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CM08/P18Introduction aux methodes numeriques d’optimisation

S. Mottelet

Universite de Technologie de Compiegne

S. Mottelet (UTC) CM08/P18 1 / 49

1 Problemes sans contrainteMotivationsNotions fondamentalesMethodes et algorithmes

2 Problemes avec contraintesMotivations, ExemplesElements de theorieMethodes et algorithmes

3 Problemes d’optimisation en regime transitoireMotivationsExempleCas general


1. Motivations1.1. Formulation generale des problemes d’optimisation

Forme standardminimiser

x∈Kf (x)

K = {x ∈ Rn,g(x) ≤ 0,h(x) = 0}

I f : Rn −→ R, g : Rn −→ Rm, h : Rn −→ Rp, continuesI g(x) ≤ 0 : contraintes d’inegaliteI h(x) = 0 : contraintes d’egalite

Probleme sans contrainte⇐⇒ K = Rn


1.2. ExemplesOptimisation d’un reservoir

d

L

Le volume V etant fixe, determiner d et L tels que le cout de fabrication

f (d ,L) = c1πdL + c2πd2

2

soit minimal, ou c1, c2 sont les couts unitaires des parties cylindrique etplane.


1.2. ExemplesIdentification de parametres

Determination de l’enthalpie et de l’entropie de reaction dans unprocessus de sorption d’hydrogene

I Apres avoir etabli une pression initiale, on fait varier la temperature parpaliers {T1, . . . ,Tn} et on observe la pression obtenue a l’equilibre{P1, . . . ,Pn}.

I Determiner ∆H et ∆S pour ajuster le modele

P = Patm exp

(∆HRT

+∆SR

)

minimiser∆H,∆S∈R

f (∆H,∆S) =n∑

i=1

(exp

(∆HRTi

+∆SR

)− Pi

Patm

)2

probleme de moindres carres


1.2. ExemplesOptimisation de reacteurs

On considere 4 reacteurs de volume Vi , i = 1, . . . ,4,∑4

i=1 Vi = 20,parfaitement melanges et a l’etat stationnaire. L’espece dont la concentrationest notee C reagit a la vitesse r = −kCα dans chaque reacteur. Determinerles valeurs de Vi , i = 1, . . . ,4 rendant minimale la concentration C4.

minimiserV∈K

f (V ) = C4

Ici K = {V ∈ R4, Vi > 0,∑4

i=1 Vi = 20} et C est solution de

0 = q(Ci−1 − Ci )− kViCαi , i = 1 . . . 4

Presence de variables non independantes


2. Notions fondamentales2.1. Elements de calcul differentiel

Dans Rn on note x =

x1...

xn

, x> = (x1, . . . , xn)

Produit scalaire, norme : x>y =∑n

i=1 xiyi , ‖x‖ = (x>x)1/2

g : Rn → Rm define par g(x) = (g1(x), . . . ,gm(x))> est differentiable en xs’il existe une matrice g′(x) de taille m × n telle que

g(x + h) = g(x) + g′(x)h + ‖h‖ε(h)

I [g′(x)]ij =∂gi

∂xj(x)

I Approximation de f ′(x) ?

I Cas ou m = 1, f : Rn → R, on note ∇f (x) = f ′(x)> le gradient de f .


2.1. Elements de calcul differentielMatrice hessienne

Dans le cas ou m = 1, f : Rn → R est differentiable deux fois s’il existeune matrice n × n symetrique note ∇2f (x) telle que

f (x + h) = f (x) +∇f (x)>h +12

h>∇2f (x)h + ‖h‖2ε(h)

I On a [∇2f (x)]ij =∂2f

∂xi∂xj(x)


2.1. Elements de calcul differentielConvexite

On dit que K ⊂ Rn est convexe si

∀x , y ∈ K , ∀λ ∈ [0,1], λx + (1− λ)y ∈ Kobjet convexe objet non convexe

x

y

x y


2.1. Elements de calcul differentielConvexite

On dit que g ⊂ Rn → Rm est convexe sur K si

∀x , y ∈ K , ∀λ ∈ [0,1], f (λx + (1− λ)y) ≤ λf (x) + (1− λ)f (y)

et strictement convexe si

∀x , y ∈ K , x 6= y , ∀λ ∈]0,1[, f (λx + (1− λ)y) < λf (x) + (1− λ)f (y).

