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Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez



















































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·2021

Cálculo I55 Sucesiones y seriesde números realesEn este capítulo se estudian unas herramientas esenciales en Matemáticas: las sucesionesy las series. Se tratan sucesiones como (1, 2, 1, 2, 1, 2, . . . ) o bien

((1 + 1/𝑛)𝑛

), series como

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + . . . , cómo son las operaciones entre ellas y cómo es su comportamientocuando 𝑛 crece.

Muchas propiedades matemáticas se pueden expresar utilizando sucesiones o series. Y muchosproblemas requieren el uso de estas herramientas para su resolución.

Sucesiones en R

Denición. Una sucesión en R es una aplicación

𝑥 : N −→ R1 𝑥 (1) = 𝑥12 𝑥 (2) = 𝑥23 𝑥 (3) = 𝑥3

· · ·Se suele representar mediante sus imágenes 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . .) = (𝑥𝑛)𝑛∈N = (𝑥𝑛)𝑛 = (𝑥𝑛). Enadelante, se utilizará cualquiera de estas notaciones.

Se designa por {𝑥𝑛 : 𝑛 ∈ N} al conjunto de valores que toman los términos de la sucesión. Porejemplo, si (𝑥𝑛) = (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) entonces el conjunto de valores es {𝑥𝑛 : 𝑛 ∈ N} = {0, 1},un conjunto de dos elementos. Para las sucesiones (1, 2, 3, . . .) y (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .) el conjuntode valores es N. Si (𝑥𝑛) = ((−1)𝑛))𝑛 entonces el conjunto de valores es {𝑥𝑛 : 𝑛 ∈ N} = {−1, 1}.Puede haber sucesiones distintas, como (1/𝑛) y (1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, . . .), con el mismoconjunto de valores. Se suele utilizar la expresión (𝑥𝑛) ⊂ R para decir {𝑥𝑛 : 𝑛 ∈ N} ⊂ R.

A veces se expresan las sucesiones utilizando la fórmula de la cual se obtienen los elementos(𝑥𝑛). Esta fórmula se llama término general de la sucesión. Por ejemplo, la sucesión de losnúmeros impares (1, 3, 5, . . . ) se puede escribir como la sucesión (2𝑛 − 1).

Al conjunto de todas las sucesiones de números reales se le designará por S . A partir de lasoperaciones en R es posible denir ciertas operaciones en S :

Sucesiones y series de números reales — 1




















































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– Suma: (𝑥𝑛) + (𝑦𝑛) = (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛), es decir, las sucesiones se suman término a término.

– Producto: (𝑥𝑛) · (𝑦𝑛) = (𝑥𝑛 · 𝑦𝑛), las sucesiones se multiplican término a término.

– Producto por escalares: 𝜆 · (𝑥𝑛) = (𝜆 · 𝑥𝑛), para 𝛼 ∈ R y (𝑥𝑛) ∈ S .

Se puede comprobar fácilmente que la suma es asociativa, conmutativa, tiene a la sucesióncero (0) = (0, 0, 0, . . .) como elemento neutro y todo elemento tiene opuesto: −(𝑥𝑛) = (−𝑥𝑛). Elproducto es asociativo, conmutativo y tiene elemento unidad (1) = (1, 1, 1, . . .). Sin embargo notoda sucesión no nula tiene elemento inverso. El inverso de una sucesión (𝑥𝑛) es (𝑥𝑛)−1 = (𝑥−1𝑛 ),que existe si todos los términos 𝑥𝑛 son no nulos.

Así, (S , +, ·) es un anillo conmutativo unitario y no es un cuerpo. Se dice que es un anillo condivisores de cero, ya que puede haber elementos no nulos cuyo producto es cero:

(1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) · (0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, . . .) = (0).

Con la suma y producto por escalares, S es un espacio vectorial sobre R de dimensión innita.Por todo esto se dice que S es un álgebra conmutativa y unitaria.

Sucesiones convergentes, de Cauchy y acotadasLa denición de sucesión convergente es esencial en el Cálculo. Es necesario insistir en laimportancia de entender correctamente esta forma de escribir un concepto que puede resultarmás o menos intuitivo.

Denición (sucesión convergente). Se dice que una sucesión (𝑥𝑛) de números reales convergea 𝑎 ∈ R, y se escribe (𝑥𝑛) → 𝑎 o también 𝑎 = lim

𝑛→∞𝑥𝑛 , si

∀𝜀 > 0 ∃𝜈 ∈ N : 𝑛 > 𝜈 ⇒ |𝑥𝑛 − 𝑎 | < 𝜀.

