coleccion problem as ca 3

Coleccion de Problemas

de

Control Automatico

3o Ingenierıa Industrial

F. Salas, T. Alamo, F. Cuesta, D. Limon y C. Vivas

Depto. Ingenierıa de Sistemas y Automatica

Universidad de Sevilla

1

Depto. Ing. de Sistemas y Automatica. ESI. US. ii

Parte I

Diseno de controladores en el

dominio frecuencial

1

Control Automatico, 3o Ing. Industrial. 3

Problema I.1

Cuestion 1 Parcial 2000-01

Dada la funcion de transferencia:

G(s) =10

s(s + 1)2

Se pide:

1. Dibujar el bode del sistema y calcular margenes de fase y ganancia.

2. Disenar una red mixta de forma que el sistema compensado tenga un margen de fasede 50 grados y un error en regimen permanente frente entrada en rampa sea del 2por ciento.

3. Disenar para el mismo sistema un controlador PD que tenga una ganancia tal queel error en regimen permanente frente entrada en rampa sea del 5 por ciento.

Problema I.2

Cuestion 1 Final 2000-01

Para el sistema cuyo diagrama de bode aparece en la figura I.2.a:

1. Obtenga la funcion de transferencia G(s) del sistema. Justifique la respuesta.

2. Como puede apreciarse en el diagrama de bode del sistema, si este fuese controladocon accion proporcional el sistema se harıa crıticamente estable para un valor de K= 10. Se pide:

(a) Indicar sobre el bode original, el bode del sistema controlado K G(s) para K =10.

(b) Para el sistema del apartado 2a, disenar una red de avance de fase tal que elsistema resultante tenga un margen de fase de 60 grados.

3. Disene un controlador PID para el sistema original utilizando alguno de los metodosde Ziegler-Nichols (ver tabla adjunta). Justifique la respuesta.

Kp Td Ti

B.A. 1.2TKL

2L 0.5L

B.C. 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr

Depto. Ing. de Sistemas y Automatica. ESI. US. 4

Figura I.2.a:

Problema I.3

Cuestion 1 Sept 2000-01

Dado el sistema con funcion de transferencia:

G(s) =1

s(s + 2)(s + 3)

Se pide:

1. Dibujar el bode del sistema y calcular margenes de fase y ganancia.

2. Calcular la ganancia de un controlador proporcional que garantice un error enregimen permanente frente a una entrada en rampa inferior al 6%.

3. Disenar una red mixta tal que el error en regimen permanente frente a entrada enrampa sea inferior al 6% y el margen de fase sea superior a 50o.

Problema I.4


Dado el siguiente diagrama de bloques (Fig. I.4.a):

Control Automatico, 3o Ing. Industrial. 5�� ++ ��)(sK+

−

Figura I.4.a:

• Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar.

• Supongase que el controlador viene dado por

K(s) =1 + τs

1 + ατs(4.1)

donde τ = 10 y α = 0.1. Calcule el margen de fase del sistema compensado, asıcomo el error en regimen permanente frente entrada rampa.

• Suponiendo que α = 0.1, seleccione el valor de τ de forma que el sistema compensadotenga el mayor margen de fase posible.

• Supongase ahora que

K(s) = K

(

1 +1

Tis

)

(4.2)

Calculese K y Ti de forma que el sistema compensado tenga un margen de fase de30 grados.

Problema I.5


Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado:�� +++ ��)(sK+

−

Figura I.5.a:


1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guıa: usar valoresde 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y lasiguiente tabla para las intermedias)

Frecuencia relativa al polo 0.01 0.1 0.3 0 3 10 100

Separacion del valor central (en grados) 45 40 30 0 -25 -40 -45

2.- Suponer que K(s) es un controlador PI. Disenar este de forma que el margen deganancia del sistema compensado sea de 20 dB.

3.- Suponer que K(s) es una red mixta. Disenar esta de forma que el sistema realimen-tado tenga un error en regimen permanente frente entrada escalon menor o igual del1% y margen de fase de 30 grados.

4.- Suponer que K(s) es un controlador PID. Disenar este de forma que se parezca lomas posible a la red mixta disenada en el punto anterior.

5.- Indique ventajas e inconvenientes del controlador PID del apartado 3 frente a la reddel apartado 4.

Problema I.6

Cuestion 1 Septiembre 2001-02

Dado el diagrama de bode de un sistema G1(s) (Fig: )

1.- Se introduce una red de adelanto Ga(s) = Ka1+τa

1+αaτascon αa = 0.2 y con su cero

en 1/τa = 20. ¿Como se debe cambiar la ganancia Ka para obtener una frecuenciade corte en ωc = 20rad/s ? Explicar paso a paso el procedimiento que emplea paraobtener su respuesta.

Dibujar el sistema compensado en lınea discontinua o en otro color utilizando lasiguiente tabla como referencia para dibujar la fase.



2.- Calcular el tiempo de subida aproximado del sistema compensado en 1. Explique surespuesta.

3.- Anadida a la red de adelanto del apartado 1, se emplea otra red de retardo de faseGr(s) = Kr

1+τr

1+αrτrspara reajustar la ganancia al valor inicial (con G1(s)) de la

constante de error de velocidad estatica Kv1 y conseguir igualmente ωc = 20rad/s.¿Cuales son los valores requeridos de Kr y αr? Explicar paso a paso el procedimientoque emplea para obtener su respuesta. Dibujar el sistema compensado e indicar enla figura los margenes de fase y de ganancia.


Frecuencia (rad/s)

Fase

(gra

dos)

Mag

nitu

d (d

B)

-100

-80

-60

-40-30-20-10

010203040

100

101

102

103

-270-260

-240

-220

-180

-160

-140

-120

-100-90

Figura I.6.a:


Problema I.7



G(s) =1

s(s + 1)2

Se pide:

1.- Dibujar el bode del sistema y calcular margenes de fase y ganancia.



2.- Se desea controlar el proceso de forma que el sistema controlado cumpla EXACTA-MENTE TODAS las siguientes especificaciones:

• Error en regimen permanente ante entrada escalon = 0

• Error en regimen permanente ante entrada en rampa > 0

• Margen de fase = 45o

Para ello se pide disenar (si es posible) los siguientes controladores: (JUSTIFIQUELA RESPUESTA)

(a) Control PD

(b) Control PI

(c) Red de retardo de fase

3. Disenar una red de avance de fase para que el sistema controlado cumpla las sigu-ientes especificaciones:

• Error en regimen permanente ante entrada escalon = 0

• Error en regimen permanente ante entrada en rampa > 0

• Margen de fase ≥ 45o

• ωc ≥ 1rad/s

Problema I.8


Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado:


)1()110(1�

++ ss)s(K+

−

Figura I.8.a:




2.- Suponer que K(s) es una red de retardo. Disenar esta de forma el error en regimenpermanente frente entrada escalon sea del 5% y el margen de fase de 35 grados.

3.- Suponer que K(s) es un PID. Disenar este de forma que el sistema realimentado tengaun error en regimen permanente frente entrada en rampa sea del 10% y margen defase de 45 grados.

Problema I.9



sss

s

1011)1(1000 ��

+++)s(K+

−

Figura I.9.a:





2.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional. ¿Se puede controlar el sistemade manera que el sistema resultante cumpla las especificaciones de error en regimenpermanente ante entrada en rampa<10% y margen de fase ≥ 40o?

3.- Ademas, con objeto de garantizar la rapidez del sistema se desea que la frecuencia decorte del sistema con 0dB sea superior a 20 rad/s. Disenar una red de compensacionque cumpla las 3 especificaciones.

Problema I.10

Cuestion 1 parcial 2003-04

Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado:�� ++ ��)(sK+

−

Figura I.10.a:




2.- Obtenga un controlador K(s) = Kc(1 + Tds) de forma que el sistema compensadotenga ganancia 0 dB en ωc = 5rad/s y margen de fase de 45 grados

3.- Disene una red de avance tal que esta tenga una maxima aportacion de fase de 50grados y el margen de fase del sistema compensado sea de 45 grados.

4.- Obtenga una red de retardo de forma que el error en regimen permanente frenteentrada en rampa sea del 20 por ciento y el margen de fase de 45 grados


Problema I.11



G(s) =K(s + 50)

s(2s + 1)(s + 1)2

Se pide:




2.- ¿Para que valor aproximado de K > 0 se hace el sistema en bucle cerrado crıticamenteestable? Sintonice los parametros de un PID por las reglas de Ziegler-Nichols en bu-cle cerrado: Kp = 0.6Kcr, Ti = 0.5Pcr y Td = 0.125Pcr .

3.- ¿Es necesario controlar G(s) con un PID para conseguir que el sistema en buclecerrado tenga error nulo en regimen permanente ante entrada en escalon? Justifiquesu respuesta

4.- ¿Se podrıa controlar con un PD para hacer el sistema estable para todo K > 0?Justifique con el diagrama de Bode si su respuesta es negativa, o disene un PD si surespuesta es positiva.

5.- Disene una red de retardo de fase con K = 1 para que el margen de fase sea mayorque 20o.

Problema I.12







)s(K+−

�)11.0)(110(10

++ ss

Figura I.12.a:

2.- Suponer que K(s) es una red de red de avance. Disenar, si es posible, esta de formaque el error en regimen permanente frente entrada escalon sea del 1% y el margende fase de 50o. Justifique su respuesta.

3.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional derivativo. Disenar, si es posible,este de forma que el error en regimen permanente frente entrada escalon sea del 1%y el margen de fase de 45o. Justifique su respuesta.

4.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional integral. Disenar, si es posible,este de forma que el error en regimen permanente frente entrada escalon sea inferioral 1% y el margen de ganancia de 30 dB. Justifique su respuesta.

Problema I.13


Se desea controlar un sistema dinamico con un esquema de realimentacion unitaria quese muestra en el siguiente diagrama de bloques en el cual, K(s) representa el controlador.Se desea que el sistema en bucle cerrado tenga una respuesta ante un escalon unitario conuna sobreoscilacion inferior al 20% y que alcance el valor 1 en regimen permanente. Sedesea ademas que el error en regimen permanente cuando la entrada es una rampa seainferior a 0.1.

Figura I.13.a:


1.- Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuen-cia ası como la ganancia mınima que debe tener el controlador.




3.- Disenar (si es posible) una red de avance que controle el sistema.

4.- Disene (si es posible) una red de retardo que controle el sistema.

5.- Disene (si es posible) una red mixta que controle el sistema.

6.- Trace (de forma aproximada) y compare las respuestas ante escalon unitario delsistema controlado con una red de retardo y una mixta, indicando salida en regimenpermanente, sobreoscilacion y tiempo de subida.

Figura I.13.b:

Problema I.14

Cuestion 1 final 2004-05

Se desea controlar la temperatura de salida de una caldera de vapor actuando sobrela valvula de regulacion de combustible. Para que la caldera funcione aceptablemente sedebe cumplir que para una temperatura deseada de 200 oC, la temperatura no supere 230oC y en regimen permanente la temperatura sea superior a 198 oC. Para ello se modeladicho sistema obteniendose la siguiente funcion de transferencia.

G(s) =1

(100s + 1)(10s + 1)3

1.- Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuen-cia ası como la ganancia mınima que debe tener el controlador.





3.- Disenar (si es posible) una red de avance que controle el sistema.

4.- Disene (si es posible) una red de retardo que controle el sistema.

5.- Disene (si es posible) una red mixta que controle el sistema.

6.- Finalmente se decide implementar la red mixta disenada en el apartado anteriory al probarla sobre el sistema se observa que el comportamiento de la caldera esaceptable, aunque se desea que fuese mas rapido, es decir, con un menor tiempo desubida. Justifique razonadamente como ajustar el controlador para este fin.

Problema I.15


Se desea controlar un sistema del cual se conoce su diagrama de Bode, que se muestraen la figura I.15.a.

El sistema en bucle cerrado debe cumplir que el error en posicion sea nulo, en velocidadinferior a 0.01 y la sobreoscilacion inferior al 20% (Margen de Fase superior a 45o).Se pide:

1.- Calcular (si es posible) una red de avance que controle el sistema cumpliendo todaslas especificaciones.

2.- Calcular (si es posible) una red de retardo que controle el sistema cumpliendo todaslas especificaciones.

3.- Calcular (si es posible) una red de mixta que controle el sistema cumpliendo todaslas especificaciones.

4.- Estime los tiempos de subida de cada uno de los controladores anteriormente disenados.

5.- Disene un controlador PID mediante el metodo de Ziegler-Nichols en bucle cerrado(Kc=0.6 Kcrit, Ti=0.5 Pcrit, Td=0.125 Pcrit ), siendo Kcrit la ganancia crıtica yPcrit el periodo crıtico.


Figura I.15.a:


Problema I.16


Se desea controlar un sistema dinamico con un esquema de realimentacion unitaria,como se representa en la figura, donde K(s) representa el controlador. Se desea que elsistema en bucle cerrado tenga una respuesta ante escalon con una sobreoscilacion inferioral 5%, un tiempo de subida inferior a 1s, y un error de seguimiento ante entrada en rampa

inferior al 10%.

- + K(s) s+0.1τ

s(s+1)2(s+10τ)

Figura I.16.a:

1. Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuen-cia, ası como la ganancia mınima que debe tener el controlador. (Puede aproximarel tiempo de subida por la expresion ts ≈

π2ωc

)

Para τ = 1, Dibujar el diagrama de Bode del sistema sin compensar (con la gananciamınima calculada en el apartado anterior), y calcule los margenes de fase y gananciadel sistema.Como guıa: usar valores de 0o y −90o para el valor de la fase de un polo en las fre-cuencias extremas, y la siguiente tabla para las intermedias (Tome valores simetricospara un cero).



2. Para τ = 1, ¿Podrıa disenar una red de avance que compensase el sistema?, ¿y unPD?, ¿quizas un PI?. Razone las respuestas.

3. Para τ = 1, disene (si es posible), una red de retardo que controle el sistema.Si no pudiese disenar una red de retardo para cumplir todas las especificaciones,relaje la restriccion de sobreoscilacion, y estime la sobreoscilacion resultante para elsistema controlado.

4. Para τ = 1, disene (si es posible), una red mixta que controle el sistema.

5. Suponga ahora que τ puede tomar valores entre 0.1 y 1. Redisene la red mixtadel apartado anterior para que el controlador verifique las restricciones para todo elrango de valores de τ .

Nota: Observe que el sistema original, puede descomponerse como 1s(s+1)2

en cascada

con una red de avance que depende de τ .


Problema I.17


En una planta de produccion de biocombustible se ha disenado un control proporcionalpara controlar la concentracion del producto de un reactor mediante la manipulacion dela valvula de refrigerante. El sistema controlado no tiene un comportamiento adecuadoy se ha decidido su mejora. Para ello, se ha procedido a la obtencion de un diagrama deBode experimental del sistema a controlar, obteniendose la siguiente grafica:

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

Mag

nitu

d (d

B)

10−3

10−2

10−1

100

101

102

−360

−315

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

Des

fase

(gr

ados

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura I.17.a:

Las condiciones deseables del sistema en bucle cerrado son un error en regimen per-manente frente a entrada en escalon inferior al 1% y una sobreoscilacion inferior al 20%.Responda y justifique las siguientes cuestiones:

1. El controlador P se habıa disenado tomando Kc = 1. ¿Cumple el sistema realimen-tado las especificaciones impuestas? Para ello calcule el error que tendrıa el sistemarealimentado en regimen permanente, la sobreoscilacion y el tiempo de subida ante


una entrada en escalon.

2. Calcule las especificaciones en el dominio de la frecuencia.

3. Disene (si es posible) una red de avance de fase que controle el sistema.

4. Disene (si es posible) una red de retardo de fase que controle el sistema

5. Disene (si es posible) una red de mixta de fase que controle el sistema. En este caso,procure que el sistema realimentado sea lo mas rapido posible.

Problema I.18

Cuestion 2 septiembre 2005-06

En el denominado Control sin hilos de los aviones, el movimiento de los alerones selleva a cabo por un sistema de posicionamiento hidraulico, uno de los cuales se muestraen la siguiente figura

�� u(t)

�� Figura I.18.a:

en la cual se observa como un motor electrico impulsa una bomba que a su vez sumin-istra la presion de alimentacion de un piston al cual se haya conectado el aleron. De estaforma, variando la tension de alimentacion del motor, por mediacion de la senal u(t) deentrada del amplificador de potencia, se puede variar la posicion del aleron. El modelodinamico de este sistema es

G(s) =0.1

s(s + 3)(s + 1)2

siendo la entrada u(t) en voltios y la salida θ(t) grados. Se desea controlar el posi-cionamiento del aleron con un error en velocidad en regimen permanente que no supere0.1 grados.

