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CAPÍTULO 1
Aplicações da IntegralIniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2
Out[1]= 4
1.1 Comprimento de arco
Fórmula do comprimento de arco no intervalo [a, b]
s = Ÿab è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + f' HxL2 x
Fórmula do comprimento de arco no intervalo [a, x]
s[x] = Ÿax è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + f' HtL2 t (1)
Daqui e do Teorema Fundamental do Cálculo segue-se que
s ' [x] = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + f' HxL2 (2)
Observe que este resultado independe do ponto a particular, a partir do qual começamos a medir o comprimento doarco. Se escolhessemos outro ponto c, em vez de a, isto só faria alterar a expressão (1) por uma constante aditivaenão mudaria a derivada (2).
EXEMPLO 1. (GA2, pág. 20) Vamos calcular o comprimento de arco dado por
f HxL = cosh x =x + −x
2
In[2]:= H∗ Definição da função cosh x = H x + −xLê2 ∗L
f@x_D :=x + −x
2
In[18]:= H∗ Gráfico da função f HxL ∗LPlot@f@xD, 8x, 0, 3<, PlotRange → 80, 9<D;
0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
4
6
8
In[3]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + f'@xD^2 , 8x, 0, b<E
Out[3]="#####################Cosh@bD2 Tanh@bD
In[4]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + f'@xD^2 , 8x, 0, b<E êê TrigToExp
Out[4]=H− −b + bL "########################H −b + bL2
2 H −b + bL
Simplificando esta expressão resultab − −b
2
Uma simples mudança de escala pode levar a um integrando que não se presta a um cálculotão fácil da integral. É o que acontece quando consideremos a função g HxL =x + −x = 2 f HxL, com a qual obtemos , para o comprimento de arco a expressão
In[5]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + 4 f'@xD^2 , 8x, 0, b<EOut[5]= $Aborted
In[35]:= H∗ Gráficos das funções f HxL e g HxL = 2 f HxL ∗LPlot@8f@xD, 2 f@xD<, 8x, 0, 3<, PlotRange → 80, 9<,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D;
0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
4
6
8
2 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[6]:= H∗ Cálculo numérico do arco aplicando a fórmula H1L ∗LNIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + 4 f'@xD^2 , 8x, 0, 2<EOut[6]= 6.11256
Nintegrate[f, {x, xmin, xmax}] calcula o valor numérico aproximado da integral de f com respeito à variável x no intervalo xmin, xmax.
EXEMPLO 2. Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de raio r, que supomos centrada na rigem dos eixos de coordenadas. Para isso basta tomasr o dobro do comprimento da semicircunferência dada por y = è!!!!!!!!!!!!!!!!r2 - x2 , -r § x § r, que jaz no semiplano superior y ¥ 0.
In[49]:= H∗ Definição da função y HxL =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 − x2 ∗L
Clear@x, y, rD;
y@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
r2 − x2
In[51]:= H∗ Gráfico da semicircunferência de raio r = 3 ∗Lr = 3;Plot@y@xD, 8x, −3, 3<D;
-3 -2 -1 1 2 3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
In[38]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L4 IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, 0, r<, Assumptions → r > 0EOut[38]= 2 π r
EXEMPLO 3. Seja calcular o comprimento do arco de curva y = x2ê3, 0 ≤ x ≤ 1, ilustrado na figura abaixo
In[21]:= H∗ Definição da função y HxL = x2ê3 ∗LClear@x, yD;
y@x_D := x2ê3
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 3
In[11]:= H∗ Gráfico da função y = x2ê3 ∗LPlot@y@xD, 8x, 0, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[24]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, 0, 1<E
Out[24]=127
I−8 + 13 è!!!!!!13 M
In[13]:= H∗ Valor numérico do resultado anterior ∗LN@%D
Out[13]= 1.43971
ExercíciosCalcule os comprimentos de arco das curvas dadas nos Exercícios 1 a 12,e faça os gráficos.
1. y = x3ê2, 0 § x § 3.
In[25]:= H∗ Definição da função y HxL = x3ê2 ∗LClear@x, yD;
y@x_D := x3ê2
In[18]:= H∗ Gráfico da função y = x3ê2 ∗LPlot@y@xD, 8x, 0, 3<D;
0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
2
3
4
5
In[27]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, 0, 1<E
Out[27]=127
I−8 + 13 è!!!!!!13 M
2. y = Hx + 1L3ê2, 1 § x § 5.
4 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[31]:= H∗ Definição da função y HxL = Hx+1L3ê2 ∗LClear@x, yD;
y@x_D := Hx + 1L3ê2
In[36]:= H∗ Gráfico da função y = Hx + 1L3ê2 ∗LPlot@y@xD, 8x, 1, 5<, PlotRange → 80, 16<D;
2 3 4 5
246810121416
In[34]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, 1, 5<E
Out[34]= −227
I11 è!!!!!!22 − 29 è!!!!!!58 M
3. Hx - 1L2 = Hy + 1L3, 0 § x § 1.
In[9]:= H∗ Definição da função y HxL = Hx−1L2ê3 − 1 ∗LClear@x, yD
y@x_D := Hx + 1L2ê3 − 1
In[4]:= H∗ Gráfico da função y = Hx + 1L3ê2 ∗LPlot@y@xD, 8x, 0, 1<, PlotRange → 80, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[66]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, 0, 1<E êê FullSimplify
Out[66]=127
I−13 è!!!!!!13 + 2 H9 + 2 21ê3L3ê2M
4. y = ln x, 1 § x § 2.
In[72]:= H∗ Definição da função y HxL = ln x ∗LClear@x, yD;y@x_D := Log@xD
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 5
In[69]:= H∗ Gráfico da função y = ln x ∗LPlot@y@xD, 8x, 1, 2<D;
1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
In[81]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, 1, 2<E êê FullSimplify
Out[81]= −è!!!2 +
è!!!5 − ArcCsch@2D + ArcSinh@1D
5. y = ln cos x, 0 § x § p ê 4.
In[95]:= H∗ Definição da função y HxL = ln cos x ∗LClear@x, yD;y@x_D := Log@Cos@xDD
In[84]:= H∗ Gráfico da função y = ln cos x ∗LPlot@y@xD, 8x, 0, π ê4<D;
0.2 0.4 0.6 0.8
-0.35-0.3
-0.25-0.2
-0.15-0.1
-0.05
In[107]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, 0, π ê4<E
Out[107]= 2 ArcTanhATanA π8EE
In[108]:= N@Log@Tan@3 π ê8DDD N@%DOut[108]= True
6. y = lnH1 - x2L, -1 ê 2 § x § 1 ê 2.
In[109]:= H∗ Definição da função y HxL = ln H1 − x2L ∗LClear@x, yD;y@x_D := Log@1 − x2D
6 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[111]:= H∗ Gráfico da função y = ln H1 − x2L ∗LPlot@y@xD, 8x, −1ê2, 1ê2<D;
-0.4 -0.2 0.2 0.4
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
In[112]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, −1ê2, 1ê2<EOut[112]= −1 + Log@9D
7. y = 1ÅÅÅÅ3 Hx2 + 2L3ê2, -1 § x § 1.
In[113]:= H∗ Definição da função y HxL = 1ê3 Hx2 + 2L3ê2∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := 1ê3 Hx2 + 2L3ê2
In[115]:= H∗ Gráfico da função y = 1ê3 Hx2 + 2L3ê2∗L
Plot@y@xD, 8x, −1, 1<D;
-1 -0.5 0.5 1
1.2
1.4
1.6
In[116]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, −1, 1<E
Out[116]=83
8. y = 2ÅÅÅÅ3 Hx2 + 1L3ê2, -2 § x § 0.
In[11]:= H∗ Definição da função y HxL = 2ê3 Hx2 + 1L3ê2∗L
Clear@x, yD;
y@x_D := 2ê3 Hx2 + 1L3ê2
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 7
In[13]:= H∗ Gráfico da função y = 2ê3 Hx2 + 1L3ê2∗L
Plot@y@xD, 8x, −2, 0<D;
-2 -1.5 -1 -0.5
1
2
3
4
5
6
7
In[14]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, −2, 0<E
Out[14]=223
9. y = x2ÅÅÅÅÅÅ2 - ln xÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 , 1 § x § 2.
In[17]:= H∗ Definição da função y HxL = x2ê2 − ln xê4 ∗LClear@x, yD;y@x_D := x2 ê2 − Log@xDê4
In[19]:= H∗ Gráfico da função y = x2ê2 − ln xê4 ∗LPlot@y@xD, 8x, 1, 2<D;
1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
In[20]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, 1, 2<E
Out[20]=14H6 + Log@2DL
10. y = x3ÅÅÅÅÅÅ3 + 1ÅÅÅÅÅÅÅÅ4 x , 1 § x § 3.
In[17]:= H∗ Definição da função y HxL = x3ê3 + 1ê4 x ∗LClear@x, yD;y@x_D := x3 ê3 + 1êH4 xL
8 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[21]:= H∗ Gráfico da função y = x3ê3 + 1ê4 x ∗LPlot@y@xD, 8x, 1, 3<D;
1.5 2 2.5 3
1
2
3
4
In[22]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, 1, 3<E
Out[22]= 4 +Log@3D
4
11. y =è!!!!xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 - 2ÅÅÅÅ3 x3ê2, 1 § x § 3.
In[27]:= H∗ Definição da função y HxL = è!!!x ë2 − H2ê3L x3ê2 ∗LClear@x, yD;
y@x_D :=è!!!!
x ë 2 − H2ê3L x3ê2
In[29]:= H∗ Gráfico da função y = è!!!x ë2 − H2ê3L x3ê2 ∗LPlot@y@xD, 8x, 1, 3<D;
1.5 2 2.5 3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
In[30]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, 1, 3<E
Out[30]= −76
+5 è!!!32
12. y = ‰x, -1 § x § 1.
In[33]:= H∗ Definição da função y HxL = x ∗LClear@x, yD;y@x_D := x
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 9
In[35]:= H∗ Gráfico da função y = x ∗LPlot@y@xD, 8x, −1, 1<D;
-1 -0.5 0.5 1
0.5
1
1.5
2
2.5
In[37]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 + y'@xD^2 , 8x, −1, 1<E êê Simplify
Out[37]=è!!!!!!!!!!!!!1 + 2 −
è!!!!!!!!!!!!!1 + 2− ArcTanhAè!!!!!!!!!!!!!1 + 2 E + ArcTanhA
è!!!!!!!!!!!!!1 + 2E
1.2 Volume de sólidos de revolução
Fórmulas do volume dos sólidos de revolução
V = Ÿab π f HxL2
x (3)
V = Ÿab π f HyL2
y (4)
Na fórmula (3) a rotação é em torno do eixo 0x e na fórmula (4) a rotação se faz em torno do eixo 0y.
EXEMPLO 1. (GA2, pág. 6) Vamos utilizar o método de revolução para calcular o volume da esfera de raio r.
In[112]:= H∗ Definição da função y HxL =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 − x2 ∗L
Clear@x, y, rD;
f@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!
r2 − x2
10 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[117]:= H∗ Gráfico da semicircunferência de raio r = 3 ∗Lr = 3;Plot@f@xD, 8x, −3, 3<D;
-3 -2 -1 1 2 3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
In[119]:= H∗ Volume da esfera de raio r pela fórmula H3L ∗LClear@rDIntegrate@π f@xD2, 8x, −r, r<D
Out[120]=4 π r3
3
EXEMPLO 2. (GA2, pág. 7) Vamos achar o volume do sólido que se obtém por rotação, em torno do eixo dos y, da figura delineada pelo arco de parábola y = è!!!!!x ( 0 § x § 4), o eixo ) y e a reta y = 2. Neste caso, como se trata de sólido de revolução em torno do eixo 0y deve-se usar a fórmula (4).
In[2]:= H∗ Gráfico da da função y= è!!!x ∗Lf@x_D :=
è!!!!x
Plot@f@xD, 8x, 0, 4<D;
1 2 3 4
0.5
1
1.5
2
In[42]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗LIntegrate@π f@yD2, 8y, 0, 2<D
Out[43]=32 π5
EXEMPLO 3. (GA2, pág. 7) Consideremos o sólido obtido por rotação em torno do eixo Oy, da figura compreen-dida entre o arco de parábola y = è!!!!x (0 § x § 4), o eixo Ox e a reta x = 4.(4).
O volume desse sólido é a diferença entre o volume do cilindro circular de raio 4 e altura h = 2, e o volume do s[olido considerado no exemplo anterior. Portanto
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 11
In[52]:= H∗ Volume do sólido de revolução ∗Lr = 4;h = 2;π r2 h − 32 π ê5
Out[54]=128 π5
Método das cascas cilíndricas
Fórmula do volume dos sólidos de revolução pelo método das cascas cilíndricas
V = Ÿab 2 π x f HxL x (5)
EXEMPLO 4. (GA2, pág. 8) Vamos calcular o volume do sólido gerado por rotação, em torno do eixo 0x, da região do plano 0xy delimitada pela curva y = 2x - x2 e o eixo 0x. Essa curva é o trecho da parábola y = 1 - Hx - 1L2 , que começa na origem, atinge um máximo no ponto x = 1 e volta ao valor zero no ponto x = 2.
In[4]:= H∗ Gráfico da da função y= è!!!x ∗Lf@x_D := 2 x − x2
Plot@f@xD, 8x, 0, 2<D;
0.5 1 1.5 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[6]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗LIntegrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 2<D
Out[6]=8 π3
ExercíciosEm cada um dos exercícios 1 a 21, calcule o volume do sólido que se obtém por rotação dada em torno do eixo indicado. Faça o gráfico em cada caso.
1. y = 3x/2, y = 0 e x =2, em volta de 0y.
12 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[7]:= H∗ Gráfico da função y = 3 xê2 ∗Lf@x_D := 3 xê2Plot@f@xD, 8x, 0, 2<D;
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
In[63]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D := 2 yê3Integrate@π f@yD2, 8y, 0, 3<D
Out[64]= 4 π
2. y = 1 - x2 , x = 0 e y = 0, em volta de 0x.
In[9]:= H∗ Gráfico da função y = 1 − x2 ∗Lf@x_D := 1 − x2
Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[65]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H3L ∗Lf@x_D := 1 − x2
Integrate@π f@xD2, 8x, 0, 1<D
Out[66]=8 π15
3. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[67]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D :=
è!!!!!!!!!!!!!1 − y
Integrate@π f@yD2, 8y, 0, 1<DOut[68]=
π2
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 13
In[43]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗Lf@x_D := 1 − x2
Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<DOut[44]=
π2
4. y = x2 , x = 0 e y = 1, em volta de 0x.
In[21]:= H∗ Gráfico da função y= x2 ∗Lf@x_D := x2
Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[32]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H3L ∗Lf@x_D := x3
π − Integrate@π f@xD2, 8x, 0, 1<D
Out[33]=6 π7
5. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[38]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D := y1ê3
Integrate@π f@yD2, 8y, 0, 1<D
Out[39]=3 π5
In[41]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗Lf@x_D := x3
π − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<D
Out[42]=3 π5
6. y = Hx + 1L1ê3 , x = 0, x = 7 e y = 0, em volta de 0x.
14 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[61]:= H∗ Gráfico da função y= Hx + 1L1ê3 ∗Lf@x_D := Hx + 1L1ê3
Plot@f@xD, 8x, 0, 7<D;
1 2 3 4 5 6 7
1.2
1.4
1.6
1.8
2
In[4]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H3L ∗Lf@x_D := Hx + 1L1ê3
Integrate@π f@xD2, 8x, 0, 7<D
Out[5]=93 π5
7. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[84]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D := y3 − 1Integrate@π f@yD2, 8y, 1, 2<D
Out[85]=163 π14
In[71]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗Lf@x_D := Hx + 1L1ê3
98 π − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 7<D
Out[72]=163 π14
8. y =1/x, y = 0, x = 1 e e x = a > 1, em volta de 0x. Considere este volume com a Ø ¶ dê uma interpretação geométrica ao resultado. Considere, em seguida, o caso 0 < a < 1 e o limite com a Ø 0.
In[102]:= H∗ Gráfico da função y = 1êx ∗Lf@x_D := 1êxPlot@f@xD, 8x, 1, 4<D;
1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.30.40.50.60.70.80.9
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 15
In[91]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D := 1êxIntegrate@π f@xD2, 8x, 1, a< , Assumptions → a > 1D
Out[92]=H−1 + aL π
a
In[93]:= Limit@%, a → ∞DOut[93]= π
9. y = x-1ê3 , y = 0, x = 1 e e x = e (0 < e < 1), em volta de 0x. Considere este volume com e Ø 0 e interprete o resultado geometricamente. Considere, também, o caso e >1 e o limite com e Ø ¶.
In[8]:= H∗ Gráfico da função y = x−1ê3 ∗Lf@x_D := x−1ê3
Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
4
6
8
10
In[13]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L; 0 < ε < 1 ∗Lf@x_D := x−1ê3
Integrate@π f@xD2, 8x, ε, 1< , Assumptions → 0 < ε < 1DOut[14]= −3 π H−1 + ε1ê3L
In[15]:= H∗ Limite quando ε → 0 ∗LLimit@%, ε → 0D
Out[15]= 3 π
In[16]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L, ε > 1 ∗LIntegrate@π f@xD2, 8x, 1, ε< , Assumptions → ε > 1D
Out[16]= 3 π H−1 + ε1ê3L
In[17]:= H∗ Limite quando ε → ∞ ∗LLimit@%, ε → ∞D
Out[17]= ∞
10. y = è!!!x , x = 0 e y = 1, em volta de 0y.
16 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[104]:= H∗ Gráfico da função y = è!!!x ∗Lf@x_D :=
è!!!!x
Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[90]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D := y2
Integrate@π f@yD2, 8y, 0, 1<DOut[91]=
π5
In[106]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗Lf@x_D :=
è!!!!x
π − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<DOut[107]=
π5
11. y = x2 - x e y = 0, em volta de 0x.
In[108]:= H∗ Gráfico da função y = x2 − x ∗Lf@x_D := x2 − xPlot@f@xD, 8x, 0, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
In[110]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D := x2 − xIntegrate@π f@xD2, 8x, 0, 1<D
Out[111]=π30
12. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 17
In[20]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗Lf@x_D := x2 − xπ ê4 − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<D
Out[21]=5 π12
13. y = x , y = è!!!!!!!!!!!!!!!1 - x2 e y = 0, em volta de 0x.
In[26]:= H∗ Acha o ponto de interseção de y = x, y =è!!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2 ∗L
SolveAx ==è!!!!!!!!!!!!!!!
1 − x2 , xE
Out[26]= 99x →1è!!!2
==
In[31]:= H∗ Gráfico das funções: y =è!!!!!!!!!!!!!!!!
1 − x2 e y = x ∗Lf@x_D :=
è!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2
PlotA8x, f@xD<, 9x, 0, 1 ëè!!!!2 =E;
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[33]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D :=
è!!!!!!!!!!!!!!1 − x2
g@y_D := y
IntegrateAπ f@xD2, 9x, 0, 1 ëè!!!!2 =E − IntegrateAπ g@xD2, 9x, 0, 1 ëè!!!!
2 =E
Out[35]=2 π
3 è!!!2
14. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[41]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D :=
è!!!!!!!!!!!!!!1 − y2
g@x_D := yIntegrate@π f@yD2, 8y, 0, 1<D − Integrate@π g@yD2, 8y, 0, 1<D
Out[43]=π3
15. y = sen x , 0 § x § p, em volta de 0x.
18 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[46]:= H∗ Gráfico da função y = sen x ∗Lf@x_D := Sin@xDPlot@f@xD, 8x, 0, π<D;
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[96]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D := Sin@xDIntegrate@π f@xD2, 8x, 0, π<D
Out[97]=π2
2
16. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[100]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D := ArcSin@yDIntegrate@π f@yD2, 8y, 0, 1<D
Out[101]=14
π H−8 + π2L
17. y = xn , y = 0 e x = 1, em volta de 0z, onde n é um inteiro positivo. Considere o limite desse volume com n Ø ¶ e dê uma interpretação geométrica do resultado.em volta de 0x.
In[62]:= H∗ Gráfico das funções y = x2, y = x4, y = x6, y = x8, y = x10∗LPlot@8x2, x4, x6, x8, x10<, 8x, 0, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.01
0.02
0.03
0.04
In[63]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D := xn
Integrate@π f@xD2, 8x, 0, 1<, Assumptions → n > 1DOut[64]=
π1 + 2 n
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 19
In[65]:= H∗ Limite quando n → ∞ ∗LLimit@%, n → ∞D
Out[65]= 0
18. y = 0, y = x2 e a reta tangente a esta curva em x = 1, em volta de 0x.
In[73]:= H∗ Gráfico da funções y = x2, y = 2 x −1 ∗LPlot@8x2, 2 x − 1<, 8x, 0, 1<, PlotRange → 80, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[70]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D := x2;g@x_D := 2 x − 1;Integrate@π f@xD2, 8x, 0, 1<D − Integrate@π g@xD2, 8x, 1ê2, 1<D
Out[72]=π30
19. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[80]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D :=
è!!!!y ;
g@y_D := Hy + 1Lê2;Integrate@π g@yD2, 8y, 0, 1<D + Integrate@π f@yD2, 8y, 0, 1<D − π
Out[82]=π12
20. y = ‰x , y = 0, x = 0, e x = 1, em volta de 0x.
In[102]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D := x
Integrate@π f@xD2, 8x, 0, 1<D
Out[103]=12H−1 + 2L π
21. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.
In[104]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D := Log@xDIntegrate@π f@yD2, 8y, 1, <D
Out[105]= H−1 + L π Log@xD2
20 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
22. Considere uma calota determinada numa esfera de raio r por um plano cuja distância ao centro da esfera é h < r. Mostre que o volume da calota é
2 p r2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 - p h3
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 - p r2 h .
1.3 Volume de um sólido qualquer
Fórmula do volume de um sólido qualquer
V = Ÿab A HxL x
Esta fórmula serve para exprimir o volume de qualquer sólido, desde que se conheça as áreas A(x) de suas seçõiestransversais, relativamente a um eixo 0x.
EXEMPLO 1. Vamos calcular o volume de um sólido cuja base é o círculo x2 + y2 § r2 e cujas seções perpendicu-lares ao eixo Ox são triângulos isósceles ABC, retângulos em A.
A área do tiângulo é dada por r2 - x2.
In[83]:= H∗ Volume do sólido ∗LA@x_D := r2 − x2
Integrate@A@xD, 8x, −r, r<D
Out[84]=4 r3
3
EXEMPLO 2. Neste exemplo vamos calcular o volume da interseção de dois cilindros circulares iguais, cujos eixos se cruzam em ângulo reto.
A área do seção é dada por Hr2 - z2L.In[87]:= H∗ Volume do sólido ∗L
A@z_D := Hr2 − z2L4 Integrate@A@zD, 8z, −r, r<D
Out[88]=16 r3
3
Princípio de Cavalieri para volumes
Se dois sólidos são tais que, relativamente a um mesmo eixo 0x, suas seções transvwesais correspondentes àmesma abscissa x têm áreas iguais A(x), então eles têm volumes iguais.
Princípio de Cavalieri para volume (forma geral). Consideremos dois sólidos de volumes V1 e V2 , respectiva-mente. Suponhamosque, Se dois relativamente a um mesmo eixo 0x, suas seções transvwesais correspondentes àmesma abscissa x tenham áreas A1 (x) e A2 (x), repectivamente, tais que A1 (x) = k A2 (x), onde k é uma constante.Então V1 = k V2 .
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 21
ExercíciosCalcule o volume dos sólidos descritos nos Exercícios 1 a 6.
1. A base do sólido é o triângulo 0 § y § 1, e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissasx são semicírculos de diâmetro y.
A área do semi-círculo de diâmetro y é dada por pH1 - xL2 ê 2
In[89]:= H∗ Volume do sólido ∗LA@x_D := π H1 − xL2 ê2Integrate@A@xD, 8x, 0, 1<D
Out[90]=π6
2. A base do sólido é o círculo x2 + y2 § r2 , e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são quadrados de lados 2
è!!!!!!!!!r^2 - x2 .
In[6]:= r = 1;Plot@8Sqrt@r^2 − x^2D, −Sqrt@r^2 − x^2D<,8x, −r, r<, AspectRatio → AutomaticD;
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
A área do quadrado é dada por 4 Hr2 - x2LIn[93]:= H∗ Volume do sólido ∗L
A@x_D := 4 Hr2 − x2LIntegrate@A@xD, 8x, −r, r<D
Out[94]=16 r3
3
3. A base do sólido é o quadrado de vértices (± 1, ± 1), e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são triângulosde base 2 e altura h(x) = 1 + x sen(px).
A área do triângulo é dada por 1 + x senHpxL.In[97]:= H∗ Volume do sólido ∗L
A@x_D := 1 + x Sin@π xDIntegrate@A@xD, 8x, −1, 1<D
Out[98]= 2 +2π
4. A base do sólido é o círculo x2 + y2 § r2 , e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são triângulos equiláteros de lados 2
è!!!!!!!!!!!!!!!r2 - x2 .
22 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[13]:= r = 1;Plot@8Sqrt@r^2 − x^2D, −Sqrt@r^2 − x^2D<,8x, −r, r<, AspectRatio → AutomaticD;
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
A área do triângulo é dada por è!!!3 Hr2 - x2LIn[99]:= H∗ Volume do sólido ∗L
A@x_D :=è!!!!
3 Hr2 − x2LIntegrate@A@xD, 8x, −r, r<D
Out[100]=4 r3è!!!3
5. A base do sólido é a figura delineada pelas curvas y = ≤ H 1 - x2L , -1§ x § 1; e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são triângulos de base 2 H1 - x2L e altura h(x) = cos(p x/2)..
In[103]:= H∗ Gráfico das funções y = ± H1 − x2L ∗LPlot@8−H1 − x2L, H1 − x2L<, 8x, −1, 1<D;
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
A área do triângulo é dada por H1 - x2Lcos(p x/2)
In[104]:= H∗ Volume do sólido ∗LA@x_D := H1 − x2L Cos@π xê2DIntegrate@A@xD, 8x, −1, 1<D
Out[105]=32π3
6. A base do sólido é a figura delineada pelas curvas y = ≤ H x + ‰x L , 0 § x § 1; e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são semicírculos de raios x + ‰x.
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 23
In[106]:= H∗ Gráfico das funções y = ± Hx + xL ∗LPlot@8−Hx + xL, Hx + xL<, 8x, 0, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
-3
-2-1
12
3
A área do semicírculo é dada p Hx + ‰xL2 ê 2
In[107]:= H∗ Volume do sólido ∗LA@x_D := π Hx + xL2 ë 2
Integrate@A@xD, 8x, 0, 1<D
Out[108]=112
H11 + 3 2L π
1.4 Área de uma figura plana qualquer
Fórmula da área área de uma figura plana qualquer
A = Ÿab l HxL x
Princípio de Cavalieri para figuras planas. Se duas figuras planas são tais que, relativamente a um mesmo eixo0x, suas seções transvwesais têm comprimentos iguais l(x), então eles têm áreas iguais.
EXEMPLO 1. Vamos calcular a área da elípse de semi-eixos a e b,
O comprimento l(x) é dada por bÅÅÅÅa è!!!!!!!!!!!!!!!!!a2 - x2 .
In[111]:= H∗ Área da figura plana ∗Ll@x_D := bêa
è!!!!!!!!!!!!!!!!!a2 − x2
4 Integrate@l@xD, 8x, 0, a<DOut[112]=
è!!!!!!a2 b π
Princípio de Cavalieri para figuras planas (forma geral). Consideremos duas figuras planas de áreas A1 e A2 ,respectivamente. Suponhamos que, relativamente a um mesmo eixo 0x, suas seções transvwesais tenham compri-mentos iguais l1 (x) e l2 (x), repectivamente, tais que Al1 (x) = k l2 (x), onde k é uma constante. Então A1 = k A2 .
24 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
Com esta fórmula geral, o cálculo da área da elípse no exemplo anterior fica imediato: a área da elípse é o produto do fator k = b/a pela área do círculo de raio a, ou seja A = (b/a) pa2 = p a b.
ExercíciosNos Exercícios 1 a 9, calcule a área da figura delineada pelas curvas dada e faça o gráfico em cada caso.
1. y = 2 x3 e y = 2 x, x = 0 e x =1.
In[114]:= H∗ Gráfico das funções y = 2 x3 e y = 2 x ∗LPlot@82 x^3, 2 x<, 8x, 0, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
1
1.5
2
In[117]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := 2 x H1 − x^2L
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, 1<D êê Simplify
Out[118]=12
2. Parábola y = x2 , eixo 0x e tangente à parabola no ponto (1,1).
In[7]:= H∗ Gráfico das funções y = x2 e y = 2 x −1 ∗LPlot@8x^2, 2 x − 1<, 8x, 0, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0.5
1
In[119]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := x2 − 2 x + 1Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, 1<D êê Simplify
Out[120]=13
3. y = x2 e y = è!!!x .
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 25
In[10]:= H∗ Gráfico das funções y = x2 e y = è!!!x ∗LPlotA9x2,
è!!!!x =, 8x, 0, 1<E;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[121]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D :=
è!!!!x − x2
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, 1<D êê Simplify
Out[122]=13
4. Parábola y = è!!!x e reta x =1.
In[126]:= H∗ Gráfico da função y = x2 e da reta y = 1 ∗Lp1 = Plot@x^2, 8x, 0, 1<, DisplayFunction → IdentityD;p2 = ListPlot@881, 0<, 81, 1<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[16]:= segmentoL@x_D := x^2
In[129]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := x2
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, 1<D êê Simplify
Out[130]=13
5. y = ‰-x , y = -‰-x , x ¥ 0 (região infinita).
26 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[134]:= H∗ Gráfico das funções y = −x e y = − −x ∗LPlot@8 −x, − −x<, 8x, 0, 3<D;
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
-0.5
0.5
1
In[135]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := 2 −x
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, ∞<D êê Simplify
Out[136]= 2
6. y = x ln x, y = 1 - x e 1 § x § 2.
In[143]:= H∗ Gráfico das funções y = x ln HxL, y = 1 − x e a reta x = 2 ∗Lp1 = Plot@8x Log@xD, 1 − x<, 8x, 1, 2<, DisplayFunction → IdentityD;p2 = ListPlot@882, −1<, 82, 2 Log@2D<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1.2 1.4 1.6 1.8 2
-1
-0.5
0.5
1
In[138]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := x Log@xD + x − 1Integrate@segmentoL@xD, 8x, 1, 2<D
Out[139]= −14
+ Log@4D
7. y = sen3 x, 0 § x § p.
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 27
In[27]:= H∗ Gráfico da função y = sen3 HxL, 0 ≤ x ≤ π ∗LPlot@Sin@xD3, 8x, 0, π<D;
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
In[146]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := Sin@xD3
Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, π<D
Out[147]=43
8. y = x ‰-x , y = -x cos(x), 0 § x § p/2.
In[169]:= H∗ Gráfico das funções y = x −x, y = −x cos HxL, 0 ≤ x ≤ πê2 ∗Lp1 = Plot@8x −x, −x Cos@xD<, 8x, 0, π ê2<, DisplayFunction → IdentityD;p2 = ListPlot@88π ê2, 0<, 8π ê2, π −πê2 ê2<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
-0.4
-0.2
0.2
In[172]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := x −x + x Cos@xDIntegrate@segmentoL@xD, 8x, 0, π<D
Out[173]= − −π H1 + π + πL
9. y = è!!!x ln(x), y = -x ln(x), 1 § x § 2.
28 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb
In[176]:= H∗ Gráfico das funções y = è!!!x ln HxL, y = −x ln HxL, 1 ≤ x ≤ 2 ∗Lp1 = PlotA9è!!!!
x Log@xD, −x Log@xD=, 8x, 1, 2<, DisplayFunction → IdentityE;
p2 = ListPlotA982, −2 Log@2D<, 92,è!!!!
2 Log@2D==,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityE;
Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
1.2 1.4 1.6 1.8 2
-1
-0.5
0.5
1
In[185]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := Iè!!!!
x + xM Log@xDIntegrate@segmentoL@xD, 8x, 1, 2<D
Out[186]= −34
+ Log@4D +49I1 − 2 è!!!2 + è!!!2 Log@8DM
Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 29
CAPÍTULO 2
Aproximação de Funções por PolinômiosIniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗LOut[1]= 4
2.1 Introdução
De todas as funções que temos utilizado até agora as mais simples são as funções polinomiais. Nas funçõespolinomiais, como por exemplo
p(x) = 5 - 3x - x2 + 2 x3,
so entram operações elementares, soma, subtração e multiplicação.
Funções não polinomiais, como
f(x) = x ë I2 +è!!!x M, y = sen x, g(x) = arc tg x,
envolvem operações não elementares. Consequentemente, elas são mais complicadas de serem manuseadasalgebricamente que as funções polinomiais.
