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C.E.C. Y T. LAZARO CARDENAS DEL RIO

Prof: Eduardo Becerril Espinosa

México, Enero de 2016

CÁLCULO

DIFERENCIAL

4

CONTENIDOS Pág.

Prologo.

Capítulo 1. Desigualdades. 9

Otras Definiciones

Operaciones de conjuntos

Algunas Propiedades de las Desigualdades

Desigualdades Cuadráticas .

Algunas aplicaciones de las Desigualdades

Capítulo 2. Funciones 21

Secuencia Didáctica 1. Para la Noción de Función

Secuencia Didáctica 2. Problemas Complementarios Sobre la Noción de Función

Definición de Función

Capítulo 3.Funcion composición 31

Capítulo 4.Funciones inversas 35

Ejemplos

Capítulo 5. Límites 39

Límites con Tablas Numéricas

Teoremas sobre Límites

Límites de Cocientes

Límites al Infinito

Capítulo 6. Derivada de una función 51

Definición y la regla de los cuatro pasos

5

Capítulo 7. Fórmulas básicas 59

Ejemplos de derivadas

Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada 71

Ejemplos

Capítulo 9. Funciones implícitas 75

Derivada de Funciones Implícitas

Regla de la Cadena

Capítulo 10.Derivadas de orden superior 79

Ejemplos

Capítulo 11. Razón de cambio 81

Ejemplos

Capítulo 12. Funciones Creciente y Decreciente 87

Función Creciente

Función Decreciente

Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos 91

Máximo y Mínimo Local

Criterio de la Primera Derivada Para Hallar los Valores Máximo y Mínimo

Aplicaciones de Máximos y Mínimos

Capítulo 14. Concavidad 105

Ejemplos

Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos 111

Ejemplos

Capítulo 16. Derivada Trigonométrica 119

Ejemplos

6

Capítulo 17. Derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas 131

Ejemplos

Capítulo 18. Derivada de las funciones inversas trigonométricas 143

Capítulo 19. Diferenciales y el método de Newton para resolver ecuaciones 145

Ejemplos

Capítulo 20. Proyectos 159

Apéndice 169

Bibliografía

3

Examen diagnóstico

1.- Resuelve las siguientes operaciones:

a) 3-2(8-1)+4(7+2(2-4))= b) 17

4

6

2 =

2.-Resuelve la ecuación: 4(8-3x)+2(11-4x)=5x-1

3.-Resuelve la siguiente ecuación: xxx

2

3

6

15

4.- Obtenga la gráfica de : 2(x+3)+5y=1

6.-Resuelve el sistema de ecuaciones:

2x+y=7

3x+y=5

7.-Grafica la función 16

2

x

y

8.-Resuelve la ecuación: x2+3x-5=0

9.-Simplifica: )5025(32182 =

10.- Obtenga la gráfica de la función: y=5sen(2x)+3

Capítulo 1. Desigualdades

9

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN

Construcción con tijeras y papel Para las siguientes dos actividades necesitaras: regla, lápiz, tijeras, calculadora. La caja1. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito en cada esquina de lado x. Si estas colocado en la fila uno, tu cuadrito es de 1cm., si te encuentras en la fila dos entonces tu cuadrito es de 2cm., y así según en la fila que te encuentres. Los extremos que quedan los doblaremos hacia arriba y formaremos una cajita. Supongamos que la hoja mide 20cm. por 40cm. Obtenga la fórmula para el volumen de la cajita. El valor del volumen según la fila en la que te encuentres. Obtenga la gráfica de volumen por medio de tabulación.


10

La caja2. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito pero en esta ocasión en las esquinas y en la mitad de la hoja el cuadro será de lado x. Si estas colocado en la fila uno, tu cuadrito es de 1cm., si te encuentras en la fila dos entonces tu cuadrito es de 2cm., y así según en la fila que te encuentres. Los extremos que quedan los doblaremos hacia arriba y formaremos una cajita. Supongamos que la hoja mide 20cm. por 40cm. Obtenga la fórmula para el volumen de la cajita. El valor del volumen según la fila en la que te encuentres. Obtenga la gráfica de volumen por medio de tabulación.


11

DESIGUALDADES

DEFINICIONES

Conjunto: Un conjunto es una colección de objetos con una o varias propiedades en común.

Ejemplo 1: El conjunto e transportes = { }

Ejemplo 2: El conjunto de instrumentos de laboratorio de química={ , , , , ,...}

Ejemplo 3: El conjunto de las curvas = { } Ejemplo 4: El conjunto de deportistas.

Ejemplo 5: El conjunto de los dígitos D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Ejemplo 6: El conjunto de los números naturales N ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}

Ejemplo 7: El conjunto de los números enteros Z= {...,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,...}

Elementos: Los objetos que forman un conjunto, reciben el nombre de elementos del conjunto, pueden ser números, seres humanos, cosas, animales, etc. Depende del conjunto que se este tratando. Ejemplo: A= Conjunto de alumnos de la vocacional 4, del grupo 5136. B= Conjunto de números enteros pares mayores de 8. J = Conjunto de números que cumplen con la ecuación x2 + x - 8 = 0 Generalmente para representar un conjunto se utilizan las letras mayúsculas A, B, C,... para representar sus elementos se utilizan letras minúsculas a, b, c,... Si un conjunto no tiene elementos, entonces este conjunto es el conjunto vacío se representa por la letra griega . Ejemplo: D= Conjunto de los múltiplos de 3, entre 16 y 40. El conjunto D se puede escribir con todos sus elementos, encerrados entre llaves como se indica a continuación: D = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39} En este ejemplo se muestra que un conjunto se puede definir por sus propiedades o por sus elementos, así se tiene dos métodos de definición.

Definición por extensión (o tabular): se colocan todos los elementos encerrados entre llaves.

Ejemplo: El conjunto de números pares = {2, 4, 6, 8, 10,…} Cuando se define un conjunto, colocar todos sus elementos puede ser poco práctico ya que el conjunto puede ser muy grande o muy complicado para hacer esto.

Definición por comprensión (o constructiva): Se coloca entre llaves las propiedades que definen al conjunto o se dice con palabras las propiedades que lo definen.

Ejemplo: El conjunto de números múltiplos de tres = {x/ x = 3p, p es entero}; el símbolo / ( I )se lee tal que. Ejemplo: Por comprensión F = {x/ x 2 =1} Indica que F consiste de todos los números reales, tales que elevados al cuadrado son igual a la unidad. Por Extensión se tiene que F = {-1,1} pues (-1)2 =1 y también (1)2 =1


12

Para decir que un elemento esta en un conjunto se utiliza el símbolo que es el símbolo de

pertenencia, así 24 D se lee 24 pertenece al conjunto D, mientras que el símbolo no

pertenece es , así 5 D se lee 5 no pertenece al conjunto D o también 5 no esta

contenido en D, donde D = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39}. Para destacar la importancia de ciertos conjuntos de números se les asigna una letra especial, por ejemplo el conjunto de números naturales se representa por la letra N, el

conjunto de los números enteros por la letra Z, para el conjunto de números racionales se

utiliza la letra Q, el conjunto de números irracionales se representa por la letra I, para el

conjunto de números reales se utiliza la letra R, el conjunto de números complejos se

representa por la letra C.

OTRAS DEFINICIONES Conjunto Universo: Se representa por el símbolo U, es el conjunto de todos los resultados posibles que puede tener el fenómeno que se este estudiando. Conjunto Vacío: Se representa por el símbolo , como su nombre lo indica es el conjunto que no tiene elementos. Diagramas de Venn: los conjuntos se pueden representar gráficamente por medio de círculos, Elipses, Rectángulos, triángulos y curvas cerradas.

OPERACIONES DE CONJUNTOS Consideremos el conjunto universal U.

1. Unión de dos conjuntos A B = {x/ x A o x B} Ejemplo: si U = conjunto de las letras del abecedario, tomemos A= {a, b, c, d, f},

B= {b, d, e} entonces AB = {a, b, c, d, e, f}.

2. Intersección de dos conjuntos A B = {x/ x A y x B} Ejemplo: Si U=Conjunto de las letras del abecedario, tomemos B= {a, b, c, d, e, f, g}, C = {b, c, f, h, i, j} entonces el conjunto intersección B C = {b, c, f}.

3. Complemento de un conjunto Ac = x / x U y x A}

Ejemplo: si U = conjunto de los dígitos, tomemos A= {1, 2, 3, 4, 7, 9}, así se tiene que: Ac= {0, 5, 6, 8}. Nuestro interés es trabajar con un tipo particular de conjuntos llamados intervalos. Tenemos loas siguientes símbolos > mayor que, mayor o igual que, <menor que, menor o igual que. Tomemos el conjunto de números menores de 7, podemos escribir: {x / x<7}. Representémoslo en la recta numérica:

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )

Podemos escribir este conjunto en forma abreviada como: (- , 7)


13

Tomemos el conjunto de números mayores o iguales a 2 y menores de 5= {x / 2 x<5},

representémoslo en la recta numérica: -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )[

Este conjunto lo podemos escribir como : [2, 5) Estos conjuntos se llaman intervalos, veamos la siguiente tabla.

Ejemplo. Resolver 3x-7<0 Solución: Tenemos: 3x-7<0, sumando 7 en ambos lados de la desigualdad: 3x-7+7<0+7 Así: 3x<7 Dividiendo entre 3, tenemos: x<7/3 y el conjunto solución es: {x/x<7/}= (- ,7/3) Ejemplo. Resolver 5x+8<1 Solución: Tenemos: 5x+8<1, restando 8 en ambos lados de la desigualdad: 5x+8-8<1-8 Así: 5x<1-8, es decir: 5x<-7 Dividiendo entre 5, tenemos: x<-7/5 y el conjunto solución es: {x/x<-7/5}= (- ,-7/5) Ejemplo. Resolver 5x-72 Solución: Tenemos: 5x2+7, simplificando: 5x9 Dividiendo entre 5, tenemos: x9/5 y el conjunto solución es: {x/x9/5}= [9/5, ) Ejercicio Resuelve las siguientes desigualdades, tomando como base los ejemplos anteriores: a)8x-11<4

INTERVALO ABIERTO a, b

INTERVALO CERRADO a, b

INTERVALO SEMI ABIERTO POR LA

IZQUIERDA a, b

INTERVALO SEMI ABIERTO POR LA

DERECHA a, b

NUMEROS REALES R

Símbolo a<x<b a xb a<x b a x<b x ( a, b) ba, ba, ba, ( - , )

Gráfica ( )

a b

a[ ]

b

a]b

(

a b)[

( )-

Tarea. Ejemplifica en las filas de abajo lo descrito en las filas de arriba, en el entendido de

que a y b son números reales.


14

b)6+7x21 c) 33>6x+22

Algunas propiedades de las desigualdades

Una propiedad muy importante de las desigualdades, es cuando se multiplica o se divide por un número negativo es que el sentido de la desigualdad se invierte, como podemos observar en los siguientes ejemplos. Ejemplo. Resolver: -3x>1 Solución: Dividimos entre -3 y como éste valor es negativo se invierte el sentido de la desigualdad x<-1/3, el conjunto solución es: (- ,-1/3) Ejemplo. Resolver: -5x-9<1 Solución: Sumando 9 en ambos lados de la desigualdad: -5x<8 Dividimos entre -5 y como éste valor es negativo se invierte el sentido de la desigualdad x>-8/5, el conjunto solución es: (-8/5, ) Ejemplo. Resolver: 3x+1<5x-4 Solución: 3x-5x<-4-1 -2x<-5 Dividiendo entre –2; tenemos x> 5/2 y el conjunto solución es [ 5/2, + ) Ejemplo. Resolver: -6<2x-4<2 Solución: En este caso podemos resolver la desigualdad por dos métodos Metodo1: Consiste en separar en dos desigualdades:


15

Tenemos: -6<2x-4 y también: 2x-4<2 Así: -2<2x 2x<6 De donde: -1<x x<6/2 Así tenemos –1<x, x<3

Graficamos estos conjuntos tenemos: Así la solución es el intervalo (–1, 3) Método 2: Consiste en trabajar la desigualdad sin separarla: Tenemos: -6<2x-4<2 Luego: -4<2x<6 Dividiendo entre 2: -2<x<3 y tenemos que el conjunto solución es: (-1,3) Ejercicio Resuelve las siguientes desigualdades tomando como base los ejemplos anteriores:

a) -3x+411 b) 11153

x

c) 9<15-6x d) xx

411355

e)-2x-3>-4x+3 f) )1(7425

3 x

x

h) )12

(11)12(813 x

xx i)4<2x-6<6


16

j) 2

1

4

352

x

f) 336

7415

x

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Una desigualdad se llama cuadrática si tiene alguna de las formas siguientes, con .0a :

.02;02;02;02 cbxaxcbxaxcbxaxcbxax

Algunos ejemplos de este tipo de desigualdades se muestran a continuación.

Ejemplo: Resolver x2-7x+10>0

Solución: factorizando la expresión x2-7x+10, tenemos: x2-7x+10 =(x-2)(x-5) Tomemos x=2, x=5, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes:

Tenemos los intervalos: (- ,2), (2,5), (5, ) Podemos tomar el valor k=0 en el primer intervalo k=3 en el segundo intervalo y k=6 en el último intervalo.

Esta información coloquémosla en una tabla: INTERVALO VALOR K EXPRESION (x-2)(x-5) SIGNO DE LA EXPRESION

(- ,2)

1 (1-2)(1-5)=(-1)(-4)=4 +


17

(2,5)

3 (3-2)(3-5)=(1)(-2)=-2 -

(5, )

6 (6-2)(6-5)=(4)(1)=4 +

Observemos que la solución de x2-7x+10>0 son los intervalos en donde se halla el signo positivo, estos intervalos son: (- ,2) y (5, )

Por lo tanto la solución es: (- ,2) (5, )

Ejemplo: Resolver x2-x-6<0

Solución: factorizando la expresión x2-x-6, tenemos: x2-x-6=(x-3)(x+2) Tomemos x=-2, x=3, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes:

Tenemos los intervalos: (- ,-2), (-2,3), (3, ) Podemos tomar el valor k=-3 en el primer intervalo k=0 en el segundo intervalo y k=5 en el último intervalo. Esta información coloquémosla en una tabla: INTERVALO VALOR K EXPRESION (x-3)(x+2) SIGNO DE LA EXPRESION

(- ,-2)

-3 (-3-3)(-3+2)=(-6)(-1)=6 +

(-2,3)

0 (0-3)(0+2)=(-3)(2)=-6 -

(3, )

5 (5-3)(5+2)=(2)(7)=14 +

Observemos que la solución de x2-x-6<0 son los intervalos en donde se halla el signo negativo, estos intervalos son: (-2,3) Por lo tanto la solución es: (-2,3)

Ejemplo: Resolver 03

5

x

x

Solución: En este caso tomemos: x=-5, x=-3, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes:

Tenemos los intervalos: (- ,-5), (-5,-3), (-3, ) Podemos tomar el valor k=-6 en el primer intervalo k=-4 en el segundo intervalo y k=-2 en el último intervalo. Esta información coloquémosla en una tabla: INTERVALO VALOR K

EXPRESION 3

5

x

x

SIGNO DE LA EXPRESION

(- ,-5)

-6

3

1

3

1

36

56

+


18

(-5,-3)

-4 1

1

1

34

54

-

(-3, )

-2 3

1

3

32

52

+

Observemos que la solución de 03

5

x

x son los intervalos en donde se halla el signo

positivo, estos intervalos son: (- ,-5) y (-3, )

Por lo tanto la solución es: (- ,-5) (-3, ) Ejercicio Resolver las siguientes desigualdades tomando como base los ejemplos anteriores. a) x2 4x-3

b) x2 -24>1

c) 05

9

x

x

d) 016

72

x

x


19

e) 6x2 +2x-20<0

ALGUNAS APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES

1) Rafael un conserje debe mover un gran cargamento de libros del primero al quinto piso. El letrero del elevador dice peso máximo. 900 libras. si cada caja de libros pesa 80 libras, encuentra el número máximo de cajas que puede colocar en el elevador

2) La relación entre la escala de temperatura Fahrenheit1 y Celsius está dada por

)32(9

5 FC . Si 80

9

60 F , exprese el intervalo correspondiente de C en términos de

una desigualdad.

1 Gabriel Fahrenheit nació en Prusia en 1686. Se le conoce principalmente por haber inventado una escala para medición de las

temperaturas. Antes de él, los termómetros empleaban alcohol. En vez de ello, puso mercurio (Hg) dentro del tubo. El mercurio se solidifica

a unas temperaturas muy bajas , y para que hierva, se requiere unas temperaturas muy altas. Por ello, el mercurio puede medir una extensión

mayor de temperaturas que el alcohol. En la escala Fahrenheit el número 32 indica el punto de congelación del agua. Esta escala es distinta de la de Celsius que también utiliza mercurio


20

3) De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza F(en libras) que se requiere para estirar un

resorte x pulgadas más de su longitud natural está dada por: F=4.5x . Si 10<F<18. ¿Cuál es el intervalo de x?

4) Según una teoría, el efecto más benéfico de un ejercicio como trotar, se obtiene cuando

el ritmo pulsa torio se mantiene dentro de cierto intervalo. Los extremos del mismo de obtienen multiplicando el número (220-edad) por 0.70 y 0.80. Determine el intervalo del ritmo cardiaco para dos personas de 30 y 40 años, respectivamente.

x

Capítulo 2. Gráficas de Funciones

21

CAPÍTULO 2. FUNCIONES Definición de función

Función: Una función f es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A exactamente un único elemento de un conjunto B.

Notación: la función f se representa por f:A B, f es función del conjunto A al conjunto B. En este

caso la función f asigna al elemento a el elemento b, esto lo escribimos como f(a)=b.

Notación: f(x) se lee “ f evaluada en x” o también “f en x” o también “f de x” y es el valor que toma la función en x.

Cuando tenemos f(x) , x se llama variable independiente y se dice que f es función de variable x.

Ejemplo: x

xf

2

3)(

Calculemos f(1)

Para obtener este valor sustituimos 1 en el lugar de la variable x, así tenemos:

13

3

12

3)1(

f

Calculemos f(2)

Para obtener este valor sustituimos 2 en el lugar de la variable x, así tenemos:

4

3

22

3)2(

f

Calcula f(4) calcula f(-7)

Podemos tomar a x como el valor de entrada y a y=f(x) como valor de salida. Ejemplo: y=f(x)=2x3

Entonces: si x=-1 (valor de entrada)

Se tiene: y=f(-1)=2(-1)3 =-2 (valor de salida) Así mismo: y=f(0)=0

y=f(1)=2 y=f(2)=16

x se conoce como variable independiente, y=f(x) se conoce como variable dependiente.

Ejemplo: y=2x+4

Se tiene que “x” es la variable independiente y “y” la variable dependiente, sin embargo podemos cambiar las literales por ejemplo en lugar de “x” pongamos t y en lugar de “y” pongamos z, tenemos:

z=2t +4 que es la misma función.

