力学の世界 -...
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力学の世界力学の世界
いきなり質問１いきなり質問１
大小二つの鉄球があります。これを同時に 1m の高さから落とすと、どうなるでしょう？
大きい鉄球の質量は（ ）ｇ
小さい鉄球の質量は（ ）ｇ
(a) 大きい鉄球が先に床に着く
(b) 小さい鉄球が先に床に着く
(c) 二つともほとんど同時に床に着く( ) ともほとんど同時 床 着く
落下運動：アリストテレス落下運動：アリストテレス
人類にとって最も身近な謎の一つ
いろいろな人が議論し考えてきました
アリストテレス(BCE384-322)：「万学の祖」
様々な物事を観察し、体系づけた：科学的精神の源流の一人
「落下速度はその物体の質量に比例する」
「落下速度は媒体の密度に反比例する」
何故落ちるのか？を追求した
「全ての物体は自然の摂理に適った自らの存在すべき場所を希求しているからである」希求しているからである」
これはこれで（哲学的には）立派な説明
現象を定量的に説明していない→科学理論とは言えない 現象を定量的に説明していない 科学理論とは言えない
ガリレオの登場ガリレオの登場
ガリレオ(CE1564-1642)：「近代科学の父」何故落ちる という疑問よりも 「どのように 落ちるのかを深く考え 何故落ちる？という疑問よりも、「どのように」落ちるのかを深く考えようとした
理想的な状態を考えることで（思考実験）、本質を捉えようとした
見出した本質から理論を立てて、実験で検証しようとした
アリストテレスの説に疑問を抱いた（ベネデ テ の主張） アリストテレスの説に疑問を抱いた（ベネディッティの主張） アリストテレスによると、大小二つの鉄球があるとき、重い大きい鉄球のほうが早く落ちるという。では、その二つの鉄球をくっつけたらどうなるのだろう？だろう？
アリストテレスによれば重さがさらに増したのだから、大きい鉄球より早く落ちるはずだ
しかし、小さい鉄球は大きい鉄球より遅く落ちるのだから、くっつけたら大きい鉄球が落ちる足を引っ張るのではないか？つまり、くっつけた球は大きい鉄球より遅く落ちなくてはならないはずだ
考 これは矛盾だ。これを解決するには大小の鉄球は同じ速さで落ちると考えるべきだ
落下運動：ピサの斜塔の実験（仮説と検証）落下運動：ピサの斜塔の実験（仮説と検証）
「材質が同じでも重さの異なる２つの物体は、同じ媒体を通過する際に、アリストテレスがいうようにその重さに比例した速さで動くのではなく、同じ速さで動く…このことをピサの斜塔の頂上からの実験を繰り返して 他の教授ピサの斜塔の頂上からの実験を繰り返して、他の教授、哲学者そして学者全体の面前で確かめました」（ヴィヴィア ニの書簡1654年より）アーニの書簡1654年より）
落下運動：ピサの斜塔の実験（仮説と検証）落下運動：ピサの斜塔の実験（仮説と検証）
「材質が同じでも重さの異なる２つの物体は、同じ媒体を通過する際に、アリストテレスがいうようにその重さに比例した速さで動くのではなく、同じ速さで動く…このことをピサの斜塔の頂上からの実験を繰り返して 他の教授ピサの斜塔の頂上からの実験を繰り返して、他の教授、哲学者そして学者全体の面前で確かめました」（ヴィヴィア ニの書簡1654年より）アーニの書簡1654年より）
仮説：物体の落下速度は、その物体の密度で決まる
実験 よる検証 ピサ 斜塔 頂上から 実験実験による検証：ピサの斜塔の頂上からの実験
一つの実験だけではなく、条件を変えながら繰り返し検証する証する
いきなり質問その２いきなり質問その２
鉄球とアルミ球とピンポン玉を同時に 1mの高さから落とすと、どうなるでしょう？
鉄球の質量は（ ）ｇ
アルミ球の質量は（ ）ｇ
ピンポン玉の質量は（ ）ｇ
(a) 鉄球、アルミ球、ピンポン玉の順で床に着く
(b) 鉄球とアルミ球はほぼ同時だけど、ピンポン玉はやや遅れて床に着く
(c) 鉄球もアルミ球もピンポン玉もほぼ同時に床に着く
落下運動落下運動
ガリレオは当初、物体の落下速度はその物質の密度に比例する、と考えました
ところが、実際に実験してみると、どうやらそうではないことに気付き、むしろ、物体の密度や質量に関わらず、すべての物体は同じ速度で落ちると考えたほうがよいと気付きました気付きました
アリストテレスがすでに気付いていたように、地上で行う落下実験には空気の抵抗の影響があります。
（再掲）落下運動（再掲）落下運動
人類にとって最も身近な謎の一つ
いろいろな人が議論し考えてきました
アリストテレス(BCE384-322)：「万学の祖」
観察を重視した：科学的精神の源流の一人
「落下速度はその物体の質量に比例する」
「落下速度は媒体の密度に反比例する」
何故落ちるのか？を追求した
「全ての物体は自然の摂理に適った自らの存在すべき場所を希求しているからである」希求しているからである」
これはこれで（哲学的には）立派な説明
