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Cálculo Vectorial

Julio C. Carrillo E.*

1. Campos vectoriales

1.1. De�nición de campo vectorial

Un campo vectorial es una función con dominio en Rn e imagen en Rn. Un campo vectorial puede dependero no del tiempo. Si el campo no depende del tiempo (i.e., su magnitud y dirección no dependen del tiempo)se dice que el campo vectorial está en estado estable; si depende del tiempo se dice que el campo vectorialestá en estado no estable. Así,

1. Un campo vectorial en estado estable se denota como F(x; t) donde F : D � I � Rn � R! Rn.

2. Un campo vectorial en estado no estable se denota como F(x) donde F : D � Rn ! Rn.

Desde el punto de vista físico los campos vectoriales tienen dos interpretaciones:

1. Los campos de fuerza � como lo son los gravitacionales, electrostáticos y electromagnéticos� surgende diferentes maneras y todos ellos dan origen a un campo vectorial: en un punto x0 del plano o delespacio, se puede poner un vector que tiene la magnitud y la dirección de la fuerza que el campo ejercesobre una partícula unitaria de prueba que está localizada en el punto.

2. Los campos de �ujo y los campos de velocidades que surgen del movimiento de un �uido en el plano oen el espacio. En este caso se asume que el movimiento está en estado estable.

Los campos de �ujos pueden tener fuentes o sumideros; i.e., lugares en donde el �ujo es agregado oremovido del �ujo.

El campo de velocidades de un �ujo se denota como V(x), lo cual da la dirección y magnitud (rapidez)del �ujo en el punto x. Si es �(x) es la densidad del �uido entonces se de�ne el campo del �uido comoF(x) = �(x)V(x), que puede ser interpretado de la siguiente forma: la dirección de F es la dirección del�ujo y la magnitud F es la tasa de transporte de masa (por unidad de área) en el punto x en la direccióndel �ujo. Esto es, la magnitud de F es la tasa por unidad de área a la que la masa es transportada através de una pequeña trozo de plano perpendicular al �ujo en el punto x.

Por ejemplo, el campo vectorial de fuerza electrostática F que surge de una carga positiva unitaria puesta enel origen da que, en unidades apropiadas, el campo vectorial está dirigido radialmente hacia afuera del origeny tiene magnitud 1=�2, donde � es la distancia desde el origen. Es decir,

F(x; y; z) =xi+ yj+ zk

�2; � =

px2 + y2 + z2

El campo de velocidades de un �ujo F que rota con velocidad angular ! constante alrededor del eje z puedeconsiderarse como un �ujo en el plano xy, de la forma

F(x; y; z) = !(�yi+ xj)

*Escuela de Matemáticas, UIS. E-Mail: [email protected]

1

Material de clase, versión preliminar

2 Para uso exclusivo en el salón de clase �UIS

1.2. Campos vectoriales conservativos, divergencia y rotacional

Desde el punto vista físico, existen tres tipos clasi�caciones de los campos de fuerzas y de velocidades. Ellosigualmente de�nen el mismo tipo de campos vectoriales.

De�nición 1 Un campo vectorial F es conservativo si existe un campo escalar f tal que F = rf . El campoescalar f es llamado la función de potencial de F.

De�nición 2 Si F = P i+Qj+Qk es un campo vectorial diferenciable, se de�ne el rotacional de F como

rotF = r� F =

��i j k@x @y @zP Q R

��Si rotF es un vector no nulo se dice que F es rotacional, e irrotacional en caso contrario.

Teorema 3 Un campo vectorial es irrotacional si y solo si el campo vectorial es conservativo.

De�nición 4 Si F = P i+Qj+Qk es un campo vectorial diferenciable, se de�ne la divergencia de F como

divF = r � F = Px +Qy +Rz

Si divF es cero en un punto, se dice que F tiene divergencia nula y en caso contrario que tiene divergenciano nula. Si F tiene divergencia no nula y divF > 0 se dice que F tiene en el punto una fuente, y si divF < 0que F tiene en el punto un sumidero.

2. Cálculo vectorial en el plano

2.1. Curvas algebraicas y paramétricas en el plano

Una curva C en el plano xy se de�ne explícitamente como el conjunto de todos los puntos (x; y) del planoque satisfacen la ecuación E(x; y) = 0. Si de la ecuación de la curva C se puede obtener una variable enfunción de la otra, digamos y = f(x), entonces la curva se puede representar explícitamente como la grá�cade una función f(x). Finalmente, si la curva C es la grá�ca de una función vectorial r : [a; b] � R! R2 �i.e.,Gr = fr(t) : a � t � bg = C�se dice C es parametrizable y que la función vectorial r es su parametrización.Si r(a) = r(b) se dice que C es una curva cerrada. La orientación positiva de C se considera en sentidocontrario a las manecillas del reloj; en caso contrario la orientación será negativa. Por convención se asumeque r preserva la orientación positiva de C. Se dice que C es suave si r(t) es C1, es decir, tiene primeraderivada continua; C es suave a trozos si C es la unión de un número �nito de curvas suaves. Si r(t) es unoa uno se dice que C es simple. C también puede ser cerrada simple y suave a trozos.

2.2. Regiones en el plano

Las regiones del plano xy que se consideran son regiones conexas, simplemente conexas y múltiplementeconexas.Sea D una conjunto cerrado y acotado del plano.

1. D es conexo si cualesquiera dos puntos de D pueden ser conectados por una curva que esté completa-mente contenida en D. Regiones conexas no pueden ser la unión de conjuntos disjuntos.

2. D es simplemente conexo si D es conexo, no tiene huecos y su frontera, denotada @D, es una curvasuave cerrada simple. Formalmente, D es simplemente conexo si toda curva cerrada simple contenidaen D tiene su interior completamente contenido en D.