Las funciones aparecen con mucha frecuencia, por ejemplo:

a) A cada alumno le corresponde exactamente un único número de boleta; hay una función entre los alumnos y los números de boleta.

b) La distancia necesaria para frenar un auto hasta detenerlo es función de la velocidad que lleva dicho auto.

c) El número de conejos en un bosque es función del número de zorros.

d) El salario de un oficinista es función del número de faltas que tiene al mes.

e) f(x)=2x , esta función le asigna a cada número x el doble de su valor.


22

Obtenga la gráfica de y=x3/2

5. Grafica la función f(x)=|x|

6.Grafica la función y=|x2- 5|

Utiliza winplot y observa las gráficas de estas funciones

a) y= x4- 3x2+ 2 b) y=xsenx

c)y=x/x-2 d)y=2/x2 e)y=(x-3)/(x2-4)


23

El método de tabulación nos da una idea de cómo son las funciones, sin embargo las funciones

pueden ser más delicadas por lo que este método no resulta eficaz, así más adelante se verán

técnicas para graficar.

Sin embargo también hay funciones donde puede darse una traslación vertical, por ejemplo tomando como base la gráfica de la función y=x2, representa una parábola con vértice en el origen. Al graficar

y=x2+1, observamos que las expresiones son casi iguales, pero la segunda función se le está

sumando la unidad. Quiere decir que el resultado de sustituir los valores de x serán iguales que antes pero todos aumentados en una unidad. El efecto que causara que obtendremos una grafica

trasladada una unidad sobre el eje y. Un efecto similar se obtiene para y=x2+2 y y=x2-2, esta última trasladada dos unidades hacia abajo.

Ejercicio

1) Obtenga la grafica de las siguientes funciones.

a) y=-x2 b) y=-x2 +1

c) y= x2 +3 d) y=-x2 +5

e) y= x2 -2


a) y=-x3 b) y=-x3 +1

c) y= x3 +3

d) y= x3 - 5 e) y=-x3 -2


24


a) y=(x-3)2 b) y=(x-3)2 +1

c) y=(x-5)2 +4

Ejercicio: Determina si la gráfica representa una función x.

a) b c)


25

MÁS APLICACIONES DE LAS FUNCIONES PROYECTOS

1) EL TANQUE DE GAS: Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano, el

tanque tiene forma de cilindro circular recto de altura 10 pies, con una semiesfera fija en cada extremo. El radio debe determinarse aún. Exprese el área de la superficie del tanque como función del

radio. Solución:

La figura muestra el tanque de gas. Si desarmamos el tanque tenemos un cilindro y una esfera

10

Si desdoblamos el cilindro tenemos un rectángulo de lado 2 r y altura 10, como se muestra en la

figura:

El área de la esfera es Ae=4 r2

Por lo tanto el área del tanque es

Área del rectángulo + Área de la esfera At= Ar+ Ae=20 r+4 r2 , es decir At=20 r+4 r2

Calcula el área del tanque si el radio vale 5pies Calcula el área del tanque si el radio vale 2pies Obtenga la gráfica de la función At.

2) EL BOTE DE LECHE: Se desea construir un bote de latón para almacenar leche, el bote tiene

forma de cilindro circular recto de altura 17 cm. El radio debe determinarse aún. Exprese el área de

la superficie del bote como función del radio.

10

2

r

El área del rectángulo es base x altura

Es decir Ar=2 r x 10

O sea Ar=20 r

r

r

r


26

3) EL ZOOLOGICO: Para construir 4 jaulas en un zoológico se necesitan 1000 pies de tela de

alambre. El diseño de las jaulas se muestra en la figura.

a) Exprese el ancho “y” como función de la longitud “x”. b) Exprese el área total A limitada por el enrejado como función de x.

c) Si x=2pies calcule “y”, así como también el valor del área.

4) LA PECERA: Se desea que una pecera de altura 1.5 pies tenga un volumen de 6 pies3. Como se

muestra en la figura. a)Exprese y como función de x. b)Si la pecera no tiene tapa. Obtenga como función de x el número total de pies cuadrados de vidrio que se requieren para la construcción.


27

5) EL CICLISMO: Una pista de ciclismo es rectangular con dos semicírculos en cada extremo. Si el

radio de cada semicírculo es r y la longitud total de la pista mide 400m. Obtenga el Área del terreno

encerrada por la pista como función de r.

6) EL CLINDRO INSCRITO: Un cilindro circular recto de radio r y altura h, esta inscrito en un cono de altura 12cm. Y radio de base 4cm. Como se muestra en la figura.

a) Exprese h como función de r (sugerencia: use triángulos semejantes) b) Exprese el volumen V del cilindro como función de r.

Solución: La figura

Para obtener el volumen del cilindro tenemos V=Area de la base x altura

Así: V= r2 h

Sustituyendo h: V= r2 (12 -3r)

Multiplicando: V= 12 r2 -3 r3

Calcula el volumen del cilindro si r=1cm Calcula el volumen del cilindro si r=3cm

Cuál el valor más grande que puede tomar r y Cuál el más pequeño?¿Porque?

Obtenga la gráfica de la función volumen V.

a) Tomemos la relación de

semejanza tomando los triángulos

como en la figura: 12- h = r

12 4

Despejemos h: 12-h=12(r/4)

Tenemos: 12-h=3r

Por lo que tenemos: h=12-3r


28

7) LA CAFETERA: El agua contenida en un filtro cónico de papel gotea a una taza.Como se muestra

en la figura. Suponga que se vacia 5pulgadas cubicas. De agua en el filtro. Sea “ x ” la atura del agua

en el filtro, “ y ” la altura del agua en la taza. a) Exprese el radio r como función de x (sugerencia: use triángulos semejantes)

b) Exprese la altura “y” del agua en la taza como función de x.(sugerencia: ¿Cuál es la suma de los dos volúmenes que se muestran en la figura?

Solución: a) Utilicemos semejanza de triángulos, para esto veamos la siguiente figura:

b)Tenemos que el volumen total es 5=Vol. En el Cono + Vol. En el cilindro

5=1/3 Área de la base*altura+ Area de la base*altura

Es decir: yRxr 22

3

15

Sustituyendo: 2

xr , R=2, tenemos:

yx

yxx

412

15

223

15

3

22

Despejando y:

48

60

412

15

12

154

3

3

3

xy

xy

xy

Calcula el valor de y, sí x=2, x=1, x=0.5, x=0.

a)Tenemos: 24

rx , despejando r, tenemos:

2

xr


29

8) En la figura, el triangulo rectángulo ABE es semejante al triángulo ACD; CD=8 y BC=10; h y x son

las medidas de la altura y de la base del triangulo ABE. Exprese h en función de x.

9) EL AGUA: Un depósito de agua tiene forma de un cono circular recto con 30m de altura y 8m de radio. El depósito está lleno hasta una profundidad de h metros. Sea x el radio del círculo en la parte

superior del nivel del agua. Escriba h en función de x, y utilice este resultado para expresar el volumen del agua en función de x.


30

Funciones Racionales

Investiga la gráfica de la función:

a) xy

3

43

12)

x

xyb

16

57)

x

xyc

342

1)

2

xxyd

15

1)

2

xxye

f) 4

12

2

x

xy

Capítulo 3 Regla de la cadena

31

CAPÍTULO 3 Función compuesta

Función Composición

AB

C

gf

Definimos la función g compuesta con f como: f0g=f(g) , también podemos decir la función composición g seguida de f. Definición: Sean f y g funciones con el rango de g contenido en el dominio de f. Para cada x en el dominio de g, la función composición f0g esta definida como : (f0g)(x)=f(g(x)).

g(x)=3x-10

4

2

f(x)=4x +1

9 Aquí tenemos g(x)=3x-10, f(x)=4x+1, formamos (f0g)(x), para calcular: (h0g)(4)=9 Ejemplo: si f=u2 , h=v+1 Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f= u2 en la función h=v+1, es decir: h0f=h(f)=( u2)+1=u2+1

Ejemplo: si f=u2 +3, 1 vh

Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f= u2 +3 en la función 1 vh , es decir:

h0f=h(f)= 2131)3( 222 uuu

Ejemplo: si f=z-5, 1

12

u

uh

Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f=z-5 en la función 1

12

u

uh , es decir:

h0f=h(f)= 2610

4

12510

15

1)5(

1)5(222

zz

z

zz

z

z

z


32

Ejemplo: si f=2s-11, h=u2 +4u-1 Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f= 2s-11 en la función h= u2 +4u-1, es decir: h0f=h(f)= (2s-11)2 +4(2s-11)-1=4s2-44s+121+8s-44=4s2-36s+77

Ejemplo: si u=3x-7, 42 tv

Entonces para obtener v0u=v(u) sustituimos la función u=3x-7 en la función 42 tv , es decir:

v0u=v(u)= 18641464)73(2 xxx

Ejercicio: obtenga: v0u=v(u) a) si u=5x+4, v=u10 b) u=4x-2, v=3u2+12u-1 c)si u=2x-1, u 7senv d)u=4x-x2 , v=tan u

Ahora procedamos de la siguiente manera, vamos a dar una función y la vamos a descomponer en dos funciones una la llamaremos u y a la otra v, de tal manera que al efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original

Ejemplo: si 122 xy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al

efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original

Tomemos u=2x+12 , v= x

Entonces v0u=v(u)= 122 x


33

Ejemplo: si 68

11

xy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al efectuar

la composición v0u=v(u) obtengamos la función original

Tomemos u=8x+6 , v=w

11

Entonces v0u=v(u)= 68

11

x

Ejemplo: si 3 2 1 xxy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al


Tomemos u=x2+x-1 , v= 3 z

Entonces v0u=v(u)= 3 2 1 xx

Ejercicio: si 24

3

xy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al efectuar

la composición v0u=v(u) obtengamos la función original

Ejercicio: si 95

2

xy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al



34

Ejercicio: Considere las siguientes funciones: f(x)=x+3, g(x)=x3, obtenga: g0f y f0g. Ejercicio: Considere las siguientes funciones: f(x)=2x-3, g(x)=|x| , obtenga: (g0f)(4) , (g0f)(-5), ( f0g)(-7), ( f0g)(1/3), ( f0g)(0) .

Capítulo 4. Funciones Inversas

35

CAPÍTULO 4. FUNCIONES INVERSAS Cuando tenemos una función y=f(x) , si tenemos el valor de x y queremos conocer el valor de y debemos sustituir el valor de x. Así si tenemos y= 4x-1 y tenemos x=5, entonces para obtener el valor de “y” ,

sustituimos en la función: y=4(5)-1=20-1=19.

Ahora queremos hacer lo contrario : es decir, si tenemos el valor de “y” ¿Cómo encontrar el valor

de x? Por ejemplo si y= 9x+7 , y si tenemos y=10 ¿Qué valor es el correspondiente de x?

Tenemos: 10=9x+7 , despejando x=(10-7)/9=3/9=1/3.

Ejemplo: y=4x-11 , encontrar los valores de x; despejando tenemos x=(y+11)/4

Ejemplo: y=x3+2, encontrar los valores de x; despejando tenemos 3 2 yx

Ejemplo: y=x2, encontrar los valores de x; despejando tenemos yx , pero en este caso hay dos

valores para cada x hay dos valores uno positivo y uno negativo, pero para que tengamos una función debe haber un solo valor como resultado, en este caso tenemos dos por lo que no es una función. Cuando se

tenga un solo valor tendremos la función inversa, si tenemos dos o más valores no tenemos función inversa.

Función uno a uno:

Una función y=f(x) se dice que es uno a uno si cada valor de y en el rango de f le corresponde precisamente un solo valor de x en el dominio de f ; esto es para cualesquiera números a y b en el dominio de f, f(a)=f(b)

implica a=b.

Ejemplo:Determine si f(x)= 9x+11 en uno a uno.

Ejemplo: Determine si y=x2+8x-10 es uno a uno.

Ejemplo: Determine si la función f es uno a uno.

a)y=9-5x b)y=4-x3/7 c)y=x2+3 d)y=(x-5)/(x+2)


36

Criterio de la recta horizontal: Cuando tenemos la gráfica de la función f, y si podemos trazar una

recta horizontal que intersecte a la gráfica de dicha función f más de una vez, entonces la función f

es uno a uno.

Ejercicio: determine si la grafica representa una función f de x uno a uno, si lo hace, dibuje la grafica de la

función inversa f -1

Función inversa:

Si una función es uno a uno, entonces existe una única función f -1

, llamada la función inversa de f, tal

que:a) (f -1

° f )(x)=x para todo x en el dominio de f

b)(f ° f -1)(x)=x para todo x en el dominio de f -1

Ejemplo

La función y=9-5x es uno a uno. Encuentre la función inversa.

Tenemos x=(y-9)/-5=(9-y)/5, así tenemos: x=(9-y)/5

Intercambiamos x por y, tenemos: y=(9-x)/5 , como esta función es la función inversa de y=9-5x, podemos

escribir f -1(x)= (9-x)/5

Comprobemos: a) (f -1

° f )(x)= f -1

( f (x))= (9-(9-5x))/5=(9-9+5x)/5=5x/5=x

b) f ( f -1

(x))=9-5((9-x)/5)=9-(9-x)=9-9+x=x

Así: f -1(x)= (9-x)/5 es la función inversa de f(x)= 9-5x.

Ejemplo: La función f(x)=x3-7 es uno a uno. Encuentre su función inversa, f -1(x)

Escribimos: y= x3-7, así tenemos: 3 7 yx , esta función es la inversa de f(x),

Así , reescribiendo: f -1(x)= 3 7x

Ejemplo: la función 3

7)(

5

xxf , es uno a uno obtenga la función inversa.

Tenemos 3

75

xy , de donde 3y-7=x

5, así tenemos: 5 73 yx

Reescribiendo: f -1(x)= 5 73 x .

Ej. Si f(x)=4x+12 compruebe que es uno a uno y obtenga la función inversa.

Esta función tiene un punto para x y un punto para y. Tiene función uno a uno

Esta función tiene para cada volor de y ,dos valores de x. No es uno a uno.


37

Resumen para obtener la función inversa:

a) Verifique que y=f(x) sea uno a uno.

b) Resuelva para x en términos de y. c) Intercambie x y y , reemplace y con f -1(x) .

d) Verifique que el dominio de f(x) sea el rango de f -1(x) y que el dominio de f -1(x), sea el rango de f(x).

Ejemplo: La función y= x3-9 es uno a uno. Obtenga su función inversa.

Propiedad grafica de f y f -1 Las gráficas de f y f -1 son reflexiones una de la otra a través de la recta y=x.

Ejercicio: determine si la gráfica representa una función f de x uno a uno, si lo hace, dibuje la gráfica de la función inversa f -1

a) b)

c) d) e)


38

Ej. Determine si la función f es uno a uno.

a)y=7-6x. b)y=x3-5 c)y=x2+4x-12 d)y=(x-2)/(x+7)

Ej. La función f es uno a uno en el intervalo indicado. Encuentre una ecuación para la función inversa y

especifique el dominio y rango de f -1.

a)y=6-2x, 31 x

b) xxy 7- ,7

c)y=x2, 40 x

d)y=7+4x, 12 x

e) 4 x,4 xy

f) 3 x0,)1(8 3 xy

Capítulo 5. Límites

39

CAPÍTULO 5 LÍMITES

Consideremos la función:

x

xxxf

02

0,)(

2

,

Analicemos su comportamiento a medida que nos acercamos a x=0, con valores negativos, pero cada vez

más cercanos a x=0, vemos que los valores de la función se hacen mas y más pequeños, es decir las

alturas disminuyen, estas se representan en la grafica con las rectas de trazo uniforme. Por lo que si nos acercamos por la izquierda de x=0 la función también se acerca al valor cero, es decir el límite de la

función es igual a cero, cuando x tomando valores más pequeños que x=0, decimos que nos acercamos a cero por la izquierda.

Mientras que por la izquierda es cero: 0)(0

x

xLimf

Como los límites son distintos, decimos que para esta función el límite cuando x tiende a cero no existe.

Veamos otro ejemplo: Analicemos la función:

21

2,2

4

)(

2

x

xx

x

xf

,

Vemos que a medida que nos acercamos a 2x , por la izquierda, pero cada vez más cercanos a

2x , vemos que los valores de la función se acercan más y más al valor –4, es decir 4)(2

x

xLimf

Ejercicio

1) Analice la grafica de la siguiente función y diga si el límite 3

)(x

xLimf existe y su valor.

3, 2.1

3, )(

2

x

xxxf

Pero si nos acercamos a x=0 con valores mayores a cero

pero cada vez más cercanos a este, es decir por la derecha

la función toma en cada punto el valor de 2.

