Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones

La resolución de problemas en general, y mediante sistemas de ecuaciones en este caso particular, es un proceso complejo para el que, desgraciada o afortunadamente (según se mire), no hay reglas fijas ni resultados teóricos que garanticen un buen fin en todas las ocasiones.De todas formas, si hay algo que ayuda en cualquier caso a llevar a buen puerto la resolución de un problema es el orden. Por ello, hay que ser metódico y habituarse a proceder de un modo ordenado siguiendo unas cuantas fases en el desarrollo de dicha resolución.Las cuatro fases que habrá que seguir para resolver un problema son:

I. Comprender el problema.II. Plantear el problema.

III. Resolver el problema (en este caso, el sistema).IV. Comprobar la solución.

Todo ello quizás quede más claro si se observa el siguiente cuadro que detalla, una a una, las cuatro fases de este proceso:

1. Comprender el problema.

Leer detenidamente el enunciado. Hacer un gráfico o un esquema que refleje las condiciones del problema. Identificar los datos conocidos y las incógnitas.

2. Plantear el problema.

Pensar en las condiciones del problema y concebir un plan de acción, Elegir las operaciones y anotar el orden en que debes realizarlas. Expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones.

3. Resolver el problema.

Resolver las operaciones en el orden establecido. Resolver las ecuaciones o sistemas resultantes de la fase 2. Asegurarse de realizar correctamente las operaciones, las ecuaciones y los

sistemas.

4. Comprobar la solución. Comprobar si hay más de una solución. Comprobar que la solución obtenida verifica la ecuación o el sistema. Comprobar que las soluciones son acordes con el enunciado y que se

cumplen las condiciones de éste.

Los contenidos procedimentales de esta Unidad Didáctica son los siguientes:o Utilización de letras como objetos, como incógnitas y como números

generalizados.

o Búsqueda de ecuaciones equivalentes a una dada mediante sumas y productos.

o Determinación de si un par de números es solución de un sistema.o Obtención de un sistema equivalente a otro dado y determinación de si dos

sistemas son o no equivalentes.o Análisis sobre si un sistema es compatible o incompatible.o Análisis sobre si un sistema compatible es determinado o indeterminado.o Utilización correcta de los métodos analíticos de sustitución, igualación y

reducción para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.

o Utilización correcta del método gráfico para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.

o Interpretación geométrica de las distintas posibilidades de soluciones (o la ausencia de ellas) de un sistema de ecuaciones.

o Formulación de problemas haciendo uso del lenguaje simbólico y algebraico.

o Resolución de problemas reales mediante sistemas de ecuaciones, planteándolos, resolviéndolos y comprobando que las soluciones son correctas y tienen sentido según el contexto.

o Utilización de estrategias diversas en la resolución de problemas: hacer un esquema, empezar por el final, imaginar el problema resuelto, método de ensayo y error, asociar el problema a otro conocido, etc.

Los contenidos actitudinales de esta Unidad Didáctica son los siguientes:o Valoración del lenguaje algebraico y, en concreto, de los sistemas de

ecuaciones, como un instrumento útil y sencillo para representar, comunicar y resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

o Interés y cuidado a la hora de representar gráficamente las soluciones de un sistema de ecuaciones.

o Sensibilidad, interés y valoración crítica ante los mensajes de naturaleza numérica y gráfica.

o Gusto por la presentación clara y sistemática de los cálculos realizados.o Valoración de la importancia de la representación gráfica para estudiar

diversas situaciones de la vida cotidiana.o Curiosidad e interés para enfrentarse a los problemas matemáticos.o Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.o Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones de los problemas.

Integración en el Currículo 

Las conexiones que los contenidos de esta unidad didáctica poseen con los de otros ciclos o cursos anteriores y posteriores, e incluso dentro del mismo curso, vamos a comentarlas desde dos puntos de vista. En primer lugar, temporalmente, en el sentido de conectar esta unidad con otras de otros cursos que pertenecen al mismo bloque temático (Números y Álgebra). En segundo lugar, transversalmente,