Para ello se pide:

1.- Trazar el diagrama de Bode del sistema sin compensar.


2.- Calcular una red de retardo de forma que el sistema en bucle cerrado no supere un20% de sobreoscilacion y posea un margen de ganancia superior a 20 dB.

3.- Disenar un PID por las reglas de Ziegler Nichols en bucle cerrado. (K = 0.5Kcr,Ti = 0.5Pcr, Td = 0.125Pcr).

4.- Disenar una Red Mixta de forma que el sistema en bucle cerrado no supere un 20%de sobreoscilacion y el ancho de banda del sistema en bucle abierto sea superior a 1rad/s.

Parte II

Diseno de controladores usando el

lugar de las raıces

21


Problema II.1



G(s) =1

(s + 2)(s + 3)(s + 4)

Se pide:

1.- Dibujar detalladamente con trazo grueso y puntas de flecha el lugar de las raıcescuando el control es proporcional con ganancia K negativa.

2.- Si al controlador del apartado anterior con K negativa se anade un polo en s = −1, ¿cual serıa el valor de K para obtener un sistema en bucle cerrado con coeficientede amortiguamiento δ = 0.6?

3.- Si se introduce en el controlador un cero adicional al polo en en el intervalo (−1, 0),¿se podrıa hacer el sistema estable para cualquier valor de K < 0? Dibujar el lugarde las raıces aproximado (sin calcular valores numericos del lugar) para algun valordel cero propuesto con el fin de justificar la respuesta.

4.- Calcule el rango de valores de K > 0 validos para obtener un sistema con coeficientede amortiguamiento δ ≥ 0.6 y tiempo de subida ts ≤ 1.5 si el sistema solo tuvieselos polos en s = −2 y s = −3.

Problema II.2


Dado el sistema a controlar:

G(s) =K(s + 8)

(s + 1)(s + 3)(s + 10)

Se pide:

1.- Dibujar detalladamente con trazo grueso y puntas de flecha el lugar de las raıcescuando el control es proporcional con ganancia K positiva. No hace falta calcularpuntos de separacion o ingreso. Para ellos aportar una solucion cualitativa.

2.- ¿Se puede despreciar el efecto del polo en s = −10 , en el sistema original, paracualquier valor de K? Razone su respuesta.


3.- Estudiar cualitativamente la variacion de la sobreoscilacion con K en el sistema

original y en el sistema modificado eliminando el polo en s = −10 . Dibujar ellugar de las raıces aproximado del sistema modificado (sin calcular valores numericosdel lugar) para justificar la respuesta.

4.- Si se modifica nuevamente el sistema, eliminando tanto el polo en s = −10 como elcero en s = −8, calcular el rango de K para que se cumplan las siguientes especifi-caciones de diseno:

• erp(escalon) ≤ 20%

• δ ≥ 0.6

• ts < 1s

Problema II.3


Al sistema servomecanismo G(s) = 1s(s+1) se le aplica un controlador consistente en un

amplificador de ganancia KA > 0 y una realimentacion de la senal de velocidad medidacon un tacometro de ganancia KT > 0 como se muestra en el diagrama de bloques de lafigura.

KA

KT

11+s s

1+

- -

+R(s) U(s) V(s) P(s)E(s)

Figura II.3.a:

1.- Obtener el lugar de las raıces generalizado del sistema en bucle cerrado respecto ala variacion de la ganancia KT si se fija KA = 4. Dibujar detalladamente el lugarcon trazo grueso y puntas de flecha.

2.- ¿Para que valor de KT el sistema en bucle cerrado deja de tener sobreoscilacion?.

3.- Si se elige KT = 5, ¿que rango de valores de KA consigue que el sistema no tengasobreoscilacion?


Problema II.4



G(s) =K(Xs − 1)(s + 3)

s2 + 2s + 2

Se pide:

1.- Dibujar el lugar de las raıces y estudiar la estabilidad del sistema en funcion delparametro X para K = 1. Suponiendo realimentacion unitaria y negativa.

2.- Dibujar el lugar de las raıces y estudiar la estabilidad del sistema en funcion delparametro K para X = 1. Suponiendo realimentacion unitaria y negativa.

3.- Para el caso del apartado 2 (X = 1, K variable), dibujar cualitativamente como semodificarıa el lugar de las raıces al introducir un polo doble en s = −2, sabiendoque no existen puntos de separacion e ingreso.

4.- Para el caso del apartado 2, disenar un controlador PI (si es posible) para que elerror en regimen permanente ante una entrada en escalon sea nulo.

Problema II.5


1.- Dado el sistema con funcion de transferencia:

G(s) =K(s + 1)

s2 + 2s + 2

Dibujar detalladamente el lugar de las raıces del sistema realimentado para cualquiervalor de K (tanto positiva como negativa). Indicar tambien el rango de valores deK para los cuales el sistema es estable en bucle cerrado.

2.- Dado el sistema con dos ceros imaginarios puros:

G(s) =K(s + pj)(s − pj)

s(s2 + 1)

Se pide representar el lugar de las raıces del sistema realimentado para K > 0, ypara los casos p = 0.5, y p = 1.5. Indicar, en ambos casos, el rango de valores deK para los que el sistema es estable en bucle cerrado. (Nota: no existen puntos deseparacion ni ingreso).


Problema II.6



G(s) =K(Ts + 1)

(0.2s + 1)(0.5s + 1)(s + 1)

Se pide:

1.- Suponga que T es igual a cero. Dibuje el lugar de las raıces (K > 0) y determinela estabilidad del sistema en funcion de K suponiendo realimentacion unitaria ynegativa.

2.- Determine el valor de T de forma que el lugar de las raıces (K > 0) pase por elpunto −3.25+5j. Dibuje para dicho valor de T el lugar de las raıces (no es necesariocalcular el punto de separacion). Calcule el valor de K para que el sistema en buclecerrado (realimentacion unitaria y negativa) tenga un polo en −3.25 + 5j.

Problema II.7



G(s) =3

(s + 1)(s + 3)

Se pide:

1.- Utilizar el lugar de las raıces para calcular un controlador proporcional que minimiceel error en regimen permanente frente entrada escalon y garantice una sobreoscilacionno superior al 20%. (Supongase realimentacion unitaria negativa).

2.- Supongase que se quiere controlar el sistema a traves de un controlador proporcionalderivativo. Calculese la ganancia de este de forma que el error en regimen permanentefrente entrada escalon sea del 10%. Represente el lugar de las raıces generalizado enfuncion del tiempo derivativo (Td) (Asumase valores tanto positivos como negativospara Td).

3.- Dado el lugar de las raıces generalizado del apartado anterior determine para querango de valores de Td el sistema no sobreoscila. Calcule el valor de Td que hace queel sistema compensado tenga una sobreoscilacion del 20%.


Problema II.8



G(s) =K

s((s + 4)2 + 16)

Se pide:

1.- Calcule y dibuje con detalle el lugar de las raıces para todo valor de K.

2.- ¿Se podrıa calcular un controlador PI que estabilizase el sistema para todo valor deK > 0? Razone su respuesta y dibuje los lugares que precise a mano alzada.

3.- Considere el PD GPD(s) = K(s+c). Encuentre el rango de valores de c que garantizaque el sistema compensado G(s)GPD(s) en bucle cerrado es estable para cualquiervalor de K > 0.

Problema II.9



G(s) =K(s + 6)

s2 + 2s + a

Se pide:

1.- Supongase que a = 17. Para dicho valor de a, dibuje el lugar de las raıces (paravalores positivos y negativos de K).

2.- b) Supongase que el sistema representado por la funcion de transferencia G(s) se con-trola a traves de un controlador proporcional de ganancia K = 0.1 (realimentacionunitaria negativa). Utilizando el lugar de las raıces generalizado, determine si existeun rango de valores del parametro a que garantice que la sobreoscilacion del sistemase encuentre entre el 10% y el 20%.


Problema II.10



G(s) =K(s + 2)(s + 3)

s(s + 1)

Se pide:

1.- Dibuje el lugar geometricos de las raıces para K > 0.

(a) Indique como es la sobreoscilacion de la respuesta del sistema en bucle cerradopara todo el rango de K > 0.

(b) ¿Para que valor de K > 0 es el error en regimen permanente ante entrada enescalon menor o igual que el 10%? Justifique su respuesta.

(c) ¿Donde se podrıa anadir un polo real no positivo para que el sistema en buclecerrado se volviera crıticamente estable para algun valor de K > 0? Justifiquesu respuesta.

2. Dibuje el lugar geometricos de las raıces para K < 0. ¿Podrıa estabilizarse el sistemapara todo valor de K < 0 anadiendo algun controlador de los estudiados en estecurso? Justifique su respuesta.

Problema II.11



G(s) =K(s + 50)

s(2s + 1)(s + 1)2

Se pide:

1.- Dibujar el lugar de las raıces para K > 0. No es necesario calcular puntos deseparacion ni de ingreso.

2.- ¿Se podrıa controlar con un PD para hacer el sistema estable para todo K > 0?Disene un PD si su respuesta es afirmativa, y tanto si es afirmativa como negativadibuje un boceto del lugar de las raıces resultante.


Problema II.12



G(s) =K(Ts + 1)(s + 2)

(s + 3)(s + 4)

Se pide:

1.- Suponiendo que T = 1, dibujar el lugar de las raıces para K mayor o igual a cero.

2.- Suponiendo que T = 1, determinar el valor positivo de K que hace maxima lasobreoscilacion del sistema en bucle cerrado.

3.- Determinar el valor de K y T de forma que el sistema en bucle cerrado tenga unpolo en −1.5 + 0.3j.

Problema II.13


Dado el siguiente sistema:

Figura II.13.a:

Se pide

1.- Suponiendo que K(s) es un controlador proporcional dibujar el lugar de las raıces enfuncion de la ganancia del controlador (tanto positiva como negativa).

2.- Disenar un controlador PD de forma que el sistema compensado tenga como fre-cuencia natural ωn = 5rd/s y coeficiente de amortiguamiento δ = 0.5 (considereseganancia positiva).

3.- Compruebe cualitativamente que utilizando el lugar de las raıces que al controlar elsistema con un PI con cualquier Ti > 0, el sistema es estable para algun valor de laganancia positivo.


Problema II.14



Figura II.14.a:

Se pide:

1.- Suponiendo que K(s) es un controlador proporcional dibujar el lugar de las raıces enfuncion de la ganancia del controlador (tanto positiva como negativa).

2.- Suponer que K(s)=5+(Ki/s). Dibujar el lugar de las raıces generalizado en funciondel parametro Ki>0. (Nota: el lugar generalizado tiene un solo punto de separacion,el cual no es necesario que se calcule con exactitud)

3.- Utilizando el lugar generalizado del apartado anterior, calcular el rango de valorespositivos de Ki tales que el error en regimen permanente frente entrada rampa seainferior al 10% y la sobreoscilacion menor del 20%.

Problema II.15



G(s) = K(1 + τs)

(1 + ατs)

0.1

(s + 3)(s + 4)

Se solicita:

1.- Suponiendo que α = 0.1 y τ = 2 dibujar el lugar de las raıces para valores positivosy negativos de K.

2.- Dibuje el lugar de las raıces generalizado respecto al parametro 1/τ suponiendo queK = 10 y α = 0.1.


Problema II.16


Se desea controlar la concentracion (y) de un reactor actuando sobre la valvula dereactivo (u). Para ello se modela el comportamiento dinamico del sistema obteniendosela siguiente funcion de transferencia

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s2 + 6·s + 13)

El sistema se debe controlar de forma que el error en regimen permanente ante unareferencia constante sea inferior al 1% y que la dinamica en bucle cerrado se aproxime ala de un sistema de segundo orden con δ = 0.5 y ωn = 2 rad/s.

1.- Trazar el lugar de las raıces del sistema.Nota: los posibles puntos de separacion e ingreso son −1.44,−2.65 ± 1.34 j

2.- Justifique si es posible controlar el sistema con un controlador P.

3.- Para controlar este sistema se ha elegido un controlador PID que responde a lasiguiente funcion de transferencia

C(s) = K1 + Ti·s + Ti·Td·s

2

s·Ti·(α·Td·s + 1)

Disenar el controlador mediante el lugar de las raıces y determinar el valor de losparametros Ti, Td, K y α.( Asumir que los ceros del PID son reales.)

Problema II.17


Dado el sistema:

)2)(1( ++ ssK

sa

a

+

+

-

r y

Figura II.17.a:

Se solicita:


a) Determinar el valor de K > 0 y a > 0 para que el sistema en bucle cerrado tengaun polo en −1.3 + 2j.

b) Suponga que K = 1. Dibuje el lugar de las raıces generalizado en funcion delparametro a > 0. (No es necesario calcular con precision los puntos de separacion eingreso).

Problema II.18


Dado el sistema representado por el siguiente diagrama de bloques

- + K(s) 1

(s+1)(s+2)(s+4)

Figura II.18.a:

1.- Suponga que K(s) = Kc

τ ·s+1 ; obtenga utilizando el lugar de las raıces el valor de Kc

y τ para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en s0 = −1 + j.Trace, de forma aproximada, el lugar de las raıces resultante.

2.- Suponga que K(s) = Kc

τ ·s+1 ·s+as+b

; obtenga utilizando el lugar de las raıces el valor deKc, τ , a y b para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en s0 = −1 + j y elerror en regimen permanente frente entrada a escalon sea inferior al 10%.

Parte III

Automatismos

33


Problema III.1


Se desea controlar de forma automatica el acceso a un banco mediante un sistema dedos puertas (ver figura III.1.a). El funcionamiento del mismo es el siguiente:

Figura III.1.a:

PROCESO DE ENTRADA AL BANCO

Cuando una persona entra en la zona intermedia se cierra la puerta exterior y secomprueba si lleva algun objeto de metal. En ese caso, se activara una alarma (AL) yse abrira la puerta exterior para que la persona salga (la alarma se desactivara una vezque la persona haya salido). En caso contrario (no metal), se abrira la puerta interior ycuando la persona se encuentre dentro del banco se cerrara la puerta interior y se abrirala exterior.

PROCESO DE SALIDA DEL BANCO

Cuando una persona desee salir debera pulsar y soltar el boton (P). Una vez pulsado,se cerrara la puerta exterior, se abrira la interior y la persona pasara a la zona intermedia.Una vez allı, se cerrara la puerta interior y se abrira la exterior para que pueda abandonarel recinto.

SE PIDE

Disenar una red de petri que permita controlar el sistema.

NOTAS IMPORTANTES

• La puerta exterior se encuentra inicialmente abierta y la interior cerrada.

• Una persona no podra acceder a la zona intermedia mientras esta este ocupadada.


• En cada puerta se dispone de un sensor (SE en la puerta exterior y SI en la puertainterior) que permite detectar el paso de una persona mediante una activacion ydesactivacion consecutivas.

• La deteccion de metales se realiza mediante el sensor SM (SM=1 -¿metal detectado).

• Las senales PE (puerta exterior) y PI (puerta interior) permiten abrir y cerrar laspuertas (1 abrir, 0 cerrar).

• Solo puede pasar una persona a la vez.

Problema III.2


Se desea automatizar el mecanismo de subida y bajada de un toldo. Para ello sedispone de un motor para subir y bajar el toldo, de dos sensores (SS y SB) que indicanrespectivamente cuando el toldo esta completamente subido o bajado y de un pulsador(P) que va a servir para controlar la subida y bajada del toldo.

El funcionamiento que se desea es el siguiente:

Suponemos el toldo inicialmente subido.

Si se pulsa el pulsador P, empezara a bajar hasta que llegue al final o hasta que sevuelva a pulsar P, momento en el que debe pararse el toldo. Si una vez parado se vuelvea pulsar P, el toldo debera empezar a moverse hacia arriba hasta que vuelva a llegar ala posicion superior o se pulse nuevamente P, casos en los que debe pararse el toldo. Enresumen, el pulsador P para el toldo y cambia el sentido de movimiento.

Se pide:

Obtener la matriz de fases del automatismo correspondiente, suponiendo que el motorpuede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando (MB).

Problema III.3


Se desea controlar de forma automatica el funcionamiento de un semaforo de peatonesque dispone de un boton (P) para que los peatones soliciten cruzar. El esquema defuncionamiento es el siguiente:


• El semaforo cambia de rojo (R) a verde (V), y de verde a rojo cada minuto.