Felizmente, isto não chaga ser um problema série. Pois, funções não polinomiais podem ser aproximadas porpolinômios. Por exemplo, o polinômio liear
p(x) = 1 + x/2
aproxima a função è!!!!!!!!!!!!!1 + x para |x| pequeno.
A possibilidade de aproximar funções por polinômios é de suma importância, pois permite obter propriedades dasfunções em termos de propriedades análogas dos polinômios que as aproximam. E não é só isso, o cálculo devalores numéricos de uma certa função, em geral, só pode ser feito aproximadamente, utilizando-se um polinômioqure aproxime a função.
Vizinhança
A aproximação de uma função por um polinômio se processa na vizinhança de um ponto x0 , por isso mesmoéconveniente esclarecer este conceito. Chamamos vizinhança de um ponto x0 a qualquer intervalo com centro nesseponto, isto é, qualquer conjunto do tipo
VdHx0L = 8x : x0 - d < x < x0 + d<
onde d é um número positivo que caracteriza a vizinhança em questão. A vizinhança VdHx0L também pode sersimbolizada por | x - x0 » < d .
2.2 Aproximação linear
Fórmula da aproximação linear de f(x) na vizinhança de x = 0
f(x) = f(0) + f'(0) x + R(x)
em que o erro R(x) = f '' HcL x2 ê2 onde c é um número compreendido entre 0 e x.
EXEMPLO 1. (GA2, pág. 23) Vamos aproximar a função f(x) = è!!!!!!!!!!!!!1 + x numa vizinhança de x = 0.
In[11]:= H∗ Aprxomimação linear de è!!!!!!!!!!!!!!1 + x na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := Sqrt@1 + x Dx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[14]= 1 +x2
EXEMPLO 2. (GA2, pág. 24) Utilizar o resultado do exemplo anterir para determinar uma aproximação de è!!!!!!48 .
Notemos que è!!!!!!48 = è!!!!!!!!!!!!!!49 − 1 = 7 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 − 1ê49
In[6]:= H∗ Aprxomimação è!!!!!!48 ∗Lf@x_D := Sqrt@1 + x Dx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;7 Hf@x0D − dfdx Hx − x0LL ê. x → 1ê49% êê N
Out[9]=9714
Out[10]= 6.92857
Aproximação num ponto qualquer
2 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
Fórmula da aproximação linear de f(x) na vizinhança de um ponto qualquer x0
f(x) = f Hx0L + f ' Hx0L (x - x0 ) + R(x)
em que R(x) = f '' HcL Hx − x0L2 ê2 onde c é um número compreendido entre x0 e x.
In[1]:= H∗ GA2, Figura 2.4, pág. 22, ∗Lp1 = Plot@x^2 + .5,8x, −.5, 1<, PlotRange → 88−.5, 1.5<, 80, 1.5<<, Ticks → False,Epilog → 8Text@"a", 8.57, .05<D, Text@"fHaL", 8−.15, 3ê4<D,
Text@"fHxL", 81.1, 1.4<D<,DisplayFunction −> IdentityD;
p2 = [email protected], .35<, 81, 5ê4<<, PlotJoined → True,PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction −> IdentityD;
p3 = [email protected], 0<, 8.5, 3ê4<, 80, 3ê4<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction −> IdentityD;
In[4]:= Show@8p1, p2, p3<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
a
fHaL
fHxL
A diferencial
A diferencial de uma função f no ponto x0 é definida como sendo o produto f ' Hx0L Dx; e é indicada com ossímbolos dy, df ou df Hx0L :
df = f ' Hx0L Dx
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 3
In[1]:= p1 = Plot@82 x^2 + 2, 2 x + 3ê2<, 8x, −.2, 2<, PlotRange → 80, 8<, Axes → False,PlotStyle → [email protected], [email protected]<,TextStyle → 8FontSize → 8<, Epilog →
8Text@"x0", 8.5, .2<D, Text@"x", 81.5, .2<D, Text@"y0", 8.57, 1.5<D,Text@"∆x", 81, 2.2<D, Text@"∆y", 81.72, 5.5<D, Text@"dy", 81.82, 3.9<D,Text@"∆y − dy", 81.15, 6<D, Text@"Y", 81.35, 3.5<D<,
DisplayFunction → IdentityD;p2 = ListPlot@880, 0.5<, 82, 0.5<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;p3 = ListPlot@880, 0.5<, 80, 10<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;p4 = [email protected], 5ê2<, 81.7, 5ê2<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;p5 = [email protected], 0.5<, 80.5, 5ê2<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;p6 = [email protected], 0.5<, 81.5, 5ê2<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;p7 = [email protected], 5ê2<, 81.5, 13ê2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D, DisplayFunction → IdentityD;p8 = [email protected], 9ê2<, 81.6, 9ê2<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;p9 = [email protected], 13ê2<, 81.7, 13ê2<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;p10 = [email protected], 5ê2<, 81.55, 9ê2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD;p11 = [email protected], 9ê2<, 81.45, 13ê2<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;p12 = [email protected], 5ê2<, 81.65, 13ê2<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;p13 = [email protected], 3.3<, 81.75, 3.7<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;p14 = [email protected], 5.7<, 81.42, 5.2<<,
PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;p15 = [email protected], 3.7<, 81.47, 4.3<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD;
4 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[16]:= Show@8p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10, p11, p12, p13, p14, p15<,DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
x0 x
y0
∆x
∆y
dy
∆y − dy
Y
ExercíciosObtenha as aproximações lineares para as funções dadas nos Exercícios 1 a 12.
1. f(x) = log|1 - x |, x = 0.
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de Log H1 + xL na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := Log@1 + xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[4]= x
In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<,PlotStyle → 88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<D;
-0.4 -0.2 0.2 0.4
-0.4
-0.2
0.2
0.4
2. f(x) = cos x , x = 0.
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 5
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de cos HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[5]= 1
In[6]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;
-0.4 -0.2 0.2 0.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3. f(x) = cos x , x = p/4.
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de cos HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDx0 = Piê4;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[5]=1è!!!2
−− π
4 + xè!!!2
In[6]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;
0.4 0.6 0.8 1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
4. f(x) = sen x , x = p/2.
6 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de sen HxL na vizinhança de x0 = πê2 ∗Lf@x_D := Sin@xDx0 = Piê2;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[4]= 1
In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;
1.2 1.4 1.6 1.8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
5. f(x) = sen x , x = 3p/4.
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de sen HxL na vizinhança de x0 = πê2 ∗Lf@x_D := Sin@xDx0 = 3 Piê4;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[4]=1è!!!2
−− 3 π
4 + xè!!!2
In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;
2.2 2.4 2.6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
6. f(x) = e-x , x = 0.
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de Exp HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := Exp@−xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[4]= 1 − x
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 7
In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<,PlotStyle → 88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<D;
-0.4 -0.2 0.2 0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
7. f(x) = sen x2 , x = -p/4.
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de sen Hx2L na vizinhança de x0 = −πê4 ∗Lf@x_D := Sin@x^2Dx0 = −Piê4;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[4]= −12
π I π4
+ xM CosA π2
16E + SinA π2
16E
In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<,PlotStyle → 88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<D;
-1.2 -0.8 -0.6 -0.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
8. f(x) = ex2 , x = 0.
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de Exp Hx2L na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := Exp@x^2Dx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[4]= 1
8 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;
-0.4 -0.2 0.2 0.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
9. f(x) = 1 ëè!!!!!!!!!!!1 + x , x = 0.
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de 1ëè!!!!!!!!!!!!!!1 + x na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := 1êSqrt@1 + xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[4]= 1 −x2
In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;
-0.4 -0.2 0.2 0.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
10. f(x) = x3ê2 , x = 1.
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de x3ê2 na vizinhança de x0 = 1 ∗Lf@x_D := x^H3ê2Lx0 = 1;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[4]= 1 +32H−1 + xL
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 9
In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.6<D;
0.6 0.8 1.2 1.4
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
11. f(x) = x2ê3 , x = -1.
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de x2ê3 na vizinhança de x0 = −1 ∗Lf@x_D := Hx2L1ê3
x0 = −1;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[4]= 1 −2 H1 + xL
3
In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange −> 80, 1.2<D;
-1.4 -1.2 -0.8 -0.6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
12. f(x) = Log 3x , x = 1/3.
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de log H3 xL na vizinhança de x0 = 1ê3 ∗Lf@x_D := Log@3 xDx0 = 1ê3;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[4]= 3 J−13
+ xN
10 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .1, x0 + .1<, PlotStyle →
88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange −> 8−1, 1<D;
0.25 0.35 0.4
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
1
13. As funções x, sen x e tg x tendem a se cunfundir para valores pequenos de x, guardando entre elas, a relação 0 < sen x < x < tg x.
In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de x na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := xx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[4]= x
In[5]:= H∗ Aprxomimação linear de tg HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := Tan@xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[8]= x
In[9]:= H∗ Aprxomimação linear de sen HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := Sin@xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L
Out[12]= x
In[13]:= p1 = Plot@Sqrt@1 − x^2D, 8x, .8, 1<,PlotRange → 880, 1.5<, 80, 1<<, AspectRatio → Automatic,Epilog → 8Text@" <−−−−− x", 81.1, .45<D, Text@" <−−− tgHxL", 81.25, .6<D,
Text@" <−−−− senHxL", 81.15, .1<D<, DisplayFunction −> IdentityD;p2 = ListPlot@880, 0<, 81, [email protected]<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction −> IdentityD;p3 = [email protected], 0<, 8.8, [email protected]<<, PlotJoined → True,
PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction −> IdentityD;p4 = ListPlot@881, 0<, 81, [email protected]<<, PlotJoined → True,
PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 1D<, DisplayFunction −> IdentityD;
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 11
In[17]:= Show@8p1, p2, p3, p4<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
<−−−−− x
<−−− tgHx
<−−−− senHxL
NosExercícios 14 a 20, use aproximação lineares convenientes para obter os números indicados em representações decimais aproximadas.
14. è!!!!!!!!171
Notando que è!!!!!!!!170 = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!169 H1 + 1 ê 169L = 13 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + 1 ê 169 e aplicando a aproximação linear è!!!!!!!!!!!!!1 + x = 1 + x ê 2
vem
In[1]:= H∗ Aproximação linear de è!!!!!!!!!171 ∗L13 H1 + 1êH2 ∗ 169LL
Out[1]=33926
In[2]:=339
26% êê N
Out[2]=33926
Out[3]= 13.0385
15. log 0.98
Notando que log(0.98) = log(1 - 0.02) e aplicando a aproximação linear logH1 + xL = x vem
In[1]:= H∗ Aplicando linear log H0.98L ∗L−0.02
Out[1]= −0.02
16. e-0.02
Aplicando a aproximação linear e-x = 1 − x vem
In[1]:= H∗ Aproximação linear de e−0.02 ∗L1 − .02
Out[1]= 0.98
17. 10001ê3
Notando que 10001ê3 = (1000 + 3)1ê3 = 10 (1 + 3/1000)1ê3 e aplicando a aproximação linear H1 + xL1ê3 = 1 + xê3, vem
12 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:= H∗ Aproximação linear de 10001ê3 ∗L10 H1 + 3êH3 ∗ 1000LL% êê N
Out[1]=1001100
Out[2]= 10.01
18. cos 0,01
Aplicando a aproximação linear cos HxL = 1 − x, vem
In[1]:= H∗ Aproximação linear de cos H0,01L ∗L1 − 0.01
Out[1]= 0.99
19. tg 0,5
Aplicando a aproximação linear tg HxL = x, vem
In[1]:= H∗ Aproximação linear de tg H0.5L ∗L0.5
Out[1]= 0.5
20. arc tg 0,02
Aplicando a aproximação linear arctg HxL = x, vem
In[1]:= H∗ Aproximação linear de arctg H0,02L ∗L0.02
Out[1]= 0.02
2.3 Fórmula de Taylor
Seja f(x) uma função derivável até a ordem n + 1, numa vizinhança V de x = 0, o polinômio de Taylor
p(x) = f(0) + f'(0)x + f'' H0L2! x2 + ... + fHnL H0L
n! xn
aproxima f(x) em V.
Series[f[x], {x, 0, n}] gera a fórmula de Taylor de grau n.
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL de grau 5 ∗LClear@x, fD;Series@f@xD, 8x, 0, 5<D
Out[2]= f@0D + f @0D x +12f @0D x2 +
16fH3L@0D x3 +
124
fH4L@0D x4 +1120
fH5L@0D x5 + O@xD6
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 13
Normal[eries[f[x], {x, 0, n}]] gera a fórmula de Taylor de grau n sem o termo 0 @xDn.
EXEMPLO 1. (GA2, pág. 26) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = ex de grau 7.
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = ex de grau 7 ∗Lf@x_D := Exp@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[2]= 1 + x +x2
2+x3
6+
x4
24+
x5
120+
x6
720+
x7
5040
EXEMPLO 2. (GA2, pág. 26) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = sen x de grau 11.
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = sen x de grau 11 ∗Lf@x_D := Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD
Out[2]= x −x3
6+
x5
120−
x7
5040+
x9
362880−
x11
39916800
ExercíciosObtenha as fórmulas de Taylor de grau n das funções dadas nos Exercícios 1 a 8.
1. f(x) = cox x
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = cos x de grau 11 ∗Lf@x_D := Cos@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD
Out[2]= 1 −x2
2+
x4
24−
x6
720+
x8
40320−
x10
3628800
2. f(x) = 1/(1 - x)
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = Cos x de grau 11 ∗LClear@x, fD;f@x_D := 1êH1 − xLNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD
Out[3]= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11
3. f(x) = 1/(1 + x) para x > -1
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1êH1 + xL de grau 11 ∗LClear@x, fD;f@x_D := 1êH1 + xLNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD
Out[3]= 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 − x7 + x8 − x9 + x10 − x11
4. f(x) = log(1 - x).
14 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log H1 − xL de grau 11 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Log@1 − xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD
Out[3]= −x −x2
2−x3
3−x4
4−x5
5−x6
6−x7
7−x8
8−x9
9−x10
10−x11
11
5. f(x) = log(1 + x).
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log H1 + xL de grau 11 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Log@1 + xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD
Out[3]= x −x2
2+x3
3−x4
4+x5
5−x6
6+x7
7−x8
8+x9
9−x10
10+x11
11
6. f(x) = e-x .
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = e−x de grau 7 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Exp@−xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= 1 − x +x2
2−x3
6+
x4
24−
x5
120+
x6
720−
x7
5040
7. f(x) = eax , a ∫ 0.
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = e−x de grau 7 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Exp@a xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= 1 + a x +a2 x2
2+a3 x3
6+a4 x4
24+a5 x5
120+a6 x6
720+a7 x7
5040
8. f(x) = sen(x + p/4 ).
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = e−x de grau 7 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@x + π ê4DNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 6<DD
Out[3]=1è!!!2
+xè!!!2
−x2
2 è!!!2−
x3
6 è!!!2+
x4
24 è!!!2+
x5
120 è!!!2−
x6
720 è!!!2
Obtenha os desenvolvimento de Taylor de ordem n = 2 para cada uma das funções dadas nos Exercícios 9 a 15.
10. f(x) = arcsen x.
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arcsen x de grau 7 ∗LClear@x, fD;f@x_D := ArcSin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= x +x3
6+3 x5
40+5 x7
112
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 15
11. f(x) = arctg x.
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arctg x de grau 7 ∗LClear@x, fD;f@x_D := ArcTan@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= x −x3
3+x5
5−x7
7
12. f HxL = x7ê2 .
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arc sen x de grau 7 ∗LClear@x, fD;f@x_D := x^7ê2Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]=x7
2
13. f HxL = 27 x10ê3 ê350 − 16 x7ê2 ê35 + 2 x − 7 x2
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL =
27 x10ê3ê350 −16 x7ê2ê35 + 2 x − 7 x2 ∗LClear@x, fD;
f@x_D :=27
350 x^H10ê3L −
16
35 x^H7ê2L + 2 x − 7 x^2
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= 2 x − 7 x2 +27 x10ê3
350−16 x7ê2
35
14. f HxL = sec x
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = sec x ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sec@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[3]= 1 +x2
2+5 x4
24+61 x6
720+277 x8
8064
15. f HxL = log cos x
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log cos x ∗LClear@x, fD;f@x_D := Log@Cos@xDDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[3]= −x2
2−
x4
12−
x6
45−17 x8
2520
16. f(x) = è!!!!!!!!!!!!!1 + x
16 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[18]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = è!!!!!!!!!!!!!!1 + x ∗LClear@x, fD;
f@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!
1 + xNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD
Out[20]= 1 +x2
−x2
8+x3
16−5 x4
128+7 x5
256
17. f HxL = Ÿ0x e−t2 t
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = Ÿ0x e−t2
t ∗LClear@x, fD;f@x_D := Integrate@Exp@−t^2D, 8t, 0, x<DNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[3]= x −x3
3+
x5
10−
x7
42+
x9
216
18. f HxL = H1 + xLn
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = H1 + xLn ∗LClear@x, fD;f@x_D := H1 + xL^nNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD
Out[3]= 1 + n x +12H−1 + nL n x2 +
16H−2 + nL H−1 + nL n x3 +
124
H−3 + nL H−2 + nL H−1 + nL n x4 +1120
H−4 + nL H−3 + nL H−2 + nL H−1 + nL n x5
19. f HxL = 1ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!H1 + xL
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1ëè!!!!!!!!!!!!!!1 + x ∗LClear@x, fD;
f@x_D := 1 ëè!!!!!!!!!!!1 + x
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= 1 −x2
+3 x2
8−5 x3
16+35 x4
128−63 x5
256+231 x6
1024−429 x7
2048
20. f HxL =è!!!!!!!!!!!!!1 − x
In[21]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1ëè!!!!!!!!!!!!!!1 − x ∗LClear@x, fD;
f@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!
1 − xNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[23]= 1 −x2
−x2
8−x3
16−5 x4
128−7 x5
256−21 x6
1024−33 x7
2048
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 17
2.4 Unicidade da fórmula de Taylor
Quando duas funções f e g são tais que o quociente f(x)/g(x) tende a zero com x tendendo a um certo x0, dizemosque f é de ordem pequena em relação a g, para x Ø x0 e escrevemos
f(x) = o(g(x)), x Ø x0 .
Por exemplo,
sen2 x = o(x) e cos 1/x = o(1/x)
pois ambos quocientes
sen2 xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx = (sen x) sen xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx e cosH1êxLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1êx = x cos (1/x)
tendem a zero com x Ø 0.
Quando apenas sabemos que o quociente f(x)/g(x) permanece limitado numa vizinhança de x0 , dizemos que f é deordem grande em relação a g, para, x Ø x0 e escrevemos
f(x) = O(g(x)), x Ø x0.
Por exemplo,ex − 1 − x = O Hx2L e sen x − x = O Hx3L com x → 0.
EXEMPLO 1. (GA2, pág. 35) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = 1/(1 - x)
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1êH1 − xL. ∗LClear@x, fD;f@x_D := 1êH1 − xLNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
EXEMPLO 2. (GA2, pág. 35) Determinar a fórmula de Taylor da função f(t) = 1/(1 + t2 )
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Maclaurin de f HxL = 1êH1 + t2L. ∗LClear@t, fD;f@t_D := 1êH1 + t2LNormal@Series@f@tD, 8t, 0, 11<DD
Out[3]= 1 − t2 + t4 − t6 + t8 − t10
Exercícios1. Use as fórmulas de Taylor das funções ex e e-x para obter fórmulas análogas das funções cosh x = Hex + e-xL ê 2 e sinh x = Hex - e-xL ê 2
18 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[27]:= H∗ Fórmula de Taylor de Hex + e−xLê2 ∗LClear@x, fD;f@x_D := H x + −xLê2Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[29]= 1 +x2
2+
x4
24+
x6
720+
x8
40320
In[30]:= H∗ Fórmula de Taylor de cosh HxL ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cosh@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[32]= 1 +x2
2+
x4
24+
x6
720+
x8
40320
In[33]:= H∗ Fórmula de Taylor de Hex − e−xLê2 ∗LClear@x, fD;f@x_D := H x − −xLê2Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[35]= x +x3
6+
x5
120+
x7
5040+
x9
362880
In[36]:= H∗ Fórmula de Taylor de senh HxL ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sinh@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[38]= x +x3
6+
x5
120+
x7
5040+
x9
362880
2. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = tg x
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = tg HxL ∗LClear@x, fD;f@x_D := Tan@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[3]= x +x3
3+2 x5
15+17 x7
315+62 x9
2835
4. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sin x - tg x
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sin x − tg x ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xD − Tan@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[3]= −x3
2−x5
8−13 x7
240−529 x9
24192
7. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sen 2x
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 19
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sin 2 x ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@2 xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[3]= 2 x −4 x3
3+4 x5
15−8 x7
315+
4 x9
2835
8. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = cos2 x
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cos2 x ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xD2
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[3]= 1 − x2 +x4
3−2 x6
45+
x8
315
9. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = Hsen x ê xL2
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = Hsin xêxL2 ∗LClear@x, fD;f@x_D := HSin@xDêxL2
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[3]= 1 −x2
3+2 x4
45−
x6
315+
2 x8
14175
10. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = Hex - 1L cos x ê ex
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = Hex − 1L cos xêex ∗LClear@x, fD;f@x_D := HExp@xD − 1L Cos@xDêExp@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= x −x2
2−x3
3+5 x4
24−
x5
30−
x6
720+
x7
630
11. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = è!!!!!!!!!!!!!1 - x cos x
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL =è!!!!!!!!!!!!!!1 − x cos x ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!
1 − x Cos@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= 1 −x2
−5 x2
8+3 x3
16+25 x4
384−13 x5
768−349 x6
46080−401 x7
92160
12. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sen x /(x è!!!!!!!!!!!!!1 + x )
In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Maclaurin de f HxL = sen xëIx è!!!!!!!!!!!!!!1 + x M ∗LClear@x, fD;
f@x_D := Sin@xD ë Ixè!!!!!!!!!!!!!
1 + x MNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= 1 −x2
+5 x2
24−11 x3
48+421 x4
1920−761 x5
3840+59009 x6
322560−110291 x7
645120
20 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
14. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sec x
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sec x ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sec@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= 1 +x2
2+5 x4
24+61 x6
720
15. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = x/sen x
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = xêsen x ∗LClear@x, fD;f@x_D := xê Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= 1 +x2
6+7 x4
360+
31 x6
15120
16. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = tg = sen x (1/cos x)
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen xêH1êcos xL ∗LClear@x, fD;f@x_D := Tan@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]= x +x3
3+2 x5
15+17 x7
315
In[4]:= H∗ Desenvolvimento de Maclaurin de f HxL = Hsen xL H1êcos xL ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xD H1êCos@xDLNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[6]= x +x3
3+2 x5
15+17 x7
315
Use fórmulas de Taylor para calcular os limites dos Exercícios 17 a 22.
17. limxØ0 (2(1 - cos x) -x sen x) ê Hx2H1 - cos xLLIn[1]:= H∗ Calcule o limx→0 H2 H1−cosxL−x sen xL êHx2H1 − cos xLL ∗L
Clear@x, fD;f@x_D := H2 H1 − Cos @xDL − x Sin@xDLêHx2 H1 − Cos@xDLLNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]=16
+x2
360+
x4
15120+
x6
604800
In[4]:= H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗LLimit@%, x → 0D
Out[4]=16
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 21
In[5]:= H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗LLimit@f@xD, x → 0D
Out[5]=16
18. limhØ0 (è!!!!!!!!!!!!!1 + h - 1) ê sen 2 h
In[1]:= H∗ Calcule o limh→0 Iè!!!!!!!!!!!!!!1 + h −1M ê sen 2 h ∗LClear@h, fD;
f@h_D := Iè!!!!!!!!!!!!1 + h − 1M ë Sin@ 2 hD
Normal@Series@f@hD, 8h, 0, 5<DD
Out[3]=14
−h16
+19 h2
96−47 h3
768+2587 h4
23040−3937 h5
92160
In[4]:= H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗LLimit@%, h → 0D
Out[4]=14
In[5]:= H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗LLimit@f@hD, h → 0D
Out[5]=14
19. limxØ0 ex sen x ë Iè!!!!!!!!!!!!!9 - x - 3M
In[1]:= H∗ Calcule o limx→0 ex sen x ë Iè!!!!!!!!!!!!!!9 − x − 3M ∗LClear@x, fD;
f@x_D := Exp@xD Sin@xD ë Iè!!!!!!!!!!!!!9 − x − 3M
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD
Out[3]= −6 −35 x6
−395 x2
216+235 x3
3888+282481 x4
1399680+1542293 x5
25194240
In[4]:= H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗LLimit@%, x → 0D
Out[4]= −6
In[5]:= H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗LLimit@f@xD, x → 0D
Out[5]= −6
20. limxØ0 I1 -è!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 3M2 /(cos x - 1)
In[1]:= H∗ Calcule o limx→0 I1 −è!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 3M2íHcos x−1L ∗L
Clear@x, fD;
f@x_D := I1 −è!!!!!!!!!!!!!
1 + x M2í HCos@xD − 1L
Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD
Out[3]= −12
+x4
−19 x2
96+25 x3
192−373 x4
3840+191 x5
2560
22 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[4]:= H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗LLimit@%, x → 0D
Out[4]= −12
In[5]:= H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗LLimit@f@xD, x → 0D
Out[5]= −12
21. limxØ0 (ex2 - 1)/ sen 3 x2
In[1]:= H∗ Calcule o limx→0 Hex2−1Lêsen 3 x2 ∗LClear@x, fD;f@x_D := HExp@x2D − 1LêSin@3 x2DNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD
Out[3]=13
+x2
6+5 x4
9+19 x6
72
In[4]:= H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗LLimit@%, x → 0D
Out[4]=13
In[5]:= H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗LLimit@f@xD, x → 0D
Out[5]=13
22. limxØ0 (log (1 + x2 ) - x2 )/((1 - cos x) sen2 x )
In[1]:= H∗ Calcule o limx→0 Hlog H1+x2L−x2LêHH1−cos xL sen2 xL ∗LClear@x, fD;f@x_D := HLog@1 + x2D − x2LêHH1 − Cos@xDL Sin@xD2LNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD
Out[3]= −1 +x2
4−77 x4
240+7249 x6
30240−30029 x8
145152
In[4]:= H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗LLimit@%, x → 0D
Out[4]= −1
In[5]:= H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗LLimit@f@xD, x → 0D
Out[5]= −1
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 23
2.5 Fórmula de Taylor na forma geral
Seja f(x) uma função derivável até a ordem n + 1, numa vizinhança V de x = a, o polinômio de Taylor de ordemn
p(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f'' HaL2! Hx − aL2 + ... + fHnL HaL
n! Hx − aLn
aproxima f(x) em V.
Series[f[x], {x, a, n}] gera a fórmula de Taylor de grau n na vizinhança do ponto a.
In[1]:= H∗ Desenvolvimento em sériede Taylor de f HxL na vizinhança V de x = a ∗L
Clear@x, fD;Series@f@xD, 8x, a, 5<D
Out[2]= f@aD + f @aD Hx − aL +12f @aD Hx − aL2 +
16fH3L@aD Hx − aL3 +
124
fH4L@aD Hx − aL4 +1120
fH5L@aD Hx − aL5 + O@x − aD6
Normal[eries[f[x], {x, a, n}]] gera a fórmula de Taylor de grau n em torno do ponto a, sem o termo 0 @xDn.
In[1]:= H∗ Desenvolvimento em sériede Taylor de f HxL na vizinhança V de x = a ∗L
Clear@x, fD;Normal@Series@f@xD, 8x, a, 5<DD
Out[2]= f@aD + H−a + xL f @aD +12H−a + xL2 f @aD +
16H−a + xL3 fH3L@aD +
124
H−a + xL4 fH4L@aD +1120
H−a + xL5 fH5L@aD
EXEMPLO 1. (GA2, pág. 43) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = 1/x , relativa ao ponto a = 2.
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = 1êx relativa ao ponto a = 2 ∗LClear@x, fD;f@x_D := 1êxNormal@Series@f@xD, 8x, 2, 5<DD
Out[3]=12
+2 − x4
+18H−2 + xL2 −
116
H−2 + xL3 +132
H−2 + xL4 −164
H−2 + xL5
EXEMPLO 2. (GA2, pág. 44) Calcular o co-seno de 460 usando a formula de Taylor de cos(x) , relativa ao ponto a = p/4.
24 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[84]:= f@x_D := Cos@xDex2 = Normal@Series@f@xD, 8x, π ê4, 2<DD ê. x −> 46 π ê180
Out[85]=1è!!!2
−π
180 è!!!2−
π2
64800 è!!!2
Esses três termos da série de Taylor são suficientes para se obter o valor do co −
seno de 460 com seis casas decimais exatas. De fato,
In[86]:= N@ex2DCos@46 π ê180D êê N
Out[86]= 0.694658
Out[87]= 0.694658
Animação
Vamos usar a fórmula de Taylor de cos(x), relativa ao ponto a = p/4, para ilustrar graficamente o comportamento da aproximação para pontos distantes de a.
In[88]:= H∗ Fórmula de Taylor de cos HxL relativa ao ponto a = πê4 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDNormal@Series@f@xD, 8x, π ê4, 5<DD
Out[90]=1è!!!2
−− π
4 + xè!!!2
−H− π
4 + xL22 è!!!2
+H− π
4 + xL36 è!!!2
+H− π
4 + xL424 è!!!2
−H− π
4 + xL5120 è!!!2
In[92]:= H∗ Fórmula de Taylor da função sen x relativa ao ponto de a = πê4 ∗Ltlist = Table@Normal@Series@f@xD, 8x, π ê4, n<DD, 8n, 18<D;plots = Map@Plot@8#, f@xD<, 8x, −2 Pi, 2 Pi<, PlotRange → 8−3, 3<,
PlotStyle → 88RGBColor@0, 0, 1D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<,Epilog → [email protected], Point@8Piê4, 1êSqrt@2D<D<D &, tlistD;
-6 -4 -2 2 4 6
-3
-2
-1
1
2
3
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 25
In[93]:= H∗ Animação da aproximação de Taylorda função sen x relativa ao ponto de a = πê4 ∗L
Show@GraphicsArray@88plots@@1DD, plots@@2DD, plots@@3DD<,8plots@@4DD, plots@@5DD, plots@@6DD<,8plots@@7DD, plots@@8DD, plots@@9DD<,8plots@@10DD, plots@@11DD, plots@@12DD<<DD;
-6 -4 -2 2 4 6
-3-2-1
123
-6 -4 -2 2 4 6
-3-2-1
123
-6 -4 -2 2 4 6
-3-2-1
123
-6 -4 -2 2 4 6
-3-2-1
123
-6 -4 -2 2 4 6
-3-2-1
123
-6 -4 -2 2 4 6
-3-2-1
123
-6 -4 -2 2 4 6
-3-2-1
123
-6 -4 -2 2 4 6
-3-2-1
123
-6 -4 -2 2 4 6
-3-2-1
123
-6 -4 -2 2 4 6
-3-2-1
123
-6 -4 -2 2 4 6
-3-2-1
123
-6 -4 -2 2 4 6
-3-2-1
123
ExercíciosObtenha a fórmula de Taylor de ordem n, relativa ao ponto x = a, para cada uma das funções dos Exercícios 1 a 15.
1. f(x) = log x, a = 1
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = log HxL ∗LClear@x, fD;f@x_D := Log@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 1, 5<DD
Out[3]= −1 −12H−1 + xL2 +
13H−1 + xL3 −
14H−1 + xL4 +
15H−1 + xL5 + x
2. f(x) = ex a arbitário
26 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = ex, a arbitrário ∗LClear@x, fD;f@x_D := Exp@xDNormal@Series@f@xD, 8x, a, 5<DD
Out[3]= a + a H−a + xL +12
a H−a + xL2 +16
a H−a + xL3 +124
a H−a + xL4 +1120
a H−a + xL5
3. f(x) = è!!!x a = 1.
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = è!!!x , a = 1 ∗LClear@x, fD;
f@x_D :=è!!!!
xNormal@Series@f@xD, 8x, 1, 5<DD
Out[3]= 1 +12H−1 + xL −
18H−1 + xL2 +
116
H−1 + xL3 −5128
H−1 + xL4 +7256
H−1 + xL5
4. f(x) = sen x a = p/2.
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen x, a = πê2 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, π ê2, 7<DD
Out[3]= 1 −12I−
π2
+ xM2 +124
I−π2
+ xM4 −1720
I−π2
+ xM6
5. f(x) = 1 ê x a = -1.
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = 1êx, a = −1 ∗LClear@x, fD;f@x_D := 1êxNormal@Series@f@xD, 8x, −1, 7<DD
Out[3]= −2 − x − H1 + xL2 − H1 + xL3 − H1 + xL4 − H1 + xL5 − H1 + xL6 − H1 + xL7
6. f(x) = 1 ê H1 - Hx - 3L2L a = 3.
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = 1êH1 − Hx − 3L2L, a = 3. ∗LClear@x, fD;f@x_D := 1êH1 − Hx − 3L2LNormal@Series@f@xD, 8x, 3, 9<DD
Out[3]= 1 + H−3 + xL2 + H−3 + xL4 + H−3 + xL6 + H−3 + xL8
7. f(x) = x ê Hx - 1L a = -2.
