ALUMNO :HUAMANCHA MAYHUASCA, DAKS JENUS.

PROFESORA: REBAZA FERNANDEZ DIANA.

CICLO: III

CARRERA INGENIERIA DE SISTEMAS.

UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR DE LIMA.

2013

TEMA: COMPARACIONES MULTIPLES

1.-Comparaciones múltiples con Duncan.

La Prueba del Rango múltiple Duncan es otra prueba para determinar la diferencia entre pares de medias después que se ha rechazado la hipótesis nula en el análisis de varianza.

Este procedimiento emplea los valores de la tabla T-9 y consiste en calcular varios "rangos" (Duncan los llama rangos significativos mínimos) dados por la fórmula:

[13.8]

donde p toma valores entre 2 y K (K es el número de tratamientos), d se obtiene de la tabla T-9 y el CMError se obtiene de la tabla de ANDEVA respectiva.

Ejemplo 1:

Se realizó un experimento para determinar la cantidad (en gramos) de grasa absorbida por 48 donas (doughnuts) usando ocho tipos diferentes de grasas (aceites y mantecas). Las medias para los ocho tratamientos se muestran a continuación:

Se usaron seis "donas" en cada tipo de grasa y se obtuvo un cuadrado medio del error de 141.6, los grados de libertad del error son 48 - 8 =40.

SOLUCION:

Seleccionando a = 0.05 para este ejemplo, los rangos de Duncan son:

Los valores 3.300, 3.266,..., 2.858 se obtuvieron de la tabla de Duncan (T-9) para a = 0.05, 2 £ p £ 8 y 40 grados de libertad.

El siguiente paso es ordenar las medias en orden creciente para establecer los "rangos".

El rango entre las medias máxima y mínima se compara con D8, esto

es, , entonces existe diferencia significativa entre las grasas 4 y 7.

El próximo paso es comparar subconjuntos de siete medias con el rango D7.

, entonces

, entonces

Como los dos exceden el rango D7 se subdividen estos dos subconjuntos en conjuntos de seis medias.

, entonces

, entonces

, entonces

Nuevamente éstos exceden D6, entonces éstos se subdividen en subconjuntos de cinco medias

, entonces

, entonces

, entonces

, entonces

Como las medias para las grasas 3, 2, 6 y 1 están incluidos en el conjunto 43261 que fue no significativo, los rangos de las medias en el subconjunto 3261 no se comparan con D4; solamente los rangos de las medias en el subconjunto 2615 se comparan con D4; por lo tanto,

, entonces

Los otros subconjuntos de cuatro medias (3,2,6,1) y (6,1,5,3) no se comparan con D4 porque ya fueron declarados no significativos en los conjuntos de cinco medias. Por lo tanto, el proceso termina.

Los resultados se muestran gráficamente en la siguiente figura, donde las medias que están debajo de una línea no son significativamente diferentes.

El investigador puede concluir que las cantidades absorbidas usando las grasas 4 y 3 son significativamente mayores que las 5, 8 y 7, y que la 2 es significativamente mayor que las 8 y 7 y las demás grasas no son significativamente diferentes en relación con la cantidad absorbida.

2.-La prueba de Diferencia Significativa Honesta (DSH) de Tukey.

Al igual que la DSM, sólo se debe usar después que se ha rechazado la hipótesis nula en el análisis de varianza y cuando todos los tamaños de muestra son

iguales; pero a diferencia de la DSM emplea el valor . En lugar de

. Este valor q se obtiene de la tabla T-8, para el nivel de significancia , el número de tratamientos K y los grados de libertad del error, entonces:

EJEMPLO 1

Descripción del problema: En las etapas preliminares para montar una nueva y pequeña empresa de papas tostadas resulta difícil escoger el pelador de papas que utilizarán los empleados. La variable determinante, según la opinión de expertos, es la velocidad de pelado (expresada como número de papas del mismo tamaño y forma que se pelan en un minuto). Se decide entonces realizar un experimento para determinar la velocidad de tres diferentes peladores de papas que el nuevo negocio estaría en posibilidad de comprar: pelador marca A, pelador marca B y pelador marca C.

Objetivo: Determinar si existen diferencias en el número de papas promedio que se pelan en un minuto con cada uno de los tres peladores.

Escogencia del análisis: De acuerdo con el objetivo, de inmediato se reconoce la necesidad de comparar promedios. No aplica un análisis de regresión porque no se quiere estudiar una tendencia. La pregunta entonces es: ¿comparaciones múltiples o contrastes ortogonales? Para aplicar contrastes ortogonales tendría que haber al menos dos peladores de papas con una característica común que permitiera agrupar dos para contrastar con el otro, hecho que no pareciera darse en este caso (pues se trata de diferentes marcas comerciales) y que, además, no está expresado en el objetivo. Entonces es necesario definir cuál de los tres métodos de comparaciones múltiples procede aplicar. Ante la ausencia de un tratamiento control no procede aplicar Dunnet. Al no existir una relación de orden entre los peladores no procede aplicar Duncan. Por lo tanto, la comparación adecuada en este caso es Tukey.