• Si el semaforo esta en rojo y el peaton pulsa el boton de solicitud de cruce, el semaforodebe cambiar a verde, teniendo en cuenta lo siguiente: si el semaforo lleva mas de30 segundos en rojo, el cambio se realizara de forma inmediata, pero si lleva menosde 30 segundos debera esperar otros 30 segundos para realizar el cambio.

Se pide:

Disenar una red de petri que permita controlar el proceso.

NOTAS:

• El semaforo estara inicialmente en rojo.

• El peaton solo puede cruzar cuando el semaforo esta en verde.

• Se dispone de un unico temporizador de 30 segundos.

• No es necesario soltar el boton P para que se realice la conmutacion

Problema III.4


Se desea automatizar el elevalunas electrico de un coche. Para ello se dispone de unmotor para subir y bajar la ventanilla, de dos sensores (VS y VB) que indican respecti-vamente cuando la ventanilla esta completamente subida o bajada y de un pulsador (P)que va a servir para controlar la subida y bajada de la ventanilla.


Suponemos la ventanilla inicialmente subida.

Si se pulsa el pulsador P, empezara a bajar hasta que llegue al final o hasta que sesuelte P, momento en el que debe pararse la ventanilla. Si una vez parada se vuelve apulsar P, la ventanilla debera empezar a moverse hacia arriba hasta que vuelva a llegar ala posicion superior o se suelte nuevamente P, casos en los que debe pararse. En resumen,el pulsador P para la ventanilla y cambia el sentido de movimiento.

Se pide:

Obtener la matriz de fases del automatismo correspondiente, suponiendo que el motorpuede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando (MB).


Problema III.5


Se desea controlar de forma automatica la entrada y salida de productos en un almacen,utilizando cintas transportadoras y un robot (para desplazar los productos de una cinta aotra), como se muestra en la figura III.5.a.

Figura III.5.a:

El numero maximo de piezas que puede haber en el almacen es de 100. Asimismoes necesario controlar que el almacen este vacıo o que este lleno. El funcionamiento delalmacen es como sigue:

• Cuando se desea almacenar una pieza, el operario la coloca sobre la cinta de entraday pulsa el boton de entrada (PE). En ese momento la pieza debe ser transportadasobre la cinta (CE) hasta llegar al final de la misma (SE). Si el almacen esta lleno,la pieza permanecera en dicha posicion hasta que se saque alguna pieza del mismo.Cuando haya sitio, el robot debera recogerla y depositarla en la cinta auxiliar 2.Para ello, sera necesario activar la senal RE, de modo que el robot se acerque a laposicion de entrada, y esperar 30 segundos para que el robot complete el movimiento.

• Del mismo modo, cuando se desee sacar una pieza se pulsara el boton de salida (PS).Si no hay piezas, la peticion sera ignorada. En caso contrario la pieza se desplazarasobre la cinta de salida hasta la posicion SS y esperara allı para ser trasladada porel robot a la cinta auxiliar 1. Para dicho traslado sera necesario activar la senal RS

y esperar 30 segundos para completar el movimiento.

Se pide:

Disenar una red de petri que permita controlar el proceso.

NOTAS IMPORTANTES:


• Se dispone de un contador de 100 piezas con dos entradas (IC, DC, para incre-mentar/decrementar el contador) y dos salidas (C100, C0, que valen 1 cuando elcontador vale 100 y 0, respectivamente).

• Es necesario incrementar/decrementar el contador cuando se finalice el proceso deentrada/salida de piezas.

• La cinta de entrada se pone en marcha/paro con la senal (CE), y la de salida con(CS).

• Las cintas auxiliares estan siempre en funcionamiento. ” Se dispone de un tempo-rizador de 30 segundos.

• El robot solo puede atender una peticion a la vez, por lo que no se deben activarsimultaneamente las senales RE y RS.

• Se dara prioridad a la salida de piezas frente a la llegada.

Problema III.6


Para describir el comportamiento de un sistema de gestion de alarma ante intruso enuna habitacion se utilizo la matriz de fase de la figura III.6.a, donde M activa el sistema dealarma (si M pasa a ”0” no se desactiva), P lo desactiva, D es un detector de movimientodentro de la habitacion, S es un indicador de sistema de alarma activo o no y A es la senalque enciende el altavoz de alarma (que ha de sonar cuando se active D) o lo apaga

A

S

AUTÓMATAGESTOR

SISTEMADE ALARMA

DETECTOR DEMOVIMIENTO

D

M

P

+-

Figura III.6.a:

a) Descubra 4 errores en la matriz de la figura III.6.b indicando la solucion correcta.

b) Rellene los huecos libres.


Notas: M y P no se pulsa uno mientras se suelta el otro (01 → 10) ni se pulsan a lavez (00 → 11). D puede cambiar a la vez que se pulsa M o P (000 → 101 o 000 → 011)y en estos casos las salidas S y A corresponden a las funciones de M o P.

000 001 010 011 100 101 S A

MPD MPD MPD MPD MPD MPD

0 1

0

0

0

1

1

1

76

2

2

2

2

-

-

3

3

3

3

3

-

4

4

-

4

4

5

5

-

-

5

5

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

76 2 3 4 5 1 0

76 2 3 5 1 1

Figura III.6.b:

Problema III.7


Se desea disenar una Red de Petri (RdP) que modele el funcionamiento del limpia-parabrisas de un coche (figura III.7.a) mediante una palanca de 4 posiciones: parado, sinparadas (Posicion 0=P), paradas de 5 seg. (Posicion 1=P1) y paradas de 10 seg. (Posicion2=P2). El sistema posee dos contactos de fin de carrera que indican la posicion final demedio ciclo B y de ciclo completo A.

� �� ParadoP=Posición 0 P1=Posición 1

P2=Posición 2

PALANCA

Figura III.7.a:

Se pide completar la RdP de la figura III.7.b, desde donde se ha dejado, sin posibilidadde anadir en mas lugares las senales de motor derecha (MD) y motor izquierda (MI).


�� Figura III.7.b:

Problema III.8


Un sistema de gestion de alarma anti-intruso funciona con las siguientes senales:

• MI: Activa (MI=1) el sistema anti-intruso.

• PI: Desactiva (PI=1) el sistema anti-intruso.

• SI: Enciende una luz piloto indicando si el sistema anti-intruso esta activado (SI=1)o no (SI=0).

• DI: Sensor de deteccion del movimiento (DI=1) dentro de la habitacion. El sensorfunciona independientemente de que el sistema anti-intruso este activado o no.

• A: Hace sonar (A=1) o apaga (A=0) el altavoz de alarma.

El funcionamiento del sistema es el siguiente: el altavoz sonara cuando se detectemovimiento y el sistema anti-intruso este activo, y no dejara de sonar hasta que se pulsePI. (NOTA: MI y PI nunca estan pulsados a la vez).

Se pide:

a) Dibujar una red de Petri que describa el comportamiento del sistema.


b) Utilizando el sensor de movimiento DI, se desea que la luz L de la habitacionse encienda automaticamente (L=1) siempre que se detecte movimiento en dichahabitacion. La luz se mantendra encendida durante 5 minutos excepto en el caso enel que el sistema anti-intrusos estuviera haciendo sonar el altavoz, caso en el que de-bera permanecer encendida hasta que se desactive el sistema anti-intrusos (es decir,que se pulse PI).

Vuelva a dibujar su red de a) y completela para realizar dicha tarea teniendo encuenta lo siguiente:

• Una vez encendida la luz de la habitacion, NO se podra activar el sistema dedeteccion de intrusos hasta que la luz se haya apagado.

• Se dispone de un temporizador de 5 minutos (AT, FT).

c) Volviendo al caso del apartado a) (sin control de la luz de la habitacion), se instalaadicionalmente un sistema de deteccion de incendios que comparte el altavoz A conel de anti-intrusos.

El sistema de deteccion de incendios maneja senales con funcionalidades analogasa las del sistema anti-intruso, a saber, MF, PF, SF, DF (para activar, desactivar,indicar funcionamiento del sistema y detectar fuego), con las que controla el altavozA de forma similar al detector de intrusos. Ademas, dispone de una luz indicadorade fuego F que debe ser activada (F=1) cuando se detecte un fuego, y cuya misiones distinguir desde el exterior si el altavoz suena por un incendio o por un intruso.

Vuelva a dibujar su red del apartado a) y completela para realizar dicha funcionteniendo en cuenta lo siguiente:

• Si cuando esta sonando la alarma por intruso se detecta fuego, NO se activarael indicador F.

• La prioridad en el uso del altavoz la tendra el sistema ante incendio.

Problema III.9


El cuadro de relacion entre estados de la figura III.9.a rige el funcionamiento del codigode seguridad del autorradio de un automovil. Dicho autorradio dispone de dos pulsadores(A y B) que deben ser accionados en la secuencia descrita en dicha matriz para ponerloen funcionamiento. Se pide:

1.- Describir el funcionamiento de dicho codigo de seguridad (3 lıneas maximo).

2.- Minimizar la matriz de fases a traves de la tabla de inferencia analizando la com-patibilidad de estados de modo que se reduzca al mınimo numero de estados. Esnecesario que se describa dicho analisis de compatibilidad de forma explıcita. Nodebe limitarse a poner el resultado, caso este en el que no tendrıa validez.


3.- Realizar una Red de Petri que controle el funcionamiento del sistema.

0

1

2

3

4 14-4Q� 1-04Q� 00-3Q� 00-2Q� 01-0Q� Salida (S)1 01 10 10 0A B

Figura III.9.a:

Problema III.10


Se desea automatizar los accesos y salidas de un aparcamiento con dos entradas y unasalida y con un aforo maximo de 100 vehıculos.

Entrada 1 Entrada 2

Salida

PE1 PE2

Barrera 1 Barrera 2

SE1 SE2

GARAJE

PS

SSS

SF SF

Barrera i

MABEi

MBBEi

SABEi

SBBEi

Figura III.10.a:

El esquema del sistema a automatizar es el que se muestra en la figura y que se describea continuacion:


• Para controlar el numero de coches se dispone de un contador que tiene dos senalesde entrada (IC) para incrementar el contador y (DC) para decrementarlo y una desalida (C100) para indicar que se han contado 100 coches (C100=1).

• El sistema consta de 2 entradas cada una con una barrera que funciona de la mismaforma:

– Se dispone de un motor que levanta la barrera (MABEi) y que la baja (MBBEi),y de dos sensores, uno de barrera totalmente levantada (SABEi) y otro de bar-rera bajada (SBBEi). Ademas existe un pulsador (PEi) que se usa para quese levante la barrera, y un sensor que indica cuando ha pasado el coche en sutotalidad (SEi).

– El proceso de entrada sera el siguiente: Al llegar un vehıculo, el conductordebera pulsar el pulsador (PEi), una vez pulsado se levantara la barrera quepermanecera levantada hasta que el coche haya entrado en el garaje, en esemomento el contador debe incrementarse en una unidad y bajar la barrera.

– El automata debe controlar tambien que no entren dos coches al mismo tiempopor ambas puertas.

• La salida se hara a traves de una unica barrera que consta de un motor que la levanta(MABS) y que la baja (MBBS), y de dos sensores, uno de barrera totalmentelevantada (SABS) y otro de barrera bajada (SBBS). Ademas existe un pulsador(PS) que se usa para que se levante la barrera, y un sensor que indica cuando hapasado el coche en su totalidad (SS). El proceso de salida sera el siguiente: Alllegar un vehıculo, el conductor debera pulsar el pulsador (PS), una vez pulsado selevantara la barrera que permanecera levantada hasta que el coche haya salido delgaraje, en ese momento el contador debe decrementarse en una unidad y bajar labarrera.

• En el caso de que el garaje este completo debera encenderse un semaforo (SF) y nose podra entrar en el garaje por ninguna puerta hasta que haya plazas libres.

SE PIDE REALIZAR LA RED DE PETRI CORRESPONDIENTE A LA AUTOM-ATIZACION DEL SISTEMA

Problema III.11


Se desea realizar un automatismo para controlar el nivel de un deposito alimentadopor una tuberıa de entrada cuyo flujo se controla por una valvula de control de nivel(FCV). Para ello se dispone de dos sensores S1 y S2 colocados como se muestra en lafigura III.11.a.

El comportamiento deseado es el siguiente: En caso de que el nivel este por debajo delos dos sensores debe abrirse la valvula de control de nivel (FCV=1), si partiendo de este


funcionamiento el nivel sube por encima de S1 la valvula debe seguir abierta, y si superaS2 debe cerrarse. Si por el contrario, sin llegar al nivel S2, vuelve a bajar por debajo deS1 debe permanecer abierta. Si partiendo de un nivel superior a S2 (valvula cerrada) elnivel disminuye por debajo de S2 la valvula debe permanecer cerrada y si disminuye pordebajo de S1 debe abrirse. Si por el contrario, sin llegar al nivel S1, vuelve a subir porencima de S2 debe permanecer cerrada. En resumen el sistema debe comportarse con unacaracterıstica de histeresis.

Se pide:

Realizar la matriz de fases que modele el comportamiento deseado del sistema, reducirdicha matriz eliminando los estados compatibles y realizar el diagrama de contactos delautomatismo necesario para controlar el sistema.

Nota:

• Suponer que el nivel del deposito es inicialmente inferior a S1.

• Los sensores S1 y S2 se activan (S1=1, S2=1) si estan cubiertos de agua y sedesactivan si no lo estan.

S1

S2

FCV

Figura III.11.a:

Problema III.12


Se desea automatizar el mecanismo de subida y bajada de un toldo. Para ello sedispone de un motor para subir y bajar el toldo, de dos sensores (SS y SB) que indicanrespectivamente cuando el toldo esta completamente subido o bajado y de un pulsador(P) que va a servir para controlar la subida y bajada del toldo.



Suponemos el toldo inicialmente subido.

Si se pulsa el pulsador P, empezara a bajar hasta que llegue al final (permanezca Ppulsado o no) o hasta que se vuelva a pulsar P, momento en el que debe pararse el toldo.Si una vez parado se vuelve a pulsar P, el toldo debera empezar a moverse hacia arribahasta que vuelva a llegar a la posicion superior (permanezca P pulsado o no) o se pulsenuevamente P, casos en los que debe pararse el toldo. En resumen, el pulsador P para eltoldo y cambia el sentido de movimiento.

Se pide:

Disenar la red de Petri que controle el comportamiento del sistema, suponiendo que elmotor puede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando (MB).

NOTA: Una vez pulsado el boton P en cualquiera de los casos este podra ser soltadoo permanecer pulsado, debiendo tener el mismo comportamiento en ambos casos.

Problema III.13


Con vistas a mejorar la calidad de las tostadas de la cafeterıa se propone instalar unatostadora automatica, de modo que mediante un conjunto de interruptores situados ensu frontal (H, A, M, T, Y, S, P, PT) es posible seleccionar como de hecha se quiere latostada, el acompanamiento y un complemento. En concreto:

• Debe ser posible elegir entre tostadas poco hechas (30 segundos) (H=0) o normales(1 minuto) (H=1).

• La tostada puede ir acompanada de aceite (A=1) o mantequilla (M=1) o nada.

• Como complemento se puede incluir tomate (T=1), jamon york (Y=1), jamon ser-rano (S=1) o nada.

• IMPORTANTE: solo se puede seleccionar un complemento.

Para utilizarla, el camarero debera 1o) situar el pan en la tostadora; 2o) seleccionarpoco hecha o normal con el boton H; 3o) pulsar los botones correspondientes para selec-cionar el acompanamiento (A o M o ninguno); 4o) pulsar los complementos (T, Y, S onada) y 5o) pulsar el interruptor de puesta en marcha P, momento en el que comienzaa prepararse la tostada de forma automatica con las opciones elegidas. Una vez lista latostada se activara una campana (C=1) indicando que esta preparada. La campana estaraactiva hasta que el camarero desconecte el interruptor P.


Ademas:

• Para que el pan se tueste, el sistema de control debe mantener activa una senalllamada TOSTAR que enciende los filamentos de la tostadora.

• La tostadora dispone de unos mecanismos para aplicar de forma automatica las por-ciones de aceite, mantequilla, etc. Para aplicar los distintos elementos el sistemade control debe activar y desactivar de forma consecutiva la senal de control cor-respondiente (AA: Aplicar aceite, AM: Aplicar mantequilla, AT: Aplicar tomate,AY: Aplicar york, AS: Aplicar serrano). (Ej: haciendo consecutivamente AM=1,AM=0 el sistema deposita una porcion de mantequilla sobre la tostada).

• El complemento (tomate, york o serrano) se aplicara SIEMPRE DESPUES delacompanamiento basico (aceite,).