Si D es simplemente conexo y su frontera @D está orientada en sentido positivo, entonces se diceque la orientación positiva de D es de adentro hacia afuera de D, y negativa en caso contrario. Estaorientación se puede establecer mediante el vector normal exterior en cada punto de la frontera. Seconsideran vectores unitarios, pues ellos únicamente contienen dirección. Supongamos que la frontera@D de D está orientada positivamente y que T es el vector tangente unitario a @D en un punto Pcualesquiera de @D. Entonces el vector n = T � k es el vector normal unitario a @D en P .


Julio C. Carrillo E., Esc. de Matemáticas UIS 3

3. D es múltiplemente conexo si D no es simplemente conexo. Es decir, D es múltiplemente conexo si Des conexo y su frontera @D es la unión de un número �nito de curvas cerradas simples suaves a trozosC1; C2; : : : ; Cn tales que C1 contiene en su interior las curvas C2; : : : ; Cn.

Si D es múltiplemente conexo, su orientación positiva sigue aún siendo de adentro hacia afuera. Estohace, de acuerdo con la de�nición anterior, que C1 este orientada positivamente y las curvas C2; : : : ; Cnestén orientadas negativamente.

2.3. Campos vectoriales en el plano

Sea F un campo vectorial de fuerzas o velocidades en el plano que actúa sobre una partícula que se muevea lo largo de una trayectoria C en el domino del campo. Si F = P i + Qj, y T y n representan los vectorestangente unitario y normal unitario en punto (x; y) de C, entonces el campo vectorial F se puede escribir dela forma

F = (F � T )T + (F � n)nen ése punto. Los escalares F � T y F � n se llaman la componente tangencial y la componente normal de F alo largo de C, respectivamente. El estudio del comportamiento de F a lo largo de sus componentes normal ytangencial es la parte central del Cálculo Vectorial, y de suma importancia en la física, la matemática y laingeniería.

2.4. Integral de línea

Sea C una curva simple suave a trozos del plano que está parametrizada por la función vectorial r(t) cona � t � b; o mediante la longitud de arco r(s) donde 0 � s � l. Como

s = s(t) =

Z t

0

kr0(u)kdu =Z t

0

v(u)du; a � t � b

entonces ds = kr0(t)kdt = v(t)dt. Es claro que 0 � s � l, donde l = s(b) es la longitud de C entre los puntosr(a) y r(b).

2.4.1. Integral de línea de un campo escalar

Si f(x; y) es un campo escalar de�nido y continuo sobre C, se de�ne la integral de línea de f a lo largo de Ccomo Z

C

fds =

ZC

f(x; y)ds =

Z l

0

f(r(s))ds =

Z b

a

f(r(t)) � r0(t)dt =ZC

fdr

La notaciónIC

fds =

IC

fdr es conveniente para denotar la integral de línea de f a lo largo de C, cuando

C es una región cerrada.Si �(x; y) es la densidad de C entonces la integral de línea

M =

ZC

dm =

ZC

�ds =

ZC

�dr

da la masa total de C.

2.4.2. Integral de línea con respecto a los ejes coordenados

Si f es un campo escalar de�nido sobre C. Se de�nen la integral de línea de f a lo largo de los ejes x y ycomo Z

C

fdx = l��mn!1

nXi=1

f(x�i ; y�i )�xiZ

C

fdy = l��mn!1

nXj=1

f(x�j ; y�j )�yj

respectivamente, si los límites existen.



2.4.3. Integral de línea de un campo vectorial

Si F(x; y) es un campo vectorial de�nido y continuo sobre C, se de�ne la integral de línea de F a lo largo deC como Z

C

F � Tds =Z l

0

F(r(s)) � T (s)ds =Z b

a

F(r(t)) � r0(t)dt =ZC

F � dr

Si F = P i+Qj, y r(t) = x(t)i+ y(t)j, se obtiene la versión cartesiana de la integral de línea de F comoZC

F � Tds =ZC

F � r =ZC

Pdx+Qdy

El trabajo que ejerce F a lo largo de C se de�ne como la integral de línea de la componente tangencial de Fa lo largo de C:

Trabajo de F a lo largo de C =WC(F) =ZC

F � Tds =ZC

F � dr

El �ujo de F a lo largo de C se de�ne como la integral de línea de la componente normal de F a lo largo deC:

Flujo de F a lo largo de C = FC(F) =ZC

F � nds =ZC

Pdy �Qdx

En efecto, como

n = T � k = r0(t)� kkr0(t)k =

[x0(t)i+ y0(t)j]� kkr0(t)k =

y0(t)i� x0(t)jkr0(t)k

y ds = kr0(t)kdt entonces

F � nds = (P i+Qj) � [y0(t)i� x0(t)j]dt = Pdy �Qdx

pues dx = x0(t)dt y dy = y0(t)dt.

2.4.4. Teorema de Green en el plano

Teorema 5 (Teorema de Green en forma tangencial) Sean D es una región múltiplemente conexa delplano1 y F = P i+Qj es un campo vectorial C1 sobre D. EntoncesZ

@D

Pdx+Qdy =

ZZD

(Qx � Py)dA

Aplicando el teorema de Green en forma tangencial se obtiene la versión normal del mismo teorema.

Teorema 6 (Teorema de Green en forma normal) Sean D es una región múltiplemente conexa delplano y F = P i+Qj es un campo vectorial C1 sobre D. EntoncesI

D

Pdy �Qdx =ZZ

D

(Px +Qy)dA

Formas vectoriales del teorema de Green: Como

rotF� k = Qx � Py; divF = Px +Qy;

las siguientes son las versiones vectoriales del teorema de Green.

