como calcular π

8/7/2019 Como calcular

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150 Diomedes Barcenas, Olga Porras

longitud, podan eventualmente calcular el area de un crculo o la longitud desu circunferencia una vez conocido el radio sin que nadie - o quiz as alguien? -se preocupara por el origen y la presencia de ese numerito magico: = 3,1416.

Mas tarde, en la Escuela Secundaria, estudiamos en mayor profundidadlos temas de area y longitud. All aprendimos que el permetro o longitudde un polgono es igual a la suma de las longitudes de sus lados y que elarea de un polgono es igual al semiproducto del permetro por la apotema;preocupandonos poco, mas bien nada, por el significado de estas formulas

matematicas.En esta etapa de nuestra formacion dimos un salto cualitativamente grande

en el estudio del numero al aprender que este numero fue profundamenteestudiado por Arqumedes mientras investigaba precisamente las nociones dearea y longitud.

Arqumedes, el mas famoso de los matematicos de la antiguedad, conocalas formulas de area y longitud para el caso de pol gonos y se propuso conocerformulas analogas para el caso de crculos y circunferencias; en la busquedade su objetivo, Arqumedes se represento la circunferencia como sucesiones depolgonos regulares inscritos y circunscritos en dicha circunferencia.

Para calcular el area de un crculo, Arqumedes construyo polgonos re-gulares inscritos y circunscritos en la circunferencia del c rculo y observo que

a medida que duplicaba el numero de lados de los polgonos, aumentaba elarea de los polgonos inscritos, mientras disminua el area de los polgonoscircunscritos.

Mediante este procedimiento observo tambien que a medida que aumen-taba el numero de lados, las areas de los polgonos inscritos y circunscritos seacercaban a un mismo valor. Este valor comun lo definio como area del crculola cual es igual a r2. Utilizando polgonos regulares de 96 lados, Arqumedeslogro la siguiente estimacion de :

3,1416 < < 3,1442;

la cual no es la primera aproximacion de ya que en La Biblia se estima con un valor de 3 y, de acuerdo con M.Kline [4] y Courant Robbins ([2]), los

egipcios usaron una aproximacion de igual a 3.16.Tampoco terminaron con Arqumedes los calculos aproximados del numero

; pues segun [1], el matematico chino Zu Chong Zhi (420-500 D.C.) calculo con una aproximacion de siete cifras al hacer la estimacion

3,1415926 < < 3,1415927.

En el siglo XVI Francisco de Vieta logro un gran avance al expresar mediante

Divulgaciones Matematicas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149159


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Calculo del numero mediante funciones trigonometricas 151

la formula

=2

1

2

1

2+ 1

2

1

2

1

2+ 1

2

1

2+ 1

2

1

2

,

lo cual permitio para la epoca un calculo de con una aproximacion de10 dgitos; mientras que en 1609, el matematico aleman Ludolf van Ceulencalculo con una aproximacion de 35 cifras; por tal razon, segun [3], losalemanes llaman a numero ludolfiano.

El advenimiento en el siglo XVII del c alculo diferencial permitio nuevosprogresos en el calculo de y ademas de la formula de Vieta aparecieron otrasexpresiones de como series y productos, entre los que se cuentan:

El producto de Wallis

2=

2

1

2

3

4

3

4

5

2n

2n 1

2n

2n + 1 x ,

la serie de Leibnitz

4= 1

1

3+

1

5

1

7+

1

9+ + (1)n1

1

2n 1+

y la formula de Euler

2

6= 1 +

1

22+

1

32+

1

42+ +

1

n2+ .

Mientras todas estas formulas utilizan matematica sofisticada, en este artculoproponemos una formula para el calculo aproximado de que a nuestro juiciose puede ensenar en la Escuela Secundaria, ya que solo usamos las funcionestrigonometricas con el entendido de que las formulas aqu propuestas no supe-ran la eficiencia de los demas, pues el expresar mediante series y productosinfinitos ha permitido, con el invento de ordenadores cada vez mas potentes,el calculo de hasta con una aproximacion de mas de seis mil cuatrocientosmillones de dgitos, un hecho lejos de los ob jetivos de estas notas.