Es decir: 2)(0

x

xLimf

Si nos acercamos a 2x con valores

mayores a -2 pero cada vez más cercanos a

este, es decir por la derecha la función

toma valores cercanos a -4 es decir:

4)(2

x

xLimf

En este caso 2

)(x

xLimf = 4)(2

x

xLimf

Por lo que el limite de la función si existe y

tenemos que 4)(2

x

xLimf

Aún siendo f(-2)=1


40


)(x


0

0,

xx

xxx

,


)(x


2

2,2)(

2

xx

xxxf

,

LÍMITES CON TABLAS NUMÉRICAS

Investiga el siguiente límite para la función 12 xy : )1( 2

1

xLim

x

Para esto calcula los valores de y a partir de los valores de x .

x 12 xy

Con la tabla, obtén el valor del

límite:

)1( 2

1

xLim

x=


41

1.-Investiga el siguiente límite

x

x

xsenLím

0

existe y obtenga su valor. Complete la tabla indicada


1x

1-x

1-xLím

1000

existe y obtenga su valor. Complete la tabla indicada


x

Lím

90

tan

x existe y obtenga su valor. Complete la tabla indicada

x 700 80

0 890 89.5

0 89.90 89.99

0 89.999

0

Tan x

TEOREMAS SOBRE LÍMITES

T1. Límite de la función constante

Si f(x)=c

Entonces axax

ccLimxLimf

)(

T2. Limite de la suma de dos funciones, Si axax

BgLimAxLimf

(x) ,)(

Entonces BAxLimfxLimfxgfLimaxaxax

)()())((

T3. Limite del producto de dos funciones, Si axax

BgLimAxLimf

(x) ,)(

x .1 .01 .001 .0001 0.00001

x

xsen

x 3 2 1.5 1.1 1.01 1.001

1-x

1-x1000


42

Entonces ABxLimfxLimfxfgLimaxaxax

)()())((

T4. Limite del producto de una constante k por una función, Si AxLimfax

)(

Entonces kAxLimfkxLimkfaxax

)()(

T5. Limite de la identidad f(x)=x

Entonces axLimax

)(

T6. Limite de la función potencia f(x)=xn

Entonces nn

ax

axLim

)(

T7. Limite de la función raíz enésima n

ax

n axLim

T8. Limite de un cociente de funciones

Si existen axax

gLimAxLimf

0B(x) ,)(

Entonces B

A

gLim

fLimx

g

fLim

x

x

ax

(x)

(x) )(

a

a

Ejemplos

1)Hallar 57

xxLim , Solución: Tenemos 35)5(7 77

55

xxxLimxLim

2)Hallar 3

1 8xxLim , Solución: Tenemos 8)1(888 33

1

3

1

xxLimxxLim

3)Hallar )734

(

2

2

x

xLimx

, Solución: Tenemos

147617)2(3)2(4

1

)734

1)73

4(

2

2 2

2

2

2

2

xxxx

LimxLimxLimxx

Lim

Ejercicio

1) Hallar )32( 3

3

xxLim

x

2) Hallar )14

3( 24

2 -

xxxLim

x

3) Hallar )543( 35

1

xxxLim

x


43

4) Hallar )3538( 23

0

xxxLim

x

5) Hallar )77( 3

5

xxLim

x

6) Hallar )9( 53

1 xxxLim

x

7) Hallar )x25(( 3 2

4

xLim

x

8) )14(11

xLimx

9) )229)35((2

xxLimx

10) )26x3( 5

11-

xLim

LÍMITES DE COCIENTES

T8 Limite de un cociente de funciones

Si existen axax

gLimAxLimf

0B(x) ,)(

Entonces B

A

gLim

fLimx

g

fLim

x

x

ax

(x)

(x) )(

a

a

1) Ejemplo: Calcular )1

3(

2

2

x

xLimx

Solución:

Apliquemos el T8., tenemos:

71

7

12

34

1)2(

3)2(

)1(

)3(

)1

3(

2

2

2

22

2

x

x

x xLim

xLim

x

xLim


44


16(

3

2

5

xx

xxLimx

Solución:


119

56

410125

13025

4)5(2)5(

1)5(6)5(

)42(

)16()

42

16(

3

2

3

5

2

5

3

2

5

xxLim

xxLim

xx

xxLim

x

x

x


1(

2

1

x

xLimx

Solución:


0

0

11

1)1(

)4(

)1()

1

1(

2

1

2

1

2

1

xLim

xLim

x

xLim

x

x

x

Por lo que debemos de resolver este ejercicio, tratando de evitar la dificultad de que nos quede una

división entre cero, esto es tratar de evitar la singularidad. Factor icemos el numerador, tomando en cuenta que se tiene una diferencia de cuadrados, es decir:

A2-B2 = (A-B)(A+B), tenemos entonces:

211)1()1

)1)(1(()

1

1(

1 1

2

1

xLim

x

xxLim

x

xLim

xxx


4(

24

xx

xLimx

Solución:

En este caso también debemos factor izar, en este caso .34122 xxxx

Tenemos: 7

1)

3

1()

)4)(3(

4()

12

4(

4 4 24

xLim

xx

xLim

xx

xLim

xxx

Ejercicio

1) Hallar )2

9(

2

4

x

xLimx

2) Hallar )25425

114(

23

2

7

xxx

xxLimx

3) Hallar )33

19(

4

2

1

x

xLimx


45

4) Hallar )65

4(

2

2

2

xx

xLimx

5) Hallar )87

8(

28

xx

xLimx

6) Hallar )5

54(

2

5

x

xxLimx

7) )12

65(

2

2

5

xx

xxLimx

8) )94

32(

22/1

x

xLim

x

9) )19

13(

23/1

x

xLim

x

10) )43

45(

2

2

4

xx

xxLimx


46

11) Hallar )2

2(

22

x

xLim

x

12) Hallar )4

2(

4

h

hLimh

9) Hallar )1

1(

1

x

xLimx

10) Hallar )22

(0 x

xLimx

11) Hallar )1

25(

1

h

hLimh


47

13) Hallar )6

22(

6

x

xLimx

14) )11

(0 h

hLimh

15) Hallar )4

352(

22

x

xLimx

16) )39

(2

2

0 t

tLimt

17)Hallar )554

(2

0 h

hhLimh


48

18) Hallar )22

25(

1

x

xLimx

LÍMITES AL INFINITO

Cuando la variable x crece arbitrariamente, tomando valores positivos se dice que tiende a más infinito

+ , podemos pensar en número N>0 muy grande, como la variable x toma valores mayores cada vez, llegara un momento en que x será mayor que N, es decir x>N, para todo número N.

Esto se puede representar así: x y se lee x tiende a más infinito.

Analicemos la función y= x

1 , cuando x tiende a más infinito.

Es decir veamos el siguiente límite: )1

( x

Limx

Tomemos la siguiente tabla: También observemos la gráfica:

Esto nos da un método para tratar con algunos límites, como se muestra a continuación. Pero antes

resuelva lo siguiente:

Al aumentar los valores de la variable x, se observa

que los valores de la función y = x

1disminuyen, de

tal manera que se acerca al valor cero, es decir:

)1

( x

Limx

=0

Podemos pensar en que tenemos un pastel y que el

número de invitados que llegan a la fiesta aumenta

y aumenta, entonces de que tamaño es la rebanada

que les va a tocar.


49

Ejercicio

Obtenga una tabla y una gráfica para estudiar el límite )1

( x

Limx


34(

x

xLim

x

Solución:

Vamos a dividir el numerador y el denominador entre la potencia mayor en la que aparece x, en este caso

simplemente entre x:

14

4)

04

04()

54

34

()54

34

()54

34

()54

34(

xxxxxLim

x

xLim

xx

xxx

x

Lim

x

xx

x

Limx

xLim


12(

2

2

xx

xLim

x

Solución:

Vamos a dividir el numerador y el denominador entre la potencia mayor en la que aparece x, en este caso

simplemente entre x2:

3

2)

300

02()

316

12

(

)36

12

()36

12

()36

12(

2

2

2

2

22

22

2

2

2

2

2

2

2

xx

xxx

Lim

xx

xLim

x

x

x

x

x

xx

x

Lim

x

xx

x

x

Limxx

xLim

Ejercicio

1) Calcular )174

35(

3

23

xx

xxLim

x

2) Calcular )639

110(

24

34

xx

xxxLim

x


50

3) Calcular )127161

16115(

2285

229

xxx

xxLim

x

4) Calcular )75

72(

23

3

xxx

xLim

x

Capítulo 6. Derivada de una Función

51

CAPÍTULO 6 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Derivada de una Función en una Variable: La derivada de una función es un límite especial, veamos la siguiente definición.

La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de una función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero. Matemáticamente se expresa de la siguiente forma.

x

xfxxfLím

x

yLim

xx

)()(

00

Cuando existe este límite se dice que la función es derivable.

La derivada de una función se puede representar por los símbolos: )(' xf , )(.

xf , )(xfDx , dx

xdf )(,

dx

df

Por todo esto si )(xfy es derivable, entonces la derivada es:

x

xfxxfLím

x

yLím

dx

dy

xx

)()(

00

Veamos algunos ejemplos de cómo aplicar la definición, esto lo haremos siguiendo cuatro pasos (llamada

también regla de los cuatro pasos) importantes, como se muestra:

Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función xy 4 .

Solución:

Primer paso: valor final

)(4)( xxxxfy f

Segundo paso: incremento de la función

x

xx

xxxxfxxfyyy if

4

444x

4)(4)()(

Tercer paso: cociente:x

y

, tenemos : 4

4

x

x

x

y

Cuarto paso: Aplicar el límitex

yLim

x

0

Así tenemos la derivada: 4400

xxLim

x

yLim

dx

dy

Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función 106 2 xy .

Solución:

Apliquemos los cuatro pasos como en el ejemplo anterior:


52


10)(6)( 2 xxxxfy f


2

2

22

612

)(-)2(6

10)(6-10)(6)()(

xxx

xxx

xxxxfxxfyyy if

1010x2 26x


y

x

x

x

x

xx

x

xxx

x

y

6 12x

612612 22


yLim

x

0

Así tenemos la derivada: xxLimx

yLim

dx

dy

xx12)6 12x (

00

Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función .352 2xxy

Solución:


Primer paso : valor final

2 x)3(x - x)5(x 2)( xxfy f


2

2

22

365

)-()2(3)(5

)3x -5x (2- x)3(x - x)5(x 2)()(

xxxx

xxxx

xfxxfyyy if

22x5x2xx2 3


y

x

x

x

x

xx

x

x

x

xxxx

x

y

3-6x -5

365365 22


yLim

x

0

Así tenemos la derivada:

6x -5

)3-6x -5(00

xLim

x

yLim

dx

dy

xx

Ejercicios

Calcula las siguientes derivadas utilizando la definición:


53

1) a) 8y b) y=1000

2) a) xy 9 b) y=32x

3) 64 xy

4) 27xy


54

5) 742 xxy

6) 3xy


55

7) 133 xxy

Veamos otros ejemplos en donde también utilizamos la regla de los cuatro pasos:


56

Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función 3x

by

Solución:

Apliquemos los cuatro pasos como en los ejemplos anteriores:


3)x(

)(

x

bxxfy f


33

322

33

32233

33

33

33

)x(

xx3bx3

)x(

)x3x x3(

)x(

)x(

)x()()(

xx

bxbxy

xx

xxxbbx

xx

xbbxy

x

b

x

bxfxxfyyy if

-


y

33

22

33

22

33

32233

322

)x(

xx3b3

)x(x

xxx3b3

)x(x

xx3bx3)x(

xx3bx3

xx

bxbx

xx

bxbx

xx

bxbxy

x

xx

bxbx

x

y

)(-

)(--

-


yLim

x

0

4

33

2

33

2

33

22

00

3

)(

3

)0(

003

))x(

xx3b3(

x

b

xx

bx

xx

bx

xx

bxbxLim

x

yLim

dx

dy

xx

-

-

)(-

)(-

Así tenemos la derivada: 4

3

x

b

dx

dy -

Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función xy

Solución:


57

Apliquemos los cuatro pasos como en los ejemplos anteriores:


x)( xxxfy f


xxxfxxfyyy if x)()(


y

x

xx

x

y

x

En este caso multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador, a continuación de esto aplicaremos el

producto notable (a-b)(a+b)=a2-b2, y a continuación simplificamos la expresión, como sigue:

)x(

1

)x(

x

)x(

x-x

)x(

)()x(

)x

x)(

x(

22

xx

xxx

xxx

x

xxx

xx

xx

xx

x

xx

x

y


yLim

x

0

x

xx

xx

xxLim

x

yLim

dx

dy

xx

2

1

)(

1

)0(

1

))x(

1(

00

Así tenemos la derivada: xdx

dy

2

1


58

Ejercicios

Obtenga la derivada de la constante, producto, cociente.

Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada

59

FÓRMULAS BÁSICAS PARA OBTENER

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

7 Estas fórmulas se deducen aplicando la definición.

1. 0

dx

cd

2. 1

dx

xd

3.

dx

dfc

dx

fcd

4.

dx

dh

dx

dg

dx

df

dx

hgfd

5. 1 n

n

nxdx

xd

6.

dx

duun

dx

ud nn

1

7.

dx

duv

dx

dvu

dx

vud

8.

2

/

v

dx

dvu

dx

duv

dx

vud

Algunos ejemplos de estas reglas se dan a continuación en la tabla siguiente.

Apliquemos la fórmula uno: 0

dx

cd

La derivada de una función constante siempre es igual a cero.

Ejemplo. Si tenemos la función constante y=8 , entonces aplicando la fórmula: 0

dx

cd

y tenemos: 0

8

dx

d

dx

dy

o Simplemente:

0dx

dy

Similarmente: 010

dx

d , 033

dx

d , 01000

dx

d , 0)2/1(

dx

d , 0)15(

dx

d

Veamos la fórmula dos: 1

dx

xd

Ejemplo:

1dt

dt , 1du

du , 1dz

dz , 1dw

dw

Veamos la fórmula tres:

dx

dfc

dx

fcd


60

Ejemplo:

Hallar dx

dy , si y=12x

Sol.

10) 1(1010 x10

dx

dx

dx

d

dx

dy

Ejemplo:

Si tenemos h=10x , Hallar dx

dy

Solución: Aplicando la formula tres:

12) 1(1212 x12

dx

dx

dx

d

dx

dh

Ejemplo:

Obtenga la derivada de la función indicada con respecto de la variable independiente. a) h=10x

Solución: Aplicando la formula tres:

12) 1(1212 x12

dx

dx

dx

d

dx

dh

b) 4

ty

Solución: Aplicando la formula tres: 4

1

4

14

dt

dt

dt

td

dt

dy

c) 3

7uh

Solución: Aplicando la formula tres: 3

7

3

73

7

du

du

dt

ud

du

dh

Veamos la fórmula cuatro:

dx

dh

dx

dg

dx

df

dx

hgfd

Ejemplo1:

Hallar dx

dy , si y=3x+2 Solución: Aplicando la formula cuatro:

3

03

2323

dx

dx

dx

d

dx

xd

dx

xd

dx

dy

Así 3dx

dy

Ejemplo2:

Si h=8t -2 , Hallar dt

dh ,

Solución: Aplicando la formula cuatro:

8

08

2828

dt

dt

dt

d

dt

td

dt

td

dt

dh

Así 8dt

dh


61

Ejemplo3:

Si 62

ty , Hallar

dt

dy ,


2

1

02

1

626

2

dt

td

dx

d

dt

td

dt

td

dt

dy

Así2

1

dt

dy

Ejercicios 1 Obtenga la derivada de la función:

a) y=15

b) h=4x

c) y=3x + 1

d) y= 7 u – 2

e) y=12z + 9

f) y=52

1

g) y=2- 4 t

h) 3

5

7 xy

i) h=6u+2

1

j) f =5w+ 2

1

k) g=40 l) h= -10+7

3u

Veamos la fórmula cinco: 1 n

n

nxdx

xd , n es una constante


62

Ejemplo1:Hallar dx

dy , si y=x5 Solución: Aplicando la fórmula cinco:

4

155

5

5

x

xdx

xd

dx

dy

Así 45x

dx

dy

Ejemplo2:Hallar dx

dy , si y=x2 Solución: Aplicando la fórmula cinco:

1

122

2

2

x

xdx

xd

dx

dy

, Así la derivada es: xdx

dy2

Ejemplo3:Hallar dx

dy , si xy Solución: Aplicando la fórmula cinco:

x

x

xdx

xd

dx

xd

dx

dy

2

1

2

1

2

1

2

1

12

1

2

1

, Así la derivada es: xdx

dy

2

1

Si queremos obtener la derivada de una raíz cubica aplicamos la fórmula cinco

Ejemplo4:Hallar dx

dy , si 3 xy Solución: Aplicando la fórmula cinco:

3 2

3

2

13

1

3

1

3

3

1

3

1

3

1

x

x

xdx

xd

dx

xd

dx

dy

Así 3 23

1

xdx

dy

Ejemplo5:

Si y=x11+ x4+9 , Hallar

dx

dy ,


0411

99

310

411411

xx

dx

d

dx

xd

dx

xd

dx

xxd

dx

dy

Así 310 411 xxdx

dy


63

Ejemplo6:

Si h=4t6 -2t3+7t+9 , Hallar

dt

dh ,


7624

0)1(7)3(2)6(4

9724

97249724

25

25

36

3636

tt

tt

dt

d

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

d

dt

td

dt

td

dt

td

dt

tttd

dt

dh

,Así tenemos: 7624 25 ttdt

dh

Ejercicios 2 Obtenga la derivada de la función:

a) y=x4

b) h=x22

c) y=x7

d) y= 5 u2

e) y=5z3

f) y=4t2+1

g) 5 xy

h) 3 xxy

i) h= u2+ 6u+1

j) f =5w3+w

k) g=3-t5+4t

6 l) h=

117

3

x

m) h=z3+ 11

7

5 2

u

n) 5

2

xy


64

Ejercicios 3

Calcula las siguientes derivadas en tu cuaderno utilizando las reglas y simplificar a su mínima expresión.

1. 47y

2. xy 3 3. 912 xy 4. 2/1

7

11

xy

5. 4xy

6. 8

3

xy

7. 103715 24 xxxy 8. 3

7

2

2

5

xx

y

9. xy 10. 3

7

xy

11. 5

xy 12. 5 xxy

13. 43

5 x

xy

14. t

r2

1 15.

2

3

xy 16. 321 xxy

17. 32

6

x

xy

18. 2

6 87

x

xxw

19. 232ttz

20.

22

xxy


65

Veamos la fórmula seis. Fórmula

dx

duun

dx

ud nn

1

Ejemplo1: Si f=(x+1)2 , Hallar dx

df

Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=2, u=x+1:

)1(2

)1()1(2

)01()1(2

)1

()1(2

1)1(2

1

1

1

12

x

x

x

dx

d

dx

dxx

dx

xdx

dx

df

Así )1(2 xdx

df

Ejemplo 2: Hallar ds

dy , Si y=(2s+8)3 ,

Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=3, u=2s+8:

2

2

2

2

13

)82(6

)2()82(3

)02()82(3

)82

()82(3

82)82(3

s

s

ds

sds

ds

d

ds

sds

ds

sds

ds

dy

Así 2)82(6 s

ds

dy

Ejemplo 3: Hallar dx

dy , Si 1 xy ,

Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=1/2 , u=x+1:

12

1

)1(2

1

)1()1(2

1

1)1(

2

1

1

2

1

2

1

12

1

2

1

x

x

x

ds

xdx

ds

xd

ds

dy

Así 12

1

xdx

dy


66

Ejemplo 4: Hallar dx

dy , Si xxy 23 ,

Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=1/2 , u=3x2+x:

xx

x

xx

x

xxx

ds

xd

ds

xdxx

ds

xxdxx

ds

xxd

ds

dy

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

21

2

1

2

2

12

32

16

)3(2

16

)16()3(2

1

)3

()3(2

1

3)3(

2

1

3

Así xx

x

dx

dy

232

16

Ejercicios 4


1.

925 xy

2. 33 52 xy 3. 5 42 xy 4.

42 )1(

5

xy

5. 2)118( xy

6. 7 15

4

xy

7. 32 )(

16

xxy

8. 115 1924 xy


67

Veamos la fórmula del producto de dos funciones

Formula

dx

duv

dx

dvu

dx

vud

Ejemplo : Hallar dx

dy , Si 1 xxy ,

Solución: Aplicando la fórmula del producto

dx

duv

dx

dvu

dx

vud

, aquí: u=x ,: 2/1)1(1 xxv

Así tenemos:

112

)1(

)1(2

)1()1()1(2

1

)1()1(1

)1(2

1

)1(1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

1

2

1

xx

x

x

x

x

xxx

xds

xdxx

ds

xdx

ds

xdx

ds

xdx

ds

dy

Así 112

xx

x

dx

dy

Ejercicios 5

1. 3 xxy

2. )13)(12( xxy 3. ))(( 26 bxaxy

4. xxy 452


68

Fórmula del cociente:

2

/

v

dx

dvu

dx

duv

dx

vud

Ejemplo : Hallar dx

dy , Si 15

3

x

xy ,

Solución: Aplicando la fórmula del cociente: 2

/

v

dx

dvu

dx

duv

dx

vud

, aquí: u=3x ,v=5x-1

Así tenemos:

2)15(

)15(3

)3()15(

15

3

x

dx

xdx

dx

xdx

dx

x

xd

dx

dy

Tenemos: 2)15(

)5(3)3)(15(

x

xx

dx

dy

Así: 22 )15(

3

)15(

15315

xx

xx

dx

dy

La derivada de y es: 2)15(

3

xdx

dy

Ejercicios 6

1. 3

2

x

xy 2.