Forma tangencial Forma normalI@D

F � Tds =I@D

F � dr =ZZ

D

rotF� kdAI@D

F � nds =ZZ

D

divFdA

I@D

Pdx+Qdy

W@D(F)

=

ZZD

(Qx � Py)dAI@D

Qdx� PdyF@D(F)

=

ZZD

(Px +Qy)dA

Tasa de F que pasa por D

1Recuerde que por de�nición D es un conjunto cerrado y acotado del plano xy.



2.4.5. Campos conservativos

Teorema 7 (Teorema fundamental de la integral de línea) Sea F es un campo vectorial conservativocon función de potencial f y C es una curva suave cualquiera de a hasta b. EntoncesZ

C

F � dr = f(b)� f(a)

Teorema 8 (Teorema para campos vectoriales conservativos y curvas cerradas) Sea C una curvasuave a trozos y F un campo vectorial C1 sobre C. Entonces las siguientes tres proposiciones son equivalentes.

1. F es conservativo.

2.ZC

F � dr es independiente de la curva C.

3.HCF � dr = 0 para toda curva cerrada C.

3. Cálculo vectorial en el espacio

3.1. Curvas algebraicas y paramétricas en el espacio

Una curva algebraica C en el espacio se puede considerar como la intersección de dos super�cies. Por ejemplo,la intersección del plano z = 15� y y el paraboloide z = 2x2 + y2 � 1 es una elipse.

4

y

2

4

4

x

2 02

02

0

4

60

20z 40

Una curva C en el espacio se representa solo paramétricamente. La curva C es parametrizable si existe unafunción vectorial r : I � R! R3 cuya imagen es C. La orientación positiva de C se considera de nuevo queestá dada por la función vectorial r(t). Se asume también que las ecuaciones paramétricas de C están dadaspor las ecuaciones

x = x(t); y = y(t); z = z(t); t 2 IPara el caso del ejemplo anterior, la elipse puede ser parametrizada de la forma

x = 12

q572 cos t; y = 1

2 (1 +p57 cos t); z = 1

2 (29�p57 sen t); 0 � t � 2�:

3.2. Super�cies algebraicas y paramétricas

Para una super�cie S en general se usan coordenadas xyz, y existen básicamente dos métodos para represen-tarla. La representación implícita de una super�cie S está dada como el conjunto de todos los puntos (x; y; z)que satisfacen la ecuación F (x; y; z) = 0. Algunas veces es posible despejar de la ecuación de la super�cieuna variable en función de las otras dos. En este caso, se obtiene la representación explícita de S mediantela grá�ca de un campo escalar, digamos z = g(x; y), con (x; y) en alguna región R del plano xy.Existe un tercer método para representar super�cies, la representación paramétrica. Una función r : D �R2 ! R3, llamada función de super�cie, es una parametrización de S si Gr = fr(u; v) : (u; v) 2 Dg = S. Lafunción de super�cie también se puede escribir de la forma

r(u; v) = x(u; v)i+ y(u; v)j+ z(u; v)k



donde x = x(u; v), y = y(u; v) y z = z(u; v) son las ecuaciones paramétricas de S. Este método es análogo almétodo de parametrización de curvas en el plano. Se dice que S es suave si la parametrización de S es C1.Si S es una super�cie que está parametrizada por la función de super�cie r(u; v) con (u; v) 2 D que tieneprimeras derivadas parciales ru y rv continuas en un punto (u0; v0) en D, entonces los vectores

ru = xu(u0; v0)i+ yu(u0; v0)j+ zu(u0; v0)k

rv = xv(u0; v0)i+ yv(u0; v0)j+ zv(u0; v0)k

son tangentes a S en punto r(u0; v0) de S, y serán linealmente independientes si ru � rv 6= O. Se dice que Ses suave en r(u0; v0) si las derivadas parciales de r(u; v) son linealmente independientes en r(u0; v0). Si S essuave en el punto r(u0; v0) = (x0; y0; z0) entonces plano tangente a S en el punto (x0; y0; z0) tiene ecuación

(x� x0; y � y0; z � z0) � n = 0

donde n = ru � rv es denominado el producto vectorial fundamental de la representación de r. También sepuede decir que S es suave en (x0; y0; z0) si las derivadas parciales Fx, Fy y Fz son continuas en este punto.El vector rF (x0; y0; z0) es normal a la super�cie en (x0; y0; z0) y plano tangente en (x0; y0; z0) entonces tieneecuación

(x� x0; y � y0; z � z0) � rF (x0; y0; z0) = 0Si S está de�nida explícitamente por la función z = g(x; y), entonces S es suave en (x0; y0; z0), z0 = g(x0; y0),si las derivadas parciales gx y gy son continuas en este punto. El plano tangente en (x0; y0; z0) tiene ecuación

z � z0 = (x� x0; y � y0; ) � rg(x0; y0)

La super�cie S es suave si es suave en cada uno de sus puntos. La super�cie es suave a trozos si es la uniónde un número �nito de super�cies suaves.La super�cie S es simple si su parametrización es una función uno a uno. S es simple a trozos si es la uniónde un número �nito de super�cies simples.Una super�cie suave y simple a trozos es suave excepto posiblemente a lo largo de las curvas que unen cadauno de los trozos de super�cie, y diferenciable excepto posiblemente en un número �nito de puntos de estasmismas curvas. Por el ejemplo, la super�cie de un cubo es la unión de cuatro super�cies suaves simples, y lasaristas son curvas suaves que son diferenciables excepto en los cuatro vértices del cubo2 .Las super�cies que son orientables son las super�cies cerradas y no cerradas. Una super�cie no cerrada es unasuper�cie que está limitada por una curva cerrada suave y simple a trozos (e.g., un paraboloide limitado porun plano o un globo aerostático, que es una esfera truncada). Toda super�cie no cerrada tiene una fronteraque es una curva.Las super�cies cerradas son super�cies que no tienen frontera y limitan regiones solidas del espacio (e.g., unaesfera, la super�cie de un cubo). La super�cies cerradas dividen el espacio tridimensional en dos regiones, laexterior y la interior a la super�cie.Por convención las super�cies se denotan por la letra S mayúscula. Si S es una super�cie no cerrada sufrontera será una curva la cual se denotará por @S o por la letra C mayúscula. Las regiones sólidas delespacio se denotan por la letra griega mayúscula, y su frontera será una super�cie cerrada la cual sedenotará por @ o por la letra S mayúscula.

