com2_tema_4_t07-2772

Tema 4: Modulaciones Digitales Paso Banda COMII

ETSETB-UPC

Este documento pretende ser una ayuda para el estudio del tema 4 de la asignatura COMII de la ETSETB (Plan de Ing. en Telecomunicaciones), UPC. Margarita Cabrera Profesora de Comunicaciones II Dept. TSC ETSETB-UPC Septiembre, 2009

COM2 (M. Cabrera) T07 1

4 Modulaciones Digitales Paso Banda ........................................................................ 2

4.1 Introduccin ...................................................................................................... 2 4.2 Densidad Espectral ........................................................................................... 2

4.2.1 Funcin de correlacin. ............................................................................ 3 4.2.2 Funcin de autocorrelacin promedio ...................................................... 4 4.2.3 Funcin de densidad espectral. ................................................................. 4

4.3 Modulaciones Lineales Paso-Banda ................................................................. 4 4.3.1 Diagrama de Bloques del Transmisor y del Receptor .............................. 6 4.3.2 ASK: Amplitude Shift Keying ................................................................. 8 4.3.3 PSK (MPSK+QPSK) ................................................................................ 9 4.3.4 Modulaciones QAM Cuadradas ............................................................. 10 4.3.5 Errores de sincronismo de portadora ...................................................... 10 4.3.6 Modulacin Offset-QPSK ...................................................................... 12 4.3.7 Ejemplo de Comparacin ....................................................................... 15

4.4 Modulaciones FSK ......................................................................................... 20 4.4.1 Condicin de ortogonalidad ................................................................... 21 4.4.2 Probabilidad de error para FSK ortogonal .............................................. 22 4.4.3 Ejemplo: 2FSK ....................................................................................... 22

4.5 Modulaciones CPM: Continuous Phase Modulation ..................................... 25 4.5.1 Modulacin y expresin de la seal CPM .............................................. 25 4.5.2 Anlisis de la fase instantnea: ............................................................... 26 4.5.3 Modulacin Minimum Shift Keying (MSK) .......................................... 27 4.5.4 Modulacin Gaussian MSK ................................................................... 32

4.6 Ejercicios Propuestos ...................................................................................... 36 4.6.1 Ejercicio 1: DPSK .................................................................................. 36


4 Modulaciones Digitales Paso Banda

4.1 Introduccin La Modulaciones Paso Banda pueden expresarse en funcin de las componentes en fase y en cuadratura, es decir, en funcin de la seal equivalente paso bajo. En el caso de modulaciones digitales, tanto la componente en fase como la componente en cuadratura resultan cada una de ellas una modulacin digital paso bajo. En este tema se presentan dos tipos de diferenciados de modulaciones digitales paso banda. Las lineales, a las que en general se las denomina QAM (Quadrature Amplitude Modulation) y las no lineales, con especial atencin a las modulaciones de frecuencia FSK (Frequency Shift Keying) y a las modulaciones de fase continua CPM (Continuoous Phase Modulation). El primer grupo, modulaciones QAM, resulta un caso particular de modulaciones fcilmente caracterizables mediante el espacio de seal. Su anlisis da lugar a un espacio de seal de dimensin L=2, donde las dos funciones de la base ortonormales coincide cada una de ellas con una de las componentes en fase y en cuadratura (I&Q a partir de este punto). El segundo grupo de modulaciones, las no lineales, en general se caracterizan pero mediante el espacio de seal, por lo que el espacio de seal se utiliza nicamente para determinadas modulaciones no lineales. En general, las modulaciones CPM se detectan mediante un receptor no ptimo y su ventaja reside en su eficiencia espectral, ya que presentan un ancho de banda reducido, comparado con modulaciones lineales.

4.2 Densidad Espectral Para calcular la funcin de densidad espectral, tenemos dos posibilidades. Una de ellas consiste en realizar el anlisis desde la perspectiva de espacio de seal, identificando las funciones de la base ortonormal generadora del espacio de seal y aplicando la teora desarrollada en el tema 3. La segunda alternativa, que conduce al mismo resultado, consiste en realizar el anlisis como proceso aleatorio paso-banda y aplicar, por tanto, la teora desarrollada en la asignatura de Comunicaciones I. Mediante ambas alternativas se ha de obtener idntico resultado. A continuacin se presenta el desarrollo desde la perspectiva de proceso aleatorio paso-banda. Se obtiene como paso previo la funcin de correlacin [ ]( , ) ( ) ( )sR t t E s t s t + = + . Dado que al tratar con modulaciones digitales, dichas seales resultan cicloestacionarias, se obtendr la funcin de correlacin promedio 1 ( ) ( , )s sTR R t t dt = + en un cicloperiodo y finalmente la funcin de densidad espectral ( )( )s sS f TF R = . En esta seccin se obtiene la funcin de densidad espectral del proceso paso banda, en funcin de la densidad espectral del proceso pasobajo, formado por las componentes en fase y en cuadratura.


4.2.1 Funcin de correlacin. Interpretando la modulacin digital paso banda como:

( ) ( )( ) ( ) cos 2 ( )sen 2c s c c c s c cs t A i t f t A q t f t = + + y considerando las componentes I&Q como procesos aleatorios de funciones de correlacin:

[ ][ ][ ][ ]

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

s

s

s s

s s

i s s

q s s

i q s s

q i s s

R t t E i t i t

R t t E q t q t

R t t E i t q t

R t t E q t i t

+ = ++ = ++ = ++ = +

se obtiene la funcin de correlacin para el proceso ( )s t :

[ ]( )

( )

( , ) ( ) ( )

[ ( )cos(2 ( ) ) ( )sen(2 ( ) )

( )cos(2 ) ( )sen(2 ) ]

s

c s c c c s c c

c s c c c s c c

R t t E s t s t

E A i t f t A q t f t

A i t f t A q t f t

+ = + =+ + + + + +

+ + =

( )( )( )( )

2

2

2

2

2

2

2

2

( , ) cos(2 (2 ) 2 ) cos(2 )

( , ) cos(2 (2 ) 2 ) cos(2 )

( , ) sen(2 (2 ) 2 ) sen(2 )

( , ) sen(2 (2 ) 2 ) sen(2 )

c

s

c

s

c

s s

c

s s

Ai c c c

Aq c c c

Ai q c c c

Aq i c c c

R t t f t f

R t t f t f

R t t f t f

R t t f t f

+ + + + ++ + + + + + + + + + + +

(1)

En general, se asume que se cumple la siguiente condicin. Si no fuera cierta, se debera retomar el anlisis desde este punto.

