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los autores

editorial comares, s.l.gran capitn, 10 Bajo

18002 granadaTelf.: 958 465 382 Fax: 958 272 736e-mail: [email protected]

http://www.editorialcomares.comhttp://www.comares.com

ISBN: 978-84-9045-095-6 Depsito legal: Gr. 1.788/2013

Fotocomposicin, impresin y encuadernacin: comares

Coleccin Didctica de la Matemtica

Diseo de portada: Jos l. lupiez

Edicin promovida por el grupo de investigacin Didctica de la Matemtica. Pensamiento Numrico

Los captulos de este libro han superado una revisin por pares.

Comit Cientficol. Rico

M. c. caadasJ. gutirrezM. MolinaI. Segovia

este libro debe ser citado como:Rico, L., Caadas, M. C., Gutirrez, J., Molina, M. y Segovia, I. (Eds.) (2013). Investigacin en Didctica de la Matemtica. Homenaje a Encarnacin Castro.

granada, espaa: editorial comares.

Abraham ArcaviWeizmann Institute of Science (Israel)

lorenzo J. Blanco nietoUniversidad de Extremadura (Espaa)

Rafael Bracho LpezUniversidad de Crdoba (Espaa)

Mara C. Caadas SantiagoUniversidad de Granada (Espaa)

Jos carrillo YezUniversidad de Huelva (Espaa)

Marcelo casis RaposoUniversidad Metropolitana

de Ciencias de la Educacin (Chile)

enrique castro MartnezUniversidad de Granada (Espaa)

Elena Castro RodrguezUniversidad de Granada (Espaa)

Francisco Javier Claros MelladoUniversidad Carlos III de Madrid (Espaa)

antonio codina snchezUniversidad de Almera (Espaa)

luis c. contreras gonzlezUniversidad de Huelva (Espaa)

Moiss coriat BenarrochUniversidad de Granada (Espaa)

carlos de castro HernndezUniversidad Complutense de Madrid (Espaa)

aurora del Ro cabezasUniversidad de Granada (Espaa)

ngel Dez Lozano Universidad de Granada (Espaa)

Paola Donoso RiquelmeUniversidad de Granada (Espaa)

Francisco Fernndez GarcaUniversidad de Granada (Espaa)

Alejandro Fernndez LajusticiaUniversidad de Valencia (Espaa)

Antonio Fernndez CanoUniversidad de Granada (Espaa)

Jos A. Fernndez Plaza Universidad de Granada(Espaa)

Pablo Flores MartnezUniversidad de Granada (Espaa)

Jess gallardo RomeroUniversidad de Mlaga (Espaa)

Francisco Gil CuadraUniversidad de Almera (Espaa)

Bernardo Gmez AlfonsoUniversidad de Valencia (Espaa)

RelaCin de autoRes

InvestIgacIn en DIDctIca De la MateMtIcaX

Pedro Gmez GuzmnUniversidad de los Andes (Colombia)

Evaristo Gonzlez GonzlezColegio Pblico Sierra Nevada, Granada

(Espaa)

M. Jos Gonzlez LpezUniversidad de Cantabria (Espaa)

Jos luis gonzlez MarUniversidad de Mlaga (Espaa)

Jos Gutirrez PrezUniversidad de Granada (Espaa)

Josefa Hernndez DomnguezUniversidad de La Laguna (Espaa)

ngel A. LpezUniversidad de Carabobo (Venezuela)

y Universidad de Granada (Espaa)

Carmen Lpez EstebanUniversidad de Salamanca (Espaa)

Jos Luis Lupiez GmezUniversidad de Granada (Espaa)

antonio Marn del MoralUniversidad de Granada (Espaa)

Alexander Maz MachadoUniversidad de Crdoba (Espaa)

Marta Molina gonzlezUniversidad de Granada (Espaa)

Mara Francisca Moreno CarreteroUniversidad de Almera (Espaa)

antonio Moreno verdejoUniversidad de Granada (Espaa)

Toms Ortega del RincnUniversidad de Valladolid (Espaa)

antonio luis Ortiz villarejoUniversidad de Mlaga (Espaa)