I Cas m = 1

x y x y

I K = {x ∈ Rn, g(x) ≤ 0, h(x) = 0} est convexe si g est convexe et h affine.


2.1. Elements de calcul differentielConvexite, lien avec la matrice Hessienne

Une matrice symetrique A est definie positive si x>Ax > 0 pour toutx 6= 0, semi-definie positive si x>Ax ≥ 0 pour tout x 6= 0. On noterespectivement A > 0 et A ≥ 0.

A > 0⇐⇒ les valeurs propres de A sont strictement positives

A ≥ 0⇐⇒ les valeurs propres de A sont positives

f ⊂ Rn → R deux fois differentiable est convexe si et seulement si∇2f (x) ≥ 0, strictement convexe si ∇2f (x) > 0.


2.1. Elements de calcul differentielConvexite, lien avec la matrice Hessienne

Exemple : f (x , y) = x2 + 2y2 + x + y , ∇2f (x , y) =

(2 00 4

)> 0

-1

0

1

2

1

3

1

4

5

0 0-1 -1 -1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

La convexite est une notion fondamentale pour caracteriser l’existence etl’unicite des solutions des problemes d’optimisation.


2.2. Conditions d’optimalite (sans contrainte)Condition necessaire

Soit f : Rn → R differentiable et x tel que ∀x ∈ Rn, f (x) ≤ f (x). Alors∇f (x) = 0.

Cette condition n’est pas suffisante !

01

0.5

1

1

1.5

0

2

0

-1 -1

-21

-1.5

1

-1

-0.5

0

0

0

-1 -1

-11

-0.5

0.5

0

0.5

100.5

1

-0.5 0-0.5

-1 -1

f (x , y) = x2 + y2 f (x , y) = −x2 − y2 f (x , y) = x2 − y2


2.2. Conditions d’optimalite (sans contrainte)Condition suffisante

Soit f : Rn → R differentiable et x tel que ∇f (x) = 0. Si f est convexealors x est un minimum global de f : ∀x ∈ Rn, f (x) ≤ f (x).Si de plus f est strictement convexe, alors x est unique.

Dans le cas general, on definit la notion de minimum local.


2.2. Conditions d’optimalite (sans contrainte)Minimum local

On dit que x∗ est un minimum local de f s’il existe δ > 0 tel que

∀x tel que ‖x − x∗‖ < δ, f (x∗) < f (x)

Soit f deux fois differentiable. Si ∇f (x∗) = 0 et ∇2f (x∗) > 0 alors x∗ estun minimum local de f .

La plupart des algorithmes d’optimisation ont pour but de rechercher unminimum local de f !


3. Methodes pour les problemes sans contraintes3.1. Methode du gradient

Si f : Rn −→ R est differentiable, un minimum local x∗ peut etre trouve avecune methode de descente : etant donne x0, pour tout k > 0

1 choisir une direction dk telle que ∇f (xk )>dk < 02 choisir un pas ρk , tel que

xk+1 = xk + ρk dk ,

verifie (entre autres)f (xk+1) < f (xk ).

Le choix dk = −∇f (xk ) donne la methode du gradient ou steepest descentmethod

En pratique on essaye d’empecher que ρk soit trop petit tout en assurant unedecroissance suffisante.


3.1. Methode du gradientRecherche lineaire

Methode du gradient a pas fixe : on choisit ρ > 0 une fois pour toutes et

xk+1 = xk − ρ∇f (xk ).

Si ρ est suffisamment petit et si f possede certaines proprietes, alorsxk → x∗.

f (x) = x21 + x2

2 − x1x2 − x1 − x2

ρ = 0.2


3.1. Methode du gradientRecherche lineaire

Methode du gradient a pas optimal : on choisit ρk > 0 tel que

∀ρ > 0, f (xk − ρk∇f (xk )) ≤ f (xk − ρ∇f (xk ))

Si f possede certaines proprietes, alors xk → x∗.

f (x) = x21 + x2

2 − x1x2 − x1 − x2


3.1. Methode du gradientLimitations

La methode du gradient est tres lente lorsque ∇2f (x∗) est malconditionnee λn � λ1

Fonction de Rosenbrock : f (x) = (1− x1)2 + 100(x2 − x21 )2


3.2. Methodes de Newton et de quasi-NewtonMethode de Newton

L’idee de la methode de Newton consiste a lineariser en xk le systemed’equations non-lineaires ∇f (x) = 0 :

∇f (xk + h) = ∇f (xk ) +∇2f (xk )h + ‖h‖ε(h),

puis a definir xk+1 = xk + h ou h verifie le systeme d’equations lineaires

∇2f (xk )h = −∇f (xk ).