Toro Diabolo(x2 + y2 + z2 +R2 � 1)2 = R2(x2 + y2) x2 = (y2 + z2)2

(a) Super�cie cerrada (b) Super�cie no cerradaFigura 1. Super�cies orientables

2C.f. Marsden and Tromba, Vector Calculus, p. 449.



Las super�cies cerradas y no cerradas tienen la característica de tener dos lados o caras. Por tanto, unasuper�cie orientada es una super�cie con dos lados, uno de ellos el lado exterior o positivo; y el otro el ladointerior o negativo. Si S es una super�cie suave, existen dos vectores normales unitarios n1 y n2, el uno elopuesto del otro, en cada punto de un lado de la super�cie. A un lado de la super�cie se le puede asociar unode estos vectores normales. Así, para especi�car un lado de la super�cie S, en cada punto se elige un vectornormal unitario n que apunte hacia afuera desde el lado positivo de S en ese punto. En super�cies cerradas,por convención, el lado positivo lo constituye su exterior y el lado negativo su interior. El lado positivo de lasuper�cie se considera como el lado en el cual apunta el vector n. Una super�cie se dice que está orientadapositivamente cuando se ha de�nido uno de sus lados como el positivo.La de�nición anterior supone que la super�cie tiene dos lados. Un ejemplo de super�cie que no es orientable,por no tener dos lados, es la cinta de Möbius. En cada punto p de la cinta existen dos vectores normalesunitarios n1 y n2 de direcciones opuestas. Sin embargo, si se mueve n1 a lo largo de la cinta, cuando se regresede nuevo a p los vectores n1 y n2 tendrán la misma dirección. Esto demuestra que la cinta de Möbuis notiene dos lados, y por tanto no es orientable en el sentido de la de�nición anterior.

Figura 2. Hormigas caminando sobre una cinta de Möbius, M. C. Escher, 1963.

Sea n el vector normal unitario a S en (x0; y0; z0) apuntando desde el lado positivo de S a ese punto. Engeneral existen tres formas para la ecuación de la super�cie, y las correspondientes representaciones de n son:

F (x; y; z) = 0; n = � rFkrFk

z = g(x; y); n = ��gxi� gyj+ kqg2x + g

2y + 1

r(u; v); n = � ru � rvkru � rvk

El signo positivo signi�ca que la representación de n preserva la orientación de la super�cie, es decir, n apuntahacia afuera desde el lado exterior de la super�cie en los puntos (x; y; z) de ella. En caso contrario, es decir,cuando n apunta hacia afuera desde el lado interior de la super�cie, se dice que n invierte la orientación.Por ejemplo, a la esfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1 se le da como orientación positiva seleccionando el vectorn = n(x; y; z) de manera que apunte hacia afuera del lado exterior de la esfera. Entonces,

n =rFkrFk =

xi+ yj+ zk

�; � =

px2 + y2 + z2

donde F (x; y; z) = x2 + y2 + z2. Como el escalar 1=� es positivo el vector n apunta hacia afuera desde laesfera, es decir, n preserva la orientación de la super�cie. La esfera también se puede parametrizar de la forma

r(�; �) = cos � sen�i+ sen � sen�j+ cos�k; 0 � � � 2�; 0 � � � �:

El producto cruz de los vectores tangentes r� y r� a la esfera está dado por el vector

r� � r� = �(xi+ yj+ zk) sen�

Como � sen� � 0 para 0 � � � �, entonces el vector r� � r� apunta hacia adentro desde la esfera. Así, laparametrización r(�; �) de la esfera invierte su orientación.



Dos comentarios �nales respecto a super�cies no cerradas. Sea S es una super�cie no cerrada la cual tienede�nida una orientación positiva y la curva @S su frontera. La orientación positiva de @S se obtiene aplicandola regla de la mano derecha � considerando en la dirección del dedo pulgar el vector n que es normal a @S,la super�cie en la dirección del dedo corazón, y el dedo índice señalando en la dirección de @S� cuando secamina a lo largo de @S3 . Segundo, la super�cie S puede ser clasi�cada de la misma forma que se hizo conregiones planas; i.e., S puede ser conexa, simplemente conexa o múltiplemente conexa.

3.3. Regiones en el espacio

Una región sólida en el espacio también se puede clasi�car como conexa, simplemente conexa o múltiple-mente conexa. Una región múltiplemente conexa lucirá algo así como un queso con muchos túneles.

3.4. Campos vectoriales en el espacio

Sea F = P i+Qj+Rj un campo vectorial de fuerzas o velocidades en el espacio que actúa sobre una super�cieS cerrada o no cerrada del espacio. Matemáticamente se supone que F(x; y; z) es un campo vectorial de�nidopara todo (x; y; z) de la super�cie S. En conexión con campos vectoriales en el espacio es de especial interésel estudio de los dos siguientes problemas.

