cociente incremental
TRANSCRIPT
Objetivos
Que el alumno sea capaz de:
Construir el concepto de derivada de una función
en un punto a partir de un enfoque físico.
Reconocer algunas aplicaciones que tiene la
derivada.
Adquirir niveles de expresión claros y formales.
Contenidos Velocidad media
Cociente incremental
Pendiente de una recta secante
Velocidad en un instante
Pendiente de la recta tangente
Derivada de una función
Contenidos Previos
Función lineal y función cuadrática. Representación gráfica y análisis de las mismas
Pendiente de una recta
Razones trigonométricas
Velocidad
MRU y MRUV
Limite, concepto
Manejo de la planilla de cálculo de Excel
Destinatarios
Alumnos de sexto año del nivel secundario de la
provincia de Buenos Aires
Cociente incremental
Situación problemática Dos automovilistas partieron de Buenos Aires y llegaron a Mar del Plata
al mismo tiempo. Los siguientes gráficos representan la distancia recorrida en cada instante por cada uno de los móviles:
Para pensar...
¿Por qué los dos gráficos son diferentes si tardaron lo mismo en llegar a Mar del Plata?
Varía la velocidad
Varía la distancia
Analicemos con detalle cada de las funciones…
Para el móvil que se desplaza con MRU, la velocidad del mismo coincide con la pendiente de la recta, la cual llamaremos velocidad media:
Velocidad media = Δy/Δx
A partir de ahora …A la velocidad media de un móvil la
denominaremos cociente incremental:
Δy/Δx = Cociente incremental
Este cociente nos indica el incrementode la variable Y con respecto a X.
En el caso del móvil que viaja con MRU:
El cociente incremental, ¿qué nos indica?
La variación del espacio con
respecto al tiempo
Cómo varía la velocidad con
respecto al tiempo
¿Cómo determinamos el cociente incremental dados dos puntos cualesquiera de una función?
Entre los puntos (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)) de una función cualquiera, el cociente incremental es:
Otro
Interpretación geométrica del cociente incremental:
La variación promedio o cociente incremental de una función:
¿Tiene alguna relación con el ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas?
¿Cuál será esa relación?
Analicemos una función lineal cualquiera…
A partir de la función: Quedando así:
Tomamos dos puntos cualesquiera de la recta:
(x0, y0) y (x1, y1)
Construimos un triángulo rectángulo, de tal manera que los catetos del mismo coincidan con los incrementos y de los puntos elegidos y la hipotenusa coincida con la recta dibujada.
Teniendo presentes las razones trigonométricas:
Entonces…
El cociente incremental o pendiente es igual a:
Trabajemos con el gráfico que modeliza la situación del automovilista que se desplaza con MRU
Si queremos determinar la amplitud del ángulo sombreado, ¿cuál será?
Para ir cerrando …
A partir de una situación problemática definimos el cociente incremental como la velocidad media de un móvil.
Y por último vimos que la pendiente de la recta desde el punto de vista geométrico lo podemos vincular con la tangente del ángulo.
Pero todavía nos falta mucho por recorrer en esta aventura…