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = xêHx − 1L, a = −2. ∗LClear@x, fD;f@x_D := xêHx − 1LNormal@Series@f@xD, 8x, −2, 5<DD
Out[3]=23
+19H−2 − xL −
127
H2 + xL2 −181
H2 + xL3 −1243
H2 + xL4 −1729
H2 + xL5
8. f(x) = cos x a = p/4..
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 27
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cos x, x = πê4 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDNormal@Series@f@xD, 8x, π ê4, 4<DD
Out[3]=1è!!!2
−− π
4 + xè!!!2
−H− π
4 + xL22 è!!!2
+H− π
4 + xL36 è!!!2
+H− π
4 + xL424 è!!!2
9. f(x) = sen x a = p/4..
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen x, x = πê4 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, π ê4, 4<DD
Out[3]=1è!!!2
+− π
4 + xè!!!2
−H− π
4 + xL22 è!!!2
−H− π
4 + xL36 è!!!2
+H− π
4 + xL424 è!!!2
10. f(x) = senh x a arbtário.
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = senh x, x arbitário ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sinh@xDNormal@Series@f@xD, 8x, a, 4<DD
Out[3]= H−a + xL Cosh@aD +16H−a + xL3 Cosh@aD +
Sinh@aD +12H−a + xL2 Sinh@aD +
124
H−a + xL4 Sinh@aD
11. f(x) = cosh x a arbtário.
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cosh x, x arbitário ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cosh@xDNormal@Series@f@xD, 8x, a, 4<DD
Out[3]= Cosh@aD +12H−a + xL2 Cosh@aD +
124
H−a + xL4 Cosh@aD + H−a + xL Sinh@aD +16H−a + xL3 Sinh@aD
12. f(x) = xa, a = 1.
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = xα, a = 1 ∗LClear@x, fD;f@x_D := xα
Normal@Series@f@xD, 8x, 1, 4<DD
Out[3]= 1 + H−1 + xL α +12H−1 + xL2 H−1 + αL α +
16H−1 + xL3 H−2 + αL H−1 + αL α +
124
H−1 + xL4 H−3 + αL H−2 + αL H−1 + αL α
13. f(x) = sen x, a = -p.
28 Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen x, a = −π ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, −π, 9<DD
Out[3]= −π − x +16Hπ + xL3 −
1120
Hπ + xL5 +Hπ + xL75040
−Hπ + xL9362880
14. f(x) = cos x, a = 2 p.
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cos x, a = 2 π ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 2 π, 9<DD
Out[3]= 1 −12H−2 π + xL2 +
124
H−2 π + xL4 −1720
H−2 π + xL6 +H−2 π + xL8
40320
15. f(x) = sen x, a = p/6.
In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen x, a = πê6 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, π ê6, 4<DD
Out[3]=12
+12è!!!3 I−
π6
+ xM −14I−
π6
+ xM2 −H− π
6 + xL34 è!!!3
+148
I−π6
+ xM4
Rijo Cal 2 Capitulo 2.nb 29
CAPÍTULO 3
Seqüencias InfinitasIniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗LOut[1]= 4
3.1 Introdução
O Estudo da aproximação de funções por polinômios, feito no capítulo anterior, leva, naturalmente à considerações de soma infinita. Por exemplo, vimos que a função ex tem a seguinte fórmula de Taylor:
ex = 1 + x + x2ÅÅÅÅÅÅ2! + x3
ÅÅÅÅÅÅÅ3! + x4ÅÅÅÅÅÅÅ4! + . . .+ xn
ÅÅÅÅÅÅÅn! + . . . RnHxL
onde RnHxL= ec xn + 1 ê Hn + 1L e c é um número entre 0 e x. Veremos mais adiante que tende a zero con n Ø ¶, o que sugere que se n crescer acima de qualquer número dado, RnHxL tenderá a zero e a função ex será dada, exatamente, pela 'soma infinita"
ex = 1 + x + x2ÅÅÅÅÅÅ2! + x3
ÅÅÅÅÅÅÅ3! + x4ÅÅÅÅÅÅÅ4! + . . .+ xn
ÅÅÅÅÅÅÅn! + . . . RnHxL
Do mesmo modo, a fórmula
lnHx + 1L = 1 - x2ÅÅÅÅÅÅ2 + x3
ÅÅÅÅÅÅ3 - . . . - H-1Ln xnÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn + H-1Ln xn + 1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn + 1L Hn + cLn + 1
sugere que se possa exprimir ln(1 + x) em termos da seguinte "soma infinita":
lnHx + 1L = 1 - x2ÅÅÅÅÅÅ2 + x3
ÅÅÅÅÅÅ3 - x4ÅÅÅÅÅÅ4
Muitas funções que aparecem no Cálculo são passíveis de desenvolvimentos desse tipo, em que a função passa a ser um "polinômio infinito". Isto facilita muito o tratamento das funções. Entretanto, temos de interpretar essas "somas infinitas" e saber o seu significado preciso. Lidar com o infinito sempre foi um problema dif[icil.; e os matemáticos sabem disso há mais de dois milênios. E para que o leiter tenmha uma idéia das dificuldades que podem surgir, vamos logo dar um exemplo simples e bastante esclarecedor. Considere a série infinita
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 . . .
Se escrevermos S = (1 - 1) + (1 - 1) + ( 1 - 1) . . . teremos, evidentemente, S = 0. Mas, também podemos escrever
S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - ...
e agora concluimos que S = 1. Ainda há uma terceira possibilidade,
S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...) = 1 - S, donde 2S = 1, donde S = 1/2.
Afinal, S = 0, S = 1 ou S = 1/2? Por que três respostas diferentes?
2 Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb
3.2 Seqüência infinita
Uma seqüência ou sucessão infinita a1,a2,a3, , ...,an, ...
é que uma função f, definida no conjunto dos números inteiros positivos, atribuindo a n o valor an; assim
f: 1 Ø f(1) = a1, f: 2 Ø f(2) = a2, f: 3 Ø f(3) = a3, etc.
3.3 Conceito de limite
Diz-se que uma seqüência HanL converge para um número L ou tem limite L se, dado qualquer numéro e > 0, ésempre possível encontrar um número N tal que
n > N ï |an - L| < e .
Seqüências divergentes
Diz-se que uma seqüência an tem limite +¶ , ou que é divergente para +¶, se, dado qualquer numéro K, porgrande que seja, é sempre possível determinar um número N tal que
n > N ï an > K.
Diz-se que uma seqüência an tem limite -¶ , ou que é divergente para -¶, se, dado qualquer numéro K, pode-sedeterminar N tal que n > N ï an < K.
Algumas seqüências especiais
Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb 3
3.4 Propriedades do limite
Diz-se que uma seqüência HanL converge para um número L ou tem limite L se, dado qualquer numéro e > 0, ésempre possível encontrar um número N tal que
n > N ï |an - L| < e
Propriedade do triângulo
Conseqüências da desigualdade do triângulo
Operações com limites
Teorema: Se HanL e HbnL convergem para os limites a e b, respectivamente, então
i) an + bn Ø a + b;
ii) an bn Ø ab;
iii) an /bn Ø a/b, no pressuposto de que os denominadores não se anulam;
iv) kan Ø ka, onde k é um número qualquer.
3.5 Seqüências monótonas
Uma seqüência HanL chama-se crescente se a1 < a2 < a3 < . . ., isto é, se an < an + 1 para todo n; e drescente se a1 >a2 > a3 > . . .Se an § an +1 para todo n, a seqüêencia é chamada não-decescente, ao passo que ela é não-crescentese a desigualdade for an ¥ an + 1 . As seqüências crescentes, decrescentes, não-crescentes e não-decrescentes sãochamadas seqüências monôtonas. Essas seqüências têm a importante propriedade de serem covergentes, casosejam limitadas.
ExercíciosDetermine a soma das séries dadas nos Exercícios 1 a 11.
4 Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb
1.
In[2]:= H∗ Limite da seqüência n! e nn ∗LLimit@n!, n → ∞DLimit@nn, n → ∞D
Out[2]= ∞
Out[3]= ∞
2.
In[92]:= H∗ Limite da seqüência 0, 3ê2, −2ê3, 5ê4, −4ê5, ... ,1ên + H−1L^n ∗LLimit@1ên + H−1Ln, n → ∞D
Out[92]= LimitAH−1Ln +1n
, n → ∞E
3.
In[92]:= H∗ Limite da seqüência 1, 10, 2, 102, 3, 103... ∗LLimit@1ên + H−1Ln, n → ∞D
Out[92]= LimitAH−1Ln +1n
, n → ∞E
4.
In[92]:= H∗ Limite da seqüência 2, 3, 5, 7,9, 11, 13 ... pn Hn−ésimo número primoL ∗L
Limit@1ên + H−1Ln, n → ∞D
Out[92]= LimitAH−1Ln +1n
, n → ∞E
5.
In[93]:= H∗ Limite da seqüência n∗cos è!!!n ëHn2 − 1L ∗L
Limit@n Cos@nDêHn2 + 1L, n → ∞DOut[93]= 0
6.
In[94]:= H∗ Limite da seqüência sen Hn2 − 1LêHn2 − 1L ∗LLimit@Sin@n2 + 1DêHn2 + 1L, n → ∞D
Out[94]= 0
Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb 5
7.
In[96]:= H∗ Limite da seqüência n2êsen H1ênL ∗LLimit@n2 êSin@1ênD, n → ∞D
Out[96]= ∞
8.
In[97]:= H∗ Limite da seqüência Hn − 1LêHn + 1L ∗LLimit@Hn − 1LêH n + 1L, n → ∞D
Out[97]= 1
9.
In[99]:= H∗ Limite da seqüência H4 n2 − 3 n + 1LêHn2 + 10 n + 5L ∗LLimit@H4 n2 − 3 n + 1LêH n2 + 10 n + 5L, n → ∞D
Out[99]= 4
10.
In[101]:= H∗ Limite da seqüência H2 + 3 nL H2 n − 10LêH4 n2 − 1L ∗LLimit@H2 + 3 nL H2 n − 1LêH 4 n2 − 1L, n → ∞D
Out[101]=32
11.
In[102]:= H∗ Limite da seqüência I3 n è!!!n + 1MëI7 − 2 n è!!!n M ∗LLimitAI3 n
è!!!!n + 1M ë I7 − 2 n
è!!!!n M, n → ∞E
Out[102]= −32
12.
In[104]:= H∗ Limite da seqüência I3 è!!!n + 2M I1 − 5
è!!!n MëH10 − 5 nL ∗LLimitAI3
è!!!!n + 2M I1 − 5
è!!!!n M ë H10 − 5 nL, n → ∞E
Out[104]= 3
13.
In[105]:= H∗ Limite da seqüência I2 −è!!!n M Iè!!!n − 1MëIè!!!n + 7M ∗L
LimitAI2 −è!!!!
n M Iè!!!!n − 1M ë Iè!!!!
n + 7M, n → ∞EOut[105]= −∞
6 Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb
14.
In[2]:= H∗ Limite da seqüência è!!!!!!!!!!!!!!!!n2 + 1 − è!!!n ∗LLimitAè!!!!!!!!!!!!!!!
n2 + 1 −è!!!!
n , n → ∞EOut[2]= ∞
15.
In[3]:= H∗ Limite da seqüência è!!!!!!!!!!!!!!n + 1 −è!!!n ∗L
LimitAè!!!!!!!!!!!!!n + 1 −
è!!!!!n , n → ∞E
Out[3]= 0
16.
In[4]:= H∗ Limite da seqüência n2êHn + 1L − n2êHn + a + 1L ∗LLimit@n2 êHn + 1L − n2 êHn + a + 1L , n → ∞D
Out[4]= a
17.
In[5]:= H∗ Limite da seqüência Tanh HnL ∗LLimit@Tanh@nD , n → ∞D
Out[5]= 1
18.
In[6]:= H∗ Limite da seqüência n∗enêH1 + e2 nL ∗LLimit@n n êH1 + 2 nL , n → ∞D
Out[6]= 0
19.
In[7]:= H∗ Limite da seqüência I3 è!!!!!!n! + e2 nMëI5 è!!!!!!n! − enM ∗LLimitAI3
è!!!!!!!n! + 2 nM ë I5
è!!!!!!!n! − nM, n → ∞E
Series::esss : Essential singularity encountered in GammaA 1n
+ 1 + O@nD3E.
Series::esss : Essential singularity encountered in GammaA 1n
+ 1 + O@nD3E.
Series::esss : Essential singularity encountered in GammaA 1n
+ 1 + O@nD3E.
General::stop : Further output ofSeries::esss will be suppressed during this calculation.
Out[7]= LimitA2 n + 3 è!!!!!!!n!
− n + 5 è!!!!!!!n!, n → ∞E
Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb 7
20.
In[8]:= H∗ Limite da seqüência n2 H1 − Cos@aênDL ∗LLimit@n2 H1 − Cos@aênDL , n → ∞D
Out[8]=a2
2
22.
In[11]:= H∗ Limite da seqüência log HnLên ∗LLimit@Log@nDên, n → ∞D
Out[11]= 0
23.
In[12]:= H∗ Limite da seqüência Hlog HnLLkên ∗LLimit@HLog@nDLk ên, n → ∞D
Out[12]= 0
24.
In[14]:= H∗ Limite da seqüência log HnLên1êk ∗LLimit@Log@nDên1êk, n → ∞D
Out[14]= Limit@n−1êk Log@nD, n → ∞D
29.
In[16]:= H∗ Limite da seqüência n1ên ∗LLimit@n1ên, n → ∞D
Out[16]= 1
8 Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb
CAPÍTULO 4
Séries InfinitasIniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗LOut[1]= 4
4.1 Definição e primeiros resultados
As séries infinitas surgem quando procuramos somar todos os elementos de uma dada swqüência HanL :
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (4.1)
Embora seja impossível somar infinitos números, um após outro, podemos considerar as somas parciais
S1 = a1 , S2 = a2 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , etc.
Em geral, denotamos por por Sn a soma dos primeiros n elementos da sequência HanL , que é chamada soma parcial ou reduzida de ordem n associada a seqüência:
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an = ⁄j = 1
n a j.
Desse modo formamos uma nova seqüência infinita,
S1 , S2 , S3 . . . Sn , . . .
Supondo que ela tenha limite S então,
Definimos a soma infinita (4.1) como sendo este limite, que também se denota com o símbolo ⁄j = 1
n a j , isto é
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . = S = lim Sn = limn Ø ¶ ⁄j = 1
n a j = ⁄
n = 1
¶ an.
Sum[an, {n, ¶}] acha a soma da série a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
EXEMPLO 1. Consideremos o polinômio de Taylor da exponencial
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+ . . .+
xn
n!+ . . .RnHxL
Fazendo x = 1, nesta expressão, obtemos o número e como soma de uma série infinita
ex = 2 + 12! + 1
3! + 14! + . . .+ 1
n!
In[9]:= H∗ A soma da série 1 + ⁄n = 1
∞ 1ên! ∗L
1 + Sum@1ên!, 8n, ∞<DOut[9]=
EXEMPLO 2. A série
12
+14
+18
+1
16. . . = ‚
n = 1
∞12n
tem soma igual a 1
In[8]:= H∗ A soma da série ⁄n = 1
∞ 1ê2n ∗L
Sum@1ê2n, 8n, ∞<DOut[8]= 1
EXEMPLO 3. Vamos considerar a série geométrica de razão r.
⁄n = 1
∞ rn = 1 + r + r2 + . . . rn + . . .
Seja
Sn = 1 + r + r2 + . . . rn
a soma parcial dos primeiros n + 1 termos da série. Tendo em vista que
r Sn = r + r2 + . . . rn + 1 = Sn + rn + 1 − 1 ,
obtemos
Sn = rn + 1 − 1r − 1 se r ∫ 1
isto é
1 + r + r2 + . . . rn = rn + 1 − 1r − 1
Se | r | < 1, então rn + 1 Ø 0e a expressão anterior torna-se no limite ,
⁄n = 1
¶ rn = 1 + r + r2 + . . . rn + . . . = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1- r .
In[11]:= H∗ A soma da série ⁄n = 1
∞ rn ∗L
Sum@rn, 8n, ∞<DOut[11]= −
r−1 + r
Se r>1,a série diverge para+¶.Se r<-1,a série oscila,aleternadamente,para+¶ e-¶,e nesse caso também diverge.
2 Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
EXEMPLO 4. A série
13 + 1
15 + 135 + . . .+ 1
H2 n − 1 L H2 n + 1 L + . . .= ⁄n = 1
∞ 1H2 n − 1 L H2 n + 1 L
e uma série convergente. De fato,
In[12]:= H∗ A soma da série ⁄n = 1
∞ 1H2 n − 1 L H2 n + 1 L ∗L
SumA 1
H2 n − 1 L H2 n + 1 L, 8n, ∞<E
Out[12]=12
Uma série que não converge é chamada divergente. Uma série pode divergir para +¶ ou para -¶, como é o casodas séries
1 + 2 + 4 + . . . = ⁄n = 1
¶2n = + ¶ e - 2ÅÅÅÅ1 - 3ÅÅÅÅ2 - 4ÅÅÅÅ3 - . . .= ⁄
n = 1
¶ nÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn - 1 = - ¶
Outro tipo de série divergente é aquela em que as reduzidas apresentam um caráter oscilatório, como acontecenas séries
⁄n = 1
¶ H-1Ln nÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn - 1 = 2 - 3ÅÅÅÅ2 + 4ÅÅÅÅ3 - 5ÅÅÅÅ4 + . . . e ⁄n = 1
¶ H-1Ln n2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn + 1 = - 1ÅÅÅÅ2 + 4ÅÅÅÅ3 - 9ÅÅÅÅ4 + . 16ÅÅÅÅÅÅÅ5 - 25ÅÅÅÅÅÅÅ6 + . . .
Em geral não é fácil saber se uma série converge ou diverge. Para que ela seja convergente é necessário que seutermo genérico yenda a zero como afirma o seguinte teorema.
Teorema. Dada uma série convergente ⁄n = 1
¶an , seu termo genérico an tende a zero.
A série harmômica
O exemplo mais notável de série divergente de termos positivos, cujo termo genérico tende a zero, é a chamada série harmônica:
⁄n = 1
¶ 1ÅÅÅÅn = 1 + 1ÅÅÅÅ2 + 1ÅÅÅÅ3 + 1ÅÅÅÅ4 + . . . .
In[1]:= H∗ Série harmônica ∗L
SumA 1
n, 8n, ∞<E
Sum::div : Sum does not converge. More…
Out[1]= ‚n=1
∞1n
Propriedades operacionais
Teorema. a) Se ⁄n = 1
¶an converge e k é um número qualquer, então ⁄
n = 1
¶k an converge e tem a soma k ⁄
n = 1
¶an ;
b) Se ⁄n = 1
¶an e ⁄
n = 1
¶bn convergem, então ⁄
n = 1
¶Han + bnL convege e
⁄n = 1
¶Han + bnL = ⁄
n = 1
¶an + ⁄
n = 1
¶bn .
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb 3
Série de termos não negativos
Teorema. Uma série de termos não- negativos ⁄n = 1
¶pn converge se a seqüência de suas reduzidas for limitada; e
diverge para + ¶ se essa seqüência não for limitada. No caso de ser convergente,, a soma da série independe daordem de seus termos.
ExercíciosDetermine a soma das séries dadas nos Exercícios 1 a 11.
1.
In[18]:= H∗ Determinar a soma da série 1 + 2ê3 + 4ê9 + 8ê16 + ...=
‚n=1
∞ H 23 L
n∗L
Sum@H2ê3Ln, 8n, 0, ∞<DOut[18]= 3
2.
In[19]:= H∗ Determinar a soma da série 1 − 4ê5 + 16ê25 + ... = ‚n=1
∞ H −45 Ln
∗LSum@H−4ê5Ln, 8n, 0, ∞<D
Out[19]=59
3.
In[20]:= H∗ Determinar a soma da série 2ê3 + 8ê15 + 32ê75 + ... = ‚n=1
∞ 23
H 45 L
n∗L
2ê3 Sum@H4ê5Ln, 8n, 0, ∞<D
Out[20]=103
4.
In[21]:= H∗ Determinar a soma da série 1 + 6ê7 + 36ê49 + ... ∗LSum@H6ê7Ln, 8n, 0, ∞<D
Out[21]= 7
5.
In[23]:= H∗ Determinar a soma da série 1 − 1ê3 + 1ê9 + ... ∗LSum@H−1ê3Ln, 8n, 0, ∞<D
Out[23]=34
4 Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
6.
In[24]:= H∗ Determinar a soma da série 5 + 10ê7 + 20ê49 + ... ∗L5 Sum@H2ê7Ln, 8n, 0, ∞<D
Out[24]= 7
7.
In[25]:= H∗ Determinar a soma da série 4ê5 − 8ê15 + 16ê45 − 32ê135 + ... ∗L4ê5 Sum@H−2ê3Ln, 8n, 0, ∞<D
Out[25]=1225
8.
In[29]:= H∗ Determinar a soma da série ‚n=1
∞ 12 n − 1 ∗L
Sum@1êH2 n − 1L, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[29]= ‚n=1
∞1
2 n − 1
9.
In[30]:= H∗ Determinar a soma da série ‚n=1
∞ 13 n − 2 ∗L
Sum@1êH3 n − 2L, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[30]= ‚n=1
∞1
3 n − 2
12.
In[33]:= H∗ Determinar a soma da série ‚n=1
∞ 13 n + 5 ∗L
Sum@1êH3 n + 5L, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[33]= ‚n=1
∞1
3 n + 5
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb 5
13.
In[32]:= H∗ Determinar a soma da série ‚n=1
∞ 15 n − 72 ∗L
Sum@1êH5 n − 72L, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[32]= ‚n=1
∞1
5 n − 72
14.
In[32]:= H∗ Determinar a soma da série ‚n=1
∞ 15 n − 72 ∗L
Sum@1êH5 n − 72L, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[32]= ‚n=1
∞1
5 n − 72
21.
In[34]:= H∗ Determinar a soma da série ‚n=1
∞ 1n Hn + 1L ∗L
Sum@1êHn Hn + 1LL, 8n, 1, ∞<DOut[34]= 1
22.
In[35]:= H∗ Determinar a soma da série ‚n=1
∞ 1n2 ∗L
Sum@1ên2, 8n, 1, ∞<D
Out[35]=π2
6
23.
In[39]:= H∗ Determinar a soma da série ‚n=1
∞ 1n Hn + 1L ∗L
Sum@1êHn Hn + 3LL, 8n, 1, ∞<D
Out[39]=1118
24.
In[42]:= H∗ Determinar a soma da série H−1Ln xH2 n + 1LêH2 n + 1L! ∗LSum@H−1Ln xH2 n + 1L ê H2 n + 1L!, 8n, 0, ∞<D êê FullSimplify
Out[42]= Sin@xD
6 Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
25.
In[43]:= H∗ Determinar a soma da série H−x2LnêH2 nL! ∗LSum@H−x^2Ln êH2 nL!, 8n, 0, ∞<D êê FullSimplify
Out[43]= Cos@xD
26.
In[44]:= H∗ Determinar a soma da série xn ∗LSum@xn , 8n, 0, ∞<D êê FullSimplify
Out[44]=1
1 − x
27.
In[45]:= H∗ Determinar a soma da série H−xLnên ∗L−Sum@H−xLn ên , 8n, 1, ∞<D êê FullSimplify
Out[45]= Log@1 + xD
28.
In[47]:= H∗ Determinar a soma da série H−1Ln x2 n ∗LSum@H−1Ln x2 n , 8n, 0, ∞<D êê FullSimplify
Out[47]=1
1 + x2
4.2 Teste de comparação
ExercíciosDetermine a soma das séries dadas nos Exercícios 1 a 23.
1.
In[48]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞ 1è!!!!n converge ou diverge ∗L
SumA1 ëè!!!!n , 8n, 1, ∞<E
Sum::div : Sum does not converge.
Out[48]= ‚n=1
∞1è!!!n
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb 7
2.
In[49]:= H∗ Verificar se a série ‚n=0
∞ 5 n+13 n2+2 n−10 converge ou diverge ∗L
Sum@H5 n + 1LêH3 n2 + 2 n − 10L , 8n, 0, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[49]= ‚n=0
∞5 n + 1
3 n2 + 2 n − 10
3.
In[50]:= H∗ Verificar se a série ‚n=0
∞ n3−3 n2+53 n2+1 converge ou diverge ∗L
Sum@Hn3 − 3 n2 + 5LêH3 n2 + 1L , 8n, 0, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[50]= ‚n=0
∞n3 − 3 n2 + 5
3 n2 + 1
4.
In[55]:= H∗ Verificar se a série ‚n=2
∞ 1n è!!!!n converge ou diverge ∗L
SumA1 ë Inè!!!!
n M , 8n, 1, ∞<E
Out[55]= ZetaA 32E
5.
In[56]:= H∗ Verificar se a série ‚n=2
∞ 1Log@nD converge ou diverge ∗L
Sum@1êLog@nD, 8n, 2, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[56]= ‚n=2
∞1
Log@nD
6.
In[57]:= H∗ Verificar se a série ‚n=2
∞ 1Log@nDr converge ou diverge ∗L
Sum@1êLog@nDr , 8n, 2, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[57]= ‚n=2
∞1
Log@nDr
8 Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
7.
In[58]:= H∗ Verificar se a série ‚n=3
∞ è!!!!n +1n2−4 converge ou diverge ∗L
SumAIè!!!!n + 1M ë Hn2 − 4L, 8n, 3, ∞<E
Out[58]= „n=3
∞ è!!!n + 1n2 − 4
8.
In[59]:= H∗ Verificar se a série ‚n=0
∞ Cos@3 nD2
n è!!!!n +5converge ou diverge ∗L
Sum@Cos@3 nD^2êHn Sqrt@nD + 5L, 8n, 0, ∞<D
Out[59]= ‚n=0
∞Cos@3 nD2
n è!!!n + 5
9.
In[61]:= H∗ Verificar se a série ‚n=2
∞ Log@nDn converge ou diverge ∗L
Sum@Log@nDên, 8n, 2, ∞<DOut[61]= −StieltjesGamma@1D
10.
In[1]:= H∗ Verificar se a série ‚n=2
∞ Log@nDn è!!!!n converge ou diverge ∗L
SumALog@nD ë Inè!!!!
n M, 8n, 2, ∞<E
Out[1]= −Zeta A 32E
11.
In[4]:= H∗ Verificar se a série ‚n=10
∞ Log@nDn2−9 n converge ou diverge ∗L
Sum@Log@nDêHn2 − 9 nL, 8n, 10, ∞<D
Out[4]= ‚n=10
∞Log@nDn2 − 9 n
12.
In[5]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞ Log@nDn3 converge ou diverge ∗L
Sum@Log@nDên3, 8n, 1, ∞<DOut[5]= −Zeta @3D
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb 9
13.
In[11]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞ Log@nDn2 converge ou diverge ∗L
Sum@Log@nDên2, 8n, 1, ∞<DOut[11]= −Zeta @2D
14.
In[12]:= H∗ Verificar se a série ‚n=10
∞ Log@nDn−9 converge ou diverge ∗L
Sum@Log@nDêHn − 9L, 8n, 10, ∞<D
Out[12]= ‚n=10
∞Log@nD
n − 9
15.
In[10]:= H∗ Verificar se a série ‚n=2
∞Log HnLêHn n1ê3L converge ou diverge ∗L
Sum@Log@nDêHn nH1ê3LL, 8n, 1, ∞<D
Out[10]= −Zeta A 43E
16.
In[16]:= H∗ Verificar se a série ‚n=2
∞Log HnLên1.02 converge ou diverge ∗L
Sum@Log@nDên1.02, 8n, 2, ∞<DOut[16]= −655.971
17.
In[18]:= H∗ Verificar se a série ‚n=2
∞ n2
n converge ou diverge ∗LSum@n2 ê n, 8n, 1, ∞<D
Out[18]=H1 + L
H−1 + L3
18.
In[27]:= H∗ Verificar se a série ‚k=1
∞ k Cos@kD+k2
k4 Log@kD+1 converge ou diverge ∗LSum@Hk Cos@kD + k2LêHk4 Log@kD + 1L, 8k, 1, ∞<D
Out[27]= ‚k=1
∞k Cos@kD + k2
k4 Log@kD + 1
10 Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
19.
In[20]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞ Hn3êHExp HnL − 1LL converge ou diverge ∗LSum@n3 êH n − 1L, 8n, 1, ∞<D
Out[20]= ‚n=1
∞n3
n − 1
20.
In[21]:= H∗ Verificar se a série ‚n=4
∞ HLog HnLêHn2−3 nLL converge ou diverge ∗LSum@Log@nDêHn2 − 3 nL, 8n, 4, ∞<D
Out[21]= ‚n=4
∞Log@nDn2 − 3 n
21.
In[22]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞ Hsen H1ên2LL converge ou diverge ∗LSum@Sin@1ên2D, 8n, 1, ∞<D
Out[22]= ‚n=1
∞
SinA 1n2 E
22.
In[23]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞ Hn7ê8 sen H1ên8ê9LL converge ou diverge ∗LSum@nH7ê8L Sin@1ênH8ê9LD, 8n, 1, ∞<D
Out[23]= ‚n=1
∞
n7ê8 SinA 1n8ê9 E
23.
In[3]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞ Hn!ênnL converge ou diverge ∗LSum@n!ênn, 8n, 1, ∞<D
Out[3]= ‚n=1
∞
n−n n!
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb 11
4.3 Teste da razão, Convergência absoluta e condicional
Teorema. Seja ⁄n=1∞ an uma série de termos positivos tal que an+1 /an converge para um certo limite r. Então, a
série converge se r < 1 e diverge se r > 1. Se r = 1, nada se pode concluir.
Convergência absoluta
Diz-se que uma série ⁄n=1∞ an (cujos termos não são necessariamente positivos) converge absolutamente, ou é
absolutamente convergente, se a série ⁄n=1∞ » an » é convergente.
Teorema. Toda série absolutamente convergente é convergente, isto é, ⁄n=1∞ » an » converge ï ⁄n=1
∞ an
converge. Além disso, a soma da série dada independe da ordem em que se considera seus termos.
Séries alternadas
Uma série cujos termos são alternadamente positivos e negativos é chamada série alternada.
Teorema. Se (an ) é uma seqüência de termos positivos tal que a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥ ... e an Æ 0, então asérie alternada ⁄n=1
∞ H−1Ln an converge.
ExercíciosDetermine a soma das séries dadas nos Exercícios 1 a 10.
1.
In[12]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞n2ê3n converge ou diverge ∗L
Sum@n2 ê3n, 8n, 1, ∞<D
Out[12]=32
2.
In[13]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞n3ëè!!!!!!
2n converge ou diverge ∗L
SumAn3 ëè!!!!!!2n , 8n, 1, ∞<E
Out[13]=4 I8 + 3 è!!!2 MI−2 + è!!!2 M4
12 Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
3.
In[14]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞πnëè!!!!
n converge ou diverge ∗L
SumAπn ëè!!!!n , 8n, 1, ∞<E
Sum::div : Sum does not converge.
Out[14]= ‚n=1
∞πn
è!!!n
4.
In[15]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞2nêHn9 + 3 n5 +7L converge ou diverge ∗L
Sum@2n êHn9 + 3 n5 + 7L, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[15]= ‚n=1
∞2n
n9 + 3 n5 + 7
5.
In[16]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞n2ên! converge ou diverge ∗L
Sum@n2 ên!, 8n, 1, ∞<DOut[16]= 2
6.
In[17]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞n!ênn converge ou diverge ∗L
Sum@n!ênn, 8n, 1, ∞<D
Out[17]= ‚n=1
∞n!nn
7.
In[21]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞3nêH2n n5L converge ou diverge ∗L
Sum@3n êH2n n5L, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[21]= ‚n=1
∞3n
2n n5
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb 13
8.
In[23]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1
∞nkêHen + sin H3 nLL converge ou diverge ∗L
Sum@nk êH n + Sin@3 nDL, 8n, 1, ∞<D
Out[23]= ‚n=1
∞n2
n + Sin@3 nD
9
In[25]:= H∗ Verificar se a série ‚n=0
∞e2 n êHnen + 1L converge ou diverge ∗L
Sum@ 2 n êHn n + 1L, 8n, 0, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[25]= ‚n=0
∞ 2 n
n n + 1
10.
In[26]:= H∗ Verificar se a série ‚n=0
∞ H1 + nk LêHe2 n + n2L converge ou diverge ∗LSum@H1 + nkLêH 2 n + n2L, 8n, 0, ∞<D
Out[26]= ‚n=0
∞1 + nk
2 n + n2
11.
In[26]:= H∗ Verificar se a série
‚n=0
∞sin H1 + n2 LêHe2 n + n2L converge ou diverge ∗L
Sum@Sin@ n2 + 1DêHn2 + 1L, 8n, 0, ∞<D
Out[26]= ‚n=0
∞1 + nk
2 n + n2
14 Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
12.