Dado cualquier valor 𝜀 > 0 todo lo pequeño que uno quiera (para valores grandes no se llega anada importante), todos los términos 𝑥𝑛 con 𝑛 > 𝜈 están en el intervalo (𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀), o lo quees lo mismo, |𝑥𝑛 − 𝑎 | < 𝜀. Con un dibujo:

|𝑥𝑛 − 𝑎 | < 𝜀 ⇔ 𝑥𝑛 ∈(𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀

)⇔

( )𝑎 − 𝑟 𝑎 + 𝑟

𝑥𝑛 𝑎

Que (𝑥𝑛) → 𝑎 se puede expresar diciendo que |𝑥𝑛 − 𝑎 | es arbitrariamente pequeño (o todo lopequeño que se quiera) para 𝑛 sucientemente grande. Es decir, dado 𝜀 > 0, en (𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀)están todos los términos 𝑥𝑛 salvo, a lo sumo, una cantidad nita de ellos.

En particular, el carácter convergente o no de una sucesión no varía si se añaden o eliminanuna cantidad nita de términos, ni si se altera el orden en una cantidad nita de esos términos.La sucesión (2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, . . . ) es convergente a 1.

En la denición se puede escribir |𝑥𝑛 − 𝑎 | ≤ 𝜀. Cambiar el signo “




















































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es posible hacer que |𝑥𝑛 − 0| sea pequeño. No hay ningún número 𝑎 para el cual |𝑥𝑛 − 𝑎 | puedahacerse pequeño.

Ejemplo. La sucesión (1/𝑛) es convergente, y

lim𝑛→∞

1𝑛

= 0

La prueba es como sigue: para cada 𝜀 > 0, se puede conseguir |1/𝑛 − 0| < 𝜀 sin más que elegir𝑛 > 1/𝜀. Por ejemplo, se puede tomar 𝜈 = [1/𝜀] + 1 (utilizando la función “parte entera”) y asísi 𝑛 > 𝜈 entonces |1/𝑛 − 0| < 𝜀.

Ejemplo. La sucesión 2𝑛𝑛 + 1 converge a 2, pero no a 1.

Para comprobarlo basta ver que�� 2𝑛𝑛 + 1 − 2 �� es tan pequeño como se quiera.�� 2𝑛𝑛 + 1 − 2 �� = �� −2𝑛 + 1 �� = 2𝑛 + 1 ,

y es posible hacer esta cantidad menor que cualquier 𝜀 para valores grandes de 𝑛.

Si se intenta probar que 2𝑛𝑛 + 1 converge a 1 (lo cual es falso) haciendo el mismo razonamiento,

se llega a �� 2𝑛𝑛 + 1 − 1 �� = �� 2𝑛 − (𝑛 + 1)𝑛 + 1 �� = 𝑛 − 1𝑛 + 1 ,que evidentemente no se hace arbitrariamente pequeño al aumentar 𝑛.

Ejemplo. La sucesión (𝑛) = (1, 2, 3, . . . ) no es convergente. No hay ningún número 𝑎 ∈ R parael cual se pueda conseguir que |𝑛 − 𝑎 | sea arbitrariamente pequeño para valores grandes de 𝑛.Tampoco es convergente la sucesión ((−1)𝑛𝑛).

Ejercicios. a) Es fácil comprobar (es una consecuencia directa de la denición) la equivalenciade las sentencias siguientes:(

𝑥𝑛)→ 𝑎 ⇔

(𝑥𝑛 − 𝑎

)→ 0 ⇔

(|𝑥𝑛 − 𝑎 |

)→ 0.

b) El límite de una sucesión, si existe, es único: si (𝑥𝑛) → 𝑎 y (𝑥𝑛) → 𝑏 entonces 𝑎 = 𝑏. (Esposible que este enunciado sorprenda, pero en el grado en Matemáticas se verán espacios enlos que una sucesión puede converger a dos o más valores distintos.)

Denición (sucesión acotada). Una sucesión (𝑥𝑛) se dice que está acotada si todos los términosestán contenidos en algún intervalo: existe𝑀 > 0 que verica 𝑥𝑛 ∈ [−𝑀,𝑀] para 𝑛 = 1, 2, 3, . . .Equivalentemente, |𝑥𝑛 | ≤ 𝑀 para todo 𝑛. Se dice que𝑀 es una cota para la sucesión. Una cotasuperior de una sucesión (𝑥𝑛) es un número 𝐾 ∈ R que verica 𝑥𝑛 ≤ 𝐾 para todo 𝑛. Si 𝐶 ≤ 𝑥𝑛para todo 𝑛, se dice que 𝐶 es una cota inferior de la sucesión.

Por ejemplo, la sucesión (−1, 1,−1, 2,−1, 3,−1, 4,−1, 5, . . . ) no está acotada, aunque sí lo estáinferiormente.

Proposición. Toda sucesión convergente está acotada.





















































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Demostración. Se considera una sucesión convergente (𝑥𝑛) → 𝑎. Dado 𝜀 = 1 existe 𝜈 ∈ N talque |𝑥𝑛 − 𝑎 | < 1 para 𝑛 > 𝜈. Por tanto |𝑥𝑛 | < 1 + |𝑎 | para esos valores 𝑛 > 𝜈. Así,

𝑀 = max{|𝑥1 |, . . . , |𝑥𝜈 |, 1 + |𝑎 |}

es una cota para la sucesión. �

Es evidente que la implicación contraria es falsa. Las sucesiones((−1)𝑛

)=

(− 1, 1, −1, 1, . . .