4

1

x

xy

3. 104

7

z

zy 4.

225

1

w

wy

5. xa

xay

6.

22

22

xa

xay

7. 16

2 3

w

wz 8.

2

2

2

2

x

xz


69

9. xa

xay

10.

bxa

xy

11.

xa

xay

Obtenga la derivada de la función:

45. 1 xy

46. 3 52 xy

47. x

y

2

4

48. x

xy

8


70

49. 5

3

xy

50. 5 17

18

xy

Deducción de la fórmula de la derivada de la potencia, de la multiplicación, del cociente

Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada

71

8 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

En geometría se interpreta la derivada como la pendiente de la recta tangente. Veamos la siguiente explicación.

Consideremos una recta que pasa por el punto P, como se muestra en la figura.

En términos de incrementos, podemos observar la siguiente figura.

Veamos la definición de la derivada x

xfxxfLím

x

yLim

xx

)()(

00

Así la derivada de una función nos da como resultado la pendiente de la recta tangente. La ecuación de la recta

es: y-y0=dy/dx (x-x0)

Cuando el incremento de x se hace cada

vez más pequeño entonces la recta

tangente se acerca a la recta tangente

tx

mx

yLim

0=dy/dx


72

Ejemplo. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la grafica de y=x2+5, en el punto P(1,6)

Solución. Hallemos la derivada de y=x2+5

Tenemos dy/dx= dx2/dx+d5/dx

dy/dx= 2xdx/dx

Así: dy/dx= 2x

En el punto P(1,6), se tiene que x=1, y=6, sustituyendo en la derivada:

dy/dx= 2x, x=1

dy/dx= 2(1)

dy/dx= 2

Así la ecuación de la recta tangente es: y-y0=dy/dx (x-x0), x=1, y=6, dy/dx=2

y-6=2 (x-1)

es decir y=2(x-1)+6

o también 2x-y+4=0

Ejemplo. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la grafica de y= x3+x

2-x+3, en el punto P(1,4)

Solución. Hallemos la derivada de y= x3+x

2-x+3

Tenemos dy/dx= dx3/dx+dx

2/dx-dx/dx+d3/dx

Así: dy/dx= 3x2+2x-1

En el punto P(1,4), se tiene que x=1, y=4, sustituyendo en la derivada:

dy/dx= 3x2+2x-1, x=1

dy/dx= 3(1)2+2(1)-1

dy/dx= 4

Así la ecuación de la recta tangente es: y-y0=dy/dx (x-x0), x=1, y=4, dy/dx=4

y-4=4 (x-1)

es decir y=4(x-1)+4

o también 4x-y=0

La ecuación de la recta

tangente en el punto

P(1,6)

y=2(x-1)+6


tangente en el punto

P(1,6)

y=2(x-1)+6


tangente en el punto P(1,4)

a la curva es: y=4x


73

En winplot se puede observar la recta tangente. Una vez que se tiene la grafica de la ecuación, en este caso

tenemos y=x*x. que es la ecuación de la parábola y=x2 .

Podemos ir al menú y tomar la opción Una y a continuación Traza como se ve en la siguiente figura.

A continuación indicamos en el cuadro que tenemos la opción tangente, la figura se observa indicada, el cuadro gris podemos moverlo y observar la recta tangente.

Utiliza winplot y observa las rectas tangentes de a)y=.5 x

3+x

2-x+4, b)y=xsenx, c) y=lsen xl.


74

Ejercicios

Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto indicado.

a) y = 2x – x3 ; P(-1,-1) b) y =

x

8 ; P(2,4)

c) y = 3x2 – 12x + 8 ; P(2,-4) d) y = x ; P(2, 2 )

e) y = 3

1

x ; P(4,1) f) y = x

3 – 2x

2 -3 ; P(2,-3)

Capítulo 9. Funciones Implícitas

75

CAPÍTULO 9 Derivada de una función implícita

1. FUNCIONES IMPLÍCITAS Funciones Implícitas Veamos la siguiente pregunta: ¿Una ecuación siempre representa una función?

Observemos que a cada valor x le corresponden dos

Valores de y por lo tanto no es una función.

Sin embargo despejemos "" y tenemos: 24 xy lo que da origen a dos funciones las cuales son:

24 xy y 24 xy tenemos dos funciones una es la parte superior de la circunferencia y la

otra la parte inferior

24 xy 24 xy

También podemos definir otras funciones por ejemplo:

24 x , -2x<0

)(xy

24 x , 0x2 la grafica se muestra a continuación:

Es una función pues para cada valor de x le

corresponde un único valor de "" y .

Es una función pues para cada valor de x le

corresponde un único valor de "" y .

Ejemplo: La ecuación de la circunferencia de radio 2r y centro el origen. 422 yx .


76

En este caso también tenemos una función. En resumen una ecuación puede representar una función o puede no representar una función o a partir de ella podemos definir una función o mas funciones, de las cuales algunas serán derivables y otras no. Supondremos que siempre existen funciones derivables FUNCIONES EXPLICITAS Cuando se tiene una ecuación en donde esta despejada una de las variables, diremos que tenemos una función en forma explícita. Ejemplo: y=x2+3 , u=t3+ 1/t - 2, v=u5/(u-1) FUNCION IMPLÍCITA: Cuando se tiene una ecuación en donde no esta despejada ninguna de las variables, diremos que tenemos funciones en forma implícita. Ejemplo: x2 +y2 =4 7xy=3y-10 5 x2 +4xy-5 y2 +=4 Son funciones en forma implícita x1/3 –5x y7 =3 DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS Para derivar funciones implícitas no nos preocuparemos por despejar ninguna de las variables, sino que utilizaremos directamente las formulas de derivación y al final despejaremos la derivada requerida. Nota: En los problemas supondremos que x es la variable independiente, a menos que se diga otra supondremos que siempre existe la función implícita y que es derivable.

Ejemplo: Hallar 1; dx

dx

dx

dy

Si 422 yx

Tenemos:

dx

d

dx

dy

dx

yd

dx

dx

dx

xd 4**

22

0*22 dx

dyyx

x2dx

dy*2y

Despejando:

y

x

y

x

dx

dy

2

2

Ejercicio

1) Hallar dx

dy. Si xy3 =-4 x3y2 -3

2) Hallar dx

dy. Si 5x2 +3y2 =7


77

3) Hallar dx

dy. Si xy3=-4x3y2-3

4) Hallar dx

dy. Si xy5- x2y3=5

5) Hallar la pendiente de la curva .3,2;282 22 Penelpuntoyxyx


78

6) Hallar la pendiente de la curva .1,2;13 323 Pyyx

Recuerda que: dx

dym

7) Hallar la pendiente de la curva a) piriforme )2(32 xxy punto(1,1).

b)astroide .1,33;43/23/2 Pyx c) lemniscata .1,3);(25)(2 22222 Pyxyx lUtiliza winplot

y obtenga las gráficas 8) Utiliza winplot y obtenga las gráficas de las siguientes funciones definidas implícitamente: a)3x2+xy+4y2-x+3=0 b) y=cos(4x-7y) c) sec2x+csc2y=4 d) x2y3=x4-y4 e) x3+y2=9tan(xy)

Capítulo 10. Derivadas de orden superior

79

CAPÍTULO 10 Derivadas de orden superior

Al tener la derivada f´ de una función f, podemos volver a derivar y obtener la segunda derivada f´´ y nuevamente

derivando obtenemos la tercer derivada y si continuamos así hasta la derivada n. es decir: f´, f´´ , f´´´, f1v

,…, fn, y si

fn es la n derivada y es continua, entonces f se dice que es de clase n.

Ejemplo: obtenga la tercer derivada de y=x7+8x +2

Sol.

Obtenemos la primer derivada: y´=7x6+8

Ahora la segunda derivada: y´´=42x5

Finalmente la tercer derivada: y´´´=210x4

Ejercicio: Obtenga la segunda derivada de la función: y=3x5+x+10

Ejercicio: Obtenga la tercer derivada de la función : y=4x8+2x

3-7x+3

Ejemplo: Hallar la tercer derivada de la función :2

1

xy

Sol. Podemos escribir y= x - 2

Derivando tenemos: y´= - 2x-3

=3

2

x ,

derivemos esta función: y´´= (- 2x-3

)´= -2(-3x-4)=6x – 4

= 4

6

x

Obteniendo la tercer derivada: y´´´=(6x- 4

)´= - 24x - 5

= -5

24

x

Ejercicio: de la cuarta derivada: x

y1

Capítulo 10. Derivadas de orden superior

80

Otra forma de representar la segunda derivada es :

Primer derivada de la función f es: dx

df

segunda derivada de la función f es: 2

2

dx

fd

Tercer derivada de la función f es: 3

3

dx

fd

Cuarta derivada de la función f es: 4

4

dx

fd

…………………………………………….

N derivada de la función f es: n

n

dx

fd

Ej. Obtenga la segunda derivada de la función : y=4x6+5x

3-2

Ej. Obtenga la cuarta derivada de la función : y=10x7+3x

2

Ej. Obtenga la segunda derivada de la función: 1

1

x

xy

Ej Obtenga la segunda derivada de la función: 2 xy

Capítulo 11. Razón de Cambio

81

CAPÍTULO 11 RAZÓN DE CAMBIO

RAPIDEZ DE CAMBIO RELACIONANDAS: Para resolver problemas de razón de cambio se puede seguir el

siguiente método:

- Leer con cuidado el problema.

- Trazar un diagrama(de ser posible)

- Asignar variables a todas las cantidades que estén relacionadas.

- Escriba las ecuaciones que relacionen las diferentes cantidades del problema.

- Obtenga la derivada respecto del tiempo.

- Sustituya la información dada en la ecuación resultante y determine la relación desconocida(esto

solo después de haber obtenido la derivada)

Iniciaremos los ejemplos con un problema clásico

Ejemplo LA ESCALERA: Una escalera de 6metros de longitud esta apoyada sobre un piso horizontal y contra una pared, como se muestra en la figura. Si el extremo

inferior resbala sobre el piso a una velocidad de 1.20 m/seg. ¿A qué velocidad

desciende el extremo superior en el instante en que su altura se encuentra a 4m?

Solución: Datos: Longitud de la escalera: L=6m, Velocidad sobre el piso:

dt

dx =1.20m/s, altura y1=4m

Incógnita: Velocidad respecto a la pared: dt

dy

Se nos pregunta de la velocidad sobre la pared cuando la altura es y1=4m, debemos calcular x, utilizando (*):

x2+y2=36, tenemos: x2+42=36, despejando x, sustituyendo: 474163636 2 .yx

Calculemos la velocidad con que el extremo superior desciende

Sustituyendo valores en (**) tenemos: s/m.).(.

dt

dx

y

x

dt

dy341201

4

474

Ejercicio 1) En una mancha de aceite de forma circular, aumenta el radio a razón de 1cm/s ¿Cuál es la rapidez del cambio de área en el momento en que r=5m?

Tenemos un triángulo rectángulo, utilizando el teorema de Pitágoras:x2+y

2=6

2 , es decir :

x2+y

2=36…( *)

Derivando respecto al tiempo t, tenemos: dt

d

dt

dyy

dt

dxx

3622

Despejandodt

dy : dt

dx

y

x

dt

dy …( **)


82

2) Una escalera de 4metros de largo esta apoyada contra la pared de un edificio. La base del edificio resbala alejándose de de la pared a razón de 2m/s ¿Con qué rapidez desciende el extremo superior de la escalera cuando se encuentra a 3m del piso?

3) Se infla un globo esférico a razón de 5 pies3/min. ¿Cuál es la rapidez del cambio del radio cuando el

diámetro mide 18pies?

4) Un avión vuela horizontalmente a 6 millas de altitud en línea recta, como se muestra en la figura. Sea s la distancia (en millas) entre avión y radar. Si s esta decreciendo a razón de 400 millas por hora. Cuando s es 10 millas ¿ cuál es la velocidad x del avión?


83

Ejemplo: LA ARENA: Se deposita arena de tal modo que se forma un cono, cuya altura es igual al radio de la base. Si el radio de la base aumenta a razon de 1/6 cm/seg ¿Con que rapidez aumenta el volumen de la pila cuando el radio de la base mide 80cm?

Solución: Datos: altura=radio de la base h=r; seg/cmdt

dr

6

1 , r = 80cm.

Deseamos calcular dV/dt:

Derivando V respecto del tiempo t, tenemos:

dt

drπ

dt

drπ

dt

dV 22 r 3r 3

1 , Así tenemos: dt

drπ

dt

dV 2r ; Sustituyendo: seg/cmdt

dr

6

1 , r = 80cm.

Tenemos: 032335166610666

1.π.)(π

dt

dV 2 (80) cm

3/seg.

PROYECTOS 1. Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 4 pulg

3/min ¿Si la presión se mantiene constante, cuál es la

rapidez de cambio del radio cuando el diámetro mide 20 pulg? 2. Una escalera de 4 metros de largo está apoyada en una casa. Si el extremo inferior se desliza por el

suelo a razón de 1m/seg., ¿qué tan rápido cambia el ángulo entre la escalera y el suelo cuando el extremo inferior está a 2 metros de la casa?

3. El radio de una esfera es r a los t segundos. Hallar el radio cuando el ritmo de crecimiento del área y

del radio sean numéricamente iguales. Sol. r=1/8 pul

Tenemos que la fórmula para calcular el volumen de un cono

es: h r 2πV3

1

Tenemos que h=r, sustituyendo que el volumen es: 3r πV3

1


84

4. De un deposito cónico está saliendo agua a razón de 1pulgada cubica por segundo. Si el radio de la base es de 4 pulgadas y la altura de 8 pulgadas, hallar el ritmo al que está bajando el nivel del agua cuando está a 2 pulgadas del borde superior. Sol. dh/dt=-1/9 pul/seg

5. Un globo de aire caliente se eleva en forma vertical y una cuerda atada a la base del globo se va

soltando a razón de 1.5m/s . El torno desde el cual se suelta la cuerda esta a 6m de la plataforma de abordaje. ¿Si se han soltado 150m de cuerda , con que rapidez asciende el globo?

6 metros


85

6. El radio de una esfera se incrementa a razón de 4mm/s.¿Qué tan rápido se incrementa el volumen cuando el

diámetro es de 80mm?

7. Si y=x3+2x y dx/dt=5, determine dy/dt cuando x=2

8. Si x2+y2=25 y dy/dt=6, determine dx/dt cuando y=4.


86

9. Una partícula se desplaza a lo largo de la curva 31 xy .Cuando alcanza el punto (2,3), la coordenada

y se incrementa a una rapidez de 4cm/s. Que tan rápido cambia la coordenada x en ese instante?

10. Un farol se encuentra en lo alto de un poste de 16 pies de altura. Un niño de 5 pies de estatura se aleja del

poste a una velocidad de 4 pies/s. ¿Con que rapidez se mueve la extremidad de su sombra cuando el se

encuentra a 18 pies del poste? ¿Cuál es la tasa de crecimiento dela sombra?

5 pies

16 pies

Capítulo 12. Funciones Crecientes y Decrecientes

87

CAPÍTULO 12 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

FUNCIÓN CRECIENTE Diremos que una función es creciente cuando a medida que crece el valor de la variable independiente crece el valor de la función. Siempre trabajaremos con funciones derivables, por lo que para analizar en donde una función es creciente estudiaremos su derivada f´. FUNCIÓN DECRECIENTE Diremos que una función es decreciente cuando a medida que el valor de la variable independiente aumenta el valor de la función disminuye.

En términos de derivada; Diremos que una función f es decreciente cuando su derivada es negativa , es decir una función es decreciente cuando f´<0.

La función es creciente si para todo x1<x2 se tiene :

f(x1) < f(x2)

Cuando una función es creciente todas las rectas tangentes forman ángulos agudos y sus pendientes m son positivas, es decir

m=f´>0

La función es decreciente si para todo x1<x2 se tiene:

f(x1)>f(x2)


88

En la siguiente figura se representa todo lo anterior. Ejemplo: Hallar los intervalos en donde la función f(x)=x5 - 5x4 es creciente y en donde es decreciente. Solución: Hallemos f´: f´(x)= 5x4 -20x3 Igualemos a cero la derivada: f´(x)= 5x4 -20x3 =0 Resolvamos esta ecuación: 5x3 (x-4) =0 Así tenemos: 5x3=0, x-4=0, de donde x=0, x=4 Para saber en que intervalos la derivada es positiva o negativa, es decir la función creciente o decreciente tomemos valores de prueba. INTERVALO K f´(K) Signo de f´ Comportamiento de f

(-00 , 0) -1 f´(-1)=25 + CRECIENTE

(0 , 4) 3 f´(3)=-135 - DECRECIENTE

(4,+00) 5 f´(5)=625 + CRECIENTE

Veamos esto en la siguiente gráfica.

Cuando una función es decreciente todas las rectas tangentes forman ángulos obtusos y sus pendientes m son negativas, es decir m=f´<0.


89

Ejercicio

Hallar los intervalos en donde las siguientes funciones son crecientes y en los que son decrecientes. a) f(x)= x2 –5x+6

b) f(x)= x3+x2 –5x


90

c) f(x)= x3+x2 –2x+1 Sol. Creciente(-00,-1.2) ,((0.5,+00) Decreciente (-1.2,0.5)

Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos

91

CAPITULO13 CRITERIO DE LA PRIMER DERIVADA PARA

MÁXIMOS Y MÍNIMOS Ejemplo: Supongamos que tenemos una tela de alambre de 200m de longitud y queremos enrejar un terreno rectangular y que utilizaremos la pared de la casa. Obtenga la fórmula que determine el área enrejada, grafíquela

e indique que medidas hacen que se tenga el mayor terreno enrejado.

Ejemplo: La suma de dos números es 60, Obtenga estos números si el producto debe ser máximo.


92

Ejemplo: Supongamos que tenemos una tela de alambre de 160m de longitud y queremos enrejar un terreno rectangular y que utilizaremos el borde de un río. Obtenga la fórmula que determine el área enrejada, grafíquela e

indique que medidas hacen que se tenga el mayor terreno enrejado.


93

MÁXIMOS LOCAL Y MINIMOS LOCAL MÁXIMOS LOCAL: Un máximo local de una función es el valor mayor que puede alcanzar la función en cierta

región, podemos decir que f(c) es un máximo local si existe un intervalo abierto que contiene a c de tal forma que

f(c )>f(x) para todo x en el intervalo.

MINIMOS LOCAL: Un mínimo local de una función es el menor valor que puede tomar una función en cierta región , podemos decir que f(c) es un mínimo local si existe un intervalo abierto de tal forma que f( c)<f(x) para

todo x en el intervalo.

Nuestro objetivo es determinar máximos y mínimos locales y desde ahora los llamaremos simplemente máximos y mínimos.

Observemos la siguiente gráfica.

1.- Si la función es creciente y luego decreciente se alcanza un máximo. 2.- Si la función es decreciente y luego creciente se alcanza un mínimo.

3.- En los puntos máximos y mínimos las rectas tangentes son horizontales.