( , ) ( , ) 0s s s si q q i

R t t R t t + = + = Con ello, una primera simplificacin para la expresin en (1), resulta:

( )( )

2

2

2

2

( , )

( , ) cos(2 (2 ) 2 ) cos(2 )

( , ) cos(2 (2 ) 2 ) cos(2 )

c

s

c

s

s

Ai c c c

Aq c c c

R t t

R t t f t f

R t t f t f

+ =+ + + +

+ + + + + (2)

Asumiendo que el cicloperiodo de las componentes I&Q, T, es a su vez mltiplo del periodo de portadora, T 1c cf Nr T N N= = >> , propiedad que se justifica ms adelante, el promedio de la funcin de autocorrelacin en el cicloperiodo resulta:


( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

s s

s s s s

i i

q i q i

s s

R t t R t T t T

R t t R t T t T

R t t R t T t T

+ = + + ++ = + + +

+ = + + +

4.2.2 Funcin de autocorrelacin promedio Realizando el promedio de la funcin de autocorrelacin en el cicloperiodo, se obtiene:

( )( )

2

2

1

1 12

2

( ) ( , )

( , ) cos(2 ) ( , ) cos(2 )

( ) ( ) cos(2 )

c

s s

c

s s

s sT

Ai c q cT T

Ai q c

R R t t dt

R t t dt f R t t dt f

R R f

= + =+ + + =

+

4.2.3 Funcin de densidad espectral. Realizando la transformada de Fourier:

2 2 2 2

4 4 4 4

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )c c c cs s s s

s s

A A A Ai c i c q c q c

S f TF R

S f f S f f S f f S f f

= = + + + + +

(3)

Las expresiones (2) y (3) se simplifican o bien toman valores, muy particulares en funcin del tipo de modulacin considerado.

4.3 Modulaciones Lineales Paso-Banda Mediante una seal digital PAM se puede modular la amplitud, la frecuencia o la fase de una portadora sinusoidal. En 4.3 se analizan nicamente aquellas modulaciones en las que tanto la componente en fase como la componente en cuadratura de la modulacin corresponden a modulaciones PAM, denominadas en general modulaciones QAM (Quadrature-Amplitude Modulation).

[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )( ) cos 2 sen 2c c c c c cn

s t I n p t nT A f t Q n p t nT A f t +=

= + + (4)

[ ] ( )[ ] ( )

( )

( )

sn

sn

i t I n p t nT

q t Q n p t nT

+

=+

=

=

=


En general, se asume que los smbolos son equiprobables, estadsticamente independientes en tiempo y en nmero M igual a una potencia de 2.

[ ] [ ] ( ){ } 1Pr ; 2bMmI n jQ n I jQ M+ = + = = donde por comodidad se han definido smbolos complejos, haciendo coincidir la parte real del smbolo con el smbolo de la modulacin PAM correspondiente a la componente en fase y la parte imaginaria del smbolo con el smbolo de la modulacin PAM correspondiente a la componente en cuadratura. Por temas de obtencin de las diferentes seales de reloj que se utilizan tanto en el modulador como en el demodulador, es frecuente que se cumpla la siguiente relacin entre frecuencia portadora y velocidad de smbolo.

T 1c cf Nr T N N= = >> (5) En cuyo caso, se puede generar el espacio de seal a partir de las funciones:

( ) ( )( ) ( )

1

2

( ) ( ) 2 cos 2

( ) ( ) 2 sen 2i c c

q c c

t t p t f t

t t p t f t

= = + += = + (6)

donde ( )p t corresponde a un pulso cualquiera elegido habitualmente en modulaciones PAM, de energa igual a uno y cuya funcin de autocorrelacin cumple las condiciones de ISI nula. El signo negativo elegido para la componente en cuadratura es til para que la representacin del espacio de seal transmitido, coincida con la representacin de la constelacin de seal tal como se define para modulaciones QAM. Obsrvese que si el pulso cumple [ ]( )pR mT m= , las dos funciones generadoras del espacio de seal presentadas en (6) cumplen las condiciones de ISI, ICI nulas:

( )( )

( ) [ ]( )

( ) ( ) ( ) cos 2

( ) ( ) ( )sen 2

( ) ( ) ( ) cos 2

( ) ( ) ( )sen 2 0

i q

q i i q

i q

q i i q

p c

p c

p

p

R R R f

R R R f

R mT R mT R mT mN m

R mT R mT R mT mN

= == = = = =

= = =

(7)

En la Figura 1, se presenta un ejemplo de funciones, para el caso en que el pulso elegido sea rectangular.

( ) ( ) ( ) ( )( )/ 21

( ) 2 cos 2 ; ( ) 2 sen 2

( ) ; ; 5; 0i c c q c c

t Tc cTT

t p t f t t p t f t

p t T NT N

= + + = += = = =

En el desarrollo de las propiedades anteriores se ha considerado que se cumple (5), pues de lo contrario, las condiciones (7), solo serian vlidas de forma aproximada.


Figura 1 Ejemplo de funciones ( ), ( )i qt t . El eje temporal se halla normalizado al tiempo de smbolo. En estas condiciones la seal QAM expresada en (4) queda expresada mediante las funciones (6)

[ ] ( ) [ ] ( )( )( ) i i q qn

s t n t nT n t nT +=

= + (8) con [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 c cA Ai qn I n n Q n = =

4.3.1 Diagrama de Bloques del Transmisor y del Receptor En la Figura 2 se presentan el diagrama de bloques funcional del modulador, tanto en la versin espacio de seal, como desde la perspectiva de Up-Conversion. Ambos esquemas son equivalentes y producen la misma seal. .

[ ]i nCodif Smbol

[ ]'b n

[ ]q n

( )q t nT

( )i t nT

( )s t

+


Figura 2 Diagrama de bloques funcional para modulaciones digitales con espacio de seal de dimensin L=2. Ambos esquemas son equivalentes. En el primero pueden distinguirse las etapas Software/Hardware. En el segundo pueden distinguirse las etapas Software/Hardware y dentro de la parte Hardware, la parte de conformacin de pulso y la parte de Up-Conversion. En la Figura 2 se presentan el diagrama de bloques funcional del receptor ptimo, tanto en la versin espacio de seal, como desde la perspectiva de Down-Conversion. Ambos esquemas son equivalentes y producen la misma probabilidad de error.

[ ]I nCodif Smbol

[ ]'b n

[ ]Q n

( )p t nT

( )p t nT

( )s t

+

cos(2 )c c cA f t +

sen(2 )c c cA f t +

( )r t

( )iy t

( )i t t MAP[ ]i k

( )qy t

( )q t t MAP[ ]q k

k dt t kT= +

[ ] [ ]i ik k +

[ ] [ ]q qk k +


Figura 3 Diagrama de bloques funcional para el receptor ptimo para modulaciones digitales paso-banda lineales. Ambos esquemas son equivalentes. En el primero pueden distinguirse las etapas Hardware/ Software. En el segundo pueden distinguirse las etapas Hardware/ Software y dentro de la parte Hardware, la parte de down-Conversion y la parte de filtro adaptado.