In[27]:= H∗ Verificar se a série
‚k=0
∞ Icos HkL − sin HkLëIk è!!!k M converge ou diverge ∗L
SumAHCos@kD − Sin@ kDL ë Ikè!!!!
k M, 8k, 0, ∞<ESum::div : Sum does not converge.
Sum::div : Sum does not converge.
Sum::div : Sum does not converge.
General::stop :
Further output of Sum::div will be suppressed during this calculation.
Out[27]= ‚k=0
∞Cos@kD − Sin@kD
k è!!!k
13.
In[31]:= H∗ Verificar se a série
‚k=2
∞Log I1 + sin Hkê2LêHk2 − 1L converge ou diverge ∗L
Sum@Log@1 + Sin@ kê2DDêHk2 − 1L, 8k, 2, ∞<D
Out[31]= „k=2
∞Log@1 + Sin@ k
2 DDk2 − 1
14.
In[30]:= H∗ Verificar se a série
‚k=0
∞k2 ek I1 + 2 cos HkLêHe2 k Hk2 + 1LL converge ou diverge ∗L
Sum@k2 k H1 + 2 Cos@kDLêH 2 k Hk2 + 1LL, 8k, 1, ∞<D
Out[30]=3 − 2 − 2 1+ − 2 1+2 + 2 + 2+ + 2+2
H−1 + L H− + L H−1 + 1+ L −
J 14
−4N −1− JHypergeometricPFQ@81, 1 − <, 82 − <, −1− D +
JHypergeometricPFQA81, 1 − <, 82 − <, 1 E +
HypergeometricPFQA81, 1 + <, 82 + <,1 EN +
HypergeometricPFQ@81, 1 + <, 82 + <, −1− D +2 HHypergeometricPFQ@81, 1 − <, 82 − <, −1+ D +
HypergeometricPFQ@81, 1 + <, 82 + <, −1+ DLN
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb 15
15.
In[32]:= H∗ Verificar se a série ‚k=1
∞ 1en sin H1ênL converge ou diverge ∗L
Sum@1ê n Sin@1ênD, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.
Out[32]= „n=1
∞Sin@ 1
n Dk
16.
In[33]:= H∗ Verificar se a série ‚k=0
∞ H−1Lnên! converge ou diverge ∗LSum@H−1Ln ên!, 8n, 0, ∞<D
Out[33]=1
17.
In[34]:= H∗ Verificar se a série ‚k=0
∞ H−1Ln è!!!!!!2n ën! converge ou diverge ∗L
SumAH−1Ln è!!!!!!
2n ë n!, 8n, 0, ∞<E
Out[34]= −è!!!!2
4.4 Teste da integral
Teorema. Teorema. Se f(x) é uma função positiva não cescente para x > 0, então a série ⁄n=1∞ f HnL converge
se, e somente se, a integral imprópria Ÿ1∞f HxL x converge.
Corolário. Com a mesma hipótese do teorama acima, a série ⁄n=1∞ f HnL diverge para +¶, se, e somente se, o
mesmo acontece com a integral imprópria Ÿ1∞f HxL x
ExercíciosDetermine a soma das séries dadas nos Exercícios 1 a 11.
16 Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
1.
In[38]:= H∗ Use o teste da integral para
estabelecer a convergência da série ‚n=1
∞ 1nH1 + epsL ∗L
Sum@1ênH1+epsL , 8n, 1, ∞<DOut[38]= Zeta@1 + epsD
2.
In[39]:= H∗ Use o teste da integral para
estabelecer a convergência da série ‚n=1
∞ 1nLog HnLH1 + epsL ∗L
Sum@1êHn Log@nDH1+epsLL , 8n, 1, ∞<D
Out[39]= ‚n=1
∞1
n Log@nD1+eps
3.
In[4]:= H∗ Use o teste da integral paraestabelecer a convergência da série ⁄n=1
∞ 1n2 ∗L
Sum@1ên2 , 8n, 1, ∞<D
Out[4]=π2
6
In[45]:= % êê N
Out[45]= 1.64493
4.
In[46]:= H∗ Use o teste da integral paraestabelecer a convergência da série ⁄n=1
∞ 1n2 + 1 ∗L
Sum@1êHn2 + 1L , 8n, 1, ∞<D
Out[46]=12
Csch@πD Hπ Cosh@πD − Sinh@πDL
In[47]:= % êê N
Out[47]= 1.07667
5.
In[48]:= H∗ Use o teste da integral paraestabelecer a convergência da série ⁄n=1
∞ 1n3 ∗L
Sum@1ên3 , 8n, 1, ∞<DOut[48]= Zeta@3D
In[49]:= % êê N
Out[49]= 1.20206
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb 17
6.
In[50]:= H∗ Use o teste da integral paraestabelecer a convergência da série ⁄n=1
∞ 1n3 r ∗L
Sum@1ênr , 8n, 1, ∞<DOut[50]= Zeta@rD
7.
In[51]:= H∗ Use o teste da integral paraestabelecer a convergência da série ⁄n=1
∞ e−n ∗LSum@ −n, 8n, 1, ∞<D
Out[51]=1
−1 +
In[52]:= % êê N
Out[52]= 0.581977
8.
In[53]:= H∗ Use o teste da integral para
estabelecer a convergência da série ‚n=1
∞n e−n2
∗LSumAn −n2
, 8n, 1, ∞<E
Out[53]= ‚n=1
∞
n −n2
9.
In[54]:= H∗ Use o teste da integral paraestabelecer a convergência da série ⁄n=1
∞ n e−n ∗LSum@n −n , 8n, 1, ∞<D
Out[54]= H−1 + L2
10.
In[5]:= H∗ Use o teste da integral paraestabelecer a convergência da série ⁄n=1
∞ n6 e−n ∗LSum@n6 −n , 8n, 1, ∞<D
Out[5]=H1 + 57 + 302 2 + 302 3 + 57 4 + 5L
H−1 + L7
18 Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb
11.
In[6]:= H∗ Use o teste da integral paraestabelecer a convergência da série ⁄n=1
∞ nr e−n ∗LSum@nr −n , 8n, 1, ∞<D
Out[6]= PolyLogA−r, 1 E
Rijo Cal 2 Capitulo 4.nb 19
CAPÍTULO 5
Séries de potênciaisIniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗LOut[1]= 4
5.1 Primeiros exemplos e propriedades
Chama-se série de potências a toda série da forma a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ... = ⁄n = 1∞ an xn .
Uma tal série é também chamada de série de Taylor relativa a x = 0 ou série de Maclaurin. Em geral elas sãoobtidas das fórmulas de Taylor quando o restotende a zero con n Ø ¶.
Series[f[x], {x, 0, n}] gera os primeiros n termos da série de potência da função f(x).
Sum[an, {n, ∞}] acha a soma da série de potência a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ... = ⁄n = 1
∞ an xn .
EXEMPLO 1. função exponencial. Foi com esse procedimento que obtivemos a série de potência da função exponencial
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+ . . .+
xn
n!+ . . . = ‚
n = 0
∞xn
n!
Vimos que esta série converge qualquer que seja o valor de x.
In[7]:= H∗ Série de potências da função esponencial ∗LSeries@ x, 8x, 0, 5<D
Out[7]= 1 + x +x2
2+x3
6+
x4
24+
x5
120+ O@xD6
In[2]:= H∗ Série de potências da função esponencial ∗L
SumA xn
n!, 8n, 0, ∞<E
Out[2]= x
EXEMPLO 2. função seno e co-seno. A série de potencias do seno é expressa por
senHxL = x −x3
3!+
x5
5!−
x7
7!+ . . . = ‚
n = 0
∞
H−1Ln
H2 n + 1L! x2 n + 1
e a do co-seno
cosHxL = 1 − x22! + x4
4! − x66! + . . . = ‚
n = 0
∞ H−1LnH2 n L! x2 n
In[10]:= H∗ Série de potências da função seno ∗LSeries@Sin@xD, 8x, 0, 7<D
Out[10]= x −x3
6+
x5
120−
x7
5040+ O@xD8
In[13]:= H∗ Série de potências da função seno ∗LSumA H−1Ln
H2 n + 1L! x2 n + 1, 8n, 0, ∞<E êê FullSimplify
Out[13]= Sin@xD
In[14]:= H∗ Série de potências da função co−seno ∗LSeries@Cos@xD, 8x, 0, 7<D
Out[14]= 1 −x2
2+
x4
24−
x6
720+ O@xD8
In[15]:= H∗ Série de potências da função co−seno ∗LSumA H−1Ln
H2 n L! x2 n , 8n, 0, ∞<E êê FullSimplify
Out[15]= Cos@xD
EXEMPLO 3. série geométrica. Considerando a identidade
1 − xn + 1
1 − x = 1 + x + x2 + . . . xn
e fazendo n Ø ¶ para obter a série geométrica
11 − x = 1 + x + x2 + . . . xn = ⁄n = 0
∞ xn
In[16]:= H∗ Série geométrica ∗LSeries@1êH1 − xL, 8x, 0, 7<D
Out[16]= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + O@xD8
In[18]:= H∗ Série geométrica ∗LSum@xn , 8n, 0, ∞<D
Out[18]=1
1 − x
2 Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb
EXEMPLO 4. série binomial. Considerando a identidade
H1 + xLα = 1 + α x + α Hα − 1L2! x2 + . . . + α Hα − 1L . . . Hα − n + 1L
n! n2. . .
e fazendo n Ø ¶ para obter a série binomial
H1 + xLα = 1 + α x + α Hα − 1L2! x2 + . . . + α Hα − 1L . . . Hα − n + 1L
n! n2 + . . . = ‚n = 0
∞ JαnN xn
In[21]:= H∗ Série binomial ∗LSeries@H1 + xLα, 8x, 0, 4<D
Out[21]= 1 + α x +12H−1 + αL α x2 +
16H−2 + αL H−1 + αL α x3 +
124
H−3 + αL H−2 + αL H−1 + αL α x4 + O@xD5
Dois teoremas fundamentais
Teorema 1. Se a série de potências ⁄n = 1
¶an , converge num certo valor x = x0 ∫ 0, ela converge absolutamente
em todo ponto x do intervalo | x | < | x0 | ; e se a série diverge em x = x0 , ela diverge em todo x fora desseintervalo, isto é, | x | > | x0 |
Teorema 2. A toda série de potências ⁄n = 1
¶an que converge em algum valor x' ∫ 0 e diverge em algum valor x'',
corresponde um número positivo r tal que a série converge absolutamenmte se | x | < r e diverge se | x | > r.
Raio de convergência e intervalo de convergência
O número r no teorema anterior é chamado de raio de convergência da série.
Derivação e Integração
Toda série de potências pode ser derivada ou integrada termo a termo; e as séries resultantes têm o mesmo interva-los de convergência das séries originais.
EXEMPLO 9. A série
ln H1 − xL = − x − x22 + x3
2 . . . = ⁄n = 0∞ x
n
n
pode ser obtida por integração , termo a termo, da série
11 − x = 1 + x + x2 + . . . xn = ⁄n = 0
∞ xn
In[23]:= H∗ Série do ln H1 − xL ∗LSeries@Log@1 − xD, 8x, 0, 6<D
Out[23]= −x −x2
2−x3
3−x4
4−x5
5−x6
6+ O@xD7
In[24]:= H∗ Série geométrica ∗LSum@xn , 8n, 0, ∞<D
Out[24]=1
1 − x
Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb 3
EXEMPLO 10. Trocando x por - x2 na série do exemplo anterior nos leva a série
11 + x2 = 1 − x2 + x4 − x6 + . . . = ⁄n = 0
∞ H−1Ln x2 n
Integrando termo a termo de 0 a x, encontramos a série de potências de arctan (x).
arctan HxL = x − x33 + x5
5 − x77 . . . = ‚
n = 0
∞ H−1Ln x2 n + 1
2 n + 1
In[26]:= H∗ Série de arctan HxL ∗LSeries@ArcTan@xD, 8x, 0, 8<D
Out[26]= x −x3
3+x5
5−x7
7+ O@xD9
ExercíciosDetermine as séries de potencias dos Exercícios 1 a 15
1.
In[28]:= H∗ ‚n = 1
∞ xn
2 n∗L
SumA xn
2 n, 8n, 1, ∞<E
Out[28]= −12Log@1 − xD
2.
In[29]:= H∗ ‚n = 1
∞ H−1Ln n xn
2n ∗LSum@H−1Ln n xn ê2n, 8n, 1, ∞<D
Out[29]= −2 x
H2 + xL2
3.
In[30]:= H∗ ‚n = 1
∞ x2 n
3n n2 ∗LSum@x2 n êH3n n2L, 8n, 1, ∞<D
Out[30]= PolyLogA2, x2
3E
PolyLog @n, zD calcula a função n-ésima polilogaritmica defiinida por LinHzL = ⁄k=1
¶ zk ê kn
4.
In[32]:= H∗ ⁄n = 1∞ 8n n5 x3 n ∗L
Sum@8n n5 x3 n, 8n, 1, ∞<D
Out[32]=8 Hx3 + 208 x6 + 4224 x9 + 13312 x12 + 4096 x15L
H−1 + 8 x3L6
4 Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb
5.
In[33]:= H∗ ⁄n =10∞ H2 n +8L3 xH2 n + 1L ∗L
Sum@H2 n + 8L3 xH2 n + 1L, 8n, 0, ∞<D
Out[33]= −8 x H−64 + 131 x2 − 100 x4 + 27 x6L
H−1 + x2L4
6.
In[35]:= H∗ ⁄n = 1∞ H−1L3 n Hx − 2LêH32 n n3L ∗L
Sum@H−1L3 n Hx − 2L2 n êH32 n n3L, 8n, 1, ∞<D
Out[35]= PolyLogA3, −19H−2 + xL2E
8.
In[38]:= H∗ ‚n = 1
∞xnëè!!!!!!!!!
2n n ∗L
SumAx n ëè!!!!!!!!!2n n , 8n, 1, ∞<E
Out[38]= ‚n=1
∞xn
è!!!!!!!!!2n n
9.
In[40]:= H∗ ‚n = 1
∞ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3n Hn + 1L x2 nêHn2 + 1L ∗L
SumAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3n Hn + 1L x2 n êHn2 + 1L, 8n, 1, ∞<E
Out[40]= „n=1
∞ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3n H1 + nL x2 n
1 + n2
10.
In[41]:= H∗ ⁄n = 1∞ n! xnênn ∗L
Sum@n! xn ênn, 8n, 1, ∞<D
Out[41]= ‚n=1
∞
n−n xn n!
11.
In[42]:= H∗ ⁄n = 1∞ xnêln HnL ∗L
Sum@xn êLog@nD, 8n, 1, ∞<D
Out[42]= ‚n=1
∞xn
Log@nD
Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb 5
12.
In[43]:= H∗ ⁄n = 1∞ ln HnL xn ∗L
Sum@Log@nD xn, 8n, 1, ∞<DOut[43]= −PolyLogH1,0L@0, xD + x LerchPhiH0,1,0L@x, 0, 1D
13.
In[44]:= H∗ ⁄n = 1∞ n xnêH2 nL! ∗L
Sum@n xn êH2 nL!, 8n, 1, ∞<D
Out[44]=12è!!!x SinhAè!!!x E
14.
In[45]:= H∗ ⁄n = 1∞ xnêH2 nL! ∗L
Sum@n! xn êH2 nL!, 8n, 1, ∞<D
Out[45]=12
xê4 è!!!π è!!!x ErfAè!!!x2
E
15.
In[46]:= H∗ ⁄n = 1∞ nê2n ∗L
Sum@nê2 n, 8n, 1, ∞<DOut[46]= 2
Identifique as funções definidas pelas séries de potências dadas nos exercícios 22 a 25
22.
In[47]:= H∗ xnêHn + 1L ∗LSum@xn êHn + 1L, 8n, 0, ∞<D
Out[47]= −Log@1 − xD
x
23.
In[48]:= H∗ Hn + 1L xn ∗LSum@Hn + 1L xn, 8n, 0, ∞<D
Out[48]=1
H−1 + xL2
24.
In[49]:= H∗ H−1Ln + 1 xnêHn + 1L ∗LSum@H−1Ln + 1 Hn + 1L xn, 8n, 0, ∞<D
Out[49]= −1
H1 + xL2
6 Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb
25.
In[50]:= H∗ Hn + 2L xnê2n + 1 ∗LSum@Hn + 2L xn ê2n + 1, 8n, 0, ∞<D
Out[50]= −−4 + x
H−2 + xL2
27.
In[51]:= H∗ Série de potências de è!!!!!!!!!!!!!!1 − x ∗LSeriesAè!!!!!!!!!!!!!
1 − x , 8x, 0, 4<E
Out[51]= 1 −x2
−x2
8−x3
16−5 x4
128+ O@xD5
28.
In[53]:= H∗ Série de potências de H1+xL−1ê2 ∗LSeries@H1 + xL−1ê2, 8x, 0, 4<D
Out[53]= 1 −x2
+3 x2
8−5 x3
16+35 x4
128+ O@xD5
In[52]:= H∗ Série de potência de è!!!!!!!!!!!!!!1 + x ∗LSeriesAè!!!!!!!!!!!!!
1 + x , 8x, 0, 4<E
Out[52]= 1 +x2
−x2
8+x3
16−5 x4
128+ O@xD5
29.
In[55]:= H∗ Série de potências de 1ëè!!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2 ∗LSeriesA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!
1 − x2 , 8x, 0, 6<E
Out[55]= 1 +x2
2+3 x4
8+5 x6
16+ O@xD7
In[57]:= H∗ Série de potências de ArcSin@xD ∗LSeries@ArcSin@xD, 8x, 0, 8<D
Out[57]= x +x3
6+3 x5
40+5 x7
112+ O@xD9
5.2 Propriedades adicionais das séries de potêmcias
Unicidade da série de potências
Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb 7
É fácil demonstrar que o desenvolvimento de um função f em série de potências relativa a um pomto x0 é único,isto é, só existe uma série de potencias ⁄ an Hx − x0Ln .
Convém enfatizar o fato de que o teorema da unicidade se refere ao desenvolvimento da função num determinadoponto. Isto não impede que uma dada função tenha a séries de potências com coefficientes diferentes relativa-mente a pontos distintos.
Multiplicação e divisão de séries
Sejam f e g duas funções com séries de potências ⁄an xn e ⁄bn xn , respectivamente, no intervalo | x | < r.Então, a função f g é representada, neste intervalo, , pela série produto, assim definida
f(x) g(x) = Ha0 + a1 + a2 x2 + . . . L Hb 0 + b1 + b2 x2 + . . . L =a0 b0 + Ha0 b1 + a1 b0L x + Ha0 b2 + a1 b1 + a2 b0L x2 + . . .
Essa regra de multiplicação , juntamente com o teorema anterior sobre unicidade, permite-nos obter, facilmente, asérie quociente de duas séries.
EXEMPLO 1. Vamos obter os primeiros termos da série da função ex è!!!!!!!!!!!!!1 + x em potências de x, multiplicando os
fatores que ai aparecem
ex è!!!!!!!!!!!1 + x = ikjj1 + x +
x2
2+x3
6+
x4
24+ . . .y
{zz ikjj1 +
x2
−x2
8+
x3
16− . . . y
{zz
= 1 +32
x +78
x2 +1748
x3 + . .
In[1]:= H∗ Os primeiros termos da série da função ex è!!!!!!!!!!!!!!1 + x ∗LSeriesA x è!!!!!!!!!!!
1 + x , 8x, 0, 5<E
Out[1]= 1 +3 x2
+7 x2
8+17 x3
48+11 x4
128+107 x5
3840+ O@xD6
EXEMPLO 2. Obter os primeiros termos da série (1 + sen x)-1
In[2]:= H∗ Os primeiros termos da série da função ex è!!!!!!!!!!!!!!1 + x ∗LSeries@1êH1 + Sin@xDL, 8x, 0, 5<D
Out[2]= 1 − x + x2 −5 x3
6+2 x4
3−61 x5
120+ O@xD6
Cálculando limites
O desenvolvimento em séries de potências é um recurso muito eficazpara elucidaras indeterminações 0 ê0. Por exemplo, o desenvolvimento,
sen HxL = x −x3
6+
x5
120− . . . = x i
kjj1 −
x2
6+
x4
120− . . . y
{zz
mostra claramente o fator x na função sen x, de sorte quesen xx
= 1 −x2
6+
x4
120donde segue que sen x ê x → com x → 0.
Séries definem novas funções
A importância das séries de potências reside no fato delas serem usadas para definir funções que não têm umadefinição elementar. Por exemplo a função de Bessel J0HxL e J1HxL defenidad, respectivamente por
J0HxL = 1 - x2ÅÅÅÅÅÅ4 + x4
ÅÅÅÅÅÅÅ64 - . . . = ‚n = 0
∞ H−1LnHn !L2 H x
2 L2 n
8 Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb
J1HxL = xÅÅÅÅ2 - x3ÅÅÅÅÅÅÅ16 + x5
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ384 - . . . = ‚n = 0
∞ H−1Lnn! H1 + n L! H x
2 L2 n + 1
amplamente usada em Geofísica.
In[5]:= H∗ Função de Bessel J1 HxL ∗LSeries@BesselJ@0, xD, 8x, 0, 6<D
Out[5]= 1 −x2
4+
x4
64−
x6
2304+ O@xD7
In[6]:= H∗ Função de Bessel J1 HxL ∗LSeries@BesselJ@1, xD, 8x, 0, 6<D
Out[6]=x2
−x3
16+
x5
384+ O@xD7
In[10]:= H∗ Gráficos das funções de Bessel J0 HxL HvermelhoL e J1 HxL HazulL ∗LPlot@8BesselJ@0, xD, BesselJ@1, xD<, 8x, 0, 10<,
PlotStyle → 88RGBColor@1, 0, 0D<, 8RGBColor@0, 0, 1D<<D;
2 4 6 8 10
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rijo Cal 2 Capitulo 5.nb 9
CAPÍTULO 6
Equações DiferenciaisIniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗LOut[1]= 4
6.1 Primeiros exemplos
Chama-se equações diferenciais a uma equação que envolve uma ou mais derivadas de uma função que se desejaencontrar. Assim, se y = y(x) é uma função da variável independente x, são equações diferenciais cada uma dasseguintes equações:
y' + 3 x y = 2, y - sen x y y' = 7, y'' + 9 x y' -7 y = x.
As duas primeiras dessas equações são de primeira ordem, por envolverem apenas a derivasda primeira da função y: jáa terceira é uma equação de segunda ordem, visto ser esta a ordem mais alta das derivadas que nela comparecem.
Um dos problemas mais simples que se formula naturalmente em termo de uma equação diferencial ocorre toda vezque a taxa de variação de uma função é propocional à própria função. Simbolicamente,
y' = k y
o que corresponde à equação diferencial
y' - k y = 0
A única função que a sua derivada é proporcional a própria função é a função exponencial. Assim, a solução daequação
y' - k y = 0
é a função y = C ek x
Dsolve[equation, y[x], x] fornece a solução geral, y[x], da equação diferencial equation cuja variável idependente é x.
In[28]:= H∗ Soluciona a equação diferencial y'− k y = 0 ∗LClear@x, yD;DSolve@y'@xD − k y@xD 0, y@xD, xD
Out[29]= 88y@xD → k x C@1D<<
PlotVectorField[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}, options] produz um campo de vetores da função vetorial f bidimensional.
options:
Axes -> Automatic traça os eixos x e y.
HeadLength -> α determina o tamanho da seta que representa o vetor. α = 0, suprime a ponta da seta.
In[175]:= << Graphics`PlotField`Clear@x, yD;PlotVectorField@81, .2 y<, 8x, −1, 8<,8y, −2, 5<, Axes → Automatic, HeadLength → 0D;
2 4 6 8
-2
-1
1
2
3
4
5
In[35]:= H∗ Soluciona a equação diferencial y'− k y =
0 con valor inicial y H0L = 1 ∗LClear@x, yDDSolve@8y'@xD == k y@xD, y@0D == 1<, y@xD, xD
Out[36]= 88y@xD → k x<<
2 Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb
A expressão y = C ek x chama-se solução geral da equação y' - k y = 0 . Isto porque qualquer solução particular podeser obtida a partir da solução geral, com ajuste conveniente da constante C. A situação com equações diferenciais ésempre assim, elas possuem infinitas soluções. Em geral, quando se modela um problema por meio de uma equaçãodiferencial, é necessário prescrever condiçõies adicionais para individualizar a solução do problema que se desejaresolver. Assim, o problema típico envolvendo uma equação diferencial é o problema de valor inicial, que consiste emresolver a equação, sujeita à condição inicial y(0) = C, onde C é um valor dado.
In[160]:= << Graphics`PlotField`Clear@x, yD;p1 = PlotVectorField@81, .2 y<, 8x, −1, 8<, 8y, −1, 5<,
Axes → Automatic, HeadLength → 0, DisplayFunction → IdentityD;sol = DSolve@8y'@xD − .2 y@xD 0, y@0D == 1<, y@xD, xD;p2 = Plot@y@xD ê. sol, 8x, −1, 8.3<,
PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D;Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
2 4 6 8
-1
1
2
3
4
5
In[2]:= H∗ Série de potências da função esponencial ∗L
SumA xn
n!, 8n, 0, ∞<E
Out[2]= x
Problema do pára-quedistaO problema que vamos considerar agora é o de encontrar a velocidade de um pára-quedista que salta de um avião. Calcula-remos sua velocidade verticala partir da velocidade zero no instante inicial, provando que esta velocidade tende para um valor constante. Isto acontece devido aà resistência do ar.
Seja v = v(t) a velocidade do pára-quedista. Ele está sujeito à ação da força-peso mg (onde m é sua massa e g a acelaração da gravidade) e da força de resistência do ar. Experimentalmente, sabe-se que , para velocidades não muito grandes, esta força é proporcional `a própria velocidade v. Denotando por k a constante de proporcionalidade, e levando em conta que a resistência do ar atua contrariamente ao movimento, a segunda lei de Newton se exprime na forma
m dv/dt = m g - k v,
Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb 3
ou seja, pondo w = k/m,
v ' = g - w v
In[193]:= H∗ Problema do pára−quedista, v H0L = 0 ∗LClear@g, ω, t, vDDSolve@8v'@tD == g − ω v@tD, v@0D 0<, v@tD, tD êê Simplify
Out[194]= 99v@tD →g − −t ω g
ω==
In[207]:= g = 9.8; ω = 1;Plot@g H1 − −ω tLêω, 8t, 0, 5<, PlotRange → 80, 10<D;
1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
In[256]:= H∗ Problema do pára−quedista, v H0L = 1 ∗LClear@g, ω, t, vDsol1 = DSolve@8v'@tD == g − ω v@tD, v@0D 1<, v@tD, tD êê Simplify
Out[257]= 99v@tD →−t ω HH−1 + t ωL g + ωL
ω==
In[252]:= H∗ Problema do pára−quedista, v H0L = 5 ∗LClear@g, ω, t, vDsol2 = DSolve@8v'@tD == g − ω v@tD, v@0D 5<, v@tD, tD êê Simplify
Out[253]= 99v@tD →−t ω HH−1 + t ωL g + 5 ωL
ω==
In[258]:= H∗ Problema do pára−quedista, v H0L = 10 ∗LClear@g, ω, t, vDsol3 = DSolve@8v'@tD == g − ω v@tD, v@0D 10<, v@tD, tD êê Simplify
Out[259]= 99v@tD →−t ω HH−1 + t ωL g + 10 ωL
ω==
4 Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb
In[268]:= H∗ Problema do pára−quedista, v H0L = 15 ∗LClear@g, ω, t, vDsol4 = DSolve@8v'@tD == g − ω v@tD, v@0D 15<, v@tD, tD êê Simplify
Out[269]= 99v@tD →−t ω HH−1 + t ωL g + 15 ωL
ω==
In[276]:= g = 9.8; ω = 1;Plot@8v@tD ê. sol1, v@tD ê. sol2, v@tD ê. sol3, v@tD ê. sol4<,8t, 0, 5<, PlotRange → 80, 16<D;
1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
12
14
16
Equações e operradores lineares
A equação v ' = g - w v é do tipo chamado equação linear não-homogênea. Linear porque ela pode ser escrita naforma Lv = g, onde g é o operador linear L = d/dt + w, que atua na função v(t) da seguinte maneira
L v = (d/dt + w ) v = dv/dt + w v
Operador é um ente que age sobre funções, transformando em outras funções.
Um operador é dito linear quando ele tem a seguinte propriedade: quaisquer que sejam as funções u e v, e quaisquerque sejam as constantes a e b,
L(a u + b v) = a L u + b L v.
Estamos interessados em operadores diferenciais, aqueles que executam derivações. Eis aqui outro exemplo deoperador diferencial linear:
L1 = d2ÅÅÅÅÅÅÅÅdt2
+ f HtL dÅÅÅÅÅÅdt + gHtL
onde f e g são funções com o mesmo domínioque as funções que o operador deve atuar. Este último é um operador desegunda ordem, assim chamado por ser 2 a derivação de ordem mais alta que nele aparece.
A importância da linearidade de um operador reside na seguinte propriedade: se L é um operador linear, e u e v sãosoluções da equação L u = 0, então qualquer combinação linear de u e v também é solução, isto é, L(a u + b v) = 0,quaisquer que sejam as constantes a e b.
Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb 5
Dado um operador L e uma função h, as equações L u = 0 e L u = h são chamadas de equação homogênea e equaçãonão-homogênea, respectivamente. Um outro fato importante sobre operadores lineares é que qualquer solução daequação não=homogênea pode ser obtida como a soma de uma soluçãio particular qualquer desta equação com umasolução conveniente da equação homogênea. Mais explicitamente, de v0 satisfaz L v0 = 0, ebtão qualquer solução vde L v = h pode ser escrtita na forma v = u + v0 , onde u é uma solução conveniente de L u = 0.
Exercícios7. Verifique que a função y(x) = -1 - x + (1 + C) ex é solução do seguinte problema de valor inicial: y ' - y = x, y(0) = C.
In[278]:= H∗ Soluciona a equação diferencial y'− y = x ∗LClear@x, yD;DSolve@y'@xD − y@xD x, y@xD, xD
Out[279]= 88y@xD → −1 − x + x C@1D<<
11. Mostre que sen(w t) e cos(wt) são soluções da equação u '' + w2 u = 0.
In[280]:= H∗ Soluciona a equação diferencial u''+ ω2 u = 0 ∗LClear@t, uD;DSolve@u''@tD + ω2 u@tD 0, u@tD, tD
Out[281]= 88u@tD → C@1D Cos@tD + C@2D Sin@tD<<
6.2 Equações de segunda ordem
Vamos considerar nesta seção, três exemplos de equação de segunda ordem que aparecem em Geofísica. A equaçãodasdas vibrações harmônicas, a equação de Bessel e a equação de Airy.
Vibrações harmônicasA equação das vibrações harmônicas é dada por
x'' + w2 x = 0
em que x(t).
In[3]:= H∗ Soluciona a equação dasvibrações harmônicas ∗LClear@x, tD;DSolve@x''@tD + ω2 x@tD 0, x@tD, tD
Out[4]= 88x@tD → C@1D Cos@t ωD + C@2D Sin@t ωD<<
Equação de Bessel de ordem n
6 Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb
A equação de Bessel de ordem zero é dada por
x y'' + x y' + x2 y = 0
em que x(t).
In[9]:= H∗ Soluciona a equação de Bessel ∗LClear@x, tD;DSolve@x2 y''@xD + x y'@xD + x2 y@xD 0, y@xD, xD
Out[10]= 88y@xD → BesselJ@0, xD C@1D + BesselY@0, xD C@2D<<
A equação de Bessel de ordem um é dada por
x y'' + x y' + Hx2 - 1L y = 0
em que x(t).
In[11]:= H∗ Soluciona a equação de Bessel ∗LClear@x, tD;DSolve@x2 y''@xD + x y'@xD + Hx2 − 1L y@xD 0, y@xD, xD
Out[12]= 88y@xD → BesselJ@1, xD C@1D + BesselY@1, xD C@2D<<
A equação de Bessel de ordem n é dada por
x y'' + x y' + Hx2 - n2L y = 0
em que x(t).
In[13]:= H∗ Soluciona a equação de Bessel ∗LClear@x, yD;DSolve@x2 y''@xD + x y'@xD + Hx2 − n2L y@xD 0, y@xD, xD
Out[14]= 88y@xD → BesselJ@n, xD C@1D + BesselY@n, xD C@2D<<
Equação de AiryA equação de Airy é dada por
y'' + x y = 0
em que x(t).
In[17]:= H∗ Soluciona a equação de Airy ∗LClear@x, yD;DSolve@ y''@xD + x y@xD 0, y@xD, xD
Out[18]= 88y@xD → AiryAi@H−1L1ê3 xD C@1D + AiryBi@H−1L1ê3 xD C@2D<<
Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb 7
6.3 Modelos populacionais
O problema de valor inicial
p'(t) = k p(t), p(0) = p0 ,
que tem solução p(t) = p0 e-kt , é o mais simples de crescimento populacional. Este modelo, chamado modelo maltu-siano, é valido para intervalo de tempo não muito grande.