Resultados: Luego de aplicar el ANDEVA y para un nivel de significancia del 5% se encontró que el efecto de "tipo de pelador" fue significativo (p=0,0016), indicando que al menos uno de los promedios del número de papas peladas en un minuto es diferente de los otros. En el Cuadro 3 se muestran los promedios para el número de papas peladas en un minuto según el tipo de pelador. No hubo diferencia en el número de papas que se logran pelar en un minuto con el pelador A (cuatro papas) y el pelador B (cinco papas) (Cuadro 3. Sin embargo, cuando se pelan las papas con el pelador C, se logra pelar un número mayor de papas (9) en comparación con cada uno de los otros dos peladores. La aplicación de la prueba de Tukey en este caso permitió decidir que la inversión más apropiada y segura son los peladores de la marca C.

3.-PRUEBA DE DUNNETT

En muchos experimentos uno de los tratamientos es el control, y el investigador

está interesado en comparar cada una de las otras K- 1 medias de los

tratamientos contra el control, por lo tanto, existen K- 1 comparaciones. Un

procedimiento para realizar estas comparaciones es la prueba de Dunnett. Si se

supone que el control es el tratamiento a, entonces se desea probar las hipótesis

El procedimiento de Dunnett es una modificación de la prueba t. Para cada

hipótesis se calcula el valor absoluto de la diferencia de medias observadas

El rechazo de la hipótesis nula se realiza con una probabilidad de error tipo I, a si

,

Donde la constante se busca en la tabla T-10. Observe que f es el número

de grados de libertad del error y a es el nivel de significación asociado con todos

las K- 1 pruebas y utilizado en el análisis de varianza.

Ejemplo1:

Una empresa tiene cuatro plantas y sabe que la planta A satisface los requisitos impuestos por el gobierno para el control de desechos de fabricación, pero quisiera determinar cuál es la situación de las otras tres. Para el efecto se toman cinco muestras de los líquidos residuales de cada una de las plantas y se determina la cantidad de contaminantes. Los resultados del experimento aparecen en la siguiente tabla.

Tabla 1 Cantidad de contaminantes para cuatro plantas de una empresa.

Planta contaminantes ni

A 1.65 1.72 1.50 1.35 1.60 5 7.84 1.568

B 1.70 1.85 1.46 2.05 1.80 5 8.86 1.772

C 1.40 1.75 1.38 1.65 1.55 5 7.73 1.546

D 2.10 1.95 1.65 1.88 2.00 5 9.58 1.916

Total: N = 20

La compañía desea comparar todas las otras plantas con la planta A que es la que

cumple con los requisitos (control), por lo tanto, la prueba de Dunnett sería más

adecuada que la de Fisher o la de Tukey para este caso.

En consecuencia, la única planta que difiere significativamente de la

planta A es la D.

4.-PRUEBA DE SCHEFFÉ

Esta prueba es similar a la prueba de Tukey, difiere de ella en que en vez de usar la tabla T-8 para obtener valores "studentizados" q utiliza la tabla F de Fisher (T-7) para obtener el factor

donde K es el número de tratamientos y a el nivel de significación.

Este factor se multiplica por el error estándar de la diferencia

entre dos medias para obtener la cantidad:

[13.9]

que se comparará con las diferencias entre los pares de medias de los tratamientos.

Ejemplo 1: Utilizamos el mismo ejemplo que el de Duncan

Se realizó un experimento para determinar la cantidad (en gramos) de grasa absorbida por 48 donas (doughnuts) usando ocho tipos diferentes de grasas (aceites y mantecas). Las medias para los ocho tratamientos se muestran a continuación:

, se tiene:

Si la diferencia entre cualquier par de medias excede este valor se dice que hay diferencia significativa entre las medias comparadas. Las diferencias entre las ocho medias se muestran en la siguiente tabla.

Tabla Valores absolutos de las diferencias

entre del ejemplo 4

¾ 3 7 9 13 20 23 24

¾ ¾ 4 6 10 17 20 21

¾ ¾ ¾ 2 6 13 16 17

¾ ¾ ¾ ¾ 4 11 14 15

¾ ¾ ¾ ¾ ¾ 7 10 11

¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ 3 4

¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ 1

¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

En este ejemplo todas las diferencias entre los pares de medias son menores que 27.3, por lo que no hay diferencia significativa entre los pares de grasas.