Definición: Los puntos en donde la derivada es cero o se hace infinita, se llaman puntos críticos, las abscisas

correspondientes se llaman números críticos y la ordenada del punto crítico valor crítico. Con los elementos que estamos desarrollando tenemos el criterio de la primer derivada para hallar valores

máximos y mínimos.

CRITERIO DE LA PRIMER DERIVADA PARA HALLAR LOS VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO 1.-Busquemos los números críticos

2.- Hallar los intervalos en donde la función es creciente y en donde es decreciente Si la función es creciente y luego decreciente, entonces se alcanza un máximo. Si la función es decreciente y luego creciente, entonces se alcanza un mínimo.


94

Ejemplo: Hallar los valores máximos y mínimos de la función f(x)=x5-5x4. Solución: Hallemos los números críticos. Para esto resolvamos la ecuación f´(x)=0

f´(x)= 5x4-20x3 =0

podemos factorizar: x3 (5x-20)=0 , así tenemos las soluciones: x3 =0, 5x-20=0 Los números críticos son: x=0, x=20/5=4

La figura muestra los intervalos a estudiar:

Hallemos los intervalos donde la función es creciente y en donde es decreciente:

Intervalo valor de prueba derivada signo de la derivada función M comportamiento de M

(-00, 0) -1 25 20(-1)-5(-1) 34 dx

df + creciente

(0, 4) 2 -80 20(2)-5(2) 34 dx

df - decreciente

(4, 00) 5 256 20(5)-5(5) 34 dx

df + creciente

Así en x=0 se tiene un valor máximo, este es: f(0)=(0)5-5(0)4=0 Así en x=4 se tiene un valor mínimo, este es: f(4)=(4)

5-5(4)

4=-256

Representemos esta información es la gráfica:

Ejemplo: Hallar los valores máximos y mínimos de la función f(x)=x4/4 - 9x2/2

Solución: Hallemos los números críticos. Para esto resolvamos la ecuación f´(x)=0

f´(x)= 4x3/4-9(2x )/2 f´(x)= x3-9x =0

Podemos factorizar: x (x2-9)=x(x-3)(x+3), así tenemos las soluciones: x =0, x=3,x=-3

Los números críticos son: x=0, x=3,x=-3

La figura muestra los intervalos a estudiar: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 - oo +oo

Hallemos los intervalos donde la función es creciente y en donde es decreciente: Intervalo valor de prueba derivada signo de la derivada función M comportamiento de M

(-00 , -3) -4 28)4( dx

df - decreciente

(-3 , 0 ) -1 8)1( dx

df + creciente

(0, 3 ) 1 8)2( dx

df - decreciente

(3, 00) 4 28)4( dx

df + creciente

Así en x=-3 se tiene un valor mínimo, este es: f(-3)=-20.2 Así en x=0 se tiene un valor máximo, este es: f(0)=0 Así en x=3 se tiene un valor mínimo, este es: f(3)=-20.2


95

Ejemplo: Hallar los valores máximos y mínimos de la función f(x)=x2/3(8-x) Solución: Hallemos los números críticos.

Hallemos f´(x): f´(x)= x2/3(8-x )´+(8-x)(x2/3)´

= x2/3(-1)+(8-x)(2x - 1/3/3)

= 1/3

2/3

3x

2x-16x- =

1/3

3/3

3x

2x-16+3x- =

1/33x

5x-16

Entonces x=0 es un número critico.

Tomando f´(x)=0, tenemos que 16-5X=0, entonces x=16/5 es otro número crítico. Hallemos los intervalos donde la función es creciente y en donde es decreciente:


(-00 , 0) -1 7)1( dx

df - decreciente

(0 , 16/5 ) 1 6.3)1( dx

df + creciente

(16/5, 00 ) 4 6.2)4( dx

df - decreciente

Ejercicio

Utilizando el criterio de la primera derivada 1.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función y=-2x2 +4x+5

2.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función y= 2x3+3 x2 -12x

Así en x=0 se tiene un valor mínimo,

este es: f(0)=0 Así en x=16/5 se tiene un valor máximo, este es: f(16/54)=10.42 Representemos esta información en la gráfica


96

3.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función y= x4 - 7x2

4.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función xy 34

x 3

5.-Hallar los valores máximos y mínimos de la función 86 x2

1 x

3

1 23 xy


97

6.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función f(x)= x2+8x+10

7.- Hallar los valores máximos y mínimos de la función y=(x-1) 3 2x


98

APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MINIMOS

Ejemplo1 LOS NÚMEROS: Un número, excede a su cuadrado en una cantidad máxima. Obtenga dicho

número.

Solución: Tomemos x el número que buscamos. Entonces x2 es su cuadrado

Así debemos analizar: M=x-x2

Apliquemos el criterio de la primera derivada: xdx

dM21

Busquemos los valores críticos, igualando a cero tenemos: 1-2x=0, así el valor crítico es x=½

Veamos que en este valor x=½, M tiene un máximo.


(-00 , ½) 0 1021 )(dx

dM + creciente

(½, 00 ) 1 1121 )(dx

dM - decreciente

Así en x=½ se tiene un valor máximo, tenemos x2= ¼ y así: M=x-x2 = ½- ¼=¼

Ejercicio

1.-Hallar dos números x, y cuya suma sea 80 y cuyo producto sea el máximo posible.

2.- Hallar dos números x, y cuya suma sea 30 y además el producto xy2 sea máximo.


99

APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MINIIMOS

Ejemplo 2. De una pieza de cartón se va a formar una caja sin tapa, cortando un cuadrado en cada una de las

esquinas y doblando los bordes. Si el cartón mide 40 cm, por lado, encuentre las dimensiones de la caja que darán lugar al volumen máximo. ¿Qué valor tiene dicho volumen?

x x

x x

x x

Así: )12(2

)12)(1600(4)320()320( 2 x

24

160320

24

25600320

así tenemos los números críticos: : 2024

1603201

x , 66.6

3

20

24

1603202

x

Formemos los intervalos de prueba para buscar el máximo y el mínimo

Analicemos estos intervalos:

INTERVALOS VALOR k V´(k) SIGNO DE V´ COMPORTAMIENTO DE V

(-, 6.66) 0 V´(0)=1600 + Creciente

(6.66,20) 7 V´(7)=-52 - Decreciente

(20, +) 21 V´(21)=172 + Creciente

Por lo tanto en x=6.66 tenemos un máximo. Las dimensiones de la caja son: Largo = 40-2x=40-2(6.66)=26.66cm

Ancho = 40-2x=40-2(6.66)=26.66cm

Altura = x = 6.66cm Volumen = 3013.69cm3

¿Qué sucede si se recortan cuadritos de 20cm en cada esquina?

Calculemos el volumen: V=largo*ancho*altura V= (40-2x)(40-2x)x V= (40-2x)2x Desarrollando: V= (1600-160x+4x2)x Así tenemos: V=1600x-160x2+4x3

Para obtener las dimensiones de la caja de

máximo volumen, apliquemos el criterio de la primer derivada:

V´ =1600-320x+12x2 Tomemos V´=0

V´ =1600-320x+12x2 =0

Resolvamos esta ecuación utilizando la formula

a

acbbx

2

42


100

Ejemplo 3. Un rectángulo tiene 120 m. De perímetro. ¿Qué largo y qué ancho dan el área máxima? Solución: Representemos la situación con un dibujo

y

x

Sustituyamos y=60-x en la ecuación ( A), tenemos: A=xy=x( 60- x)=60x- x2 , Es decir A=60x- x2

Para obtener las dimensiones del rectángulo de máxima área , apliquemos el criterio de la primer derivada: A´ =60 -2x

A´ =60 -2x=0, despejando a x: 302

60x ,así el único número critico es x=30

Formemos los intervalos de prueba para buscar el máximo o el mínimo

Comprobemos que en x=30 hay un máximo

Por lo tanto en x=30 hay un máximo. Calculemos y, utilicemos la ecuación (C) :y=60-x=60-30=30. Con estas condiciones tenemos que el área del rectángulo será máxima cuando los lados sean iguales, o sea que es un

cuadrado. En este caso el Área será: A= (30)(30)=900m2.

Ejemplo 4. Dos vértices de un rectángulo están sobre el eje x. Los otros dos están sobre las rectas cuyas

ecuaciones son y=2x, 3x+y=30. ¿Para que valores de “ y ” será máxima el área del rectángulo? Solución: La gráfica muestra la situación.

en y=6 hay un máximo pues:

Calculemos el área sustituyamos y=6 en: 2

6

510 yyA .

Tenemos: A 303060)6(6

5)6(10 2 , Así A=30u

2

INTERVALOS VALOR k V´(k) SIGNO DE V´ COMPORTAMIENTO DE V

(-, 30) 0 A´(0)=60 + Creciente

(30, +) 31 A´(31)=-2 - Decreciente

INTERVALOS VALOR

K

A´(k) SIGNO DE

A´

COMPORTAMIENTO

DE A

(-, 6) 0 A´(0)=10 + Creciente

(6, +) 7 A´(71)=-5/6 - Decreciente

El Área del rectángulo es A=xy... (A) Es una función de dos variables Calculemos el perímetro: 120=2x+2y ...(B) Despejemos y: y= 120 –2x 2 o sea: y = 60 - x ...( C )

El Área del rectángulo es A=(x2-x1)y... (A) Utilizando y=2x , tenemos x1=y/2 ...(B ) Utilizando y=30-3x, tenemos: y1=(30-y)/3 ...(C ) Sustituyendo (B ) y (C ) en (A ), tenemos:

yyyyy

yyy

A

6

510

233

30

23

30

Es decir:

2

6

510 yyA

Para obtener las dimensiones del rectángulo de área máxima,

apliquemos el criterio de la primer

derivada:

A´ =10- )2(6

5y =10- y

3

5

Tomemos A´=0

V´ =10- y3

5 =0

Resolvamos esta ecuación:

y= 65

)10(3


101

Ejemplo 5 EL POSTER. Una pagina impresa va a tener dos márgenes de 2 pulgadas en los lados y de 1 pulgada en la parte superior e inferior. El área impresa es de 32 pulgadas cuadradas. Determine las dimensiones

de la página de manera que utilice la menor cantidad de papel.

Solución:

Consideremos sólo h=8, pues 0 y –8 no tienen sentido. Apliquemos el criterio de la primera derivada:

Entonces en h=8 hay un mínimo para At, calculemos L: 48

3232

LL .

Así las dimensiones del la página son: Largo=L+2= 4+2=6, ancho=h+4=8+4=12

Intervalo Número de prueba k

A´t Signo de A´t At

(0,8) 1 126

)1(

)1(21282

2

- Decreciente

(8, + ) 9

81

34

)9(

)9(21282

2

+ Creciente

Consideremos el Área de impresión: Tomemos: Área impresa A=L*h=32.... ( 1 )

Donde: L=largo ,h=ancho

De (1) despejamos L: h

L32

Por otro lado la pagina tiene una área total: At= (L+2)(h+4)...(2)

Sustituimos L en (2 ), tenemos: )4)(232

()4)(2( hh

hLAt

Así: 82128

32 hh

At

Busquemos los números críticos:

Hallemos la derivada: 2128

´2

htA

Haciendo operaciones: 2

22128´

h

htA

Así los números críticos son: h=0 y también cuando A´t=0, es decir:

02128

´2

2

h

htA , Resolviendo tenemos -128+2h

2=0

Despejando h: 8642

128h

Por lo que los números críticos son: 0,-8,8


102

PROYECTO 1.-De una pieza de cartón se va a formar una caja sin tapa, cortando un cuadrado en cada una de las esquinas y doblando los bordes. Si el cartón mide 30 cm, por lado, encuentre las dimensiones de la caja que darán lugar al volumen máximo. ¿Qué valor tiene dicho volumen?

2.Se desea construir una caja cerrada a partir de una pieza de cartón de 5cm por 8cm., la caja se formara cortando cuadrados del mismo tamaño y luego se doblan los bordes, como se muestra en la figura. Determinar las dimensiones de la caja que tendrá el máximo volumen.

resp 1cm,3cm,3cm.


103

r

3.- Una lata de estaño con volumen de 16 pulgadas3 , va a tener la forma de un cilindro circular recto,

determinar la altura y el radio de dicha lata si se va a utilizar la mínima cantidad de material en su manufactura.

4.-Se van a utilizar 100 metros de tela de alambre para construir 6 jaulas de un zoológico como se muestra en la figura. Calcular las dimensiones para que el área que abarcan las jaulas sea máxima.

h


104

5.- Un granjero tiene 150m. de material para cercar un campo con forma rectangular y quiere usar un granero como parte de uno de los lados del terreno. Si el granero mide 10m de largo. Determine las medidas x, y que den el área máxima. Sol. x=35m.

6.-Encuentre las dimensiones de la región sombreada, de forma que su área sea máxima.

Capítulo 14. Concavidad

105

CAPÍTULO 14 CONCAVIDAD

Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable:

¿Cómo la graficaríamos?

Podríamos tener dos soluciones, como se muestra en la figura: ¿Cuál de las dos opciones es la correcta? Para contestar esto veamos lo que entenderemos por concavidad. Una gráfica como esta es cóncava hacia arriba Una grafica como esta es cóncava hacia abajo Tracemos las rectas tangentes a estas curvas.¿Qué relación hay entre las graficas y las rectas tangentes?

Intervalo Signo de f´ F

(-00,3) + Creciente

(3,8) - Decreciente

(8, + ) + Creciente


106

Veamos las siguientes definiciones CONCAVIDAD HACIA ARRIBA: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia arriba alrededor de un punto, si la gráfica queda por arriba de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto. CONCAVIDAD HACIA ABAJO: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia abajo alrededor de un punto, si la gráfica queda por abajo de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto. En este caso también se puede decir que la curva es convexa. Veamos la siguiente gráfica, en donde se analizan estos conceptos.

¿Cómo podemos utilizar la derivada para saber si una curva es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo? Veamos: ¿Qué pasa con las pendientes de las rectas tangentes, en una curva cóncava hacia arriba?

¿Cómo están relacionadas la pendiente y la función? Respuesta: Por la derivada m=f´ ¿Cómo sabemos cuando una función es creciente? Respuesta: La función es creciente cuando la derivada es positiva

Respuesta: las pendientes van

creciendo, son crecientes


107

¿En este caso como lo aplicamos? Respuesta: Como queremos saber en donde la pendiente es creciente tenemos que derivar m; pero m=f´, o sea que debemos ver en donde la la segunda es positiva f´´>0. Ejercicio ¿Cómo podemos utilizar la derivada para saber si una curva es cóncava hacia abajo? ¿Qué pasa con las pendientes de las rectas tangentes, en una curva cóncava hacia abajo? ¿Cómo están relacionadas la pendiente y la función? Respuesta: ¿Cómo sabemos cuando una función es creciente? Respuesta: ¿En este caso como lo aplicamos? Respuesta: PRUEBA DE CONCAVIDAD CONCAVA HACIA ARRIBA: Una función es cóncava hacia arriba en un punto (c, f( c)) si la segunda derivada es positiva en c; es decir f´´( c)>0.


108

CONCAVA HACIA ABAJO: Una función es cóncava hacia abajo en un punto (c, f( c)) si la segunda derivada es negativa c; es decir f´´( c)<0.

PUNTO DE INFLEXION: Diremos que un punto de inflexión, es en el cual hay un cambio de concavidad. Para buscar un punto de inflexión de la función f(x), determinar los puntos en donde la segunda derivada es igual a cero, es decir en donde f´´(c)=0. Pero no siempre que la segunda derivada es igual a cero existe un punto de inflexión, para verificarlo se debe ver si existe un cambio de signo en la segunda derivada.

EJEMPLO: Hallar los intervalos en donde la función y=-x4+2x2 +12 es cóncava hacia arriba y en donde es cóncava hacia abajo. Solución: hallemos la segunda derivada La primer derivada es: y´=-4x3+4x Tenemos que la segunda derivada es: y´´=-12x2 +4 Igualando a cero la segunda derivada: y´´=-12x2 +4=0, así: x2=-4/-12

De esto tenemos:3

1

12

4x

Formemos la siguiente tabla: Intervalo valor de prueba derivada signo de la derivada función M comportamiento de M

(-00 , -3

1) -1 y´´(-1)=-8 - cóncava hacia abajo

(-3

1 ,

3

1 ) 0 y´´(0)=4 + cóncava hacia arriba


109

(3

1, 00 ) 1 y´´(1)=-8 - cóncava hacia abajo

Así en x=-3

1, y en x=

3

1 hay puntos de inflexión.

Ejercicio 1) Hallar los intervalos en donde la función y=x4-8x2 es cóncava hacia arriba y en donde es cóncava

hacia abajo. 2) Hallar los intervalos en donde la función y=6x5-5x3 es cóncava hacia arriba y en donde es cóncava

hacia abajo.


110

3) Hallar los intervalos en donde la función y=x4-6x+2 es cóncava hacia arriba y en donde es cóncava

hacia abajo.

Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos

111

CAPÍTULO 15 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Sea c un número crítico de una función f en el cual f´(c)=0 y f´ existe para todos los valores de x en un intervalo abierto que contiene a c.

Entonces: si f´´(c) existe y se tiene que:

Ejemplo 1. Hallar los máximos y mínimos de la función, utilizando el criterio de la segunda derivada: y=2x3-9x2 +11

Solución: *Obtengamos y´: y´=6x2 -18x

Busquemos los números críticos, para esto tomemos: y´=0

así: y´= 6x2 -18x =0, factorizando : 6x(x-3 )=0

por lo que los números críticos son: x=0, x=3

**Calculemos la segunda derivada y veamos su signo:

y´´=12x-18

Sustituyendo x=0: y´´(0)= 12(0)-18 =-18 es negativa , así hay un máximo en x=0

Sustituyendo x=3: y´´(3)= 12(3)-18 =18 es positiva, así hay un mínimo en x=3 Ejercicio

1. Calcular los máximos y mínimos de la función, empleando el criterio de la segunda derivada

y=x3+3 x2 -14

1) f´´(c) >o, la función f tiene un mínimo en c.

2) f´´(c) <o, la función f tiene un máximo en c.