)((−1)𝑛+1

)=

(1, −1, 1, −1, . . .

)((−1)𝑛 + 1

)=

(0, 2, 0, 2, . . .

)((−1)𝑛 + 1

2

)=

(0, 1, 0, 1, . . .

)son todas acotadas pero no convergentes.

Denición (sucesión de Cauchy). Una sucesión (𝑥𝑛) de números reales es de Cauchy si

∀𝜀 > 0 ∃𝜈 ∈ N : 𝑛,𝑚 > 𝜈 ⇒ |𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 | < 𝜀.

Dado cualquier valor 𝜀 > 0 todo lo pequeño que uno quiera (para valores grandes no se llega anada importante), todos los términos 𝑥𝑛 y 𝑥𝑚 con 𝑛,𝑚 > 𝜈 están muy próximos entre sí, comomucho a distancia 𝜀. Los términos de una sucesión de Cauchy se agolpan entre ellos: |𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 |es arbitrariamente pequeño para 𝑛 y𝑚 sucientemente grandes. En denitiva,

(𝑥𝑛) es de Cauchy si (𝑥𝑛 − 𝑥𝑚) → 0 (𝑛,𝑚 → ∞).

Por ejemplo,(𝑥𝑛)=(0, 1, 0, 1, . . .

)no es de Cauchy. Para valores grandes de 𝑛 y𝑚 se tiene

|𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 | = 1, siempre que 𝑛 y𝑚 tengan distinta paridad.

Teorema. Toda sucesión convergente es de Cauchy. Y toda sucesión de Cauchy está acotada.

Demostración. Sea (𝑥𝑛) → 𝑎. Dado 𝜀 > 0 existe 𝜈 ∈ N tal que |𝑥𝑛 − 𝑎 | < 𝜀/2 para 𝑛 > 𝜈. Portanto, si 𝑛,𝑚 > 𝜈 se tiene

|𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 | ≤ |𝑥𝑛 − 𝑎 | + |𝑥𝑚 − 𝑎 | < 𝜀.

Que toda sucesión de Cauchy está acotada se deja como ejercicio, el argumento es similar. �

Estos resultados pueden resumirse esquemáticamente como

convergente

acotada

de Cauchy

⇒

⇒

⇒

Ya se ha visto que algunas de las implicaciones en sentido contrario son falsas. La sucesión(0, 1, 0, 1, . . . ) es acotada pero no es convergente ni de Cauchy. Luego sólo falta comprobarlo siguiente: ¿es posible que la implicación [convergente ⇒ de Cauchy] también sea cierta





















































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en sentido inverso? La respuesta es, en general, no. Depende del conjunto en el que estemosconsiderando las sucesiones.

Hay sucesiones de Cauchy enQ que no son convergentesen Q. La sucesión (𝑥𝑛) = (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, . . .),cuyos términos verican (𝑥2𝑛) → 2, es de Cauchy.

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑥4

Esta sucesión es de Cauchy ya que sus términos cumplen

|𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 | < 1/10 (∀𝑛,𝑚 > 1)|𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 | < 1/102 (∀𝑛,𝑚 > 2)|𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 | < 1/103 (∀𝑛,𝑚 > 3)

. . .

También es de Cauchy la sucesión (𝑥2𝑛), ya que es convergente y converge a 2. Sin embargo(𝑥𝑛) no converge en Q, pues su único posible límite es un número cuyo cuadrado es 2, y esenúmero no existe en Q.

Álgebra de límitesLas operaciones habituales con sucesiones convergentes dan como resultado sucesiones conver-gentes. Además se puede calcular el límite resultante al conocer los límites de las sucesionesque intervienen.

Proposición (álgebra de límites). El producto, cociente* y combinación lineal de dos sucesionesconvergentes es una sucesión convergente, y además se cumple

(𝑥𝑛) → 𝑎

(𝑦𝑛) → 𝑏

⇒

(𝜆𝑥𝑛 + 𝜇𝑦𝑛) → 𝜆𝑎 + 𝜇𝑏(𝑥𝑛𝑦𝑛) → 𝑎𝑏(𝑥𝑛

𝑦𝑛

)→ 𝑎

𝑏

(*en el cociente se entiende que los denominadores 𝑦𝑛 y 𝑏 deben ser todos no nulos.)

Demostración. 1) Sea (𝑥𝑛) → 𝑎 y 𝜆 ∈ R. Entonces 𝜆(𝑥𝑛) → 𝜆𝑎. En efecto, si 𝜆 = 0 entonces estrivial. Si 𝜆 ≠ 0, dado 𝜀 > 0 existe 𝜈 ∈ N : |𝑥𝑛 − 𝑎 | < 𝜀/|𝜆 | para 𝑛 > 𝜈. Por tanto,

|𝜆𝑥𝑛 − 𝜆𝑎 | = |𝜆 | · |𝑥𝑛 − 𝑎 | < |𝜆 | · 𝜀/|𝜆 | = 𝜀

para 𝑛 > 𝜈.