• Se dispone de un temporizador de 30 segundos (AT1: Activar temporizador, FT1:fin de temporizacion).

• Asimismo, para evitar un posible tostado excesivo, existe un pulsador PT que per-mite detener el proceso de tostado en cualquier instante, pasando el sistema a aplicarel acompanamiento y complemento. Este pulsador solo detiene el tostado no el pro-ceso de preparacion.

Se pide:

a) Indicar claramente las senales de entrada y salida del automata que controle elproceso.

b) Realizar una red de petri que controle el sistema.

Problema III.14


a) Se desea automatizar un elevador en un centro comercial. Dibuje una red de Petrique describa el comportamiento del automata que proporcione dos senales al motordel elevador y una a la puerta del elevador:

• S para SUBIR elevador

• B para BAJAR elevador

• PA debera estar a 1 para mantener la puerta abierta

a partir de las entradas


• de LLAMADA desde cada planta del centro comercial A: LA1, LA2 y LA3

• desde tres pulsadores en el ELEVADOR: E1, E2 y E3

• desde los SENSORES de planta: S1, S2 y S3 que estan a 1 cuando el elevadoreste en cada planta.

Cuando el elevador se para en una planta la puerta PA se abre durante 10 s y secierra. Solo en ese momento queda disponible para ser llamado desde el elevador odesde la planta. Tambien se abre la puerta durante 10 s cuando se le indica ir a laplanta en la que esta.

En las plantas 2 y 3, si el elevador no es llamado desde otra planta durante el siguienteminuto en que esta la puerta cerrada, bajara a la planta primera y esperara allı.

Considerese inicialmente el elevador en la planta 1 con la puerta cerrada. Se disponede un temporizador de 1 minuto de entrada AT1 (activacion de temporizador) ysalida FT1 (fin de temporizacion), y de otro de 10 s (AT10, FT10).

CENTRO COMERCIAL A

GARAJE B

S1

S2

S3

E1 E2 E2

LA3

LA2

LA1 LB1

S BPA PB

CALLE

TEMP10 sAT10 FT10

TEMP1 minAT1 FT1

TEMP30 sAT30 FT30

Figura III.14.a:

b) El elevador es compartido con los clientes para subir del garaje B adosado en laprimera planta. Para ello dispone de una PUERTA al garaje (PB a 1 cuando puertaabierta. Disene la red que gestiona el elevador desde el garaje segun lo siguiente:

Cuando el elevador se para en la planta primera la puerta PB permanece cerradahasta que es llamado con el pulsador de planta LB1. En ese caso se abre PB durante30 sg (para ello se dispone de un temporizador de senales AT30 y FT30) y trascerrarse sube hacia la tercera planta, abre durante otros 30 sg, cierra y vuelve abajar. Cuando un cliente del garaje utiliza el elevador la puerta PA permanececerrada en dichas plantas.

Considere al comienzo el elevador en la primera planta.

Indique en la red que acaba de dibujar como se comparte el elevador con el centrocomercial, marcando las transiciones de a) que necesite con etiquetas de la forma


TRANS-1, TRANS-2, ... (y los lugares con etiquetas LUG-1, LUG-2, etc) y refer-enciandolas desde la red b).

Problema III.15


Dado el automatismo definido por la siguiente matriz de fases:

Figura III.15.a:

Se pide:

a) Simplificar dicha matriz al numero mınimo de estados.

b) Obtener la funcion logica mınima correspondiente a la salida del sistema (funcion delectura).

Problema III.16


Se desea controlar el proceso de entrada y salida a un parking con una capacidadmaxima para cien vehıculos, y en el que los vehıculos deben atravesar una rampa estrechapor la que solo puede circular un vehıculo en cada momento. Para ello se dispone de unsemaforo de entrada (SME) y uno de salida (SMS) que permiten, respectivamente, queun vehıculo entre o salga del parking (SME=1 (SMS=1) pone el semaforo de entrada(salida) en verde, SME=0 (SMS=0) semaforo en rojo). Inicialmente ambos semaforos seencuentran en rojo.


Asimismo, se dispone de un sensor (SE1) que indica la presencia (SE1=1) de unvehıculo que desea entrar en el parking. Si el semaforo de entrada esta en rojo o elparking esta lleno el vehıculo esperara en este punto hasta que pueda entrar. En esemomento el semaforo de entrada se pondra en verde para permitir que el vehıculo pase,e inmediatamente que haya cruzado se pondra de nuevo en rojo para que no pase ningunotro vehıculo. Para saber que el vehıculo ha terminado de entrar en el parking se disponede otro sensor (SE2) que se pone a 1 cuando un vehıculo esta cruzando en ese carril pordelante del mismo.

Analogamente, para gestionar la salida de vehıculos se dispone de sendos sensores(SS1 y SS2). Si el semaforo de salida esta en rojo o hay otro vehıculo entrando o saliendodebera esperar junto al sensor SS1. De nuevo, para permitir solo la salida de un vehıculoel semaforo de salida debe ponerse a verde e inmediatamente que cruce a rojo. Al igualque antes, el sensor SS2 permite saber que el vehıculo ha completado el proceso de salida.

Se dispone de un contador con dos entradas (IC, DC) para incrementar y decrementar,y una unica salida (C100) que se pone a 1 cuando en el contador vale 100.

La salida de vehıculos tendra prioridad frente a la entrada.

PARKING

SS2 SS1

SE2SE1SME

SMS

PARKING

SS2 SS1

SE2SE1SME

SMS

Figura III.16.a:



Problema III.17


Se desea automatizar el secador de un tunel de lavado de coches para que se mantengaa una altura fija de la carrocerıa del coche.

Para ello se dispone de un secador con dos sensores, SS (sensor superior) y SI (sensor


inferior), mas un sensor de presencia de coche en la parte de secado del tunel de lavado(SC). Se dispone tambien de varias senales de actuacion (MA y MB para subir o bajarel secador respectivamente y S para poner en marcha el secador)

SC

MB

MASS

SI

S

Figura III.17.a:

El funcionamiento del sistema es el siguiente:

Cuando el coche llegue al sensor SC debera ponerse en funcionamiento el proceso desecado, que comenzara poniendo en marcha el secador (S=1).

En ese momento el secador debe acercarse lo mas posible al coche y permanecer cercade el usando los sensores SS y SI, de tal forma que si ninguno de los sensores esta activadosignifica que el secador esta lejos del coche y debe bajar hasta que el sensor SI se active;a partir de ese momento, si se activa el sensor SS el secador debe subir para alejarse delcoche hasta que deje de activarse y si dejase de activarse SI debe bajar hasta que vuelvaa acercarse al coche de nuevo.

Por el contrario, si al activarse el sensor SC estuvieran tambien activos los sensoresdel secador (SS y SI) el secador debe alejarse primero hasta que solo este activo SI yposteriormente proceder de la forma descrita anteriormente.

Una vez el coche haya pasado totalmente por el sensor SC el secador se parara y sequedara a la espera de la llegada de un nuevo vehıculo.

Se pide disenar una red de Petri que controle el funcionamiento del sistema.

Nota: El coche es desplazado sobre un rail por el tunel de lavado y su movimiento noes gobernado por el automatismo que se ha de disenar.

Problema III.18


El nuevo ZEAT IBISA viene equipado con un novedoso sistema de cierre centralizadoque ademas permite el cierre automatico de las ventanillas al dejar el vehıculo.


La cerradura del conductor tiene tres posiciones: Centro (posicion de reposo), giradaa la izquierda para Abrir Puerta (AP) y girada a la derecha para Cerrar Puerta (CP).Para pasar de la posicion AP a CP, o viceversa, es necesario pasar siempre por la posicioncentral (momento en el cual tanto AP como CP estaran a cero). Obviamente, es fısicamenteimposible que AP=1 y CP=1 simultaneamente.

El coche se supone inicialmente con la cerradura en posicion de reposo (AP=0, CP=0).

Cuando el conductor gira la llave a la posicion de cerrar puertas (CP se pone a 1) y lamantiene ası durante cinco segundos (CP a 1 cinco segundos), el sistema sube automaticay simultaneamente la ventanilla derecha (SVD enciende el motor para Subir la VentanillaDerecha) y la ventanilla izquierda (SVI), hasta que ambas esten cerradas (VDC es un sen-sor para saber que la Ventanilla Derecha esta Cerrada (VDC=1) y VIC, para la VentanillaIzquierda).

Importante: para evitar danos en los motores de los elevalunas electricos, estos debenser apagados en cuanto la ventanilla correspondiente se cierre completamente. Es decir,si se estan cerrando ambas ventanillas (SVD=1, SVI=1) y, por ejemplo, la VentanillaDerecha se Cierra antes (VDC=1,VIC=0), entonces se parara el motor de Subir VentanaDerecha (SVD=0) pero el de la izquierda seguira en marcha (SVI=1) hasta que se hayacerrado por completo.

Ademas, si el conductor gira la llave a la posicion de reposo los elevalunas se detendraninmediatamente en la posicion en la que se encuentren. Si vuelve a girar la llave durantecinco segundos se repetira el proceso.

Se dispone de un temporizador de 5 segundos (AT, activa temporizador; FT indica finde temporizador).



Problema III.19


Se desea controlar el funcionamiento del nuevo cepillo dental electrico ORAL-P deBRAUM.

Dicho cepillo cuenta con un pulsador (P) que permite poner en marcha y detener elfuncionamiento del mismo. Cuando el usuario desea poner el cepillo en marcha debe pulsary soltar el boton P. En ese instante, el cepillo debe empezar a funcionar.


Teniendo en cuenta que, para una correcta higiene bucal, el cepillado debe durar almenos 120 segundos, el cepillo no se podra parar durante ese tiempo. Transcurridos los120 segundos, el cepillo debe emitir una senal para que el usuario sepa que ya han pasadodos minutos. Dado que el cepillo no dispone de un altavoz, para avisar al usuario realizarauna pequena vibracion. Para ello, detendra el motor durante 1 segundo, lo pondra enmarcha durante otro segundo, lo volvera a parar durante un segundo y, posteriormente,seguira funcionando indefinidamente hasta que el usuario pulse y suelte P, momento enel que debera quedar preparado para un nuevo cepillado.

Para conseguir que el motor gire, el sistema de control debe mantener la senal M auno (si M vale cero el motor se para).

Se dispone de un contador con dos entradas (BC, IC) para poner a cero e incrementarel contador, respectivamente, y una unica salida (C120) que toma valor 1 cuando en elcontador vale 120. El contador se encuentra inicialmente a cero.

Asimismo, se dispone de un unico temporizador de 1 segundo, el cual es gestionadomediante las senales (AT, FT) para activar y avisar de fin de temporizacion, respectiva-mente.

Se pide:

a) Indicar claramente las entradas y salidas del controlador

b) Disenar una Red de Petri que controle el proceso

Problema III.20

Cuestion 3a final 2004-05

Con objeto de garantizar el buen funcionamiento de los servidores informaticos dela escuela, es necesario mantener la temperatura de la sala de ordenadores donde estaninstalados a una temperatura proxima a 15oC.

Para lograrlo se ha adquirido un aparato de aire acondicionado al que se pretendedisenar un control todo-nada con histeresis de ±5oC. Para ello se dispone de dos sensoresT10 y T20. El primero de ellos se activa (T10=1) cuando la temperatura es inferior a 10oC y el otro lo hace (T20=1) cuando la temperatura es superior a 20 oC.

El funcionamiento que se pretende es el siguiente:

Si la temperatura es superior a 20oC el aire acondicionado debera estar funcionando(AIRE=1), si baja por debajo de 20oC pero es superior a 10oC debe seguir funcionandoy si baja por debajo de 10oC debe apagarse (AIRE=0).


Si por el contrario la temperatura es inferior a 10oC (el aire acondicionado debe estarapagado (AIRE=0)) y la temperatura sube por encima de 10oC el aire debe permanecerapagado hasta que se suba por encima de 20oC momento en el que debe encenderse.

Se pide: Disenar el automatismo que implemente el control todo-nada con histeresisantes descrito, calculando la matriz de fases, reduccion de estados, matriz de fases reducida,simplificacion usando tablas de Karnaught, indicando la funcion de transicion y la de saliday realizando la implementacion mediante la logica de contactos.

Problema III.21

Cuestion 3b final 2004-05

Se pretende controlar la iluminacion de una sala, de manera que la luz este encendidacuando haya alguien dentro de la sala y apagada cuando este vacıa, para ello se disponede dos sensores (S1 y S2) situados en la puerta que indican cuando una persona ha salidoo entrado de la habitacion de la siguiente forma:

• Entrada: activacion/desactivacion de S1 y despues lo mismo de S2.

• Salida: activacion/desactivacion de S2 y despues lo mismo de S1.

Ademas se dispone de un contador con el que se pretende saber si la habitacion estavacıa, hay alguien o se ha superado el aforo maximo de 100 personas. Para ello el contadortiene dos entradas (IC: Incrementa contador y DC: Decrementa contador) y dos salidas(C0: Contador=0 y C100: Contador=100).

El funcionamiento que se pretende es que si la sala esta vacıa la luz este apagada(LUZ=0) y si hay alguien este encendida (LUZ=1).

Asimismo si se supera el aforo de 100 personas debe encenderse la senal de aviso desala completa (COMPLETO=1) y permanecer encendida hasta que el numero de personassea inferior a 100.

Se pide disenar la red de Petri que implemente el comportamiento deseado.

NOTAS:

• Suponer que inicialmente la sala esta vacıa y el contador a 0.

• Una vez completado el aforo puede seguir entrando gente, pero la senal de completodebe estar activa hasta que se deje de superar las 100 personas.

• Es imposible que una persona salga a la vez que otra entra.


• Suponer que una vez empezado el proceso de entrada o de salida este se completaen su totalidad.

Problema III.22


Se desea controlar el sistema de apertura y cierre de las puertas de los vagones delfuturo Metro de Sevilla.

Cada vagon dispone de dos puertas (A y B) identificadas con la letra y el numero devagon correspondiente (por ejemplo, A1, es la puerta A del vagon 1, y B7 es la puerta Bdel vagon 7). Para abrir cada puerta se dispone de una senal Apv, donde p indica la letrade la puerta y v el numero de vagon (p.ej., mientras las senales AA1 y AB2 estan a 1, lapuerta A del vagon 1 y la puerta B del vagon 2, respectivamente, permaneceran abiertas).

Cuando el metro llega a la estacion y se para (el sensor MPE=1, indica que el Metroesta Parado en la Estacion) se deberan abrir todas las puertas. Las puertas permaneceranabiertas durante 10 segundos, y ademas, durante los 5 ultimos segundos se activara unasenal sonora de aviso (ACP) de que las puertas estan proximas a cerrarse. Una veztranscurrido ese tiempo se cerraran todas las puertas.

No obstante, para evitar atrapar a algun pasajero con la puerta, se dispone de unsensor Spv, que indica que hay alguien obstruyendo la puerta correspondiente (p.ej, si elsensor SB2 esta a uno significa que hay un pasajero obstruyendo la puerta B del vagon 2).De este modo, transcurridos los 10 segundos desde que se paro el metro, se deberan cerrartodas las puertas en las que no haya nadie obstruyendo la entrada, debiendo mantenerseabiertas las restantes puertas. Estas puertas se deberan ir cerrando conforme dejen deestar obstruidas. Mientras haya alguna puerta obstruida se activara una alarma sonora(AL).

Una vez que todas las puertas hayan sido cerradas, el sistema de control debera activarla senal Puertas Cerradas (PC) para que el conductor sepa que puede iniciar la marchacamino a la proxima estacion, y debera mantenerse activa hasta que el metro deje de estarparado en la estacion.

Se dispone de un unico temporizador de 5 segundos, el cual es gestionado mediante lassenales (AT, FT) para activar y avisar de fin de temporizacion, respectivamente.

Se pide: a) Indicar claramente las entradas y salidas del controlador. b) Disenar unaRed de Petri que controle el proceso para dos vagones.


Problema III.23


Se desea automatizar el funcionamiento de una mesa de mecanizado con dos puestosde trabajo y un brazo manipulador que se encarga de la alimentacion y descarga de piezasa la mesa. El esquema de la mesa de mecanizado puede verse en la figura III.23.a.

ROBOTPuesto de carga

Puesto de taladradoPuesto de avellanadoy descarga

G120

Figura III.23.a: Esquema de la mesa de mecanizado

El proceso de mecanizado consta de dos procesos que han de hacerse de forma se-cuencial en los dos puestos de trabajo (puesto de taladrado y de avellanado), el automatadebera tambien de gestionar la carga y descarga de piezas a la mesa por parted del robot(en los puestos de carga y de avellanado/descarga), ası como el giro de la misma parallevar las piezas de un puesto a otro.