4.3.2 ASK: Amplitude Shift Keying Mediante este tipo de modulacin solo se presenta la componente en fase, la dimensin del espacio de seal resulta L=1 y las coordenadas [ ] [ ]2cAi n I n = modulan directamente la amplitud. El pulso utilizado es rectangular.

[ ] ( ) [ ]( ) ( )cos 2 ( )c c c i in n

s t A I n p t nT f t n t nT + += =

= + = Codificacin de smbolos y eleccin de pulso [ ]

[ ] ( ) ( )( )

2

/ 21

0, ,......, ( 1)

0, ,......, ( 1) 0,1,......, ( 1)

( )

cAi

t TTT

I n A M A

n A M A d M

p t

= = =

=

Energa media de bit:

2 2 2 21

( 1)(2 1)2 2 3 116 6

0

sM

E M Md d M M db b b M b b

mE m

+=

= = = = La BER en deteccin para canal ideal de atenuacin cero dB y ruido gaussiano es

( )2( 1) 2M db bMBER P Q = = ( )02( 1) 3( 1)(2 1) bEM bbM M M NQ =

( )iy t

( )iy t( )dp t t

2

( )2cos 2 c cf t +( )2sen 2 c cf t +

( )qy t( )dp t t

MAP

[ ]I k

MAP

[ ]Q kFPBda


4.3.3 PSK (MPSK+QPSK) Mediante este tipo de modulacin la dimensin del espacio de seal resulta L=2 y las coordenadas [ ] [ ] [ ] [ ]2 2, c cA Ai qn I n n Q n = = modulan directamente la fase de la seal portadora. El pulso utilizado es rectangular.

[ ] ( ) [ ] ( )( )[ ] [ ]( ) ( )( ) ( )

[ ]( ) ( )( )2

2

( )

Re

Re

c c

c c

i i q qn

j f tc

n

j f t ncn

s t n t nT n t nT

I n jQ n p t nT A e

A e p t nT

+=

+ +

=+ + +

=

= + = + =

Codificacin de smbolos y eleccin de pulso

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] ( )[ ]

( )

2

2

2

3 5 74 4 4 4

/ 21

cos

sen

0,1,.., ( 1)

, , ,

( )

c

c

Ai

Aq

MPSK m M

QPSK

t TTT

n n

n n

n M

n

p t

==

= = =

=

Vector de Seal:

[ ] [ ][ ][ ][ ]

[ ][ ]2

cos cossen sen

ci Ab

q

n n nn bE

n n n

= = = s

Distancia entre dos smbolos y relacin con la energa media de bit:

( )

22 1 22

1 11 2

222 22

2

cos cossen sen

cos12 2cos 4 sen

sen0

b

Mb b bM M

M

d bE

bE bE bE

= = = = =

s s

La probabilidad de error de smbolo para canal ideal de atenuacin cero dB y ruido gaussiano se puede obtener a partir de la cota superior: ( ) ( )( )022( 1) ( 1) 2 sen bEde M NP M Q M Q b =


4.3.4 Modulaciones QAM Cuadradas En las modulaciones con constelaciones cuadradas, se tiene que el nmero total de smbolos es una potencia de 4 y por tanto, el nmero de bits codificados por smbolo es par.

2 '2 2b bM = =

En estas condiciones, cada smbolo resulta [ ] [ ][ ],

.

i mi

q mq

nn

n

= = s con ,i m un valor

cualquiera de ( )1 11 12 2 2 2,.., , ,...,M Md d d d + + y ,q m un valor cualquiera de ( )1 11 12 2 2 2,.., , ,...,M Md d d d + + . Es equivalente a tener una codificacin polar de '2bM = niveles para la componente en fase, obtenida a partir de los bits pares codificados de 'b en 'b y de forma independiente una codificacin polar de '2bM = niveles para la componente en cuadratura, obtenida a partir de los bits pares codificados de 'b en 'b . En estas condiciones cada una de las ramas fase y cuadratura se puede detectar de forma independiente, y por tanto calcula su probabilidad de error tambin de forma independiente. La energa media transmitida por bit se relaciona con la distancia mnima entre smbolos d. ( )2 2 21 16s i iE Mb b b bE d = = + =

En estas condiciones, la BER en deteccin para canal ideal de atenuacin cero dB y ruido gaussiano se puede calcular nicamente para los bits de una componente, ya que coinciden entre s.

( ) ( )022( 1) 4( 1) 32 1 bb EM Md bb M NM b MBER P Q Q = = =

4.3.5 Errores de sincronismo de portadora Para evaluar el efecto de los errores de sincronismo de portadora, se considerarn las siguientes funciones en recepcin , ,( ), ( )Rx i Tx qt t , que corresponden a las funciones de la base con un error de fase de portadora: c .

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

,

,

( ) 2 cos 2 cos ( ) sen ( )

( ) 2 sen 2 sen ( ) cos ( )Rx i c c c c i c q

Tx q c c c c i c q

t p t f t t t

t p t f t t t

= + + + = += + + = +

Por tanto, a la salida del primer filtro adaptado a , ( )Rx i t , la seal muestreada, suponiendo canal AWGN ideal de atenuacin 0dB, se puede expresar como:


[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ][ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]

( ) cos sen

( ) sen cosi k i c i c q i

q k q c i c q q

y t y k k k k

y t y k k k k

= = + + += = + +

Es decir, se ha producido un giro en la constelacin de la seal:

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )cji q i q i qy k jy k k j k e k j k + = + + + o bien de forma matricial:

[ ] [ ][ ]( ) ( )( ) ( )

[ ][ ]

[ ][ ]

cos sensen cos

i i ic c

q q qc c

y k k kk

y k k k

= = + y

Los efectos sobre la constelacin de la seal, se pueden ver en la Figura 4.

Figura 4 Modulacin QPSK. Constelacin transmitida en color azul y recibida en color rojo. Se supone 4c < . Las distancias suponiendo 4c < , por ejemplo del smbolo en el primer cuadrante respecto a cada uno de los ejes, para la seal transmitida son igual a 2d y para la seal recibida son igual a ( )

( )1 42

2 42

sen

cos

dc

dc

d

d

= =

De este modo, la probabilidad de error de smbolo para nivel alto de

0

bEN errores de fase

c pequeos, se puede aproximar por:

q

q

1d

d

c2d


( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 0 02 24 4sen 4 cos 4b bE Ed de c cN NP Q Q Q Q + = +