aunque dentro del área, al hablar de sus conexiones con otros temas de diferentes bloques temáticos.En el primer ciclo de la E.S.O. se empiezan a tratar estos contenidos en el bloque de Álgebra con un tema que, usualmente, se encuentra en el segundo curso del ciclo (2º de E.S.O.) y que inicia al alumno/a en la idea de Sistemas de ecuaciones, en lo que es una variable, una solución, etc.De la misma forma, sin salir del ámbito de la Secundaria Obligatoria, en el primer curso de este segundo ciclo, es decir, en 3º de E.S.O., se sigue tratando este bloque, dentro del concepto de programación espiral que se utiliza en casi toda la enseñanza de las Matemáticas, con otros temas que insisten, en mayor profundidad, en lo dado en 2º.También hay que considerar que, esta Unidad, así como otras de resolución de ecuaciones, pertenecientes al bloque de Álgebra, tiene una proyección muy importante en las distintas modalidades de Bachillerato, puesto que, ya sea obviamente en el de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud o en el Tecnológico, ya sea en el de Ciencias Sociales y Humanas, en su itinerario de Ciencias Sociales, es de una importancia capital el dominio de la resolución analítica y gráfica de los sistemas de ecuaciones y el estudio de sus distintos tipos, así como de las interpretaciones geométricas de sus soluciones.Por otro lado, como ya habíamos señalado al comienzo de este apartado, es importante subrayar que, transversalmente, es decir, en el ámbito del mismo curso en el que nos encontramos (4º de E.S.O.), el bloque de Números y Álgebra, en general, y este tema en particular, mantienen una relación colateral, casi de dependencia, con otros temas tan importantes como, por ejemplo, la resolución de ecuaciones de 1º y 2º grado, la representación gráfica de funciones, etc. Es por ello, por lo que, estos temas, se deben tratar de una forma conjunta y no en compartimentos estancos que evitan que el alumno/a relacione los conceptos y utilice los procedimientos de una forma globalizadora y razonada.Para terminar, queda reseñar que los conocimientos previos que los alumnos/as deben poseer para poder abordar esta Unidad son de índole básica. Basta con que tengan un buen manejo, por otro lado normal en esta etapa del proceso de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas, de las operaciones básicas con los números reales, que tengan adquirido (por las Unidades previas sobre ecuaciones de 1º y 2º grado) el concepto de linealidad de una ecuación y, por último, los rudimentos básicos de la representación gráfica de funciones afines y lineales (rectas).

Objetivos de la Unidad Didáctica

Al finalizar esta Unidad Didáctica, los objetivos que se pretenden conseguir son los referentes a las siguientes capacidades:

o Obtener ecuaciones equivalentes a una dada mediante suma o producto.o Comprobar si un par de números es o no solución de un sistema de

ecuaciones.o Saber distinguir los tipos de sistemas, según la existencia o no de

soluciones y el número de éstas.

o Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante cualquiera de los tres métodos analíticos: sustitución, igualación y reducción.

o Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante el método gráfico.

o Saber interpretar geométricamente el número y la existencia o no de soluciones de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.

o Plantear y resolver problemas de la vida diaria mediante un sistema de ecuaciones.

Metodología 

La metodología de trabajo del profesor/a y los alumnos/as es uno de los puntos cruciales, si no el punto clave, que enmarcan las relaciones entre todos los sujetos que conforman los procesos de enseñanza-aprendizaje. El uso de una determinada metodología, o de distintas estrategias metodológicas si hace al caso, puede hacer óptimos, por un lado, el proceso de enseñanza del profesor/a y, por otro, los procesos de aprendizaje de los alumnos/as. El profesor/a tiene un papel crítico en la creación de un clima de relaciones en el aula que transforme a ésta en un lugar de trabajo compartido.Las fases de trabajo y los recursos metodológicos que se utilizan en esta Unidad Didáctica son los siguientes:

o Planteamiento de la necesidad del estudio del tema a partir de problemas basados en situaciones reales.

o Exploración de los conocimientos iniciales de los alumnos/as y realización de actividades de refuerzo para aquellos en los que se detecte alguna laguna.

o Explicación del tema por parte del profesor/a con la intervención y participación de los alumnos/as y la realización de algunas actividades que sirvan para desarrollar determinados aspectos del tema.

o Realización de actividades de consolidación del tema.o Resolución de problemas y actividades de refuerzo o ampliación según sea

el caso.o Realización de tareas de investigación en equipo. Posteriormente, los

resultados de cada grupo en el trabajo de investigación serán expuestos en clase, debatidos los resultados diferentes entre los grupos, etc.