Aqu tan solo proponemos una manera, a nuestro juicio, sencilla de apro-ximarnos al numero , una aproximacion que aunque lenta, puede resultarbastante util toda vez que segun el astronomo Newcomb (citado en [3]), unaaproximacion de con 10 decimales permite calcular el radio de la tierra conaproximacion de una pulgada.

Comenzamos por hacer la observacion de que en lugar de partir del calculodel area de un crculo mediante funciones poligonales, calcularemos la longitudde una circunferencia mediante tales aproximaciones.

En nuestra exposicion haremos de los siguientes hechos:



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Teorema 1. La longitud de un polgono regular de n lados inscrito en una

circunferencia de radio r se puede representar mediante la formula

= 2 sen

180

n

r.

En consecuencia, el permetro P del polgono regular de n lados inscritos en

una circunferencia de radio r es igual a 2n sen180

n

r.

Teorema 2. Si n denota el lado del polgono regular de n lados inscrito en

una circunferencia, entonces

2n =1

2n sec

90

n

.

En consecuencia, el permetro del polgono regular de n lados inscrito en una

circunferencia, es menor que el permetro del polgono regular de 2n ladosinscrito en la misma circunferencia.

Teorema 3. Si L y denotan respectivamente el lado del polgono regularde n lados circunscrito e inscrito en una circunferencia, entonces

L = sec

180

n

= 2R tan

180

n

.

Respecto al lado L del polgono regular de n lados circunscrito en unacircunferencia de radio r tenemos lo siguiente:

Teorema 4. El permetro del polgono regular de n lados inscrito en una cir-

cunferencia es menor que el permetro del polgono regular del mismo numero

de lados circunscrito en la misma circunferencia.

Teorema 5. El permetro del polgono regular de 2n lados inscrito en unacircunferencia es mayor que el permetro del polgono de n lados inscrito en

la misma circunferencia.

Teorema 6. En una circunferencia el permetro del polgono regular de

2n lados circunscrito en una circunferencia es menor que el permetro delpolgono regular de n lados circunscrito en la misma circunferencia.



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2 Calculo aproximado de

Es un hecho bien establecido que si Pn y Pn denotan los respectivos perme-tros de los polgonos inscritos en circunferencias de diametros d y d, entonces

Pn

d=

Pn

d= constante.

En particular, al definir la longitud de una circunferencia como l mite cuando

n tiende a infinito de la longitud de los polgonos regulares de n lados inscritosen la circunferencia, si denotamos por C esta longitud entonces c

d=constante,

donde d es el diametro de la circunferencia. Esta constante es la que se conocecomo el numero objeto de este trabajo; y dado que pn < C < Pn, dondePn denota el permetro del polgono regular de n lados circunscrito en lacircunferencia y pn el per metro del polgono regular de n lados inscrito en lamisma circunferencia tenemos que

pn < 2r < Pn;

puesto que

n sen180

n < < n tan180

n ,lo cual permite las siguientes aproximaciones de :

Para n = 3,2,598 < < 5,196;

Para n = 4,2,828 < < 4;

Para n = 5,2,938 < < 3,632;

Para n = 6,3 < < 3,464;

Para n = 10,3,09 < < 3,249;

Para n = 20,3,128 < < 3,167;

Para n = 60,3,14 < < 3,144;

Para n = 90,3,14 < < 3,142;

Para n = 360,3,1415 < < 3,1416;



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Para n = 720,3,14158 < < 3,14161;

Para n = 1800,3,141591 < < 3,141958;

Para n = 3600,3,1415922 < < 3,1415934;

Para n = 9000,3,14159259 < < 3,141592781;

Para n = 18000,3,141592638 < < 3,141592685;

y para n = 72000,3,141592653 < < 3,141592656.

3 Existencia de

Definicion

= lmn

sen

180

n

.

Como toda sucesion monotona y acotada es convergente, la existencia dellmite es consecuencia de la segunda afirmacion del Teorema 2. Esto garantizaque esta bien definido.

Teorema 7. lmn

n tan

180

n

= .