NOTA: Todas las pruebas estudiadas para comparar pares de medias requieren que todos los tratamientos tengan el mismo número de observaciones n. Algunos autores, entre ellos Snedecor y Cochran, han recomendado usar la media armónica nh entre los tamaños de muestra nj cuando el número de observaciones no es el mismo. Aparentemente esta aproximación no altera el error de Tipo I.

5.- PRUEBA DE Newman-Keuls Newman-Keuls

La prueba Newman-Keuls es similar a la prueba Tukey, excepto que la prueba

Newmn-Keuls es una prueba secuencial en la cual depende del rango de

cada par e medias. Para facilitar la exposición, suponemos que las medias son

ordenadas de la más pequeña a la más grande. Por lo tanto es la media más

pequeña y es la media más grande.

La prueba Newman-Keuls empieza exactamente como la prueba Tukey. Es

seleccionada la diferencia más grande entre las dos medias. El rango de esta

diferencia es R=A. Una es calculada usando la ecuación 1 y este valor

es comparado con el valor crítico, , en los valores críticos de la tabla usando

α, ν, y R. La hipótesis nula puede ser rechazada si es más grande que

. Si la hipótesis nula no puede ser rechazada, las pruebas se detienen aquí,

porque no rechazar la hipótesis para la diferencia más grande implica no rechazar

la hipótesis nula para cualquier otra diferencia.

Si la hipótesis nula es rechazada para la diferencia más grande, las dos

diferencias con un rango de A-1 son examinadas. Estas medias serán probadas

con R=A-1. Cuando la hipótesis nula para un determinado par de medias no

puede ser rechazada, ninguna de las diferencias incluidas en esta diferencia será

probada. Si la hipótesis nula es rechazada, entonces el procedimiento se reitera

para un rango de A-2 (esto es, R=A-2). El procedimiento se reitera hasta que

todas las medias hayan sido probadas o hayan sido declaradas no significativas

por implicación.

Se necesita algo de experiencia para determinar cuáles comparaciones están

implícitas para otras comparaciones. La figura 1 describe la estructura de la

implicación para un conjunto de medias numeradas de 1 (la más pequeña) a 5 (la

más grande). Las comparaciones dos a dos implicadas por otra comparación son

obtenidas siguiendo las flechas. Cuando la hipótesis nula no puede ser rechazada

para una comparación dos a dos, entonces todas las comparaciones incluidas son

tachadas de modo que no se prueban.

Figura 1. Estructura de implicación de las comparaciones en pares cuando A=5

para la prueba Newman-Keuls. Las medias son numeradas de 1 (la más pequeña)

a 5 (la más grande). Las comparaciones en pares implícitas por otra se obtienen

siguiendo las flechas. Cuando la hipótesis nula no puede ser rechazada para una

A

A-1

A-2

A-3

comparación dos a dos, entonces todas las comparaciones incluidas pueden ser

tachadas in orden para omitirlas de la prueba.

Ejemplo 1

Un ejemplo ayudará a describir la prueba el uso de las pruebas Newman-Keuls y

la figura. Usaremos el resultado de una réplica de un experimento clásico en el

testimonio de testigos oculares por Loftus y Palmer (1974). Este experimento

prueba la influencia de preguntas sobre las respuestas dadas por los testigos

oculares. Los autores presentaron un video de un accidente múltiple de coches a

sus participantes. Después de ver el video, pidieron a los participantes responder

un número específico de preguntas acerca del accidente. Entre las preguntas,

una acerca de la velocidad del auto fue presentada en cinco versiones diferentes:

GOLPEAR: ¿Qué tan rápido iban los autos cuando se golpearon unos con otros?

ESTRELLAR: ¿Qué tan rápido iban los autos cuando se estrellaron unos con

otros?

COLISIONAR: ¿Qué tan rápido iban los autos cuando colisionaron unos con

otros?

CHOCAR: ¿Qué tan rápido iban los autos cuando chocaron unos con otros?

HACER CONTACTO: ¿Qué tan rápido iban los autos cuando hicieron contacto

unos con otros?

En nuestra réplica usamos 50 participantes (10 en cada grupo); sus respuestas

son dadas en la Tabla 1.

Tabla 1. Un conjunto de datos para ilustrar las pruebas Tukey y Newman-Keuls

Grupo experimental

Hacer contacto

Golpear Chocar Colisionar Estrellar

21 23 35 44 39 20 30 35 40 44 26 34 52 33 51 46 51 29 45 47 35 20 54 45 50 13 38 32 30 45 41 34 30 46 39 30 44 42 34 51 42 41 50 49 39 26 35 21 44 55

M1 M2 M3 M4 M5

Ma. 30.00 35.00 38.00 41.00 46.00

S=10; MSerror=80.00