Además de estas "fases", hay que tener en cuenta la utilización de diferentes recursos metodológicos o estrategias didácticas entre las que se pueden mencionar:

o Resumir y sistematizar el trabajo hecho relacionándolo con actividades anteriores.

o Orientar y reconducir el trabajo de los alumnos/as, ya sea individual o en grupo.

o Crear un ambiente de trabajo que facilite las relaciones de comunicación durante la clase, sin agobios de tiempo.

o Hacer entender a los alumnos/as que los errores son una poderosa fuente de aprendizaje.

o Estructurar la secuencia de tareas que han de realizar los alumnos/as.o Individualizar, dentro de lo posible, el seguimiento del aprendizaje de cada

alumno/a.o Coordinar los distintos ritmos de trabajo y de adquisición de conocimientos.o Explicitar el proceso y los instrumentos de evaluación.o Evaluar la metodología a posteriori.

Por último, hay que hacer mención de la importancia que tienen, desde el punto de vista metodológico y didáctico, distintos aspectos como la utilización del tiempo, del espacio, del agrupamiento flexible de alumnos/as, etc.:

o En la utilización del tiempo, el profesor/a debe tratar de distribuir los tiempos entre los distintos tipos de tareas que los alumnos/as van a realizar con él: intervenciones del profesor/a, diálogos abiertos, trabajo individual, trabajo en grupo, exposiciones de alumnos/as, debates, etc.

o El espacio físico en el que se desarrollan los procesos de enseñanza-aprendizaje es un elemento muy importante en dichos procesos. Hay que tener en cuenta la distribución de las mesas según sea el tipo de trabajo que se vaya a realizar(individual, en grupo, exposición, etc.); se deben tener a mano los recursos materiales que sean necesarios en cada momento de la unidad didáctica, etc. A veces, será necesario dividir al grupo-clase en dos o más subgrupos de trabajo, por ejemplo, si es necesaria la utilización del aula de informática, o dar la clase en el exterior del edificio si hay que realizar algunas mediciones, utilizar la biblioteca del centro, el salón de actos, etc.

o El agrupamiento de los alumnos/as debe ser flexible, es decir, los alumnos/as deben poder tener respuesta puntual en función de sus diferencias en niveles de conocimiento, ritmos de aprendizaje, interés y motivación, etc. También se diferenciarán los agrupamientos de alumnos/as en la realización de trabajos en pequeños grupos, refuerzos para alumnos/as con un ritmo de aprendizaje más lento, ampliación para alumnos/as con un ritmo más rápido, realización de talleres, utilización de diversos recursos materiales (ordenadores, libros de consulta, etc.), y, en general, en función de la naturaleza de las diferentes actividades que se realicen.

En cuanto a las distintas formas de agrupamiento de los alumnos/as, éstas dependerán del momento de desarrollo de la unidad en que nos encontremos. En general, el agrupamiento será de todo el grupo-clase, salvo en las siguientes situaciones:

Realización de tareas de investigación en grupo: En este caso se reunirán en pequeños grupos de tres o cuatro alumnos/as como máximo.

Realización de actividades de refuerzo o ampliación: En estos momentos se agruparán en función de los distintos ritmos de aprendizaje.

Actividades 

Las actividades que proponemos para esta Unidad Didáctica se dividen en varios tipos según su grado de dificultad y el momento de su resolución, por parte del alumno, en el desarrollo de la Unidad. Así, tendremos los siguientes tipos de actividades:

o Iniciales o De desarrollo o De consolidación o De refuerzo o De ampliación o Trabajos en equipo y tareas de investigación

De cada uno de estos bloques de actividades proponemos, a manera de ejemplo, algunos ejercicios, sin que esto signifique que en el desarrollo de la Unidad sólo se realicen esos ejercicios.

Actividades iniciales

Entendemos como actividades iniciales aquellas que se realizan, o bien antes de empezar el tema, para introducirlo, o bien al principio del mismo, para ir motivando al alumno/a y hacerle comprender los objetivos que puede ir alcanzando a lo largo del desarrollo de la materia. Proponemos como ejemplos de actividades iniciales las siguientes:En esta actividad, lee los pasos siguientes con atención, puesto que cada uno de ellos está relacionado con el anterior, y contesta las preguntas que se te proponen:

a. Busca parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, parejas de números cuya diferencia sea 2.

