ontradicción (C ):

a) T , C , S b) T , S , C c) C , T , S

d) S , T , C e) S , C , T

33. D ado el siguiente enunciado:

]q)}rq(~)p]qp([[{~~

Según su tabla de verdad, podem os decir que dicha

proposición es una:

a) Tautología. b) C ontradicción.

c) C ontingencia. d) Ley lógica.

e) Equivalencia lógica.


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34. Si:

)]ba(~b[)ba(b*a

a~)]}ba(b[a{ba

Reducir :

q)}~(p*{qq)}*p(~*r]q)*{[(p

a) ~ p b) V c) F

d) p e) q

35. Si se define:

p)~(qq)~(pqp

Sim plificar: ]q~q)~p[(~

a) qp b) qp c) qp~

d) ~ p e) ~ q

36. Se define el operador : (+ ), por la siguiente tabla:

VFF

FVF

VFV

VVV

qpqp

Sim plificar: (p + q) + p

a) F b) qp c) qq~

d) qp e) V

37. Se definen los operadores # y por las siguientes

tablas:

VFF

FVF

FFV

FVV

q#pqp

VFF

VVF

VFV

FVV

qpqp

Sim plificar:

p)~q(]p)q~#p[(

a) pq b) pq c) qp

d) qp e) p~q

38 . Se definen los operadores " " y " " por las siguientes

tablas:

VFFF

VFVF

FVFV

VFVV

qpqpqp

¿C uál o cuáles de las siguientes proposiciones son

verdaderas?

I. )q~p(~q~p

II. qpq)p()qp(~

III. )qp~(~qp~

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II

d) I y III e) Todas

39. Si: q~pqp

p~)qp(q~#p

Sim plificar:

)]qp()#qp()qp[(

a) qp~ b) p c) ~ q

d) q~p~ e) ~ p

40. Si: q~p~q*p

Expresar ~ p usando únicam ente el operador (*)

a) (p * p) * p

b) (p * ~ p) * p

c) ~ (p * q)

d) p * q

e) p * (q * q)

41. La propo sición equivalente m ás sim ple del siguiente

circuito:

NM

p

q ~ p

~ q

p q

~ q~ p

r

r t

Es:

a) p b) q c) r

d) p e) ~ q

42. El circuito lógico:

A B~ p

~ p

p ~ q

~ q

q

r s t

r

t

s

r

t

s

r s t

Es equivalente a:

a) p b) q c) ~ p

d) ~ q e) qp


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Aritmética

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43. El circuito lógico m ás sim ple equivalente al siguiente

circuito:

q

~ p ~ q

p q r

st

p

q

~ p

~ q

p

s t

~ p~ q

~ r

A B

a) A Bp q

b) A Bq

c) A Bs

d) A B

t

e) A Bts

44. Si:

)]t~p()tp[()]rp()qp[(A

B

q ~ q

~ p q

~ q

q

El circuito sim plificado de BA es:

a)

~ p

~ q ~ r

b)~ q ~ r

p

c)

~ p

q r

d)

r~ q

p

e)

~ r

p q

45 . Si la proposición yx es equivalente al circuito:

pq ~ r

~ q

r

q ~ p

~ q r

p q~ r

~ s

~ t

p q

r s t

Sim plificar el siguiente circuito:

p

yx

yxq

qp

yx

yxq

qp

yx

yxq

qp

p

q

q

yx

yx

q

a) qp

b) sqp

c) srd) s

e) sqp

46. Sabiendo que la instalación de cada llave cuesta S/. 20.

C uánto se ahorraría si hacem os una instalación m ínim a;

pero equivalente a:

p

~ p r

~ r~ p r

~ q p

p q

a) 80 b) 100 c) 140

d) 160 e) 180

47. Para una proposición cualquiera, "p" se define:

Falsoespsi 0

Verdaderoespsi 1F

)p(

Si:

1F)m(

donde s)rp(m

0F)n( donde )pr(pn

H alle:

)p(~F)sp(F)sr(F)rp(F

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 0


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TRILCE

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48 . La siguiente función:

falsaespSi ;0

verdaderaespSi ;1F

)p(

Si : 0F 1F(y))x(

D onde :

)ws()r~p(x

s~wy

H allar:

)]rp(~)w~s[(FE

))]p~w(t()p~r(~[~F

a) 0 b) 1

c) 2 d) N o se puede determ inar

e) Tautología

49. Sean las proposiciones:p: Si

ZN , entonces:

M C D (N ; 1N 2 ) = 1

q: El conjunto vacío es subconjunto y elem ento.

r: M C D 77) ; 0ab( 7

s: M C M (a ; b) = ba M C D (a ; b) = 1

Adem ás sean las proposiciones x e y:

yxP)y;x(

yxQ)y;x(

falsoesxsi ; 0

o verdaderesxsi ; 1

F )x(

C alcule:

)P(F)Q(F)P(FF)s;r()r;q()q;p(

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

50. Sea la función:

f :{p/p es proposición} {0 , 1} definido

por

falsoespsi , 0

verdaderoespsi , 1f

)p(

Indicar si es verdad la siguiente igualdad:

)q(f1)qp(f )p(~f

a) Verdadero

b) Falso

c) D epende de q

d) Es contradictorio

e) Es un enunciado abierto

51. Si m y n son núm eros reales, adem ás se define:

falsaónproposiciesxSi ; 1

m

3n

verdaderaónproposiciesxSi ; 1n

m3

f)x(

H allar:

m

n

n

mM

Sabiendo que: 21ff)r()q(

Siendo:

0134:q

0)1(01:r 2

a)3

1b) 3 c)

7

1

d) 1 e) 3

52. Sean r, s, t, ip , i

q donde i = 1 ; 2 ; ..... ; n

proposiciones tales que p es falsa para todo i = 1 ;

2 ; ......... ; n

n321p....ppps es verdadera.

)tp(....)tp()tp(rn21

tpqii

es falso para i par y es verdadera para i

im par.

H allar el valor de verdad de:

t)}(p)q(q~{}pq()tp{(321)125

a) Verdadero.

b) Falso.

c) Faltan datos.

d) N o se puede determ inar.

e) D epende del valor de verdad de r.

53. Sea "S" una proposición que corresponde a la siguiente

tabla:

FFF

VVF

VFV

FVV

sqp

Y "r" la proposición m ás sim plificada, equivalente a:

q~]q~)qp[(

¿C uál es el circuito m ás sencillo, equivalente al que

resulta de conectar en paralelo los circuitos

correspondientes a "~ r" y a "s"?


13/174

Aritmética

18

a)

p

~ q

b) p q

c)

p

q

d) q~ p

e) ~ q~ p

54. El equivalente de:

p

q

a) p b) ~ p c) q

d) ~ q e) qp

55. D ado el siguiente circuito:

pq

s

Si s es falsa.

¿C uáles son los valores de verdad de p y q

respectivam ente?

a) VV b) VF c) FV

d) FF e) Faltan datos

56 . Los profesores de Aritm ética de la academ ia TRILC E

han diseñado un circuito integrado que recibe p y q com o entradas y s com o salida.

s

p

q

a) p b) q c) V

d) F e) qp

57. D iseñe el circuito que cum ple con la siguiente tabla:

1111

0011

0101

0001

0110

0010

0100

1000

Fzyx

U tilice com puertas lógicas:

a)

xyz

F

b)xyz F

c)xyz

F

d)

x

yz

F

e) x F

58. Expresar la operación lógica F; según la tabla:

0111

0011

1101

0001

0110

0010

1100

0000

Fzyx

a) xyzzyx b) (x + y)zc) x + y + z d) zyxzyx e) xyz


14/174

TRILCE

19

59. D ada la siguiente tabla:

1111

1011

1101

1001

0110

0010

1100

0000

Fzyx

D iseñar el circuito:

F

x

y

z

que cum ple con dicha tabla utilizando las com puertas:

IN VE RSO R, AN D , O R.

a)

xyz

F

b)

x

yz

F

c)

x

y

z

F

d)xyz

F

e) xy

F

60. El circuito lógico perm ite detectar el estado de 3 aviones

A, B, C de tal m anera que la lám para de alarm a en la

base se enciende cuando los tres aviones están

averiados o cuando sólo el avión A está averiado.