M. Mercedes Palarea MedinaUniversidad de La Laguna (Espaa)

Luis Puig EspinosaUniversidad de Valencia (Espaa)

luis RadfordUniversidad Laurentienne (Canad)

Rafael Ramrez UclsUniversidad de Granada (Espaa)

nuria Rico castroUniversidad de Granada (Espaa)

luis Rico RomeroUniversidad de Granada (Espaa)

Susana Rodrguez DomingoUniversidad de Granada (Espaa)

Isabel Romero albaladejoUniversidad de Almera (Espaa)

Juan F. Ruz HidalgoUniversidad de Granada (Espaa)

Francisco Ruz LpezUniversidad de Granada (Espaa)

Mara teresa snchez compaaCentro de Magisterio Mara Inmaculada, Antequera (Espaa)

victoria snchez garcaUniversidad de Sevilla(Espaa)

Isidoro Segovia AlexUniversidad de Granada (Espaa)

Modesto sierra vzquezUniversidad de Salamanca (Espaa)

Martn M. Socas RobanyaUniversidad de La Laguna (Espaa)

Manuel Torralbo RodrguezUniversidad de Crdoba (Espaa)

Antonio Tortosa LpezCentro de Educacin Secundaria y Formacin Profesional S. Ramn y Cajal, Granada (Espaa)

Gabriela Valverde SotoUniversidad Nacional de Costa Rica(Costa Rica)

Danellys Vega CastroUniversidad de Granada (Espaa)

ndiCe

Prlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII

Conferencias Plenarias

1. en torno a tres problemas de la generalizacin. Luis Radford . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Reflexiones sobre el lgebra escolar y su enseanza. Abraham Arcavi . . . . . . . . . 133. se hace camino al andar. Toms Ortega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Bloque 1Estructuras Numricas y Generalizacin

1. Rendimiento aritmtico de los estudiantes de Educacin General Bsica. Luis Rico y ngel Dez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2. La estimacin y el sentido de la medida. Isidoro Segovia y Carlos de Castro . . . . . . . 43 3. Formas textuales en la divisin. Bernardo Gmez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514. Utilizacin del teorema fundamental de la aritmtica por maestros en forma-

cin en tareas de divisibilidad. ngel Lpez y Mara C. Caadas . . . . . . . . . . . . . . . . 595. Limitaciones en la comprensin de los sistemas de numeracin al inicio de los

estudios del grado de maestro en educacin primaria. Jos Luis Gonzlez, Antonio Luis Ortiz y Jess Gallardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6. Fenomenologa y representaciones en la Arithmetica Practica de Juan de Yciar. Alexander Maz-Machado, Carmen Lpez y Modesto Sierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7. La relacin parte-todo. Elena Castro-Rodrguez y Enrique Castro . . . . . . . . . . . . . . . 85

Bloque 2Didctica del lgebra

1. Dificultades y uso de recursos algebraicos de estudiantes para maestros de Edu-cacin Primaria. Martn M. Socas, M. Mercedes Palarea y Josefa Hernndez . . . . . . . . 95

2. La representacin de cantidades mediante segmentos lineales para resolver problemas de lgebra elemental. Francisco Fernndez y Jos Luis Lupiez . . . . . . . 103

3. De lo verbal a lo simblico: un paso clave en el uso del lgebra como herra-mienta para la resolucin de problemas y la modelizacin matemtica. Susana Rodrguez-Domingo y Marta Molina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

InvestIgacIn en DIDctIca De la MateMtIcaXII

4. Acerca de las nociones sentido estructural y pensamiento relacional. Gabriela Valverde y Danellys Vega-Castro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5. Anlisis de tareas de clculo de lmites finitos en un punto en las que intervie-nen identidades notables. Juan F. Ruz-Hidalgo y Jos A. Fernndez-Plaza . . . . . . . . . 127