4.3.6 Modulacin Offset-QPSK La modulacin Offset-QPSK consiste en una modulacin QPSK de pulsos rectangulares, en la que se ha limitado la mxima variacin de fase instantnea. As como en una modulacin QPSK convencional, se llegan a producir saltos de rad. entre dos smbolos consecutivos, en la modulacin Offset-QPSK (OQPSK) estos saltos de fase instantnea se reducen a la mitad 2 rad., evitando que la componente en fase y la componente en cuadratura cambien de signo simultneamente. La limitacin del mximo salto de fase instantnea, es til cuando la seal se amplifica mediante amplificadores de alta potencia, prximos a presentar un comportamiento no lineal. Como ejemplo, este tipo de amplificadores son frecuentes en transponders de satlites. El efecto sobre la seal, de las no linealidades empeore con el nivel de salto de fase, por lo que en este sentido OQPSK presenta ventajas respecto a QPSK. Para evitar que ambas componentes cambien de signo simultneamente en el transmisor, la componente en cuadratura se retarda temporalmente un tiempo equivalente a medio periodo de smbolo: 2T , y posteriormente en recepcin, en paso bajo, se retarda la componente en fase temporalmente un tiempo equivalente a medio periodo de smbolo: 2T , y de este modo quedan de nuevo las dos componentes sincronizadas. En la Figura 5 se presenta el diagrama de bloques para el transmisor OQPSK.

Figura 5 Diagrama de bloques transmisor OQPSK En la Figura 6 se presenta el diagrama de bloques para el receptor OQPSK.

[ ]I nCodif Smbol

[ ]'b n

[ ]Q n

( )p t nT

( )p t nT

( )s t

+

cos(2 )c c cA f t +

sen(2 )c c cA f t +

T/2


)(tr

( )iy t

( )dp t t

2

( )2cos 2 c cf t +( )2sen 2 c cf t +

( )qy t( )dp t t

k dt t kT= +

MAP[ ]I k

MAP[ ]Q k

FPBda

T/2

)(tr

( )iy t

( )dp t t

2

( )2cos 2 c cf t +( )2sen 2 c cf t +

( )qy t( )dp t t

k dt t kT= +

MAP[ ]I k

MAP[ ]Q k

FPBda

T/2

Figura 6 Diagrama de bloques receptor OQPSK En la Figura 7 se muestra la evolucin temporal para las componentes I&Q para modulacin QPSK y sobre la constelacin de fase se halla indicado el mximo salto de fase instantneo producido a partir del ejemplo. En la Figura 8 se muestra la evolucin temporal para las componentes I&Q para modulacin OQPSK y sobre la constelacin de fase se halla indicado el mximo salto de fase instantneo producido a partir del ejemplo.

Figura 7 Evolucin de las componentes en fase y en cuadratura y diagrama de fase para la modulacin QPSK convencional.

1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 ( )si t

T

( )sq t

34

4

434

( )s t

+

+

( )s t =

i

q

( )s t =

(1, 1) (0, 1)

(1, 0) (0,0)


Figura 8 Evolucin de las componentes en fase y en cuadratura y diagrama de fase para la modulacin Offset-QPSK.

1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 ( )si t

T

( )sq t

34

4

434

( )s t

+

+

2 2( )s t = +

i

q(1, 1) (0, 1)

(1, 0) (0,0)

2 2( )s t = +


4.3.7 Ejemplo de Comparacin Se van a analizar 5 formatos diferentes para transmitir constelaciones de 16 smbolos y compararlas entre s. El objetivo final de todas las comparaciones consiste en establecer una escala de menor a mayor aprovechamiento de energa media transmitida por bit, calculando las ganancias relativas de ( )0bEN dB . 16ASK Este tipo de modulacin es de dimensin L=1.

Figura 9 Constelacin 16ASK Clculo de la energa de bit:

( ) ( )2 ( 1) (2 1) ( 1)(2 1)2 21 6 61 1

( 1)(2 1) 2 21556 2

Pr ( 1)

4

M MM M M M M

s m m M Mm m

M Mb

E E m d d d

d d E

= =

= = = = == =

s Por tanto: 21558bE d= y 2 8155 0.0516b bd E E= = Y la BER se aproxima por:

( ) ( ) ( ) ( )0 02 1 15 0.0516 152 32 2 32 0.0258b bM E Edb bM N NBER P Q Q Q= = = =

id


16PSK

Figura 10 Constelacin 16PSK Clculo de la distancia mnima d:

( )

2 22 222

2 1 22

222 22

2

cos cos 1sen0sen

cos 12 2cos 4 sen 4 sen

sen

s M Mss

Ms M

Ms s s bM M M

M

E Ed EE

E E E bE

= = = = = = =

s s

Clculo de la energa de bit:

2 216

2 21 14 sen 16senM

b bE d d = = y 2 2 1616sen 0.609b bd E E= =

Y la BER se aproxima por:

( ) ( ) ( )0 00.6092 1 12 2 2 2 0.305b bE Edb b N NBER P Q Q Q= = = =

i

q

d


16 QAM

Figura 11 Constelacin 16QAM Clculo de la energa de bit:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2

9 9 9116 4 4 4 4 4 4

1

2 29 514 2 2 2

Pr 4 8 4

5 4

Md d d d d d

s m mm

d db

E E

d d E=

= = + + + + + =+ + = = s

Por tanto: 258bE d= y 2 85 1.6b bd E E= = Y la BER se aproxima por:

( ) ( ) ( ) ( )0 04 1 3 1.6 32 4 2 4 0.8b bM E Edb N Nb MBER P Q Q Q= = = =

i

q

d d


16 Star-QAM

Figura 12 Constelacin 16 StarQAM Clculo del radio interior respecto a la distancia mnima d:

8

2 2 28 2sen4 sen

dd r r = = Clculo de la energa de bit:

( )( ) ( ) ( )288

22 2 2 2 21 1 1 1 116 2 22sen4sen

8 8 2 2 3.5137 4s bE r r d r rd d d d E= + + = + + = + + = = Por tanto: 2 0.8784bE d= y 2 1.1384 bd E= Y la BER se aproxima por:

( ) ( ) ( )0 03 3 1.1384 34 2 4 2 4 0.5692b bE Edb N NBER P Q Q Q= = = =

i

q

d

d


Q2PSK (M=16) Este tipo de modulacin, es de dimensin L=4 y utiliza por tanto 4 funciones ortonormales cuyas coordenadas son binarias.