O modelo logístico
Um modelo mais preciso que o maltusiano foi proposto em 1883 pelo matemático-biólogo holandês F. W. Verhulst.
p'(t) = (a - b p(t)) p(t), p(0) = p0 ,
em que a é a constante de proporcionalidade que aparece na taxa de nascimento ap(t), e b a constante associada à taxade mortalidade bp(t). Verhulst chamou esta equação diferencial de equação logística.
In[19]:= H∗ Soluciona a equação de Airy ∗LClear@t, pD;DSolve@8 p'@tD == Ha − b p@tDL p@tD, p@0D p0<, p@tD, tDSolve::ifun :
Inverse functions are being used by Solve, so some solutions maynot be found; use Reduce for complete solution information. More…
Out[20]= 99p@tD →a a t p0
a − b p0 + b a t p0==
8 Rijo Cal 2 Capitulo 6.nb
CAPÍTULO 7
Limites e integrais imprópriasIniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗LOut[1]= 4
7.1 Limite de uma função no infinito
Diz-se que uma função f(x), com x Ø +¶ se , dado qualquer número e > 0, for sempre possível encontrar um número R tal que
x > R ï | f(x) - L | < e.
Escreve-se
limx Ø +¶ f HxL = L ou mesmo limx Ø ¶ f HxL = L .
EXEMPLO 1. A função L + sen(x)/x converge para L com x Ø +¶
In[58]:= H∗ Limte de L + sen HxLêx com x Ø + ¶ ∗LLimit@L + Sin@xDêx, x → ∞D
Out[58]= L
EXEMPLO 2. A função x/(x + 12) converge para 1 com x Ø +¶
In[59]:= H∗ Limte de xêHx + 12L com x Ø + ¶ ∗LLimit@x ê Hx + 12L , x → ∞D
Out[59]= 1
EXEMPLO 3. A função ax com a < 1 converge para 0 com x Ø +¶
In[60]:= H∗ Limte de ax com x Ø + ¶ ∗LClear@aD
Limit@ax , x → ∞, Assumptions → a < 1DOut[61]= Limit@ax, x → ∞, Assumptions → a < 1D
EXEMPLO 4. A função Hx2 + cos2 xL ê H3 x + 10L diverge para + ¶ com x Ø +¶
In[62]:= H∗ Limte de Hx2 + cos2 xLêH3 x + 10L com x Ø + ¶ ∗LClear@aD
Limit@ Hx2 + Cos@xD2LêH3 x + 10L, x → ∞DOut[63]= ∞
A definição de que f(x) ö L com x Ø ¶ é inteiramente análoga à definição anterior.
Diz-se que uma função f(x), com x Ø -¶ se , dado qualquer número e > 0, for sempre possível encontrar um número R tal que
x > R ï | f(x) - L | < e.
Do mesmo modo, as definições de
limx Ø + ¶ f HxL = + ¶ , limx Ø + ¶ f HxL = - ¶ ,
limx Ø - ¶ f HxL = + ¶ , limx Ø - ¶ f HxL = - ¶ ,
são formuladas de maneira semelhante.
Teorema. Sejam f e g duas funções definidas num semi-eixo x > x0 , tendo limites F e G, respectivamente, com x Ø ¶. Então, f + g, f g, (k f), onde k uma constante qualquer, são funções convergentes além de que,
(a) limx Ø ¶ @ f HxL + gHxLD = limx Ø ¶ f HxL + limx Ø ¶ gHxL = F + G;
(b) limx Ø ¶ k f HxL = k limx Ø ¶ f HxL = k F; em particular, k = -1 nos dá limx Ø ¶ @- f HxL D = -F
(c) limx Ø ¶ @ f HxL gHxLD = limx Ø ¶ f HxL . limx Ø ¶ gHxL = F G;
(d) se, além das hipóteses acima, G ∫ 0, wntão existe limite de f ê g , igual F/G.
ExercíciosEm cada um dos Exercícios 3 a 6 calcule o limite
3. limx Ø ¶ @3 ê x2DIn[64]:= H∗ Limte de 3êx2 com x Ø + ¶ ∗L
Clear@xDLimit@ 3êx2, x → ∞D
Out[65]= 0
4. limx Ø ¶ A 5 cosHxL ëè!!!x E
In[66]:= H∗ Limte de 5 cosHxLëè!!!x com x Ø + ¶ ∗LClear@xD
LimitA 5 Cos@xD ëè!!!!x , x → ∞E
Out[67]= 0
5. limx Ø ¶ @H6 x + 1L ê H2 x + 3LD
2 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[68]:= H∗ Limte de H6 x + 1LêH2 x + 3L com x Ø + ¶ ∗LClear@xD
Limit@ H6 x + 1L êH2 x + 3L, x → ∞DOut[69]= 3
6. limx Ø ¶ AH3 x + 1L ë Iè!!!x + 1ME
In[70]:= H∗ Limte de H3 x +1LëIè!!!x + 1M com x Ø + ¶ ∗LClear@aD
LimitA H3 x + 1L ë Iè!!!!x + 1M, x → ∞E
Out[71]= ∞
Em cada um dos Exercícios 7 a 26 calcule o limite proposto
7. limx Ø ¶ AI2 x +è!!!x M ë Hx - cos xLE
In[80]:= H∗ Limte de I2 x +è!!!x MëHx - cos xL com x Ø + ¶ ∗L
LimitA I2 x +è!!!!
x M ë Hx − Cos@xDL, x → ∞EOut[80]= 2 Null
8. limx Ø ¶ AIsen x - 3 x è!!!x M ë H cos x + 5 x2LE
In[82]:= H∗ Limte de Isen x − 3 x è!!!x MëH cos x + 5 x2L com x Ø + ¶ ∗LClear@xD
LimitA ISin@xD − 3 x è!!!!
x M ë HCos@xD + 5 x2L, x → ∞EOut[83]= 0
9. limx Ø ¶ @H1 + x + 3 x2L ê H 1 - 7 x + 2 x2LDIn[84]:= H∗ Limte de H1 + x + 3 x2LêH1 − 7 x + 2 x2L com x Ø - ¶ ∗L
Limit@ H1 + x + 3 x2LêH1 − 7 x + 2 x2L, x → −∞D
Out[84]=3 Null
2
10. limx Ø ¶ AI1 + x è!!!x M ë I è!!!x - 3ME
In[85]:= H∗ Limte de I1 x è!!!x MëIè!!!x −3M com x Ø ¶ ∗LLimitA I1 x
è!!!!x M ë Iè!!!!
x − 3M, x → ∞EOut[85]= Null ∞
11. limx Ø ¶ AIsen x +è!!!!!!!
-x M ë H 2 + cos xLE
In[86]:= H∗ Limte de Isen x +è!!!!!!
−x MëH2 + cos xL com x Ø - ¶ ∗LLimitA ISin@xD +
è!!!!!!−x M ë H2 + Cos@xDL, x → −∞E
Out[86]= Null ∞
12. limx Ø ¶ @ln x ê H 1 + ln xLDIn[89]:= H∗ Limte de ln xêH1 + ln xL com x Ø ¶ ∗L
Limit@ Log@xDêH1 + Log@xDL, x → ∞D
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 3
13. limx Ø ¶ @H1 - x2L ê H 3 + exLDIn[90]:= H∗ Limte de H1 − x2LêH3 + exL com x Ø -¶ ∗L
Limit@ H1 − x2LêH3 + xL, x → −∞DOut[90]= Null H−∞L
14. limx Ø ¶ AI3 x2 - x è!!!x M ë I 4 x2 + x -
è!!!x ME
In[91]:= H∗ Limte de I3 x2 − x è!!!x MëI4 x2 + x − è!!!x M com x Ø ¶ ∗LLimitA I3 x2 − x
è!!!!x M ë I4 x2 + x −
è!!!!x M, x → ∞E
Out[91]=3 Null
4
15. limx Ø ¶ AIè!!!x + ln xM ë I è!!!x ln x - 1ME
In[92]:= H∗ Limte de Iè!!!x = ln xMëIè!!!x ln x −1M com x Ø ¶ ∗LLimitA Iè!!!!
x + Log@xDM ë Iè!!!!x Log@xD − 1M, x → ∞E
Out[92]= 0
7.2 Integrais impróprias - intervalo ilimitado
Teorema. Seja f(x) uma função não decrescente e limitada superiormente num semi-eixo x ¥ a. Então, f(x) converge para o seu supremo com x Ø ¶.
Teorema. Sejam f e g funções contínuas no semi-eixo x ¥ a. Se
0 § f (x) § g (x) e Ÿa¶
g HxL „ x
converge, emtão também converge a integral imprópria de f, isto é
Ÿa¶
f HxL „ x < ¶.
Por outro lado, se
0 § f (x) § g (x) e Ÿa¶
f HxL „ x
diverge, emtão também converge a integral imprópria de g, isto é
Ÿa¶
g HxL „ x < ¶..
EXEMPLO 1. Determine a integral Ÿ1¶
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H1 - cos xL ê x3 „ x
4 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[93]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H1 − Cos@xDLêx3 , 8x, 1, ∞<E
Out[93]= ‡1
∞
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 − Cos@xDx3
x
NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}] acha uma aproximação numérica da integral de com respeito à variável x de xmin a xmax.
In[96]:= H∗ Integral imprópria numérica ∗LNIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H1 − Cos@xDLêx3 , 8x, 1, ∞<ENIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect oneof the following: singularity, value of the integrationbeing 0, oscillatory integrand, or insufficientWorkingPrecision. If your integrand is oscillatory tryusing the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7recursive bisections in x near x = 284.6830912420604`. More…
Out[96]= 1.97467
EXEMPLO 2. Determine a integral Ÿ1¶
‰-x è!!!!x
è!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 „ x
In[97]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA −
è!!!!x è!!!!!!!!!!!!!!!
1 + x2 , 8x, 1, ∞<E
Out[97]= ‡1
∞−è!!!!x è!!!!!!!!!!!!!1 + x2 x
In[98]:= H∗ Integral imprópria numérica ∗LNIntegrateA −
è!!!!x è!!!!!!!!!!!!!!!
1 + x2 , 8x, 1, ∞<EOut[98]= 11.9775
EXEMPLO 3. Determine a integral Ÿ1¶
x è!!!x ë Hx2 + 1L „ x
In[103]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateAx
è!!!!x ë Hx2 + 1L, 8x, 0, ∞<E
Integrate::idiv : Integral ofx3ê2
1 + x2does not converge on 80, ∞<. More…
Out[103]= ‡0
∞ x3ê2
1 + x2 x
Outros tipos de integrais imprópriasEXEMPLO 4. Determine a integral Ÿ1
¶ Hx + 4L2 ë HHx - 1L6 + 1L „ x
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 5
In[113]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Hx + 4 L2 êHHx − 1L6 + 1L, 8x, −∞, ∞<DN@%D
Out[113]= 17 π
Out[114]= 53.4071
In[111]:= H∗ Integral imprópria numérica ∗LNIntegrate@Hx + 4 L2 êHHx − 1L6 + 1L, 8x, −∞, ∞<D
Out[111]= 53.4071
Os valores das integrais exata e numérica coincidem até a quarta casa decimal.
Integrais absolutamente convergentes
Teorema. Seja f (x) uma função contínua para x ¥ a. Então, a integral imprópriae
Ÿa¶
f HxL „ x
converge se ela for absolutamente convergente, isto é, se for convergente a integral
Ÿa¶
» f HxL … „ x .
EXEMPLO 5. Determine a integral Ÿ1¶
senHxL ê x2 „ x
In[105]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LIntegrate@Abs@Sin@xDêx2D, 8x, 1, ∞<D
Out[105]= −CosIntegral@1D + Sin@1D
A integral dada é absolutamente convergente
In[115]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LIntegrate@Sin@xDêx2, 8x, 1, ∞<DN@%D
Out[115]= −CosIntegral@1D + Sin@1DOut[116]= 0.504067
In[108]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LNIntegrate@Sin@xDêx2, 8x, 1, ∞<DNIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect oneof the following: singularity, value of the integrationbeing 0, oscillatory integrand, or insufficientWorkingPrecision. If your integrand is oscillatory tryusing the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7recursive bisections in x near x = 284.6830912420604`. More…
Out[108]= 0.504894
6 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
Os valores das integrais exata e numérica coincidem até a terceira casa decimal.
EXEMPLO 6. Determine a integral Ÿ1¶
senHxL ê x „ x
A integral dada é absolutamente convergente
In[118]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LIntegrate@Sin@xDêx, 8x, 1, ∞<DN@%D
Out[118]=12Hπ − 2 SinIntegral@1DL
Out[119]= 0.624713
In[123]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LNIntegrate@Sin@xDêx, 8x, 1, ∞<, Method → OscillatoryD
Out[123]= 0.624713
ExercíciosEm cada um dos Exercícios 1 a 28 verifique se a integral dada converge ou diverge
1. Ÿ0¶
x ê Hx3 + 2L „ x
In[124]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LIntegrate@xêHx3 + 2L, 8x, 0, ∞<DN@%D
Out[124]=22ê3 π
3 è!!!3Out[125]= 0.959742
In[126]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LNIntegrate@xêHx3 + 2L, 8x, 0, ∞<D
Out[126]= 0.959742
2. Ÿ0¶
x ê Hx2 + x + 1L „ x
In[130]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LIntegrate@xêHx2 + x + 1L, 8x, 0, ∞<DIntegrate::idiv : Integral of
x1 + x + x2
does not converge on 80, ∞<. More…
Out[130]= ‡0
∞ x1 + x + x2
x
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 7
In[129]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LNIntegrate@xêHx2 + x + 1L, 8x, 0, ∞<DNIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect oneof the following: singularity, value of the integrationbeing 0, oscillatory integrand, or insufficientWorkingPrecision. If your integrand is oscillatory tryusing the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7recursive bisections in x near x = 2.288332793335697`*^56. More…
Out[129]= 23952.5
3. Ÿ0¶
Hx2 - x - 1L ê Hx4 + 1L „ x
In[131]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Hx2 − x − 1LêHx4 + 1L, 8x, 0, ∞<D
Out[131]= −π4
4. Ÿ1¶
cos2 x ë Ix è!!!x M „ x
In[141]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateACos@xD2 ë Ix
è!!!!x M, 8x, 1, ∞<E
N@%D
Out[141]= 1 + Cos@2D + è!!!π ikjjj−1 + 2 FresnelSA 2
è!!!πEy{zzz
Out[142]= 0.806647
In[137]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LNIntegrateACos@xD2 ë Ix
è!!!!x M, 8x, 1, ∞<E
NIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect oneof the following: singularity, value of the integrationbeing 0, oscillatory integrand, or insufficientWorkingPrecision. If your integrand is oscillatory tryusing the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7recursive bisections in x near x = 365.6296662523593`. More…
Out[137]= 0.808726
6. Ÿ1¶
ln x ê x3 „ x
8 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[146]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Log@xDêx3, 8x, 1, ∞<DN@%D
Out[146]=14
Out[147]= 0.25
In[148]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Log@xDêx3, 8x, 1, ∞<D
Out[148]=14
7. Ÿ1¶
ln x ë Ix è!!!x M „ x
In[149]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@xD ë Ix
è!!!!x M, 8x, 1, ∞<E
N@%DOut[149]= 4
Out[150]= 4.
In[152]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@xD ë Ix
è!!!!x M, 8x, 1, ∞<E
Out[152]= 4
8. Ÿ1¶
Hln xL8 í Ix è!!!x M „ x
In[153]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@xD8 ë Ix
è!!!!x M, 8x, 1, ∞<E
N@%DOut[153]= 20643840
Out[154]= 2.06438×107
In[155]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@xD8 ë Ix
è!!!!x M, 8x, 1, ∞<E
Out[155]= 20643840
9. Ÿ1¶
Hln xLr ë x1 + e „ x
In[163]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Log@xDr êx1 + ε, 8x, 1, ∞<, Assumptions → 8r > 0, ε > 0<D
Out[163]= ε−1−r Gamma@1 + rD
10. Ÿ1¶ x ln x ê Hx + 1L2 „ x
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 9
In[164]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@x Log@xDêHx + 1L2, 8x, 1, ∞<D
Integrate::idiv : Integral of x Log@xDH1 + xL2 does not converge on 81, ∞<. More…
Out[164]= ‡1
∞ x Log@xDH1 + xL2 x
In[165]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LNIntegrate@x Log@xDêHx + 1L2, 8x, 1, ∞<DNIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect oneof the following: singularity, value of the integrationbeing 0, oscillatory integrand, or insufficientWorkingPrecision. If your integrand is oscillatory tryusing the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7recursive bisections in x near x = 2.288332793335697`*^56. More…
Out[165]= 1.75681×108
11. Ÿ10¶
1 ê Hx - 5L3ê2 „ x
In[166]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@1êHx − 5L3ê2, 8x, 10, ∞<D
Out[166]=2è!!!5
12. Ÿ10¶
Hx + 1L2 ë Hx4 + 1L „ x
In[167]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Hx + 1L2 êHx4 + 1L, 8x, −∞, 0<D
Out[167]=12I−1 + è!!!2 M π
13. Ÿ1¶
x ê Hx + sen xL2 „ x
In[168]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@x êHx + Sin@xDL2, 8x, 1, ∞<DIntegrate::idiv :
Integral of xHx + Sin@xDL2 does not converge on 81, ∞<. More…
Out[168]= ‡1
∞ xHx + Sin@xDL2 x
10 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[171]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LNIntegrate@x êHx + Sin@xDL2, 8x, 1, ∞<DNIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect oneof the following: singularity, value of the integrationbeing 0, oscillatory integrand, or insufficientWorkingPrecision. If your integrand is oscillatory tryusing the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7recursive bisections in x near x = 2.288332793335697`*^56. More…
Out[171]= 23952.7
14. Ÿ1¶
x ê Hx + cos xL3 „ x
In[172]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@x êHx + Cos@xDL3, 8x, 1, ∞<D
Out[172]= ‡1
∞ xHx + Cos@xDL3 x
In[173]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LNIntegrate@x êHx + Cos@xDL3, 8x, 1, ∞<DNIntegrate::slwcon :
Numerical integration converging too slowly; suspect oneof the following: singularity, value of the integrationbeing 0, oscillatory integrand, or insufficientWorkingPrecision. If your integrand is oscillatory tryusing the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…
NIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7recursive bisections in x near x = 115.50720492118647`. More…
Out[173]= 1.33986
15. Ÿ0¶
Hx4 + x3 + 1L ‰-x „ x
In[174]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Hx4 + x3 + 1L −x, 8x, 0, ∞<D
Out[174]= 31
16. Ÿ0¶
‰ - è!!!x lnHx + 1L „ x
In[25]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA −
è!!!!x Log@x + 1D, 8x, 0, ∞<E
Integrate::idiv :
Integral of − è!!!x Log@1 + xD does not converge on 80, ∞<. More…
Out[25]= ‡0
∞
I −è!!!x Log@1 + xDM x
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 11
A integral dada não converge
17. Ÿ-¶¶
‰-x2 Hx + 1L2 „ x
In[26]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA −x2 Hx + 1L2, 8x, −∞, ∞<E
Out[26]=3 è!!!π2
18. Ÿ-¶¶ H‰x - ‰-xL ê Hx2 + 1L „ x
In[28]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@H x + −xLê Hx2 + 1L, 8x, −∞, ∞<DIntegrate::idiv :
Integral of−x
1 + x2+
x
1 + x2does not converge on 8−∞, ∞<. More…
Out[28]= ‡−∞
∞ −x + x
1 + x2 x
A integral dada não converge
19. Ÿ-¶0
‰-x ê Hx4 + 1L „ x
In[29]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@ −x êHx4 + 1L, 8x, −∞, 0<D
Integrate::idiv : Integral of−x
1 + x4does not converge on 8−∞, 0<. More…
Out[29]= ‡−∞
0 −x
1 + x4 x
A integral dada não converge
20. Ÿ-¶0
‰x Hx4 + 1L „ x
In[30]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@ x Hx4 + 1L, 8x, −∞, 0<D
Out[30]= 25
21. Ÿ0¶senHxL ê Hx2 + 1L „ x
In[31]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Sin@xDêHx2 + 1L, 8x, 0, ∞<D
Out[31]=12è!!!π MeijerGA99 1
2=, 8<=, 99 1
2, 1
2=, 80<=, 1
4E
In[32]:= N@%DOut[32]= 0.646761
22. Ÿ0¶cosHxL ê Ix
è!!!x + 1M „ x
12 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[33]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateACos@xD ë Ix
è!!!!x + 1M, 8x, 0, ∞<E
Out[33]=MeijerG@88 1
12 ,13 ,
712 <, 8<<, 880, 1
12 ,13 ,
13 ,
712 ,
23 ,
56 <, 8 1
6 ,12 <<, 1
46656 D4 è!!!3 π5ê2
In[34]:= N@%DOut[34]= 0.474241
23. Ÿ0¶H1 - 3 senHxLL ê Hx + 1L2 „ x
In[35]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@H1 − 3 Sin@xDLêHx + 1L2, 8x, 0, ∞<D
Out[35]= 1 + 3 Cos@1D CosIntegral@1D −32
π Sin@1D + 3 Sin@1D SinIntegral@1D
In[36]:= N@%DOut[36]= −0.0301339
24. Ÿ0¶senHx2 + 1L ê Hx + 1L3ê2 „ x
In[37]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Sin@x2 + 1DêHx + 1L3ê2, 8x, 0, ∞<D
Out[37]=196
JCos@1D J−6 CosA π8E J16 GammaA 1
4E HypergeometricPFQA9 5
8,
98=, 9 1
2,
34,
54=,
−14E + 15 GammaA−
54E HypergeometricPFQA
9 78,
118
=, 9 34,
54,
32=, −
14EN + 3 CosA 3 π
8E
J64 GammaA 34E HypergeometricPFQA9 3
8,
78=, 9 1
4,
12,
34=, −
14E +
35 GammaA−74E HypergeometricPFQA9 9
8, 13
8=, 9 5
4, 3
2, 7
4=, −
14EN +
512 HypergeometricPFQA9 34, 1,
54=, 9 5
8,
78,
98,
118
=, −14EN +
3 J−64 CosA π8E GammaA 3
4E HypergeometricPFQA9 3
8, 7
8=, 9 1
4, 1
2, 3
4=, −
14E +
32 CosA 3 π8
E GammaA 14E HypergeometricPFQA9 5
8,
98=, 9 1
2,
34,
54=, −
14E +
30 CosA 5 π8
E GammaA−54E
HypergeometricPFQA9 78,
118
=, 9 34,
54,
32=, −
14E − 35 CosA 7 π
8E
GammaA−74E HypergeometricPFQA9 9
8, 13
8=, 9 5
4, 3
2, 7
4=, −
14E +
64 HypergeometricPFQA9 14,
34, 1=, 9 1
8,
38,
58,
78=, −
14EN Sin@1DN
In[39]:= N@%DOut[39]= 0.541044
25. Ÿ0¶I1 + 2 cos
è!!!!!!!!!!!!!!x2 + 1 Më Hx + 1L2 „ x
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 13
In[40]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateAI1 + 2 CosAè!!!!!!!!!!!!!!
x2 + 1 EM ë Hx + 1L2, 8x, 0, ∞<E
Out[40]= ‡0
∞ 1 + 2 CosAè!!!!!!!!!!!!!1 + x2 EH1 + xL2 x
In[41]:= N@%DNIntegrate::ncvb :
NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7recursive bisections in x near x = 983.9478762308564`. More…
Out[41]= 1.20122
26. Ÿ2¶1 ê Hx lnxL „ x
In[42]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@1 êHx Log@xDL, 8x, 2, ∞<D
Integrate::idiv : Integral of1
x Log@xD does not converge on 82, ∞<. More…
Out[42]= ‡2
∞ 1x Log@xD x
27. Ÿ2¶1 ê HxH ln xLrL „ x
In[43]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@1 êHx Log@xDrL, 8x, 2, ∞<, Assumptions → r > 1D
Out[43]=Log@2D1−r
−1 + r
28. Ÿ1¶
xr H ln xLs ‰-x „ x
In[44]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@xr Log@xDs −x, 8x, 1, ∞<, Assumptions → 8 r > 0, s > 0<D
Out[44]= Integrate@ −x xr Log@xDs, 8x, 1, ∞<, Assumptions → 8r > 0, s > 0<D
In[45]:= N@%DNIntegrate::inum :
Integrand −x xr Log@xDs is not numerical at 8x< = 82.<. More…
NIntegrate::inum :
Integrand −x xr Log@xDs is not numerical at 8x< = 82.<. More…
NIntegrate::inum :
Integrand −x xr Log@xDs is not numerical at 8x< = 82.<. More…
General::stop : Further output of NIntegrate::inum willbe suppressed during this calculation. More…
Out[45]= NIntegrate@ −x xr Log@xDs, 8x, 1, ∞<D
29. Ÿ1¶
xx ‰-x „ x
14 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[46]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@xr −x, 8x, 1, ∞<D
Out[46]= Gamma@1 + r, 1D
30. Ÿ1¶
cosHxL ê x „ x
In[47]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Cos@xDêx, 8x, 1, ∞<D
Out[47]= −CosIntegral@1D
31. Ÿ-¶¶ senHxL ê x „ x
In[48]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Sin@xDêx, 8x, −∞, ∞<D
Out[48]= π
32. Ÿ1¶senHxL ëè!!!x „ x
In[49]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateASin@xD ëè!!!!
x , 8x, 1, ∞<E
Out[49]= $%%%%%%π2
i
kjjjjjj1 − 2 FresnelSA$%%%%%%2
πEy
{zzzzzz
33. Ÿ1¶cosHxL ëè!!!x3
„ x
In[50]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateACos@xD ëè!!!!
x3
, 8x, 1, ∞<E
Out[50]=14J2 JExpIntegralEA 1
3, − E + ExpIntegralEA 1
3, E + GammaA 2
3EN − 3 GammaA 5
3EN
34. Ÿ1¶senHx2L „ x
In[51]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Sin@x2D, 8x, 1, ∞<D
Out[51]=12$%%%%%%π
2
i
kjjjjjj1 − 2 FresnelSA$%%%%%%2
πEy
{zzzzzz
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 15
7.3 Limites e integrais impróprias - intervalo limitado
Teorema. Seja f(x) uma função não-decrescente e limitada superiormente num semi-eixo a § x < b. Então, f(x) converge para o seu supremo S com x Ø b_ .
Teorema. Sejam f e g funções contínuas e não limitadas no intervalo a § x < b. Se
0 § f (x) § g (x) e Ÿab
g HxL „ x
converge, emtão também converge a integral imprópria de f, isto é
Ÿab
f HxL „ x = limx Ø b- Ÿab
f HxL „ x < ¶.
Por outro lado, se
0 § f (x) § g (x) e Ÿab
f HxL „ x
diverge, emtão também converge a integral imprópria de g, isto é
Ÿa¶
g HxL „ x = ¶..
Teorema. Seja f (x) uma função contínua em a § x < b, não-limitada e não necessariamente positiva. Então, a integral
Ÿab
f HxL „ x
converge se ela for absolutamente convergente, isto é, se for convergente a integral
Ÿab
» f HxL … „ x .
EXEMPLO 1. Determine a integral Ÿ0x t è!!!!!!!!!!!!!!!!H1 + t2L ëè!!!!!!!!!!!!1 - t „ t
16 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[190]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotAt
è!!!!!!!!!!!!!1 + t2 ëè!!!!!!!!!!!!!
1 − t , 8t, 0, 1<E;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
5
10
15
20
25
30
35
In[186]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateAt
è!!!!!!!!!!!!!1 + t2 ëè!!!!!!!!!!!!!
1 − t , 8t, 0, 1<EN@%D
Out[186]=415
i
kjjjjjj2 + 7 è!!!!!!!!!!!1 + EllipticEA ArcSinhA$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%−
12
−2E, − E −
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−31 + 17 EllipticFA ArcSinhA$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%−
12
−2E, − E
y
{zzzzzz
Out[187]//Short=
1.72418 − 2.36848×10−16
EXEMPLO 2. Determine a integral Ÿ0x sen@1 ê H1 - tLD ëè!!!!!!!!!!!!1 - t „ t
In[189]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotASin@1êH1 − tLD ëè!!!!!!!!!!!!!
1 − t , 8t, 0, 1<E;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
-10
-5
5
10
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 17
In[191]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateASin@1êH1 − tLD ëè!!!!!!!!!!!!!
1 − t , 8t, 0, 1<EN@%D
Out[191]=è!!!!!!!2 π
i
kjjjjjj1 − 2 FresnelCA$%%%%%%2
πEy
{zzzzzz + 2 Sin@1D
Out[192]= 0.571473
EXEMPLO 3. Determine a integral Ÿ01
‰-t ta - 1 „ t
In[189]:= Plot@ −t ta − 1, 8t, 0, 1<D;
In[197]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@ −t ta − 1, , 8t, 0, 1<, Assumptions → a > 0D
Out[197]= Null HGamma@aD − Gamma@a, 1DL
ExercíciosEm cada um dos Exercícios 1 a 18 verifique se a integral dada converge ou diverge
1. Ÿ01
cosHtL êè!!t „ t
In[200]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotACos@tD ëè!!!!
t , 8t, 0, 1<E;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
5
10
15
20
25
In[201]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateACos@tD ëè!!!!
t , 8t, 0, 1<EN@%D
Out[201]=è!!!!!!!2 π FresnelCA$%%%%%%2
πE
Out[202]= 1.80905
2. Ÿ01
sen è!!!!!!!!!!!!!!!x2 + 1 ê Hx2ê3Hx2 + 1LL „ x
18 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[203]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotASinAè!!!!!!!!!!!!!!
x2 + 1 E ë Hx2ê3 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1<E;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
10
20
30
40
In[204]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateASinAè!!!!!!!!!!!!!!
x2 + 1 E ë Hx2ê3 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1<EN@%D
Out[204]= ‡0
1 SinAè!!!!!!!!!!!!!1 + x2 Ex2ê3 H1 + x2L x
Out[205]= 2.34022
3. Ÿ01
‰x ê Hx3ê2Hx2 + 1LL „ x
In[207]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlot@ x êHx3ê2 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
500
1000
1500
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 19
In[210]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@ x êHx3ê2 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1<DIntegrate::idiv :
Integral ofx
x3ê2 H1 + x2L does not converge on 80, 1<. More…
Out[210]= ‡0
1 x
x3ê2 H1 + x2L x
4. Ÿ01
lnH1 - tL êè!!!!!!!!!!!!!!1 - t2 „ t
In[211]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotALog@1 − tD ëè!!!!!!!!!!!!!!!
1 − t2 , 8t, 0, 1<E;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
-80
-60
-40
-20
In[212]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@1 − tD ëè!!!!!!!!!!!!!!!
1 − t2 , 8t, 0, 1<E$RecursionLimit::reclim : Recursion depth of 256 exceeded. More…
$RecursionLimit::reclim : Recursion depth of 256 exceeded. More…
$RecursionLimit::reclim : Recursion depth of 256 exceeded. More…
General::stop : Further output of $RecursionLimit::reclim willbe suppressed during this calculation. More…
Out[212]= −2 Catalan −12
π Log@2D
In[213]:= N@%DOut[213]= −2.92072
In[214]:= H∗ Integral imprópria numérica ∗LNIntegrateALog@1 − tD ëè!!!!!!!!!!!!!!!
1 − t2 , 8t, 0, 1<EOut[214]= −2.92072 + 6.05189×10−51
5. Ÿ0¶
1 êè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!xHx2 + 1L „ x
20 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[215]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x Hx2 + 1L , 8x, 0, ∞<E
Out[215]=8 Gamma@ 5
4 D2
è!!!π
6. Ÿ0¶
‰-x ê Hx2 - 1L3ê2 „ x
In[218]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA −x ë Hx2 − 1L3ê2
, 8x, 0, ∞<EIntegrate::idiv :
Integral of−x
H−1 + x2L3ê2does not converge on 80, ∞<. More…
Out[218]= ‡0
∞ −x
H−1 + x2L3ê2 x
7. Ÿ-¶0
‰x êè!!!!!!!!!-x3 „ x
In[220]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA −x ëè!!!!!!!!
−x3 , 8x, −∞, 0<EIntegrate::idiv :
Integral of−x è!!!!!!!!−x3x3
does not converge on 8−∞, −1<. More…
Out[220]= ‡−∞
−1 −x
è!!!!!!!!−x3
x
8. Ÿ0¶
tanhHtL êè!!t „ t
In[221]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateATanh@tD ëè!!!!
t , 8t, 0, ∞<E
Integrate::idiv : Integral of Tanh@tDè!!!t
does not converge on 80, ∞<. More…
Out[221]= ‡0
∞ Tanh@tDè!!!t
t
9. Ÿ01
‰x êè!!!!!!!!!!!!!!!!!!xH1 - xL „ x
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 21
In[223]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotA x ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x H1 − xL , 8x, 0, 1<E;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
10
20
30
40
In[222]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA x ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x H1 − xL , 8x, 0, 1<E
Out[222]=è!!! π BesselIA0, −
12E
10. Ÿ05
1 êè!!!!!!!!!!!!!!!!!!5 x - x2 „ x
In[224]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!