Cette methode prend en compte la metrique locale grace a ∇2f (xk ).


3.2. Methodes de Newton et de quasi-NewtonMethodes de quasi-Newton

xk+1 = xk −[∇2f (xk )

]−1∇f (xk ),

Si ∇2f (xk ) > 0 alorsdk = −

[∇2f (xk )

]−1∇f (xk )

est une direction de descente et le pas de la methode vaut toujours ρ = 1.

En pratique on remplace ∇2f (xk ) par une approximation Hk > 0 mise ajour a partir des valeurs successives de f (xk ) et de ∇f (xk ), qui si lamethode converge verifie

limk→∞

Hk = ∇2f (x∗)

et on ajoute une recherche du pas initialisee avec ρ0 = 1.

xk+1 = xk − ρk H−1k ∇f (xk ).

Exemple : methode BFGS (Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno)


4. LogicielsMATLAB

fminunc : methode BFGS.

Exemple pour la recherche du minimum de la fonction de Rosenbrock

options = optimoptions('fminunc','SpecifyObjectiveGradient',true,...'display','iter');

[x,fval,flag,out,g,H] = fminunc(@rosenbrock,[0;0],options);

function [f,g]=rosenbrock(x)f=[(1-x(1))ˆ2+(10*(x(2)-x(1)ˆ2))ˆ2];g=[-2*(1-x(1))+200*(-2*x(1))*(x(2)-x(1)ˆ2)

200*(x(2)-x(1)ˆ2)];end


4. LogicielsMATLAB

>> rosenFirst-order

Iteration Func-count f(x) Step-size optimality0 1 1 21 4 0.771191 0.0817342 5.342 5 0.610657 1 6.733 6 0.522449 1 7.114 8 0.261628 0.707498 1.88

(...)16 23 1.36218e-06 1 0.0080117 24 7.54543e-07 1 0.030418 25 3.43971e-09 1 0.0021919 26 1.54256e-11 1 7.13e-0520 27 4.67902e-15 1 1.03e-06

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less thanthe default value of the optimality tolerance.

On notera la valeur asymptotique du pas ρ = 1 !


1. Motivations, Exemples1.1 Un exemple de programme lineaire

CHAPTER 2: Developing Models for Optimization 7 1

EXAMPLE 2.10 LINEAR MATERIAL BALANCE MODELS In many cases in which optimization is applied, you need to determine the allocation of material flows to a set of processes in order to maximize profits. Consider the process diagram in Figure E2.10.

FIGURE E2.10 Flow diagram for a multiproduct plant.

Each product (E, F: G) requires different (stoichiometric) amounts of reactants according to the following mass balances:

Reactants Product (1-kg product)

Prepare a model of the process using the mass balance equations.

Solution. lbelve mass flow variables can be defined for this process. Let x,, x2, x, be the mass input flows of A to each process. Similarly let x4, x5, x6, and x7 be the indi- vidual reactant flows of B and C, and define x,, x9, and x,, as the three mass product flows (E, E G). Let x,, and x12 be the total amounts of A and B used as reactants (C is the same as x,). Thus, we have a total of 12 variables.

The linear mass balance constraints that represent the process are:

2A + B → E , 2A + B → F , 3A + 2B + C → G

ReactantMax. dispo.

(kg/j.)Cout

(euro/kg)A 40000 1.5B 30000 2.0C 25000 2.5

Procede Produit ReactantsCout prod.(euro/kg)

Prix de vente(euro/kg)

1 E 23 A, 1

3 B 1.5 42 F 2

3 A, 13 B 0.5 3.3

3 G 12 A, 1

3 B, 16 C 1 3.8

But : maximiser le profit en euro/j.