1. Para super�cies no cerradas S múltiplemente conexas con frontera @S: estudiar el sentido físico ymatemático de la componente tangencial F � T a la frontera @S de S, donde T es el vector tangenteunitario a @S, y la curva @S se considera orientada positivamente.

2. Para super�cies cerradas S que limitan sólidos múltiplemente conexos : estudiar el sentido físico ymatemático de la componente normal F � n de F a lo largo de S, donde S se considera orientadapositivamente en la dirección del vector normal unitario n.

3.5. Integral de línea

Sea C una curva simple suave a trozos en el espacio que está orientada positivamente y está parametrizadapor la función vectorial r(t) con a � t � b; o mediante la longitud de arco r(s) donde 0 � s � l. Como

s = s(t) =

Z t

0

kr0(u)kdu =Z t

0

v(u)du; a � t � b

entonces ds = kr0(t)kdt = v(t)dt. De nuevo se cumple que 0 � s � l, donde l = s(b) es la longitud de C entrelos puntos r(a) y r(b).

3.5.1. Integral de línea de un campo escalar

Si f(x; y; z) es un campo escalar de�nido y continuo sobre C se de�ne la integral de línea de f a lo largo deC como Z

C

fds =

Z l

0

f(r(s))ds =

Z b

a

f(r(t)) � r0(t)dt =ZC

fdr

La notaciónIC

fds =

IC

fdr es conveniente para denotar la integral de línea de f a lo largo de C, cuando

C es una región cerrada.Si �(x; y; z) es la densidad de C, entonces

M =

ZC

dm =

ZC

�ds

es la masa total de C.

3C.f. Marsden and Tromba, Vector Calculus, p. 505.



3.5.2. Integral de línea con respecto a los ejes coordenados

Si f es un campo escalar de�nido sobre C. Se de�nen la integral de línea de f a lo largo de los ejes x, y y zcomo Z

C

fdx = l��mn!1

nXi=1

f(x�i ; y�i ; z

�i )�xiZ

C

fdy = l��mn!1

nXj=1

f(x�j ; y�j ; z

�j )�yjZ

C

fdz = l��mn!1

nXk=1

f(x�k; y�k; z

�k)�zk

respectivamente, si los límites existen.

3.5.3. Integral de línea de un campo vectorial

Sea F(x; y; z) un campo escalar de�nido y continuo sobre una curva C. Se de�ne la integral de línea de F alo largo de C como Z

C

F � Tds =Z l

0

F(r(s)) � T (s)ds =Z b

a

F(r(t)) � r0(t)dt =ZC

F � dr

Si F = P i+Qj+Rk, y r(t) = x(t)i+ y(t)j+ z(t)k, se obtiene la versión cartesiana de la integral de línea deF como Z

C

F � Tds =ZC

F � r =ZC

Pdx+Qdy +Rdz

El trabajo que ejerce F a lo largo de C se de�ne como la integral de línea de la componente tangencial de Fa lo largo de C como

Trabajo de F a lo largo de C =WC(F) =ZC

F � Tds =ZC

F � dr

El �ujo de F a lo largo de C no tiene sentido de�nirlo pues, en general, la curva puede tener en un puntomás de un vector normal. Como se verá posteriormente, tiene sentido físico y matemático considerar el �ujode F a través de una super�cie cerrada.El teorema fundamental de la integral de línea y el teorema para campos vectoriales conservativos sobrecurvas cerradas del plano también se cumplen en el espacio. Por eso se omite escribir estos teoremas denuevo.

3.6. Integral de super�cie

3.6.1. Integral de super�cie de un campo escalar

Sea S una super�cie suave que está parametrizada por la función vectorial r : D � R2 ! R3. S se consideraes un conjunto cerrado y acotado, lo cual hace que necesario que D sea un conjunto cerrado y acotado delplano. Al de�nir una partición del rectángulo R de lados paralelos al ejes plano uv, que contiene a D en suinterior, en subrectángulos Rij entonces se introduce mediante la función de super�cie r(u; v) una particiónde S en pequeñas super�cies Sij = r(Rij) de S que son aproximadamente pequeños paralelogramos con ladosadyacentes de�nidos por los vectores ru y rv. El área de éstas pequeñas super�cies se pueden aproximar porla magnitud del producto cruz de los vectores ru�u y rv�v, donde �u y �v son escalares apropiados quepermiten ajustar el área del paralelogramo generado por ellos al área de la super�cie S(Rij), es decir,

�Sij = areaS(Rij) � kru � rvk�u�v

donde

ru � rv =

��i j kxu yu zuxv yv zv

�� =�� yu zuyv zv

�� i� �� xu zuxv zv

�� j+ �� xu yuxv yv

��k = @(y; z)

@(u; v)i� @(x; z)

@(u; v)j+

@(x; y)

@(u; v)k



Se de�ne el diferencial de super�cie de área dS como

dS = kru � rvk dudv

Sumando y tomando el límite se obtiene el área de S, si el límite existe, como

area(S) =

ZZS

dS =

ZZD

kru � rvk dudv

Sea f(x; y; z) es un campo escalar que está de�nido y es continuo sobre S. Entonces se de�ne de maneraanáloga la integral de super�cie del campo escalar f sobre S como la integralZZ

S

f(x; y; z)dS =

ZZS

fdS =

ZZD

f(r(u; v)) kru � rvk dudv

Si S es una super�cie hecha de material delgado, de ancho uniforme, y con densidad (en gms/unidad de área)dada por �(x; y; z) entonces la masa de S y la componente de su centro de masa están dados por