Esta "pareja" de chavales suman 10 años

b. ¿Cuántas parejas hay de cada tipo?. ¿Seguro?. ¿Has considerado sólo los números enteros o has trabajado también con racionales?. Si no lo has hecho, hazlo ahora. ¿Cuántas te salen ahora de cada tipo?.

c. Tomando cada pareja de cada uno de los dos tipos como un par (x, y), represéntalas en unos ejes coordenados (ambos conjuntos de pares de números en los mismos ejes).

d. ¿Qué figuras se han formado en la representación?. ¿Serías capaz de poner en forma de ecuaciones las dos figuras que te han salido en la gráfica?

e. ¿Cuántos pares de números de los que has hallado y representado cumplen las dos cosas?, es decir, ¿cuántos pares de números hay que sumen 10 y cuya diferencia sea 2?

f. Considerados como puntos (par de coordenadas), ¿dónde está(n) situado(s) en la gráfica?

g. Si has hallado en un apartado anterior las ecuaciones, ¿qué significado crees que tendrá el (o los) punto(s) que cumple(n) ambas condiciones?

Actividades de Desarrollo 

Estas actividades de desarrollo son las que los alumnos/as deben ir realizando a lo largo del tema, por ello, son actividades que, en principio, no van más allá de comprobar si se han adquirido los procedimientos relativos al primer nivel de utilización de los conocimientos. A modo de ejemplo, proponemos las siguientes:

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando, para cada uno de ellos, un método analítico distinto:

a.

b.

c.

2. Los sistemas de ecuaciones del ejercicio anterios, ¿de qué tipo son?. Clasifícalos.

3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante un cualquiera de los métodos analíticos y mediante el método gráfico. Clasifica el sistema según sus soluciones.

4. Alberto cambia 1940 ptas. en dólares y euros. Le dan 8 euros y 4 dólares. Después, cambia para un amigo 3190 ptas. y le dan 10 euros y 10 dólares. ¿A qué cambio, en pesetas, se han cotizado el euro y el dólar?

Actividades de Consolidación 

Las actividades de consolidación, como su propio nombre indican, son las que van ayudar a los alumnos/as a consolidar los conocimientos adquiridos a lo largo del desarrollo de la Unidad Didáctica.

Actividades de refuerzo

Estas actividades de refuerzo son de un nivel de contenidos algo más bajos y van dirigidas a aquellos alumnos/as que tienen algunas dificultades de aprendizaje al adquirir los procedimientos de esta Unidad Didáctica. A modo de ejemplo, proponemos las siguientes:Actividades de ampliacionLas actividades de ampliación van dirigidas a aquellos alumnos/as que han adquirido perfectamente los conceptos, procedimientos y actitudes de la Unidad Didáctica y necesitan un nivel más alto que esté acorde con sus capacidades.

Trabajos en equipo y tareas de investigación 

Al final de la Unidad Didáctica se proponen unos trabajos de investigación para realizar en equipo. Con ello se pretende estimular la capacidad de observación, deducción, análisis, etc. de los alumnos/as. Además se refuerzan actitudes como el trabajo en equipo, la solidaridad, etc

Criterios e instrumentos de evaluación 

Teniendo en cuenta los objetivos que nos marcamos para esta Unidad Didáctica, los criterios de evaluación que se van a seguir son los que nos van a permitir evaluar la capacidad del alumno para:

o Utilizar los números reales y las operaciones con la notación habitual en el cálculo escrito y en la resolución de problemas.

o Resolver problemas de la vida cotidiana por medio de la simbolización de las relaciones que existen entre ellos y, en su caso, de la resolución de sistemas lineales de ecuaciones.

o Utilizar y valerse de las virtudes del lenguaje algebraico para representar situaciones y resolver problemas.

o Utilizar adecuadamente los conceptos sobre representación gráfica de funciones, juzgando la elección de escalas, intervalos, precisión, etc.

o Presentar en los cuadernos y en las manifestaciones orales procesos bien razonados del trabajo matemático y argumentar con criterios lógicos; ser flexible para cambiar de punto de vista en función de la argumentación convincente de los compañeros/as y perseverar en la búsqyeda de soluciones para las actividades, especialmente en el caso de los problemas.