2) Como (𝑥𝑛) → 𝑎, (𝑦𝑛) → 𝑏, se trata de ver que (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) → 𝑎 + 𝑏. Sea 𝜀 > 0. Por hipótesisexiste 𝜈1 tal que |𝑥𝑛 − 𝑎 | < 𝜀/2 si 𝑛 > 𝜈1 y existe 𝜈2 tal que |𝑦𝑛 −𝑏 | < 𝜀/2 si 𝑛 > 𝜈2. Por tanto, si𝜈 = max{𝜈1, 𝜈2} se tiene

| (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) − (𝑎 + 𝑏) | ≤ |𝑥𝑛 − 𝑎 | + |𝑦𝑛 − 𝑏 |

< 𝜀/2 + 𝜀/2 = 𝜀

para 𝑛 > 𝜈, lo que prueba que (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) → 𝑎 + 𝑏.

Como resultado de 1) y 2) se tiene

(𝑥𝑛) → 𝑎

(𝑦𝑛) → 𝑏

⇒1)

(𝜆𝑥𝑛) → 𝜆𝑎

(𝜇𝑦𝑛) → 𝜇𝑏

⇒2) (𝜆𝑥𝑛 + 𝜇𝑦𝑛) → 𝜆𝑎 + 𝜇𝑏.Sucesiones y series de números reales — 5




















































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Para el producto: en primer lugar (y esto es trivial), como (𝑦𝑛) es acotada y (𝑥𝑛) → 𝑎 se tiene(𝑦𝑛 (𝑥𝑛 − 𝑎)

)→ 0. En efecto, si |𝑦𝑛 | ≤ 𝑀 para todo 𝑛, entonces |𝑦𝑛 (𝑥𝑛 − 𝑎) | ≤ 𝑀 |𝑥𝑛 − 𝑎 | → 0.

Como consecuencia, si (𝑥𝑛) → 𝑎 e (𝑦𝑛) → 𝑏 entonces

𝑥𝑛𝑦𝑛 = 𝑥𝑛𝑦𝑛 − 𝑎𝑦𝑛 + 𝑎𝑦𝑛 = 𝑦𝑛 (𝑥𝑛 − 𝑎) + 𝑎𝑦𝑛

es suma de dos sucesiones convergentes, que convergen a 0 y 𝑎𝑏. Por tanto (𝑥𝑛𝑦𝑛) → 𝑎𝑏.

[Se podría haber hecho otra demostración distinta escribiendo

|𝑥𝑛𝑦𝑛 − 𝑎𝑏 | = |𝑥𝑛𝑦𝑛 − 𝑥𝑛𝑏 + 𝑥𝑛𝑏 − 𝑎𝑏 | ≤ |𝑥𝑛𝑦𝑛 − 𝑥𝑛𝑏 | + |𝑥𝑛𝑏 − 𝑎𝑏 |

= |𝑥𝑛 | · |𝑦𝑛 − 𝑏 | + |𝑏 | · |𝑥𝑛 − 𝑎 | ≤ 𝑀 · |𝑦𝑛 − 𝑏 | + |𝑏 | · |𝑥𝑛 − 𝑎 | → 0,

donde se utiliza el hecho de que (𝑥𝑛) es acotada, |𝑥𝑛 | ≤ 𝑀 para todo 𝑛, por tratarse de unasucesión convergente. De aquí se sigue que |𝑥𝑛𝑦𝑛 − 𝑎𝑏 | → 0, es decir, (𝑥𝑛𝑦𝑛) → 𝑎𝑏.]

Sea (𝑦𝑛) → 𝑏 con todos los términos 𝑦𝑛 y 𝑏 no nulos. Como también se tiene ( |𝑦𝑛 |) → |𝑏 | (esun ejercicio fácil), todos los términos |𝑦𝑛 | con 𝑛 > 𝜈 están en el intervalo

(|𝑏 | − |𝑏 |/2, |𝑏 | + |𝑏 |/2

).

En particular, esos términos verican |𝑦𝑛 | > |𝑏 |/2. Así�� 1𝑦𝑛 − 1𝑏�� = �� 𝑏 − 𝑦𝑛𝑏𝑦𝑛

�� ≤ |𝑦𝑛 − 𝑏 ||𝑏 |2/2 → 0.De aquí se sigue que (1/𝑦𝑛) → 1/𝑏.

Como consecuencia, si (𝑥𝑛) → 𝑎, (𝑦𝑛) → 𝑏 (y además 𝑏 ≠ 0, 𝑦𝑛 ≠ 0 para todo 𝑛) entonces(1/𝑦𝑛) → 1/𝑏. Aplicando la propiedad del producto se tiene(

𝑥𝑛

𝑦𝑛

)= (𝑥𝑛) · (1/𝑦𝑛) → 𝑎/𝑏,

y se termina la demostración. �

Así, si dos sucesiones (𝑥𝑛) y (𝑦𝑛) son convergentes entonces (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) y (𝑥𝑛 · 𝑦𝑛) también loson y se cumple

lim𝑛→∞

(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) = lim𝑛→∞

𝑥𝑛 + lim𝑛→∞

𝑦𝑛

lim𝑛→∞

(𝑥𝑛 · 𝑦𝑛) = lim𝑛→∞

𝑥𝑛 · lim𝑛→∞

𝑦𝑛 .