Expresar F en función de las entradas A, B y C :

Avión sin averías: 0Avión con averías: 1

Lám para apagada: 0

Lám para encendida: 1

ABC

FC ircuito

Lógico BASE

Lám para

de alarm a

A B C

a) B C )CB(AF

b) F = A + B C

c) F = A BC

d) F = A (B + C )

e) CBAF

EL VAGO DE COZ

"En la antigua ciudad de Coz, de la que ya no queda un solo recuerdo, gobernaba un adiv ino muy astuto. Toda la población

trabajaba salvo él, grandísimo vago, que ejercía de enlace psicoastral. Cada día obl igaba a algún desdichado ciudadano a

competi r contra él en un extraño concurso. El aspirante debía formular al adivino una pregunta acerca de algún suceso

futu ro cuya respuesta debía ser simplemente "sí" o "no ". En caso de que el vago acertase la respuesta, el desafortunado

concursante se conver tía en su esclavo y era ob ligado a trabajar para él de por vida. Si el adivino errase la respuesta, éste

sería depuesto, conver tido en asno y condenado a rebuznar durante mi l años. Por desgracia para los pobladores de Coz,

el vago poseía una esfera de cr istal, que funcionaba mediante la magia capaz de anticipar el futuro con toda certeza. Si usted

fuera el próximo rival del malvado vago. ¿Quépregunta le haría?".


15/174

Aritmética

20

lavesClaves

01 .

0 2 .

0 3 .

0 4 .

0 5 .

0 6 .

0 7 .

0 8 .

0 9 .

1 0 .

1 1 .

1 2 .

1 3 .

1 4 .

1 5 .

1 6 .

1 7 .

1 8 .

1 9 .

2 0 .

2 1 .

2 2 .

2 3 .

2 4 .

2 5 .

2 6 .

2 7 .

2 8 .

2 9 .

3 0 .

a

b

e

d

a

b

b

b

b

b

c

d

d

a

b

b

e

c

d

e

c

c

e

d

d

c

d

d

c

e

31 .

3 2 .

3 3 .

3 4 .

3 5 .

3 6 .

3 7 .

3 8 .

3 9 .

4 0 .

4 1 .

4 2 .

4 3 .

4 4 .

4 5 .

4 6 .

4 7 .

4 8 .

4 9 .

5 0 .

5 1 .

5 2 .

5 3 .

5 4 .

5 5 .

5 6 .

5 7 .

5 8 .

5 9 .

6 0 .

a

d

b

c

a

e

a

e

a

b

c

c

e

a

b

d

c

c

c

b

e

a

c

b

b

e

a

d

c

a


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TRILCE

21

INTRODUCCIÓN

G eorge Ferdinand C antor, el cread or de la teo ría de

conjuntos, nació en 1845 en Rusia. Vivió, estudió y enseñó

en A lem ania donde m urió en 1918.

Publicó trabajos sobre funciones de variable real y las series

de Fourier, introdujo conceptos de potencia de un conjunto,

conjuntos equivalentes, tipo ordinal, núm ero transfinito; que

aportaron para el inicio del estudio de los problem as del

infinito y la teoría de conjuntos.

NOCIÓN DE CON JUNTO

Con jun to : C oncepto prim itivo que no tiene definición, pero

que nos da la idea de agrupación de objetos a los cuales

llam arem os elem entos del conjunto.

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Si un objeto es elem ento del conjunto, se dirá que pertenece

( ) a su conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece( ) a dicho conjunto..

Ejemplo: A = {4; 9; 16; 25}

A21A16

A10A4

CARD INAL D E UN CONJUNTO

Es la cantidad de elem entos de un conjunto y se denota :

n(A), así en el ejem plo anterior n(A) = 4

DETERMINACIÓN D E UN CONJUN TO

a ) Po r e x t en sión o en fo rma t abul ar : Es cuando seindican los elem entos del conjunto.

A = { * ; ; # ; ...... ; }

b ) Po r c omp r es i ón ó e n fo rma co n st r u c t i v a: Es

cuando se indica alguna característica particular y

com ún a sus elem entos.

A = {f(x)/ x cum ple alguna condición}

D iagrama de Venn - Euler:

Figuras geom étricas planas cerrad as que se utilizan para

representar a los conjuntos, gráficam ente.

RELACIO NES ENTRE CONJUN TOS

Inclusión )(Se dice que un conjunto A está incluido en B; si todos los

elem entos de A, están en el conjunto B.

Es decir :

BxAxBA

A

B

x * A es subconjunto de B

* B incluye a A )AB(

D iagram a lineal

B

A

Igua ldad

D os conjuntos son iguales si tienen los m ism os elem entos.

Es decir :

AB BABA

PRINCIPALES CONJUNTOS

Co nj unt o Vacío: Aquel que no tiene elem entos, tam bién

se le llam a nulo y se denota o { }

Con jun to Un i t a r io : A quel que tiene un solo elem ento,

tam bién se le llam a singleton.

Conjun to Un iversa l : C onjunto referencial que se tom a

com o base para el estudio de otros conjuntos contenidos en

él y se denota por U .

Conj unto Potencia : Es el conjunto cuyos elem entos son

todos los subconjuntos de otro conjunto A y se denota por

P(A ).

Ejem plo : A = {2 ; 8}

P(A) = { ;{2} ; {8} ; {2 ; 8}}

Observación: La cantidad de subconjuntos de un conjunto

A es igual a)A(n

2 .

Ejemplo :

A = {3 ; 5 ; 9} ; n(A) = 3

Entonces hay 823 subconjuntos que son : ; {3} ; {5} ; {9} ; {3 ; 5} ; {3 ; 9} ; {5 ; 9} y {3 ; 5 ; 9}

C apít ulo

TEOR A DE CON J UNTOS


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Aritmética

22

"A todos los subconjuntos de A , excepto A se les llam a

subconjuntos propios"

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conj unto de lo s Números Naturales (N)

N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; .......}

Conj unto de lo s Números Enteros (Z)

Z = {........ ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; .........}

Conj unto de l os Números Racionales (Q)

0n , Zn Zm/n

mQ

Conj unto de lo s Números Irr acionales (I )

Son aquellos que tienen una representación decim al infinita

no periódica y no pueden ser expresados com o el cociente

de 2 enteros.

Co nju nto de los Números Reales (R)

Es la reunión de los racionales con los irracionales.

IQR

Conj unto de los Números Comp lejos (C)

1-i , R b Ra/biaC

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión )(

}Bx Ax/x{BA

A BU

In te rsecc ión )(}Bx Ax/x{BA

A BU

Dife renc ia )(

}Bx Ax/x{BA

A BU

Observac ión :

A B tam bién se denota : A \ B

D ifer enci a Si mét ri ca )(

}B )A(x )BA(x/x{BA

A BU

Complemento )A ',A(C

A }{x/xA '

AU

Observación : El com plem ento de A , se pued e realizar

respecto a cualquier conjunto, tal que BA y se denota:

ABCAB

Se lee com plem ento de A respecto a B .

IMPORTANTE

Con jun t o s D i s j u n t o s : C uand o no tienen elem entos

com unes :

A

2

4

5

8

B


18/174

TRILCE

23

Con j un t o s Comp a rab l es : C uando uno de ellos está

incluido en el otro.

A

B

Con j un t o s Equ i va l e n t e s : C uando tienen la m ism a

cantidad de elem entos.

A es equivalente a B entonces :

n(A) = n(B)

Conjun to Producto : Tam bién llam ado producto cartesiano.