El proceso de carga y los de mecanizado en cada puesto se realizaran de forma simul-tanea, la evacuacion de las piezas se hara una vez hayan terminado todos los procesos.Para ello el sistema cuenta con los siguientes elementos y senales:

• Pulsadores PM: Pone en marcha el sistema y PAR que inicia el proceso de parada.de mecanizado.

• Senales CAR (Indica al robot que deba cargar una pieza en la mesa) y FCAR(Elautomata la recibe del robot cuando ha terminado de cargar la pieza)

• Senal G120 (Gira la mesa) y sensor FG120 (Indica cuando la mesa ha terminadode girar 120o)

• Sensores TA (Taladro arriba) y TB (Taladro abajo)

• Senales ST (Subir taladro), BT (Bajar taladro) y MT (poner en marcha el taladro)

• Sensores AA (Avellanadora arriba) y AB (Avellanadora abajo)

• Senales SA (Subir Avellanadora), BA (Bajar Avellanadora) y MA (poner en mar-cha la Avellanadora)


• Senales DESCAR (Indica al robot que deba descargar una pieza de la mesa) yFDESCAR(El automata la recibe del robot cuando ha terminado de descargar lapieza).

El sistema consta de tres modos de funcionamiento diferenciados:

1. Puesta en marcha: El sistema de mecanizado se pondra en marcha cuando sepulse el pulsador PM. A partir de ese momento se realizara la puesta en marcha delsistema que consiste en el siguiente proceso:

• Carga de pieza en la mesa en el puesto de carga: Se realizara enviando al robotla senal CAR y habra acabado cuando se reciba la senal FCAR del robot.

• Una vez cargada la pieza se girara la mesa 120o mediante la senal G120 paraque la pieza cargada quede debajo de puesto de taladrado. El giro debe terminarcuando se activa la senal FG120.

• Ahora debe producirse el proceso de carga de otra pieza en el puesto de cargay el de taladro de la pieza que esta en el puesto de taladrado.

• Una vez terminados los procesos de carga y taladrado la mesa debe volver agirar 120o y pasar al siguiente modo de funcionamiento.

2. Funcionamiento normal: Durante este modo de funcionamiento el sistema debe:

• Realizar de manera simultanea la carga, el taladrado y el avellandado de lapiezas que hay en cada puesto de trabajo.

• Una vez terminados los tres procesos se sacara la pieza desde el puesto deavellanado/descarga enviando la senal DESCAR al robot (acaba cuando serecibe la senal FDESCAR)

• volver a girar 120 para que haya una pieza en cada punto de trabajo.

Este proceso debe repetirse hasta que despues de la descarga de pieza se detecteque se ha activado la senal PAR, momento en el que debe comenzar el proceso deparada.

En resumen, durante el funcionamiento normal cada pieza debe ser cargada en elpuesto de carga, taladrada, avellanada y ser descargada desde el puesto de avellanadoy descarga, finalizando ası su proceso de mecanizado.

3. Parada: En el proceso de parada el sistema debe de sacar todas las piezas de lamesa a traves del puesto de avellanado independientemente de si estan mecanizadaso no, de manera que la mesa quede libre de piezas. En ese momento el sistemavolvera al estado inicial.

El proceso de taladrado consiste en: poner en marcha el taladro con la senal MT,bajar el taladro hasta TB, mantenerlos durante 10 segundos, volver a subirlo, pararlo yesperar otros 10 segundos hasta que se enfrıe la pieza.


Analogamente, el proceso de avellanado consiste en poner en marcha la avellanadoracon la senal MA, bajarla hasta AB, mantenerla durante 10 segundos, volver a subirla,pararla y esperar otros 10 segundos hasta que se enfrıe la pieza.

NOTAS:

• El proceso de carga y descarga por parte del robot no esta gobernado por el automata,este solo indica cuando debe comenzar y retoma el control del proceso cuando hayaterminado.

• Se dispone de un temporizador de 10 segundos con senales AT (activa temporizacion)y FT (Fin de temporizacion).

Se pide:

1. Indicar claramente las senales de entrada y salida del automata que controle elproceso.

2. Realizar la Red de Petri que automatice el proceso de mecanizado.

Problema III.24


Se desea controlar de manera automatica los niveles de los tanques de la figura actuandosobre sus valvulas. Cuando se pulsa uno de los botones (T1T2 o T2T1), el sistema activalos elementos para la transferencia de fluido de la salida en la base de un contenedor haciala entrada superior del otro, hasta que se pulse parar, se llene el contenedor destino o se

vacıe el contenedor origen. Los sensores de nivel se ponen a 1 cuando el fluido esta por

encima del sensor.

Tanque 1 Tanque 2

LTH1

LTL1

VLL1 VLL2

VV1 VV2

BOMBA

T1T2 T2T1 PARAR

LTH2

LTL2

Figura III.24.a: Sistema de dos tanques.


Para ello se dispone de los siguientes elementos y senales

• LTH1 y LTH2 Sensores de nivel superior de los tanques 1 y 2 respectivamente.

• LTL1 y LTL2 Sensores de nivel inferior de los tanques 1 y 2 respectivamente.

• VLL1 y VLL2 Senales que gobiernan las valvulas de llenado de tanques 1 y 2respectivamente ( Senal a 1 = Valvula abierta)

• VV1 y VV2 Senales que gobiernan las valvulas de vaciado de tanques 1 y 2 respec-tivamente ( Senal a 1 = Valvula abierta)

• BOMBA Senal que gobierna la bomba que se encarga de mover el lıquido entreambos tanques (BOMBA a 1 = bomba en marcha).

• T1T2 y T2T1 Pulsadores que indican al proceso el paso de fluido del tanque 1 al2 o viceversa, respectivamente.

• PARAR Pulsador de paro del proceso

Se pide:

1. Indicar claramente las senales de entrada y salida del automata que controle elproceso.

2. Realizar la Red de Petri que automatice el proceso.

Problema III.25


Se desea automatizar la gestion de entrada y salida de vehıculos a un aparcamientoque admite dos tipos de vehıculos: abonados y publico en general. Los abonados tienenuna tarjeta que los identifica y les garantiza aparcamiento en caso de falta de espacio paraaparcar.

El programa debe gestionar los accesos al parking del siguiente modo. Cada vez queun vehıculo solicita entrar, se comprueba si hay espacio en el parking (contador). Si elparking esta a no mas del 50% de su capacidad, cualquier vehıculo que lo solicite entrara,pero si esta por encima del 50%, solo los vehıculos abonados tendran permiso de entrada.

El automatismo debe gestionar el funcionamiento del semaforo de entrada al parkingası como de las barreras de entrada y salida del mismo. Para ello se dispone de lassiguientes senales:


• SE: Celula fotoelectrica (sensor) que indica que hay un coche esperando para entrar.

• AB: Indica si el vehıculo que esta esperando para entrar esta abonado (AB=1) ono (AB=0).

• SPE: Celula fotoelectrica colocada en la barrera de entrada que se usa para sabersi el coche esta pasando bajo la barrera.

• SS: Celula fotoelectrica (sensor) que indica que hay un coche esperando para salir.

• SPS: Celula fotoelectrica colocada en la barrera de salida que se usa para saber siel coche esta pasando bajo la barrera.

• SEMAFORO: Pone el semaforo de entrada en verde SEMAFORO=1 o en rojoSEMAFORO=0.

• BE: Senal para subir la barrera de entrada. Debe de permanecer activada mientras labarrera este levantada. Si no esta activada, se supone que la barrera estara bajando obajada. No se consideran necesarios sensores de barrera totalmente subida o bajada.

• BS: Igual que BE pero para la salida.


• Cuando se detecte un coche en la entrada, el automatismo debe:

– decidir si el coche puede entrar (viendo si es abonado o no y dependiendo delnumero de coches que haya dentro).

– Si el coche no es admisible el semaforo debe permanecer en rojo y la barrerade entrada bajada.

– Si el coche si puede entrar el automatismo debe poner el semaforo en verde,levantar la barrera e incrementar el contador de coches.

En el momento en que el coche que este entrando active el sensor SPE elsemaforo debe ponerse en rojo. Cuando hayan pasado dos segundos desde queha pasado totalmente el coche por la barrera debe bajarse la misma.

• Cuando se detecta un coche en la salida el proceso debe ser similar al de entrada,pero sin el semaforo.

– Debe decrementar el contador, levantar la barrera y mantenerla levantada hastaque hayan pasado 2 segundos desde que el coche ha pasado totalmente por ella.

– En caso de que otro coche pase por la barrera durante esos dos segundos elcontador debe decrementarse de nuevo y la barrera debe estar levantada hasta2 segundos despues de que pase el nuevo coche.

• Se dispone de dos temporizadores de 2 segundos con senales AT1, FT1 y AT2,FT2.


• Se dispone de un contador con senales IC (incrementa contador), DC (decrementacontador), C0 (contador=0), C50 (contador≥ 50%) y C100 (contador =100 %).

• Los procesos de entrada y salida pueden realizarse simultaneamente.

Se pide realizar la Red de Petri correspondiente al automatismo indicado.

Soluciones de Problemas de Control Automatico

3er Curso de Ingenierıa Industrial

Departamento de Ingenierıa de Sistemas y Automatica

Universidad de Sevilla

Teodoro Alamo

Federico Cuesta

Daniel Limon

Francisco Salas

Carlos Vivas

Manuel Ruiz Arahal

Depto. Ing. de Sistemas y Automatica. ESI. US. ii

Parte I

Diseno de controladores en el

dominio frecuencial

1


Solucion del problema I.5

1.- Diagrama de bode del sistema sin compensar

El sistema presenta tres polos localizados en s = −0.2, s = −1 y s = −10. Se tratapor tanto de un sistema estable a lazo abierto.

El diagrama de Bode resulta tal como muestra la figura I.5.a

10−2

10−1

100

101

102

103

−200−180−160−140−120−100

−80−60−40−20

020

módulo asintótico de G(w*j)

10−2

10−1

100

101

102

103

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0Fase de G(w*j)

Mf

ωc

Mg

ω180

Figura I.5.a: Bode de G(s) = 5(5s+1)(s+1)(s+10)

Con w180 = 3.48rd/s y Mg = 41.65dB.

2.- Diseno de controlador PI para que Mg = 20dB.

El margen de ganancia del sistema sin compensar es 41.65 db, superior al requerido.Por tanto es posible aumentar la ganancia del sistema para incrementar la frecuen-cia de corte del sistema. Podemos tomar la ganancia proporcional del PI igual a21db para recortar el margen de ganancia hasta los 41.65dB − 21dB = 20.65dB,ligeramente por encima de los 20dB requeridos. No es conveniente apurar demasi-ado porque la introduccion del termino integral provoca una ligera disminucion dela frecuencia ω180 del sistema compensado, que lleva asociado una disminucion delmargen de ganancia.

Tomamos por tanto Kp = 21dB = 11.22. Si representamos del diagrama de bodeKp · G(s), tal como muestra la figura I.5.b

Puede observarse que la frecuencia de corte de Kp ·G(s) es ωc = 1rd/s con un margende fase de 48.3◦. Nos resta fijar el tiempo integral, Ti, de modo que se incremente laganancia de baja frecuencia (aumenta el tipo del sistema), sin afectar sensiblementea los margenes de fase y ganancia. Tal y como se ha descrito en teorıa es necesariolocalizar 1/Ti por debajo de la frecuencia de corte del sistema, en una decada ydecada y media. Podemos tomar, por ejemplo, 1/Ti = ωc/50, es decir, Ti = 50s.


10−2

10−1

100

101

102

103

−180−160−140−120−100

−80−60−40−20

02040


10−2

10−1

100

101

102

103

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0Fase de G(w*j)

Mg

Mf

Figura I.5.b: Bode de Kp · G(s)

El controlador finalmente resulta

K(s) = 11.22s + 0.02

s

con una frecuencia de corte ωc = 1rd/s, Mf = 47.0147◦ , y ω180 = 3.47rd/s, Mg =20.62dB.

El bode del sistema compensado con el PI puede observarse e n la figura I.5.c.

3.- Disenar Red mixta para eprp ≤ 1% y Mf ≥ 30.

Para satisfacer la especificacion de error en regimen permanente, eprp ≤ 1%, im-ponemos:

eprp =1

1 + kp

≤ 0.01 ⇒ kp ≥ 99

con

kp = lims→0

5

(5s + 1)(s + 1)(s + 10)Kc

1 + α1τ1s

1 + τ1s

1 + τ2s

1 + α2τ2s= 0.5kc

luego kc ≥ 198. Se puede tomar por tanto kc = 198 = 45.94dB

Dado que no tenemos especificaciones en frecuencia de corte podemos tomar comofrecuencia de corte deseada ω′

c la frecuencia de 180◦, ω180.

En este caso, y ya que ∠G(jω′

c) = −180◦, el aporte de fase de la red mixta debecoincidir con el margen de fase deseado, mas el aporte extra necesario para compensarla disminucion de la frecuencia de corte inherente al metodo de diseno de la red. Esdecir, tomamos Φm = 30◦ + 5◦ = 35◦, de donde deducimos

α2 =1 − senΦm

1 + senΦm

= 0.271


10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80módulo asintótico de G(w*j)

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0Fase de G(w*j)

Mf

Mg

Figura I.5.c: Bode del sistema compensado K(s) · G(s)

Interesa localizar el maximo avance de fase de la red en la frecuencia de corte deseadapara el sistema compensado. Dado que el maximo avance de fase se produce en1/√

α2τ2, tendremos

1√

α2τ2= ω′

c = ω180 ⇒1

√0.271τ2

= 3.48rd/s ⇒ τ2 = 0.552rd/s

Sabiendo que la ganancia a baja frecuencia de la red mixta es Kc, y que |KcG(jω′

c)| =Mg = 41.65dB, podemos calcular

Kc−Mg = 20log101

α1−10log10

1

α2⇒ 45.94dB−41.65dB = 20log10

1

α1−10log10

1

0.271

Ecuacion de la que deducimos que α1 = 0.319.

Por ultimo seleccionamos τ1 para localizar el polo de la componente de retardo dela red suficientemente por debajo de la frecuencia de corte ω′

c, pero no demasiadoalejado para evitar la aparicion de dinamicas lentas en lazo cerrado. En la practicasuele bastar con separar ambas frecuencias entre una decada y decada y media, porejemplo

1

α1τ1=

ω′

c

10= 0.348rd/s

luego τ1 = 9rd/s.

Ası pues, la red de compensacion resulta

K(s) = 1981 + 2.872s

1 + 9s

1 + 0.552s

1 + 0.15s

La figura I.5.d muestra el diagrama de bode del sistema compensado, donde puedeobservarse una frecuencia de corte ωc = 3.5rd/s con margen de fase Mf = 31.04◦,


y ω180 = 7.25rd/s y margen de ganancia Mg = 7.06dB. Se verifican por tanto lasespecificaciones impuestas.

10−2

10−1

100

101

102

103

−160−140−120−100

−80−60−40−20

0204060


10−2

10−1

100

101

102

103

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0Fase de G(w*j)

Figura I.5.d: Bode del sistema compensado mediante una red mixta

4.- Diseno de un PID de caracterısticas similares a la red mixta del apartado anterior.

La red mixta y el controlador PID presentan una estructura identica en la zonade frecuencia intermedia. Las diferencias se localizan en la zonas de baja y altafrecuencia, donde la red mixta introduce un cero y un polo respectivamente, paralimitar la ganancia en estas zonas del espectro.

Para obtener un controlador PID que coincida con nuestra red mixta en la zonade frecuencia intermedia solo es necesario fijar los dos ceros del PID en −1/α1τ1 y−1/τ2, y ajustar la ganancia para que coincida con la de la red mixta entre estasdos frecuencias. Es decir, si tomamos un PID de la forma

C(s) = K1 + T1s

T1s(1 + T2s)

es facil comprobar que este controlador tiene dos ceros localizados en −1/T1 y −1/T2,y ganancia K en la zona de frecuencia intermedia (entre los dos ceros).

