物理学Ｉ　

　　　（第四回／全十五回）

対象　　基礎５２組・５１組偶数

担当

　柳澤　達也

私が遠くを見ることができたのは、 巨人たちの肩に乗っていたからです。

・問題演習の解答 ・相対運動　 （サル・みかん目線で見たモンキーハンティング） ・等速円運動の定式（Vector表記） 角速度 位置 速度 加速度

先週のまとめ

ω ≡dθdt

= 2π f = 2πT

= const.

r(t) = r cos ωt +α( ) i+ r sin ωt +α( ) j

v(t) = ddtr(t) = − rω sin ωt +α( ) i+ rω cos ωt +α( ) j

a(t) = d 2

dt2r(t) = − rω 2 cos ωt +α( ) i− rω 2 sin ωt +α( ) j

= − rω 2r(t)

おしながき

　　　（本日のメニュー）

第３章のイントロダクション The Laws of Motion （運動の法則） 【本日のゴール】 ニュートンの物理法則はF = maと書かれているが これの意味するところは何であろうか？ ・「力（チカラ）」とは何か？

もしも、一つの物体に加速度があるなら それには力がはたらいているのである。

約３００年前迄の大雑把な科学史

第３章　The Laws of Motion

BC384 アリストテレス 運動する物体は，その背後に渦巻く「空気」 に押されている 　→運動の原因は力

AC1564-1642 ガリレオ・ガリレイ 外力がはたらいていない理想的状態 （→平面上）では等速直線運動 ①　慣性の法則

※ガリレオの相対性原理 等速直線運動している座標系の物理法則の普遍性 AC1642-1727 アイザック・ニュートン →　一般に拡張 ②　運動方程式 ③　作用・反作用の法則

第３章　The Laws of Motion AC1642-1727 アイザック・ニュートン　の略歴 1669  ケンブリッジ大学教授　２５歳 それまでに成し遂げたこと→　微分積分法 →　万有引力、二項定理

1687 　 プリンキピア 「自然哲学の数学的諸原理」刊行 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1704 光学　刊行 豆知識 ・中流家庭出身（ブルジョアジーではない） ・母子家庭　→実母再婚　→悩む（生涯独身）　 ・ライプニッツとの25年に渡る法廷闘争 ・フックとの光の粒子性・波動性についての論争 ・愛猫家。晩年は王立造幣局長官で世直し

第３章　The Laws of Motion ↑ここまで・・・　運動学 ↓ここから・・・　力学　運動の因果関係を理解する ・力の自然的原因や所在の考察には立ち入らない ・それをただ，数学的にのみ扱う（実証主義）

　　　　　e.g., カント「自然科学の形而上学的原理」 物体論は数学の適用によってのみ、自然科学となり得る。 数学を適用するためには、物質一般の可能性に属する 諸概念を構成するための諸原理が、前もって与えられて いなければならない。

しかし、我々は自然界の数学を造ることはできない。 →　自然界は「泥臭い」　近似と数値計算によって のみ予測可能

ちから【力】とは？

ちから【力】（名詞） ①　自分が動いたりほかの物を動かしたりする筋肉のはたらき。腕力。暴力。 ②　物を動かしたり、動きを変化させたりするはたらき。 ③　ものごとを行う能力。才能。とくに学力。 ④　骨折り。おかげ。労力。 ⑤　たよりになるもの。よりどころ。 ⑥　他の物事に影響するはたらき。 　　　　　　 チャレンジ　小学国語辞典第６版より

ちから【力】（名詞） ⑤ 〘理〙 静止している物体に運動をおこし、また、動いている物体の速度を変えようとする作用。ベクトル量で、単位は国際単位系ではニュートン(N)。電力・馬力など、エネルギーまたは仕事率（動力・工率）の意に用いることもある。 広辞苑より

ちから【力】（名詞）Force, Power, Strength ①人や動物の体内に備わっていて，自ら動いたりほかの物を動かしたりする作用のもととなるもの。具体的には，筋肉の収縮によって現れる。 ②そのものに本来備わっていて，発揮されることが期待できる働き。また，その程度。効力。 ③ほかに働きかけて影響を与えるもの。