M =

ZZS

dm =

ZZS

�(x; y; z)dS

Mx =

ZZS

xdm =

ZZS

x�(x; y; z)dS

Las componente con respecto y y z se de�nen de manera similar. Si �(x; y; z) representa la densidad de cargaeléctrica, entonces la integral de super�cie de � sobre S da la carga eléctrica total sobre S.El valor promedio de un campo escalar f(x; y; z) sobre la super�cie S se puede calcular mediante la integralde super�cie

valor promedio de f sobre S =1

area(S)

ZZS

f(x; y; z)dS

Si S está de�nida por el campo escalar z = g(x; y), (x; y) 2 D, entonces la super�cie se puede parametrizarde la forma r(u; v) = xi+ yj+ g(x; y)k. Entonces

dS =qg2x + g

2y + 1dA

y por lo tanto, ZZS

f(x; y; z)dS =

ZZS

fdS =

ZZD

f(x; y; g(x; y))qg2x + g

2y + 1dA

Si f(x; y; z) = 1, entonces el área de S está dada por la integral de super�cie,

area(S) =

ZZS

dS =

ZZD

qg2x + g

2y + 1dA

Si S tiene ecuación cartesiana F (x; y; z) = 0 se puede asumir, por ejemplo, que los valores de z están de�nidosexplícitamente de la forma z = g(x; y). Derivando implícitamente se obtiene

gx =@z

@x= �Fx

Fz; gy =

@z

@y= �Fy

Fz

suponiendo que Fz 6= 0 y que F es C1. Entonces,

dS =1

jFzj

qF 2x + F

2y + F

2z dA



3.6.2. Integral de super�cie de un campo vectorial y �ujo a través de una super�cie

La integral mas importante de las integrales del tipo de super�cie es la que calcula el �ujo de un campovectorial a través de una super�cie. Anteriormente se calculo el �ujo de un campo vectorial F(x; y) a travésde una curva en el plano xy. Ahora se va a construir un análogo en el espacio.Sea S una super�cie orientada. Esto quiere decir que S tiene dos lados uno de los cuales ha sido elegido comoel lado positivo. En cada punto de S hay dos vectores normales unitarios apuntando en direcciones opuestas;el vector normal unitario exterior, denotado por n, es el vector que tiene su origen sobre el lado positivo de S.Si S es una super�cie cerrada, � i.e., una super�cie sin fronteras, como una esfera o un cubo, de tal maneraque esta encierra completamente una parte del espacio tridimensional� como ya se dijo, por convención Ses orientada de tal manera que el lado exterior es el positivo; i.e., n siempre apunta hacia afuera desde delexterior de S.Sea F(x; y; z) un campo vectorial de�nido y continuo sobre una super�cie orientada S. Se asume además queS es un conjunto cerrado y acotado que está parametrizada por la función de super�cie r : D � R2 ! R3. Sede�ne la componente normal de F a lo largo de n por el campo escalar F(x; y; z) � n(x; y; z) � F � n de�nidoen cada punto (x; y; z) de S. De la de�nición de integral de super�cie se obtiene la siguiente de�nición. Sede�ne la integral del �ujo de F a lo largo de n o

�ujo de F a través de S =ZZS

F�n dS

Se de�ne el vector diferencial de super�cie de área dS o d~S como

d~S = (ru � rv)dudv

Dado que

n =ru � rvkru � rvk

; dS = kru � rvk dudv

se sigue qued~S = n dS

Por lo tanto,

�ujo de F a través de S =ZZS

F�d~S =ZZS

F�n dS =ZZD

F(r(u; v)) � (ru � rv)dudv

Si F(x; y; z) representa el campo de velocidades del �ujo de un �uido incompresible de densidad 1, entoncesF �n representa la componente de la velocidad del �ujo en la dirección perpendicular positiva a la super�cie,y F � ndS representa la rata de �ujo a través de un pequeño trozo in�nitesimal de super�cie que tiene áreadS. La integral del �ujo de F es la suma de todos esos �ujos que pasan a través de los trozos de la super�cie.Así que ésta integral de �ujo se puede interpretar como

�ujo de F a través de S = tasa de �ujo neto a través de S

donde el �ujo es medido en la dirección positiva de n, y el �ujo en la dirección opuesta o negativa. Másen general, si el �uido tiene densidad de masa variable entonces el lado derecho de la ecuación (de balance)anterior es la rata de transporte neto de masa del �uido a través de S (por unidad de área, por unidad detiempo).Si F es un campo vectorial de fuerzas, entonces nada está físicamente �uyendo, y el término �ujo se usa paradenotar la integral de super�cie.

Ejemplo 9 Hallar el �ujo de F = zi+ xj+ yk que sale a través de la porción de cilindro x2 + y2 = a2 en elprimer octante y abajo del plano z = h.

Solución. Como el �ujo sale, esto sugiere que el cilindro debe ser orientado de tal manera que n apuntefuera del cilindro; i.e., alejándose del eje z. Por simple inspección se concluye n debe ser radialmente dirigido



hacia afuera y horizontal al cilindro. Como la ecuación del cilindro está dado por la ecuación F (x; y; z) = a2,donde F (x; y; z) = x2 + y2, entonces

n =rFkrFk =

2xi+ 2yjp4x2 + 4y2

xi+ yjpx2 + y2

=xi+ yj

a

Esta vector normal es efectivamente exterior a círculo x2+ y2 = a2 en el plano xy; y no tiene componente enz puesto que el vector es horizontal.Para conseguir el diferencial de área de super�cie dS de un elemento in�nitesimal de la super�cie parame-trizada por r(�; z), se usan coordenadas cilíndricas para parametrizar el cilindro:

x = a cos �; y = a sen � ; z = z; 0 � � � �=2; 0 � z � h

Como

r� � rz =

��i j k

�a sen � a cos � 00 0 1

�� = a cos �i+ a sen �j = xi+ yjentonces

n =r� � rzkr� � rzk

=1

a(xi+ yj);

lo cual garantiza que r(�; z) preserva la orientación positiva de la super�cie. Ahora,

dS = kr� � rzk d�dz = ad�dz

Se expresan el integrando de la integral de super�cie de la forma

F � n dS = (zi+ xj+ yk) � 1a(xi+ yj)ad�dz = (xz + xy)d�dz = (az cos � + a2 cos � sen �)d�dz