6. Requisitos matemticos necesarios para el manejo de dos definiciones algebrai-cas de lmite finito de una sucesin y de una funcin en un punto. Mara Teresa Snchez, Francisco Javier Claros y Moiss Coriat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7. La aritmtica algebrtica de Marc Aurel, primer lgebra impresa escrita en espa-ol. Preliminares para su estudio. Luis Puig y Alejandro Fernndez . . . . . . . . . . . . . . 143

8. Invencin de patrones para los dgitos del cdigo Braille. Aurora del Ro y Rafael Ramrez-Ucls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9. Introduccin a la estructura de grupo mediante un enfoque geomtrico y arts-tico. Una experiencia con estudiantes para maestro. Francisco Ruz . . . . . . . . . . . . 159

Bloque 3Formacin de Profesores e Investigacin

1. Investigacin en educacin matemtica de alta visibilidad e impacto en la base Social Sciences Citation Index. Manuel Torralbo, Rafael Bracho y Antonio Fernndez-Cano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2. caminos de aprendizaje y formacin de profesores de matemticas. Pedro Gmez, M. Jos Gonzlez e Isabel Romero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3. anlisis del propsito de las tareas contextualizadas en el marco de la forma-cin de profesores. Antonio Moreno y Antonio Marn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4. Un modelo de conocimiento especializado del profesor de matemticas. Jos Carrillo, Pablo Flores y Luis C. Contreras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5. Didctica de la Matemtica en la Universidad de Almera: innovacin docente en formacin del profesorado. Antonio Codina, Francisco Gil y M. Francisca Moreno . . . . 201

6. Etapas de elaboracin de un instrumento para indagar sobre las actitudes hacia las matemticas. Paola M. Donoso, Nuria Rico y Marcelo Casis . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7. La formacin inicial de los Maestros en Espaa en los ltimos 40 aos. Lorenzo J. Blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8. Formacin de profesores de Matemticas: campo cientfico, trayectoria investi-gadora y espacio personal compartido. Victoria Snchez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9. Una mirada retrospectiva al potencial innovador desarrollado por el Grupo EGB y el Seminario CIEM en el campo de la enseanza-aprendizaje de las Mate-mticas (1983-1995). Jos Gutirrez, Evaristo Gonzlez y Antonio Tortosa . . . . . . . . . . . 235

anlisis de taReas de ClCulo de lmites en un puntoen las que inteRVienen identidades notables

analysis of tasks on calculations of limits involving notable equations

Juan F. Ruz-Hidalgo y Jos A. Fernndez-Plaza Universidad de Granada

Resumen

Una de las dificultades identificadas en las investigaciones en Pensamiento Matemtico Avanzado es la ruptura con el pensamiento algebraico y sus procedimientos. El Anlisis se apoya continuamente en habilidades algebraicas pero, al mismo tiempo, para conseguir dominar el pen-samiento analtico se requiere alejarse del algebraico y tomar conciencia de las diferencias que se establecen entre ellos. En este trabajo se analiza la relacin entre los aspectos estructurales y los errores que los estudiantes manifiestan cuando realizan tareas en las que se involucran identidades notables y los errores que los estudiantes manifiestan cuando calculan lmites finitos de funciones en un punto, que corresponden a indeterminaciones del tipo 0/0 y, que se pueden resolver mediante la simplificacin de fracciones algebraicas en las que aparecen identidades notables.

palabras clave: Fracciones algebraicas; Identidades notables; Indeterminaciones 0/0; Lmite de una funcin en un punto; Simplificacin.

AbstrAct

One of the difficulties identified in investigations in Advanced Mathematical Thinking is the break with algebraic thinking and its procedures. Continuously, calculus is based on algebraic skills, but at the same time, to get dominate analytical thinking requires moving away from algebraic thinking and become aware of the differences that exist between them. This paper is devoted to the relationship between the structural sense and errors that students demonstrate when performing tasks that involve algebraic identities and the errors when calculating finite limits of functions at a point, corresponding to uncertainties of type 0/0, which can be solved by simplifying algebraic fractions in which appear notable equations.

Keywords: Algebraic fractions; Limit of a function at one point; Limit of indeterminate forms 0/0; Notable equations; Simplification.