}BbAa/)b;a{(BA

Par ordenado

Ejemplo :

A = {1 ; 4 ; 5} B = {8 ; 11}

}(5;11);(5;8);(4;11);(4;8);(1;11);)8;1{(BA

ALGUNAS PROPIEDAD ES Y LEYES

1 . Leyes d ist r ibu t i vas Un ión - In tersecc ión :

)CA()BA()CB(A

)CA()BA()CB(A

2 . L eye s d e Mo r gan :

'B'A)'BA(

'B'A)'BA(

3 . B)(AB)(ABA A)(BB)(ABA

4 . )BA(n)B(n)A(n)BA(n

5 . )B(n)A(n)BA(n

6 . 'BABA

7 . AB'B'A

8 .)]BA(P[n)]B(P)A(P[n

9 . )]B(P[n )]A(P[n )]B(P )A(P[n

)]B(P)A(P[n O t ambién:

)BA(n)B(n)A(n222)]B(P)A(P[n

1 0 . AA

A

1 1 . UUA

AUA

1 2 . (A')' = A

1 3 . U'AA

'AA

1 4 . )BA(n)C(n)B(n)A(n)CBA(n )CBA(n)CB(n)CA(n

15 . Ley de Abso rc ión

* A)BA(A

* A)BA(A

* BA)B'A(A

* BA)B'A(A

GRÁ F I C O E S P E C I A L P A R A C ON J U N T O S

DISJUNTOS

Apl icac ión : En un salón de clases se observa a 60 alum nos

entre varones y m ujeres; con las siguientes características:

* Algunos tienen 15 años.

* 18 tienen 16 años.

* 12 tienen 17 años.

* 40 postulan este año a la U niversidad.

A

B

C

D

P

V M

Leyenda:

V : C onjunto de los varones.

M : C onjunto de las m ujeres.

P : C onjunto de los que postulan.

A : C onjunto de los alum nos con 15 años.

B : C onjunto de los alum nos con 16 años.

C : C onjunto de los alum nos con 17 años.

D : C onjunto de los alum nos con otra edad.

NOTA: Este tipo de diagram as especiales reciben el nom bre

de "D iagram as de C ARRO LL"


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20/174

TRILCE

25

14. En una ciudad se determ inó que el 46% de la población

no lee la revista A , 60% no lee la revista B y el 58% lee

A ó B pero no am bas.

¿C uántas personas hay en la población si 63 000

personas leen A y B ?

a) 420000 b) 840000 c) 350000

d) 700000 e) 630000

15. En una peña criolla trabajan 32 artistas. D e éstos, 16

bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. E l núm ero de

artistas que no cantan ni bailan es:

a) 4 b) 5 c) 2

d) 1 e) 3

16. Si:

A = {1 ; 2 ; {1 ; 2} ; 3}

B = {{2 ; 1} ; {1 ; 3} ; 3}

H alle usted : )AB(]B)BA[(

a) {1 ; 3} b) {{1 ; 2}}

c) A d) {{1 ; 3}}

e) B

17. D ado el conjunto:

A = {1 ; {2} ; {1 ; 2}}

¿C uál de las siguientes proposiciones es verdadera?

a) A2 b) A}1{ c) A1

d) A e) A}2{

18. Si:

5m2N ,m , )1m4(x/xA2

Entonces el conjunto A escrito por extensión es:

a) {7 ; 11 ; 15 ; 19}

b) {2 ; 3 ; 4 ; 5}

c) {4 ; 9 ; 16 ; 25}

d) {49 ; 121 ; 225 ; 361}

e) {3 ; 4 ; 7 ; 9}

19 . C arlos debe alm orzar pollo o pescado (o am bos) en su

alm uerzo de cada día del m es de m arzo. Si en sualm uerzo durante 20 días hubo po llo y durante 25

días hubo pescado, entonces, el núm ero de días que

alm orzó pollo y pescado es :

a) 18 b) 16 c) 15

d) 14 e) 13

20. En un avión hay 100 personas, de las cuales 50 no

fum an y 30 no beben.

¿Cuántas personas hay que ni fum an ni beben o fum an

y beben, sabiendo que hay 20 personas que solam ente

fum an?

a) 30 b) 20 c) 10d) 40 e) 50

21. Si:

A = {a , b , c , b} y

} 2; )3(n ; 5 ; 1 ; )1m{(B2

D onde : Zmn y 3 < n < 8

Adem ás A y B son equipotentes. H allar la sum a de

valores de n + m

a) 6 b) 13 c) 10

d) 14 e) 23

22. En una encuesta realizada a 190 personas sobre la

preferencia de leer las revistas A y B , el resultado fue el

siguiente : el núm ero de personas que les gusta A y B

es4

1 de los hom bres que sólo les gusta A y la m itad de

las m ujeres que sólo les gusta A . El núm ero de hom bres

que sólo les gusta B es 3

2

del núm ero de m ujeres que

sólo les gusta B . Los que leen A son 105, los que leen

B son 70.

H alle el núm ero de personas que no leen ni A ni B.

a) 30 b) 32 c) 36

d) 38 e) 40

23. Si A , B y C son tres subconjuntos de un conjunto

universal de 98 elem entos y adem ás:

50]'C)BA[(n , n(C ) = 34

H allar : ])'CBA[(n

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 17

24. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos

de fruta de m anzana, fresa y piña es el siguiente:

60% gustan m anzana.

50% gustan fresa.

40% gustan piña.

30% gustan m anzana y fresa.

20% gustan fresa y piña.

10% gustan m anzana y piña.

5% gustan de los tres.

¿Q ue porcentaje de las personas encuestadas no gustanalguno de los jugos de frutas m encionados?

a) 5% b) 20% c) 50%

d) 12% e) 10%

25. D ados los conjuntos:

20n0 Nn/nA 2

005n4 Zn/n2B2

¿C uántos elem entos tiene BA ?

a) 380 b) 400 c) 342

d) 800 e) 760


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Aritmética

26

26. ¿Cuántos elem entos tiene el siguiente conjunto?

(5 ; 7 ; 9 ; 11 ; .... ; 83)

a) 35 b) 40 c) 41

d) 60 e) 45

27. Sea A un conjunto con dos elem entos y B un conjunto

con tres elem entos, el núm ero de elem entos de

)B(P)A(P es:

a) 12 b) 24 c) 48

d) 64 e) 32

28. Sea A , B y C subconjuntos de un conjunto universal U .

D e las afirm aciones:

I. Si )CB(A y CA entonces BA

II. Si BA , entonces BA

(B = com plem ento de B)III. Si BA y CB ; entonces CA .

IV. Si UCBA Entonces CBA

a) Sólo II es verdadera.

b) Sólo I, II y IV son verdaderas.

c) Sólo I es verdadera.

d) Sólo I y II son verdaderas.

e) Todas son verdaderas.

29. D ecir cuál de los siguientes enunciados es falso:

a) BAABBA

b) CACBBA

c) BxBAAx

d) BxBAAx

e) BAxBxAx

30. D ecir cuál de los siguientes enunciados es falso:

a) BAB ,A

b) BAB ,A

c) BABA

d) BABA

e) AAA

31. Si:

prim oes x04N /xxA 2 02x3R/xxB 2

Entonces BA es:

a) b) { } c) {2}d) {1} e) {-2}

32. En un aula de 25 alum nos deportistas hay : 16 alum nos

que practican básquet 14 alum nos que practican fútbol,

11 alum no s que practican tenis, 6 alum no s que

practican los tres deportes, 2 alum nos que practican

fútbol y básquet pero no tenis, 1 alum no que practica

básquet y tenis pero no fútbol, 3 alum nos que practicansolo tenis.

¿C uántos alum nos practican sólo un deporte?

a) 7 b) 5 c) 15

d) 3 e) 12

33. D e un grupo de 45 cachim bos, se sabe que 14 alum nos

no tienen 17 años, 20 alum nos no tienen 16 años, 8

alum nos y 3 alum nas no tienen 16 ni 17 años.

¿Cuántas alum nas tienen 16 ó 17 años?

a) 6 b) 16 c) 27

d) 12 e) 3

34 . A un m atrim onio asistieron 150 personas, el núm ero

de hom bres es el doble del núm ero de m ujeres.

D e los hom bres : 23 no usan reloj pero si tienen terno,

y 42 tiene reloj.

D e las m ujeres : las que no usan m inifalda son tantas

com o los hom bres que no usan terno ni reloj y 8 tienen

m inifalda y reloj.

¿C uántas m ujeres usan m inifalda, pero no reloj?

a) 7 b) 6 c) 8

d) 5 e) 9

35. Las fichas de d atos personales llenad os por 74

estudiantes que ingresaron a San M arcos, arrojaron

los siguientes resultados:

* 20 estudiantes son de Lim a.

* 49 se prepararon en academ ia.