Así que el �ujo de F a través de S esZZS

F � d~S =ZZS

F � n dS =Z �=2

0

Z h

0

(az cos � + a2 cos � sen �)dzd�

=ah

2

Z �=2

0

(h cos � + 2a sen � cos �) d� =ah(a+ h)

2

Ejemplo 10 Encontrar el �ujo de F = xzi+yzj+z2k que sale a través de la porción de esfera x2+y2+z2 = a2localizada en el primer octante.

Solución. La esfera se puede escribir de la forma F (x; y; z) = a2 donde F (x; y; z) = x2+ y2+ z2. De nuevo,

n =rFkrFk =

2xi+ 2yj+ 2zkp4x2 + 4y2 + 4z2

xi+ yj+ zkpx2 + y2 + z2

=xi+ yj+ zk

a(1)

es el vector normal exterior a la esfera. Este vector también se puede obtener considerando que el punto(x; y; z) está sobre la esfera y n se obtiene al normalizar el vector que va del origen al punto (x; y; z).Efectivamente, el vector n apunta en la dirección radial exterior de la esfera desde el origen.Para evaluar la integral se utilizan coordenadas esféricas �, �, �. Sobre la super�cie de la esfera � = a, asíque las coordenadas son exactamente los dos ángulos � y �. Entonces

r(�; �) = a cos � sen�i+ a sen � sen�j+ a cos�k; 0 � � � �=2; 0 � � � �=2



Por lo tanto,

r� � r� =

��i j k

�a sen � sen� a cos � sen� 0a cos � cos� a sen � cos� �a sen�

��=

�� a cos � sen� 0a sen � cos� �a sen�

�� i� �� a sen � sen� 0a cos � cos� �a sen�

�� j+ �� a sen � sen� a cos � sen�a cos � cos� a sen � cos�

��k= �a2 cos � sen2 �i�a2 sen � sen2 �j� a2 sen� cos�k

y

kr� � r�k = a2pcos2 � sen4 �+ sen2 � sen4 �+ sen2 � cos2 �

= a2psen4 �+ sen2 � cos2 � = a2

psen2 �(sen2 �+ cos2 �)

= a2j sen�j = a2 sen�

pues sen� � 0 cuando 0 � � � �=2. Entonces,

dS = a2 sen�d�d� (2)

De la de�nición de F, (1) y (2) se obtiene

F � n dS = (xzi+ yzj+ z2k) � 1a(xi+ yj+ zk) a2 sen�d�d�

= a(x2z + y2z + z3) sen�d�d� = a(x2 + y2 + z2)z sen�d�d�

= a3z sen�d�d� = a4 cos� sen�d�d�

Finalmente,ZZS

F � d~S =ZZS

F � n dS = a4Z �=2

0

Z �=2

0

cos� sen�d�d� = a4�

2

1

2sen2 �

��=20

=�a4

4

3.7. Teorema del rotacional y la divergencia

3.7.1. Teorema del rotacional de Stokes

El teorema de Stokes relaciona integrales de línea con integrales de super�cie. La forma tangencial del teoremade Green en el plano establece que I

@D

F � dr =ZZD

rotF�ndA

donde @D es una curva cerrada que limita la región D del plano xy. Como el lado izquierdo representatrabajo, una forma natural de extender este resultado al espacio tridimensional puede ser considerandoHF � dr representando el trabajo hecho alrededor de una curva cerrada en el espacio tridimensional.

Tratando de generalizar el lado derecho de esta forma tangencial del teorema de Green, la curva @D puedeser únicamente la frontera de algún trozo de super�cie S �que de hecho no es necesariamente un plano. Porlo tanto, la forma natural de generalizar este resultado es de la formaI

@D

F � dr =ZZD

( algo que depende de F) � d~S

Teorema 11 (del rotacional de Stokes) Sea S una super�cie no cerrada limitada por la curva @S, quese considera una curva cerrada simple suave a trozos orientada positivamente, y F un campo vectorial C1de�nido sobre S. Entonces I

@S

F � dr =ZZS

rotF�d~S



o bien I@S

F � Tds =ZZS

rotF � ndS

Ejemplo 12 Veri�car el teorema de Stokes cuando S es la semiesfera centrada en el origen, con y � 0,orientada de tal manera que n subtiende un ángulo agudo con el eje positivo del eje y. Se considera F =yi+ 2xj+ xk.

Proof. La frontera @S de S es la intersección del plano xz (y = 0) y la semiesfera: x2+z2 = 1, un círculo en elplano xz que debe ser orientado en el sentido de las manecillas del reloj para hacer su orientación compatiblecon la de S. Se considera la siguiente parametrización de @S:

x = cos t; y = 0; z = � sen t; 0 � t � 2�

Por lo tanto, I@S

F � dr =I@S

Pdx+Qdy +Rdz =

I@S

ydx+ 2xdy + xdz

=

I@S

xdz =

Z 2�

0

x(t)z0(t)dt = �Z 2�

0

cos2 tdt = ��

La semiesfera S tiene la ecuación F (x; y; z) = 1, donde F = x2+ y2+ z2. Entonces, para todo punto (x; y; z)el vector

