第二节

主要内容：

一、概率的定义

二、条件概率

三、全概率公式和贝叶斯公式

偶然中的必然 概率

1. 概率的统计定义

一、概率的定义

设E为随机试验，A为随机事件，对E在相同

条件下重复进行 n 次，若 A 出现了m 次，则

比值 称为A在n次试验中出现的频率，记为

Fn(A).

m

n

( )n

mF A

n

单独进行一次试验，其结果难以预料，但当

多次重复这个试验时，就会呈现某种规律性.

随着n的变化而变化

当多次重复试验时，就会呈现某种规律性.

例1 将一枚均匀硬币掷n次，观察在n次试验中

“正面向上”这个事件A出现的可能性的大小，两

位学者的试验结果如下表：

试验者 投币次数n 正面向上次数m

频率Fn(A)

蒲丰(Buffon)

K.皮尔逊(K. Pearson)

K.皮尔逊(K. Pearson)

4040 2048 0.5069

12000 6019 0.5016

24000 12012 0.5005

在 附 近 徘 徊0 .5

频率的稳定性

概率性质

对于任何事件 ， ；(1) ( ) 0A P A 非负性

(2) ( ) 1P 对于样本空间 ， ； 规范性

互不相容11

(3) ( ) ( ), .n n

i i i

ii

P A P A A

样本空间，即必然事件的概率为1.

可加性

, 1i j

A A i j n

概率的统计定义

该定义的优点：

缺点：

事先要做大量重复试验不便使用

在大量重复试验下，设试验次数为 事件

出现的次数为 如果 出现的频率 总是在某

个常数 附近摆动，则称 为事件 的统计概率，

记为

,

,

( ) .

n A

mm A

n

p p A

P A p

直观、易懂；

粗糙，模糊.

古典概率.寻求新的解决方法 ——

2. 概率的古典定义

例2 课上从06705班40名学生中随机点名，每

位同学被点到名的概率为多少？

解

样本空间中有40个（学生）样本点，每个

学生被点名的机会相同.

提示与分析：

被点到名 记为事件“ ” .A

( )P A

40 1

0.025 .

我们称具有以上两个特点的试验为古典概型.

(1) 每次试验有有限多个样本点，即样本空

间由有限多个样本点构成.

该试验有两个特点：

(2) 每次试验，每个样本点出现的

可能性相同.

古典概型在我们生活中经常遇得到，如从装

有n份考题的试卷袋中随机取一份进行测验；

买彩票能够中奖等.

有限性

等可能性

P(A) ＝

定义 设试验E为古典概型, 共有n个样本点 , 其中事件A包含m个样本点 . 则事件A的概率为：

古典概型的求法：

A包含的样本点数

样本点总数

nm

寻找试验E和事件A的样本点个数，成为解题的关键.

该定义的优点：

缺点：

使用受到限制

可计算，计算简便；

对于样本点为无限时，无法使用.

在一场数学智力竞赛中，试题袋中共有10 道密

封题，其中有4 道题为打“*”号者，参赛者从袋中

任抽3道题当场回答，求恰好抽到2 道打“*”号题目

的概率.

例3

解

“从10道密封题中任抽3道题，恰有2 道打“*”号”，

记为事件 A.

求试验E和事件A的样本点个数.提示与分析：

“从10道密封题中任抽3道题”为试验E，

* ** *试验样本点个数：

10道密封题

C

10 3

，事件A中样本点个数： 2

4C

1

6C

( )P A 0.3 .

2 1

4 6

3

10

C C

C

对于任何事件 ， ；(1) ( ) 0A P A 非负性

(2) ( ) 1P 对于样本空间 ， ； 规范性

互不相容11

(3) ( ) ( ), .n n

i i i

ii

P A P A A

可加性

非负实数

m=n

根据概率的古典定义，也很容易得到如下性质：

样本点不重合的多个事件的概率，等于每个事件概率之和 .

3. 概率的公理化定义

当样本点为无限时，概率的古典定义无法处

理.这样大大局限了概率的使用范围.

20世纪初，随着公理化的方法在数学上的广

泛应用，概率的公理化定义最终确定，即柯尔

莫哥洛夫给出的公理.它就是我们上面所提到的

3个性质，最终在此基础上建立起了现代的概

率论.

样本空间，即必然事件的概率为1.

概率的公理化定义

对于任何事件 ， ；(1) ( ) 0A P A 非负性

(2) ( ) 1P 对于样本空间 ， ； 规范性

互不相容11

(3) ( ) ( ), .n n

i i i

ii

P A P A A

可加性

, 1i j

A A i j n 该定义的优点：

可计算，计算简便；不受样本点个数的局限.

概率的统计定义，古典概型的定义都满足公理化定义.