112

Ejemplo 2. Hallar los máximos y mínimos de la función, utilizando el criterio de la segunda derivada: f(x)=10+2x2-x4

Solución: (*) Obtengamos f´: f´(x)=4x-4x3

Busquemos los números críticos, para esto tomemos: f´(x)=0

así: f´(x)= 4x-4x3 =0, factorizando : 4x(1-x2 )=0 ,aplicamos a2 -b2 =(a-b)(a+b)

tenemos: 4x(1-x ) (1+x )=0, por lo que los números críticos son: x=0, x=1, x=-1

(**) Calculemos la segunda derivada y veamos su signo:

f´´(x)=4-12x2

Sustituyendo x=0: f´´(0)=4-12(0)2 =4 es positiva , así hay un mínimo en x=0

Sustituyendo x=1: f´´(1)=4-12(1)2 =-8 es negativa , así hay un máximo en x=1

Sustituyendo x=-1: f´´(-1)=4-12(-1)2 =-8 es negativa, así hay un máximo en x=-1

Ejemplo 3. Hallar los máximos y mínimos de la función, utilizando el criterio de la segunda derivada: 2 xx)x(h

Solución: (*) Obtengamos h´: h´(x)=x´ 3x +x 3x ´= ))x((xx 2

1

32

13

Así: 32

63

32

32

323

x

x

x

x)x(

x

xx)x´(h

Busquemos los números críticos, para esto tomemos: h´(x)=0, también veamos donde h´ no esta definida:

Tomemos: 3x+6=0, así: x=-6/3 x=-2 y también x+3=0, x=-3

(**) Calculemos la segunda derivada y veamos su signo:

)x(

x

)x()x(

)x(

)x

)(x())(x(

)x(

)´x)(x()´x)(x)x´´(h

34

3

6336

34

32

1263332

32

326363322

2334

33

1

343

6336

/)x(

x

)x(x

)x()x(

)x´´(h

, así:

2334

123/)x(

x)x´´(h

Sustituyendo x=-2: 4

6

14

6

324

12232

323

)()(

)()´´(h

/ es positiva, así hay un mínimo en x=-2


113

Ejercicio 1) Hallar los máximos y mínimos de la función, utilizando el criterio de la segunda derivada: f(x)=2x3-9x2-20

2) Investigar los máximos y mínimos de la función: f(x)=x3-6x2+9x-6


114

Ejemplo. El RÍO: Un río tiene un codo de 45º, como se muestra en la figura, un granjero desea construir un corral bordeado por los dos lados del río y por los otros dos lados utiliza una milla de tela de alambre ABC. Hallar las dimensiones del corral de área máxima.

Solución:

Apliquemos el criterio de la segunda derivada: xdx

dA31 , igualando a cero: 031 x

dx

dA

De donde tenemos el número crítico: 3

1x , veamos que en este valor hay un máximo: 3

2

dx

Ad

Así en 3

1x hay un máximo, tenemos x=1/3milla,L=1/3milla, y=1/3milla.

Tenemos: A=AR+AT …(A )

Donde: AR=Área del rectángulo = yx

AT=Área del triángulo 2

altura*base = Lx/2

Sustituyendo en (A): A= yx+2

Lx

Por oto lado: L+y+x=1milla, Sustituimos (*) x=L

Tenemos: x+y+x=1

Así: y=1-2x …(**)

Sustituyendo en el área:

A= yx+2

2x =(1-2x) x+2

2x = x2

3 2x

Así: 2

3 2xxA

De la figura tenemos:

Tan 45º x

L

adyacente cateto

stopueo cateto

Tenemos: 1x

L

Así x=L …(*)


115

PROYECTO

1) Una canaleta de sección transversal rectangular se fabrica doblando porciones iguales en cada orilla de una pieza de hojalata de 30cm. De ancho.¿Cuáles son las dimensiones de la sección transversal que hacen que el volumen sea máximo?


116

2) Una ventana tiene forma rectangular coronada por un semicírculo. Halle las dimensiones de la ventana que permita admitir el máximo de luz. Suponiendo que el perímetro debe ser de 5m.


117

3) Una caja con tapa debe hacerse de una hoja de cartón que mide 50cm por 80 cm. Esta se hace cortando las regiones sombreadas según la figura y después se doblan las líneas punteadas. ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que maximizan el volumen? Ventana tiene forma rectangular coronada por un semicírculo. Halle las dimensiones


118

4)Un recipiente metálico con extremos semicirculares debe tener una capacidad de 128 pies

cúbicos. Determinar su radio r y su longitud h si se quiere que el recipiente tenga la menor

cantidad de material en su construcción.

Capítulo 16. Derivadas Trigonométricas

119

CAPÍTULO 16 DERIVADAS TRIGONOMETRICAS

La Trigonometría es la ciencia que estudia las relaciones que ligan los lados y los ángulos de un triángulo y aplica dichas

relaciones a obtener los elementos desconocidos de dicho triángulo.

En la antigüedad antes del año 100 a. C. los griegos inventaron la trigonometría para resolver problemas de astronomía,

navegación y geografía. La palabra Trigonometría viene del griego y significa ”medida de triángulo”.

Funciones Trigonométricas

Las diferentes razones entre los lados de un triangulo rectángulo constituyen las funciones trigonométricas y se definen como

sigue:

o M

P

q

OP

MP seno del ángulo POM, puede escribirse como seno del ángulo q igual a cateto opuesto sobre hipotenusa senq =

hip

co

OP

OM coseno del ángulo POM, puede escribirse como seno del ángulo q igual a cateto adyacente sobre hipotenusa cosq =

hip

ca

OM

MP tangente del ángulo POM, puede escribirse como tangente del ángulo q igual a cateto opuesto sobre cateto adyacente tanq =ca

co

MP

OM cotangente del ángulo POM, puede escribirse como cotangente del ángulo q igual a cateto adyacente sobre cateto opuesto cotq =co

ca

OM

OP secante del ángulo POM, puede escribirse como secante del ángulo q igual a hipotenusa sobre cateto adyacente secq =ca

hip

MP

OP cosecante del ángulo POM, puede escribirse como cosecante del ángulo q igual a hipotenusa sobre cateto opuesto cosecq =co

hip

Ahora veamos algunas aplicaciones. Una torre de 135 pies de altura esta situada en la orilla de un lago. Desde la punta de la

torre, el ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta del lago es de 36.30 ¿Cuál es la anchura del lago?

36.6

Apliquemos la tangente : tan36.30=

ca

co =x

135 , despejando x, tenemos

x=6.36tan

135 =178.7pies


120

Ejercicio: ¿A que distancia de la costa se encuentra el bote?

5

100

m

500 m

Ejercicio: Desde un globo estacionario de aire caliente, situado a 500 pies sobre el suelo, se tienen dos observaciones de un

lago. ¿Cuál es la longitud del lago? Resp839.1pies

500pies

6525o o

Ejercicio: Utilice la información de la figura para la altura de la montaña.

1 Km

y

25 42

x

oo

Ejercicio: Utilice la información de la figura y calcule la extensión x de la isla.

Altura2850 m

43o

52o


121

RADIANES. El radian es el ángulo que intercepta un arco igual al radio en longitud.

Radio

Ángulo A= un RadianA

Tenemos la siguiente fórmula que relaciona los radianes y los grados

360

gradosen A

2

radianesen A ÁnguloÁngulo

Por ejemplo transformar 30o a radianes

Tenemos 30o =6612

2)

360

2(30

radianesradianesradianeso

o

Transforma: 12 o, 18 o, 120 o, 90 o, 330 o, 710 o a radianes

De ahora en adelante trabajaremos con radianes.

Derivadas de las funciones trigonométricas

La derivada de la función y=senx


)()( xxsenxxfy f

Segundo paso: incremento de la función )()()()( xsenxxsenxfxxfyyy if

Apliquemos la identidad trigonométrica 22

cos2BA

senBA

senBsenA

Tenemos22

cos2)(xxx

senxxx

senxxxsen

Es decir 22

cos222

2cos2)(

xsen

xx

xsen

xxsenxxxsen


y

, tenemos :

x

xsen

xx

x

xsen

xx

x

y

2

2cos2

22cos2


xsen

Limx

xLimx

yLim

xxx

2

2cos2

000

Como y=cosx es una función continua tenemos xx

xLimx

xLimxx

cos2

cos2

cos00

Para hallar x

xsen

Limx

20

hacemos la sustitución zx

2, entonces zx 2 , y tenemos, 0z si 0x

2

11

2

1

2

1

2

2000

z

senzLim

z

senzLim

x

xsen

Limzzx

Así tenemos la derivada: xxx

yLim

dx

dsenx

xcos

2

1cos2

0

En general tenemos:

dx

duu

dx

dsenucos


122

La derivada de la función y=cosx

Para esto podemos tomar cosx=sen(2

-x)

Así senxxdx

xdx

dx

xdsen

dx

xd

)1)(2/cos(

)2/()2/cos(

)2/(cos

Pues tenemos:

1)2/(

dx

xd , senxx )2/cos(

Así: senxdx

xd

cos

En general tenemos:

dx

dusenu

dx

ud

cos

Ejercicio: calcula la derivada de x

senxy

cos , utiliza la derivada del cociente

DERIVADAS TRIGONOMETRICAS

Continuando con la reglas para derivar funciones trigonométricas directas, en la siguiente tabla se muestran.

Ejemplos de derivadas trigonométricas :

1) Obtenga la derivada de la función: xseny 67

1.

dx

duu

dx

senud*cos

2.

dx

dusenu

dx

ud

cos

3.

dx

duu

dx

ud 2sectan

4.

dx

duu

dx

ud*csc

cot 2

5.

dx

duuu

dx

ud*tan*sec

sec

6.

dx

duuu

dx

ud*cot*csc

csc

dx

dcos

dx

dsen

dx

fd

dx

fd

u u

u

c

c

:fórmulas las Aplicamos


123

Solución: xcos)(xcosdx

xdxcos

dx

xdsen

dx

dy642667

667

67

2) Obtenga la derivada de la función: xcosxseny 3528

Solución:

xsenxcosdx

dy

))(xsen()(xcosdx

dy

dx

xd)xsen(

dx

xdxcos

dx

dy

dx

xcosd

dx

xdsen

dx

dy

315214

335227

335

227

35

28

3) Hallar la derivada de la función: 710 4 xcosy

Solución:

43

344

4

44

4

1040

40101010

010

10

710

xsenxdx

dy

xxsendx

xdxsen

dx

dy

dx

xdxsen

dx

dy

dx

d

dx

xcosd

dx

dy

4) Hallar la derivada de la función: )xx(seny 583 2

Solución:

)xxcos(xdx

dy

x)xxcos(dx

dy

dx

)xx(d)xxcos(

dx

)xx(send

dx

dy

58946

825893

58583

583

2

2

22

2

Ejercicio

Obtenga la derivada de la función:

a) xseny 311 b) y=9sen(4x-1)

c) y=sen x2 d) y=10sen6x3

dx

dsen

dx

cosd

dx

dcos

dx

dsen

dx

fd

dx

fd

dx

gd

dx

fd

dx

)gf(d

u u

u

u u

u

c

c


dx

d

dx

d

dx

d

dx

dsen

dx

d

dx

gd

dx

fd

dx

gfd

vnv

v

0C

u u

u cos

) (


1nn


124

e) y=23cos16x f) y=9cos(4x-1)

g) y=sen18x + 4sen17x + 9cos12x h) )2

(3x

seny

i) )5

2cos(5)

4

7(8

xxseny j) )xcos()x(seny 41617

k) 97258315 4 xsen)xcos(xcosy l) y=3sec2x + 5sec7x -11sec2x

m) y= 9 sec(8x-1) –tan(3x+1)- tan(x-4) n) y=tan8x4

ñ) w=3tan4z6+ 6tan3z2 +4 tan7x5 o) y= cot3x-cot7x-9cotx

p)v=csc(4x-8) q) v=csc(1-z)+7csc(1-5z)


125

r) y=xsen2x s) y=3x cos11x

t) y= 5x3sen7x u) s=2x tan(3-4x)

v) x

senxy w)

x

senxy

cos

a) y= xsen(3x) - 3x +5 b) y= 4xcos(8w -1) c) y= xtan(3x) d) y= 9x

2tan(2x)


126

Otros ejemplos de derivadas trigonométricas:

1) Obtenga la derivada de la función: xseny 72

Solución:

xcosxsen)(xcos)xsen(dx

dy

dx

xdxcos)xsen(

dx

xdsen)xsen(

dx

dy

77147772

7772

772

1

112

2) Obtenga la derivada de la función: xtany 84

Solución:

xsecxTandx

dy

dx

xdxsec)xTan(

dx

xdTan)xTan(

dx

dy

8832

8884

884

23

2314

3) Obtenga la derivada de la función: 1253 xsecy

Solución:

12532

5515

551512532

112531253

2

12

11

2

1

xsec

xtanxsec

dx

dy

xtanxsec)xsec(dx

)xsec(d)xsec(

dx

dy

Ejercicio

Obtenga las siguientes derivadas: a) y=(3cosx - 5)

2

b) T(x) =12(4-sen7x)

2 + 5 c) y=5tan

49x

d) y=8sec3(2x-9) e) y=(1+cos2x)5

dx

d

dx

dsen

dx

d

dx

d n

u u cos

u

vn v

v


1n

dx

d

dx

dTan

dx

dv

dx

d n

u u sec

u

vn

v


2

1n


127

f) 23 xseny g) uTanuseny 1217 34

Ejemplo: veamos un ejemplo en donde se utilice la fórmula del cociente.

Derivar: 2cos

1

x

senxy

Tenemos en su forma más simple, la fórmula de la derivada de un cociente es: 2

´´)´(

v

vuuv

v

u

2

22

2

22

2

22

2

2

)2(cos

cos21'

:,1cos ,)2(cos

cos2)cos(

)2(cos

cos2cos

)2(cos

))(cos2(cos))(1(

)2(cos

)´1)(2(cos)´2)(cos1()´

2cos

1(

x

xsenxy

tenemosxxsencomox

xsenxxxsen

x

xxsenxxsen

x

xxsenxsenx

x

senxxxsenx

x

senx

Ejercicio Obtenga las siguientes derivadas:

a)xsen

xy

5

5cos b)

x

senxy

cos

1

c) x

xy

tan

4sec2 d) xy 2tan2


128

Ejercicio

1.- El pistón. Un brazo de 10cm que conecta un pistón con una biela de 4cm de radio, la cual gira en sentido

contrario a las manecillas del reloj a un ritmo de 200 revoluciones por minuto. Hallar la velocidad del pistón

cuando q 450 , q 600 , q 700, q 00

q

Aplica la ley de cosenos para el triangulo

q

104

2.-La patrulla. Un coche de patrulla esta estacionada a 15m de un muro y su reflector gira a 30 revoluciones por minuto. ¿A qué velocidad en m/s se desplaza la luz sobre el muro cuando el rayo forma los siguientes

ángulos? q 300 , q 450 , q 600 , q 700

q

15

x


129

Máximos y Mínimos

1. La altura de un proyectil lanzado con una velocidad inicial constante v0 y de un ángulo de elevación q0 está

dada por y =(tan q0) x - (g / 2v20 cos2 q0)x

2 , en donde x es su desplazamiento. Demuestre que la altura

máxima alcanzada por el proyectil es : h= (v20/2g)sen2

q0.

2. La temperatura media diaria (en grados Fahrenheit) de una ciudad viene dada por

365

)32(2cos2345

tT

Donde t se mide en días, con t=1 siendo el 1 de enero. Hallar la fecha esperada del

día a)más caluroso, b)más frío

3. La iluminación E en cualquier punto P sobre el borde de una mesa circular, proporcionada por una lámpara colocada directamente arriba de su centro está dada por

E= (I cos q ) /r2 .Dado que el radio de la mesa sea 1m e Y=100 , encuentre la altura a la que debe

colocarse la luz para que E sea máxima.


130

4. La base de un cuadro sobre la pared esta a pies por encima del ojo de un observador. El lado vertical del cuadro mide b pies. A qué distancia de la pared ha de colocarse el observador para maximizar el ángulo

visual que ese cuadro subtiende.

5. Se desea fabricar un recipiente de forma que su sección transversal sea un trapecio isósceles con las

dimensiones indicadas en la figura. Determine el valor de q de manera que el volumen sea máximo.

q10 pulg

10 pulg

Capítulo 17. Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.

131

CAPITULO 17 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Ejercicio. Dibuja la gráfica de la función y=2x , para esto llena la siguiente tabla:

x 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

y

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo. El secreto: Supongamos que una persona conoce un secreto y por alguna razón se lo platica a tres

amigos y les pide que no se lo cuenten a nadie, pero estos por una extraña razón cada uno se lo platica a otros tres amigos y a continuación cada uno de estos otros se lo platica a otros tres amigos y así continúan hasta 10

veces. Al final de estos ciclos de diez. ¿Cuántos amigos conocen el secreto? Supongamos que en cada ciclo se tardan 5 minutos. ¿Cuánto tiempo se tardan en total para que todos conozcan el secreto? Obtenga una fórmula

para calcular el número de personas en cada fase.

Dibuja la gráfica de la función y=3x, podemos llenar la siguiente tabla:

Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8

X

Dibuja la gráfica de la función y=log3 x. para esto notemos que es equivalente a graficar x=3y, podemos llenar la siguiente tabla:

Y 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

X


132

EL NÚMERO e

El número e es importante y aparece en biología, química, física, matemáticas puras, etc. APARECE EN:

LAS LEYES DE CRECIMIENTO -Biología: Cuando se reproduce una bacteria y aumenta la población. Para la mosca de la fruta con población

inicial de 33 y después de 4 días hay 300. Y=33e0.5493t.

-Economía: Cuando se invierte cierto capital y se cobre determinado interés, éste junto con el capital se vuelve a invertir y así se continua, (interés compuesto). Producción de madera que en cierta región está dada por

v=100000te 8.0, con t=0 a t=1998

- Medicina: En la estatura de una persona, por ejemplo el modelo de Jenss (1937) que predice la altura en

términos del tiempo h= 79.04+ 6.39 t – e3.26-0.99t (3 a 6 años) LAS LEYES DE DECRECIMIENTO

-Química: Cuando se desintegra un elemento radiactivo, la cantidad de 10 gramos del isotopo del plutonio Pu239 y cantidad final 1 gramo y=10e-0.000028454t.

- Medicina: Cuando se administra un medicamento a una persona, su organismo lo asimila a determinada

rapidez. Física: Cuando se enfría un cuerpo caliente que se expone a la temperatura ambiente (Ley de enfriamiento de

Newton) con temperatura del medio de 600 y el cuerpo cambia de 1000 a 900 en 10 minutos: y=60+40e0.02877t.

Analicemos la función y= (1+x)1/x , cuando x tiende a cero, es decir tome valores muy cercanos a cero.

1)

n

n

11Lím

n

N 10 100 1000 50000 100000 n

n

11

Tenemos la función exponencial y=ex y su función inversa logaritmo natural y=Lnx

La Función Exponencial y=ex y la Función Logaritmo Natural y=Lnx

Utiliza el programa winplot y obtén estas gráficas.

n

n

11Lím

n

718.2 , este límite se conoce como el

número e y es la base de los logaritmos naturales


133

Algunos Límites importantes

Ejercicio: Utiliza la calculadora y calcula los siguientes límites

1)

n

n

21Lím

n

N 10 100 1000 50000 100000 n

n

21

3)

h

h

1-5Lím

h

0

H .1 .01 .001 .0001 0.00001

h

1-5h

5)

h

h

1-3Lím

h

0

h .1 .01 .001 .0001 0.00001

7)

e1Lím0

/1

.1 .01 .001 .0001 0.00001

1

2)

n

n

/4)sen(1Lím

n

N 10 100 1000 50000 100000 n

n

/4)sen(1

4)

h

h

1-2Lím

h

0

H .1 .01 .001 .0001 0.00001

h

1-2h

6)

h

h

1-eLím

h

0

h .1 .01 .001 .0001 0.00001


134

Funciones Exponenciales y logarítmicas

Funciones exponenciales: ,xby donde la variable ahora está como exponente.