Se suele decir que el límite de la suma es la suma de los límites o que el límite del producto esel producto de los límites, pero conviene insistir en que se parte de sucesiones convergentes:si (𝑥𝑛) e (𝑦𝑛) son convergentes, entonces lim(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) = lim𝑥𝑛 + lim 𝑦𝑛, y lo mismo para elproducto.

Sin embargo, si alguna de las sucesiones que intervienen no es convergente, la suma y elproducto puede resultar una sucesión convergente o no:

• (𝑛) no es convergente, (−𝑛) no es convergente, pero la suma sí lo es,• (1, 0, 1, 0, . . .) no es convergente, (0, 7, 0, 7, . . .) no es convergente, y el producto sí esconvergente,

• (𝑛) no es convergente, (1/𝑛2) es convergente, y el producto sí es convergente,• (𝑛2) no es convergente, (1/𝑛) es convergente, y el producto no es convergente.





















































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Límites innitosEn la denición de sucesión convergente (𝑥𝑛) → 𝑎, es decir, del concepto de límite 𝑎 =lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 , aparece 𝑎 como un número real. Se suele extender esta idea al caso en que 𝑎 no esun número, y se habla de límites innitos. Conviene ahora adaptar las reglas conocidas sobresumas y productos de límites.

Denición. Se dice (𝑥𝑛) → +∞, o también lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = +∞, si

∀𝑀 ∃𝜈 ∈ N : 𝑛 > 𝜈 ⇒ 𝑥𝑛 > 𝑀,

es decir, a medida que 𝑛 crece los términos 𝑥𝑛 son tan grandes como se quiera.

Se dice (𝑥𝑛) → −∞, o también lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = −∞, si

∀𝑀 ∃𝜈 ∈ N : 𝑛 > 𝜈 ⇒ 𝑥𝑛 < 𝑀.

Se suele hablar de sucesiones divergentes en los casos en que (𝑥𝑛) → ±∞.

Ejemplos. Ahora, con los límites innitos, al sumar sucesiones con límites innitos puedeocurrir cualquier cosa

• (1, 2, 3, . . .) → +∞, (−1,−2,−3, . . .) → −∞ y la suma es convergente a 0

• (1, 2, 3, . . .) → +∞, (−4,−5,−6, . . .) → −∞ y la suma es convergente a −3

• (1, 2, 3, . . .) → +∞, (−1,−3,−3,−5,−5 . . .) → −∞ y la suma no es convergente

Lo mismo ocurre con el producto

• (1, 2, 3, . . .) → +∞, (1, 1/2, 1/3, . . .) → 0 y el producto converge a 1



• (1, 2, 3, . . .) → +∞, (1, 2/2, 1/3, 2/4, 1/5, 2/6, . . .) → 0 y el producto no converge

Cuando se admiten límites innitos, hay que tener precaución al aplicar las propiedades yavistas del álgebra de límites. Se suele resumir diciendo que no está claro qué resultado dan lasexpresiones del tipo∞−∞ o 0 · ∞. Por este motivo no se dice que las sucesiones con límitesinnitos sean convergentes.

Sin embargo, en algunos casos, como por ejemplo cuando uno de los límites involucrados esnito, es decir 𝑎 ∈ R, se tienen las implicaciones:

(𝑥𝑛) → +∞

(𝑦𝑛) → 𝑎

}⇒

(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) → +∞

(𝑥𝑛𝑦𝑛) → +∞ si 𝑎 > 0

(𝑥𝑛𝑦𝑛) → −∞ si 𝑎 < 0

Hay otros resultados que son evidentes, como

(𝑥𝑛) → +∞, (𝑦𝑛) → +∞ ⇒ (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) → +∞,

(𝑥𝑛) → −∞, (𝑦𝑛) → −∞ ⇒ (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) → −∞,

(𝑥𝑛) → ±∞, (𝑦𝑛) → ±∞ ⇒ (𝑥𝑛𝑦𝑛) → ±∞

,





















































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en este último caso la regla de los signos es igual que con números.

Ejemplos: técnicas útiles para el cálculo de límites. Es posible manipular expresiones deltipo∞/∞, o bien∞ · 0 o bien∞−∞, y convertirlas en otras en las que se puedan aplicar lasreglas del álgebra de límites.

a) División de polinomios:

lim𝑛→∞

5𝑛2 + 12𝑛2 + 17𝑛 + 45 = lim𝑛→∞

5𝑛2𝑛2

+ 1𝑛2

2𝑛2𝑛2

+ 17𝑛𝑛2

+ 45𝑛2

= lim𝑛→∞

5 + 1/𝑛22 + 17/𝑛 + 45/𝑛2 = 5/2

ya que el numerador es una sucesión que tiende a 5 y el denominador tiende a 2.