Las coordenadas respecto a la base de L=4 elementos son:

2

2

2

2

d

d

m d

d

=

s

Clculo de la energa de bit:

( ) ( )( )2 2 2 2 2116 4 4 4 41Pr 16 4

Md d d d

s m m bm

E E d E=

= = + + + = = s Por tanto: 214bE d= y 2 4 bd E= = Y la BER se aproxima por:

( ) ( )03 32 4 2 bEdb b NBER P Q Q= = = Tabla comparativa:

M=16

16ASK

16PSK

16 Star-QAM

16QAM

QQPSK

2bd cteE= 2 0.0516 bd E= 2 0.609 bd E= 2 1.1384 bd E= 2 1.6 bd E= 2 bd E=

( )2dQ ( )00.0258 bENQ ( )0 0.305 bENQ ( )00.5692 bENQ ( )00.8 bENQ ( )02 bENQ Ganancias Relativas de ( )0bEN dB

( )0.30510 0.025810 log10.72dB=

( )0.569210 0.30510 log2.72dB=

( )0.810 0.569210 log1.47dB=

( )210 0.810 log3.98dB=

( )2dQ para

010bEN =

0.3057 4 E-2 8.5 E-3

2.3 E-3 3.9 E-6

( )2dQ para

020bEN =

0.2363 6.8 E-3 3.7 E-4

3.2 E-5 1.3 E-10


4.4 Modulaciones FSK Las modulaciones Frequency Shift Keying (FSK), son modulaciones en las que la frecuencia de la seal modulada va variando de forma discreta. Un modo de interpretar este fenmeno es que la frecuencia instantnea coincide con una modulacin PAM polar de pulsos rectangulares, segn se expresa a continuacin.

[ ] ( )[ ]( )( ) ( )

( ) [ ]

( ) cos 2 2

cos 2 2 ( )

( ) 2 ( ); ( 1)

t

FSK c c c dn

c c c d sn

s d sn

s t A f t f a n p nT d

A f t f a n t nT nT p t nT

t f t nT a n nT nT t n T

+

= +

=+

=

= + + = + + +

= + +

(9)

donde df representa la sensibilidad de frecuencia, ( ) ( )/ 2t TTp t = y las amplitudes

[ ]a n en general se toman como valores enteros:

[ ] 1, 3,..., ( 1)ma n a M= = (10) La seal definida en (9) es de fase instantnea ( )s t continua. Es una caracterstica deseable para mantener el ancho de banda estrecho en las modulaciones de frecuencia. La frecuencia instantnea de la seal ( )FSKs t es igual a:

[ ]( ) ; ( 1)s c df t f f a n nT t n T= + +

Por tanto, el parmetro df determina la separacin entre las frecuencias instantneas correspondientes a dos smbolos vecinos: 2 df Hz. A modo de ejemplo se muestra la ocupacin frecuencial de este tipo de modulacin en la Figura 13.

Figura 13 Ocupacin espectral de los smbolos 8FSK.

cf2 df1 ( 1) df M f= ( 1) M df M f= +


4.4.1 Condicin de ortogonalidad Una condicin interesante en el anlisis de este tipo de modulacin, se presenta cuando los diferentes smbolos transmitidos son ortogonales entre s. La modulacin FSK puede expresarse como:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ; cos 2 2 ( )FSK m m c c c d m sn

s t s t nT s t A f t f a t nT p t +=

= = + + + (11)

En (11), la fase inicial de cada smbolo es ( )s nT y en general ser una variable aleatoria acotada a un nmero de valores pequeo. Vase como influye para la ortogonalidad. La condicin de ortogonalidad entre dos smbolos se expresa como:

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

[ ]

2

2

( 1)

( 1)

2

2

cos 2 2 2 2 ( ) cos 2c

c

n T

m jnT

n TA

c d m j c s d m jnT

A T

s t nT s t nT dt

f f a a t nT f a a t dt

m j

+

+

=

+ + + + + =

(12)

donde se ha considerado:

2 4N N

d m j df a a r f r = = (13)

La diferencia mnima entre smbolos m ja a es 2, tal como se han definido estas amplitudes en (10). De (13) se deduce que la mnima distancia entre smbolos (N=1) para que se cumpla la condicin de ortogonalidad entre smbolos es de:

14df r=

Para ello se debe cumplir que cf r>> y de este modo la integral del primer sumando en (12) se iguala a cero. En la deduccin de (13) se ha asumido que se va a realizar sobre la seal una demodulacin coherente. Es decir, para que las seales sigan siendo ortogonales en recepcin, el receptor debe disearse con el valor exacto de la fase de portadora, tal como se ha generado en transmisin. Si se realiza una deteccin no coherente, para preservar la condicin de ortogonalidad entre frecuencias la condicin debe ser

2N

d m j df a a Nr f r = = (14)


En la prctica, interesa elegir el mnimo valor del entero N posible, es decir N=1, ya que al aproximar las diferentes frecuencias instantneas de la seal resultante ( )FSKs t , siempre repercute en mantener el ancho de banda menor que eligiendo mayores valores de N.

4.4.2 Probabilidad de error para FSK ortogonal Cuando se tenga un alfabeto ortogonal y se realice una deteccin coherente, se puede analizar la probabilidad de error utilizando la teora de espacio de seal, tal como se present en el tema 3 para modulaciones M ortogonales: Definiendo las L=M funciones de la base como

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 cos 2 2 0m

m m c c d m sTEt s t f t f a t p t = = + + +

Aunque la fase inicial ( )0s de la funcin de la base, representa en s misma una ambigedad, no influye en la ortogonalidad, entre las diferentes funciones. Dado que todas las seales del alfabeto presentan igual energa:

2 2

2 2 ; 1,..,cA T d

s b mE bE E m M= = = = = los vectores de seal resultan

( ) 2: :1 1 "Coordenada ": :

dm st E m

= = s

y por tanto se puede hallar una cota superior para la probabilidad de error:

( ) ( )02( 1) ( 1) b bEde NP M Q M Q =

4.4.3 Ejemplo: 2FSK Este tipo de modulacin, se muestra con el objetivo de presentar un ejemplo en el que cumplindose la condicin 12df r= , se obtienen smbolos ortogonales entre s. Utilizando un nico oscilador de seal, la expresin obtenida para los smbolos

1 2( ), ( )s t s t , no es nica, pues depende de la fase inicial de la seal al principio de cada smbolo, sin embargo, se mantiene la ortogonalidad y adems, la continuidad de fase entre smbolos. Los posibles smbolos a transmitir son:


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

21 2

2

22 2

2

cos 2cos 2

cos 2

cos 2cos 2

cos 2

rc c cr

c c c rc c c

rc c cr

c c c rc c c

A f t p ts t A f t p t

A f t p t

A f t p ts t A f t p t

A f t p t

+ += + + = + + + += + = + +

En la Figura 14 se muestra la evolucin de la seal temporal para este ejemplo, a lo largo de 4 smbolos. Se ha utilizado 2cf r= , para facilitar la visualizacin de la seal. Puede apreciarse las dos formas diferenciadas resultantes para cada uno de los dos smbolos generados 1 2( ), ( )s t s t .

Figura 14 Ejemplo de modulacin 2FSK, generada a partir de un nico oscilador y considerando 0c = . Anlisis de la densidad espectral de 2FSK. El anlisis de la funcin de densidad espectral se puede plantear de forma anloga a lo desarrollado en el apartado 4.2, pero particularizado a esta modulacin. Como paso previo se identifican las componentes en fase y en cuadratura de la seal.