Ruz-Hidalgo, J. F. y Fernndez-Plaza, J. A. (2013). Anlisis de tareas de clculo de lmites en un punto en las que intervienen identidades notables. En L. Rico, M. C. Caadas, J. Gutirrez, M. Molina e I. Segovia (Eds.), Investigacin en Didctica de la Matemtica. Homenaje a Encarnacin Castro (pp. 127-134). Granada, Espaa: Editorial Comares.

InvestIgacIn en DIDctIca De la MateMtIca128

IntroduccinDurante el primer curso de Bachillerato se realizan los primeros contactos con el

clculo de lmites. En general, las actividades que se proponen consisten en desarrollar una serie de destrezas apoyadas en las habilidades algebraicas que el alumnado ha ido desarrollando a lo largo de la educacin secundaria, pero que aaden una componente relacionada con procesos analticos a los que no estn habituados. Investigaciones acerca de la didctica del anlisis muestran que las diferencias entre las habilidades algebraicas y las propias del anlisis suponen una ruptura y una dificultad a la que los estudiantes se enfrentan (Artigue, 1995).

En este trabajo se pretende indagar en esta ruptura mediante un estudio exploratorio. Partiendo de tareas de clculo de lmites en las que aparecen fracciones algebraicas, se pretende observar qu estrategias siguen los alumnos, los errores en los que incurren y cmo se podran establecer relaciones entre las habilidades algebraicas y analticas.

Marco terico

En este trabajo intervienen, por una parte, el clculo de lmites, por lo que est situado en la agenda del Pensamiento Matemtico Avanzado. Ms concretamente, el estudio est centrado en las dificultades que se producen al pasar del razonamiento alge-braico al clculo. Por otra parte, intervienen tambin tareas de simplificacin algebraica, por lo que se toman como ltima base del trabajo investigaciones sobre pensamiento algebraico y, en particular, algunas acerca del sentido estructural.

En educacin matemtica no se ha logrado establecer una distincin clara entre los rasgos distintivos entre las matemticas elementales y avanzadas, aunque s se han esta-blecido una serie de caractersticas que ayudan a separarlos. Entre estas caractersticas se pueden encontrar la complejidad de los contenidos (lmites, continuidad, derivacin o integracin) o los procesos cognitivos involucrados en el manejo de dichos conteni-dos (analizar, generalizar, definir, demostrar, abstraer,) (Azcrate y Camacho, 2003; Edwards, Dubinsky y McDonald, 2005).

Las dificultades que el alumnado encuentra cuando se enfrenta al clculo son varia-das, fuertes y persistentes. Segn Artigue (1995), se clasifican en tres grandes tipos: 1) Las ligadas a la complejidad matemtica de los objetos bsicos del clculo, como los nmeros reales y las sucesiones; 2) Las relacionadas con la conceptualizacin de la nocin de lmite, que es la nocin nuclear del campo y; 3) Las asociadas a la ruptura con los modos de pensamiento algebraico y del orden.

Este trabajo se centra en esta tercera dificultad. Legrand (1993) distingue los pro-cedimientos del anlisis de los conocimientos algebraicos y propone el ejemplo de la igualdad: mientras que algebraicamente dos expresiones A y B son iguales si una de ellas (o las dos) se pueden transformar por equivalencias sucesivas en la otra, en el anlisis, el concepto de igualdad viene determinado por la condicin de que > 0 se cumple que la distancia d(A,B) < .

129ANLISIS DE TAREAS DE CLCULO DE LMITES EN UN PUNTO

Dentro de las investigaciones en pensamiento algebraico, Vega-Castro, Molina y Castro (2011, 2012) presentan un anlisis de las habilidades involucradas en el trabajo con expresiones algebraicas en las que aparecen identidades notables haciendo uso de la nocin sentido estructural. Hoch y Dreyfus (2006) proponen una definicin opera-cional de sentido estructural y presentan tres descriptores con subdescriptores, con los que caracterizan los diferentes niveles de complejidad algebraica (Tabla 1).

tabla 1. Descriptores del sentido estructural (Hoch y Dreyfus)