㋐ほかの人を支配し，自分の思うとおりに動かすことのできる勢い。権 力。勢力。 ㋑ほかの人が目的を達成しようとするのを助ける働き。骨折り。尽力。 ㋒人の心を動かす力強い勢い。迫力。

④何かをしようとする時に役に立つもの。

㋐行動のもとになる心身の勢い。気力・体力。精気。 ㋑修得・取得した，物事をなしとげるのに役立つ働きをするもの。能 力。 ㋒支え。よりどころ。

　　　　　　 Weblioより

ちから【力】（名詞）Force ⑤ 〘物〙 物体を変形させたり，動いている物体の速度を変化させる原因となる作用。 巨視的な力としては，物体表面に働く圧力や物体内部に生ずる応力などのほか，力の場を形成する重力と電磁気力がある。 微視的には，原子核の核子間に働く核力と，原子核・電子間および電子相互間の電磁気力が基本的な力である。さらに，一般的には素粒子の相互作用のことを力とよぶこともある。 Weblioより

ちから【力】（名詞）Force 物理学において、力とは一般に、物体の状態を変化させる原因となる「作用(action)」のことである。作用を引き起こす原因になるものもつきつめるとやはりなにかの物体であるから、力とは結局、物体間の「相互作用(interaction)」である。 力の直感的な意味は日常生活の経験から一見誰にも明らかのように思われるが、それをいかに正確に定義し意味付けるかは自明ではなく、力とは何かは物理学の法則の根幹に直接かかわる。 (1) ニュートン力学における力 →質点の運動を記述 (2) 力の場（ば）の理論 →電磁気相互作用も含めた運

　動量の保存法則を記述 物理学辞典（三訂版）より

物理学には同じ言葉で日常語でも使う言葉がたくさんある。

そのなかには語感が日常感覚から

乖離している場合もある。 （例：　運動量、仕事、真空、場）

日常語では定義が曖昧なものでも、 物理学ではすべて、はっきりと定義

しなくてはならない。

しごと【仕事】（名詞） Work, Job, Business, Affairs, Task ①　する事。しなくてはならない事。特に職業・業務。 ②　事をかまえてすること。また、悪事。 ③　 〘理〙 力が働いて物体が移動した時に、物体の移動した向きの「力」と、移動した「距離」との積を、「力が物体になした仕事」と言う。単位はジュール（J) 。 広辞苑より

第３章　The Laws of Motion ①　第一法則　＝　慣性の法則 (law of inertia) 「外から力が作用しなければ、物体は静止あるいは等速度運動を続ける」 　（外力を合成したものがゼロならば） Newton’s 1st law “If an object does not interact with other objects, It is impossible to identify a reference frame in which the object has zero acceleration” →この法則が成り立つ様な座標系があることが第２法則の前提 “If the absence of external forces and when viewed from an inertial reference frame, an object at rest remains at rest, and an object in motion continues in motion with a constant velocity.” →等速度運動しつづけているときの外力の総和はゼロ →因果関係

慣性系　　⇔　非慣性系

第３章　The Laws of Motion ②　第二法則　＝　運動方程式 「（慣性系において）物体に力が作用すると、力に比例した加速度が力の向きに生じる」 (合成した外力がゼロでないと) Newton’s 2nd law “When viewed from an inertial reference frame, The acceleration of an object is directly proportional to the net force acting on it and inversely proportional its mass.” で、結局何が言いたいのか？(so what?) １． 加速度の向きは力の向き ２． 重いものほど運動を変化させにくい ３． 重さが違っても落下する加速度は同じ （林檎 = 月　⇔　地球）

（重力加速度∝重力／質量= const.）

第３章　The Laws of Motion ②　第二法則　＝　運動方程式 「（慣性系において）物体に力が作用すると、力に比例した加速度が力の向きに生じる」 (合成した外力がゼロでないと) Newton’s 2nd law “When viewed from an inertial reference frame, The acceleration of an object is directly proportional to the net force acting on it and inversely proportional its mass.” ここでは「質量m」が一つの定数であるという暗黙の仮定を行っている 「質量」は 「慣性の大小＝動かしにくさ」という全く違う性質を表現 初等力学の範疇でその近似は正しい。 　　 　→　特殊相対性理論では質量は速度によって変わる