定量的な説明にはなっていない→科学理論とは言えない 定量的な説明にはなっていない 科学理論とは言えない
落下運動落下運動
ガリレオは当初、物体の落下速度はその物質の密度に比例する、と考えました
ところが、実際に実験してみると、どうやらそうではないことに気付き、むしろ、物体の密度や質量に関わらず、すべての物体は同じ速度で落ちると考えたほうがよいと気付きました気付きました。
アリストテレスがすでに気付いていたように、地上で行う落下実験には空気の抵抗の影響があります。ガリレオ「空気がな れば す 物体 速度 落ちるは「空気がなければ」すべての物体は同じ速度で落ちる
と考えたのです（理想化された状態での法則）
質問その３：落下してゆく物体の速さは？質問その３：落下してゆく物体の速さは？
鉄球を落とすとき、その落下速度はどうなるでしょう？
(a) 鉄球はずっと同じ速さで落ちる
(b) はじめのうちはだんだん速くなるが すぐに一定の速(b) はじめのうちはだんだん速くなるが、すぐに 定の速さになる
(c) 速さはどんどん速くなる(c) 速さはどんどん速くなる
質問その３：落下してゆく物体の速さは？質問その３：落下してゆく物体の速さは？
鉄球を落とすとき、その落下速度はどうなるでしょう？
(a) 鉄球はずっと同じ速さで落ちる
(b) はじめのうちはだんだん速くなるが すぐに一定の速(b) はじめのうちはだんだん速くなるが、すぐに 定の速さになる
(c) 速さはどんどん速くなる(c) 速さはどんどん速くなる
質問その４：落下していく物体の速度は質問その４：落下していく物体の速度は
ガリレオの観察
落下する物体の速度はどんどん速くなるようだ。
では、どのように速くなっていくのでしょう？
(a) 落下した距離に比例して速くなっていく
(b) 落下した時間に比例して速くなっていく(b) 落下した時間に比例して速くなっていく
ガリレオ：落下速度に関する仮説ガリレオ：落下速度に関する仮説
ガリレオの観察
落下する物体の速度はどんどん速くなるようだ。
ガリレオが立てた仮説
落下速度は 落下した距離に比例するのではないか？ 落下速度は、落下した距離に比例するのではないか？
→ ガリレオはこの仮説を出版しました
しかし、思考を続けるうちに、この仮説にも矛盾があることに気付きましたに気付きました。
ガリレオの思考実験ガリレオの思考実験
物体の落下速度が落 た距離 比例
落とし始める地点
落下した距離に比例するとすると、物体はいつまでたっても落ちてこないというこ落ちてこないということになってしまうのではないか？
これは矛盾だ。仮説 これは矛盾だ。仮説が間違っているに違いない
ガリレオ：落下速度に関する仮説ガリレオ：落下速度に関する仮説
観察：落下する物体の速度はどんどん速くなるようだ。
仮説仮説
落下速度は、落下した距離に比例するのではないか？
落下速度は 落下した時間に比例するのではないか？ 落下速度は、落下した時間に比例するのではないか？
ガリレオ：落下速度に関する仮説ガリレオ：落下速度に関する仮説
観察：落下する物体の速度はどんどん速くなるようだ。
仮説仮説
落下速度は、落下した距離に比例するのではないか？
落下速度は 落下した時間に比例するのではないか？ 落下速度は、落下した時間に比例するのではないか？
どうやったら確かめられるだろう？どうやったら確かめられるだろう？
どんどん変わっていく速度を測るのは大変
距離を測る は比較的簡単 距離を測るのは比較的簡単
時間と距離の関係を導くことができるか？
ガリレオ：時間と距離の関係を導くガリレオ：時間と距離の関係を導く
物体が一定速度のときの時間と距離の関係は？
→（距離）＝（速度）×（時間）
l = v0t0
ガリレオが直面した問題ガリレオが直面した問題
物体の速度が変化しているときの時間と距離の関係は？
v gt のとき l は t のどんな関数か？ v = gt のとき、l は t のどんな関数か？
ガリレオ：時間と距離の関係を導くガリレオ：時間と距離の関係を導く
物体が一定速度のとき l = v0t
移動距離 v0t はこの面積ではないか！
v0
ガリレオ：時間と距離の関係を導くガリレオ：時間と距離の関係を導く
物体の速度が時間に比例する（ v = gt ）とき
落下距離を l 落下時間を t とすると
v = gt
移動距離はこの面積に違いない！
gt
面積は gt212
t
ガリレオからニュートンへ：微分法・積分法の誕生微分法・積分法の誕生
ニュートンは同じ問題を微小な時間の間は速度が一定と考えて、それを足し合わせる、という手法で考えました。
これが微分法・積分法の誕生です。
v = gt
ガリレオ：検証はどうやったのか？ガリレオ：検証はどうやったのか？
仮説：落下速度は、落下した時間に比例する
仮説から導かれる結論：
これを検証するにはどうすればよいか？
どうやって時間を測るか？ どうやって時間を測るか？
どうやって距離を測るか？
ガリレオはどうやって自分の仮説を確かめたのでしょう？
次週までに各自考えてみてください