1. Motivations, Exemples1.1. Un exemple de programme lineaire

CHAPTER 2: Developing Models for Optimization 7 1

EXAMPLE 2.10 LINEAR MATERIAL BALANCE MODELS In many cases in which optimization is applied, you need to determine the allocation of material flows to a set of processes in order to maximize profits. Consider the process diagram in Figure E2.10.

FIGURE E2.10 Flow diagram for a multiproduct plant.

Each product (E, F: G) requires different (stoichiometric) amounts of reactants according to the following mass balances:

Reactants Product (1-kg product)

Prepare a model of the process using the mass balance equations.

Solution. lbelve mass flow variables can be defined for this process. Let x,, x2, x, be the mass input flows of A to each process. Similarly let x4, x5, x6, and x7 be the indi- vidual reactant flows of B and C, and define x,, x9, and x,, as the three mass product flows (E, E G). Let x,, and x12 be the total amounts of A and B used as reactants (C is the same as x,). Thus, we have a total of 12 variables.

The linear mass balance constraints that represent the process are:

Bilan de masse (x1, . . . , x12=flux en kg/j.) :

A = x11 = x1 + x2 + x3

B = x12 = x4 + x5 + x6

C = x7 =13

x10

x1 = 23 x8, x2 = 2

3 x9, x3 = 12 x10

x4 = 13 x8, x5 = 1

3 x9, x6 = 16 x10

Contraintes sur les reactants : x11 ≤ 40000, x12 ≤ 30000, x7 ≤ 25000Demande du marche : x8 ≥ 10000, x9 ≥ 10000, x10 ≥ 10000Profit :

f (x) = (4E + 3.3F + 3.8G)− (1.5A + 2B + 2.5C)− (1.5E + 0.5F + G)

= 2.5x8 + 2.8x9 + 2.8x10 − 1.5x11 − 2x12 − 2.5x7


1. Motivations, Exemples1.2. Un exemple de programme non lineaire

Reacteurs parfaitement melanges et a l’etat stationnaire. L’espece dont laconcentration est notee C reagit a la vitesse r = −kCα dans chaque reacteur.

minimiserC,V∈R4

f (C,V ) = C4,

sous les contraintes :

Vi ≥ 0, Ci ≥ 0, i = 1 . . . 4,4∑

i=1

Vi = 20,

q(Ci−1 − Ci )− kViCαi = 0, i = 1 . . . 4


2. Elements de theorie2.1. Remarque introductive

Dans l’exemple de programme lineaire, la fonction f (x) est lineaire

f (x) = 2.5x8 + 2.8x9 + 2.8x10 − 1.5x11 − 2x12 − 2.5x7

et on a

∀x ∈ R12, ∇f (x) = (0,0,0,0,0,0,0,2.5,2.8,2.8,−1.5,−2,−2.5)>

donc la solution x ne peut pas verifier ∇f (x) = 0 !

Dans le probleme d’optimisation a resoudre

minimiserx∈K

l’ensemble admissible K est different de R12,

Les conditions d’optimalite sont necessairement plus compliquees...


2. Elements de theorie2.2. Existence d’une solution dans le cas general

Si f : K ⊂ Rn → R est continue et si K est ferme et borne, alors il existex ∈ K tel que

∀x ∈⊂ Rn, f (x) ≤ f (x).

Exemple : f (x) = x et K = {x ∈ R, 1 ≥ x ≥ −1}

La solution est sur la frontiere de K !

Que se passe-t-il pour f (x) = x2 et K = {x ∈ R, 1 ≥ x ≥ −1}?

Les conditions d’optimalite sans contraintes sont necessairement un casparticulier des conditions d’optimalite avec contraintes


2. Elements de theorie2.3. Problemes avec contraintes d’egalite lineaires

Un exemple tres simple

minimiserx∈K

f (x) = x21 + x2

2 ,

avec K = {x ∈ R2, x1 + x2 − 1 = 0}.

x1 + x2 = 1⇔ (1,1)

(x1x2

)− 1

A l’optimum x = (0.5,0.5)>, il existeλ 6= 0 tel que

∇f (x) = −(

11

)λ

(le signe moins est arbitraire)



Theoreme de Lagrange

Soient f : Rn → R differentiable, A une matrice m × n, m ≤ n, b ∈ Rm etK = {x ∈ Rn, Ax = b}. Si x ∈ K verifie

∀x ∈ K , f (x) ≤ f (x),

alors il existe λ ∈ Rm tel que

∇f (x) + A>λ = 0.