1 bconby x

Función Exponencial Creciente

10 bconby x

Función Exponencial Decreciente

DERIVADA DE LA FUNCION LOGARITMO NATURAL y=Ln u


Primer paso: valor final, tenemos: )(ln)( uuuufy f

Segundo paso: incremento de la función:

ln(u)-)(ln)()( uuufuufyyy if

)ln(u

uu


y

u

u

u

u

uu

u

u

u

u

u

u

u

u

uu

uu

u

u

u

uu

u

y

1

)1ln(1

)1ln(11

)1ln(1

)ln(1

)ln(

Cuarto paso: Aplicar el límiteu

yLimu

0

Así tenemos la derivada: uu

Limu

yLim

du

dy

uu

1lne)

1(

00


135

De donde tenemos que la derivada de la función logaritmo natural y=Ln u, es: udu

udLn 1

En forma general, tenemos: dx

du

u

1

dx

u dLn

Ejemplo. Hallar la derivada de y=ln(5x+1)

Apliquemos la fórmula: dx

du

u

1

dx

u dLn

dx

xd

xdx

dy )15(

15

1

, tenemos: )5(

15

1

xdx

dy

Así: 15

5

xdx

dy

Ejemplo. Hallar la derivada de y=ln(3x+8)2


du

u

1

dx

u dLn

dx

xd

xdx

dy 2

2

)83(

)83(

1

, tenemos:

dx

xdx

xdx

dy )83()83(2

)83(

1 12

2

Así: )83(

6

)83(

2(3))3)(83(2

)83(

12

xx

xxdx

dy

Ejemplo. Hallar la derivada de )3( 2xLny


du

u

1

dx

u dLn

dx

xd

xdx

dy 2

1

2

2

)3(

3

1

, tenemos:

dx

xdx

xdx

dy )3()3(

2

1

3

1 21

2

1

2

2

Así: 2222 33

)2(3

1

2

1

3

1

x

x

x

xx

xxdx

dy

Ejercicios

Calcula las siguientes derivadas de las siguientes funciones y simplificar a su mínima expresión:

a) )104( xLny b)y=Lnx7


136

c)y=Ln5x3 d)y=(9-2x)

e)y=Ln(x2-3) f)y=Ln(x3-x-4)

g) y=Ln(5w-2)7 h)z=Ln54

6

x

x

i) z=Ln17

3

w

w

j)y=Ln

s

s

7

25

DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL y=ex


Primer paso: valor final, tenemos: )()( uu

f euufy

Segundo paso: incremento de la función:

(u))( e-)()( uu

if eufuufyyy

Tercer paso: cociente:

u

ee

u

eee

u

y

u

ee

u

y

uuuuu

uuu

)1(

Cuarto paso: Aplicar el límite

Así tenemos la derivada: uu

u

uuu

uue

u

eLime

u

eeLim

u

yLim

)

)1(()

)1((

000

Pues tenemos

h

h

1-eLím

h

0

1


137

En general tenemos que dx

due

dx

de uu

Ejercicio: obtenga la derivada de la función

a) y=2x b) y=3x

Similarmente tenemos la fórmula para y= au

dx

dua

dx

de uu

Lna

En general se muestra a continuación de algunas otras reglas para derivar funciones logarítmicas y

exponenciales.

Algunas reglas (fórmulas o teoremas) para derivar funciones logarítmicas y exponenciales se presentan a continuación

Funciones Logarítmicas Funciones exponenciales

1. dx

du

uu

dx

du

dx

ud*

1ln (base ...718.2e )

2. dx

dve

dx

ed vv

*

3.

dx

dv

v

e

dx

vd*

loglog (Base 10) 4.

dx

dvaa

dx

ad vv

*ln*

5.

dx

duuu

dx

duuv

dx

ud vvv

**ln** 1

Algunos ejemplos de estas reglas se dan a continuación en la tabla siguiente.

Función Derivada Ejemplos

vy log

dx

dv

v

ey *

log´ 12log xy

12

log22*

12

log´

x

e

x

ey

vey dx

dvey v *´

22

3 xey 22 22

*62*3´ xx exxey

xey xey ´

xey xey ´

vay dx

dvaay v *ln*´

737 xy

7ln*73´

3*7ln*7´

73

73

x

x

y

y


138

Ejercicios


1. xey 5

2. 127 xey

3. xe

y3

9 4.

23

xey

5. xy 72

6. 13 xy

7. xxey 3 8.

x

xx

e

eey

3

524 9.

965 xy 10. senxy ln

11. 2142 xy

12. xexy 925 13. y=lntan6x 14. senxy ln 15. senx

senxy

3

3ln


139

PROYECTOS

1.-El isótopo de carbono 14

C tiene una vida media de 5760 años(Así, si hubiera N átomos de 14

C presentes en un cierto

tiempo, 5760 años después habría ½ N.) Si hay 10 mg de 14

C al tiempo t=0, entonces la cantidad presente f(t) después de t

años está dada por:

5760

2

110)(

t

tf

Determine la cantidad de 14

C presentes después de a)100 años. b)500años. c)1000años. d)10000años e)50000años.

f)Obtenga la gráfica de f(t). g)Obtenga f´(t).

2.-Un cierto tipo de bacteria duplica el tamaño de su población cada hora. El número N de bacteria presentes t horas

después de que se empieza a observar cierta colonia está dada por la fórmula: tN 2100 . Determine el número de

bacterias después de:

a)una hora. b)tres horas y media. C)un día. D)dibuje la grafica de N. e)Obtenga N´(t)


140

4.-La ley de enfriamiento de Newton. Un huevo duro a 980C se pone a enfriar en un recipiente con agua a 18

0C. Después

de 5min, la temperatura del huevo es de 380C. Suponiendo que el agua no se ha calentado de manera apreciable. El

enfriamiento del huevo sigue la ley: T=18+80e - 0.28t

. Donde T es la temperatura del huevo, t es el tiempo. Utiliza

Geogebra o Winplot para obtener la gráfica de la esta función. Con base a esta gráfica obtén el tiempo que tarda en tener

una temperatura de 450C , 30

0C, 20

0C, 18

0C.

Calcula con base a las fórmulas de derivadas la velocidad de enfriamiento. Obtén su gráfica en la computadora.

5. La Radioactividad. El radio decrece exponencialmente y tiene una vida media de aproximadamente 1600 años; es decir

dada una cantidad, al cabo de 1600 años se habrá desintegrado la mitad de la cantidad original de la sustancia radioactiva.

Supongamos que tenemos 50mg de radio puro y que la ley de desintegración es: y= 50e –(Ln2/1600) t

. utiliza Winplot para

obtener la gráfica de la esta función. Con base a esta gráfica obtén el tiempo que tarda en tener una cantidad de 44mg,

36mg, 20mg, 12mg, 4mg. Calcula con base a las fórmulas de derivadas la velocidad de desintegración radioactiva. Obtén

su gráfica en la computadora.


141

Ejercicios

1.- Utiliza la computadora obtén la gráfica y en base a las fórmulas de derivadas encuentra la derivada de las

siguientes funciones:

a) y= senx ex

b) y=esenx

c) y=x esenx

d) y=ex/x

e) y=5cosx e2x


142

f) y=x2 ecosx

g)

xx

xx

ee

eey

h) y=5 senx e4cosx

2.Obtenga la gráfica de . También obtén la gráfica de la función inversa en caso de existir.

a)y=log2x

b)y=log2(x-6)

c)

32)1(

1log

xy

Capítulo 18. Derivada de las Funciones Inversas Trigonométricas.

143

CAPITULO 18 FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMETRICAS

FORMULAS BASICAS

a)

21 v

dx

dv

dx

arcsenvd

b)

21

arccos

v

dx

dv

dx

vd

c)

21

arctan

v

dx

dv

dx

vd

d)

21

cot

v

dx

dv

dx

varcd

e)

1

sec2

vv

dx

dv

dx

varcd

f)

1

csc2

vv

dx

dv

dx

varcd

OBTENER LA DERIVADA DE LA FUNCION:

A) Y=arctan(8x) B) Y=arctan(3x-2)

C) Y=5arcsen20x D) Y=arcsen(3+x2)

E) Y=arccos(x3) F) Y=arccot(9x+2)

G) Y=arccot(7-3x)

H) Y=arcsec(22x) I) Y=xarccsc(8x)

J) )3

1arctan(

xy

K) )6

42(

xarcseny

Capítulo 18. Derivada de las Funciones Inversas Trigonométricas.

144

Máximos y mínimos

1.-Un fotógrafo va a tomar una fotografía de una pintura que tiene 4pies de altura y que se encuentra en una galería de arte. El lente de la cámara se encuentra a un pie más abajo que el canto inferior del

cuadro. ¿A qué distancia del cuadro debe encontrarse la cámara para maximizar el ángulo subtendido por el lente de la cámara? Resp.2.23pies ángulo=41.81°

x

Capitulo 19 Diferenciales

145

CAPITULO 19 LA DIFERENCIAL Y EL MÉTODO DE NEWTON

DIFERENCIALES

INCREMENTO DE UNA VARIABLE: El incremento de una variable x se representa por el símbolo x ,

es el cambio que ocurre desde un valor inicial hasta un valor final. Así: x =xfinal -xinicial

INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN

Ejemplo: hallar y , si y= 3x2-5

Solución: y =f(x+ x )-f(x)

y =3(x+ x )2-5- ( 3x2-5 )

y =3(x2 +2x x + x 2 )-5-( 3x2-5 )

y =3x2 +6x x +3 x 2 -5- 3x2 + 5

y = 6x x +3 x 2

Ejercicio Resolver lo siguiente.

1) Hallar y , si y=2x2 - 4x+5

2) Una placa circular se dilata bajo el efecto del calor determine el incremento del área.

3) Si el radio inicial es de 6cm y pasa a 6.04cm. Hallar el incremento del área.

4) Una bola de hielo de 10cm. De radio se reduce a 9.86cm. Hallar el incremento del volumen.


146

DIFERENCIALES. Los diferenciales los tomaremos como aproximación de los incrementos. Para

calcular un diferencial utilizaremos la fórmula: dy= y´dx

Ejemplo: Hallar la diferencial de y=3x2 –5 .Cuando x=1 , dx=0.1

Solución. Tenemos: dy= y´dx

Así: dy= 6x dx

Sustituyendo: dy= 6(1)(0.1)=0.6 Ejemplo.- Una placa circular se dilata bajo el efecto del calor de manera que su radio pasa de 5 a 5.06

cm. Utiliza diferenciales para hallar el incremento del área.

Solución: Tenemos que A= r2

dA=2 r dr , Aquí se tiene dr=5.06-5=0.06

Sustituyendo : dA=2 (5)(0.06)=1.884cm2

Realicemos directamente el calculo del incremento del área A= (r + r)2- r2

Desarrollando, tenemos: A= (r2 +2r r+ r2 )- r2

A= r2 +2 r r+ r2- r2

A=2 r r+ r2

A=2 (5)(0.06) + (0.06) 2

A=1.896cm2 Ejercicio

1. Utiliza diferenciales para calcular de manera aproximada el incremento de la función: a) y=x 3 , x=7, dx=0.01 b) y=3x2-5,x=1,dx=0.1

c) 24xe , x1=1, x2=1.05 c) y= cos bx , x1=1.3, x2=1.33

2.- El tumor alojado en el cuerpo de una persona es de forma esférica. Utilice la

diferencial para hallar de forma aproximada el incremento del volumen del tumor cuando el radio crece de 1.49cm a 1.52cm.


147

3.-Un pisapapeles es una esfera hueca con un radio de 6cm y un espesor de 0.33cm. Si se

hace de metal que cuesta $2.50 cm3 , utilice la diferencial para calcular el costo aproximado del metal que se usara en la fabricación del pisapapeles.

Ejemplo: Utiliza diferenciales , para hallar el valor aproximado de 6

Solución: Tomemos y dy

Tenemos y y´dx

f (x+ x)-f(x) y´dx

f (x+ x) f(x)+y´dx

tomemos: f(x)= x , también x1=4, x2=6, x=x2-x1=6-4=2, dx x

por otro lado: y´=f´(x)= x2

1

f (x+ x) f(x)+y´dx dxx

xxx2

1

Así: 6 )2(42

14 =2+1/4=2.25

Ejemplo.- Utiliza diferenciales , para hallar el valor aproximado de 3 9

y y´dx

f (x+ x)-f(x) y´dx

f (x+ x) f(x)+y´dx dxx

xxx3 2

33

3

1

Así 08.212/12)1(643

189

3

33


148

Ejercicio

Ejercicio: Utiliza diferenciales para calcular de manera aproximada las siguientes operaciones:

a) 145

b) 10

c) 3 12


149

d) 4 17


150

Ahora para calcular la recta tangente a una curva f(x), debemos obtener la

pendiente de la recta y esto es la derivada de la función en x0, f´(x0).

Por otro lado sabemos que la pendiente de la recta es

12

12

xx

yym

así: )0´(

12

12 xfxx

yym

MÉTODO DE NEWTON

En el álgebra resolvemos ecuaciones de primer grado y de segundo grado, sin embargo puede ser que

nos enfrentemos al problema de resolver una ecuación de grado mayor. Se sabe que para ecuaciones de grado mayor de cuatro no hay formulas que nos permitan resolverlas, también podemos resolver

ecuaciones trigonométricas o logarítmicas; para estos casos podemos intentar resolverlas de forma

aproximada utilizando el método de Newton. Ejemplo1: Resolvamos la ecuación x3 – x-1=0, tomemos la grafica de la función

y= x3 - x -1

Fig1 Fig2

El método de Newton se utiliza para resolver ecuaciones f(x)=0, se aplica en funciones f(x) diferenciables

y consiste en acercarnos al valor c a través de las rectas tangentes a la curva.

Primero tomamos un valor x0 cercano a c, si f´(x0) 0 entonces se construye la recta tangente, como se

indica en la figura 3 y se toma como nueva aproximación a x1, en este valor se construye una nueva recta tangente y ahora se toma como aproximación al valor x2 y así se continua. En el dibujo

observamos que cada vez nos acercamos más al valor c.

Fig3

Para xo tenemos que la recta tangente pasa por (x1, 0) , (x0, f(x0)) así tenemos :

)´( )(

0

10

0 xfxx

xfm

despejando x1:

))(´( )( 1000 xxxfxf 10000 )´( )´( )( xxfxxfxf

)´(

)()´(

0

000

1xf

xfxxfx

El punto que deseamos

hallar es el punto que se

muestra en la figura 2,

señalado con la letra c

Así método utilizamos x0, como primer aproximación , después utilizaremos x1,

a continuación x2 y así sucesivamente.

Con este método tenemos una sucesión de valores x0 , x1, x2, x3, ..., xn,...

de aproximaciones que tienen como límite al valor c, es decir : xn c


151

Así tenemos: )´(

)(

0

0

01xf

xfxx

Repitiendo el procedimiento para x2,

Tenemos:)´(

)(

1

112

xf

xfxx

Continuando este proceso tenemos: )´(

)(1

n

nnn

xf

xfxx .......(*)

Ejemplo2.- Apliquemos el método de Newton para hallar una solución de la ecuación x3 – x-1=0

Determinemos un cambio de signo para la función f(x)=x3 - x+2 Sustituyamos x=0 f(-0)=(0)3 –(0)-1=-1 signo -

x=1 f(1)=(1)3 –(1)-1=-1 signo -

x=2 f(2)=(2)3 –(2)-1=5 signo +

Entonces la raíz (solución) que buscamos esta entre 1 y 2, pongamos nuestra primer aproximación igual a x0=1.5

Así tenemos f(x)= x3 – x-1, f´(x)= 3x2 – 1 sustituimos esto en la ecuación (*)

Tenemos: )´(

)(1

n

nnn

xf

xfxx

Así: 13

12

3

1

n

nn

nnx

xxxx tomando x0=1.5

Por lo que tenemos: 3478.11)5.1(3

1)5.1()5.1(5.1

13

12

3

2

0

0

3

0

01

x

xxxx

3252.11)3478.1(3

1)3478.1()3478.1(3478.1

13

12

3

2

1

1

3

1

12

x

xxxx

3247.11)3252.1(3

1)3252.1()3252.1(3252.1

13

12

3

2

2

2

3

2

23

x

xxxx

3247.11)3247.1(3

1)3247.1()3247.1(3247.1

13

12

3

2

3

3

3

3

34

x

xxxx

como x3=x4 entonces detenemos el proceso y concluimos que la solución es aproximadamente igual a 1.3247 con cuatro cifras significativas, es decir la solución es: x 1.3247.


152

LA CALCULADORA

Vamos a repetir los cálculos del ejemplo2, utilizando la calculadora.

Ejemplo3: Resolvamos: x3 – x-1=0

Tomemos x0=1.5 marquemos el igual = y utilicemos la opción

de la calculadora Esta opción tiene asignado dentro de su memoria el ultimo resultado, en este caso 1.5

Así : 1.5 Ans cada que oprimamos el signo igual el nuevo resultado se asigna a Ans

Tenemos: )´(

)(1

n

nnn

xf

xfxx =

13

12

3

1

n

nn

nnx

xxxx

Así tenemos : 13

12

3

Ans

AnsAnsAnsAns en la calculadora

Se escribe: )13/()1( 23 AnsAnsAnsAns

Oprimamos la tecla = y obtenemos 1.3478 este valor ahora esta asignado en Ans=x1

Oprimamos la tecla = y obtenemos 1.3252 este valor ahora esta asignado en Ans=x2 Oprimamos la tecla = y obtenemos 1.3247 este valor ahora esta asignado en Ans=x3

Oprimamos la tecla = y obtenemos 1.3247 este valor ahora esta asignado en Ans=x4

es decir la solución es: x 1.3247.

Si queremos 5 decimales de aproximación utilicemos la opción Fix de la calculadora para esto utilicemos tecla MODE oprímela varias veces hasta que aparezca Fix, cuando esta aparezca oprime el

número debajo de ella, y a continuación oprime el número de decimales que quieres que la calculadora

tome para el resultado.

Ejemplo4: Resuelva la ecuación x4-x2 -21=0

Solución:

Busquemos un cambio de signo Sustituyamos x=0 f(0)=(0)4 +(0) 2-21=-21 signo -

x=1 f(1)=(1)4 +(1) 2-21=-19 signo - x=2 f(2)=(2)4 +(2) 2-21=-1 signo -

x=3 f(3)=(3)4 +(3) 2-21=69 signo + Entonces la raíz (la solución) que buscamos esta entre 2 y 3, pongamos nuestra primer aproximación

igual a x0=2.5

Así tenemos f(x)= x4-x2 -21, f´(x)= 4x3-2x sustituimos esto en la ecuación (*)

Tenemos: )´(

)(1

n

nnn

xf

xfxx

Así:

nn

nn

nnxx

xxxx

24

213

24

1

tomando x0=2.5

Apliquemos la calculadora con la opción Ans tomando 2.5*1=2.5 para introducir 2.5 en Ans

Así tenemos AnsAns

AnsAnsAnsAns

24

213

24

En la calculadora escribe: )24/()21( 324 AnsAnsAnsAnsAns


153

Oprimamos el signo de igualdad en la calculadora y obtenemos 2.2946 este valor ahora esta asignado

en , así tenemos Ans :=x1

Oprimamos la tecla y obtenemos 2.2613 este valor ahora esta asignado en , así:

Ans:=x2=2.2613


Ans:=x3=2.2605


Ans:=x4=2.2605

Como en x3=x4=2.2605 tenemos la solución es: x 2.2605 con 4 cifras decimales exactas.