Estemismo razonamiento se puede utilizar para calcular otros límites de cocientes de polinomios,como

lim𝑛→∞

−𝑛3 + 96𝑛2 + 300𝑛4 − 2 = 0, lim𝑛→∞

8𝑛3 + 96𝑛2 + 300𝑛2 + 𝑛 + 31 = +∞.

b) Algunas expresiones del tipo ∞−∞, que se convierten en cocientes: si 𝑥𝑛 =√︁𝑛2 + 𝑛 −𝑛, se

puede hacer lo siguiente:√︁𝑛2 + 𝑛 −𝑛 =

( √︁𝑛2 + 𝑛 −𝑛

) ( √︁𝑛2 + 𝑛 +𝑛

)√︁𝑛2 + 𝑛 +𝑛

=𝑛√︁

𝑛2 + 𝑛 +𝑛=

1√︁1 + 1/𝑛 +1

,

y así√︁𝑛2 + 𝑛 −𝑛 → 1/2.

c) Límites encajados: si (𝑥𝑛), (𝑦𝑛) y (𝑧𝑛) son sucesiones convergentes, se tiene

a) si 𝑥𝑛 < 𝑦𝑛 (o ≤) para todo 𝑛 entonces lim𝑛→∞

𝑥𝑛 ≤ lim𝑛→∞

𝑦𝑛 (y ambos límites pueden seriguales),

b) si 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 ≤ 𝑧𝑛 para todo 𝑛 entonces lim𝑛→∞


𝑦𝑛 ≤ lim𝑛→∞

𝑧𝑛 .

Por supuesto, basta que las comparaciones sean ciertas a partir de un cierto valor de 𝑛 paratener las mismas conclusiones. Este resultado suele utilizarse para encontrar o estimar el límitede una sucesión (𝑦𝑛) viendo el límite de alguna sucesión que está por debajo y otra que estápor encima de ella. Por ejemplo, la sucesión 𝑦𝑛 = 𝑛!/𝑛𝑛 verica

𝑥𝑛 = 0 ≤ 𝑦𝑛 =𝑛!𝑛𝑛

=𝑛

𝑛· 𝑛 − 1

𝑛· · · 2

𝑛· 1𝑛

≤ 1𝑛

= 𝑧𝑛 .

Por tanto 0 = lim𝑛→∞


𝑦𝑛 ≤ lim𝑛→∞

𝑧𝑛 = 0 y así (𝑦𝑛) → 0.

Notación. La expresión «casi siempre» se suele utilizar por comodidad para expresar un hechoque le ocurre a una sucesión en todos los términos, salvo, a lo sumo, en una cantidad nita deellos. Por ejemplo, una sucesión positiva casi siempre indica una sucesión cuyos términos sonpositivos salvo, a lo sumo, una cantidad nita de ellos, como la sucesión (−1,−3,−5, 7, 7, 7, 7, . . .)o (1, 2, 3, . . .). También se dice que esta sucesión es positiva para casi todo 𝑛, indicando queesto es cierto para todo 𝑛 salvo, a lo sumo, para una cantidad nita de términos.

Las sucesiones constantes son convergentes. Y también lo son las sucesiones que son constantescasi siempre, es decir, constantes salvo una cantidad nita de términos. La demostración esevidente: (𝑎, 𝑎, 𝑎, . . .) → 𝑎 y (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛, 𝑎, 𝑎, 𝑎, . . .) → 𝑎.





















































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Sucesiones monótonasDenición. Se dice que una sucesión de números reales (𝑥𝑛) es

• creciente (o no decreciente) si 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≤ . . . (o también 𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑛+1 para todo 𝑛)• estrictamente creciente si 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < . . .• decreciente si 𝑥1 ≥ 𝑥2 ≥ 𝑥3 ≥ . . .• estrictamente creciente si 𝑥1 > 𝑥2 > 𝑥3 > . . .

En cualquiera de estos casos se dice que la sucesión es monótona, y se suele añadir el caráctercreciente o decreciente. Por ejemplo, la sucesión (1, 2, 3, . . .) es monótona creciente, o monótonaestrictamente creciente si se quiere precisar aún más. La sucesión (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . ) no esmonótona.

El siguiente resultado es equivalente al teorema fundamental del orden en R. Proporciona unmétodo rápido para comprobar que algunas sucesiones son convergentes.

Teorema. Toda sucesión monótona y acotada de números reales (o monótona casi siemprey acotada) es convergente. Si (𝑥𝑛) es acotada y creciente entonces es convergente, y se tienelim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = sup{𝑥𝑛 : 𝑛 ∈ N}. Y si (𝑦𝑛) es acotada y decreciente entonces es convergente, y setiene lim𝑛→∞ 𝑦𝑛 = inf{𝑦𝑛 : 𝑛 ∈ N}.