* 27 postularon por prim era vez.

* 13 de Lim a se prepararon en academ ia.

* 17 postularon por prim era vez y se prepararon en

academ ia.

* 7 de Lim a postularon por prim era vez.

* 8 de provincias que no se prepararon en academ ia

postularon por prim era vez.

H allar respectivam ente:

I. ¿Cuántos alum nos de Lim a que se prepararon en

academ ia postularon por prim era vez?

II. ¿Cuántos alum nos de provincias que no se prepa-

raron en academ ia postularon m ás de una vez?

a) 5 y 12 b) 5 y 10 c) 3 y 10

d) 4 y 10 e) 4 y 12


22/174

TRILCE

27


3;2;1;

2

1 ;1;2;3A

3x2/AxB y

02x3x2/AxC 2 El resultado de B)CA( es:

a) 3;2;1;1 b) 2;1;1

c) 3;1;1 d)

2;1;

2

1 ;1

e) {1 ; 1}

37 . En una escuela de 135 alum nos, 90 practican fútbol,

55 básketbol y 75 natación. Si 20 alum nos practican

los tres deportes y 10 no practican ninguno, ¿cuántos

alum nos practican un deporte y sólo uno?

a) 50 b) 55 c) 60

d) 70 e) 65

38. D e un grupo de 100 seño ritas: 10 son solam ente

flaquitas, 12 solam ente m orenas, 15 son solam ente

altas, ad em ás 8 tienen po r lo m enos 2 d e estas

características. ¿C uántas señoritas del grupo no tienen

ninguna de las tres características?

a) 50 b) 51 c) 55

d) M ás de 60 e) M enos de 40

39. En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el cursode Sociología y 53 no siguen el curso de Filosofía. Si

27 alum nos no siguen Filosofía ni Sociología, ¿cuántos

alum nos llevan exactam ente uno de tales cursos?

a) 40 b) 44 c) 48

d) 52 e) 56

40. D e 5 00 po stulantes que se presentaron a las

universidades C atólica o Lim a, 300 postularon a la

C atólica, igual núm ero a la U de Lim a, ingresando la

m itad del total de postulantes; los no ingresantes se

presentaron a la universidad Ricardo Palm a, de estos,

90 no se presentaron a C atólica y 130 no se presentaron

a la U de Lim a.

¿C uántos postulantes ingresaron a la C atólica y a la U

de Lim a?

a) 20 b) 30 c) 80

d) 70 e) 90

41 . Sean los conjuntos no disjuntos A; B, C y D donde se

sabe que el conjunto A tiene 241 elem entos, el conjunto

B tiene 274 elem entos, el con jun to C tiene 215

elem entos y el conjunto D tiene 282 elem entos.

C alcular el núm ero de elem entos que tiene la

intersección de los 4 conjuntos si es lo m ínim o posible,

adem ás se sabe que la unión de los 4 conjuntos es300.

a) 68 b) 79 c) 87

d) 119 e) 112


A = {3 ; 7 ; 8}

B = {2 ; 3 ; 6 ; 9}Se define:

BbAb/aaBA y las proposiciones:

I. E n BA el elem ento m ayor es 17.II. 12)BA(n III. La sum a de los elem entos de AA es 72.

¿Cuáles son verdaderas?

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) Todas e) I y III

43. Sean los conjuntos:

50000x!N /30xA

0032N /5xB x

4000xN /20xC x Y las proposiciones:

I. CCA II. BCA III. CCB IV. ABA V. CBA Indicar cuántas son correctas

a) 2 b) 3 c) 5

d) 1 e) 4

44. D ado los conjuntos:

022x

24x /RxM

02x4/QxN

H allar : NM

a)

2

1 ;1

b)

2

1 x1/Qx

c)

2

1 x/Qx

d)

2

1

e) }2;1;1{


23/174

Aritmética

28

45. La diagram ación correcta de la siguiente fórm ula es:

)]BA(B[]B )'A()BA[(

a)A B

b)A B

c)

A B

d)

A B

e)

A B

46 . U na institución educativa necesita contratar a 25

profesores de Física y a 40 profesores de M atem ática.D e estos contratad os, se espera que 10 realicen

funciones tanto de profesor de Física com o de profesor

de M atem ática.

¿C uántos profesores deberá contratar la institución

educativa?

a) 40 b) 50 c) 65

d) 75 e) 55

47. En un concurso de belleza, participaron 44 señoritas,

de las cuales 19 eran de cabello rubio, 19 eran m orenas

y 22 tenían ojos verdes. Tam bién se observó que 5

eran m orenas con cabello rubio, 7 eran m orenas con

ojos verdes y 6 tenían cabello rubio y ojos verdes.

Tam bién habían dos herm anas que tenían las tres

características.

¿C uántas preguntas son necesarias realizar para conocer

a dichas herm anas?

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

48 . Si en un óm nibus viajan 30 pasajeros entre peruanos

y extranjeros, donde hay 9 de sexo fem enino extranjero,

6 niños extranjeros, 8 extranjeros de sexo m asculino,

10 niños, 4 niñas extranjeras, 8 señoras y 7 señores.

¿Cuántas niñas peruanas hay en el autobús?

a) 2 b) 3 c) 4

d) 1 e) 5

49. 41 estudiantes de idiom as, que hablan inglés, francés

o alem án son som etidos a un exam en de verificación,

en el cual se determ inó que:

* 22 hablan inglés y 10 solam ente inglés.

* 23 hablan francés y 8 solam ente francés.

* 19 hablan alem án y 5 solam ente alem án.

¿Cuántos hablan alem án, pero no inglés?

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

50. D e un grupo de m úsicos que tocan flauta, quena o

tuba se sabe que la octava parte toca sólo flauta, la

sétim a parte toca sólo quena, la diferencia de los que

tocan sólo flauta y los que tocan sólo quena es igual a

la cantidad de m úsicos que tocan sólo tuba.

Si adem ás 80 tocan por lo m enos 2 de los instrum entosm encionados.

¿Cuántos tocan sólo quena?

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 17

51 . En un conjunto de 30 personas; 16 estudiaron en la

universidad A ; 11 en la universidad B y 16 en la

universidad C .

Si sólo 2 personas estudiaron en las universidades A,

B y C .

¿C uántos estudiaron exactam ente en una de estas

universidades, considerando que todas las personasestudiaron al m enos en una de dichas universidades?

a) 16 b) 17 c) 18

d) 19 e) 20

52. En una encuesta hecha en una urbanización a un grupo

de am as de casa sobre el uso de tres tipos de detergente

(A, B y C ) se obtuvieron los siguientes datos.

D el total : U san sólo A el 15% ; A pero no B el 22% ; A

y C 11% ; B y C 13% .

La preferencia total de A era del 38% , la de C 26% y

ninguna de las m arcas m encionadas, el 42% .

Se pregunta :A. ¿Q ué tanto por ciento prefieren sólo B?

B. ¿Q ué porcentaje de am as de casa prefieren exacta-

m ente dos tipos de detergente respecto de las que

no prefieren ninguna m arca?

a) 5 y 66,66...% b) 4 y 60%

c) 8 y 26,66...% d) 5 y 73,33...%

e) 6 y 65%

53. D ados los conjuntos A y B donde :

}x1/Rx{}1x/Rx{A

}3{}2y1/Ry{B Entonces el conjunto BA contiene:

a) U na sem irecta disjunta en el tercer cuadrante.

b) D os sem irectas disjuntas en el cuarto cuadrante.

c) N o contiene ninguna sem irecta disjunta.

d) C ontiene dos sem irectas disjuntas, una en el se-

gundo cuadrante y una en el prim ero.

e) D os sem irectas disjuntas, una en el prim er cuadran-

te y otra en el tercero.


24/174

TRILCE

29

54. A , B y C son tres conjuntos tales que satisfacen las

condiciones siguientes:

1. A está contenido en B y B está contenido en C .

2. Si x es un elem ento de C entonces x tam bién es un

elem ento de A.

D ecir ¿cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

a) B no está contenido en A.

b) C no está contenido en B.

c) A = B pero C no es igual a B.

d) La intersección de A con B es el conjunto C .

e) La reunión de A con B tiene elem entos que no

pertenecen a C .