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) cos ( )

cos cos

t nTs s T

n

t nTT

n

i t nT rt

rt rt

+

=+

=

= + =

=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

[ ]

( ) sen ( ) sen

Q n sen ;

Q n 1 con equiprobabilidad y sin memoria

t nT t nTs s T T

n n

t nTT

n

q t nT rt rt

rt

+ +

= =+

=

= + = =

=

2 ( )s t 2 ( )s t T 1( 2 )s t T 1( 3 )s t T


Por lo que la densidad espectral para las componentes en fase y en cuadratura para este tipo de modulacin resulta:

( ) ( )( )( )

( )2 22

14 2 2

2cos4

1

( )

( )

( ) ( ) 0

s

fr

fsr

s s s s

r ri

q r

q i i q

S f f f

S f

S f S f

= + + =

= =

y para la seal paso banda:

( )24( ) ( ) ( ) ( ) ( )c s s s sAs i c q c i c q cS f S f f S f f S f f S f f= + + + + + Sustituyendo adecuadamente, se obtiene la funcin de densidad espectral para la modulacin 2FSK.


4.5 Modulaciones CPM: Continuous Phase Modulation Se trata de una modulacin de frecuencia en la que los dos principales objetivos consisten en:

Mantener el ancho de banda de transmisin acotado. Mantener continuidad en la fase instantnea de la modulacin ( )s t . En general,

no es suficiente que la fase instantnea sea continua, sino que cuanto mayor nmero de derivadas tenga continuas, el ancho de banda permanece ms acotado.

4.5.1 Modulacin y expresin de la seal CPM Para garantizar la continuidad de fase se utiliza un nico oscilador segn se muestra en la figura adjunta.

Figura 15 Esquema Modulador CPM La seal a la salida del Modulador PAM se puede expresar como:

[ ]( ) ( )n

x t n p t nT+=

= (1.15) Las amplitudes [ ]n corresponden a un alfabeto de M smbolos. M en general es potencia de 2, ya que se codifican b bits por smbolo. 2bM = .

[ ][ ] 1

1, 2,..., ( 1) 1 21..

Pr

m

m M

n M M mm M

= = = +=

=

El modulador FM genera la siguiente seal de salida:

( )( ) cos 2 2 ( ) cos 2 ( )tc c d c cs t A f t f x d A f t t

= + = + (1.16) Observaciones sobre la seal anterior: Frecuencia instantnea de la seal ( )s t :

[ ]b kMod. PAM

Mod. FM

( )CPMs t

( )x t

cf


( )1 12 2( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( )t

d ds c d c c ddt dtf t f t f x d f t t f f x t

= + = + = + Componentes en Fase y en Cuadratura:

( ) cos ( )( ) sin ( )

s

s

i t tq t t

==

Energa Media Transmitida por bit: 22s c

E Ab s b bbE PT T= = =

4.5.2 Anlisis de la fase instantnea: El mensaje determina de forma explcita la fase instantnea de la seal CPM y segn ello la expresin queda:

[ ] [ ][ ]

( ) 2 ( )

2 ( ) 2 ( )

2 ( )

t

d

t t nT

d dn n

dn

t f x d

f n p nT d f n p d

f n q t nT

+ +

= = +

=

= =

= =

(17)

donde: ( ) ( )t

q t p d

= Suponiendo pulsos ( )p t causales de duracin LT seg.,

0

(0) ( ) 0

( ) ( ) (0)t LT

q p d

q t p d P

+

= =

= =

Con las consideraciones anteriores, la expresin (17) se simplifica. La fase de la seal CPM en el intervalo de anlisis ( 1)kT t k T + se expresa como:

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

1

1

1

( ) 2 (0) 2 ( )

2 (0) 2 ( )

2 (0) 2 1 ( ( 1) )

t nTk L k

d dn n k L

k L k

d dn n k Lk L L

d dn l

t f n P f n p d

f n P f n q t nT

f n P f k l q t k l T

= = +

= = +

= =

= + =

+ =

+ + +


Es muy frecuente trabajar con pulsos ( )p t normalizados, tal que (0) ( )P p t dt T+

= = . En

estas ocasiones al cociente dfd rh f T= = , sin unidades, se le suele denominar ndice de la modulacin. La decisin de smbolos suele realizarse a partir de las muestras en instantes de muestreo que sean mltiplos del periodo de smbolo. Para tales muestras, los valores de la fase en ( 1)kT t k T + son:

( )[ ] [ ]

[ ] [ ]1

1 1

1

( ) ( 1 )

2 2 1 ( )

2 2 1 ( )

k

k L L

d dn l

k L L

dn l

t k T

f T n f k l q lT

h n f k l q lT

= = +

= =

= + =+ + =

+ +

(18)

En la expresin anterior (ltima lnea), el primer sumando representa la influencia de los smbolos transmitidos hasta ( 1)t k L T + y es debida a la integral del modulador de FM. El segundo sumando se halla influenciado por los L-1 ltimos smbolos recibidos y en general cuando la duracin del pulso ( )p t , L es 1 se interpreta como ISI, o tambin CISI, (Controlled ISI) ya que es una ISI introducida deliberadamente en el transmisor con el objeto de mantener el espectro acotado. En los apartados siguientes se revisan dos casos particulares de modulaciones CPM. Para particularizar en cada caso se ha de determinar:

- Nmero de niveles de la modulacin M. - Sensibilidad de frecuencias df que normalmente se da normalizada a la

velocidad de smbolo ( dfrh = ). - Pulso base de la modulacin PAM.

4.5.3 Modulacin Minimum Shift Keying (MSK) Consiste en un caso particular de modulacin binaria CPM. Se trabaja con la mnima separacin frecuencial necesaria para conservar ortogonalidad entre las dos portadoras:

2 1,mM = =

1 1 1 1 14 4 4 4bd b dT

f r r h f T= = = = = y el pulso elegido para la modulacin PAM es el rectangular:

( )/ 20 0

( ) ( ) 0(0)

t TT

tp t q t t t T

T P T t

= = =

En esta situacin la fase instantnea de la seal ( )s t es:


[ ] [ ][ ]

0

2

( ) 2 (0) 2 ( )

( ) ( )

t kTk L

d dn

t f n P f k p d

kT r k t kT

== + =

+ (19)

Figura 16 Pulsos de la fase y la frecuencia instantneas de MSK

( )/ 2( ) t TTp t =

tT

( )q t

T t

(0)P

bT

1 0 1 1 0 0 0 1

t

bT

t

2

( )s t

( ) ( )s df t f x t=df+

df

tt

2

( ), ( )s si t q t


Figura 17 Frecuencia y fase instantneas de la modulacin MSK y componentes en fase (continua) y cuadratura (discontinua) para una secuencia de bits determinada. Como puede observarse para el ejemplo de la Figura 17, la forma temporal de las seales I&Q es similar a la de Offset-QPSK. Esta similitud facilita el anlisis de la densidad espectral. En cuanto a la demodulacin de ambas seales (MSK y Offset-QPSK) es diferente entre s. Componentes en fase y en cuadratura resultantes:

[ ] ( ) ( ) [ ][ ] ( ) ( ) [ ]

2 22 2

2 22 2

( ) cos ( 2 )

( ) cos ( 2 )

b b

b b

b b b b

b b

t k T t k Ts bT T

k k

t k T T t k T Ts b bT T

k k

i t I k I k g t KT

q t Q k Q k g t KT T

+ +

= =+ +

= =

= =

= =

Las componentes I&Q son anlogas a las obtenidas para Offset-QPSK con pulso conformador igual a ( ) ( )2 2( ) cos b bt tT Tg t =

[ ][ ]

cos( (2 )) 1

sen( ((2 1) )) 1b

b

I k kT

Q k k T

= = = + =

Aunque el modulador y el demodulador para OQPSK y para MSK son diferentes entre s la analoga anterior es til para analizar el espectro de la modulacin MSK. Considerando la siguiente propiedad fcilmente comprobable:

( , ) ( , )

( , ) ( , ) 0s s

s s s s

i q

i q q i

R t t R t t

R t t R t t

+ = ++ = + =

Y dado que las componentes en fase y en cuadratura presentan la misma densidad espectral, se cumple que

2 222 2

( ) ( ) cos(2 ) ( ) ( )c cs s s

A As c i c i c i cS f TF A R f S f f S f f = + = + +

con

( )( )

( )( )

( )

4 4

4 4

2 2 4 4 2 24

2sen(2 ) sen(2 )221 1

2 8

22-cos(2 ) cos(2 ) cos(2 )16 8

8 1 1 1

( ) ( )r rb b

b b

r rb bs b b

b b bf f

bb br rb b rb

f T f T

i IT T f f

fT fT fTT r r f

S f P f

+ ++

+

= = + = + =

Con lo que:


( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 24 4 4

4 4 4 4

2 2

2 24 cos(2 ( ) ) 4 cos(2 ( ) ) 8 cos(2 ( ) )

( ) 1 ( ) 1 (

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

c c c c

s s s s

c c

s s

c c b c c b b c b

b bc cr r rb b b

A A A As i c q c i c q c

A Ai c i c

A f f T A f f T E f f Tr rf f f f

S f S f f S f f S f f S f f

S f f S f f

+ ++

= + + + + + = + + =

+ = ( ) ( )2 2 242 2

8 cos(2 ( ) )

) 1 ( ) 1

b c b

c crb

E f f T

f f f f

+

+

Deteccin Sub-ptima de MSK A partir de (19), se analiza a continuacin las prestaciones de la modulacin en cuanto a probabilidad de error, mediante un procedimiento de deteccin diferencial. Se considera un canal AWGN ideal de respuesta impulsional ( )t y ruido aditivo gaussiano blanco de densidad espectral 02( )

NwS f = . En condiciones de cociente 0bEN

elevado, los efectos del ruido aditivo sobre la fase de la modulacin se pueden aproximar del siguiente modo: ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) cos 2 ( ) cos 2 ( )n

c

q tc c s c c rAr t s t n t A f t t A f t t = + + + = + (20)

Para detectar la secuencia de smbolos [ ]k , a partir del ngulo de seal recibida ( )r t , previo muestreo a kt kT= , se utiliza la informacin diferencial [ ]y k definida como:

[ ] 1( ) ( )k r k r ky t t t = (21) La Figura 20 muestra el esquema completo.

( ) ( )s t w t+1z

( ) ( )s t n t+

+

kt kT=

[ ]a k[ ]y kF.P.Bda,c sf B

Detector

ngulo

Detector

smbolo

( ) ( )s t w t+1z

( ) ( )s t n t+

+

kt kT=


Detector

ngulo

Detector

smbolo

Figura 18 Detector subptimo de MSK Las muestras de seal en (21), se particularizan al considerar por un lado la ecuacin

(20) y por otro, de (19) se obtiene [ ] [ ]1 12( ) 2 (0)k kdn n

kT f n P n = =

= = : ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

1( ) ( )1 1

1 2

2 2

2 1

n k n k

c c

q t q tk r k r k k k A A

k k

n n

y t y k t t t t

n n k

k k

= =

= = = + = + =

+

A partir de la propiedad anterior se deduce que la regla de decisin es:


( )[ ]

[ ] 1 1

1 1

0a k

ka k

y t =+

=

><

Para el clculo de la probabilidad de error del sistema es necesario caracterizar la componente de ruido resultante. Para expresar la probabilidad de error se debe obtener la potencia del ruido en deteccin a partir de la seal ( )nq t , componente en cuadratura del ruido filtrado paso banda ( )n t .

[ ] 1( ) ( )n k n kc c

q t q tA Ak =

A continuacin se caracteriza estadsticamente la componente del ruido, empezando por el ruido paso banda resultante a la salida del filtro receptor. Se asume que el ancho de banda aproximado es 2sB r= . La densidad espectral del ruido paso banda ( )n t es: ( ) ( )0 02 2( ) c cs sN f f N f fn B BS f += +

La densidad espectral de la componente en cuadratura ( )nq t es: ( )0( )n sfq BS f N=

La autocorrelacin de la componente en cuadratura ( )nq t es:

( ) ( )1 0( ) ( ) sincn nq q s sR TF S f N B B = =

La autocorrelacin de la componente de ruido [ ]k es:

[ ] [ ] [ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) [ ] [ ]

2

2

02

1

10

220

2 ( ) (( 1) ) (( 1) )

2sinc 2 sinc 2( 1) -sinc 2( 1)

2

n n nc

c

bc

q q qA

sA

NEA

R m E k m k

R mT R m T R m T

N B m m m

N r m m

= + = + =

+ ==

La funcin de densidad de probabilidad del ruido es gaussiana:

[ ] ( )0

2

22

: 0,

b

NE

k N =

Una vez caracterizado el ruido la probabilidad de error resulta, considerando umbral de decisin igual a cero:


( ) ( )2 0/ 2 8 bEe NP Q Q = =

4.5.4 Modulacin Gaussian MSK Consiste en un caso particular de modulacin binaria CPM similar a MSK. Se utiliza tambin la misma separacin frecuencial pero cambia el pulso elegido para la frecuencia instantnea, ya que se elige un pulso gaussiano, en lugar de elegirlo rectangular como en la modulacin MSK. El objetivo de utilizar un pulso gaussiano, es el de reducir el ancho de banda de la seal modulada. Para ello, se genera una fase continua y de varias derivadas continuas. Como contrapartida, aparece ISI en la fase instantnea y en la frecuencia instantnea de la seal, por lo que la demodulacin de la seal deber hacerse recurriendo a algoritmos con mayor memoria que los utilizados para la modulacin MSK. Corresponde a la modulacin utlizada en el sistema de telefona mvil GSM.