非负性

A的样本点个数不少于B

概率的常用性质：

性质1 ( ) 0;P 最小性

不可能事件的样本点个数为0

性质 若 则2 , ( ) ( );A B P A P B 单调性

性质3 0 ( ) 1;P A 有界性

性质4 ( ) ( ) ( ) ( );P A B P AB P A P AB

减法公式( )A B A B

性质5 ( ) 1 ( );P A P A 逆事件公式A A

性质6 ( ) ( ) ( ) ( ).P A B P A P B P AB

加法公式

BA AB ( ) ( ) ( )P A B P A P B

A B

若在零存整取有奖储蓄活动中，每1000

张奖券中有头等奖一张（奖金500元）；二等

奖10张(每张奖金100元）；三等奖50张（每

张奖金20元）；末等奖100张（每张奖金10

元）.求某人买一张奖券没有得奖的概率.

例4

提示与分析：样本点个数有限，为古典概型.

解设试验E={1000张奖券抽奖}；

事件A ={买一张奖券得头等奖}；

B ={买一张奖券得二等奖}；

C ={买一张奖券得三等奖}；

D ={买一张奖券得末等奖}；F={买一张奖券没中奖}.

1000

1

样本点个数

10 50

100

161

839

839( )

1000P F

0.839

买一张奖券没有得奖的概率为0.839 .

是不是奖券买的少得奖概率小呢？

买1000张奖券肯定获头等奖吗？

二、条件概率1. 条件概率的概念

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些

附加信息(条件)下求事件的概率.

如父代的文化程度对子女文化程度会产生

影响.任意取一名大学生，他的父代是大学生

的概率是多少？

又如在股票交易中，如果用A表示股票的发

行量，B表示股票价格指数，则在已知股市价

格指数的情况下，对发行量是会产生影响的.

在事件B发生的条件下事件A发生的概率，称

为条件概率.记作 P(A|B)，一般 P(A|B) ≠ P(A).

如何求解呢？

条件概率亦即事件A的概率在事件B的概率中

所占比例.

在事件 B 发生的条件下，事件 A发生的条件概率为

定义 设A、B为同一试验的两个事件, 且P(B) > 0 ,

( )( | ) .

( )

P ABP A B

P B

例 5 某师范大学教育系一年级共有学生100人，其中女

生80人，来自甲省的40人中，有女生35人，设事件A为

从一年级学生中任抽一人为女生，事件B为从一年级学

生中任抽一人来自甲省，求从来自甲省的学生中任抽一

人为女生的概率.

由题意我们可以得到如下表格所示信息：解

( )P A 从一年级学生中任抽一人为女生的概率

( )P B 从一年级学生中任抽一人来自甲省的概率

( | )P A B 从甲省中任抽一人为女生的概率

1008020合计

604515非甲省

40355甲省

合计女男性别

生源

由表可得： ( )P A

80 100

0.8 ; ( )P B 0.4 ;

40

( | )P A B 从甲省中任抽一人为女生的概率

( | )P A B

35

0.875 ;

40

100

( ).

( )

P AB

P B

条件概率定义合理

35100

40100

从一年级学生中任抽一人为女生的概率从一年级学生中任抽一人来自甲省的概率

2. 乘法公式

条件概率的定义

易得乘法公式：

( )( | )

( )

P ABP A B

P B ，

( ) ( | ) ( ) .P A B P A B P B

( ) ( | ) ( ) .P A B P B A P A

P(A) > 0时，有同理可得

( )P B

某工厂有一批零件共100个，其中有10个次

品，从这批零件中随机取两次，每次取一件，取

后不放回，求两次都取到正品的概率.

例6

解 设 Ai 表示 第 i 次取到正品, i = 1 , 2 ,

则两次都取到正品的事件为 1 2.A A

由乘法公式得： 1 2 1 2 2( ) ( | ) ( ),P A A P A A P A

或 1 2 2 1 1( ) ( | ) ( ) .P A A P A A P A

1( )P A

第1次取到正品

不符合现实情况

90;

100

2 1( | )P A A

第1次取到正品的前提下，第2次取到正品

89;

99

1 2 2 1 1( ) ( | ) ( )P A A P A A P A

90 890.809 .

100 99

两次都取到正品的概率为0.809 .

解

两个学生依次从10道试题中各抽一题口试，

设抽到每道试题是等可能的. 如果第一个学生把

抽到的试题放回去，第二个学生再抽，求两个学生

都抽到试题1 的概率.

例7

由已知得：

设 Ai 表示 第 i 个学生抽到试题1, i = 1 , 2 ；

则两个学生都抽到试题1的事件为 1 2.A A

由乘法公式得： 1 2 2 1 1( ) ( | ) ( ),P A A P A A P A

1( )P A

1;

10

1 2 2 1 1( ) ( | ) ( )P A A P A A P A

1 10.01 .

10 10

2 1( | )P A A

1;

10

抽到试题放回，不影响第二个学

生抽题

两个事件独立（两者之间的出现没有关系).