Igualando la posicion de los ceros de la red mixta con los del PID tenemos

1

T1=

1

α1τ1= 0.348rd/s ⇒ T1 = 2.872s

1

T2=

1

τ2=

1

0.552rd/s ⇒ T2 = 0.552s

e igualando las ganancias en la zona de frecuencia intermedia tenemos

K = kcα1 ⇒ K = 198 · 0.319 = 63.16


10−2

10−1

100

101

102

35

40

45

50

55

60Diagrama de Bode

ω (rad/s)M

ódul

o (d

B)

10−2

10−1

100

101

102

−100

−50

0

50

100

ω (rad/s)

Fas

e (g

rado

s)

Módulo Red Mixta

Módulo PID

Fase PID

Fase Red Mixta

Figura I.5.e: Bode del controlador PID y la red Mixta

La figura I.5.e representa el diagrama de Bode del controlador PID y la Red Mixta.

5.- Ventajas e inconvenientes de un controlador PID frente a la red mixta.

Tal como se ha descrito en teorıa, los efectos sobre un sistems de un controladorPID y una red mixta presentan importantes similitudes, especialmente en la zonade frecuencias intermedias. Las diferencias esenciales aparecen en las zonas de bajay alta frecuencia.

Ası, por ejemplo, si atendemos a la zona de bajas frecuencias, observamos que uncontrolador PID introduce un polo en el origen que induce un incremento del tipo enel sistema controlado. En el diagrama de bode este cambio es observable como unaaumento creciente de la ganancia a bajas frecuencias (idealmente, ganancia infinitaa frecuencia cero).

Como principal ventaja de este cambio tenemos una mejora en el comportamientode de regimen permanente y ante perturbaciones mantenidas externas. Por ejemplo,un sistema tipo 0, controlado con un PID puede disenarse para presentar error deseguimiento en posicion nulo ante entradas en escalon, y rechazar igualmente conerror de seguimiento en posicion nulo, perturbaciones mantenidas sobre el sistema.

Un inconveniente asociado a las altas ganancias a baja frecuencia de PID, se en-cuentra en el fenomeno de saturacion de efecto integral, que aparece por efecto delas saturaciones de la accion de control, y que deteriora el comportamiento en elregimen transitorio del sistema.

La red mixta en cambio, no introduce polos en el origen y por tanto no cambia eltipo del sistema. El controlador no tiene capacidad de rechazar perfectamente lasperturbaciones mantenidas (inconveniente), aunque si puede limitar en gran medidasu efecto. La ganancia limitada a bajas frecuencias reduce el efecto de saturaciondel termino integral (ventaja).


En la zona de altas frecuencias, la ganancia creciente del PID con la frecuencia,presenta el inconveniente de la amplificacion de ruidos, normalmente localizados enesta zona del espectro. La red mixta mitiga este efecto introduciendo un polo dealta frecuencia que limita la ganancia a altas frecuencias y por tanto la amplificaciondel ruido.




En primer lugar calculamos los polos y ceros de la funcion de transferencia en bucleabierto, que en este caso son: ceros s = −1 y polos s = 0, s = −1 y s = −10, por loque como se deduce facilmente se anulan en polo y el cero en s = −1 y el sistema acontrolar queda:

G(s) =1000

s(s + 10)=

100

s( s10 + 1)

Por lo tanto el diagrama de Bode queda

10−1

100

101

102

103

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60


10−1

100

101

102

103

−180

−160

−140

−120

−100

Fase de G(w*j)

wc

Mf

Figura I.9.a: Bode de G(s) = 1000s(s+10)

Con wc = 31.5rd/s, Mf = 17.60 y Mg = ∞.

2.- Diseno de controlador proporcional para que evrp ≤ 10% y Mf ≥ 400.

En primer lugar calculamos la ganancia necesaria para cumplir la especificacion deerror en regimen permanente

evrp =1

Kv

≤ 0.1

Kv = lims→0

sC(s)G(s) = 100Kc

por lo tanto para que se cumpla la especificacion de error en regimen permanente elcontrolador proporcional ha de cumplir Kc ≥ 0.1


Para cumplir la especificacion en margen de fase, si nos fijamos en el bode del sistemasin compensar, es necesario desplazar hacia la izquierda la ωc de tal forma que lafase quede por encima de −1400.

Este desplazamiento hacia la izquierda debe hacerse disminuyendo la ganancia delcontrolador, por lo tanto si para la ganancia mınima que cumple la especificacion deerror en regimen permanente el sistema tiene un Mf ≥ 400 ya tendrıamos resueltoel problema y en caso contrario no se podrıan cumplir las especificaciones con uncontrolador proporcional.

En el diagrama de bode de 0.1G(s) de la figura I.9.b se observa que la el margen defase es de 450 y por lo tanto se cumplen ambas especificaciones para un controladorC(s) = 0.1.

10−1

100

101

102

103

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

módulo asintótico de Kc*G(w*j)

10−1

100

101

102

103

−180

−135

−90

Fase de Kc*G(w*j)

Figura I.9.b: Bode de 0.1G(s)

3.- Diseno de controlador proporcional para que evrp ≤ 10%, Mf ≥ 400 y ωc ≥ 20rd/s.

Del diagrama de bode del sistema es facil ver que no es posible cumplir las tresespecificaciones solo variando la ganancia del sistema en bucle abierto por lo quesera necesario recurrir a otro tipo de controlador.

Dado que tenemos que aumentar la fase sin disminuir el ancho de banda del sistemarecurriremos a una Red de Avance de fase.

C(s) = Kc1 + τs

1 + ατscon α < 1

En primer lugar elegimos la ganancia Kc de tal forma que se cumplan las especifica-ciones de error en regimen permanente y de ωc y dibujamos el bode de KcG(s). Ennuestro caso vamos a coger Kc = 1 que cumple ambas especificaciones y ademas yatenemos dibujado su diagrama de bode (ver figura I.9.a).


Una vez elegida la ganancia disenamos el resto de la red de avance.

El margen de fase del sistema KcG(s) es de 170 y por lo tanto la suma maxima defase de la red debe ser:

φm = Mfd − Mf + ∆ = 400− 170 + 50 = 280

⇒ α =1 − sin φm

1 + sin φm

= 0.4

Una vez calculado el valor de α, la suma de magnitud por parte del controlador enla frecuencia ωm a la que se se produce el maximo incremento de fase φm es

A = 10 log1

α= 4dB

Buscando en el diagrama de bode de KcG(s) la frecuencia para la que la magnitudes −A, esta sera la nueva ω′

c = ωm = 40rd/s. Por lo tanto

ωm =1

τ√

α⇒ τ =

1

ωm

√α

= 0.04

Ası pues la red de avance queda

C(s) =1 + 0.04s

1 + 0.016s

y el diagrama de bode de C(s)G(s) sera el de la figura I.9.c con ωc = 40rd/s yMf = 400

100

101

102

103

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60módulo asintótico de C(s)G(s)

100

101

102

103

−180

−135

−90Fase de C(s)G(s)

Figura I.9.c: Bode de C(s)G(s)




El sistema presenta tres polos a lazo abierto localizados en s = 0, s = −1 y s = −5.

El diagrama de Bode resulta tal como muestra la figura I.10.a

10−1

100

101

102

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40


10−1

100

101

102

−270

−225

−180

−135

−90Fase de G(w*j)

ωc

ω180

Mg

Mf

Figura I.10.a: Bode de G(s) = 10s(s+1)(s+5)

Con ωc = 1.42rd/s, Mf = 19.29◦, ω180 = 2.23rd/s y Mg = 7.92dB.

2.- Disenar un controlador PD para que tenga una ganancia de 0dB en ωc = 5rd/s ymargen de fase de 45.

Para desplazar la frecuencia de corte del sistema compensado a ω′

c = 5rd/s necesi-tamos en primer lugar conocer que ganancia debe aportar el PD a esa frecuencia.Ası calculamos

|G(jω′

c)|dB = 20log1010−20log10(jω′

c)−20log10(jω′

c+1)−20log10(jω′

c+5) = −25.12dB

El PD debera aportar por tanto 25.12dB en ω′

c = 5rd/s. Analogamente, si calcu-lamos

∠G(jω′

c) = 0 − 90 − ∠(jω′

c + 1) − ∠(jω′

c + 5) = −213.7◦

concluimos que el PD debe aportar −180◦ + 45◦ − (−213.7◦) = 78.7◦ ≃ 80◦ enω′

c = 5rd/s, para obtener un margen de fase de 45◦ para el sistema compensado. Deesta condicion podemos deducir Td de la expresion

∠(1 + Tdω′

cj) = 80◦ ⇒ Tdω′

c = tan 80◦ ⇒ Td = 1.134rd/s

Conocido Td, calculamos Kc imponiendo la condicion de modulo

|Kc(1 + Tdω′

cj)| = 25.12dB ⇒ |Kc|dB + |Tdω′

|dB ≃ 25.12dB


de donde deducimos

Kc = 25.12dB − 20 log10(5 · 1.134)dB = 10.05dB

La figura I.10.b muestra el diagrama de Bode del sistema compensado con el con-trolador PD, mostrando una frecuencia de corte de 5.05rd/s y margen de fase 46◦.

10−1

100

101

102

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40


10−1

100

101

102

−180

−135

−90Fase de G(w*j)

Figura I.10.b: Bode del G(s) = 10s(s+1)(s+5) compensado con un PD

3.- Diseno de una red de avance con Φm = 50◦ y margen de fase del sistema compensadode 45◦.

Una aportacion de fase Φm = 50◦ se corresponde con un valor de α

α =1 − senΦm

1 + senΦm

= 0.1325

Para obtener un marge de fase de 45◦, el maximo aporte de fase debe producirse ala frecuencia, ωc, en que ∠G(jωc) = −185◦.

Podemos calcular esta frecuencia de la expresion

∠G(jωc) = 0◦ − 90◦ − ∠(jωc + 1)(jωc + 5) = −90◦ − arctan6ωc

5 − ω2c

= −185◦

de donde obtenemos

6ωc

5 − ω2c

= tan 95◦ = −11.43 ⇒ ωc = 2.514rd/s

El modulo del sistema a esta frecuencia puede calcularse

|G(jωc)| = 20log1010−20log10(jωc)−20log10(jωc+1)−20log10(jωc+5) = −11.61dB


Conocida la frecuencia de corte del sistema compensado, calculamos τ sabiendo queel maximo aporte de fase se produce a la frecuencia 1

√

ατ

1√

ατ= ωc ⇒ τ = 1.093s

Resta por determinar la ganancia Kc de la red de avance, que podemos calcularimponiendo que el sistema compensado tenga su frecuencia de corte en la frecuenciaωc previamente calculada. Es decir

Kc|dB + 10 log101

α+ |G(jωc)| = 0 ⇒ Kc|dB = 2.83dB

La red de avance disenada queda pues

K(s) = 1.3861 + 1.025s

1 + 0.1358s

4.- Diseno de una red de retardo para obtener evrp ≤ 20% y Mf = 45◦

Para comenzar, imponemos la especificacion de regimen permanente

evrp =1

kv

≤ 0.2 ⇒ kv ≥ 5

kv = lims→0

sKc

1 + τs

1 + ατs

10

s(s + 1)(s + 5)= 2Kc ≥ 5 ⇒ Kc ≥ 2.5

Tomamos por tanto Kc = 2.5

Si dibujamos el diagrama de Bode de Kc · G(s), tal como muestra la figura I.10.c,podemos observar que el sistema presenta frecuencia de corte ωc = 2.23rd/s y margende fase Mf = 0.

Tomamos a continuacion la frecuencia ω′ ≤ ωc a la cual ∠G(jω′) = −180+Mfd +∆.En nuestro caso

∠G(jω′) = −180◦ + 45◦ + 5◦ = −130◦

expresion que puede resolverse segun se mostro en el apartado 3

∠G(jω′) = −90◦ − arctan6ω′

5 − ω′2= −130◦

6ω′

5 − ω′2= tan 40◦ = 0.8391 ⇒ ω′ = 0.64rd/s

Calculamos el valor de α imponiendo que la frecuencia de corte del sistema compen-sado este en ω′, o lo que es lo mismo

|KcG(jω′)| = 20 log10(α)dB ⇒ α = 6.53

Para finalizar fijamos τ , para que la red no produzca una caıda apreciable de fase enel sistema. Como se ha discutido en teorıa, una regla practica consiste en localizarel cero del controlador, 1/τ , entre una decada y decada y media por debajo de lafrecuencia de corte del sistema. Podemos tomar por ejemplo

1

τ=

ω′

20= 0.032rd/s ⇒ τ = 31.25s


10−1

100

101

102

−160−140−120−100

−80−60−40−20

0204060


10−1

100

101

102

−270

−225

−180

−135

−90Fase de G(w*j)

Figura I.10.c: Bode de Kc · G(s) = 25s(s+1)(s+5)

La red de retardo final resulta

K(s) = 2.51 + 31.25s

1 + 204.06s

con la que es facil comprobar que el sistema compensado cumple las especificacionesimpuestas, presentando el error en regimen permanente requerido, y una frecuenciade corte ωc = 0.64rd/s, con un margen de fase de 47.64◦.



1.- • Ganancia mınima del sistemaLa constante de error en velocidad del sistema puede expresarse como

kv = lims→0

s · kc

s + 0.1τ

s(s + 1)2(s + 10τ)= 0.01kc

Luego

ev =1

kv

≤ 10% ⇒ kc ≥ 1000

• Sobreoscilacion

De la grafica proporcionada obtenemos

SO ≤ 5% ⇒ δ ≥ 0.6 ⇒ Mf ≥ 60o

• Tiempo de subida

ts ≈π

2ωc

≤ 1s ⇒ ωc ≥π

2≈ 1.6rd/s

2.-

10−2

10−1

100

101

102

−100

−50

0

50

100Diagrama de Bode

ω (rad/s)

Mód

ulo

(dB

)

10−2

10−1

100

101

102

−300

−250

−200

−150

−100

−50

ω (rad/s)

Fas

e (g

rado

s)

Figura I.16.a: Bode para τ = 1 con kc = 1000


3.- El sistema con kc = 1000 presenta un Mf = −34.15o luego

• Con una red de avance necesitamos incrementar la fase del sistema en ∆Mf =60o−(−34.15o) = 94.15o. Valor mayor que los teoricos 75o recomendables comomaximo para una red de este tipo.

• Con un PD, tampoco es posible por el mismo motivo.En teorıa podrıamos alcanzar un avance de fase maximo de 90o, si bien estevalor es excesivo en la practica por cuestiones de sensibilidad del control yamplificacion de ruidos.

• Un PI, incrementa en 1 el tipo del sistema, por lo que no es necesario fijarkc = 1000 (ev = 0 con independencia del valor de la ganancia), pero el margende fase del sistema a la frecuencia de corte deseada, 1.6rd/s es 51.30, menorque los 60o requeridos. Luego, un PI tampoco nos sirve.

4.- La red de retardo, al igual que el PI, no aporta fase al sistema, luego la maximafrecuencia de corte que podremos obtener a lazo cerrado sera aquella para la cual elsistema sin compensar presente el margen de fase requerido.Esto es, tomamos como frecuencia de corte deseada ω′, tal que ∠G(jω′) = −180o +60o + 5o = −115o.De la grafica del Bode deducimos que ω′ = 1.27rd/s, valor que es inferior a los1.6rd/s requeridos, luego el diseno con una red de retardo no es posible.

Si no imponemos restricciones a la sobreoscilacion, no tendremos tampoco restriccionsobre el margen de fase, por lo que podemos disenar la red de retardo fijando la fre-cuencia de corte deseada en ω′ = 1.6rd/s.Ası, podemos calcular α de la expresion

|kcG(jω′)| = 20log10α

resultando α = 27.86, valor que proporciona un margen de fase de 51.3o (ya calcu-lado en el apartado anterior) que se corresponde a su vez con una sobreoscilacionaproximada del 15% segun la grafica.

5.- Calculamos en primer lugar el aporte de fase necesario a la frecuencia de cortedeseada ω′ = 1.6rd/s.