Instrumentos de evaluación

Los instrumentos que se van a utilizar en esta Unidad Didáctica para evaluar el proceso de aprendizaje de los alumnos/as son, adecuados a los criterios de evaluación y a los objetivos y contenidos de esta unidad, los siguientes:

La observación sistemática de las actitudes personales del alumno/a, de su forma de organizar el trabajo, de las estrategias que utiliza, de cómo resuelve las dificultades que se encuentra, etc. En concreto, en esta unidad didáctica, además de en otras situaciones más generales, hay que extremar la observación en los grupos de dos alumnos/as que trabajan juntos en el aula de informática, en las tareas de investigación en equipo e, individualmente, en la resolución de las actividades y de los problemas que se les encomienden.

La revisión y análisis de los trabajos de los alumnos/as es otro instrumento que nos permite comprobar los materiales que han ido "produciendo" los alumnos/as a lo largo del desarrollo de la unidad. Se debe revisar y corregir de forma continua el cuaderno de clase; se revisarán y corregirán los trabajos individuales, en equipo o de investigación que presenten los alumnos/as, así como las conclusiones que presenten de su trabajo en el aula de informática; se analizarán sus exposiciones orales en las puestas en común, así como sus actuaciones, para la resolución de ejercicios, en la pizarra; etc.

La entrevista con el alumno/a, ya sea individualmente, ya sea en pequeños grupos, es un instrumento de gran utilidad, sobre todo en este tipo de unidades en las que predomina el trabajo práctico. En esta unidad, por ejemplo, se plantean muchas dudas en los alumnos/as a la hora de interpretar las representaciones gráficas y en la elección del método de resolución de los sistemas, así como del planteamiento de los problemas, y el profesor/a puede aprovechar el momento de la resolución de esas dudas para "investigar" el caudal de aprovechamiento del alumno/a y la intensidad de su ritmo de aprendizaje.

Una vez utilizados todos los instrumentos anteriores, y realizadas las actividades de refuerzo y ampliación necesarias, así como las tareas de investigación que se les han propuesto a los alumnos/as, se puede realizar una prueba específica de evaluación de la unidad. En este tipo de prueba y, en esta unidad didáctica en concreto, optamos por la realización de una prueba que combine en ella distintos tipos de actividades. Es decir, una prueba objetiva que permita poner de manifiesto las capacidades y

actitudes del alumno/a y que, a su vez, contenga actividades de aplicación inmediata de técnicas, actividades que demuestren la destreza del alumno en las técnicas de cálculo, resoluciones de problemas en los que se observe la elección de estrategias por parte del alumno/a, etc.

Por último, es importante realizar, al final de cada unidad didáctica, una reflexión sobre lo aprendido y cómo se ha aprendido y, también, sobre lo enseñado y cómo se ha enseñado, es decir, un ejercicio de autoevaluación y de coevaluación que ayude a mejorar, por un lado, el proceso de aprendizaje del alumno/a y del grupo-clase y, por otro, la práctica docente. 

Aspectos históricos 

Tradicionalmente, se ha asignado la paternidad del Álgebra a los matemáticos árabes. En realidad, el mérito de éstos radica en la recopilación y ampliación de los conocimientos de matemáticos babilónicos, egipcios, hindúes y griegos.Es de todos conocido el código, grabado en una estela de diorita, del rey babilónico Hammurabi, cuyas leyes regían la sociedad babilónica y que actualmente está en el Museo del Louvre. Es, sin embargo, menos conocido que, en diversas excavaciones arqueológicas, se han encontrado tablillas de arcilla de su época en las que se plantean y solucionan sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas.Los sistemas de ecuaciones lineales, por tanto, fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida.Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser:anchura = 20, longitud = 30

Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de reducción. En nuestra notación, sería:

y + 4x = 28 y + x = 10

restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18, es decir, x = 6 e y = 4.También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a. de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refieren a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos, de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:

x + ax = b x + ax + bx = c

donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón.Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente:

"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".

En notación moderna, la ecuación sería:

x + 1/7 x = 24

Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada. Sin embargo, una de las dificultades que encontramos en su resolución de ecuaciones es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.

Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.

El libro "El arte matemático", de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.Uno de los períodos más fructíferos de la ciencia en China tuvo lugar con el reinado de la dinastía Sung (960-1279). Coincidiendo con el declive de esta dinastía, en el siglo XIII, el desarrollo del Álgebra alcanzó cotas elevadas en este pais.Actualmente se conservan admirables trabajos de cuatro matemáticos chinos: Qin Jiu-shao, Yang Hui, Zhu Shi-jie y Li-Ye. De este último se conservan dos textos: Tse yuan hai jing (Espejo marino de las medidas del círculo) y Yi gu yan duan (Nuevos pasos del cálculo). Ambas obras reducen problemas geométricos a problemas algebraicos planteando el método tian-yuan (método de los elementos celestiales) para la resolución de las ecuaciones algebraicas.

El método tian-yuan se introdujo en Europa varios siglos después, en el siglo XV con Al-Kasi, en el año 1600 con François Viète (Vieta) y en 1804 con Paolo Ruffini.La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

Definición. Soluciones. Equivalencia de sistemas. 

DefiniciónUn sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma:

ax + by = pcx + dy = q

donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los coeficientes y p y q son los términos independientes.Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser:

x + y = 10x - y = 2

Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que cumplan a la vez las dos.Los sistemas de ecuaciones responden a planteamientos de problemáticas muy diversas. Por ejemplo, el sistema que hemos propuesto más arriba, podría ser el planteamiento para resolver un problema de este tipo:

Entre lápices y gomas tengo diez piezas de material escolar. Tengo dos lápices más que gomas. ¿Cuántos lápices y cuántas gomas tengo?

Los sistemas de ecuaciones nos ayudan, por tanto, a plantear y resolver problemas parecidos al redactado en el párrafo anterior. Vamos pues, en

esta Unidad, a profundizar en el conocimiento y manejo del planteamiento y la resolución de estos problemas utilizando como herramienta los sistemas de ecuaciones.

Soluciones

En el ejemplo anterior, decíamos que buscábamos un par de números que cumplieran las dos ecuaciones del sistema. Pues bien, ese par de números (x, y) que satisface ambas ecuaciones de un sistema se llama solución del sistema de ecuaciones.En el caso del problema que utilizamos como ejemplo, la solución vendría dada por el par de números (6, 4), es decir, x = 6 e y = 4. Por tanto, la respuesta del problema planteado sería que tengo seis lápices ycuatro gomas. Debemos insistir en que 6 y 4 no son dos soluciones del sistema, sino que es una solución y ésta está formada por dos números.

¿Quiere decir esto que siempre un sistema de ecuaciones tiene un par de números por solución? Pues no. En realidad, un poco más adelante en la Unidad veremos que un sistema de ecuaciones puede que no tenga solución, e, incluso, puede que tenga infinitas soluciones. Esto dependerá del tipo de sistema de que se trate.

Equivalencia de sistemas

Para poder hablar de sistemas equivalentes, vamos a hacerlo primero de ecuaciones equivalentes.

Supongamos que tenemos en una balanza un bote azul y dos verdes que pesan 7 kg. Esto lo podemos expresar como una ecuación de la forma: a + 2v = 7. Si en ambos platos de la balanza ponemos una pesa de 3 kg., la balanza seguirá equilibrada. Esta última acción se escribiría en la ecuación así: a + 2v + 3 =

7 + 3, es decir, a + 2v + 3 = 10. Estas dos ecuaciones tienen la misma solución y se dice que son ecuaciones equivalentes.De la misma forma, si, en vez de sumar la misma cantidad, se multiplican los dos miembros de una ecuación por la misma cantidad, ambas ecuaciones tendrán la misma solución. Es decir:Si se suma una misma cantidad a los dos miembros de una ecuación o se multiplican ambos por un mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.Bien, pues una vez definido el concepto de ecuación equivalente, ya podemos definir el de sistemas equivalentes:Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la(s) misma(s) solución(es).Aunque ya conozcamos la definición, debemos saber también qué operaciones nos permiten pasar de un sistema de ecuaciones a otro equivalente. Pues bien, son las siguientes:

o Sumar un mismo número (no una incógnita) a ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema.

o Multiplicar ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema por un número distinto de cero.

o Sumar una ecuación a otra previamente multiplicada por un número cualquiera.

o Despejar una incógnita en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

Mediante cualquiera de los métodos relacionados antes se obtiene un sistema equivalente al dado y que, por tanto, tendrá las mismas soluciones que el primitivo.