55. Se lanzan dos dados juntos.

¿Cuántos pares ordenados se pueden form ar con los

núm eros de la cara superior?

a) 12 b) 6 c) 18d) 36 e) 72

56. Sean A y B dos conjuntos contenidos en un universo.

Si : BA)AB()BA( ¿C uál de las siguientes proposiciones es falsa?

a) BAA b) ABB c) BA d) 'AB e) BA)'BA(

57. Para estudiar la calidad de un producto se consideran

3 defectos: A, B y C com o los m ás im portantes.

Se analizaron 100 productos con el siguiente resultado:33 productos tienen el defecto A.

37 productos tienen el defecto B.

44 productos tienen el defecto C .

53 productos tienen exactam ente un defecto.

7 productos tienen exactam ente tres defectos.

¿C uántos productos tienen exactam ente dos defectos?

a) 53 b) 43 c) 22

d) 20 e) 47

58. ¿C uál de estas expresiones es incorrecta?

( CA ind ica el com plem ento de A , A y B están

contenidos en un m ism o conjunto universal)

a) B)BA(C

b) )BA()BA(CCC

c) )BA()BA( CCC

d) A)BA()BA(C

e)

)BA()BA()BA( CCC

59. El círculo A contiene a las letras a, b, c, d, e, f. El círculo

B contiene a las letras b, d, f, g, h. Las letras del

rectángulo C que no están en A son h, j, k y las letras de

C que no están en B son a, j, k.

¿C uáles son las letras que están en la figura som breada?

A B

C

a) {b ; d ; f ; g ; h} b) {a ; b , d ; f ; h}

c) {a ; b ; g ; h ; k} d) {a ; b ; g ; f ; k}

e) {a ; b ; d ; f}

60. El conjunto som breado, m ostrado en la figura adjunta,

representa una operación entre los conjuntos:

L = cuadrado M = círculo

N = triángulo

a) )ML()NLM( b) )MN()NLM( c) )NM()LM( d) )NML()ML()MN( e) )MN()]NL(M[)ML(


25/174

Aritmética

30

lavesClaves

c

b

c

c

d

b

b

d

b

a

e

a

c

c

e

d

a

d

d

d

b

a

b

a

e

b

e

d

c

c

c

c

b

a

b

b

a

c

c

d

e

e

b

b

a

e

d

d

c

d

d

a

d

d

d

c

d

e

b

e

01.

0 2.

0 3.

0 4.

0 5.

0 6.

0 7.

0 8.

0 9.

1 0.

1 1.

1 2.

1 3.

1 4.

1 5.

1 6.

1 7.

1 8.

1 9.

2 0.

2 1.

2 2.

2 3.

2 4.

2 5.

2 6.

2 7.

2 8.

2 9.

3 0.

31 .

32 .

33 .

34 .

35 .

36 .

37 .

38 .

39 .

40 .

41 .

42 .

43 .

44 .

45 .

46 .

47 .

48 .

49 .

50 .

51 .

52 .

53 .

54 .

55 .

56 .

57 .

58 .

59 .

60 .


26/174

TRILCE

31

INTRODUCCIÓN

En nuestra vida diaria, aparecen con m ucha frecuencia

algunas afirm aciones com o:

* Las edades de Juana y R osa son 18 años y 16 años

respectivam ente.

* Tengo 2 vinos : U no de 800 m l y el otro de 640 m l.

* El sueldo de V íctor el m es pasado fue S/. 1500 y este

m es será S/. 1800Podem os observar que las edades, los volúm enes y el dinero

pueden ser m edidos o contados, a los cuales se les llam a

magnit udes escalares .

Obs : H ay m agnitudes no m edibles com o la alegría, la

m em oria; por lo tanto no pueden expresarse num éricam ente,

por ello no las considerarem os en este texto.

CANT IDAD :

Es el resultado de la m edición del estado de una m agnitud

escalar.

Ejemplo :

La altura del edificio Trilce A requipa es 24 m etros.

M agnitud : Longitud

C antidad : 24 m etros

Se llam a m agnitud a todo aquello que puede ser m edido o

cuantificado; adem ás, puede definirse la igualdad y la sum a

de sus diversos estados.

RAZÓN:

Es la com paración que existe entre dos cantidades de unam agnitud, m edian te las op eraciones de sustracción y

división.

RAZÓN A RTIMÉTICA :

E jemplo :

D os toneles contienen 20 litros y 15 litros respectivam ente,

al com parar sus volúm enes.

20 - 15 = 5l l l

Razón Aritm ética

A ntecedenteC onsecuente

Valor de la razón

RAZÓN GEO MÉTRICA :

E jemplo :

Se com paran dos terrenos, cuyas superficies son:2

m80 y

2m48 y así obtenem os:

3

5

m48

m80

2

2A ntecedente

C onsecuenteValor de la razón

R azón G eom étrica

En conclusión:

Sean a y b dos cantidades:

kb

adb-aRazón

G eom étricaA ritm ética

a : antecedente

b : consecuente

d y k : valores de las razones

PROPO RCIÓN

Es la igualdad de dos razones de una m ism a especie.

PROPORCIÓN ARITMÉTICA

Ejemplo :

Las edades de 4 herm anos son : 24 años, 20 años, 15 años

y 11 años; podem os decir :

24 años 15 años = 9 años

20 años 11 años = 9 años

Se puede establecer la siguiente igualdad:

24 - 15 = 20 - 11

M edios

Extrem os

A la cual se le llam a proporción aritm ética.

C apít ulo

RAZONES Y PROPORCIONES


27/174

Aritmética

32

PROPO RCIÓN GEO MÉTRICA :

E jemplo :

Se tiene 4 terrenos cuyas superficies son2

m9 ;2

m12 ;

2m15 y 2m20 al com prarlos se tiene:

4

3

m20

15m

4

3

m12

m92

2

2

2

Se puede establecer la siguiente igualdad:

20

15

12

9

A la cual se le llam a proporción geom étrica

"9 es a 12, com o 15 es a 20"

D e donde:

(9)(20) = (12)(15)

Extrem os M edios

NOTA:

"C uando los m edios son diferentes, la proporción se llam a

discreta, pero cuando los m edios son iguales se llam a

continua"

PROPORC IÓN ARI TMÉTICA

a - b = c - d a - b = b - c

d : cuarta diferencial b : m edia diferencial

c : tercera diferencial

PROPORC IÓN GEOMÉTRICA

d : cuarta proporcional b : m edia proporcional

c : tercera proporcional

c

b

b

a

d

c

b

a

PROPIEDA DES DE PROPORCIONES

Sead

c

b

a se cum ple:

I. c

dc

a

ba ,

d

dc

b

ba

II.c

dc

a

ba ,

d

dc

b

ba

III.

dc

dc

ba

ba

SE R I E D E RA ZO N ES G EO M ÉTR I C A S

EQUIVALENTES

Sean:

kc

a......

c

a

c

a

c

a

n

n

3

3

2

2

1

1

D e donde:

kca ; .........; kca ; kcann2211

Se cum ple las siguientes propiedades:

I. kc

a...

c

a

c

a

c...cc

a...aa

n

n

2

2

1

1

n21

n21

II.n

n21

n21 kc...cc

a...aa

III.

m

mn

m2

m1

mn

m

2

m

1 kc...cc

a...aa

Obs: D onde "n" nos indica el núm ero de razones.

Ejemplo :

Sea la siguiente serie:

k27

18

18

12

6

4 se cum ple:

I.32

5134

2718618124k

II.27186

18124k3

sim plificando

3

2k

27

8k3

III.)962(3

)962(2

27186

18124k

5555

5555

555

5555

3

2

k3

2

k 5

55


28/174

TRILCE

33

EJERCICIOS PROPUESTOS

01 . D os núm eros están en la relación de 2 a 5, si se añade

175 a uno y 115 al otro se hacen iguales.

¿C uál es la diferencia entre estos núm eros?

a) 24 b) 18 c) 30

d) 84 e) 60

02. En una reunión, hay hom bres y m ujeres, siendo el

núm ero de m ujeres al total de personas com o 7 es a 11

y la diferencia entre m ujeres y hom bres es 21.