Demostración. Sea (𝑥𝑛) creciente y acotada: 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≤ . . . ≤ 𝑀 . Por el teoremafundamental del orden existe 𝑎 = sup{𝑥𝑛 : 𝑛 ∈ N}. Dado 𝜀 > 0, en (𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀) hay algúntérmino 𝑥𝑛 , ya que en caso contrario 𝑎 − 𝜀 sería cota superior y 𝑎 no sería el supremo (la menorde las cotas superiores). Ahora bien, 𝑥𝑛 ∈ (𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀) signica 𝑎 − 𝜀 < 𝑥𝑛 ≤ 𝑎, pues 𝑎 es cotasuperior de todos los términos 𝑥𝑛 (es el supremo de ellos). Como la sucesión es creciente y estáacotada por 𝑎 se tiene

𝑎 − 𝜀 < 𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑛+1 ≤ 𝑥𝑛+2 ≤ 𝑥𝑛+3 ≤ . . . ≤ 𝑎

de donde se sigue que (𝑥𝑛) → 𝑎. �

Ejemplo. La sucesión cuyos términos son

𝑥1 =12 , 𝑥2 =

12 +

14 , . . . , 𝑥𝑛 =

12 +

14 +

18 + . . . +

12𝑛

es convergente. Para comprobarlo basta ver que está acotada superiormente y es creciente. Que(𝑥𝑛) es creciente no necesita demostración. Que (𝑥𝑛) está acotada es fácil (por ejemplo, porinducción): 𝑥𝑛 < 1 para todo 𝑛 ∈ N, ya que 𝑥𝑛+1 = (1 + 𝑥𝑛)/2. De hecho, su límite y su supremocoinciden y es 1.

Ejemplo. Ya se verá más adelante que la sucesión 𝑥𝑛 = (1 + 1/𝑛)𝑛 es monótona y acotada enQ. Sin embargo, no es convergente en Q. El teorema anterior es cierto en R, y dice que esasucesión 𝑥𝑛 = (1 + 1/𝑛)𝑛 converge a algún número real.

Valores de adherencia y límiteDenición. Se dice que 𝑎 es valor de adherencia de (𝑥𝑛) si

∀𝜀 > 0 ∀𝜈 ∈ N ∃𝑛 > 𝜈 : |𝑥𝑛 − 𝑎 | < 𝜀,

es decir, sea como sea 𝜀 > 0, en (𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀) hay innitos términos 𝑥𝑛 .





















































Dep

arta

men

to d

e M

ate

máti

cas

Un

iversid

ad

de E

xtr

em

ad

ura



ep

arta

men

to d

e M

ate

mátic

as

Un

iversid

ad

de E

xtr

em

ad

ura

Por ejemplo (0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, . . .) es una sucesión que tiene tres valores de adherencia 0, 1 y2. El número 𝑎 = 1 es valor de adherencia porque en (1 − 𝜀, 1 + 𝜀) hay innitos términos de lasucesión: 𝑥2, 𝑥5, 𝑥8, . . . están en ese intervalo. Sin embargo, esta sucesión no es convergente.

La diferencia entre valor de adherencia y límite es la siguiente:

• si 𝑎 es valor de adherencia, para cualquier valor 𝜀 > 0, (𝑎−𝜀, 𝑎+𝜀) contiene innitos términos𝑥𝑛;

• si 𝑎 es el límite, para cualquier valor 𝜀 > 0, (𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀) contiene todos los términos 𝑥𝑛 salvouna cantidad nita de ellos.

Además, si (𝑥𝑛) → 𝑎 entonces 𝑎 es el único valor de adherencia de (𝑥𝑛).

Hay sucesiones sin valores de adherencia, como por ejemplo, la sucesión (1, 2, 3, 4, 5, . . .). Y haysucesiones que tienen innitos valores de adherencia: comoQ es numerable, se pueden escribirtodos los números racionales como una sucesión (𝑥𝑛). Es frecuente escribir Q = (𝑥𝑛). Paraesta sucesión cualquier valor 𝑎 ∈ R es un valor de adherencia. Este hecho ya se ha visto antes,en cada intervalo de la recta real hay innitos números racionales. Otro ejemplo: la sucesión(1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . . ) tiene innitos valores de adherencia.

El término «valor de adherencia» se justica comprobando que 𝑎 es valor de adherencia de(𝑥𝑛) si y sólo si 𝑎 ∈ {𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1, 𝑥𝑛+2, . . .} para todo 𝑛 ∈ N, es decir,

𝑎 ∈ {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . .} ∩ {𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, . . .} ∩ {𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, . . .} ∩ . . .

Es fácil ver que los valores de adherencia de una sucesión son los términos que se repiteninnitas veces o bien aquellos que son puntos de acumulación de {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . .}. Ahora seentiende mejor cuáles son los valores de adherencia de la sucesión (0, 1, 2, 0, 1, 2, . . .) o por qué(1,−1, 1, 2,−1, 1/2, 3,−1, 1/3, 4,−1, 1/4, . . .) tiene a {−1, 0} como valores de adherencia.