Clasificación de sistemas En realidad, los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar por diversos motivos, es decir, atendiendo a diversas propiedades de los mismos. Por ejemplo, se pueden clasificar según el grado de las ecuaciones. Tendríamos entonces:

Sistema lineal: si todas las ecuaciones son lineales. Sistema no lineal: si no todas las ecuaciones son lineales.

De estos dos tipos de sistemas, nosotros estamos tratando en esta Unidad los sistemas lineales.Por otro lado, también se pueden clasificar los sistemas según el número de ecuaciones o de incógnitas que tengan, es decir, podríamos hablar entonces de:

Sistemas de dos ecuaciones. Sistemas de tres ecuaciones. etc. . . . .

O bien de: Sistemas de una incógnita.

Sistemas de dos incógnitas. Sistemas de tres incógnitas. etc. . . . .

En estos casos, debemos dejar claro de nuevo que, en esta Unidad, estamos estudiando los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por tanto, cuando hacemos referencia a una clasificaciónde los sistemas, estamos aludiendo a aquella que los etiqueta y distingue según la existencia o no de soluciones y, en el primer caso, el número de ellas. Esta, la más importante, clasificación de los sistemas es la siguiente:

I. Sistema compatible: es el que tiene solución. Dependiendo del número de soluciones puede ser:

i. Sistema compatible determinado si tiene una única solución.ii. Sistema compatible indeterminado si tiene múltiples soluciones.

II. Sistema incompatible: es el que no tiene solución.

Más adelante, cuando veamos la interpretación gráfica o geométrica de los sistemas de ecuaciones y, por tanto, el método gráfico para resolverlas, seremos conscientes de que cuando hablamos de múltiples soluciones, en realidad, estamos hablando de infinitas soluciones. Es decir, un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones.Antes de desarrollar en el siguiente punto los distintos métodos de resolución de los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, vamos a ver algunos ejemplos de los tipos de sistemas que hemos mencionado en esta sección:

Sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Sistema no lineal de tres ecuaciones con una incógnita

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas

Métodos analíticos de resolución: Sustitución 

Antes de centrarnos en el método de sustitución, vamos a hablar de algunas generalidades sobre la resolución de los sistemas de ecuaciones. En primer lugar, hay que saber que, en realidad, resolver adecuadamente un sistema es un proceso que consta de dos fases: discusión y resolución. La discusión consiste en clasificar el sistema según el esquema visto en la sección anterior, es decir, analizar si el sistema tiene o no solución y, en caso de tenerla, cuántas soluciones. Por otro lado, para la resolución, una vez comprobado que el sistema tiene solución, se utilizará uno de los métodos que en esta Unidad se describen.

En principio, por tanto, la discusión es un proceso anterior al de resolución. Ahora bien, estas fases sólo se realizan en ese orden cuando se utilizan métodos para la resolución de los sistemas distintos de los que veremos en este nivel y que, por tanto, quedan fuera del ámbito de este curso. Por ello, en este momento, ambos procesos, la discusión y la resolución del sistema, se harán de manera simultánea.

En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en esta Unidad, que no son todos como ha quedado indicado más arriba, se dividen en dos grupos: métodos analíticos y método gráfico. Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión) del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de la equivalencia de sistemas, ya vista anteriormente, y simples operaciones aritméticas. Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres: sustitución, igualación y reducción. Por contra, el método gráfico (sólo hay uno), consiste, como su propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la representación gráfica de sus ecuaciones.De ahora en adelante, iremos viendo, uno por uno, los diferentes métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones y, al mismo tiempo, cómo, simultáneamente, se puede ir haciendo, en cada caso, la discusión del sistema. Vamos a empezar pues con el método de sustitución:

De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:

i. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.ii. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la

ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.iii. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación

despejada obtenida en el primer paso.iv.