¿C uál es la razón de m ujeres a hom bres si se retiran 14

m ujeres?

a)3

5b)

4

5c)

3

7

d) 3

4e) 2

3

03. En un salón de clase el núm ero de varon es, es al

núm ero de m ujeres com o 3 es a 5. Si se considera al

profesor y una alum na m enos, la nueva relación será

3

2, hallar cuántas alum nas hay en el salón.

a) 25 b) 15 c) 20

d) 30 e) 24

04. D os óm nibus tienen 120 pasajeros, si del óm nibus

con m ás pasajeros se trasladan los 5

2 de ellos al otro

óm nibus, am bos tendrían igual núm ero de pasajeros.

¿C uántos pasajeros tiene cada óm nibus?

a) 110 y 10 b) 90 y 30 c) 100 y 20

d) 70 y 50 e) 80 y 40

05. Lo que cobra y gasta un profesor sum an 600. Lo que

gasta y lo que cobra están en relación de 2 a 3.

¿En cuánto tiene que dism inuir el gasto para que dicha

relación sea de 3 a 5?

a) 16 b) 24 c) 32

d) 15 e) 20

06. A B y B C están en relación de 1 a 5, C es siete

veces A y sum ando A ; B y C obtenem os 100.

¿Cuánto es2)CA( ?

a) 3600 b) 2500 c) 3025

d) 2304 e) 3364

07. A una fiesta, asistieron 140 personas entre hom bres y

m ujeres. Por cada 3 m ujeres hay 4 hom bres. Si se

retiran 20 parejas, ¿C uál es la razón entre el núm ero de

m ujeres y el núm ero de hom bres que se quedan en la

fiesta?

a)3

2b)

5

4c)

3

1

d) 4

3

e) 3

5

08. Si : 1120cba yc

10

b

7

a

2

H allar: a + b + c

a) 28 b) 32 c) 38

d) 19 e) 26

09. Si:10

q

8

p

5

n

2

m

Adem ás : nq m p = 306

Entonces : p + q m n

Es igual a :

a) 11 b) 22 c) 33

d) 44 e) 55

10. Si:15

d

12

c

8

b

3

a

Adem ás : a . b + c . d = 459

C alcule: a + d

a) 27 b) 21 c) 35

d) 8 e) 32

11. Sean:

96

U

U

R

R

E

E

P

P

3

C alcular: E

a) 12 b) 6 c) 18

d) 24 e) 36

12. L as edades de Javier; C ésar y M iguel son

proporcionales a los núm eros 2 ; 3 y 4.

Si dentro de 9 años sus edades serán proporcionales a

7 ; 9 y 11 respectivam ente.

H allar la edad actual de C ésar.

a) 15 años b) 16 años c) 17 años

d) 18 años e) 19 años

13 . En una reunión social, se observó en un determ inado

m om ento que el núm ero de varones y el núm ero de

m ujeres estaban en la relación de 7 a 8, m ientras los

que bailaban y no bailaban fueron unos tantos com o

otros. Si hubo en ese m om ento 51 m ujeres que no

bailaban.

¿Cuántos varones no estaban bailando?

a) 45 b) 51 c) 39

d) 26 e) 60


29/174

Aritmética

34

14. Se tiene una proporción aritm ética continua, donde la

sum a de sus cuatro térm inos es 160, hallar el valor de

la razón aritm ética, sabiendo que los extrem os son entre

sí com o 11 es a 5.

a) 15 b) 6 c) 8d) 50 e) 24

15. Se tiene una proporción aritm ética continua, donde la

sum a de sus cuatro térm inos es 360.

H allar el valor de la razón aritm ética, sabiendo que los

extrem os son entre sí com o 7 es a 2.

a) 4 b) 6 c) 8

d) 50 e) 24

16 . La diferencia entre el m ayor y el m enor térm ino de una

proporción geo m étrica continua es 245. Si el otro

térm ino es 42.H allar la sum a de los térm inos extrem os.

a) 259 b) 6 c) 8

d) 50 e) 24

17 . La diferencia entre el m ayor y el m enor térm ino de una

proporción geom étrica continua es 64, si el otro térm ino

es 24.

H allar la sum a de los térm inos extrem os.

a) 80 b) 6 c) 8

d) 50 e) 24

18. Si 45 es la cuarta diferencial de a, b y c, adem ás, 140 es

la tercera diferencial de 2a y 160.

H allar la m edia aritm ética de b y c.

a) 14 b) 67,5 c) 15

d) 12,5 e) 11,5

19. La sum a de los cuatro térm inos de una proporción

geom étrica es 65; cada uno de los tres últim os térm inos

es los3

2 del precedente.

El últim o térm ino es:

a) 13 b) 8 c) 9

d) 15 e) 12

20. Sabiendo que:c

b

b

a

Adem ás:

8ca

16ca

H allar: "b"

a) 2 b) 24 c) 15

d) 20 e) 64

21 . La relación de las edades de 2 personas es5

3. Si hace

"n" años, la relación de sus edades era com o 1 es a 2 y

dentro de "m " años será com o 8 es a 13.

C alcular en qué relación se encuentran: n y m .

a)3

2b)

1

5c)

3

7

d)3

1e)

9

8

22. D os cirios de igual calidad y diám etro, difieren en 12

cm de longitud. Se encienden al m ism o tiem po y se

observa que en un m om ento determ inado, la longitud

de uno es el cuádruplo de la del otro y m edia hora

después, se term ina el m ás pequeño. S i el m ayor dura

4 horas, su longitud era:

a) 24 b) 28 c) 32d) 30 e) 48

23. Se tiene dos cilindros y cada uno recibe 2 litros de

aceite por m inuto. H ace 3 m inutos el triple del volum en

del prim ero era el doble del segundo m enos 11 litros.

¿C uál es la diferencia entre los volúm enes si la sum a de

ellos en este instante es de 100 litros?

a) 23 litros b) 22 litros c) 25 litros

c) 21 litros e) 24 litros

24. En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3patos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aum entaran

33 gallinas la cantidad de éstas sería igual a la cantidad

de gansos, calcular cuántos patos hay en el corral.

a) 15 b) 13 c) 12

d) 16 e) 18

25. Si: kf

e

d

c

b

a

A dem ás: 168)fe)(dc)(ba(

H allar:33 fdbeca

a)122 b) 16 c)

162

d)20

2 e) 42

26. Si:p

c

n

b

m

a y 125

pnm

cba333

333

C alcule:333

222

pnm

pcnbmaE

a) 23 b) 24 c) 25

d) 28 e) 32


30/174

TRILCE

35

27. Si se sabe que:n

s

m

rq

h

p

y

(p + q + r + s) ( h + + m + n) = 6724

C alcular el valor num érico de la expresión.

m rsnqph21

I

a) 82 b) 164 c) 41

d) 80 e) 40

28. Si :K

1

d

c

b

a

Adem ás :6d

3c

2b

1a

El valor de K es :

a) 2 b) 4 c) 6

d) 3 e) 5

29. U n cilindro contiene 5 galones de aceite m ás que otro.

La razón del núm ero de galones del uno al otro es7

8.

¿C uántos galones de aceite hay en cada uno?

a) 28 : 33 b) 42 : 47 c) 35 : 40

d) 21 : 26 e) 56 : 61

30. Sea:

kz

C

y

B

x

A

Si:

14zyx

CBA

z

C

y

B

x

A222222

22

22

22

H allar "k"

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

31. Si: K10

bc

15

ac

8

ab

Entonces, la sum a de los m enores valores naturales de

a, b , c y K es:

a) 30 b) 35 c) 37

d) 45 e) 47

32 . La razón de una proporción geom étrica es un entero

positivo, los térm inos extrem os son iguales y la sum a

de los térm inos de la proporción es 192.

H allar el m enor térm ino m edio.

a) 9 b) 3 c) 147

d) 21 e) 63

33 . H allar 3 núm eros enteros que sum an 35, tales que el

prim ero es al segundo com o el segundo es al tercero.