2 1,mM = =

1 1 1 1 14 4 4 4bd b dT

f r r h f T= = = = =

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2/ 2 / 2 212 ln 2 ln 2ln 2 ln 2( ) 2 2 * exp bBt T t T tb b bT Tg t Q B Q B B t += =

Figura 19 Pulsos de la fase instantnea de GMSK. Donde el ancho de banda se halla normalizado. bBn rB = El ancho de banda del pulso se puede aproximar por bB y en telefona GSM se utiliza

0.3bB r=

Aproximando la duracin de los pulsos anteriores a 3 periodos de smbolo, la fase instantnea de la seal ( )s t se puede expresar como.


[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

1

22

2

2

2

( ) 2 (0) 2 ( )

2 2 ( ) 2 1 ( )

2 2 (2 ) 2 1 ( )

con ( ) ( )

t nTk L k

d dt kTn n k L

T Tk

d dn

k

d dn

t

t f n G f n g d

r n f k g d f k g d

r n f k q T f k q T

q t g d

= = =+ +

=

=

= +

+ + =

+ +

=

(22)

Nota (Deteccin de modulaciones CPM): La deteccin de las modulaciones CPM, no se plantea desde la perspectiva de espacio de seal, debido a la complejidad que supondra este planteamiento con este tipo de modulaciones. En la prctica se aborda la etapa de deteccin mediante alguno de los dos planteamientos siguientes: - Deteccin ptima implementada mediante el algoritmo de Viterbi. - Deteccin subptima basada en demodulacin diferencial. Deteccin Sub-ptima de GMSK A partir de (22), se analiza a continuacin las prestaciones de la modulacin en cuanto a probabilidad de error, mediante un procedimiento de deteccin sub-ptima. Se considera un canal AWGN ideal de respuesta impulsional ( )t y ruido aditivo gaussiano blanco de densidad espectral 02( )

NwS f = . En condiciones de cociente 0bEN

elevado, los efectos del ruido aditivo sobre la fase de la modulacin se pueden aproximar del siguiente modo: ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) cos 2 ( ) cos 2 ( )n

c

q tc c s c c rAr t s t n t A f t t A f t t = + + + = + (23)

Para detectar la secuencia de smbolos [ ]k , a partir del ngulo de seal recibida ( )r t , previo muestreo a kt kT= , se utiliza la informacin diferencial [ ]y k definida como:

[ ] 1( ) ( )k r k r ky t t t = (24) La Figura 20 muestra el esquema completo.


( ) ( )s t w t+1z

( ) ( )s t n t+

+

kt kT=


Detector

ngulo

Detector

smbolo

( ) ( )s t w t+1z

( ) ( )s t n t+

+

kt kT=


Detector

ngulo

Detector

smbolo

Figura 20 Detector subptimo de GMSK Sustituyendo (22) en la ecuacin (24) se obtiene:

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

1( ) ( )1 1

( 1)1 2

( ) ( 1)1 2

2 2

1

2(

2 ( ) 2 ( )

( ) ( )

( )

n k n k

c c

q t q tk r k r k k k A A

k TkTk k

n n

k n T k n Tk k

n n

k

n k n

y t y k t t t t

hr n g nT d hr n g nT d k

r n g d r n g d k

r n g d

= =

= =

=

= = = + =

+ =

+ =

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

( )

1)

( )1

2 21 1( 1) ( 1)

2 3

2 2 20 2

1 2 3

01 1

( ) ( )

1 ( ) 2 ( ) 3 ( )

1 2 3

k n T

T

k n T mTk L

n k L mk n T m T

T T T

T T

k n n kk

k n L k L n

r n g d k r k m g d k

r k g d r k g d r k g d k

k k k k

= =

>


( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]2 12 3 1ky t k k k k = + + + [ ] [ ]( )1 1 3k k + representa la ISI y [ ]k la muestra de ruido. A continuacin se caracteriza estadsticamente la componente del ruido, de forma anloga a la caracterizacin realizada para MSK. Se asume que el ancho de banda aproximado es 2 0.6s bB B r= = . La densidad espectral del ruido paso banda ( )n t es: ( ) ( )0 02 2( ) c cs sN f f N f fn B BS f += +

La densidad espectral de la componente en cuadratura ( )nq t es: ( )0( )n sfq BS f N=

La autocorrelacin de la componente en cuadratura ( )nq t es:

( ) ( )1 0( ) ( ) sincn nq q s sR TF S f N B B = =

La autocorrelacin de la componente de ruido [ ]k es:

[ ] [ ] [ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2

1

10

2 ( ) (( 1) ) (( 1) )

2sinc 0.6 sinc 0.6( 1) -sinc 0.6( 1)

n n nc

c

q q qA

sA

R m E k m k

R m R m T R m T

N B m m m

= + = + =

+

Por tanto no puede decirse que el ruido resultante sobre la variable de decisin sea temporalmente incorrelado. La funcin de densidad de probabilidad del ruido es gaussiana:

[ ] ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2

2

2 2.0.620 0

: 0,

0 1 sinc 0.6 1 sinc 0.6c c

sA A

k N

R N B N r

= = = =

Una vez caracterizado el ruido la probabilidad de error resulta, considerando umbral de decisin igual a cero y energa media de bit ( )

2

2cA

b rE = : ( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

0 0 1 0 1

2 2 20 0 1 0 1

2 2 20 0 0

2 21 1 12 4 4

2 21 1 12 4 40.6 1 sinc 0.6 0.6 1 sinc 0.6 0.6 1 sinc 0.6

b b b

e

E E EN N N

P Q Q Q

Q Q Q

+

+

= + + = + +


4.6 Ejercicios Propuestos

4.6.1 Ejercicio 1: DPSK Sea la modulacin DPSK (Diferencial PSK), en la que la informacin de smbolo reside en la diferencia de fases entre cada dos smbolos consecutivos. Mediante este tipo de modulacin se evita la necesidad de la deteccin coherente. Trabajando don M=4 smbolos, las fases de la seal s(t) se codifican diferencialmente segn la tabla:

k = k1 + k [ ]( ) ( )( )2( ) Re c cj f t ncn

s t A e p t nT + + +

=

=

bits 00 01 11 10 0 rad. /2 rad. rad. 3/2 rad.

Suponiendo que se cumple la condicin ; 1cf Nr N= >> , interprete la modulacin anterior como una modulacin CPM segn la expresin dada en (17), es decir identifique las funciones ( ) , ( )p t q t . Dibuje la fase instantnea de la seal para la secuencia de bits 0100111010 y observe que en realidad DPSK no es de fase continua.

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