若P(A|B)=P(A)，则称A 对B 独立，即B 的发生不

影响A 发生的概率，

( ) ( | ) ( ) ,P A B P A B P B

( )P A 定义

若事件A对B独立，则B对A也独立 . ( | ) ( )P B A P B

也称两事件相互独立.

由乘法公式

( ) ( ) ( ) ,P A B P A P B得

类似的，

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

n nP A A A P A P A P A

若n 个事件相互独立，则

也相互独立.

若两事件A、B独立，则 , ,A B A B A B与 与 与

( ) ( ) ( ) .P A B P B P A

解

有三名射击队员彼此独立地向同一目标射击，

击中率为0.9，0.8，0.7，求目标被击中的概率.例8

设Ai 表示第i人击中目标，i = 1 , 2 , 3 ；

B 表示目标被击中，则 1 2 3,B A A A

1( ) 0.9 ;P A 由已知得

( )P B

所以

2( ) 0.8 ;P A 3

( ) 0.7 ;P A

1 ( )P B 1 2 3

1 ( )P A A A

1 2 31 ( )P A A A

对偶率

相互独立1 2 3, ,A A A 1 2 3

1 [1 ( )] [1 ( )] [1 ( )]P A P A P A 1 2 3

1 ( ) ( ) ( )P A P A P A

1 0.1 0.2 0.3 0.994 .

目标被击中的概率是0.994 .

设 满足 ，

且 则称 构成一个完备事件组.对

任一事件 ，则有全概率公式

1

1

( 1, 2, , ) , , ( , 1, 2, , )

, ( 1, 2, , )

( ) ( ) ( | ).

i i j

n

i i

i

n

i i

i

A i n A A i j i j n

A A i n

B

P B P A P B A

=Ω

5A

3A

Ω

三、全概率公式和贝叶斯公式1. 全概率公式

事实上，1

( ) ( )n

i

i

P B P A B

1

( )n

i

i

P A B

1

( | ) ( ) .n

i i

i

P B A P A

乘法公式

加法公式

1A 4

A

2A

某厂有四个分厂生产同一种产品，这四个分

厂的产量分别占全厂总产量的15%，20%，30%，

35%.又知这四个分厂的次品率分别是0.05，0.04，

0.03，0.02，现从该厂产品中任取一件，问恰好抽

到次品的概率为多少？

例9

解 设Ai 表示任取一件为第 i 个分厂的产品，i = 1,2,3,4；

1( ) 0 .15 ;P A 2

( ) 0.2 ;P A 3

( ) 0 .3 ;P A

B 表示任取一件为次品.

由已知得

4( ) 0 .35 ;P A 1

( | ) 0.05 ;P B A 2

( | ) 0.04 ;P B A

3( | ) 0.03 ;P B A

4( | ) 0.02 ;P B A

( )P B

4

1

( ) ( ) ( | )i i

i

P B P A P B A

由全概率公式得

所以从该厂中任取一件产品，恰好抽到次

品的概率为3.15% .

0 .0 5 0 .00 .1 5 0 .2 04 0 .0 3 0.3 0 .3 5 .0 2

0.0315 .

次品率为0.05，0.04，0.03，0.02

占全厂总产量的15%，20%，30%，35%

2. 贝叶斯公式

在例 9中，若该厂规定，出了次品要追究

有关分厂的责任，现在从生产的产品中任取

一件发现为次品，但该件产品生产标志已脱

落，不知道是哪个分厂生产的，问哪个分厂

可能性大，即哪个分厂的责任比较大.

所求问题为在抽到次品的条件下，产品为

哪个分厂生产的概率（ ）大.( | )i

P A B

提示与分析：

( )( | )

( )

i

i

P A BP A B

P B

4

1

( ) ( ) ( | )j j

j

P B P A P B A

由条件概率公式得：

所以

4

1

( ) ( | )( | ) .

( ) ( | )

i i

i

j j

j

P A P B AP A B

P A P B A

( )P B

如何求 ？( )i

P A B

全概率公式

贝叶斯公式

所求问题为在抽到次品的条件下，产品为

哪个分厂生产的概率（ ）大.( | )i

P A B

次品是第4分厂生产的概率

4 4( ) ( | )

( )

P A P B A

P B

如：

4 4

4 4

1

( ) ( | )( )

( ) ( | )j j

j

P A P B AP A

P A P B A

0.35 0.020.222 .

0.0315

任取一件产品是第4分厂的概率

第4分厂出现次品的概率

任取一件产品为次品的概率

设 满足

，

且 则称 构成一个完

备事件组.且 则对任一事件 ，有

1

1

( 1, 2, , ) , ,

( , 1, 2, , )

, ( 1, 2, , )

( ) 0,

( ) ( | )( | ) .

( ) ( | )

i i j

n

i i

i

i

i i

i n

j j

j

A i n A A i j

i j n

A A i n

P A B

P A P B AP A B

P A P B A

Ω

贝叶斯公式

贝叶斯公式

5A

3A

Ω1

A 4A

2A

课后作业

习题 七 (p212-213)

1， 4， 6