5 x − x2 , 8x, 0, 5<E;
1 2 3 4 5
1
2
3
4
In[225]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!
5 x − x2 , 8x, 0, 5<EOut[225]= π
11. Ÿ15
ln x êè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!6 x - x2 - 5 „ x
22 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
In[226]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotALog@xD ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
6 x − x2 − 5 , 8x, 1, 5<E;
2 3 4 5
2
4
6
8
10
In[227]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@xD ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
6 x − x2 − 5 , 8x, 1, 5<E
Out[227]=43
+32243
HypergeometricPFQA91, 32, 2=, 9 5
2,
52=, 4
9E + π LogA 1
2I3 +
è!!!5 ME
In[228]:= N@%DOut[228]= 4.52785
12. Ÿ0¶
ln t êè!!!!!!!!!!!!t3 + t „ t
In[229]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@tD ëè!!!!!!!!!!!!!!
t3 + t , 8t, 0, ∞<E
Integrate::idiv : Integral of Log@tDè!!!!!!!!!!!!!t + t3
does not converge on 80, ∞<. More…
Out[229]= ‡0
∞ Log@tDè!!!!!!!!!!!!!t + t3
t
13. Ÿ02
‰t ë H4 - t2L3ê2 „ t
In[1]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA t ë H4 − t2L3ê2
, 8t, 0, 2<EIntegrate::idiv :
Integral oft
H4 − t2L3ê2does not converge on 80, 2<. More…
Out[1]= ‡0
2 t
H4 − t2L3ê2 t
14. Ÿ-22
1 ëè!!!!!!!!!!!!!!4 - t2 „ t
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 23
In[2]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!
4 − t2 , 8t, −2, 2<EOut[2]= π
15. Ÿ01
1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x + sen x „ x
In[3]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x + Sin@xD , 8x, 0, 1<E
Out[3]= ‡0
1 1è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x + Sin@xD
x
In[4]:= H∗ Integral imprópria numérica ∗LNIntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x + Sin@xD , 8x, 0, 1<EOut[4]= 1.42608
16. Ÿ0¶
1 ëè!!!!!!!!!!!!!!x + x3 „ x
In[5]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!
x + x3 , 8x, 0, ∞<E
Out[5]=8 Gamma@ 5
4 D2
è!!!π
18. Ÿ01
cosHxL ê xr „ x, r ¥ 1
In[7]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Cos@xDêxr, 8x, 0, 1<, Assumptions → r ≥ 1DIntegrate::gener : Unable to check convergence. More…
Out[7]= IfAr < 3,HypergeometricPFQ@8 1
2 − r2 <, 8 1
2 ,32 − r
2 <, − 14 D
1 − r,
Integrate@x−r Cos@xD, 8x, 0, 1<, Assumptions → r ≥ 3DE
In[10]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Cos@xDêxr, 8x, 0, 1<, Assumptions → 1 ≤ r < 3DIntegrate::gener : Unable to check convergence. More…
Out[10]=HypergeometricPFQ@8 1
2 − r2 <, 8 1
2 ,32 − r
2 <, − 14 D
1 − r
In[11]:= N@%D ê. r → 2
Out[11]= −1.48639
19. Ÿ01
‰-1êt ê t2 „ t
In[13]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@ −1êt êt2, 8t, 0, 1<D
Out[13]=1
24 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
20. Ÿ01tN ‰-1êt „ t
In[14]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@tN −1êt, 8t, 0, 1<D
Out[14]= Gamma@−1 − N, 1D
21. Ÿ0¶
‰-t tx -1 „ t
In[19]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@ −t tx − 1, 8t, 0, ∞<, Assumptions → x > 0D
Out[19]= Gamma@xD
Integrais impróprias importantes em geofísica1. Ÿ0
¶ ‰a t cosHw tL dt = a ê Ha2 + w2L
In[7]:= Integrate@ −α t Cos@ω tD, 8t, 0, ∞<, Assumptions → 8ω ≥ 0, α ≥ 0<DOut[7]=
αα2 + ω2
2. Ÿ0¶
‰a t senHw tL dt = w ê Ha2 + w2L
In[8]:= Integrate@ −α t Sin@ω tD, 8t, 0, ∞<, Assumptions → 8ω ≥ 0, α ≥ 0<DOut[8]=
ωα2 + ω2
3. 2/pŸ0¶
HsenHw L cosHw tLL ê w dw = (sign(1 - t) + sign(1 + t))/2
In[23]:= 2êπ Integrate@HSin@ω D Cos@ω tDLêω,8ω, 0, ∞<, Assumptions → 8ω ≥ 0, −∞ < t < ∞<D
Out[23]=12HSign@1 − tD + Sign@1 + tDL
In[27]:= Plot@H Sign@1 − tD + Sign@1 + tDLê2,8t, −3, 3<, PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0DD;
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 25
In[28]:= H∗ Gráfico da função f HtL = 1 se »t» < 1, f HtL = 0 se »t» > 1 ∗LPlot@Sign@tD, 8t, −2, 2<, PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0DD;
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
4. Ÿ0¶
J1Hl rL „ l = 1 ê r
In[4]:= H∗ Integral de Lipschitz ∗LIntegrate@BesselJ@1, λ rD, 8λ, 0, ∞<, Assumptions → r > 0D
Out[4]=1r
5. Ÿ0¶
1ë"##################l2+ g2 J1Hl rL „ l = H1 - ‰- r gL ê Hr gL
In[31]:= IntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!λ2 + γ2 BesselJ@1, λ rD,
8λ, 0, ∞<, Assumptions → 8r > 0, γ > 0<E
Out[31]=1 − −r γ
r γ
6. Ÿ0¶
‰-l z J0Hl rL „ l = 1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!r2 + z2
In[3]:= Integrate@ −λ z BesselJ@0, λ rD, 8λ, 0, ∞<, Assumptions → 8r > 0, z ≥ 0<D
Out[3]=1
è!!!!!!!!!!!!!!!r2 + z2
26 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb
CAPÍTULO 8
Seções CônicasIniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗LOut[1]= 4
Já falamos da perábola e da hipérbole no primeiro volume, porém, apenas como gráficos das funções y = k x2 e y = k/x, e de funções obtidas dessas por translação.
8.1 A Elipse
A elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é F− e F+ é constante. Os pontos F− e F+ são chamados focos da elipse e o ponto médio do segmento F−F+ = 2c é chamado centro.
Equação canônica da elipse x2ÅÅÅÅÅÅÅa2 + y2
ÅÅÅÅÅÅÅb2 = 1. Os segmentos a e b são chamados semi-eixos maior e menor da elipse, respectivamente. A excentridade da elipse é definida pelo qociente e = c/a.
A circunferência é uma elípse em que a = b = r. O segmento r é chamado o raio da circunferência.
In[1]:= << Graphics`ImplicitPlot`Show@Graphics@Circle@80, 0<, 82, 1<DD,
Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
EXEMPLO 1. H∗ A equação 2 x2+ 3 y2 = 6 ∗L
In[3]:= << Graphics`ImplicitPlot`H2 x^2 + 3 y^2 − 6Lê6 êê Expand;Print@% + 1, "= 1" Dx2
3+y2
2= 1
Os semi − eixos da elípse são a = è!!!3 e b = è!!!2 .
In[6]:= ShowAGraphicsACircleA80, 0<, 9è!!!!3 ,
è!!!!2 =EE,
Axes → True, AspectRatio → AutomaticE;
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0.5
1
EXEMPLO 2. H∗ A equação 9 x2+ 4 y2 + 54 x − 16 y + 61 = 0 representa um elipse∗L9 x2 + 4 y2 +54 x - 16 y + 61 =0
Agrupando os termos em x e em y, vem
9 Hx2 + 6 xL + 4 Hy2 - 4 yL + 61 = 0
Completando os quadrados
9 Hx2 + 3L2- 81 + 4 Hy2 - 2L2
- 16 + 61 = 0
ou
9 Hx2 + 3L2+ 4 Hy2 - 2L2
= 36
Dividindo amnos os lados por 36, resulta
Hx + 3L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 + Hy - 2L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9 = 1.
Os semi-eixos são: a = 2 e b = 3.
2 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[7]:= Show@Show@Graphics@Circle@8−3, 2<, 82, 3<DD,Axes → True, PlotRange → 88−6, 1<, 8−2, 6<<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−3, 0<, 8−3, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-2
-1
1
2
3
4
5
6
EXEMPLO 3. (* Achar a equação da elipse de semi eixo a = 3 e b = 3/2 centrada no ponto (2,-1) *)
Do exemplo anterior podemos afirmar que a equação canônica da elipse de aimi-eixos a e b centrada no ponto (x0,y0) é dada por
Hx-x0L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa2 + Hy-y0L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅb2 = 1
Portanto, a equação canônica da elipse de aimi-eixos a = 3 e b = 3/2 centrada no ponto (x0,y0) = (2,-1) é
Hx-2L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9 + Hy+1L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9ê4 = 1.
Multiplicado os dois lados da equação por 9 vem
Hx - 2L2 + 4(y +1L2 = 9.
Efetuando os quadrados obtemos a equação da elipse.
x2 + 4 y2 - 4 x + 8 y - 1 = 0
In[8]:= Show@Show@Graphics@Circle@82, −1<, 83, 3ê2<DD,Axes → True, PlotRange → 88−2, 6<, 8−3, 2<<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@880, −1<, 82, −1<, 82, 0<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
1
2
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 3
Exercícios Determinar os semi-eixos a e b, os focos e a ecentricidade das elipses de equações dadas nos Exercícios 1 a 6. Faça os gráficos respectivos.
1. x2 + 4 y2 = 8
A equação canônica da elipse éx2
8+
y2
2= 1.
In[1]:= a =è!!!!
8
b =è!!!!
2c = Sqrt@a^2 − b^2De = cêa
Out[1]= 2 è!!!2Out[2]=
è!!!2Out[3]=
è!!!6
Out[4]=è!!!32
Os semi-eixos a = 2è!!!2 e b = è!!!2 , os focos ±è!!!6 e a ecentricidade c = è!!!3 /2 .
In[5]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 82 Sqrt@2D, Sqrt@2D<DD,Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
2. 9 x2 + 2 y2 = 18
A equação canônica da elipse éx2
2+
y2
9= 1.
In[6]:= a =è!!!!
2b = 3c = Sqrt@b^2 − a^2De = cêa
Out[6]=è!!!2
Out[7]= 3
Out[8]=è!!!7
Out[9]= $%%%%%%72
4 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
Os semi-eixos a = è!!!2 e b = 3 , os focos ±è!!!7 e a ecentricidade c = è!!!!!!!!!7 ê 2 .
In[10]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 8Sqrt@2D, 3<DD,Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
-1-0.5 0.5 1
-3
-2
-1
1
2
3
3. 3 x2 + 5 y2 = 10
A equação canônica da elipse éx2
10ê3 +y2
2= 1.
In[11]:= a =è!!!!!!!!!!!!!
10ê3
b =è!!!!
2c = Sqrt@a^2 − b^2De = cêa
Out[11]= $%%%%%%%%%103
Out[12]=è!!!2
Out[13]=2è!!!3
Out[14]= $%%%%%%25
Os semi-eixos a = è!!!!!!!!!!!10 ê 3 e b = è!!!2 , os focos ±2/è!!!3 e a ecentricidade c = è!!!!!!!!!2 ê 5 .
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 5
In[15]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 8Sqrt@10ê3D, Sqrt@2D<DD,Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0.5
1
4. 4 x2 + 9 y2 + 4 x - 12 y - 31 = 0
Primeiro,vamos determinar a equação canônica da elípse.
Agrupando os termos em x e em y, vem
4 Hx2 + xL + 9 Hy2 - 4 y ê 3L - 31 = 0
Completando os quadrados
4 Hx + 1 ê 2L2 - 1 + 9 Hy - 2 ê 3L2 - 4 - 31= 0
ou
4 Hx + 1 ê 2L2 + 9 Hy - 2 ê3L2 - 36 = 0
Dividindo amnos os lados por 36, resulta
Hx + 1ê2L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9 + Hy - 2ê3L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 = 1.
In[16]:= a = 3b = 2c = Sqrt@a^2 − b^2De = cêa
Out[16]= 3
Out[17]= 2
Out[18]=è!!!5
Out[19]=è!!!53
Os semi-eixos a = 3 e b = 2 , os focos ±è!!!5 e a ecentricidade c = è!!!5 ë 3 .
6 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[20]:= Show@Show@Graphics@Circle@8−1ê2, 2ê3<, 83, 2<DD,Axes → True, PlotRange → 88−4, 3<, 8−2, 3<<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−1ê2, 0<, 8−1ê2, 2ê3<, 80, 2ê3<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
5. 5 x2 + 9 y2 - 10 x + 18 y - 31 = 0
Primeiro,vamos determinar a equação canônica da elípse.
Agrupando os termos em x e em y, vem
5 Hx2 - 2 xL + 9 Hy2 + 2 yL - 31 = 0
Completando os quadrados
5 Hx - 1L2 - 5 + 9(y + 1L2 - 9 - 31= 0
ou
5(x -1L2 + 9(y +1L2 - 45 = 0
Dividindo amnos os lados por 45, resulta
Hx -1L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9 + Hy + 1L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5 = 1.
In[21]:= a = 3
b =è!!!!
5c = Sqrt@a^2 − b^2D;e = cêa
Out[21]= 3
Out[22]=è!!!5
Out[24]=23
Os semi-eixos a = 3 e b = è!!!5 , os focos e a ecentricidade c = 2 ê 3 .
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 7
In[25]:= ShowAShowAGraphicsACircleA81, −1<, 93,è!!!!
5 =EE,
Axes → True, PlotRange → 88−3, 6<, 8−4, 2<<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityE,
ListPlot@881, 0<, 81, −1<, 80, −1<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
-2 2 4 6
-4
-3
-2
-1
1
2
6. 10 x2 + 4 y2 + 40 x - 24 y + 36 = 0
Primeiro,vamos determinar a equação canônica da elípse.
Agrupando os termos em x e em y, vem
10 Hx2 + 4 xL + 4 Hy2 - 6 yL + 36 = 0
Completando os quadrados
10 Hx + 2L2 - 40 + 4(y - 3L2 - 36 + 36= 0
ou
10(x + 2L2 + 4(y - 3L2 - 40 = 0
Dividindo amnos os lados por 45, resulta
Hx + 2L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 + Hy - 3L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ10 = 1.
In[26]:= a = 2
b =è!!!!!!
10c = Sqrt@b^2 − a^2De = cêa
Out[26]= 2
Out[27]=è!!!!!!10
Out[28]=è!!!6
Out[29]= $%%%%%%32
Os semi-eixos a = 2 e b = è!!!!!!10 , os focos c = ±è!!!6 e a ecentricidade e = è!!!!!!!!!3 ê 2 .
8 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[30]:= ShowAShowAGraphicsACircleA8−2, 3<, 92,è!!!!!!
10 =EE,
Axes → True, PlotRange → 88−4, 1<, 8−1, 8<<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityE,
ListPlot@88−2, 0<, 8−2, 3<, 80, 3<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
-4 -3 -2 -1 1
2
4
6
8
10. Calcule o semi-- eixo menor da órbita da Terra. Ecentricidade igual a 0,017. Trace o gráfico da órbita
In[31]:= Clear@aDb = 10;Solve@Sqrt@b^2 − a^2Dêa 0.017, aD
Out[33]= 88a → 9.99856<<
In[34]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 89.99856, 10<DD,Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
11. Desenhe as óbtitas de Mercúrio (ecentricidade igual a 0,206) e de Marte (ecentricidade igual a 0,093
Órbita de Mercúrio
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 9
In[35]:= Clear@aDb = 10;Solve@Sqrt@b^2 − a^2Dêa 0.206, aD
Out[37]= 88a → 9.79434<<
In[38]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 89.79434, b<DD,Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
Órbita de Marte
In[39]:= Clear@aDb = 10;Solve@Sqrt@b^2 − a^2Dêa 0.093, aD
Out[41]= 88a → 9.95703<<
In[42]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 89.95703, b<DD,Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
10 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
8.2 A Hipérbole
A hiperbóle é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos é F− e F+ é constante. Os pontos F− e F+ são chamados focos da hipérbole e o ponto médio do segmento F−F+ = 2c é chamado centro.
Equação canônica da elipse x2ÅÅÅÅÅÅÅa2 - y2
ÅÅÅÅÅÅÅb2 = 1. Os segmentos a e b são chamados semi-eixos maior e menor da hipér-pole, respectivamente. A excentridade da elipse é definida pelo qociente e = c/a.
Uma hipérbole é dita equlátera quando a = b. Neste caso a equação canônica passa a ser x2 + y2 = a2 .
Os gráficos da hiperbóle x2 ê b2 - y2 ê b2 = 1 e das duas assintotas y = ± b x/a, sendo a = 4 e b = 4 ëè!!!2
In[1]:= << Graphics`ImplicitPlot`a = 4;b = 4êSqrt@2D;Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@x2 êa2 − y2 ê b2 1,8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-6
-4
-2
2
4
6
Os gráficos da hiperbóle equilátera x2 - y2 = a2 e das duas assintotas y = ± x, sendo a = 4.
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 11
In[5]:= a = 4;Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@x2 − y2 a2, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
Os gráficos da hiperbóle equilátera y2 - x2 = a2 e das duas assintotas y = ± x, sendo a = 4.
In[7]:= a = 4; Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@y2 − x2 a2, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
Exercícios Determinar os semi-eixos a e b, os focos e a ecentricidade das hipérboles de equações dadas nos Exercícios 1 a 16. Faça os gráficos respectivos.
1. x2 ê 9 - y2 ê4 = 1
A equação canônica da hipérbole éx2
9−
y2
4= 1.
12 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[1]:= a = 3b = 2
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[1]= 3
Out[2]= 2
Out[3]=è!!!!!!13
Out[4]=è!!!!!!133
Os semi-eixos a = 3 e b = 2 , os focos (±è!!!!!!13 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!!!!13 /3 .
In[5]:= Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@x^2êa2 − y^2ê b2 − 1 0,8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-6
-4
-2
2
4
6
2. x2 ê 4 - y2 ê9 = 1
A equação canônica da hipérbole éx2
4−
y2
9= 1.
In[6]:= a = 2b = 3
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[6]= 2
Out[7]= 3
Out[8]=è!!!!!!13
Out[9]=è!!!!!!132
Os semi-eixos a = 2 e b = 3 , os focos (±è!!!!!!13 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!!!!13 /3 .
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 13
In[10]:= Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@x^2êa2 − y^2ê b2 − 1 0,8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-15
-10
-5
5
10
15
3. 4 x2 - 25 y2 = 100
Dividindo os dois lados da equação 4 x2 − 25 y2 = 100 por 100, vemx2
25−
y2
4= 1.
In[11]:= a = 5b = 2
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[11]= 5
Out[12]= 2
Out[13]=è!!!!!!29
Out[14]=è!!!!!!295
Os semi-eixos a = 5 e b = 2 , os focos (±è!!!!!!29 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!!!!29 /5 .
In[15]:= Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@x^2êa2 − y^2ê b2 − 1 0,8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-4
-2
2
4
4. 25 x2 - 9 y2 = 225
14 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
Dividindo os dois lados da equação 25 x2 − 9 y2 = 225 por 225, vemx2
9−
y2
25= 1.
In[16]:= a = 3b = 5
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[16]= 3
Out[17]= 5
Out[18]=è!!!!!!34
Out[19]=è!!!!!!343
Os semi-eixos a = 3 e b = 5 , os focos (±è!!!!!!34 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!!!!34 /3 .
In[20]:= Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@x^2êa2 − y^2ê b2 − 1 0,8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-15
-10
-5
5
10
15
5. x2 - y2 = 9
Dividindo os dois lados da equação x2 − y2 = 9 por 9, vemx2
9−
y2
9= 1.
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 15
In[21]:= a = 3b = 3
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[21]= 3
Out[22]= 3
Out[23]= 3 è!!!2Out[24]=
è!!!2
Os semi-eixos a = 3 e b = 3 , os focos (±3 è!!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!2 .
In[25]:= Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@x^2 − y^2 9, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
6. y2 - x2 = 25
Dividindo os dois lados da equação y2 − x2 = 25 por 25, vemy2
25−
x2
25= 1.
In[26]:= a = 5b = 5
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[26]= 5
Out[27]= 5
Out[28]= 5 è!!!2Out[29]=
è!!!2
Os semi-eixos a = 5 e b = 5 , os focos (±5 è!!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!2 .
16 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[30]:= Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@y^2 − x^2 25, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
7. x2 - y2 = 4
Dividindo os dois lados da equação x2 − y2 = 4 por 4, vemx2
4−
y2
4= 1.
In[31]:= a = 2b = 2
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[31]= 2
Out[32]= 2
Out[33]= 2 è!!!2Out[34]=
è!!!2
Os semi-eixos a = 2 e b = 25 , os focos (±2è!!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!2 .
In[35]:= Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@x^2êa2 − y^2ê b2 − 1 0, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
8. y2 - x2 = 4
Dividindo os dois lados da equação y2 − x2 = 4 por 4, vemy2
4−
x2
4= 1.
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 17
In[36]:= a = 2b = 2
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[36]= 2
Out[37]= 2
Out[38]= 2 è!!!2Out[39]=
è!!!2
Os semi-eixos a = 2 e b = 2 , os focos (±2è!!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!2 .
In[40]:= Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@y^2êa2 − x^2ê b2 − 1 0, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
9. x2 - 4 y2 = 1
Reescrevendo da equação x2 − 4 y2 = 1, vem
x2
1−
y2
1ê4 = 1.
In[41]:= a = 1
b =è!!!!!!!!!!
1ê4
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[41]= 1
Out[42]=12
Out[43]=è!!!52
Out[44]=è!!!52
Os semi-eixos a = 1 e b = 1/2 , os focos (±è!!!5 ë 2, 0 ) e a ecentricidade c = è!!!5 /2 .
18 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[45]:= Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@x^2 − 4 y^2 − 1 0, 8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
10. 9 x2 - y2 = 1
Reescrevendo da equação 9 x2 − y2 = 1, vem
x2
1ê9 −y2
1= 1.
In[46]:= a =è!!!!!!!!!!
1ê9b = 1c = Sqrt@a^2 + b^2De = cêa
Out[46]=13
Out[47]= 1
Out[48]=è!!!!!!103
Out[49]=è!!!!!!10
Os semi-eixos a = 1/3 e b = 1 , os focos (±è!!!!!!10 ë 3, 0 ) e a ecentricidade c = è!!!!!!10 .
In[50]:= Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −1, 1<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@9 x^2 − y^2 − 1 0, 8x, −1, 1<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-1-0.5 0.5 1
-3
-2
-1
1
2
3
11. x2 - 25 y2 = 1
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 19
Reescrevendo a equação x2 − 25 y2 = 1, vem
x2
1−
y2
1ê25 = 1.
In[51]:= a = 1b = 1ê5
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[51]= 1
Out[52]=15
Out[53]=è!!!!!!265
Out[54]=è!!!!!!265
Os semi-eixos a = 1 e b =1/ 5 , os focos (±è!!!!!!26 ë 5, 0 ) e a ecentricidade c = è!!!!!!26 /5 .
In[55]:= Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −4, 4<,PlotRange → 8−2, 2<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@x^2 − 25 y^2 − 1 0, 8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-4 -2 2 4
-2-1.5-1
-0.5
0.51
1.52
12. 4 y2 - x2 = 1
Reescrevendo a equação 4 y2 − x2 = 1, vem
y2
1ê4 −x2
1= 1.
In[56]:= a = 1ê2b = 1
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[56]=12
Out[57]= 1
Out[58]=è!!!52
Out[59]=è!!!5
Os semi-eixos a = 1/2 e b = 1 , os focos (±è!!!5 ë 2, 0 ) e a ecentricidade c = è!!!5 .
20 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[60]:= Show@8Plot@8aê b x, −aê b x<, 8x, −2, 2<,PlotRange → 8−2, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@4 y^2 − x^2 − 1 0, 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-2 -1 1 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
13. 4 x2 - 9 y2 - 8 x - 36 y - 68 = 0
Agrupando os termos em x e em y, vem
4 Hx2 - 2 xL - 9 Hy2 + 4 yL - 68 = 0
Completando os quadrados
4 Hx - 1L2 - 4 - 9 Hy + 2L2 + 36 - 68= 0
ou
4(x - 1L2 - 9(y + 2L2 - 36 = 0
Dividindo amnos os lados por 36, resulta
Hx -1L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9 - Hy + 2L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 = 1.
In[61]:= a = 3b = 2
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[61]= 3
Out[62]= 2
Out[63]=è!!!!!!13
Out[64]=è!!!!!!133
Os semi-eixos a = 3 e b = 2 , os focos ±è!!!!!!13 e a ecentricidade c = è!!!!!!13 ë 3 .
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 21
In[65]:= Show@8Plot@8bêa Hx − 1L − 2, −bêa Hx − 1L − 2<,8x, −10, 12<, PlotRange → 8−10, 8<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@Hx − 1L^2ê9 − Hy + 2L^2ê4 − 1 0,8x, −10, 12<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
14. y2 - x2 + 2 x - 4 y - 22 = 0
Agrupando os termos em x e em y, vem
- Hx2 - 2 xL + Hy2 - 4 yL - 22 = 0
Completando os quadrados
- Hx - 1L2 + 1 + Hy2 - 2L2 - 4 - 22= 0
ou
(x - 1L2 + (y + 2L2 - 25 = 0
Dividindo amnos os lados por 25, resulta
Hx -1L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ25 - Hy + 2L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ25 = 1.
In[66]:= a = 5b = 5
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[66]= 5
Out[67]= 5
Out[68]= 5 è!!!2Out[69]=
è!!!2
Os semi-eixos a = 5 e b = 5 , os focos 5è!!!2 e a ecentricidade c = è!!!2 .
22 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[70]:= Show@8Plot@8Hx − 1L − 2, −Hx − 1L − 2<, 8x, −10, 12<,PlotRange → 8−10, 12<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@Hx − 1L^2 − Hy + 2L^2 25, 8x, −10, 12<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
15. x2 - y2 + 4 x - 6 y - 9 = 0
Agrupando os termos em x e em y, vem
Hx2 + 4 xL - Hy2 + 6 yL - 9 = 0
Completando os quadrados
(x + 2L2 - 4 - Hy + 3L2 + 9 - 9 = 0
ou
(x + 2L2 - (y + 3L2 - 4 = 0
Dividindo amnos os lados por 4, resulta
Hx + 2 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 - Hy + 3L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 = 1.
In[71]:= a = 2b = 2
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[71]= 2
Out[72]= 2
Out[73]= 2 è!!!2Out[74]=
è!!!2
Os semi-eixos a = 2 e b = 2 , os focos 2è!!!2 e a ecentricidade c = è!!!2 .
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 23
In[75]:= Show@8Plot@8Hx + 2L − 3, −Hx + 2L − 3<, 8x, −10, 6<,PlotRange → 8−10, 6<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@Hx + 2L^2 − Hy + 3L^2 4, 8x, −10, 6<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
16. 2 y2 - 3 x2 + 12 x - 12 y + 12 = 0
Agrupando os termos em x e em y, vem
2Hy2 - 6 yL - 3 Hx2 - 4 xL + 12 = 0
Completando os quadrados
2(y - 3L2 - 18 - 3 Hx - 2L2 + 12 + 12 = 0
ou
2(y - 3L2 - 3 (x - 2L2 - 6 = 0
Dividindo amnos os lados por 6, resulta
Hy - 3 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 - Hx - 2L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = 1.
In[76]:= a =è!!!!
3
b =è!!!!
2
c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a^2 + b^2e = cêa
Out[76]=è!!!3
Out[77]=è!!!2
Out[78]=è!!!5
Out[79]= $%%%%%%53
Os semi-eixos a = 1 e b = 1 , os focos 2è!!!2 e a ecentricidade c = è!!!2 .
24 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[80]:= ShowA9PlotA9è!!!!!!!!!!3ê2 Hx − 2L + 3, −
è!!!!!!!!!!3ê2 Hx − 2L + 3=,
8x, −3, 8<, PlotRange → 8−3, 8<, DisplayFunction → IdentityE,
ImplicitPlot@HHy − 3L^2Lê3 − HHx − 2L^2Lê2 1,8x, −3, 8<, DisplayFunction → IdentityD=,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
-2 2 4 6 8
-2
2
4
6
8
Em cada um dos Exercícios 17 a 20 ache a equação da hip[erbole de parâmetros dados e faça um gráfico.
17. Focos (-1, 0), (5, 0) e semi-eixo horizontal igual a 2.
Hx - 2 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4-
y2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5
= 1.
In[81]:= ShowA9PlotA9è!!!!5 ë 2 Hx − 2L, −
è!!!!5 ë 2 Hx − 2L=, 8x, −4, 8<,
PlotRange → 8−8, 8<, DisplayFunction → IdentityE, ImplicitPlot@HHx − 2L^2Lê4 − Hy^2Lê5 1, 8x, −4, 8<, DisplayFunction → IdentityD=,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
-4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
18. Focos (-1, 0), (5, 0) e semi-eixo horizontal igual a 2.
4 Hy - 3 ê 2 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
25-
x2ÅÅÅÅÅÅÅÅ1
= 1.
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 25
In[82]:= Show@8Plot@85ê2 x + 3ê2, −5ê2 x + 3ê2<,8x, −4, 4<, PlotRange → 8−8, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@4 HHy − 3ê2L^2Lê25 − Hx^2L 1,8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-4 -2 2 4
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
19. Focos (-1, 1), (4, 1) e excentricidade e = 5/3.
4 Hx - 3 ê2 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
9-
Hy - 1 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4= 1.
In[83]:= Show@8Plot@84ê3 Hx − 3ê2L + 1, −4ê3 Hx − 3ê2L + 1<,8x, −6, 8<, PlotRange → 8−6, 8<, DisplayFunction → IdentityD,
ImplicitPlot@4 HHx − 3ê2L^2Lê9 − HHy − 1L^2Lê4 1,8x, −6, 8<, DisplayFunction → IdentityD<,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-6 -4 -2 2 4 6 8
-6
-4
-2
2
4
6
8
26 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
8.3 A Parábola
A parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de uma reta fixa e de um ponto fixo. A reta é chamada diretriz e o ponto fixo é o foco da parábola.
Equação canônica da parábola x2 + Hy - pL2 = Hy + pL2 ou equivalentemente x2 = 4 py. O eixo de simetria é chamado o eixo da parábola. A origem do sistema de coordenadas, que pertence à parábola, é chama o deu vértice. A equação da diretriz é y = - p e o foco é o ponto F = (0, p).
A equação y2 = 4 px também representa uma parábola em que a diretriz é x = p e o foco F = (p, 0).
In[1]:= p1 = Show@Plot@x^2, 8x, −2, 2<,Epilog → 8Text@"F", 8.2, 1.5<D, Text@"D", 81.8, 0.3<D<,DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@88−2, −1<, 82, −1<<,PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@880, 1.5<<,PlotStyle → [email protected]<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−3ê2, −1<, 8−3ê2, 9ê4<, 80, 3ê2<<,PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityDD;
In[2]:= p2 = Show@Plot@−x^2, 8x, −2, 2<,Epilog → 8Text@"F", 8.2, −1.5<D, Text@"D", 81.8, 0.7<D<,DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@88−2, 1<, 82, 1<<,PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@880, −1.5<<,PlotStyle → [email protected]<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−3ê2, 1<, 8−3ê2, −9ê4<, 80, −3ê2<<,PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityDD;
In[3]:= Show@GraphicsArray@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionDD;
-2 -1 1 2-1
1
2
3
4
F
D
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
F
D
Exemplo 1 (* p.147 *)
H∗ Encontar a equação da parábola com foco F=
H1,2L e diretriz a reta y = −1 ∗L
Neste caso o vértice é o ponto V = (1, 3/2) e a equação da parábola é
Hx - 1L2 + Hy - 2L2 = Hy - 1L2
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 27
isto é
x2 - 2 x + 1 - 4 y + 4 = -2 y + 1
e finalmente,
y = x2 ê 2 - x + 2
In[19]:= << Graphics`ImplicitPlot`Show@Plot@81, x^2ê2 − x + 2<, 8x, −2, 4<, PlotRange → 80, 4<,
Epilog → 8Text@"F", 81.2, 2.2<D, Text@"D", 83.8, 1.2<D<,DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 2<<, PlotStyle → [email protected]<,DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-2 -1 1 2 3 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
F
D
Exemplo 2 (* p.147 *)
H∗ Toda equação do segundo grau y =
ax2 + bx + c representa uma parábola. ∗L
Para provarmos isso, cpmeçamos por completar o quadrado no dsegundo membro
y = aHx2 + 2 xb ê 2 aL + c =
= aHx2 + 2 xb ê 2 a + b2 ê 4 b2L + c - b2 ê 4 b2 = aHx + b ê 2 aL2 + H4 ac - b^2L ê 4 a
Portanto,
Hx + 2 xb ê 2 a L2 = 1ÅÅÅÅa Hy + H b^2 - 4 ac L ê 4 a L
Isto sugere a transformação de eixo dada por,
X = x + b ê 2 a e Y = y + Hb2 - 4 acL /4a
Pondo ainda p = 1/4a, a equação da parabóla assume a forma canônica
X 2 = 4pY
O foco é ara provarmos isso, cpmeçamos por completar o quadrado no dsegundo membro
y = aHx2 + 2 xb ê 2 aL + c =
= aHx2 + 2 xb ê 2 a + b2 ê 4 b2L + c - b2 ê 4 b2 = aHx + b ê 2 aL2 + H4 ac - b^2L ê 4 a
28 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
Portanto,
Hx + 2 xb ê 2 a L2 = 1ÅÅÅÅa Hy + H b^2 - 4 ac L ê 4 a L
Isto sugere a transformação de eixo dada por,
X = x + b ê 2 a e Y = y + Hb2 - 4 acL /4a
Pondo ainda p = 1/4a, a equação da parabóla assume a forma canônica
X 2 = 4pY
Exercícios Faça o gráfics das equações dadas nos Exercícios 1 a 7, indicando a diretriz, o foco e o vértice, em cada caso.