Mfd + ∆ = 180o− ∠G(jω′) + Φm

Expresion que particularizamos para obtener 60o + 7o = 180o + (−128o) + Φm. Esdecir. necesitamos aportar Φm = 15o, valor que nos proporciona un

α2 =1 − senΦm

1 + senΦm

= 0.59

Dado que pretendemos que el maximo avance de fase se produzca a la frecuencia decorte deseada, tendremos

ωm =1

√α2τ2

= ω′ = 1.6rd/s → τ2 = 0.815rd/s


Para el diseno de la parte de retardo de la red imponemos en primer lugar, lacondicion de que el sistema compensado tenga la frecuencia de corte a la frecuenciadeseada. Es decir

|kcG(jω′)| = 20log10(1

α1) − 10log10(

1

α2)

expresion de la que obtenemos un valor α1 = 0.028. Finalmente alejamos lo suficiente(una decada) la red de retardo de la frecuencia de corte, para no deteriorar el avancede fase conseguido

1

α1τ1=

ω′

10→ τ1 = 224.11s

La red disenada sera por tanto

K(s) = 10001 + 6.25s

1 + 224.11s

1 + 0.815s

1 + 0.48s

Para que el diseno sea valido para el rango de valores de τ requerido, es suficientecon disenar para el caso mas desfavorable.Podemos determinar cual es el caso mas desfavorable si tenemos en cuenta la de-scomposicion del sistema mencionada en el enunciado. Si trazamos el bode, tal comorepresenta la figura, de G1(s) = 1000

s(s+1)2junto con la ”red de avance” asociada para

τ = 0.1 y τ = 1, podemos observar que la red de avance esta siempre situada afrecuencias inferiores a la frecuencia de corte del sistema, ωc = 10rd/s, por lo queesta no varıa aunque modifiquemos τ . Ademas es facil comprobar que, para fre-cuencias superiores a 1rd/s, el aporte de fase de la red disminuye a medida quedisminuye τ (ver figura). Por tanto, el caso mas desfavorable, aquel que implica unmenor margen de fase del sistema a la frecuencia de corte deseada ω′ = 1.6rd/s, serael correspondiente a τ = 0.1. Para este valor obtenemos un valor para la fase delsistema en ω′ = 1.6rd/s

∠G(jω′) = −177o

Es necesario por tanto aportar como mınimo 60o − 180o +177o = 57o a la frecuenciade corte deseada, para verificar las especificaciones impuestas. Si anadimos unamargen adicional ∆ = 5o, obtenemos Φm = 62o. Este valor proporciona un

α2 =1 − senΦm

1 + senΦm

= 0.0622

Para obtener el maximo avance de fase a la frecuencia de corte deseada, tendremos

ωm =1

√α2τ2

= ω′ = 1.6rd/s → τ2 = 2.51rd/s

Para el diseno de la parte de retardo de la red, imponemos de nuevo la condicion deque el sistema compensado tenga la frecuencia de corte a la frecuencia deseada. Esdecir

|kcG(jω′)τ=0.1| = 20log10(1

α1) − 10log10(

1

α2)

expresion en la sustituyendo obtenemos

43.5dB = 20log10(1

α1) − 12.06dB


10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

−150

−100

−50

0

50

100

150

Diagrama de Bode

ω (rad/s)

Mód

ulo

(dB

)

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

−300

−200

−100

0

100

ω (rad/s)

Fas

e (g

rado

s)

Bode de G1(s) = 1000s(s+1)2

τ = 0.1

τ = 1

Luego α1 = 0.0017. Finalmente alejamos lo suficiente (una decada) la red de retardode la frecuencia de corte, para no deteriorar el avance de fase conseguido

1

α1τ1=

ω′

10→ τ1 = 3748.7s

La red disenada sera por tanto

K(s) = 10001 + 5.91s

1 + 3748.7s

1 + 2.51s

1 + 0.156s

Cabe comentar sobre este diseno, que el valor obtenido para α1 es muy pequeno(menor que 0.01), lo que puede resultar problematico desde el punto de vista dela implementacion practica del controlador. Ademas valores tan reducidos de α1,tıpicamente introducen polos lentos en el controlador, que hace que la respuesta delsistema a bucle cerrado sea muy lenta.

Parte II

Diseno de controladores usando el

lugar de las raıces

21


Solucion del problema II.2

1.- Lugar de las raıces para K positiva

El sistema tiene 3 polos reales en -1, -3, -10 y un cero real en -8

• Lugar de las raıces sobre el eje real : El lugar de las raıces sobre el eje real quedacomo en la figura II.2.a.

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

Figura II.2.a: Lugar de las raıces sobre el eje real

• Puntos de separacion e ingreso: Los puntos de separacion e ingreso no es nece-sario calcularlos (ver enunciado) aunque se puede estimar a la vista del lugar delas raıces sobre el eje real que debe haber uno entre los polos en -1 y -3 ya quehabitualmente hay un punto de separacion cuando el eje real entre dos polosreales pertenece al lugar de las raıces sobre el eje real.

• Asıntotas: El sistema tiene tres polos y un cero, por lo que el exceso de polossobre ceros es dos, con lo que debe haber dos asıntotas en ±900.

Efectivamente si aplicamos la formula para el calculo de asıntotas

γ =1800 + 3600l

n − ml = 0 . . . n − m − 1 ⇒

{

γ1 = 1800+3600∗0

2 = 900

γ2 = 1800+3600∗1

2 = 2700

y el centroide queda:

σ =

∑

pi −∑

ci

n − m=

−1 − 3 − 10 + 8

2= −3

• Puntos de corte con el eje imaginario: Para calcularlos usamos el criterio deRouth.


El denominador de la funcion de transferencia en bucle cerrado es:

dbc(s) = s3 + 14s2 + (K + 43)s + (8k + 30)

La tabla de Routh queda del siguiente modo:

3 1 K + 432 14 8K + 30

1 14(43+K)−(8K+30)14 0

0 8K + 30 0

Por lo tanto para que se produzca un corte con el eje imaginario debe hacersecero alguno de los elementos de la primera columna de la tabla de Routh, queen nuestro caso significa

14(43 + K) − (8K + 30)

14= 0 ⇒ K = −105

8K + 30 ⇒ K = −3.75

Por lo tanto, como era de esperar no existen cortes con el eje imaginario.

Ası pues el lugar de las raıces del sistema es:

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

K1

Figura II.2.b: Lugar de las raıces del sistema


2.- La sobreoscilacion en el sistema original

G(s) =K(s + 8)

(s + 1)(s + 3)(s + 10)

evoluciona de la siguiente forma:

• para valores de K < K1 el sistema no presenta sobreoscilacion puesto que tienetodos sus polos reales

• para valores de K > K1 la sobreoscilacion aumenta a medida que lo hace K,ya que aumenta el angulo de los polos en bucle cerrado.

El lugar de las raıces del sistema modificado

G(s) =K(s + 8)

(s + 1)(s + 3)

es y la sobreoscilacion evoluciona de la siguiente forma:

−15 −10 −5 0−6

−4

−2

0

2

4

6

K1

K2

K3

Figura II.2.c: Lugar de las raıces del sistema modificado G(s) = K(s+8)(s+1)(s+3)

• para valores de K < K1 el sistema no presenta sobreoscilacion puesto que tienetodos sus polos reales

• para valores de K2 > K > K1 la sobreoscilacion aumenta a medida que lo haceK, ya que aumenta el angulo de los polos en bucle cerrado, teniendo su valormaximo en K = K2.


• para valores de K3 > K > K2 la sobreoscilacion disminuye a medida queaumenta K, ya que disminuye el angulo de los polos en bucle cerrado, pasandoa valer cero en K = K3.

• para valores de K > K3 la sobreoscilacion es cero puesto que todos los polosde bucle cerrado son reales.

3.- Las especificaciones temporales del sistema se pueden transformar en especificacionesen el plano complejo

• erp(escalon) ≤ 20% ⇒ K > 12

• δ ≥ 0.6

• ts < 1s ⇒ ωn 2.76

de tal forma que se produce una region permitida en el lugar de las raıces del sistemamodificado

G(s) =K

(s + 1)(s + 3)

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0−3

−2

−1

0

1

2

3

2.77

2.77

0.6

0.6

B

A

Figura II.2.d: Lugar de las raıces del sistema modificado G(s) = K(s+1)(s+3)

Por lo tanto valores de K que hacen que el sistema tengan los polos entre A (KA) y


B (KB) cumpliran las especificaciones de transitorio (δ y ωn). Por lo tanto hay quecalcular KA y KB

Los polos del sistema en bucle cerrado cuando son complejos seran s = −δωn ±

jωn

√1 − δ2

• El punto A tendra δωn = −2 y ωn = 2.76 por lo tanto el valor del polo ess = −2 + 1.9j. Si sustituimos ese valor en el denominador de la funcion detransferencia en bucle cerrado y despejamos K obtenemos el valor de KA = 4.61

• El punto B tendra δωn = −2 y δ = 0.6 por lo tanto el valor del polo ess = −2 + 2.67j. Si sustituimos ese valor en el denominador de la funcion detransferencia en bucle cerrado y despejamos K obtenemos el valor de KB = 8.11

Por lo tanto valores de K comprendidos entre 4.61 y 8.11 cumpliran las especifica-ciones de transitorio (δ y ωn). Como ademas para cumplir la especificacion de erroren regimen permanente ha de cumplirse que K > 12 podemos concluir que no hayningun valor de K que cumpla las tres especificaciones.



1.- Lugar de las raıces generalizado tomando KA = 4.

Es facil comprobar que la funcion de transferencia de lazo cerrado del sistema de lafigura tiene la forma

T (s) =

KA

s(s+KT +1)

1 + KA

s(s+KT +1)

=KA

s2 + s(KT + 1) + KA

=

KA

s2+s+KA

1 + KT ss2+s+KA

A la vista de la expresion anterior, y teniendo en cuenta el valor KA = 4 impuesto porlas especificaciones, resulta evidente que el lugar de las raıces generalizado del sistemaen funcion de KT puede obtenerse como el lugar de las raıces de G′(s) = s

s2+s+4.

El sistema generalizado equivalente tiene 2 polos complejos conjugados en −1±j√

152 ,

y un cero real en 0.

• Lugar de las raıces sobre el eje real : A la vista de la configuracion de polos yceros del sistema, el lugar de las raıces sobre el eje real coincide con el eje realnegativo.

• Puntos de separacion e ingreso: Los puntos de separacion e ingreso puedenobtenerse imponiendo dKT

dt= 0 con

KT =−(s2 + s + 4)

s

luegodKT

dt= −

(2s + 1)s − (s2 + s + 4))

s2= −

s2 − 4)

s2= 0

de donde deducimos que los puntos de separacion se encuentran el s = ±2, delos cuales solo el punto s = −2 tiene sentido.

• Asıntotas: El sistema tiene dos polos y un cero, por lo que el exceso de polossobre ceros es uno, con lo que tenemos una unica asıntota en 1800.

Efectivamente, aplicando la formula para el calculo de asıntotas

γ =1800 + 3600l

n − ml = 0 . . . n − m − 1 ⇒

{

γ1 = 1800+3600∗0

1 = 1800}

El calculo del centroide no aporta informacion relevante en este caso, peropodemos calcularlo como

σ =

∑

pi −∑

ci

n − m=

−1 − 0

1= −1

• Puntos de corte con el eje imaginario: Para calcularlos usamos el criterio deRouth.


dbc(s) = s2 + s(KT + 1) + 4



2 1 41 KT + 1 00 4 0

Por lo tanto para que se produzca un corte con el eje imaginario debe hacersenegativo o cero alguno de los elementos de la primera columna de la tabla deRouth, que en nuestro caso implica KT ≤ 0. Dado que se asumen valorespositivos para KT , podemos concluir que el lugar de las raıces no presentacortes con el eje imaginario, o equivalentemente, el sistema es estable a lazocerrado para todo valor de KT ≥ 0.

Ası pues el lugar de las raıces del sistema resulta, tal como muestra la figura II.3.a.

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

Figura II.3.a: Lugar de las raıces del sistema

2.- Valor de KT para que el sistema no presente sobreoscilacion a lazo cerrado.

El sistema a lazo cerrado es de segundo orden sin ceros, luego la sobreoscilacion desa-parece valores del amortiguamiento crıtico (δ = 1) y superiores, o equivalentemente,para aquel valor de KT que situe ambos polos de lazo cerrado sobre el eje real.

Podemos calcular este valor a partir del resultado previamente calculado de los pun-tos de separacion del eje real. Sabiendo que el punto de separacion esta situadoen s = −2, podemos imponer la condicion de pertenencia al lugar de las raıces ycalcular s2 + s(KT + 1) + 4 = 0 para s = −2, y obtener KT = 3.


Por tanto para valores de KT ≥ 3 el sistema no sobreoscila.

3.- Rango de valores de KA que anulan la sobreoscilacion con KT = 5.

En este caso, a partir de las expresiones desarrolladas en el apartado 1, podemosdeducir que el polinomio del sistema a lazo cerrado resulta

dBC(s) = s2 + 6s + KA

El sistema no presenta sobreoscilacion para aquellos valores de KA que hacen queel polinomio anterior no tenga raıces complejas conjugadas. Esto se verifica si eldiscriminante del polinomio es positivo, es decir 36 − 4KA ≥ 0. Luego el rango devalores buscado es KA ∈ (0, 9].



1.- Lugar de las raıces en funcion de K.

El sistema presenta un par de polos conjugados en s = −4 ± 4j y un polo real ens = 0.

A continuacion se calculan los parametros que definen la forma del lugar de las raıces.

• Lugar de las raıces sobre el eje real :

A la vista de la configuracion de polos y ceros del sistema, es inmediato concluirque el lugar de las raıces sobre el eje real coincide con el eje real negativo.

• Puntos de separacion e ingreso: Los puntos de separacion e ingreso puedenobtenerse imponiendo dK

dt= 0 con

K = −s((s + 4)2 + 16)

luegodK

dt= −(3s2 + 16s + 32) = 0

expresion que solo tiene soluciones complejas, s = −2.6667±1.8856j. Por tanto,no tenemos puntos de separacion del eje real.

• Asıntotas: El sistema tiene tres polos y ningun cero, por lo que el exceso depolos sobre ceros es tres. Esto indica que tenemos tres asıntotas en ±600 y1800.

Aplicando la formula para el calculo de asıntotas

γ =1800 + 3600l

n − ml = 0 . . . n−m−1 ⇒

γ1 = 1800+3600∗0

3 = 600

γ2 = 1800+3600∗1

3 = 1800

γ3 = 1800+3600∗2

3 = 3000 = −600

El calculo del centroide nos indica

σ =

∑

pi −∑

ci

n − m=

−8 − 0

3= −2.67

• Puntos de corte con el eje imaginario: Para calcularlos usamos una ve mas elcriterio de Routh.


dbc(s) = s3 + 8s2 + 32s + K


3 1 322 8 K

1 32 − K8 0

0 K 0

Por lo tanto para que se produzca un corte con el eje imaginario debe hacersecero alguno de los elementos de la primera columna de la tabla de Routh, queen nuestro este caso implica


32 −K

8= 0 ⇒ K = 256

K = 0 (0.1)

De estos dos valores, nos interesa tomar el valor K = 256, ya que K = 0representa trivialmente el corte asociado a la presencia de un polo en el origen.

Para obtener el punto de corte con el eje imaginario podemos hacer s = aj enla expresion del denominador de lazo cerrado del sistema, con K = 256. Esdecir

(aj)3 + 8(aj)2 + 32(aj) + 256 = 0 ⇒ (32a − a3)j + (256 − 8a2) = 0

expresion compleja que se verifica para a = ±√

32 = ±5.657.

Es interesante observar que la ultima ecuacion proporciona un metodo indirectode verificacion de los calculos, ya que debemos obtener el mismo valor de a,haciendo nulas tanto la parte real como la imaginaria.

Un procedimiento alternativo que requiere en general menos calculos, puedeplantearse a partir de la tabla de Routh. Si hacemos K = 256, obtenemos quela tercera fila de dicha tabla es enteramente nula. Este hecho pone en evidenciaque el sistema posee un par de polos complejos conjugados puros que puedencalcularse a partir del factor par de la fila 2. Es decir

8s2 + 256 = 0 ⇒ s = ±√

32j = ±5.657j

Con estos datos podemos representar el lugar de las raıces del sistema, tal comomuestra la figura II.8.a

2.- ¿Puede un PI lograr que el sistema sea estable a lazo cerrado para todo valor deK > 0?

La introduccion de un PI, equivale a anadir un polo en el origen y un cero adicionales.El grado relativo del sistema no varıa, sigue siendo 3. Luego la orientacion de lasasıntotas no varıa, y por tanto seguiremos teniendo un sistema con dos asıntotasa ±600 que se adentran en el semiplano real positivo, lo que implica que siemprepodremos encontrar un valor de K que haga inestable el sistema. La respuesta a lapregunta planteada es por tanto negativa.

3.- Rango de valores de c para que el PD GPD(s) = K(s + c) haga estable el sistema alazo cerrado para todo K > 0.

En este caso podemos razonar de manera analoga al caso anterior. El PD contribuyecon un cero adicional al sistema que reduce el grado relativo del sistema a 2. Tenemospor tanto en este caso unicamente dos asıntotas situadas a ±900 respecto al eje real.Esta disposicion permite encontrar configuraciones en las que el lugar de las raıceseste enteramente contenido en el semiplano real negativo, o equivalentemente, en lasque el sistema sea estable para cualquier K > 0.