Descriptor Descripcin

ss1 Reconocer una estructura familiar en su forma ms simple.

ss2 Tratar un trmino compuesto como una nica entidad y reconocer una estructura fa-miliar en una forma ms compleja.

ss2a el trmino compuesto contiene un producto, pero no una suma/resta.

ss2b el trmino compuesto contiene una suma o resta.

ss3 Elegir manipulaciones apropiadas para hacer el mejor uso de una estructura.

ss3a la estructura est en su forma ms simple.

ss3b el trmino compuesto contiene un producto, pero no una suma/resta.

ss3c el trmino compuesto contiene una suma o resta.

Descripcin del estudio

El presente trabajo es de tipo exploratorio. La recogida de datos se realiz durante el mes de abril de 2013 en dos Institutos de Enseanza Secundaria, uno de Granada y otro de un municipio de la provincia de Jan. En total 44 sujetos que cursaban 1 de Bachillerato de diferentes modalidades fueron escogidos intencionalmente por la dis-ponibilidad para participar en el estudio y por el nivel educativo que cursaban.

Se elabor una prueba escrita de cuatro tareas con enunciados semejantes. En cada una de ellas aparece el clculo de un lmite en un punto de una fraccin algebraica. La

estructura de todos estos lmites corresponde a ,

donde n, m son naturales mayores que 1 y P1 y Q1 son dos polinomios sin ceros en el punto x=a. El lmite est determinado por los valores de n y m, es decir por el valor del exponente del binomio (xa). Los estudiantes haban recibido ya la instruccin ordinaria, limitando la intervencin del profesor y de los investigadores a la aclaracin de dudas.

Se pretende y espera que los sujetos realicen un procedimiento de resolucin com-puesto por las acciones: 1) transformar las expresiones algebraicas; 2) simplificar las fracciones por cancelacin; 3) calcular los lmites. A cada una de estas sucesiones de acciones se la denominar estrategia. Para facilitar el anlisis se ha realizado la codifi-cacin que se muestra en la Tabla 2.

l = limxa

P(x)

Q(x)= lim

xa

(x a)n P1(x)

(x a)m Q1(x)


tabla 2. Codificacin de las acciones realizadas por los estudiantes

Accin Accin detallada Cdigo

Transformar expresiones algebraicas

Factorizar usando una identidad notable t1

Factorizar usando el mtodo de Ruffini. t2

Factorizar usando la frmula para ecuaciones de 2 grado. t3

Expandir usando una identidad notable. t4

Expandir usando la propiedad distributiva. t5

Simplificar las fracciones cancelar los factores xa en numerador y denominador usando la propiedad de equivalencia de fracciones algebraicas.

X

calcular el lmiteDeterminar el valor numrico. c1

Clculo de lmites laterales finitos o infinitos. c2

en la tabla 3 se presentan con detalle todas las tareas propuestas acompaadas por sus caractersticas. estas caractersticas, que son los descriptores del sentido estructural (Tabla 1) estn relacionadas con la complejidad algebraica de la tarea. A estos descrip-tores se les deben aadir los propios del clculo de lmites, particularmente la necesidad de recurrir a los lmites laterales para realizar los clculos. es importante destacar que las acciones relacionadas con el clculo de lmites, especialmente la c2, son habilidades diferentes a las algebraicas y, por tanto, son las que generan la ruptura descrita entre el lgebra y el anlisis.

Segn las caractersticas de la Tabla 3, se organizan las tareas por la complejidad algebraica y, posteriormente, la complejidad analtica. As, las tareas quedaran orde-nadas por complejidad de ms fcil a ms difcil (tarea 3, tarea 1, tarea 2 y tarea 4).

tabla 3. Tareas propuestas ordenadas por grado de complejidad de ms fcil a ms difcil

tarea lmite Exponentecaractersticas de complejidad

3 L = 12 n m = 0 ss1, ss2b, ss3a, c1

1 L = + n m < 0 impar ss1, ss3a, c2

2 L = 4 n m = 0 ss2a, ss3b, c1

4 L = + n m < 0 par ss2a, ss3b, c2

Resultados

Siguiendo la notacin establecida, se caracterizan las estrategias elaboradas por los sujetos en exitosas, exitosas errneas y otras estrategias errneas o interrumpidas.