1. y = x2
In[198]:= << Graphics`ImplicitPlot`ImplicitPlot@y − x2 0, 8x, −2, 2<D;
-2 -1 1 2
1
2
3
4
2. y2 = 6 x
In[34]:= ImplicitPlot@y^2 − 6 x 0, 8x, 0, 6<D;
1 2 3 4 5 6
-6
-4
-2
2
4
6
3. y2 = - 5 x
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 29
In[36]:= ImplicitPlot@y^2 + 5 x 0, 8x, −6, 0<D;
-6-5-4-3-2-1
-4
-2
2
4
4. y = 4 - x2
In[44]:= ImplicitPlot@y − 4 + x2 0, 8x, −3, 3<D;
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
5. y = x2 + 2 x - 1
In[46]:= ImplicitPlot@y − x2 − 2 x + 1 0, 8x, −4, 2<D;
-4 -3 -2 -1 1 2
-2
2
4
6
6. y = 3 x2 + 12 x + 4
30 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[51]:= ImplicitPlot@y − 3 x2 − 12 x − 4 0, 8x, −5, 1<D;
-5-4-3-2-1 1
-5
5
10
15
7. x = 2 y2 + 6 y + 5
In[53]:= ImplicitPlot@x − 2 y2 − 6 y − 5 0, 8x, −2, 4<D;
1 2 3 4
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 31
8.4 Rotação de eixos
In[183]:= q1 = Show@[email protected], 5<<, Ticks → False, PlotRange → 88−1, 2<, 8−6, 6<<,AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → [email protected]<,Epilog → 8Text@"X", 81.95, 3.8<D, Text@"Y", 8−.3, 5.5<D, Text@"θ",
8.5, .3<D, Text@"R", 8.8, 3.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,[email protected], 0<, 81.5, 5<, 80, 5<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,ListPlot@880, 0<, 81.5, 5<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D<, DisplayFunction → IdentityDD;
In[109]:= q2 = Show@ListPlot@880, 0<, 82.5, 4.2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], −14<, 8−.5, 14<<, PlotJoined → True,PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 3<, 81.5, 5<, 8−.1, 2.2<<, PlotJoined → True, PlotStyle →
[email protected]<D, RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityDD;
In[184]:= Show@8q1, q2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
x
y
X
Y
θ
R
Transformção direta Transformção inversa
x = X cosq - Y senq X = x cosq + y senq
y = X senq + Y cosq Y = -x senq + y cosq
A distância R da origem ao ponto (x, y) é um invariante, isto é, a distância R não varia com a rotação dos eixos.
32 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[201]:= k = 8;Plot@8x, −x, kêx<, 8x, −10, 10<,
PlotRange → 88−10, 10<, 8−10, 10<<, AspectRatio → AutomaticD;
-10-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
In[204]:= k = −8;Plot@8x, −x, kêx<, 8x, −10, 10<,
PlotRange → 88−10, 10<, 8−10, 10<<, AspectRatio → AutomaticD;
-10-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 33
8.5 As Quádricas
A equação geral do segundo grau em duas variáveis x e y tem a forma
ax2 + b x y + c y2 + dx + ey + f = 0 (1)
Chama-se quádricas toda curva plana cujos pontos (x, y) são soluções da equação (1).
O parâmetro D = 4 a c - b2 é chamado o discriminante da equação (1). O discriminante é invariante com relação à rotação dos eixos de coordenadas.
O discriminante é usado para distinguir as quádricas:
Caso 1: D = 4 a c - b2 > 0. A equação (1) representa uma elípse, um ponto ou um conjunto vazio.
Caso 2: D = 4 a c - b2 < 0. A equação (1) representa uma hipérbole ou duas retas.
Caso 3: D = 4 a c - b2 = 0. A equação (1) representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o con-junto vazio.
EXEMPLO 1. A equação 13 x2 − 10 x y + 13 y2 + 34 è!!!2 x − 2 è!!!2 y − 22 = 0 representa uma elipse
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[218]:= a = 13; b = −10; c = 13;4 a c − b2
Out[219]= 576
O discriminante é maior que zero, portanto a equação representa, de fato, uma elípse.
In[203]:= << Graphics`ImplicitPlot`ImplicitPlotA
13 x^2 − 10 x y + 13 y^2 + 34è!!!!
2 x − 2è!!!!!
2 y − 11 0, 8x, −6, 2<E;
-4 -3 -2 -1
-3
-2
-1
1
34 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
EXEMPLO 2. A equação 2 x2 − x y + 5 x − y + 3 = 0 representa duas retas
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[220]:= a = 2; b = −1; c = 0;4 a c − b2
Out[221]= −1
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[113]:= Factor@2 x^2 − x y + 5 x − y + 3DOut[113]= H1 + xL H3 + 2 x − yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: x = -1 e y = 2x + 3.
In[115]:= Plot@8−1, 2 x + 3<, 8x, −2, 2<D;
-2 -1 1 2
2
4
6
EXEMPLO 3. A equação x2 − 9 y2 + 2 x − 6 y = 0 representa duas retas
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[222]:= a = 1; b = 0; c = −9;4 a c − b2
Out[223]= −36
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[122]:= Factor@x^2 − 9 y^2 + 2 x − 6 yDOut[122]= Hx − 3 yL H2 + x + 3 yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: y = x/3 e y = -x/3 - 2/3.
In[124]:= Plot@8xê3, −xê3 − 2ê3<, 8x, −2, 2<D;
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 35
ExercíciosIndique, nos Exercícios 1 a 18, as quádricas de equações dadas e efetue as transformações necessárias para se obterm as respectivas equações cônicas. Faça o gráfico em cada caso.
1. 3 x2 + 2 è!!!3 x y + y2 - 5 x = 0
Valor do discriminante D = a c - b2
In[214]:= a = 3; b = 2 è!!!!
3 ; c = 1;4 a c − b2
Out[215]= 0
O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representar uma parábola.
In[133]:= FactorA3 x2 + 2 è!!!!
3 x y + y2 − 5 xE
Out[133]= −5 x + 3 x2 + 2 è!!!3 x y + y2
In[134]:= ImplicitPlotA3 x2 + 2 è!!!!
3 x y + y2 − 5 x 0, 8x, −2, 10<E;
2 4 6 8 10
-25
-20
-15
-10
-5
2. x2 - 3 x y + x = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[216]:= a = 1; b = −3; c = 0;4 a c − b2
Out[217]= −9
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[138]:= Factor@x2 − 3 x y + xDOut[138]= x H1 + x − 3 yL
36 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: x = 0 e y = x/3 + 1/3.
In[140]:= Plot@80, xê3 + 1ê3<, 8x, −2, 2<D;
-2 -1 1 2-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3. 2 x2 + 3 x y + 2 y2 - x - 5 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[224]:= a = 2; b = 3; c = 2;4 a c − b2
Out[225]= 7
O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio.
In[142]:= Factor@2 x2 + 3 x y + 2 y2 − x − 5DOut[142]= −5 − x + 2 x2 + 3 x y + 2 y2
In[145]:= ImplicitPlot@2 x2 + 3 x y + 2 y2 − x − 5 0, 8x, −2, 4<D;
-2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
4. 2 y2 - 4 x y - y = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[226]:= a = 0; b = −4; c = 2;4 a c − b2
Out[227]= −16
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[147]:= Factor@2 y2 − 4 x y − yDOut[147]= y H−1 − 4 x + 2 yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: y = 0 e y = 2x + 1/2.
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 37
In[148]:= Plot@80, 2 x + 1ê2<, 8x, −2, 2<D;
-2 -1 1 2
-2
2
4
5. x2 - x y + 1 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[228]:= a = 1; b = −1; c = 0;4 a c − b2
Out[229]= −1
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[156]:= Factor@x2 − x y + 1DOut[156]= 1 + x2 − x y
In[167]:= ImplicitPlot@x2 − x y + 1 0, 8x, −3, 3<D;
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
6. x y + x + y = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[230]:= a = 0; b = 1; c = 0;4 a c − b2
Out[231]= −1
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
38 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[161]:= Factor@x y + x + yDOut[161]= x + y + x y
In[170]:= ImplicitPlot@x y + x + y 0, 8x, −3, 2<D;
-3 -2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
7. x y - x + y - 1 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[232]:= a = 0; b = 1; c = 0;4 a c − b2
Out[233]= −1
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[172]:= Factor@x y − x + y − 1DOut[172]= H1 + xL H−1 + yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: x = -1 e y = 1.
In[175]:= Show@Plot@1, 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD,ListPlot@88−1, −1<, 8−1, 2<<, PlotJoined → True,
DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
8. x2 +è!!!3 x y - 1 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 39
In[234]:= a = 1; b =è!!!!
3 ; c = 0;4 a c − b2
Out[235]= −3
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.
In[177]:= FactorAx2 +è!!!!
3 x y − 1E
Out[177]= −1 + x2 + è!!!3 x y
In[185]:= ImplicitPlotAx2 +è!!!!
3 x y − 1 0, 8x, −2, 2<E;
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
9. x2 + 2 x y + y2 - 1 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[236]:= a = 1; b = 2; c = 1;4 a c − b2
Out[237]= 0
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas,uma reta ou o conjunto vazio.
In[187]:= Factor@x2 + 2 x y + y2 − 1DOut[187]= H−1 + x + yL H1 + x + yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas paralelas: y = -x + 1 e y = -x -1.
40 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[188]:= Plot@8−x + 1, −x − 1<, 8x, −2, 2<D;
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
10. x2 + x y + y2 + x - 2 y = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[238]:= a = 1; b = 1; c = 1;4 a c − b2
Out[239]= 3
O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio.
In[190]:= Factor@x2 + x y + y2 + x − 2 yDOut[190]= x + x2 − 2 y + x y + y2
In[192]:= ImplicitPlot@x2 + x y + y2 + x − 2 y 0, 8x, −4, 2<D;
-3 -2.5-2-1.5-1-0.5 0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
11. x2 - 4 x y + 4 y2 - 9 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[240]:= a = 1; b = 4; c = 4;4 a c − b2
Out[241]= 0
O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas,uma reta ou o conjunto vazio.
In[194]:= Factor@x2 − 4 x y + 4 y2 − 9DOut[194]= H−3 + x − 2 yL H3 + x − 2 yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas paralelas: y = x/2 - 3/2 e y = x/2 + 3/2.
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 41
In[195]:= Plot@8xê2 − 3ê2, xê2 + 3ê2<, 8x, −2, 2<D;
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
12. x2 + y2 - 3 x + y + 1 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[242]:= a = 1; b = 0; c = 1;4 a c − b2
Out[243]= 4
O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio.
In[197]:= Factor@x2 + y2 − 3 x + y + 1DOut[197]= 1 − 3 x + x2 + y + y2
In[199]:= ImplicitPlot@x2 + y2 − 3 x + y + 1 0, 8x, 0, 3<D;
0.5 1 1.5 2 2.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
13. y2 - 4 x2 - 3 y + 6 x = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[244]:= a = −4; b = 0; c = 1;4 a c − b2
Out[245]= −16
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hiperbóle ou duas retas.
In[201]:= Factor@ y2 − 4 x2 − 3 y + 6 xDOut[201]= −H2 x − yL H−3 + 2 x + yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas retas paralelas: y = 2x e y = -2x + 3.
42 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[202]:= Plot@82 x, −2 x + 3<, 8x, −2, 2<D;
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
6
14. 4 x y + 4 x2 + y2 - x - y + 1 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[246]:= a = 4; b = 4; c = 1;4 a c − b2
Out[247]= 0
O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio.
In[6]:= Factor@ 4 x y + 4 x2 + y2 − x − y + 1DOut[6]= 1 − x + 4 x2 − y + 4 x y + y2
In[13]:= ImplicitPlot@4 x y + 4 x2 + y2 − x − y + 1 0,8x, −4, 0<, PlotRange → 88−4, 1<, 80, 12<<D;
-4-3-2-1 1
2
4
6
8
10
12
15. 4 x y - x2 - 4 y2 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[248]:= a = −1; b = 4; c = −4;4 a c − b2
Out[249]= 0
O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio.
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 43
In[15]:= Factor@ 4 x y − x2 − 4 y2DOut[15]= −Hx − 2 yL2
Daqui segue-se que a equação original representa uma reta: y = x/2.
In[16]:= Plot@xê2, 8x, −2, 2<D;
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
16. 4 x2 + 12 x y + 9 y2 + y - 10 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[250]:= a = 4; b = 12; c = 9;4 a c − b2
Out[251]= 0
O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio.
In[18]:= Factor@ 4 x2 + 12 x y + 9 y2 + y − 10DOut[18]= −10 + 4 x2 + y + 12 x y + 9 y2
In[21]:= ImplicitPlot@ 4 x2 + 12 x y + 9 y2 + y − 10 0, 8x, −20, 20<D;
-15 -10 -5 5 10 15 20
-15
-10
-5
5
10
17. x2 + x y + y2 = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
44 Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb
In[252]:= a = 1; b = 1; c = 1;4 a c − b2
Out[253]= 3
O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio.
In[23]:= Factor@ x2 + x y + y2DOut[23]= x2 + x y + y2
Daqui segue-se que a equação original representa o ponto (0, 0).
18. x2 - 3 y2 + 2 x y - x + y = 0
Valor do discriminante D = 4 a c - b2
In[254]:= a = 1; b = 2; c = −3;4 a c − b2
Out[255]= −16
O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hyperbóle ou duas retas.
In[27]:= Factor@ x2 − 3 y2 + 2 x y − x + yDOut[27]= Hx − yL H−1 + x + 3 yL
Daqui segue-se que a equação original representa duas reta: y = x e y = -x/3 + 1/3
In[28]:= Plot@8x, −xê3 + 1ê3<, 8x, −2, 2<D;
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Rijo Cal 2 Capítulo 8.nb 45
CAPÍTULO 9
Vetores e Curvas no PlanoIniciar o MathKernel
In[1]:= 2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗LOut[1]= 4
Ativar o pacote Add-On para traçar setas.
In[2]:= << Graphics`Arrow`
9.1 Definição de vetores e intepretação geométrica
Um vetor no plano P = (x, y) nada mais é que um par ordenado de números reais, os quais são chamados as componentes do vetor.
Dados um número real t (também chamado de escalar t) e os vetores P = (x, y) e P' = (x', y') definimos soma de vetores e multiplicação por escalar:
P + P' = (x + x', y + y'),
tP = (tx, t y) .
Dado o vetor P = (x, y), o vetor -P = (-1) P = (-x, - y) é chamao o oposto de P. A diferença P - P' é definida como sendo a soma de P com o oposto de P:
P - P' = P + (-P) = (x - x', y - y').
De modo analógo, a divisão de um vetor P = (x, y) por um escalar t ∫ 0, é definida como sendo o produto de P pelo escalar 1/t:
P/t = (1/t)P = (x/t, y/t)
Representação gráfica
Graficamente, um vetor P = (x, y) é representado pelo segnento OP, orientado de O para P, por isto mesmo indicado pelo símbolo OP
”÷÷÷÷÷ .e desenhado por uma flexa de O para P.
Ativar o pacote Add-On para traçar setas.
In[2]:= << Graphics`Arrow`
In[79]:= H∗ Representação gráfica de vetores ∗L<< Graphics`Arrow`Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"O", 80.12, −0.12<D, Text@"A", 81.1, 1.9<D,Text@"C", 80.65, −0.5<D, Text@"D", 81.65, 1.4<D<,
DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D,Arrow@80, −.5<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, 81, 2<D,Arrow@81ê2, −1ê2<, 83ê2, 3ê2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
A
C
D
Regra do paralelograma
Regra do Paralelograma: O vetor soma de dois voutros OP”÷÷÷÷÷ .e OQ
”÷÷÷÷÷÷ , é o vetor OR”÷÷÷÷÷÷ que se obtém como uma das
diagonais do paralelograma de lados OP”÷÷÷÷÷ e OQ
”÷÷÷÷÷÷; a otra diagonal QP
”÷÷÷÷÷, representa a diferença OP
”÷÷÷÷÷ - OQ
”÷÷÷÷÷÷.
2 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[90]:= H∗ Soma e subtração de vetores ∗LShowAPlotA0, 8x, 0, 2.5<, Axes → False, Epilog →
9Text@"O", 80.1, −0.1<D, Text@"P", 8.55, 1.1<D, Text@"Q", 81.85, 1.1<D,
Text@"R", 82.4, 2.1<D, TextA"OR”÷÷÷÷
= OP”÷÷÷÷
+ OQ”÷÷÷÷
", 81, 2.5<E,
TextA"QP”÷÷÷÷
= OP”÷÷÷÷
− OQ”÷÷÷÷
", 81, 2.2<E=, DisplayFunction → IdentityE,
Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82.5, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 3<D,Arrow@80, 0<, 8.5, 1<D, Arrow@80, 0<, 81.8, 1.2<D,Arrow@80, 0<, 82.3, 2.2<D, [email protected], 1.2<, 8.5, 1<D<,
DisplayFunction → IdentityD,[email protected], 1.2<, 82.3, 2.2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,[email protected], 1<, 82.3, 2.2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
O
P Q
R
OR”÷÷÷÷ = OP”÷÷÷÷ + OQ”÷÷÷÷
QP”÷÷÷÷ = OP”÷÷÷÷ − OQ”÷÷÷÷
Exemplo 1 Dados os vetores O vetor P = OP”÷÷÷÷ = H−2, 1L é o mesmo que AB”÷÷÷÷ ou CD”÷÷÷÷ onde A = H1, −2L,B = H−1, −1L, C = H3, 1L, D = H1, 2L
In[63]:= H∗ Soma HsubtraçãoL de vetores ∗La = 81, −2<;b = 8−1, −1<;c = 83, 1<;d = 81, 2<;ab = b − acd = d − c
Out[67]= 8−2, 1<Out[68]= 8−2, 1<
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 3
In[83]:= H∗ Representação geométrica de vetores ∗LShow@Plot@0, 8x, −3, 4<, Axes → False,
Epilog → 8Text@"O", 8−0.1, −0.3<D, Text@"P", 8−2, 1.2<D,Text@"C", 83.2, 0.9<D, Text@"D", 81, 2.2<D, Text@"A", 81.2, −2.1<D,Text@"B", 8−1.2, −1<D, Text@"3", 83.0, −.3<D, Text@"1", 81.2, −.3<D,Text@"−2", 8−2, −.2<D, Text@"2", 8−.1, 2<D, Text@"1", 8−.1, 1.1<D,Text@"−1", 8.3, −1<D, Text@"−1", 8−1.1, .2<D,Text@"−2", 8−.2, −2.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−2.5, 0<, 84, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 3<D,Arrow@80, 0<, 8−2, 1<D, Arrow@83, 1<, 81, 2<D,Arrow@81, −2<, 8−1, −1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@883, 0<, 83, 1<, 8−2, 1<, 8−2, 0<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@880, −2<, 81, −2<, 81, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@880, −1<, 8−1, −1<, 8−1, 0<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
PC
D
A
B
31−2
2
1
−1
−1
−2
Exemplo 2 O vetor P = (-3, 4) e Q = (-4, -1) calcular a soma P + Q e a diferença P - Q
In[41]:= p = 8−3, 4<;q = 8−4, 1<;p + qp − q
Out[43]= 8−7, 5<Out[44]= 81, 3<
4 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[84]:= H∗ Soma e subtração de vetores ∗LShow@Plot@0, 8x, −8, 3<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 80.2, −0.3<D, Text@"Q", 8−4, −1.3<D, Text@"P", 8−3, 4.3<D,Text@"P + Q", 8−7, 3.3<D, Text@"P − Q", 81.3, 5.3<D,Text@"−7", 8−7, −.3<D, Text@"−4", 8−4, .3<D, Text@"−3", 8−3, −.3<D,Text@"3", 8.3, 3<D, Text@"4", 8.3, 4<D, Text@"5", 8−.3, 5<D,Text@"−1", 8.4, −1<D, Text@"−2", 8−.2, −2.1<D<,
DisplayFunction → IdentityD,Graphics@8Arrow@8−8.5, 0<, 83, 0<D, Arrow@80, −2<, 80, 6<D,
Arrow@80, 0<, 8−7, 3<D, Arrow@80, 0<, 8−3, 4<D, Arrow@80, 0<, 8−4, −1<D,Arrow@80, 0<, 81, 5<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−7, 0<, 8−7, 3<, 80, 3<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−4, 0<, 8−4, −1<, 80, −1<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−3, 0<, 8−3, 4<, 80, 4<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, 5<, 80, 5<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
Q
P
P + Q
P − Q
−7−4
−3
3
4
5
−1
−2
Propriedades
As definições anteriores e as conhecidas leis algébricas dos números reais permitem demostrar as seguintes propriedades: quaisquer que sejam os vetores u, v e w tem-se
u + v = v + u, (u + v) + w = u + (v + w), u + 0 = u, u + (-u) = 0;
quais que que sejam os vetores u e v e os escalares r e s, tem-se
(r s)u = r (s u), (r + s)u = r u + su, r (u + v) = r u + r v, 1.u = u.
Exercício 3 Dados A =(1, -2), B = (-3, 4) efetue A + B, A - B, 3A + 2B
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 5
In[36]:= H∗ Operações com vetores ∗La = 81, −2<;b = 8−3, 4<;a + ba − b3 a + 2 b
Out[38]= 8−2, 2<Out[39]= 84, −6<Out[40]= 8−3, 2<
Exercício 4 Dados A = H−1, 2L, B = H1, −2L e C = H3, 3L determine AB”÷÷÷÷ = B − A,AC”÷÷÷÷ = C − A, BC”÷÷÷÷ = C − B,AB”÷÷÷÷ + AC”÷÷÷÷ e AB”÷÷÷÷ − AC”÷÷÷÷ .
In[69]:= H∗ Operações com vetores ∗La = 81, 2<;b = 81, −2<;c = 83, 3<;ab = b − aac = c − abc = c − bab + acab − ac
Out[72]= 80, −4<Out[73]= 82, 1<Out[74]= 82, 5<Out[75]= 82, −3<Out[76]= 8−2, −5<
Exercício 3 Dados u” = H−1ê2, 1L, v” = I1ê3, −1, calcule 2 u” + 3 v”÷÷÷÷÷÷
e 4 u” − 6 v”
In[81]:= u = 8−1ê2, 1<;v = 81ê3, −1<;2 u + 3 v4 u − 6 v
Out[83]= 80, −1<Out[84]= 8−4, 10<
Dendência e independência linear
Chama-se combinação linear de n vetores v1, v2, . . . , vn a uma expressão do tipo
a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn
onde os coeficientes a1, a2, . . . , an são números quaisquer. Diz-se que os n vetores formam um conjunto linear-mente dependente se existem coeficientes a1, a2, . . . , an , não todos nulos, tais que
a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn = 0
6 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
Por exemplo, vetores paralelos são linearmente dependentes; e qualquer conjunto de vetores que inclui o vetor nulo é linearmente dependente.
Um conjunto de vetores v1, v2, . . . , vn é linearmente independentes se satisfaz a negativa da condição de dependência linear, isto é, se
a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn = 0 ï a1 = a2 = . . . = an = 0.
Espaço vetorial
Espaço vetorial é generalização (num serto sentido) do conjuto de vetores no plano. Por exemplo, vetores no espeço tridimensional formam um espaço vetorial. Analogamente, o conjunto das matrizes 2 por 2 de niméros reais também forma um espaço vetorial.
9.2 Produto escalar
Dado um vetor v” = (x, y), definimos o seu módulo, designado por »v” » , como sendo
»v” » = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2
In[85]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"O", 80.1, −0.1<D, Text@"P", 8−1, 1.1<D,
Text@"A", 80.5, .6<D, Text@"B", 81.6, −.5<D, Text@"»v”»", 8−.4, .6<D,Text@"»v”»", 81.1, .1<D<, DisplayFunction → IdentityD, Graphics@
8Arrow@8−1, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, 8−1, 1<D,[email protected], −.5<, 8.5, .5<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
P
A
B
»v”»
»v”»
Definição de produto escalar
O produto escalar ou produto interno de dois vetores um vetor v” 1 = (x1 , y1 ) e v” 2 = (x2 , y2 ) simbolizado por v” 1 . v” 2, é assim definido:
v” 1 . v” 2 = x1 x2 + y1 y2.
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 7
O produto escalar é comutativo
v” 1 . v” 2 = v” 2 . v” 1.
O produto escalar será sempre zero quando um dos vetores for o vetor nulo.
Geometricamente, o produto escalar de dois vetores é o produto de seus módulos pelo co-seno do ângulo que eles formam:
v” 1 . v” 2 = | v” 1 | | v” 1 | cosq
Diz-se que dois vetores são ortogonais se o seu produto escalar for zero. Com efeito, basta fazer cos(p/2) = 0 na expressão anterior.
O produto escalar dos vetores u = 8u1, u2< e v = 8v1, v2< é dado por u . v.
Vetores ortogonais
Diz-se que dois vetores são ortogonais se o seu produto escalar for zero. Com efeito, basta fazer cos(p/2) = 0 na expressão v” 1 . v” 2 = | v” 1 | | v” 1 | cosq
Exemplo 1 Os vetores (1, 5/2) e (5, -2) são ortogonais
In[166]:= a = 81, 5ê2<;b = 85, −2<;a.b
Out[168]= 0
8 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[91]:= Show@Plot@0, 8x, −1, 4<, Axes → False,Epilog → 8Text@"O", 8−0.2, −0.2<D, Text@"2.5", 8−.5, 2.5<D,
Text@"−2", 8−.3, −2<D, Text@"1", 81, −.2<D, Text@"5", 85, .2<D<,DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 86, 0<D,
Arrow@80, −2.5<, 80, 3<D, Arrow@80, 0<, 81, 2.5<D,Arrow@80, 0<, 85, −2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, 2.5<, 80, 2.5<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@880, −2<, 85, −2<, 85, 0<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
2.5
−2
15
Exemplo 2 Seja calcular o ângulo entre os vetores (2, 1) e (-3, 1) são ortogonais
In[178]:= v1 = 82, 1<;v2 = 8−3, 1<;v1.v2ê[email protected] [email protected]@%D
Out[180]= −1è!!!2
Out[181]=3 π4
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 9
In[87]:= Show@Plot@0, 8x, −4, 3<, Axes → False,Epilog → 8Text@"O", 8−0.15, −0.15<D, Text@"−3", 8−3, −.15<D,
Text@"2", 82, −.15<D, Text@"1", 8.15, 1.1<D, Text@"»v”1»", 82, 1.15<D,Text@"»v”2»", 8−3, 1.15<D, Text@"θ", 8−.2, .15<D<,
DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@8−4, 0<, 83, 0<D,Arrow@80, −.5<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, 8−3, 1<D,Arrow@80, 0<, 82, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−3, 0<, 8−3, 1<, 82, 1<, 82, 0<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O−3 2
1 »v”1»»v”2»
θ
Exercícios Nos Exercícios 1 a 8 determine o módulo de cada vetor dado e o vetor unitário na mesma direção.Represente cada vetor por uma seta a partir da origem e por uma seta a partir do ponto p=(1,-2).
1.
In[3]:= v = 81, 1<;p = 81, −2<;[email protected]ê%
Out[5]=è!!!2
Out[6]= 9 1è!!!2
, 1è!!!2
=
10 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[10]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 81, −2.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 1.5<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
2.
In[11]:= v = 81, 2<;p = 81, −2<;[email protected]ê%
Out[13]=è!!!5
Out[14]= 9 1è!!!5
, 2è!!!5
=
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 11
In[17]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 81, −2.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 2.5<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
3.
In[18]:= v = 81ê2, −1<;p = 81, −2<;[email protected]ê%
Out[20]=è!!!52
Out[21]= 9 1è!!!5
, −2è!!!5
=
12 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[27]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 1.5<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 8.9, −2.2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 81.5, 0<D, Arrow@80, −3<, 80, 1<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
4.
In[28]:= v = 85ê2, −3<;p = 81, −2<;[email protected]ê%
Out[30]=è!!!!!!61
2
Out[31]= 9 5è!!!!!!61
, −6
è!!!!!!61=
In[37]:= Show@Plot@0, 8x, −.5, 4<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 8.8, −2.3<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 84, 0<D, Arrow@80, −5<, 80, 1<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
5.
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 13
In[39]:= v = 8−2, 1<;p = 81, −2<;[email protected]ê%
Out[41]=è!!!5
Out[42]= 9−2è!!!5
, 1è!!!5
=
In[47]:= Show@Plot@0, 8x, −2, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 8.9, −2.2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−2, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 2<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
6.
In[48]:= v = 8−4ê3, 5ê2<;p = 81, −2<;[email protected]ê%
Out[50]=176
Out[51]= 9−8
17, 15
17=
14 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[54]:= Show@Plot@0, 8x, −2, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 8.8, −2.3<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−2, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 3<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
7.
In[56]:= v = 8−4, −3<;p = 81, −2<;[email protected]ê%
Out[58]= 5
Out[59]= 9−45
, −35=
In[62]:= Show@Plot@0, 8x, −4, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 81.2, −2.3<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−4, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −5<, 80, 2<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
8.
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 15
In[63]:= v = 8−6ê5, −7ê2<;p = 81, −2<;[email protected]ê%
Out[65]=3710
Out[66]= 9−1237
, −3537
=
In[70]:= Show@Plot@0, 8x, −2, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 81.3, −2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−2, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −6<, 80, 1<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<, 81, −2<, 80, −2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
p
Nos Exercícios 9 a 14 determine o produto escalar e o ângulo entre os dois vetores.
9.
In[125]:= v1 = 80, 1<;
v2 = 9è!!!!3 , 1=;
v1.v2ArcCos@%ê[email protected] [email protected]
Out[127]= 1
Out[128]=π3
10.
16 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[121]:= v1 = 82, 1<;v2 = 80, 1<;v1.v2ArcCos@%ê[email protected] [email protected] êê N
Out[123]= 1
Out[124]= 1.10715
11.
In[129]:= v1 = 91,è!!!!
3 =;
v2 = 9−è!!!!
3 , 1=;
v1.v2ArcCos@%ê[email protected] [email protected]
Out[131]= 0
Out[132]=π2
12.
In[137]:= v1 = 8−1, 1<;
v2 = 9−1, −è!!!!
3 =;
v1.v2ArcCos@%ê[email protected] [email protected] êê N
Out[139]= 1 −è!!!3
Out[140]= 1.8326
13.
In[141]:= v1 = 9−è!!!!
3 , 1=;
v2 = 9−3, −è!!!!
3 =;
v1.v2ArcCos@%ê[email protected] [email protected]
Out[143]= 2 è!!!3
Out[144]=π3
14.
In[145]:= v1 = 8−1, 0<;
v2 = 9−è!!!!
3 , −3=;
v1.v2ArcCos@%ê[email protected] [email protected]
Out[147]=è!!!3
Out[148]=π3
Nos Exercícios 15 a 22 determine os dois vetores unitários normais às direções dadas.
15.
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 17
In[218]:= v = 81, 2<;v1 = 81, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8b, −a<d = −c
Out[222]= 9 2è!!!5
, −1è!!!5
=
Out[223]= 9−2è!!!5
,1è!!!5
=
In[224]:= Show@Plot@0, 8x, −.1, 1<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 8−0.1, −0.1<D, Text@"v", 8.8, 1.9<D, Text@"c", 8.8, −.5<D,Text@"d", 8−.8, .5<D<, DisplayFunction → IdentityD, Graphics@
8Arrow@8−1, 0<, 81, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, vD,Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
v
c
d
16.