Para encontrar estas configuraciones, deberemos encontrar para que valores de c ellugar de las raıces no presenta cortes con el eje imaginario.


−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

Figura II.8.a: Lugar de las raıces del sistema

La funcion de transferencia del sistema a lazo cerrado con el PD resulta

T (s) =

K(s+c)s((s+4)2+16)

1 + K(s+c)s((s+4)2+16)

=K(s + c)

s3 + 8s2 + (32 + K)s + Kc

Para este sistema la tabla de Routh resulta:

3 1 32 + K2 8 Kc

1 32 + K − Kc8 0

0 Kc 0

El sistema no presenta cortes con el eje imaginario siempre y cuando no haya cambiosde signo en los valores de la primera columna. Esto es

32 + K −Kc

8≥ 0 ⇒ c ≤ 8 +

256

KKc ≥ 0 ⇒ c ≥ 0

Dado que las expresiones anteriores deben ser validas para K ∈ (0,+∞), concluimosque c debe verificar

0 < c < 8


Para el caso particular que nos ocupa, este resultado podrıa haberse obtenido tambienrazonando sobre la expresion del centroide del lugar de las raıces

σ =

∑

pi −∑

ci

n − m=

0 + (−4 + 4j) + (−4 − 4j) − (−c)

2

Si queremos asegurar que el lugar de las raıces este ıntegramente situado en el semi-plano real negativo, deberemos imponer que el centroide σ < 0, para que las ramasque tienden a dichas asıntotas no invadan del semiplano real positivo. Luego ten-dremos 0 + (−4 + 4j) + (−4 − 4j) − (−c) < 0, o equivalentemente c < 8.

Este resultado, aun siendo equivalente al obtenido por el primer procedimiento,merece algun comentario adicional. El procedimiento del centroide es, en general,mas economico y directo en terminos de calculo, aunque solo es fiable si las ramasdel lugar que tienden a las asıntotas no cambian el signo de su curvatura en todo surecorrido. En otras palabras, si la curvatura cambia de signo, las ramas del lugarde las raıces podrıan adentrarse en el semiplano real positivo para un cierto rangode valores de K, y terminar sobre una asıntota enteramente situada en el semiplanoreal negativo, invalidando de este modo el argumento.

Verificar la condicion de curvatura es a menudo difıcil, por lo que el procedimientodel centroide resulta util como metodo secundario para comprobar los resultadosobtenidos mediante la tabla de Routh, mas fiable.

Parte III

Automatismos

35


Solucion del problema III.1

NOTA:Esta red de Petri esta realizada con la aplicacion de Simulacion de red de Petridisponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicacionlas variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiracion y que los productoslogicos vienen representados por &.

La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en lafigura III.1.a.

Figura III.1.a:



La matriz de fases del automatismo que gobierna el funcionamiento del toldo es la siguiente

P SS SB 000 001 011 010 110 111 101 100 MOTOR

0 - - X 0© 1 X - - MP

1 - - X - 0© X - 2 MB

2 3 - X - - X 4 2© MB

3 3© 5 X - - X - 6 MB

4 - 5 X - - X 4© - MP

5 - 5© X - - X 7 - MP

6 8 - X - - X - 6© MP

7 - - X - - X 7© 9 MS

8 8© - X - - X - 9 MP

9 10 - X - 11 X - 9© MS

10 10© - X 0 - X - 12 MS

11 - - X 0 11© X - - MP

12 13 - X - - X - 12© MP

13 13© - X - - X - 2 MP

Definicion de los estados:

• 0: Estado inicial toldo subido, pulsador sin pulsar y motor parado.

• 1: Toldo subido (sensor SS activado) empezando a bajar, pulsador P pulsado ymotor bajando.

• 2: Toldo en posicion intermedia, pulsador P pulsado y motor bajando.

• 3: Toldo en posicion intermedia, pulsador P sin pulsar y motor bajando.

• 4: Toldo en posicion inferior, pulsador P pulsado y motor parado, (el toldo hallegado abajo sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P yvolverlo a pulsar para que el toldo se vuelva a poner en marcha).

• 5: Toldo en posicion inferior, pulsador P sin pulsar y motor parado.

• 6: Toldo en posicion intermedia, pulsador P pulsado y motor parado, antes bajando.

• 7: Toldo en posicion inferior empezando a subir, pulsador P pulsado y motor subi-endo.

• 8: Toldo en posicion intermedia, pulsador P sin pulsar y motor parado, antes ba-jando.

• 9: Toldo en posicion intermedia, pulsador P pulsado y motor subiendo.

• 10: Toldo en posicion intermedia, pulsador P sin pulsar y motor subiendo.


• 11: Toldo en posicion superior, pulsador P pulsado y motor parado, (el toldo hallegado arriba sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P yvolverlo a pulsar para que el toldo se vuelva a poner en marcha).

• 12: Toldo en posicion intermedia, pulsador P pulsado y motor parado, antes subi-endo.

• 13: Toldo en posicion intermedia, pulsador P sin pulsar y motor parado, antesbajando.

Notas:

• Supongo que el toldo esta inicialmente arriba

• se supone que el movimiento del toldo es instantaneo, es decir no da tiempo a soltarel boton P antes de que el toldo abandone la posicion superior.



NOTA:Esta red de Petri esta realizada con la aplicacion de Simulacion de red de Petridisponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicacionlas variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiracion, que los productoslogicos vienen representados por & y las sumas logicas por —.


Figura III.3.a:



La matriz de fases del automatismo que gobierna el funcionamiento del ventanilla es lasiguiente

P VS VB 000 001 011 010 110 111 101 100 MOTOR

0 - - X 0© 1 X - - MP

1 - - X - 0© X - 2 MB

2 3 - X - - X 4 2© MB

3 3© - X - - X - 5 MP

4 - 6 X - - X 4© - MP

5 7 - X - 8 X - 5© MS

6 - 6© X - - X 9 - MP

7 7© - X - - X - 2 MP

8 - - X 0 8© X - - MS

9 - - X - - X 9© 5 MS


• 0: Estado inicial ventanilla subida, pulsador sin pulsar y motor parado.

• 1: Ventanilla subida (sensor VS activado) empezando a bajar, pulsador P pulsadoy motor bajando.

• 2: Ventanilla en posicion intermedia, pulsador P pulsado y motor bajando.

• 3: Ventanilla en posicion intermedia, pulsador P sin pulsar y motor parado, antesbajando.

• 4: Ventanilla en posicion inferior, pulsador P pulsado y motor parado, (la ventanillaha llegado abajo sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P

y volverlo a pulsar para que la ventanilla se vuelva a poner en marcha).

• 5: Ventanilla en posicion intermedia, pulsador P pulsado y motor subiendo.

• 6: Ventanilla en posicion inferior, pulsador P sin pulsar y motor parado.

• 7: Ventanilla en posicion intermedia, pulsador P sin pulsar y motor parado, antessubiendo.

• 8: Ventanilla en posicion superior, pulsador P pulsado y motor parado, (la ventanillaha llegado arriba sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P

y volverlo a pulsar para que la ventanilla se vuelva a poner en marcha).

• 9: Ventanilla en posicion inferior empezando a subir, pulsador P pulsado y motorsubiendo.


Notas:

• Supongo que la ventanilla esta inicialmente arriba

• se supone que el movimiento de la ventanilla es instantaneo, es decir no da tiempoa soltar el boton P antes de que la ventanilla abandone la posicion superior.



NOTA:Esta red de Petri esta realizada con la aplicacion de Simulacion de red de Petridisponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicacionlas variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiracion y que los productoslogicos vienen representados por &.


Figura III.5.a:



La matriz de fases rellena y corregida es la siguiente:



La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figuraIII.7.a.

Figura III.7.a:



Las redes de Petri que describen el comportamiento del sistema son las representadas enlas figuras III.8.a, III.8.b y III.8.c.

Figura III.8.a: Red de Petri del problema III.8.a


Figura III.8.b: Red de Petri del problema III.8.b

Figura III.8.c: Red de Petri del problema III.8.c



NOTA:Esta red de Petri esta realizada con la aplicacion de Simulacion de red de Petridisponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicacionlas variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiracion, que los productoslogicos vienen representados por & y las sumas logicas por |.


Figura III.10.a:



En primer lugar hay que hacer la matriz de fases que describe el funcionamiento delsistema:

S1 S2 00 01 11 10 FCV

0 0© X - 1 1

1 1 X 2 1© 1

2 - X 2© 3 0

3 0 X 2 3© 0


• 0: Estado inicial deposito vacıo (Nivel por debajo de S1).

• 1: Nivel por encima de S1 y por debajo de S2, subiendo.

• 2: Nivel por encima de S2.

• 3: Nivel por encima de S1 y por debajo de S2, bajando.

Para minimizar el numero de estados hay que hacer la matriz de inferencias:

1 -

2 X X

3 X X -

0 1 2

De la que se pueden obtener los estados 0-compatibles, que son (0-1) y (2-3).

A continuacion se agrupan estados n-compatibles entre sı para minimizar el numerode estados y obtenemos que los grupos son:

(0 − 1) → a

(2 − 3) → b

Una vez minimizado el numero de estado obtenemos la matriz de fases reducida como:


S1 S2 00 01 11 10 FCV

a a© X b a© 1

b a X b© b© 0

Codificacion de estados: Asignamos un numero binario a cada estado estable de lamatriz de fases reducida, como hay 2 estados necesitaremos 1 bit para codificar el numerobinario:

a → 0

b → 1

Con esta calificacion la matriz de transicion de estados queda

S1 S2 00 01 11 10

0 0 - 1 0

1 0 - 1 1

Para realizar la simplificacion usamos la basada en tablas de Karnaught:

S1 S2 00 01 11 10

0 0 - 1 0

1 0 - 1 1

��

��

��

�

Con lo que atendiendo a dicha tabla la codificacion de al funcion de transicion corre-spondiente al estado q queda

q = S2 + Q·S1

Funcion de Salida (lectura) del sistema.

Esta funcion se calcula como la relacion de la salida del sistema con los estadosobtenidos en la funcion de transicion


FCV = Q

Con lo que atendiendo a la funcion de transicion y de lectura el diagrama de contactosqueda:

S2

S1 Q

q

Q FCV

Figura III.11.a:





Figura III.12.a:





Figura III.13.a:



Las redes de Petri que describen el comportamiento del sistema son las representadas enlas figuras III.14.a y III.14.b.

Figura III.14.a: Red de Petri del problema III.14.a


Figura III.14.b: Red de Petri del problema III.14.b



1.- En primer lugar para minimizar el numero de estados hay que hacer la matriz deinferencias:

1 X

2 X (5−6)

3 (2−3) X X

4 (1−4) X X -

5 X - (5−6)(2−3)

X X

6 X (5−6)(1−4)

(1−4) X X (5−6)

0 1 2 3 4 5

De la que se pueden obtener los estados 0-compatibles, que son: (0-3), (0-4), (1-2),(1-5), (1-6), (2-5), (2-6), (3-4), (5-6).

A partir de esta tabla de inferencias obtenemos la que nos da la 1-compatibilidad,viendo si las parejas que hay en las casillas correspondientes a estados 0-compatiblesson 0-compatibles entre sı. Haciendo esto obtenemos la siguiente matriz de inferen-cias:

1 X

2 X (5−6)

3 X X X

4 X X X -

5 X - X X X

6 X X X X X (5−6)

0 1 2 3 4 5

A partir de esta tabla se puede ver que los estados 1-compatibles son: (1-2), (1-5),(3-4), (5-6).


Es facil ver que si repetimos el proceso para hallar los estados 2-compatibles serepite el mismo conjunto de estados, por lo que podemos asegurar que los estados1-compatibles seran tambien estado n-compatibles.


0 → a

(1 − 2) → b

(3 − 4) → c

(5 − 6) → d

Una vez minimizado el numero de estado obtenemos la matriz de fases reducidacomo:

00 01 11 10 S

a a© b X b V

b d b© X b© R

c a c© X c© V

d d© c X c R

Con esto ya habrıamos contestado la primera pregunta ya que piden el numeromınimo de estados, y esto es la matriz de fases, de todas formas vamos a continuar ya realizar la codificacion de estados y la simplificacion usando tablas de Karnaughtpara obtener la funcion de transicion.

Codificacion de estados: Asignamos un numero binario a cada estado estable de lamatriz de fases reducida, como hay 4 estados necesitaremos 2 bits para codificar elnumero binario:

a → 00

b → 01

c → 11

d → 10


00 01 11 10

00 00 01 X 01

10 10 01 X 01

11 00 11 X 11

10 10 11 X 11

Para realizar la simplificacion separamos en dos tablas el primer y segundo bit. Ladel primer bit que llamaremos q1 es:


00 01 11 10

00 0 0 0 0

10 1 0 0 0

11 0 1 0 1

10 1 1 0 1

��

�

��

� ��

Con lo que atendiendo a dicha tabla la codificacion de al funcion de transicioncorrespondiente al estado q1 queda

q1 = ABQ1Q2 + AQ1Q2 + ABQ1 + ABQ1

Haciendo lo mismo para el segundo estado q2

00 01 11 10

00 0 1 0 1

10 0 1 0 1

11 0 1 0 1

10 0 1 0 1

�

�

�

�

�

�

Con lo que atendiendo a dicha tabla la codificacion de al funcion de transicioncorrespondiente al estado q2 queda

q2 = AB + AB

2.- Funcion de Salida (lectura) del sistema.

Esta funcion se calcula como la relacion de la salida del sistema con los estadosobtenidos en la funcion de transicion:

Tomando V = 0 y R = 1 la relacion es:

00 → 0

01 → 1

11 → 0

11 → 1

y por lo tanto la funcion de lectura es:

S = Q1Q2 + Q1Q2





Figura III.16.a:





Figura III.17.a:





Figura III.18.a:





Figura III.19.a:



En primer lugar hay que hacer la matriz de fases que describe el funcionamiento delsistema:

T10 T20 00 01 11 10 AIRE

0 0© 1 X 2 0

1 3 1© X - 1

2 0 - X 2© 0

3 3© 1 X 2 1


• 0: Estado inicial, temperatura intermedia, AIRE=0 viene de temperatura menor de10.

• 1: Temperatura por encima de T20 , AIRE=1.

• 2: temperatura por debajo de T10.

• 3: Temperatura intermedia, viene de temperatura alta.

Para minimizar el numero de estados hay que hacer la matriz de inferencias:

1 X

2 - X

3 X - X

0 1 2

De la que se pueden obtener los estados 0-compatibles, que son (0-2) y (1-3).


(0 − 2) → a

(1 − 3) → b


Una vez minimizado el numero de estado obtenemos la matriz de fases reducida como:

T10 T20 00 01 11 10 FCV

a a© b X a© 0

b b© b© X a 1

Codificacion de estados: Asignamos un numero binario a cada estado estable de lamatriz de fases reducida, como hay 2 estados necesitaremos 1 bit para codificar el numerobinario:

a → 0

b → 1


T10 T20 00 01 11 10

0 0 1 X 0

1 1 1 X 0

Para realizar la simplificacion usamos la basada en tablas de Karnaught:

T10 T20 00 01 11 10

0 0 1 X 0

1 1 1 X 0

��

�

��

�

Con lo que atendiendo a dicha tabla la codificacion de al funcion de transicion corre-spondiente al estado q queda

q = T10T20 + QT10

Funcion de Salida (lectura) del sistema.


Esta funcion se calcula como la relacion de la salida del sistema con los estadosobtenidos en la funcion de transicion

AIRE = Q

Con lo que atendiendo a la funcion de transicion y de lectura el diagrama de contactosqueda:

T10

T10 Q

q

Q AIRE

T20

Figura III.20.a:





Figura III.21.a:



PM

CAR

FCAR

G120

FG120

(RTAL)CAR

(RRTAL)

G120

FG120

(RTAL)

(RRTAL)

(RAV)

(RRAV)

DESCAR

FDESCAR · PARPAR

G120

FG120

DESCAR

FDESCAR

G120

FG120

DESCAR

FDESCAR

Rutina de Taladrado(RTAL)

MT, BT

TB

FT1

MT, AT1

TA

MT, ST

FT1

AT1

(RRTAL)

(RAV)

MA, BA

AB

FT2

MA, AT2

AA

MA, SA

FT2

AT2

(RRAV)

Rutina de Avellanado

FCAR

CAR

FCAR

Figura III.23.a:





Figura III.24.a:





Figura III.25.a:

coleccion problem as ca 3

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