D ar com o respuesta el producto de los tres núm eros

enteros.

a) 500 b) 1000 c) 1500

d) 2000 e) 2500

34. Si:d

c

b

a y (a b) (c d) = 36

H allar: bdacE

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 12

35 . El núm ero de vagones que llevan un tren A es los11

5

del que lleva un tren B; el que lleva un tren C , los13

7

de otro D . Entre A y B llevan tantos vagones com o los

otros dos. Si el núm ero de vagones de cada tren no

puede pasar de 60, ¿Cuál es el núm ero de vagones

que lleva el tren C ?

a) 26 b) 14 c) 39

d) 52 e) 28

36 . El núm ero de vagones que lleva un tren A es los11

5

del que lleva un tren B; y, el que lleva un tren C , los23

9

de otro D .

Entre A y B llevan tantos vagones com o los otros dos.

¿Cuál es el núm ero de vagones de cada tren, sabiendo

que no puede pasar de 25?

a) 10 ; 22 ; 9 ; 23

b) 8 ; 21 ; 9 ; 20

c) 11 ; 23 ; 9 ; 25

d) 10 ; 21 ; 12 ; 19

e) 1 3 ; 22 ; 10 ; 25

37. En una serie de razones geom étricas equivalentes se

tiene que : el prim er y tercer antecedente son 18 y 33,

y el segundo consecuente es 8.

Si el producto de los 3 térm inos restantes es 1584,

hallar el segundo antecedente.

a) 30 b) 18 c) 24

d) 36 e) 48

38. La sum a de los cuatro térm inos de una proporción

geom étrica continua es a la diferencia de sus extrem os

com o 3 es a 1.

¿Cuál es la razón geom étrica del extrem o m ayor y el

extrem o m enor?

a)1

3b)

2

3c)

1

4

d)1

2e)

3

5


31/174

Aritmética

36

39. U n niño dem ora en subir una cuesta 1 hora y m edia. A

un adulto, le es la m itad m enos dificultoso subir y bajar

que al niño. Si al ad ulto le tom ó2

1 hora bajar,

m anteniéndose constante la relación de tiem po de

subida y bajada, ¿Cuál será la sum a de tiem po de bajada

del niño y subida del adulto?

a) h2

1b) 1 h c) h

4

7

d) h4

3e) h

2

3

40. En una proporción geom étrica la sum a de los extrem os

es 29 y la sum a de los cubos de los 4 térm inos de dicha

proporción es 23814.

H allar la sum a del m ayor extrem o y el m ayor m edio de

esta proporción si la sum a de sus térm inos es 54.

a) 25 b) 30 c) 35

d) 40 e) 45

41. H allar el producto de los térm ino s de un a razón

geom étrica que cum pla: si sum am os "n" al antecedente

y consecuente de dicha razón se form a otra razón cuyo

valor es la raíz cuadrada de la razón inicial.

a) n b)2

n c) n

d) 3 n e) 1

42. La razón de 2 núm eros enteros queda elevada al

cuadrado cuando a sus térm inos se les dism inuye 3

unidades.

Indique la diferencia de los térm inos de dicha razón.

a) 4 b) 8 c) 12

d) 9 e) 7

43. D os m óviles parten en el m ism o instante. El prim ero

del punto A y el segundo del punto B y m archan el uno

hacia el otro con m ovim iento uniform e sobre la recta

AB. C uando se encuentran en M , el prim ero ha recorrido

30m m ás que el segundo. C ada uno de ellos, prosigue

su cam ino. El prim ero tarda 4 m inutos en recorrer la

parte M B y el segundo tarda 9 m inutos en recorrer M A.

H allar la distancia A B.

a) 100 m b) 150 m c) 200 m

d) 300 m e) 320 m

44. E n una serie d e cuatro razones geom étricas las

diferencias de los térm inos de cada razón son 6, 9, 15

y 21 respectivam ente y la sum a de los cuadrados de

los antecedentes es 1392.

H allar la sum a de los dos prim eros consecuentes si la

constante de proporcionalidad es m enor que uno.

a) 30 b) 40 c) 35

d) 70 e) 66

45. Se tiene una serie de razones continuas equivalentes,

donde cada consecuente es el doble de su antecedente,

adem ás la sum a de sus extrem os es 260.

Indica el m ayor térm ino.

a) 246 b) 256 c) 140d) 128 e) 220

46. Pepe y Luchín son encuestadores y entablan la siguiente

conversación:

Pepe: Por cada 5 personas adultas que encuestaba, 3

eran varones; y por cada 5 niños, 3 eran m ujeres adultas.

Luchín: Pero yo encuestaba 2 varones adultos por cada

3 m ujeres adultas; y 4 m ujeres adultas por cada 5 niños.

Pepe: A unque parece m entira, encuestam os igual

núm ero de personas. Adem ás, m i cantidad de m ujeres

es a m i cantidad de varones com o 87 es 88.

Luchín: Y en la relación de 12 a 13 en m i caso.

Pepe: ¡O ye!, te das cuenta que yo entrevisté 90 m ujeres

adultas m enos que tú.

Según esta charla, calcule:

a = cantidad de niños varones.

b = cantidad de varones adultos que entrevistó Luchín.

c = cantidad de personas adultas que entrevista Pepe.

D é com o respuesta: "a + b c"

a) 20 b) 55 c) 42

d) 36 e) 10

47. Si:2

3

cba

p

bac

n

acb

m

D eterm inar:cpbnam

)nm(p)pm(n)pn(mE

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

48 . Al restar 4 unidades a cada uno de los térm inos de una

razón geom étrica, se obtiene el doble del cuadrado de

dicha razón. Indique la razón aritm ética de los térm inos

de la razón geom étrica inicial.

a) 18 b) 19 c) 20

d) 21 e) 22

49 . En una proporción geom étrica continua cuyo producto

de sus térm inos es 65536; se cum ple que la m edia

aritm ética de los antecedentes es igual a16

9 de la m edia

arm ónica de los consecuentes.

H allar la diferencia de los extrem os.


32/174

TRILCE

37

a) 8 b) 12 c) 24

d) 32 e) 40

50. En una proporción geom étrica continua donde los

térm inos extrem os son 2 cuad rad os perfectos

consecutivos, se cum ple que la sum a de las diferenciasde los térm inos de cada razón está com prendida entre

11 y 31. C alcular la sum a de todos los valores que

puede tom ar la m edia proporcional.

a) 1120 b) 5160 c) 9920

d) 9348 e) 1050

51. En una proporción, cuya constante es m ayor que la

unidad, la sum a de los antecedentes es 45 y la diferencia

de los consecuentes es 20.

C alcule el m enor de los térm inos considerando que

todos los térm inos son enteros.

a) 5 b) 8 c) 3

d) 6 e) 7

52. C uatro recipientes cúb icos, cuyas aristas son

proporcionales a los cuatro prim eros núm eros prim os

están ordenados en form a creciente. C ontienen agua,

de tal m anera que las alturas de lo que les falta llenar

son proporcionales a los prim eros núm eros naturales,

estando el prim ero hasta el 50% de su capacidad. Si

vaciam os el contenido del cuarto recipiente, en los otros

3 sobraría aba litros m enos de lo que faltaría para

llenarlo si vaciáram os el contenido de los 3 en éste.

C alcule el contenido del cuarto recipiente.

a) 1764 l b) 1323 l c) 1647 l

d) 3067 l e) 1552 l

53 . El producto de los térm inos de una proporción continua

es 38416. Si la diferencia de los antecedentes es la

m itad de la diferencia de los consecuentes, determ inar

la diferencia entre la sum a de las terceras proporcionales

y la m edia proporcional.

a) 13 b) 16 c) 31

d) 21 e) 11

54. Si :d

c

b

a y a+ b = 2(c + d), siendo el valor de la

constante de proporcionalidad igual ac

1; y la sum a de

los cuatro térm inos de la proporción 60.

H allar el valor de la m edia aritm ética de los extrem os.

a) 9 b) 22 c) 12

d) 32 e) 40

55. En una proporción aritm ética continua, cuyos térm inosson enteros y m ayo res que 2, se convierten en

geom étrica del m ism o tipo cuando a sus térm inos

m edios se les dism inuye 2 unidades. C alcule el m ayor

de los térm inos si todos son los m enores posibles.

a) 12 b) 14 c) 16

d) 18 e) 10

56 . En un polígono regular de "n" vértices num erados del

1 al "n" hay tres personas "A"; "B" y "C " parados en el

vértice 1.