In[257]:= v = 84, 3<;v1 = 81, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8b, −a<d = −c
Out[261]= 9 35
, −45=
Out[262]= 9−35
, 45=
18 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[264]:= Show@Plot@0, 8x, −.1, 4<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 8−0.15, −0.2<D, Text@"v", 83.5, 2.9<D, Text@"c", 8.8, −.5<D,Text@"d", 8−.8, .5<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 84, 0<D, Arrow@80, −1<, 80, 3<D, Arrow@80, 0<, vD,Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
v
c
d
17.
In[237]:= v = 85ê2, −3<;v1 = 8−1, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8b, −a<d = −c
Out[241]= 9 6è!!!!!!61
, 5è!!!!!!61
=
Out[242]= 9−6
è!!!!!!61, −
5è!!!!!!61
=
In[255]:= Show@Plot@0, 8x, −.1, 3<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 8−0.15, 0.1<D, Text@"v", 82.7, −2.9<D, Text@"c", 8.8, .4<D,Text@"d", 8−.8, −.4<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 83, 0<D, Arrow@80, −4<, 80, 1<D, Arrow@80, 0<, vD,Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
v
c
d
18.
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 19
In[292]:= v = 8−1, 4ê3<;v1 = 8−1, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8b, a<d = −c
Out[296]= 9 45
,35=
Out[297]= 9−45
, −35=
In[298]:= Show@Plot@0, 8x, −1.5, 1.5<, Axes → False, Epilog → 8Text@"O", 80.15, −0.15<D,
Text@"v", 8−1., 1<D, Text@"c", 8.8, .4<D, Text@"d", 8−.8, −.4<D<,DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@8−1.5, 0<, 81.5, 0<D,
Arrow@80, −1.5<, 80, 1.5<D, Arrow@80, 0<, vD, Arrow@80, 0<, cD,Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
v
c
d
19.
In[299]:= v = 8−1ê2, −1ê3<;v1 = 8−1, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8−b, a<d = −c
Out[303]= 9−2
è!!!!!!13, 3
è!!!!!!13=
Out[304]= 9 2è!!!!!!13
, −3
è!!!!!!13=
20 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[317]:= Show@Plot@0, 8x, −1, 1<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 80.1, 0.1<D, Text@"v", 8−.3, −.35<D, Text@"c", 8−.6, .7<D,Text@"d", 8.6, −.7<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 81, 0<D, Arrow@80, −1<, 80, 1<D, Arrow@80, 0<, vD,Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
v
c
d
20.
In[360]:= v = 82, −1<;v1 = 81, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8b, a<d = −c
Out[364]= 9 1è!!!5
,2è!!!5
=
Out[365]= 9−1è!!!5
, −2è!!!5
=
In[366]:= Show@Plot@0, 8x, −.5, 2<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 8−0.1, 0.1<D, Text@"v", 81.9, −.8<D, Text@"c", 8.3, .9<D,Text@"d", 8−.3, −.9<D<, DisplayFunction → IdentityD, Graphics@
8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −1<, 80, 1<D, Arrow@80, 0<, vD,Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
v
c
d
21.
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 21
In[368]:= v = 8−2, 1<;v1 = 8−1, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8b, a<d = −c
Out[372]= 9 1è!!!5
,2è!!!5
=
Out[373]= 9−1è!!!5
, −2è!!!5
=
In[377]:= Show@Plot@0, 8x, −2, 1<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 80.1, −0.13<D, Text@"v", 81.9, −.8<D, Text@"c", 8.3, .9<D,Text@"d", 8−.3, −.9<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−2, 0<, 81, 0<D, Arrow@80, −1<, 80, 1<D, Arrow@80, 0<, vD,Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
c
d
22.
In[407]:= v = 8−5, −2<;v1 = 8−1, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8−b, a<d = −c
Out[411]= 9−2
è!!!!!!29,
5è!!!!!!29
=
Out[412]= 9 2è!!!!!!29
, −5
è!!!!!!29=
22 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[413]:= Show@Plot@0, 8x, −5, 2<, Axes → False, Epilog →
8Text@"O", 80.3, 0.2<D, Text@"v", 8−4.9, −1.6<D, Text@"c", 8−.7, .9<D,Text@"d", 8.7, −.9<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, vD,Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
v
c
d
Nos Exercícios 23 a 27 determine os dois vetores unitários que fazem o ângulo dado com o vetor dado.
23.
In[441]:= v = 8Sqrt@3D, 1<;v1 = 81, 0<;a = [email protected]ê[email protected] [email protected]
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 23
9.3 Equação da reta
Coma sabemos a equação da reta tem a forma
ax + by + c = 0.
Seja p0 = Hx0 , y0 ) um ponto fixo na reta e p = (x, y) um ponto genérico. Então,
ax0 + by0 + c = 0.
Substituindo esta equação da anterior, obtemos
aHx - x0 L + bHy - y0L = 0.
Para interpretar este resultado em termos de vetor, seja v” = (a, b). Como p - p0 = ( x - x0 , y - y0 ), a última equação pode ser escrita na forma
( x - x0 , y - y0 ).(a, b) = 0 ou (p - p0 ). v” = 0.
Geometricamente, esta equação traduz a condição de que os vetores p - p0 e v” são ortogonais. Em outras palavras, toda reta de equação
ax + by + c = 0
é perpendivular ao vetor (a, b). O vetor unitário nesta direção
u”÷ = Ha, bLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!a2 + b2
é o vetor normal unitário à reta. Note-se que os vetores (b, -a) e (-b, a) são normais ao vetor (a, b). Logo toda reta de equação ax + by + c = 0 é paralela aos vetores (b, -a) e (-b, a).
Exemplo 1
A reta 3 x − 2 y + 4 =
0 é perpendicular ao vetor u” = H3, −2L. Como ela passa pelo ponto p0 = H0, 2L,podemos escrever a sua equação na forma Hp − p0L.u” = 0,em que o ponto p é seu ponto genérico.
Exemplo 2
Vamos obter a equação da reta pelo ponto p0 = H−1, 2L,perpendicular à direção u” = H3, 2L. Então,
In[7]:= H8x, y< − 8−1, 2<L.83, 2< 0 êê Simplify
Out[7]= 3 x + 2 y 1
Equações paramétricas
Para obtermos a equação da reta por um ponto p0 = (x0 , y0 ), paralela a um vetor u”÷ = (m, n) ∫ 0, designamos por p = (x, y) o ponto genérico da reta e impomos a condição de que p - p0 e u”÷ sejam colineares, isto é, Coma
24 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
sabemos a equação da reta tem a forma
p - p0 = tu”÷ ,
onde t 'e um escalar variável. Esta condição equivale a
x - x0 = tm, y - y0 = tn,
ou
x = x0 + tm, y = y0 + tn.
Estas são as equações paramétricas da reta, justamente porque a variável independente é o parâmetro t: diferente s valores de t conduzem a diferentes pontos p = (x, y) da reta.
Exemplo 3
Dada a reta de equação2 x + 5 y − 10 = 0,
vamos determinar a equação da reta pelo ponto p0 = H4, 2L,normal à reta dada. Então,
Solução 1
In[16]:= H8x, y< − 84, 2<L.85, −2< 0 êê Simplify
Out[16]= 5 x 2 H8 + yL
Solução 2 (equaçoes paramétricas)
In[30]:= Solve@x == 4 + 2 t, tDSolve@y == 2 + 5 t, tD
Out[30]= 99t →12H−4 + xL==
Out[31]= 99t →15H−2 + yL==
In[32]:= H−4 + xLê2 H−2 + yLê5 êê Simplify
Out[32]= 5 x 2 H8 + yL
Exemplo 4
Vamos determinar os ângulos formado pela duas retas de equações3 x + 5 y = 0 e 2 x − 3 y − 6 = 0
Estas retas têm direções u”1 = H5, −3L e u”2 = H3, 2L, respectivamente. Então
In[12]:= u1 = 85, −3<;u2 = 83, 2<;[email protected]ê[email protected] [email protected]
Out[14]= ArcCosA 9è!!!!!!!!!442
E
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 25
6.4 Projeções e Bases
Sejam u”÷ = (u1 , u2 ) e v” = (v1 , v2 ) dois vetores não colineares (portanto, nenhum deles é o vetor nulo), então qualquer outro vetor w”÷÷ = (a, b) pode ser expresso, de maneira unívoca, na forma
w”÷÷ = xu”÷ + yv” .
Os números x e y são chamados as componentes de w”÷÷ relativamente aos vetores u”÷ e v” , respectivamente. Qualquer par de vetores u”÷ e v” , não colineares, é chamado uma base. Dizemos que w”÷÷ é combinação linear de u”÷ e v” . Dize-mos também que o vetor xu”÷ é a projeção de w”÷÷ sobre a direção u”÷ segundo a direção v” . Do mesmo modo, yv” é a projeção de w”÷÷ sobre a direção v” segundo a direção u”÷ .
A equação w”÷÷ = xu”÷ + yv” é equivalente ao sistema linear de equações
u1 x + v1 y = a,
u2 x + v2 y = b.
A solução deste sistema de equações fornece as coordenadas do vetor (a, b) com respeito à base formada pelos vetores u”÷ = (u1 , u2 ) e
v” = (v1 , v2 ).
In[30]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2.5<, PlotRange → 88−1.5, 2.5<, 8−1, 2.5<<,Axes → False, Epilog → 8Text@"xu”", 81, −0.2<D, Text@"u”", 82, −.2<D,
Text@"v”", 8−0.7, 1<D, Text@"yv”", 8−1.2, 2<D, Text@"w”", 81.1, 2.1<D<,DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@882, 0<, 81, 2<, 8−1, 2<<,PlotJoined → True, PlotStyle → [email protected]<D<,DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@80, 0<, 83, 0<D,
Arrow@80, 0<, 8−1, 2<D, Arrow@80, 0<, 81, 2<D, Arrow@80, 0<, 82, 0<D,Arrow@80, 0<, 8−1ê2, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
xu” u”
v”
yv” w”
26 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
Exemplo
Seja exprimir o vetor w”÷÷ = (7 ê 3 , -8 ê 3) como combinação linear de u”÷ = (1 , 2) e v” = (-1 , 2).
Podemos escrever (3/3, - 8/3) = x (1, 2) + y (-1, 2) ou ainda
x - y = 7/3;
2x + 2y = - 8/3.
Resolvendo este sisyema:
In[34]:= Solve@8x − y == 7ê3, 2 x + 2 y == −8ê3<, 8x, y<D
Out[34]= 99x →12
, y → −116
==
Logo, w”÷÷ = 1/2 u”÷ - 11/6 v” .
As bases mais usadas na prática são as bases ortonormais. Diz-se que uma base é e”1 e e”2 é ortogonal se os vetores que a compõem são ortogonais e têm módulos unitários, isto é, e”1 . e”2 = 0, |e”1 | = |e”2 | = 1.
Neste caso é fácil determinar as componentes de um vetor w”÷÷ qualquer: w”÷÷ = xe”1 + ye”2 .
Para se obter x multiplicamos escalarmente esta equação por e”1 :
w”÷÷ . e”1 = x (e”1 . e”1 ) + y (e”2 . e”1 ) = x.
Analogamente, multiplicando-se a equação escalarmente por e”2 , obtemos y = w”÷÷ . e”1 , logo
w”÷÷ = ( w”÷÷ . e”1 ) e”1 + ( w”÷÷ . e”2 ) e”2 .
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 27
In[85]:= ShowAPlotA0, 8x, 0, 2.5<, PlotRange → 88−1.5, 3<, 8−.5, 2.5<<,
Axes → False, Epilog → 9Text@"e”2", 8−.6, .8<D, TextA"e”1
”", 8.8, .7<E,
Text@"w”", 81.1, 2.1<D, Text@"w”÷ . e”1", 82.1, 1.2<D,
Text@"w”÷ . e”2", 8−1, 2.2<D=, DisplayFunction → IdentityE,
ListPlot@881, 0<, 81, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], .8<, 81, 2<, 8−.6, 1.3<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 82.5, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2.5<D,Arrow@80, 0<, 82, 1<D, Arrow@80, 0<, 81, .5<D, Arrow@80, 0<, 8−1, 2<D,Arrow@80, 0<, 8−.5, 1<D, Arrow@80, 0<, 8−1, 2<D,Arrow@80, 0<, 81, 2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;
e”2 e”1”
w”
w”÷ . e”1
w”÷ . e”2
Nos Exercícios 1 a 27 determine as componentes de cada vetor dado relativamente à base u”÷ = (2 , -1) e v” = (1 , 1). Faça gráficos em cada caso.
Para cada vetor podemos escrever (w1 , w2 ) = x (2, -1) + y (1, 1) ou ainda
2 x + y = w1 ,
- x + y = w2 .
1.In[27]:= 8w1, w2< = 81, 2<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
Out[28]= 99x → −13
, y →53==
28 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[54]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2.5<, PlotRange → 88−1.5, 3<, 8−2, 2.5<<,Axes → False, Epilog → 8Text@"u”", 82, −1.2<D, Text@"v”", 8.9, .7<D,
Text@"w”", 81.1, 2.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,ListPlot@881, 0<, 81, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,
PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 82.5, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2.5<D,
Arrow@8−1, .5<, 82, −1<D, Arrow@8−1, .5<, 82.5, −1.25<D,Arrow@80, 0<, 81, 1<D, Arrow@80, 0<, 82, 2<D,Arrow@80, 0<, 81, 2<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
u”
v”
w”
2.In[25]:= 8w1, w2< = 81, 0<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
Out[26]= 99x →13
, y →13==
3.In[23]:= 8w1, w2< = 80, 1<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
Out[24]= 99x → −13
, y →23==
4.In[21]:= 8w1, w2< = 8−1, −1<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<DOut[22]= 88x → 0, y → −1<<
5.
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 29
In[19]:= 8w1, w2< = 8−1, 1<;Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
Out[20]= 99x → −23
, y →13==
6.In[17]:= 8w1, w2< = 82, −2<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
Out[18]= 99x →43
, y → −23==
7.In[15]:= 8w1, w2< = 82, −3<;
Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D
Out[16]= 99x →53
, y → −43==
9.4 Equação Paramétrica de um Curva
Um modo muito conveniente de descrever uma curva no plano consiste em considerar as coordenadas x e y de seu ponto genérico P = (a, b) como função de uma única variável independente t:
x = x(t) e y = y(t)
A variável t é chamado de parâmetro destas equações e estas, por sua vez, são as chamadas equações paramétrica da curva. Podemos considerar o próprio vetor P = OP”÷÷ = (a, b) como função de t:
P = P(t) = (x(t), y(t)).
Este vetor costuma ser chamado vetor posição P .
Exemplo 1. As equações paramétricas do movimento de uma partícula lançada horizontalmente com velocidade v são dadas por
x = vt e y = gt2 ê 2
onde g é a aceleração da gravidade. Estas duas funções da variável independente t descrevem uma curva, que é a trajetória da particula.
30 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[8]:= H∗ Velocidade de lançamento v = 5 mês e g = 10 mês2 ∗LParametricPlot@85 t, −10 t^2ê2<, 8t, 0, 10<D;
10 20 30 40 50
-500
-400
-300
-200
-100
Exemplo 2. As equações paramétricas do movimento de uma partícula P em torno de uma circunferência de raio r são dadas por
x = r cos wt e y = r sen wt
onde w é a velocidade angular (radianos por segundo).
In[11]:= H∗ Velocidade angular ω = 2 rdês ∗LParametricPlot@8Cos@2 tD , Sin@2 tD<, 8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD;
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
Exemplo 3.As equações paramétricas da ciclóide são dadas por
x = rq - r sen q e y = r - r cos q
In[12]:= H∗ r = 2 é o raio do círculo que gira sobre o eixo Ox .∗LParametricPlot@82 t − 2 Sin@tD , 2 − 2 Cos@tD<,8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD;
2 4 6 8 10 12
1
2
3
4
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 31
Uma função de uma variável real t representada por
f(t) = (x(t), y(t))
é denominada de função vetorial.
Exemplo 4. A função vetorial
P(t) = (sen t, cos2 t ), 0 § t § p/2
é equivalente às equaçõws paramétricas
x = sen t e y = cos2 t , com 0 § t § p/2.
Como sen2 t + cos2 t = 1, estas equações nos conduzem à equação cartesiana
y = 1 - x2
que é uma equação de um parâbola.
In[14]:= H∗ Ramo da parábola de 0 ≤ t ≤ πê2 ou de 0 ≤ x ≤ 1 ∗LParametricPlot@8Sin@tD , Cos@tD^2<, 8t, 0, Piê2<, AspectRatio → AutomaticD;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Exemplo 5. Traçar a curva de equações paramétricas
x = t3 e y = t2 , t real
Note que, da primeira equação, t = x1ê3. Substituindo na segunda equação, obtemos y = x2ê3 , ou ainda, x2 = y3 .
32 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[24]:= H∗ Gráfico da curva parametrizada Ht3, t2L com t real ∗LParametricPlot@8t^3 , t^2<, 8t, −10, 10<, PlotRange → 80, 20.1<D;
-60 -40 -20 20 40 60
5
10
15
20
Exemplo 6. Traçar a curva de equações paramétricas
x = t2 e y = t3 - t, t real
Notemos que x ¥ 0 e t = ±è!!!x . Substituindo estes valores na expressão de y, obtemos
y = è!!!x (x - 1) e y = -è!!!x (x - 1)
In[29]:= H∗ Ramo da parábola de 0 ≤ t ≤ πê2 ou de 0 ≤ x ≤ 1 ∗LParametricPlot@8t^2 , t^3 − t<, 8t, −2, 2<, PlotRange → 8−1, 1<D;
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
1
ExercíciosNos Exercícios 1 a 18 faça o gráfico das curvas de equaões paramétricas.dadas,obtenha as respectivas equações cartesianas.
1.
x = 2t, y = 3t - 1
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 33
In[5]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 2 t, y = 3 t−1 ∗LParametricPlot@82 t, 3 t − 1<, 8t, −1, 1<D;
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
2.
x = 1 - 3t, y = 1 + 3t
In[6]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 1 − 3 t, y = 1 + 2 t ∗LParametricPlot@81 − 3 t, 1 + 2 t<, 8t, −1, 1<D;
-2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
3.
x = 2 + 5 cos t, y = 1 - 3 cos t
In[12]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 2 + 5 cos t, y = 1 − 3 cos t ∗LParametricPlot@82 + 5 Cos@tD, 1 − 3 Cos@tD<, 8t, −1, 1<D;
5.5 6 6.5 7
-1.8-1.6-1.4-1.2
-1-0.8-0.6
4.
x = t2 - 1, y = 3 t2 + 2
34 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[9]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = t2 − 1, y = 3 t2 + 2 ∗LParametricPlot@8t^2 − 1, 3 t^2 + 2<, 8t, −2, 2<D;
-1 1 2 3
2468
101214
5. x = 5et , y = 2 - 3et
In[9]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 5 et, y = 3 et + 2 ∗LParametricPlot@8t^2 − 1, 3 t^2 + 2<, 8t, −2, 2<D;
-1 1 2 3
2468
101214
6. x = 3t, y = 3 t2
In[13]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 3 t, y = 5 t2∗LParametricPlot@83 t, 5 t^2<, 8t, −2, 2<D;
-6 -4 -2 2 4 6
5
10
15
20
7.
x = t - 2, y = t2
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 35
In[18]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = t − 2, y = t2∗LParametricPlot@8 t − 2, t^2<, 8t, −4, 4<D;
-6 -4 -2 2
2.55
7.510
12.515
8. x = t + 1, y = t2 - 2
In[19]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = t + 1, y = t2 − 2∗LParametricPlot@8 t + 1, t^2 − 2<, 8t, −2, 2<D;
-1 1 2 3
-2
-1
1
2
9. x = t2 + 2, y = t - 1
In[20]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = t2 + 2, y = t − 1 ∗LParametricPlot@8 t^2 + 2, t − 1<, 8t, −2, 2<D;
3 4 5 6
-3
-2
-1
1
10.
x = sen t, y = cos 2t , -p/2 § t § p/2
36 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[21]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = sen t, y = cos 2 t, −πê2 ≤ t ≤ πê2∗LParametricPlot@8 Sin@tD, Cos@2 tD<, 8t, −Piê2, Piê2<D;
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
11. x = t - 1, y = t3 + 1
In[25]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = t − 1, y = t3 + 1 ∗LParametricPlot@8 t − 1 , t^3 + 1<, 8t, −1, 1<D;
-2 -1.5 -1 -0.5
0.98
0.99
1.01
1.02
12.
x = t3 - 2, y = 2 t + 1
In[26]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = t3 − 2, y = 2 t + 1 ∗LParametricPlot@8 t^3 − 2 , 2 t + 1<, 8t, −2, 1<D;
-2.3 -2.2 -2.1 -1.9 -1.8
-3
-2
-1
1
2
3
13.
x = 3 cos t, y = 2 sen t , 0 § t § p.
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 37
In[27]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 3 cos t, y = 2 sen t, 0 ≤ t ≤ π∗LParametricPlot@8 3 Cos@tD, 2 Sin@tD<, 8t, 0, Pi<D;
-3 -2 -1 1 2 3
0.5
1
1.5
2
14. x = 1 + 5 sen t, y = 3 cos t - 2 , -p § t § p.
In[28]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 1 + 5 sen t,y = 3 cos t − 2, 0 ≤ t ≤ π∗L
ParametricPlot@8 1 + 5 Sin@tD, 3 Cos@tD − 2<, 8t, −Pi, Pi<D;
-4 -2 2 4 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
16.
x = 2 cos2 t, y = sen t , 0 § t § p.
In[31]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = cos2 t, y = sen 2 t , 0 ≤ t ≤ π ∗LParametricPlot@8 2 Cos@tD^2, Sin@2 tD<, 8t, 0, Pi<D;
0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0.5
1
17.
x = 1 - cos t, y = sen t - 2 , -p § t § 0.
38 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[32]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 1 − cost, y = sen t − 2 , −π ≤ t ≤ 0 ∗LParametricPlot@8 1 − Cos@tD, Sin@ tD − 2<, 8t, −Pi, 0<D;
0.5 1 1.5 2
-2.8
-2.6
-2.4
-2.2
-2
18.
x = 1 + 1/t , y = t - 1/t
In[33]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 1 + 1êt, y = t − 1êt ∗LParametricPlot@8 1 + 1êt, t − 1êt<, 8t, −1, 1<D;
-40 -20 20 40
-40
-20
20
40
9.5 Derivada de função vetorial
Diz-se que o vetor P(t) = (x(t), y(t)) tem por limite um vetor P0 = (x0 , y0 ), para t tendendo a t0 , se as compo-nentes de P(t) têm por limite as componentes de P0 , respectivamente, isto é
limxØ0 P(t) = P0 = ó limxØ0 x(t) = x0 e limxØ0 y(t) = y0 .
Diz-se que a função vetorial P(t) = (x(t), y(t)) é contínua num ponto t = t0 se limxØ0 P(t) = P0 . Como se vê, a continuidade de P(t) é equivalente à continuidade das suas componentes x(t) e y(t).
A função vetorial P(t) = (x(t), y(t)) é derivável se suas componentes são funções deriváveis e a derivada de é, então, definida por
P°(t) = P(t) = dPÅÅÅÅÅÅÅÅdt = ( dxÅÅÅÅÅÅÅdt , dyÅÅÅÅÅÅÅdt ).
Exemplo 1.
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 39
In[8]:= H∗ Determinar o vetor derivada da função vetorial P HtL = Ht2,t3−tL ∗LClear@tDD@8t^2, t^3 − t<, tD
Out[8]= 82 t, −1 + 3 t2<
Dadas uma função escalar f(t) e funções vetoriais u”÷ (t) e v” (t), todas deriváveis, então, valem as seguintes pro-priedades:
dÅÅÅÅÅÅdt [u”÷ (t) + v” (t)] = d u”÷ HtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt + d v” HtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt ,
dÅÅÅÅÅÅdt [ f(t) v” (t)] = f'(t)v” HtL + f HtL v” ' HtL
dÅÅÅÅÅÅdt [u”÷ (t).v” (t)] = u”÷ ' (t).v” HtL + u”÷ (t).v” ' HtL .
Vale também a regra da derivação em cadeia: se u”÷ = u”÷ (s) é derivável em relação à variável s e s = s(t) é derivável em relação a t, então u”÷ = u”÷ (s(t)) é derivável como função de t e
dÅÅÅÅÅÅdt u”÷ HsHtLL = d u”÷ HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt . dsHtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt
Comprimento de arco
O comprimento de arco s, contado a partir de um ponto A = P(a) de uma curva em forma paramétrica,
P = P(t) = (x(t), y(t)),
é dado por
s(b) = ‡a
b $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%H dxÅÅÅÅÅÅÅdt L2
+ I dyÅÅÅÅÅÅÅdt M2 „ t .
Exemplo 2. Vamos calcular o comprimento de arco dado por
x(t) = sen t - t cos t e y(t) = cos t + t sen t
onde -1 § t §1.
In[15]:= H∗ ∗LClear@tDx@t_D := Sin@tD − t Cos@tDy@t_D := Cos@tD + t Sin@tDIntegrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, −1, 1<D
Out[17]= 1
ExercíciosNos Exercícios 1 a 5 calcule o vetor tangente de cada curva dada e faça o gráfico.
1.
P(t) = r (sen wt, cos wt)
40 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[19]:= H∗ Derivada de P HtL= r Hsen ωt,cos ωtL ∗LClear@tD
D@8r Sin@ω tD, r Cos@ω tD<, tDOut[19]= 8r ω Cos@t ωD, −r ω Sin@t ωD<
2. P(q) = (rq - r sen q, r cos q - r)
In[21]:= H∗ Derivada de P HθL=Hrθ − r senθ, r cosθ − rL ∗LClear@tD
D@8r θ − r Sin@θD, r Cos@θD − r<, θDOut[21]= 8r − r Cos@θD, −r Sin@θD<
3.
P(t) = (t3 , t2 )
In[22]:= H∗ Derivada de P HtL=Ht3, t2L ∗LClear@tD
D@8t^3, t^2<, tDOut[22]= 83 t2, 2 t<
4.
P(t) = (et , e-t )
In[23]:= H∗ Derivada de P HtL=Het, e−tL ∗LClear@tD
D@8Exp@tD, Exp@−tD<, tDOut[23]= 8 t, − −t<
5.
P(t) = (t , 1 ê t ), t ∫ 0.
In[24]:= H∗ Derivada de P HtL=Ht, 1êtL ∗LClear@tD
D@8t, 1êt<, tD
Out[24]= 91, −1t2 =
Nos Exercícios 7 a 12 calcule os comprimentos dos arcos dados.
7.
P(t) = (t , t2 ), 0 § t § 1.
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 41
In[41]:= H∗ Comprimento do arco de P HtL = Ht, t2L, 0 ≤ t ≤ 1. ∗LClear@tDx@t_D := ty@t_D := t^2Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, 0, 1<D
Out[43]=14I2 è!!!5 + ArcSinh@2DM
8.
P(t) = (sen3 t , cos3 t ), 0 § t § p/2.
In[48]:= H∗ Comprimento do arco de P HtL = Hsen3 t, cos3 tL, 0 ≤ t ≤ πê2. ∗LClear@tDx@t_D := Sin@tD^3y@t_D := Cos@tD^3Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, 0, Piê2<D
Out[50]=32
9.
P(t) = (sen3 t , cos3 t ), 0 § t § p
In[51]:= H∗ Comprimento do arco de P HtL = Hsen3 t, cos3 tL, 0 ≤ t ≤ π. ∗LClear@tDx@t_D := Sin@tD^3y@t_D := Cos@tD^3Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, 0, Pi<D
Out[53]= 3
10. P(t) = (t2 , t3 ), -1 § t § 1.
In[54]:= H∗ Comprimento do arco de P HtL = Ht2, t3L, −1 ≤ t ≤ 1. ∗LClear@tDx@t_D := t^2y@t_D := t^3Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, −1, 1<D
Out[56]=2
27I−8 + 13 è!!!!!!13 M
11.
P(t) = (t - sen t , 1 - cos t ), 0 § t § 2 p.
In[28]:= H∗ Comprimento do arco de P HtL = Ht − sen t, 1 − cos tL, 0 ≤ t ≤ 2 π. ∗LClear@tDx@t_D := t − Sin@tDy@t_D := 1 − Cos@tDIntegrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, 0, 2 Pi<D
Out[31]= 8
42 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
12.
P(t) = (t , log t ), 1 § t § 2.
In[66]:= H∗ Comprimento do arco de P HtL = Ht, log tL, 1 ≤ t ≤ 2. ∗LClear@tDx@t_D := ty@t_D := Log@tDIntegrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, 1, 2 <D êê FullSimplify
Out[68]= −è!!!2 +
è!!!5 − ArcCsch@2D + ArcSinh@1D
13.
Determine a equação da reta tangente à curva P(t) = (1 - t 2 , 1 + t ) no ponto P(2).
In[69]:= H∗ Equação da reta tangente à curva P HtL =
H1 − t2, 1 + tL no ponto P H2L. ∗LClear@tD
D@81 − t^2, 1 + t<, tDOut[69]= 8−2 t, 1<
In[9]:= t = 2;81, 2 t<.8x − 1 + t^2, y − 1 − t< 0 êê Simplify
Out[10]= x + 4 y 9
In[58]:= Show@ParametricPlot@881 − t^2, 1 + t<, 8t, −tê4 + 9ê4<<,8t, −3, 3<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@88−3, 3<<, PlotStyle → [email protected]<,DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-8 -6 -4 -2 2
-2
-1
1
2
3
4
13.
Determine a equação da reta tangente à curva P(t) = (t , 1/ t ) no ponto P(1/2).
In[24]:= H∗ Equação da reta tangente à curva P HtL = Ht, 1êtL no ponto P H1ê2L. ∗LClear@tD
D@8t, 1êt<, tD
Out[25]= 91, −1t2 =
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 43
In[13]:= t = 1ê2;8−1êt^2, −1<.8x − t, y − 1êt< 0 êê Simplify
Out[14]= 4 x + y 4
In[16]:= Show@ParametricPlot@88t, 1êt<, 8t, −4 t + 4<<,8t, 0, 1<, PlotRange → 80, 10<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881ê2, 2<<, PlotStyle → [email protected]<,DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
4
6
8
10
15. Determine o ângulo entre as retas às curvas P(t) = (t, t 2 - 1) e Q(t) = (t, (t - 1L2 ) no ponto onde ela se interceptam.
In[21]:= H∗ Determine o ângulo entre as retas tangentes às curvasP HtL =
Ht, t2 − 1L e Q HtL = Ht, Ht − 1L2L no ponto onde ela se interceptam. ∗LClear@tDu@t_D = D@8t, t2 − 1<, tDv@t_D = D@8t, Ht − 1L2<, tD
Out[22]= 81, 2 t<Out[23]= 81, 2 H−1 + tL<
In[146]:= Solve@ t2 − 1 == Ht − 1L2, tDOut[146]= 88t → 1<<
In[147]:= ArcCos@[email protected]@1DêHSqrt@[email protected]@1DD Sqrt@[email protected]@1DDLD
Out[147]= ArcCosA 1è!!!5
E
44 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb
In[34]:= Show@ParametricPlot@88t, t2 − 1<, 8t, Ht − 1L^2<<,8t, −1, 2<, DisplayFunction → IdentityD,
ListPlot@881, 0<<, PlotStyle → [email protected]<,DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@81, 0<, 82, 0<D, Arrow@81, 0<, 82, 2<D<,DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-1
1
2
3
4
9.6 Coordenadas polares
As coordenadas polares de um ponto P = (x, y) do plano são as distâncias r = OP ¥ 0 e o ângulo q que o raio OP faz com o eixo Ox.
In[57]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"O", 8−0.12, −0.12<D, Text@"P", 81.6, 1.1<D,
Text@"x", 81.5, −.1<D, Text@"y", 8−.1, 1<D, Text@"r", 8.7, .6<D,Text@"θ", 8.3, .07<D<, DisplayFunction → IdentityD,
[email protected], 0<, 81.5, 1<, 80, 1<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,
Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2<D,Arrow@80, 0<, 81.5, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,
AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;
O
P
x
y
r
θ
Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb 45
As cordenadas cartesianas x, y de um ponto P são obtidas de suas coordenadas polares r, q mediante as equações:
x = r cos q e y = r sen q.
Por outro lado, as cordenadas polares r, q de um ponto P são obtidas de suas coordenadas cartesianas x, y mediante as equações: . r = è!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 e q = arc tg yÅÅÅÅx .
In[58]:= << Graphics`Graphics`
ExemploIn[8]:= H∗ Coordenadas polares de um circunferência de raio r ∗L
A equação da cincunferência de raio r em coordenas polares é dada por
r = d cos
sendo d = 2r o diâmetro da circunferência e -p/2 § q § p/2.
In[67]:= PolarPlot@2 Cos@tD, 8t, −Piê2, Piê2<D;
0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0.5
1
Exemplo In[8]:= H∗ Traçar o gráfico da curva de equação r = cos 2 θ ∗L
In[63]:= PolarPlot@Cos@2 tD, 8t, −3 Piê4, 5 Piê4<D;
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
46 Rijo Cal 2 Capítulo 9.nb