　　質量とエネルギーは等価 E = mc2 →　実験法則にはそれぞれ応用限界がある！それを超えると駄目になる。

本日の山場 「ニュートンの法則の真意」 力はF = maという法則以外に、特有の性質を持っている。 この、「力が持つ特有の性質」は、ニュートンによっても また他の人によっても完全に与えられていない。 だから、F = maという物理法則は、これで完全ではない。 ただ、このような定義が有効であり、それをもとに現実の運動を普遍的に記述し説明できるということ自体を「法則」とみなすべきである。 もっと噛み砕いた「ニュートンの法則が示唆するところ」 「質量」と「加速度」を調べて、この積を「力」と呼び、 そしてこの力の性質を叙述するならば、「力」というものは、ある程度スッキリしているものだ。

第３章　The Laws of Motion ③　第三法則　＝　作用・反作用の法則 「物体１が物体２に力 F を及ぼすとき、 　物体１は物体２から ‒F の力を受ける」 Newton’s 3rd law “If two objects interact, the force F12 exerted by object 1 on object 2 is equal in magnitude and opposite in direction to the force F21 exerted by object 2 on object 1.” FA→B = - FB→A

力は必ず対で生じる

A B

すべての物体の間には引力 （遠隔力） りんごも地球を引っ張っている （作用反作用） それぞれ質量に比例するので弱すぎて気づかないだけ

Q「じゃあ何故、月は落ちて来ないの？」 Ａ「月は地球の外周に沿って落下 　　し続けているのさ。」

F = m a 力 = 質量×加速度 運動方程式 →「力」の定義ではない 力の本質 ・遠隔力　（万有引力、電磁気力、核力） 重力子 　光子 クオーク・グルーオン 実はまだ起原は明らかでない　→　場の理論 ・接触力　（垂直抗力、張力、摩擦力…） 　　　ほぼ分子間力（電磁気力）で説明できる

質量： [Kg] キログラム原器 加速度： [m] 真空中の光速　 c = 2.997479.. [m/s] [s] セシウム133のマイクロ波 f = 9.193… [GHz]

ニュートン：[N] ～ 1 [Kg m/s2] 　質量1 [Kg]の物体を1 [m/s2]で加速する力

運動方程式の役割 (1) 力から加速度を求める (2) 加速度から力を求める (3)　 力と加速度から質量を求める 成分表示　 !

F = Fx!i +Fy

!j +Fz

!k

!a = d2xdt2!i + d

2ydt2!j + d

2zdt2!k

= ""x!i + ""y!j + ""z!k

（ライプニッツ流）

（ニュートン流）

Fx =m!!xFy =m!!yFz =m!!z

!

"#

$#

よって、　　　　が既知ならば積分し、初期条件を与える事で 　　　　物体の運動が決まる。

運動量は保存する！　（第６章の先取り） F =ma

=m dvdt⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

ddt

mv( )

=dpdt

p = mv : 運動量＝質量×速度

作用反作用の法則より

F1 =dp1dt

= −dp2dt

= −F2

ddt

P1 +P2( ) = 0 全運動量の和は時間変化しない →即ち、「保存量」である。

おしながき

　　　（本日の板書）

第４章　ニュートンの法則の応用 ４-１　力学的平衡状態（力の釣り合い） ・ナデコツ重法（問題解決のテクニック）

ここから下は次週第５回で ４-２　加速しているときの力 ・慣性力（みかけの力）を理解する。

４-３～６　摩擦力 ・静止摩擦力 ・動摩擦力 ・回転摩擦力

４-８　空気抵抗 ・圧力抵抗 ・粘性抵抗

提出期限 次回講義が始まるまで （５月１８日午前１０時３０分締切）

提出先 レポートボックスに提出

（教員に直接渡さないこと。） 形式

自由。手書きのみ受け付けます。

レポートが難しくて解けない場合 　必須範囲以外を自習してレポートに含めてくれるのは自由です。

宿題レポート