Si de plus rang A = m alors λ est unique.

Si on definit le Lagrangien

L(x , λ) = f (x) + λ>(Ax − b),

alors la condition necessaire d’optimalite ci-dessus s’ecrit aussi

∇xL(x , λ) = 0.



Condition necessaire et suffisante pour un optimum local :

S’il existe x ∈ K et λ ∈ Rm tels que

Ax = b,

∇f (x) + A>λ = 0,

∇2xxL(x , λ) > 0,

alors x est un minimum local strict.

ici ∇2xxL(x , λ) = ∇2f (x) !


2. Elements de theorie2.4. Problemes avec contraintes d’egalite non-lineaires

f : Rn → R, h : Rn → Rm differentiables deux fois.

minimiserx∈K

f (x)

ou K = {x ∈ Rn,h(x) = 0}

Condition necessaire et suffisante pour un optimum local :

S’il existe x ∈ K et λ ∈ Rm tels que

h(x) = 0,

∇f (x) +∇h(x)λ = 0,

∇2xxL(x , λ) > 0,

alors x est un minimum local strict.

On a note ici L(x , λ) = f (x) + λ>h(x) et ∇h(x) = h′(x)>.


2. Elements de theorie2.5. Problemes avec contraintes d’inegalite

Il est toujours possible de transformer un probleme avec contraintesd’egalite et d’inegalite sous la forme standard

f : Rn → R, h : Rn → Rm

minimiserx∈K

f (x)

K = {x ∈ Rn, h(x) = 0, x ≥ 0}.

Exemplex1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 + x2 − 1 ≤ 0

En ajoutant la variable d’ecart x3 on obtient

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x1 + x2 + x3 − 1 = 0


2. Elements de theorie2.5. Problemes avec contraintes d’inegalite

Les contraintes x1 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0 ne sont pas toutes actives en x !Lagrangien

L(x , λ, µ) = f (x) + λ>h(x)− µ>x

Conditions necessaires de Kuhn et Tucker

Si x est solution du probleme standard avec contraintes d’inegalite, alorsil existe (λ, µ) tels que

∇f (x) +∇h(x)λ− µ = 0,µ ≥ 0,

µixi = 0, i = 1 . . . n

Conditions de complementarite : si une inegalite n’est pas active, i.e.xi > 0, alors µi = 0.

Le signe de µi se justifie par l’absurde.


3. Methodes et algorithmes3.1. Methode SQP

Cas des contraintes d’egalite

La methode SQP (Sequential Quadratic Programming) consiste aappliquer la methode de Newton sur le systeme d’optimalite (lesinconnues sont x et λ) :

h(x) = 0,∇f (x) +∇h(x)λ = 0,

En pratique on utilise une methode de Quasi-Newton avec uneapproximation definie positive du Hessien du Lagrangien.

Chaque iteration de la methode SQP peut etre vue comme la resolutiond’un probleme d’optimisation d’une fonction quadratique avec contraintesd’egalite lineaires .


3. Methodes et algorithmes3.2. Methode de points interieurs, algorithme primal

Cas general ou les contraintes sont h(x) = 0 et x ≥ 0.

La methode de points interieurs consiste a resoudre (par exemple avec lamethode SQP) la suite de problemes

minimiserx∈K

B(x , tk ) = f (x)− tkn∑

i=1

log xi

K = {x ∈ Rn, h(x) = 0}.

ou (tk ) est une suite verifiant tk > 0 et tk → 0.

B(x , t) est une fonction barriere

L’ecriture des conditions d’optimalite permet de montrer que

limk→∞

tkxi (tk )

= µi .


3. Methodes et algorithmes3.2. Methode de points interieurs, algorithme primal-dual

Une solution pour t > 0 du probleme avec barriere verifie

∇f (x) +∇h(x)λ− tX−1e = 0,h(x) = 0,

ou X = diag(x) et e = (1, . . . ,1)>. En introduisant une nouvelle variableduale µ telle que Xµ = te on obtient le systeme d’equations

∇f (x) +∇h(x)λ− µ = 0,Xµ = te,

h(x) = 0.