n =rFkrFk =

2xi+ 2yj+ 2zk

2px2 + y2 + z2

= xi+ yj+ zk

es normal unitario exterior a S. Se calcula

rotF =

��i j k@x @y @zy 2x x

�� = �j+ k; rotF � n = �y + z

Integrando en coordenadas esféricas, se tiene

y = sen� sen �; z = cos�; dS = sen�d�d�

Por lo tanto,ZZS

rotF�d~S =ZZS

rotF�ndS =ZZS

(�y + z)dS =Z �

0

Z �

0

(� sen� sen � + cos�) sen�d�d� = ��

Interpretación del rotacional: Suponga que F representa el campo vectorial de velocidades para el �ujo deun �uido en el espacio. El paso esencial es interpretar la componente del rotF(P0) en un punto P0(x0; y0; z0)y a lo largo de un vector unitario n dado y con su origen en P0.Se coloca una pequeña rueda con aspas de radio a en el �ujo de tal manera que su centro esté en P0 y demodo que su eje apunte en la dirección de n. Entonces, aplicando el teorema de Stokes a un pequeño discoSa de radio a y centro en P0 que está en el plano que pasa por P0 y tiene vector normal n. Sea asume queSa está limitado por el círculo Ca. Del teorema de Stokes se tiene que

velocidad angular de la rueda con aspas =1

2�a2

ICa

F � dr = 1

2�a2

ZZSa

rotF � ndS

� 1

2�a2(rotF(P0) � n)

ZZSa

dS

=1

2�a2(rotF(P0) � n(P0)) area(Sa)

=1

2rotF(P0) � n(P0);



puesto que rotF(P0) � n(P0) es aproximadamente constante sobre Sa, si a es pequeño. Tomando el límitecuando a! 0, la aproximación se convierte en una igualdad:

velocidad angular de la rueda con aspas =1

2rotF(P0) � n(P0):

Como rotF(P0) �n(P0) tiene su valor máximo cuando n(P0) tiene la misma dirección de rotF(P0), se concluyeque

dirección de rotF(P0) = dirección axial en que la rueda gira más rápidomagnitud de rotF(P0) = dos veces la velocidad angular

3.7.2. Teorema de la divergencia de Gauss

El teorema de Gauss relaciona integrales de super�cie con integrales de volumen, y es un teorema acerca desuper�cies cerradas orientadas.

Teorema 13 (de la divergencia de Gauss) Sea una región sólida del tipo IV limitada por @, unasuper�cie cerrada orientada positivamente, y F un campo vectorial C1 de�nido sobre . EntoncesZZ

@

F � d~S =ZZZ

divFdV

o bien ZZ@

F � n dS =ZZZ

divFdV

El teorema de la divergencia de Gauss también aplica para regiones sólidas simplemente conexas, descom-poniendo la región como la union de regiones sólidas de tipo IV sobre cada unas de las cuales se aplicael teorema de Gauss para regiones del tipo IV . En caso de ser la región sólida múltiplemente conexa, sedescompone la región como la unión de regiones simplemente conexas y se aplica el teorema de Gauss pararegiones simplemente conexas.Interpretación de la divergencia: Físicamente, el teorema de la divergencia se interpreta como la formanormal del teorema de Green. Si F se considera como el campo de un �ujo tridimensional, la integral del ladoizquierdo en el teorema de la divergencia representa la tasa de transporte de masa a través de la super�ciecerrada @, cuando se considera que el �ujo que sale es positivo y el que entra es negativo.De otro lado, si divF > 0 en (x; y; z) entonces el lado derecho del teorema de la divergencia puede serinterpretado como la tasa de la fuente en (x; y; z): la tasa a la que el �uido está siendo sumado a la fuenteen el punto. Si divF < 0 en (x; y; z) esto indica la tasa a la que el �uido está siendo removido del �ujo en elpunto. La integral del lado derecho representa la tasa de la fuente en . Así que el teorema de la divergenciadice que

�ujo a través de @ = tasa de la fuente que pasa por (3)

i.e., el �ujo neto que pasa al exterior de @ es igual a la tasa a la que el �uido está siendo producido (osumado al �ujo) dentro de .Para completar el argumento de (3) se necesita demostrar que

divF = tasa de la fuente en (x; y; z)

Esto se establece demostrando que en un punto P0(x0; y0; z0) dentro de la región , donde F está de�nido,

tasa de la fuente en P0 = l��mr!0

tasa de la fuente que pasa por Crvolumen de Cr

= divF(P0)

donde Cr es una pequeña esfera de radio r alrededor de P0.

Ejemplo 14 Veri�car el teorema de la divergencia para el campo vectorial F = xi+ yj+ zk sobre la esferasólida de radio a.



Solución. El vector normal exterior a la esfera es el vector

n =xi+ yj+ zk

a

Así que F � n = a yZZ@

F � d~S =ZZ@

F � n dS = aZZ@

dS = a � area(@) = a(4�a2) = 4�a3

De otro lado divF = 3. Por lo tanto,ZZZ

divFdV = 3ZZZ

dV = 3 � vol() = 3 � 4�a3

3= 4�a3

Ejemplo 15 Use el teorema de la divergencia para evaluar el �ujo de F = x3i+y3j+z3k que cruza la esferade radio � = a.

Solución. Para evaluar la integral se utilizan coordenadas esféricas �, �, �. En la esfera sólida,

x = a cos � sen�; y = � sen � sen�; z = a cos�k; 0 � � � a; 0 � � � 2�; 0 � � � �

Como divF = 3(x2 + y2 + z2) = 3�2, entoncesZZ@

F � d~S =

ZZZ

divFdV = 3ZZZ

�2dV = 3

Z 2�

0

Z �

0

Z a

0

�4 sen�d�d�d�

=3a5

5

Z 2�

0

Z �

0

sen�d�d� =3a5

5� 4� = 12�a5

5


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