estrategias exitosas

Las estrategias exitosas estn formadas por aquellas estrategias correctas que presen-tan el esquema de acciones: Transformacin algebraica (T)-Simplificacin (x)-Clculo de lmites (C). Las hay de tres tipos: las que utilizan igualdad notable como transforma-cin algebraica (Figura 1); las que no utilizan igualdad notable y que implican un uso menos efectivo del sentido estructural; aqullas que implican una transformacin alge-braica de la expresin en uno o varios estados de trnsito antes de aplicar la cancelacin.

Figura 1. Estrategia exitosa en la tarea 1 con igualdad notable cuadrado de la diferencia

estrategias exitosas errneas

Esta categora la conforman aquellas estrategias incluyendo acciones iniciales exi-tosas, incurriendo en error bien en el proceso de manipulacin algebraica (EE-EMA), o bien en el clculo del lmite (EE-ECL) (Figura 2).

Figura 2. Estrategias exitosas errneas en la tarea 4, error algebraico (Izq.), y analtico (Dcha.)


otras estrategias errneas o interrumpidas

Cuando desde la primera accin hay errores, la estrategia se considera errnea. Existen tambin otras estrategias de clculo de lmite como la regla de LHpital. Sin embargo, algunos estudiantes emplearon para el clculo del lmite en un punto finito las propiedades para lmites en infinito, ya que en este ltimo caso, el clculo se reduce a una comparacin de los grados del numerador y del denominador, eludiendo as la necesidad de factorizar. Tambin se incluyen aquellas estrategias interrumpidas (EI) tanto en la manipulacin algebraica, como en el clculo final.

en la tabla 4 se presenta un resumen de las frecuencias absolutas de respuestas segn las categoras anteriores.

Discusin y conclusiones

El nmero de estrategias exitosas es mayoritario en la tarea 3 (30 de 44), lo cual es coherente con la complejidad a priori de esta tarea. La tarea que menos estrategias exitosas presenta es la 4 (3 de 44), lo cual tambin coincide con los niveles de comple-jidad establecidos tericamente.

En las estrategias exitosas errneas se puede observar que cuando se requiere que realicen clculo de lmites laterales infinitos (tareas 1 y 4) el nmero de errores ECL aumenta (21 errores) respecto de las tareas 2 y 3 (2 errores).

tabla 4. Frecuencias absolutas de las respuestas

Estrategias

Exitosas Ex. Errneas Errneas/Interrumpidas

tarea eeI Otras tot eMa ecl tot eMa ecl eI tot nR tOt

1 12 4 16 0 14 14 4 4 5 13 1 44

2 15 4 19 3 0 3 8 4 3 15 7 44

3 25 5 30 1 2 3 0 2 2 4 7 44

4 3 0 3 3 7 10 8 3 6 17 14 44

55 13 68 7 23 30 20 13 14 49 28 176

Observamos que la dificultad analtica de la tarea 1 tiene un mayor peso que la alge-braica en su resolucin errnea (18 errneas ECL de 22 errneas, 81%) en comparacin con el peso asociado a la mayor dificultad algebraica de la tarea 2 (11 errores EMA de 15 errneas, 73%). Por otro lado, existe un equilibrio entre la dificultad analtica y algebraica en la resolucin errnea de la tarea 4.

Las tareas cuyos descriptores de sentido estructural eran ms complejos (tareas 2 y 4), acumulan cada una, 11 errores de manipulacin algebraica y se diferencian en


el nmero de errores de clculo de lmite que son 4 en la tarea 2 y 10 en la tarea 4, lo que vuelve a coincidir con la complejidad terica propuesta con anterioridad (Tabla 3).

Las tareas con descriptores de sentido estructural ms simple (1 y 3), presentan, como era de esperar, muy pocos errores por manipulacin algebraica (4 y 1 respectiva-mente) y, al igual que ocurre con las tareas 2 y 4, su diferencia es el nmero de errores en el clculo de lmite.