Algorithme primal-dual : on considere une suite (tk )→ 0 et pour chaquevaleur de tk on applique la methode de Newton a la resolution en (x , λ, µ)du systeme ci-dessus.


3. Methodes et algorithmes3.3. Methodes utilisees dans MATLAB

Dans MATLAB la fonction fmincon propose (entre autres) la methodede points interieurs (algorithme primal-dual) et la methode SQP. Lafonction linprog est dediee aux programmes lineaires et utilise pardefaut une methode de points interieurs.La forme generale des problemes pouvant etre resolus est la suivante :

minimiserx∈Rn

f (x),

sous les contraintes

Ax ≤ b,Aeqx = beq ,

li ≤ xi ≤ ui , i = 1 . . . n,g(x) ≤ 0,h(x) = 0.


1. MotivationsProbleme de commande optimale

minimiseru∈C(0,T ), θ∈Rp

J(X (tf ))

sous les contraintesddt X (t) = f (X (t),u(t), θ), t ∈ [0, tf ]contraintes sur ucontraintes sur θcontraintes sur X

L’evaluation de J necessite de resoudre une equation differentielle

L’une des deux inconnues du probleme est une fonction



Hypothese de travail : la fonction t 7→ u(t) appartient a un espace dedimension finie

u(t) =N∑

k=1

ukφk (t),

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

u(t)

u1u2

u3

u5

u4



minimiserθ∈Rp

J(X (tf ))

sous les contraintesddt X (t) = f (X (t), θ), t ∈ [0, tf ]contraintes sur θ

Quand p est grand le calcul approche des derivees de J est tres couteux

Le calcul des derivees exactes est necessaire !


2. Exemple2.1 Reacteur batch avec deux reactions paralleles

A k1−→ B, A k2−→ C, k1 = k10 exp

(− E1

RT

), k2 = k20 exp

(− E2

RT

),

Cinetique sur [0, tf ] :

ddt A = −(k1 + k2)A, A(0) = A0, (1)ddt B = k1A, B(0) = 0, (2)

ou on a note A,B les concentrations respectives.

But : maximiser la concentration B(tf ) en agissant sur T


2. Exemple2.1 Reacteur batch avec deux reactions paralleles

En posant

A(t) = A0 a(t), B = A0b(t), β =E2

E1, α =

k20

kβ10

,

on peut ecrire (1)-(2) sous la forme equivalente

ddt a = −f (k1)a, a(0) = 1, (3)ddt b = k1a, b(0) = 0, (4)

ou on a note f (k1) = k1 + αkβ1 .

Optimiser par rapport a T ⇐⇒ Optimiser par rapport a k1


2. Exemple2.2 Reacteur batch isotherme avec deux reactions paralleles

Probleme d’optimisation (cas isotherme)

minimiserk1∈R+

J(k1) = −b(tf )

sous les contraintesddt a = −f (k1)a, a(0) = 1, (5)ddt b = k1a, b(0) = 0, (6)

I Calcul de J ′(k1) : il suffit de deriver (5)-(6) par rapport a k1

Attention, a(t) et b(t) sont des fonctions de k1 !


2. Exemple2.2 Reacteur batch isotherme avec deux reactions paralleles

Les fonctions de sensibilite

Sa(t) =∂a(t)∂k1

, Sb(t) =∂b(t)∂k1

sont obtenues en resolvant simultanement les equations obtenues apresderivation

ddt a = −f (k1)a, a(0) = 1, (7)ddt b = k1a, b(0) = 0, (8)

ddt Sa = −f (k1)Sa − f ′(k1)a, Sa(0) = 0, (9)ddt Sb = k1Sa + a, Sb(0) = 0. (10)

et au final,

J ′(k1) = −∂b(tf )∂k1

= −Sb(tf ).


3. Cas generalMatrice de sensibilite

X (t) ∈ Rn et θ ∈ Rp (parametres)

La matrice n × p de sensibilite S(t), definie par

[S(t)]i,j =∂Xi (t)∂θj

,

est obtenue par resolution du systeme de n + np equations differentielles :

dXdt

= f (X , θ),

dSdt

=∂f∂X

(X , θ)S +∂f∂θ

(X , θ).

Elle permet de calculer le gradient par rapport a θ de toute fonctioneconomique calculee a partir de X .


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