En R, las sucesiones de Cauchy son convergentes. R es completoEn esta sección se va a probar un resultado central en el estudio de sucesiones de númerosreales: las sucesiones de Cauchy y las sucesiones convergentes coinciden. Por esto se dice queR es completo.

Ya se ha visto que una sucesión monótona y acotada es convergente. Pero ¿y si sólo es acotada?El siguiente resultado es equivalente al teorema fundamental del orden.

Teorema. Toda sucesión acotada de números reales tiene algún valor de adherencia.

Demostración. Si (𝑥𝑛) sólo tiene nitos términos distintos entonces alguno se repite innitasveces y es valor de adherencia.

En caso contrario {𝑥𝑛 : 𝑛 ∈ N} es innito y acotado. Por el teorema de Bolzano tiene algúnpunto de acumulación, es decir, (𝑥𝑛) tiene algún valor de adherencia. �

Hay sucesiones que no son acotadas pero tienen valores de adherencia. Por ejemplo la sucesión(1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . .) tiene como valores de adherencia a todos los números naturales. Lasucesión (1,−1, 1, 2,−1,−2, 1, 2, 3,−1,−2,−3, . . .) tiene como valores de adherencia a todos losnúmeros enteros no nulos.

Sin embargo, si (𝑥𝑛) es acotada, el teorema anterior asegura que la sucesión tiene valores deadherencia. Y si sólo tiene un único valor de adherencia entonces ese valor es el límite:





















































Dep

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Proposición. Sea (𝑥𝑛) una sucesión acotada. Entonces (𝑥𝑛) es convergente si y sólo si tiene unúnico valor de adherencia, y en ese caso ese valor es su límite.

Demostración. Si (𝑥𝑛) es convergente, (𝑥𝑛) → 𝑎, entonces dado 𝜀 > 0 en (𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀) estántodos los términos (𝑥𝑛) salvo una cantidad nita. Luego 𝑎 es valor de adherencia y es el únicoposible.

Recíprocamente, si (𝑥𝑛) tiene un único valor de adherencia, entonces, sea cual sea el valor de𝜀 > 0, en (𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀) están todos los términos (𝑥𝑛) salvo una cantidad nita, como mucho, yaque 𝑎 es el único valor de adherencia. Por tanto (𝑥𝑛) → 𝑎. �

Ya se ha visto que enQ existen sucesiones de Cauchy que no son convergentes. Basta considerar(𝑥𝑛) = (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, . . .) que es de Cauchy pero no converge en Q. En cambio,toda sucesión convergente, tanto en R como en Q, es de Cauchy. La demostración se ha hechoanteriormente, y es válida para sucesiones de números racionales o de números reales.

en Q y en Rsucesión convergente ⇒ sucesión de Cauchy

El siguiente resultado es equivalente al teorema fundamental del orden. Se dice que R escompleto.

Teorema. Toda sucesión de Cauchy de números reales es convergente. Por tanto,

en Rsucesión convergente ⇔ sucesión de Cauchy

Demostración. Sea (𝑥𝑛) de Cauchy enR. Ya se ha probado que entonces la sucesión está acotaday por tanto tiene algún valor de adherencia. Falta probar que ese valor de adherencia es únicoy así la sucesión será convergente. Eso es fácil de probar al tratarse de una sucesión de Cauchy.Se supone que existen 𝑎 y 𝑏 valores de adherencia distintos de (𝑥𝑛). Se elige 𝜀 sucientementepequeño para que los intervalos (𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀) y (𝑏 − 𝜀, 𝑏 + 𝜀) dejen una separación positiva entreellos, por ejemplo, 𝑑 = |𝑏 − 𝑎 |/2. Para conseguir esto basta elegir 𝜀 = |𝑏 − 𝑎 |/4 o menor.( )𝑎 − 𝜀 𝑎 + 𝜀

𝑎( )𝑏 − 𝜀 𝑏 + 𝜀

𝑏

𝑑 = |𝑏 − 𝑎 |/2

Como 𝑎 y 𝑏 son valores de adherencia, cada uno de esos intervalos contiene innitos términosde la sucesión. Tomando cualquier término 𝑥𝑝 en el primer intervalo y cualquier otro 𝑥𝑞 en elsegundo, se tiene |𝑥𝑝 − 𝑥𝑞 | ≥ 𝑑 y la sucesión (𝑥𝑛) no es Cauchy. Esto es imposible: no puedehaber por tanto dos valores de adherencia distintos. �

Ejemplo. Se elige 𝑥0 = 7. Se le añade una cifra decimal más y se obtiene el siguiente término:𝑥1 = 7.1. De nuevo se añade otra cifra decimal y se obtiene el siguiente término, 𝑥2 = 7.19, y secontinúa así 𝑥3 = 7.191, 𝑥4 = 7.1919, 𝑥5 = 7.19191, 𝑥6 = 7.191911, 𝑥7 = 7.1919111,. . . La elección





















Fernando Sanchez - Departam

cálculo i - unex.esmatematicas.unex.es/~fsanchez/calculoi/05.pdfsucesiones y series de números...

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