Evidentemente, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.Hemos mencionado, en los párrafos anteriores, que, de manera simultánea, se puede ir haciendo la discusión del sistema. ¿Cómo?. Pues bien, si en el proceso de sustituir la incógnita despejada en el primer paso en la otra ecuación e intentar resolverla nos quedase una expresión del tipo "0 = 0", o "K = K", siendo K un número cualquiera (por ejemplo, 4 = 4), tendremos que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Esto se debe a que, en ese caso, una de las ecuaciones es múltiplo de la otra y el sistema quedaría reducido a una sola ecuación, con lo que habría infinitos pares de números (x, y) que la cumplirían. Este tipo de ecuación (0 = 0) se llama ecuación trivial.

Por otro lado, si la ecuación que nos resultase en el proceso anteriormente explicado fuera de la forma "K = 0", siendo K cualquier número distinto de 0, tendremos que el sistema es incompatible por lo que, en ese caso, no tiene solución. Esto es claro por la imposibilidad de la expresión aparecida. Este tipo de ecuación (K = 0) se llama ecuación degenerada. No habría, por tanto, ningún par de números (x, y)que cumplieran ambas ecuaciones del sistema.

Por último, si no nos encontramos, al resolver el sistema, ninguna de los tipos antes descritos de ecuaciones (triviales y degeneradas) y llegamos, al final de su resolución, a un valor para la incógnita x y a otro para la y, estos dos valores formarán el par (x, y) que nos da la solución del sistema y éste tendrá, por tanto una única solución y será un sistema compatible determinado.

Todas las aclaraciones de los párrafos anteriores sobre la discusión de los sistemas son válidas, no sólo para el método de sustitución, sino también para los otros dos métodos de tipo analítico, igualación y reducción, que veremos en las secciones siguientes.Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema mediante el método de sustitución:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600 y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, ya despejada. Sustituimos el valor de y = 2x en la primera ecuación, con lo que tendremos:

x + 2x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200Ahora sustituimos x = 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

y = 2x ⇒ y = 400Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros.

Métodos analíticos de resolución: Igualación 

El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

i. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.ii. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de

una incógnita que resulta.iii. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de

las ecuaciones despejadas de primer paso.

Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la elección de la incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior mediante el método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así como el sistema de ecuaciones al que daba lugar su planteamiento:Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600 y = 2xVamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:y = 2x                ⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200y = 600 - xAhora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

y = 2x ⇒ y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución.

Métodos analíticos de resolución: Reducción 

El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a utilizar en esta Unidad para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas es el método de reducción. En resumen, consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos el proceso por fases.

i. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,

ii. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.iii. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.iv. Para este paso hay dos opciones:

a. Se repite el proceso con la otra incógnita.b. Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del

sistema y se despeja la otra.

De nuevo es evidente que todas las aclaraciones hechas en la sección del método de sustitución sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resuelto por el método de reducción:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 6002x - y = 0Vamos a resolver el sistema por el método de reducción. Para ello, teniendo en cuenta que, en ambas ecuaciones, la y tiene coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas y nos quedará:

3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200A partir de este momento es cuando se pueden aplicar caulquiera de las dos posibilidades descritas más arriba. Como en secciones anteriores ya hemos resuelto esta parte del problema sustituyendo la x para despejar la y, vamos ahora a utilizar la otra posibilidad, es decir, vamos a terminar el ejercicio con la forma más pura posible de aplicación del método de reducción. Para ello, vamos a volver a aplicar el método para hallar la y sin tener que recurrir a ninguna sustitución.Multiplicamos la primera ecuación por -2 y obtendremos el siguiente sistema, equivalente al inicial:

-2x - 2y = -12002x - y = 0Si sumamos ambas ecuaciones de este sistema tendremos:

-3y = -1200 ⇒ y = 1200/3 ⇒ y = 400Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los métodos de sustitución e igualación.En la próxima sección analizaremos el último método que nos queda por ver para resolver los sistemas de ecuaciones y que, además, es el único que no es analítico, sino gráfico.

Método gráfico de resolución de sistemas 

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método

gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso dediscusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

i. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.ii. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado

obtenidas, la tabla de valores correspondientes.iii. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.iv. En este último paso hay tres posibilidades:

a. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.

b. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.

c. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Bibliografía La bibliografía utilizada para elaborar esta Unidad Didáctica ha sido la siguiente:

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