En un m om ento dado, ellos com ienzan a cam inar por

los lados. "A" cam ina en el sentido de la num eración

de los vértices ...)321( , "B" y "C" lo hacen en

sentido contrario, "A" se cruza con "B" por prim era vez

en un vértice y con "C " dos vértices m ás adelante. Se

sabe que "A" cam ina el doble de rápido que "B" y éste

el doble de rápido que "C ".

¿C uántos vértices tiene el polígono?

a) 10 b) 12 c) 14

d) 15 e) 18

57. Tres nú m eros enteros, cuya sum a es 15 87, son

proporcionales a los factoriales de sendos núm eros

consecutivos.

H allar el m ayor de éstos núm eros, si la constante de

proporcionalidad es entera.

a) 506 b) 1012 c) 768

d) 1518 e) 1536

58. En una serie continua de "p" razones geom étricas, el

producto de los térm ino s posee 33 divisores que

poseen raíz p - ésim a. C alcular la m edia proporcionalde los extrem os, si todos los térm inos y la constante

son enteros y m ínim os.

a)162 b) 1024 c) 243

d)482 e) 96

59 . U n cirio tiene do ble diám etro del diám etro de otro.

Estos cirios, que son de igual calidad y de igual longitud

se encienden al m ism o tiem po y al cabo de una hora

difieren en 24 cm . Transcurrida m edia hora m ás, la

longitud de uno es el triple de la longitud del otro.

¿Q ué tiem po dura el cirio m ás grueso?

a) 8h 30' b) 8h 15' c) 8h

d) 7h 30' e) 7h 15'

60. Se tiene la siguiente serie:

223

23

22

21

42!23

a......

4!3

a

3!2

a

2!1

a

Se sabe adem ás que:

)2!20(25a......aaa18321

C alcular el m ayor antecedente:

a) 25!24 b) 24!25 c) 27!28d) 20!22 e) 21!23


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Aritmética

38

lavesClaves

e

b

a

c

b

a

a

c

c

a

a

d

c

a

d

a

a

b

b

c

b

c

b

e

c

c

c

a

c

b

e

b

b

c

e

a

c

c

c

e

b

b

b

c

b

b

c

d

c

e

b

b

d

c

c

d

d

e

b

a

01 .

02 .

03 .

04 .

05 .

06 .

07 .

08 .

09 .

10 .

11 .

12 .

13 .

14 .

15 .

16 .

17 .

18 .

19 .

20 .

21 .

22 .

23 .

24 .

25 .

26 .

27 .

28 .

29 .

30 .

31 .

32 .

33 .

34 .

35 .

36 .

37 .

38 .

39 .

40 .

41 .

42 .

43 .

44 .

45 .

46 .

47 .

48 .

49 .

50 .

51 .

52 .

53 .

54 .

55 .

56 .

57 .

58 .

59 .

60 .


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TRILCE

39

INTRODUCCIÓN

Elpr om ed io ar i tméti co es una m edida de tendencia

central, que tiene im portancia en el caso en que los datos se

junten aditivam ente para obtener un total. D e hecho, puede

interpretarse com o un valor que podría sustituir a cada uno

de los datos para obtener la m ism a sum a total.

Elpr om edio geométr ic o por su parte, es relevante cuandolos datos se usan m ultiplicativam ente para obtener un

resultado. Es así que puede interpretarse com o un valor, que

puede sustituir a cada dato, para producir el m ism o producto

total.

Elpromed io armónico tiene im portancia cuando usam os

los datos sum ando los recíprocos de cada uno de los datos

y se puede interpretar con un valor que puede sustituir a

cada dato para producir la m ism a sum a de los recíprocos.

PROMEDIO

D ado un conjunto de datos diferentes es frecuente calcular

un valor representativo de ellos, que este com prendido entre

el m enor y el m ayor de ellos; a dicha cantidad se le llam a:

prom edio o valor m edio o sim plem ente m edia de los datos.

Sean "n" cantidades en sucesión m onótona creciente:

n321a ; .... ; a ; a ; a

El prom edio de ellas será "p" si:

n1apa

PROMEDIO S MÁS UTIL IZADO S

1 . Promed io Ar i tmét ico o Med ia Ar i tmét ica (M .

A .)

n

a...aaaM .A. n321

Ap l i cac ión :

U n vendedor independiente ganó en el Verano pasado:

Enero S/. 800; Febrero S/. 1200 y M arzo S/. 1300.

¿Cuál fue su prom edio m ensual?

Resolución:

El prom edio m ensual viene a ser la M edia A ritm ética

(M . A.) de dichas cantidades.

S/.11003

S/.1300S/.1200800S/..A.M

2 . P r omed i o Geomét r i c o o Med i a Geomét r i c a

(M.G. )

nn21

a.....aaM .G .

Ap l i cac ión :

En los últim os 5 m eses, el gobierno actual registró una

tasa de inflación m ensual de 2% , 5% , 20% , 20% y

25% . Encuentre la tasa de inflación m ensual prom edio

durante ese tiem po.

Resolución:

El prom edio de dichas tasas viene a ser la m edia

geom étrica (M . G .) de dichas tasas.

5

%25%20%20%5%2M G

M G = 10%

3 . P romed io A rmón i co o Med ia A rmón i ca (M .H . )

n321a

1....

a

1

a

1

a

1

nM .H .

C apít ulo

PROM EDI OS

4


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Aritmética

40

Ap l i cac ión :

U n am a de casa gasta S/. 30, cada m es, durante 3 m eses

consecutivos, en la com pra de aceite. El prim er m es

com pró a S/. 10 el galón, el segundo m es lo com pró a

S/. 6 el galón y el tercer m es lo com pró a S/. 3 el galón;

diga entonces ¿cuál fue el costo prom edio m ensual?

Resolución:

galones#

TotalC ostoProm edioC osto

Entonces el costo prom edio es:

S/.518

S/.90

S/.3

S/.30

S/.6

S/.30

S/.10

S/.30

S/.30S/.30S/.30

Podem os observar que el costo prom edio es la m edia

arm ónica de S/.10 , S/.6 y S/.3 es decir:

5

3

1

6

1

10

13

.H.M

PARA D OS CANTIDAD ES a y b

baab2M .H .

baM .G .2

baM .A.

PROPIEDADES

1. Para "n" cantidades se cum ple:

M .H .M .G .M .A.

2. Para dos cantidades a y b se cum ple:

2)b,a()b,a()b,a( M .G .M .H .M .A.

3. El error que se com ete al tom ar la m edia aritm ética

(M .A .), com o m edia geo m étrica (M .G .) para d os

núm eros es:

)M .G .M .A.(4

)ba(M .G .M .A.

2

PROMED IO PON D ERADO (P. P. )

Es un caso particular del prom edio aritm ético, donde una o

m ás cantidades se repiten dos o m ás veces.

Ap l i cac ión :

Al final del sem estre académ ico, un alum no de la U niversidadobserva su récord de notas:

132Economía

153 I Físi ca

144I Q uím i ca

126Matem át ic a I

No ta crédi t os de Nº Curso

D eterm ine su prom edio.

Resolución:

El núm ero de créditos indica las veces que se repite cada

nota. Entonces el prom edio ponderado es:

62,132346

132153144126P.P

En general :

D atos: n321a ; ... ; a ; a ; a

Pesos: n321 p; ... ; p; p; p

El Prom edio Ponderado (P.P.) es:

n21

nn2211

p....pp

pa......papa

P. P. =

NOTA: C uando no nos m encionen qué tipo de prom edio

se ha tom ado y sólo se diga prom ed io de ..............,

considerarem os al Prom edio A ritm ético.


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TRILCE

41

EJERCICI OS PROPUESTOS

01 . ¿Cuál es el valor m edio entre 0,10 y 0,20?

a) 0,09 b) 0,21 c) 0,11

d) 0,15 e) 0,18

02. D e un grupo de 6 personas, ninguna de ellas es m enor

de 15 años. Si el prom edio aritm ético de las edades es

18 año s.

¿Cuál es la m áxim a edad que puede tener una de ellas?

a) 33 b) 32 c) 34

d) 35 e) 31

03. H allar el va

compe aritmética trilce

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