Demostracion.

lmn

n tan

180

n

= lm

nn sen

180

n

. sec

180

n

= lmn

sec

180

n

=

lo cual muestra la validez de la formula y esto a su vez muestra la existenciade .

Con el objetivo de comparar el grado de dificultad de nuestra formula conlas existentes en la bibliografa, ofrecemos una demostracion de la serie deLeibnitz la cual, dicho sea de paso, demuestra el valor del lmite de la seriepresuponiendo la existencia de [2].

Sabemos que

arctan =

0

dx

1 + x2;



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por lo tanto,

4=

1

0

dx

1 + x2;

utilizando la formula para la suma de los primeros n terminos de una progre-sion geometrica de razon r tenemos que

1 rn

1 r= 1 + r + r2 + + rn1;

lo cual se puede expresar mediante la formula

1

1 r= 1 + r + r2 + + rn1 +

rn

1 r;

y al sustituir r por x2 obtenemos

1

1 + x2= 1 x2 + x4 x6 + + (1)n1x2n2 + (1)n

x2n

1 + x2.

de donde se obtiene que

4

= 1

0

dx 1

0

x2dx + 1

0

x4dx 1

0

x6dx +

+

1

0

(1)n1x2n2dx + (1)n

1

0

x2n

1 + x2dx

= 1 1

3+

1

5

1

7+ +

(1)n1

2n 1+ (1)n

10

x2n

1 + x2dx;

como x2n1 + x2 x2n,

se tiene (1)n

1

0

x2n

1 + x2dx

1

0

x2ndx =1

2n + 1

y por lo tanto la validez de la f ormula de Leibnitz.

4 Apendice

En esta seccion demostramos todos los teoremas mencionados en la introduc-cion; omitimos la demostracion del Teorema 1 por ser demasiado conocida ymas evidente que las restantes.



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Demostracion del Teorema 2. Considere la figura 1.

Figura 1

B A

R

D

r r

O

DR = r r cos180

n=

= r

1 cos

180

n

= 2r sen2

180

2n.

Por el teorema de Pitagoras tenemos que

AR =

r2 sen2

180

n+ 4r2 sen4

180

2n;

por lo tanto, si denotamos por n la longitud del lado del polgono de n lados,

entonces



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2n

n=

r2 sen2

180

n+ 4r2 sen4

180

2n

4r2 sen2180

n

=

14 +sen4

180

2n

sen2180

n

=

14 +sen4 90

n

sen2180

n

=

1

4+

sen2 90

nsen2 90

n2sen

90

ncos

90

n

2

=

14 +sen2

90

n

4cos290

n

=

1

4+

1

4tan2

90

n=

1

2

tan2

90

n+ 1

= 12

sec2 90

n= 1

2sec 90

n.

Demostracion del Teorema 3. Considere la figura 2.

Figura 2

A

B

H

H

A B

O



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Observe que el angulo OHA es recto porque OH es radio de la circunfe-

rencia y H es el punto de tangencia de AB. Luego OH es bisectriz porque

el triangulo OAB es isosceles con OA = OB; luego, como OAB tambien esun triangulo isosceles se tiene que AHO es un angulo recto y en consecuen-

cia los triangulos AOH y AOH son semejantes. De la semejanza de estos

triangulos, si denotamos por R el radio de la circunferencia, deducimos que

R

R sec180

n

= 1212

L

L = sec

180

n

=

= 2R sen180

nsec

180

n

= 2R tan

180

n

.

Demostracion del Teorema 4. El lado Ln del polgono regular circunscrito

en una circunferencia satisface la relacion

Ln = n sec180

n .Como sec

180

n

> 1 se tiene que Ln > n y por lo tanto

nLn > nn

Esto termina la demostracion.

Demostracion del Teorema 5. Es una aplicacion de la desigualdad trian-

gular.

Una demostracion para quienes prefieran el camino trigonometrico es la

siguiente:

Si es la longitud del lado del polgono regular inscrito en la circunferencia,

entonces, por el teorema 2,

2n = 12

n sec

90

n

y por lo tanto

P2n = 2n2n = nn sec

90

n

> nn = Pn.



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