Prestando atencin a las acciones (Transformacin (T), Cancelacin (x), Clculo de lmite (C)), se puede observar que apenas se incurre en errores de cancelacin (5) y que la mayora de los errores de manipulacin algebraica son debidos a errores de transformacin (22 del total de respuestas). Son bastante ms los errores de clculo de lmites (36).

Conclusiones

Mayoritariamente los estudiantes aplican exitosamente las igualdades notables para simplificar las fracciones algebraicas (T1 y T4) (55 de 68), lo que hace pensar que los procedimientos algebraicos cercanos al sentido estructural estn bastante desarrollados en el alumnado que utiliza estas estrategias. Por otro lado, los mtodos generales Ruffini (T2) y frmula (T3) se emplean sistemticamente para cualquier ecuacin polinmica, expandindola si es necesario, sin reflexionar sobre un tratamiento ms eficiente de las ecuaciones pre-factorizadas. Adems hay errores aislados en la interpretacin de los coeficientes correctos que se obtienen del uso del mtodo de Ruffini.

Dentro de las estrategias errneas, los errores ms comunes son de manipula-cin algebraica (Tareas 2 y 4) y de clculo del lmite infinito (Tarea 1 y 4). Destacan singularmente la aplicacin errnea de la regla de LHpital y el uso de inferencias inadecuadas del lmite cuando x tiende a infinito. estos resultados coinciden con los niveles de complejidad que se han establecido tericamente para las tareas, lo que lleva a pensar que existe una relacin entre el sentido estructural y la complejidad analtica y el crecimiento en el nmero de estrategias errneas. Se plantea como continuidad validar esta conjetura en otros contextos.

Agradecimientos

Agradecemos la colaboracin y disposicin de los profesores Alejandro Cao, Antonio Quesada y Joaqun Garca. Este trabajo ha sido realizado con la ayuda y finan-ciacin de la beca FPU (AP2010-0906), (MEC-FEDER) y del proyecto Procesos de Aprendizaje del Profesor de Matemticas en Formacin (EDU2012-33030) del Plan Nacional de I+D+I (MICIN).


Artigue, M. (1995). La enseanza de los prin-cipios del clculo: problemas epistemolgi-cos, cognitivos y didcticos. En P. Gmez (Ed.), Ingeniera didctica en educacin matemtica (pp. 97-140). Mxico, Mxico DF: Grupo Editorial Iberoamericano.

Azcrate, C. y Camacho, M. (2003). Sobre la investigacin en didctica del Anlisis Matemtico. Boletn de la Asociacin Mate-mtica Venezolana, X(2), 135-140.

Edwards, B. S., Dubinsky, Ed., McDon-ald, M.A. (2005). Advanced mathemati-cal thinking. Mathematical Thinking and Learning, 7(1), 15-25.

Hoch, M. y Dreyfus, T. (2006). Structure sense versus manipulation skills: an unex-pected result. En J. Novotn, H. Maraov, M. Krtk y N. Stehlkov (Eds.), Pro-ceedings of the 30th conference of the International Group for the Psychology of

Mathematics Education (Vol. 3, pp, 305-312). Praga, Republica Checa: Faculty of Education, Charles University in Prague.

Legrand, M. (1993). Dbat scientifique en cours de mathmatiques et spcifit de l'analyse. Repre IREM, 10, 123-159.

Vega-Castro, D., Molina, M. y Castro, E. (2011). Estudio exploratorio sobre el sen-tido estructural en tareas de simplificacin de fracciones algebraicas. En M. Marn, G. Fernndez, L. Blanco y M. M. Palarea (Eds.), Investigacin en Educacin Mate-mtica XV (pp. 575-586). Ciudad Real, espaa: seIeM.

Vega-Castro, D., Molina, M., Castro, E. (2012). Sentido estructural de estudiantes de bachillerato en tareas de simplificacin de fracciones algebraicas que involucran igualdades notables. RELIME, 15(2), 233-258.

Referencias

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