Ejemplo5- De una aproximación al valor de 2 con seis decimales

Solución: Consideremos la ecuación x2 -2=0

Busquemos un cambio de signo

Sustituyamos x=0 f(0)=(0) 2-2=-2 signo - x=1 f(1)=(1) 2-2=-1 signo -

x=2 f(2)=(2) 2-2=2 signo +

Entonces la raíz (la solución) que buscamos esta entre 1 y 2, pongamos nuestra primer aproximación

igual a x0=1 Así tenemos f(x)= x2 -2, f´(x)= 2x sustituimos esto en la ecuación (*)

Tenemos: )´(

)(1

n

nnn

xf

xfxx

Así:

n

n

nnx

xxx

2

22

1

tomando x0=1. Apliquemos la calculadora escribe: )2/()2( 2 AnsAnsAns

la solución es: x 1.414214

Ejercicio

1)Resuelve la ecuación x3 +x2=1

2)Resuelve la ecuación x4 -5x-85=0


154

3) Resuelve la ecuación x3 +2x2 =13

UTILIZANDO GRAFICAS EN EL MÉTODO DE NEWTON

Ejemplo.- Resolvamos la ecuación x4-x2 -21=0, tomemos x4=x2 +21

Veamos las graficas de y= x4 y la de y= x2 +21,

busquemos un punto cercano a la intersección, este sera nuestro valor x0

la solución es: x 2.2605 con 4 cifras decimales exactas.

Como lo muestra el ejemplo 4


155

Ejemplo2: Resolver la ecuación x3+2x -8=0

Solución: Por el método grafico localicemos una primer aproximación de la raíz

Tomemos x3= - 2x +8 Construyamos y=x3 Construyamos y= - 2x +8

Por tabulación, damos valores a x: Por tabulación, damos valores a x:

En la gráfica vemos que la intersección de las curvas esta entre 1 y 2

Así que tomemos la primer aproximación igual a 2, es decir x0=2

Tomemos f(x)= x3+2x -8 Calculemos f´(x), tenemos f´(x)= 3x2+2x

Apliquemos la fórmula de Newton: )´(

)(1

n

nnn

xf

xfxx ...( *)

Utilicemos introduciendo 2 en y sustituyendo en (*),tenemos:

2 Ans

)23/()82( 23 AnsAnsAnsAns , oprimimos varias veces

tenemos: x=1.6702 con 4 cifras decimales exactas

Ejercicio

1) Resuelve la ecuación x3 +2x-4=0. Por el método de Newton utiliza las graficas de y=x3 ,

y= -2x+4 para obtener la primer aproximación x0.

x Y

-2 -8

-1 -1

0 0

1 1

2 8

x Y

-2 12

-1 10

0 8

1 6

2 4


156

x y=x

- -3.14

-(3/4) -2.36

-(2/4) -1.57

-(1/4) -.78

0 0

(1/4) .78

(2/4) 1.57

(3/4) 2.36

3.14

2) Resuelve la ecuación x3 -4x+2=0. Por el método de Newton ¿Cuántas soluciones tiene ?Obtenga sus

raíces.

Ejemplo: Resolver la ecuación 3 sen x – x =0

Solución: Por el método grafico localicemos una primer aproximación de la raíz

Tomemos 3sen x = x Construyamos y=3senx Construyamos y= x

Por tabulación, damos valores a x: Por tabulación, damos valores a x:

Una solución ex x=0, obtengamos otra solución.

En la gráfica vemos que la intersección de las curvas esta entre -(3/4) y (3/4)

Así que tomemos la primer aproximación igual a -(3/4) , es decir x0=-(3/4)

Sustituimos en )´(

)(1

n

nnn

xf

xfxx , tenemos )1)cos(3/())(3( AnsAnsAnssenAns tenemos: x=-

2.278

También tomamos x0=(3/4) , sustituimos y tenemos x=2.278.

Así las soluciones son 0, 2,278, -2,278

X y=3senx

- 0

-(3/4) -2.12

-(2/4) -3

-(1/4) -2.12

0 0

(1/4) 2.12

(2/4) 3

(3/4) 2.12

0


157

Ejercicio

1) Resuelve sen x+x-1 =0

2) Resuelve 2sen x – 1/3 x2 =0


158

3) Resuelve e x +x -3 =0

Capitulo 20 proyectos

159

CAPITULO 20 PROYECTOS

PROYECTOS DE INVESTIGACION EJERCICIOS SELECCIONADOS DE MAXIMOS Y MINIMOS

1. Hallar dos números cuya suma sea 50 y cuyo producto sea el máximo posible.

2. Hallar dos números positivos x , y cuya suma sea 30 y x y2 sea el máximo

posible.

3. Hallar dos números positivos cuya suma es 72 y el producto de uno de ellos con el cubo del otro es máximo.

4. Que numero excede a su cuadrado en la cantidad máxima?

5. Encontrar el máximo valor de Q= xy , si x, y deben cumplir 2x2 + y

2 =1

6. Halle el punto de la gráfica de x+y=1 mas cercano al punto (2,3)

7. Encuentre el punto de la gráfica de y = x 2 +1 mas cercano al punto (3,1).

8. Encuentre el punto de la gráfica de y=x3 mas cercano al punto (4,0).

9. Determine el punto de la gráfica de y= x 3- 4x

2 en el que la recta tangente tenga

la pendiente mínima.

10. Determine el punto de la gráfica de y = 8x 2 +1

x en el que la recta tangente

tenga la pendiente máxima.

11. En que punto del primer cuadrante de la parábola y= 4 - x2

determina la

tangente, junto con los ejes de coordenadas un triangulo de área mínima.

12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 4) y corta al primer cuadrante un triángulo de área mínima.

Numéricos

Geométricos


160

En los problemas 13-16 encuentre las dimensiones de la región sombreada, de forma de que su área sea máxima.

13.

14.

15.

16.


161

17. Un alambre de 24 metros de longitud se corta en dos pedazos; con uno de ellos se construye una circunferencia y con el otro un cuadrado. Cuales deben ser las dimensiones para que la suma de las áreas de las figuras así formadas sea mínima? Se emplearan 20 pies de alambre para formar 2 figuras en cada uno de los siguientes casos Hallar las medidas para que el área total encerrada sea máxima

18. Triángulo equilátero y un cuadrado 19. Cuadrado y pentágono regular. 20. Pentágono regular y hexágono. 21. Hexágono regular y circulo. 22. Encuentre el rectángulo de mayor área (cuyos lados son paralelos a los ejes) que

puede ser inscrito en la elipse x

a

y

b

2

2

2

2 1+

23. Determinar las dimensiones de un cono circular recto que tenga el mínimo

volumen V que circunscribe a una esfera de radio r (sugerencia utilice triángulos semejantes)

24. Dos postes de antena de TV se encuentran en un techo afianzados mediante

alambres sujetos en un mismo punto entre los postes. según la figura. En donde debe localizarse el punto para minimizar la cantidad de alambre empleado?


162

25. Se va a construir una armazón para embalaje con un trozo de madera con sección

cuadrada de 2 por 2 pulgadas y 24 pies de largo. El embalaje va a tener extremos cuadrados, como se muestra en la figura. Calcule las dimensiones que producen el máximo el máximo volumen exterior.

26. Se van a usar 300 metros de tela de alambre para construir seis jaulas de un

zoológico, como se muestra en la figura. Calcule las dimensiones para que el área que abarcan las jaulas sea máxima.

27. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicirculo.Halle las

dimensiones de la ventana que permiten admitir mas luz suponiendo que el perímetro debe ser de 5m.

28. Una cerca de 8 pies se alto al nivel del suelo va paralela a un edificio alto. Calcule la

longitud de la escalera mas corta que se puede apoyar entre el suelo y el edificio por encima de la reja. (Sugerencia : utilice Triángulos semejantes.)

29. Se desea que las páginas de un libro tengan un área de 900cm2 con márgenes de 2.5cm abajo y a los lados , y de 1.5cm arriba. Determinar las dimensiones de la página que darán la mayor área posible para el texto.

Armazón

Construcciones


163

30. Se va a construir un vaso de papel en forma de cono circular recto quitando un

sector circular a una hoja d e papel con firma de circulo y radio a , y uniendo después las dos orillas rectas del papel restante . Calcule el volumen del vaso mas grande que se pueda construir.

31. Una hoja de papel tiene 8 pulg de ancho. Una de las esquinas se dobla hasta la otra orilla de la hoja como se muestra en la figura. Encuentre el ancho x de la parte doblada, de tal forma que la longitud l del doblez sea mínima.

32. Un Granjero tiene 150 m de material para cercar un campo con forma rectangular y

quiere usar un granero como parte de uno se los lados del terreno. Demuestre que el área cercada es máxima cuando en vez de rectángulo se tiene un cuadrado.

33. Determinar la longitud máxima de una tabla delgada que puede transportarse

horizontalmente alrededor de una esquina en ángulo recto.(sugerencia triángulos semejantes)

34. Se desea construir una tienda de campana con forma de pirámide de base cuadrada.

Un poste de metal colocado en el centro será el soporte de la tienda. Se cuenta con S pies2 se lona para los cuatro lados del albergue y x es la longitud de la base.Demuestre que El volumen V de la tienda es

V alcanza un valor máximo cuando x= veces la longitud del poste.

35. Un ranchero tiene 3000 pies de cerca. Determinar las dimensiones de un corral

rectangular que abarquen el área máxima.

36. Un terreno rectangular se va a cercar y dividir en tres porciones iguales mediante dos cercas divisorias paralelas a dos de los lados.

a)Si el área que debe abarcarse es de 4000m2 encuentre las dimensiones del

terreno que requieren la menor cantidad de cerca. b)Si la cerca total que va usarse es de 8000m, encuentre las dimensiones del terreno

abarcado que tenga la mayor área.


164

37. Un río tiene un codo de 45 , como se muestra en la figura, un granjero desea

construir un corral bordeado por los dos lados del río y por los otros dos lados por una milla de tela de alambre ABC. Hallar las dimensiones del corral de área máxima.

38. Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin tapa que tenga una

capacidad de 1m3 . Encuentre las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material sea mínima, suponiendo que no se desperdicia nada en la construcción.

39. La base circular del recipiente del ejercicio anterior se corta de una hoja cuadrada y

el metal restante se desperdicia. Calcule las dimensiones del recipiente para las cuales la cantidad de material necesario en la construcción sea mínima.

40. Un recipiente de capacidad V es construido de un cilindro recto al que se le

monta una semiesfera. a) Exprese la superficie total S como función de r.

b) Encuentre el valor de r que minimiza S.

Recipientes


165

41. Se desea Construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los extremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de los extremos es el doble del de la parte cilíndrica . Que dimensiones

minimizan el costo si la capacidad deseada es de 10 pies3.

42. Una canaleta de sección transversal rectangular se fabrica doblando porciones

iguales en cada orilla de una pieza de hojalata de 30cm de ancho. Cuales son las dimensiones de la sección transversal que hacen que el volumen sea máximo?

43. Se va a fabricar un canal, de forma que su sección transversal sea un trapecio isósceles con las dimensiones indicadas en la figura. Determinar el valor de de

manera que el volumen sea máximo.

44. De una pieza cuadrada de cartón se va a formar una caja abierta por arriba,

cortando un cuadrado en cada una de las esquinas y doblando los bordes. Dado que el cartón mide 40cm por lado, encuentre las dimensiones de la caja que darán lugar al volumen máximo.

45. Una caja con tapa debe hacerse de una hoja de cartón que mide 50cm por 80cm.

Esta se hace cortando las regiones sombreadas según la figura y después se doblan las líneas punteadas. Cuales son las dimensiones x,y,z que maximizar el volumen?

46. Con una pieza de cartón de 50 cm por 80cm se va a construir una caja, cerrada,

para esto se cortaran cuadrados del mismo tamaño y se doblaran las líneas punteadas , como se muestra en la figura. Determine las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo.

Cajas


166

47. De una pieza rectangular de 40cm por 26 cm se recortaran las áreas sombreadas y se doblaran las líneas punteadas. Hallar el valor de x que maximizar el volumen de la caja?

48. Se desea construir una caja para leche de capacidad 1 litro , para esto se utiliza

una pieza de cartón rectangular, se doblara sugun las líneas punteadas mostradas en la figura. Determine x , h, L que minimizan el material de construcción.

49. Supongamos que un semáforo pesa W Lb y se debe colgar del centro de un cable

tenso que cruza la calle. El ancho de la calle es 2a ft. Supóngase , además que el costo del cable es igual a kT veces la longitud del cable , donde k es una constante dada y T es la tensión del cable . Calcular el ángulo de inclinación del

cable para que su costo sea mínimo.

50. La altura de un proyectil lanzado con una velocidad inicial constante v0 y de un

ángulo de elevación 0 esta dada por y =(tan 0) x - (g / 2v20 cos

2 0)x

2 , en donde x

es su desplazamiento. Demuestre que la altura máxima alcanzada por el proyectil es

h= (v20/2g)sen

20.

51. La iluminación E en cualquier punto P sobre el borde de una mesa circular,

proporcionada por una lampara colocada directamente arriba de su centro esta dada

por E= (I cos ? ) /r2 .Dado que el radio de la mesa sea 1m e Y=100 , encuentre la

altura a la que debe colocarse la luz para que E sea máxima.

Otros Proyecto


167

52. circuito que tiene resistencia variable R Poir la ley de Ohm, la corriente . en el

circuito es I =V

R + r. la potencia de salida esta dada por P= I

2R . Demuestre

que la potencia máxima se alcanza cuando R=r.

53. La Potencia de salida P de una batería o acumulador de automóvil esta dada por P=VI-I2r , donde V es el voltaje, Y la corriente y r la resistencia interna de la batería. Que valor de la corriente corresponde a la potencia máxima?

54. Cuando se hace un orificio en la pared de un deposito cilíndrico lleno de agua, el chorro resultante da en el suelo a una distancia de x pies se la base, en donde x= 2(y(h-y))1/2.En que punto debe hacerse el orificio en la pared de tal modo que el chorro alcance la máximo distancia a la base?, Cual es su valor?

55. Un hombre está en un bote a 2 millas del punto mas próximo de la costa, ha de ir

a un punto Q, 3 millas costa abajo y 1 milla tierra adentro, como indica la figuro si puede navegar a 2 millas por hora y caminar a 4 millas por hora. Hacia que punto de la costa debe remar para alcanzar el punto Q en el menor tiempo posible?

56. Mismas condiciones excepto que el hombre puede remar a 4millas por hora.

Como cambia la solución. 57. Un barco debe navegar 100 millas río arriba contra una corriente de 10mi/h. Sea v

la v4elocidad del carro (en mi/h). El número se galones de gasolina que consume la

nave es directamente proporcional a v2.

a) Demuestre que si mantiene la velocidad constante de v mi/h entonces el número total y de galones de combustible que se consumen esta dada por y= 100kv2/(v-10), v>0, k constante positiva.

b) Calcule la velocidad que minimiza el número de galones de gasolina que se consume durante el viaje.

Viajes y vehículos


168

58. Una estatua está colocada sobre un pedestal, como se muestra en la figura. A que

distancia del pedestal debe pararse una persona para maximizar el ángulo visual . 59. La base de un cuadro sobre la pared esta a pies por encima del ojo de un

observador. El lado vertical del cuadro mide b pies. A que distancia de la pared ha de colocarse el observador para maximizar el ángulo visual que ese cuadro subtiende.

60. Un crucifijo tiene forma simétrica de cruz. Encontrar la máxima área que puede

tener el crucifijo si se hace de un disco circular de metal de radio a.

Arte

COMPLEMENTOS, BIBLIOGRAFIA

169

Apéndice

Fórmulas de derivación de funciones algebraicas

1.

0dx

cd

2. 1dx

dx

3.

dx

dw

dx

dv

dx

du

dx

wvud

4.

dx

duc

dx

cud

5.

dx

duv

dx

dvu

dx

uvd

6. 1 n

n

nxdx

xd

7.

dx

dunu

dx

ud nn

1

8.

2

/

v

dx

dvu

dx

duv

dx

vud

Fórmulas de derivación de funciones trascendentes

1.

u

dx

du

dx

ud

ln

2.

dx

due

dx

ed uu

3.

dx

duaa

dx

ad uu

ln

7.

dx

dvv

dx

senvdcos

8.

dx

dvsenv

dx

vd

cos

9.

dx

dvv

dx

vd 2sectan

11.

dx

dvvv

dx

vdtansec

sec

12.

dx

dvvv

dx

vdcotcsc

csc

13.

21 v

dx

dv

dx

arcsenvd

14.

21

arccos

v

dx

dv

dx

vd

15.

21

arctan

v

dx

dv

dx

vd

16.

21

cot

v

dx

dv

dx

varcd


170

10.

dx

dvv

dx

vd 2csccot

17.

1

sec2

vv

dx

dv

dx

varcd

18.

1

csc2

vv

dx

dv

dx

varcd

Hawking: un científico obsesionado por el universo

Funciones definidas por secciones. En muchas aplicaciones se puede tener la grafica de una función definida por secciones, como se muestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo: Para enviar un paquete postal con peso x (onzas) 0<x<4 en una ciudad se utiliza una función cuya grafica se muestra en la figura. Si un paquete pesa 3.4 onzas.¿ Cuánto se tendrá que pagar?__________. y si pesa 1.84 onzas. ¿Cuánto se debe pagar?_______________.

onza=28.7gramos Esta función se puede escribir por secciones, como sigue:

Stephen M. Hawking , heredero de la cátedra de Newton en la universidad de

Cambridge y considerado uno de los

grandes genios del siglo XX , es una

leyenda no solo por su brillante

contribución a la física teórica, sino

también por su coraje frente a una enfermedad terrible –El mal de Lou

Gehring- Que desde hace cuarenta años

destruye inexorablemente su cuerpo. No es exagerado afirmar que tal vez sea hoy

la criatura mas cerebral de nuestro

planeta. Un hombre que vive día y noche para pensar en los inquietantes

misterios del Universo, el espacio y el

tiempo.

Hawking ha cobrado notoriedad por sus trabajos sobre la relatividad

general, la física de los hoyos negros,

la teoría cuántica y por el intento de

integrar una teoría el origen y

desarrollo del cosmos.

Hawking está dotado de una memoria prodigiosa. Es capaz de desarrollar y

retener páginas y páginas de

complejas ecuaciones. El fuerte de Hawking es la física de

los hoyos negros. Según su

descripción “los agujeros negros son una especie de desgarraduras en el

espacio tiempo: en ellos inimaginables fuerzas gravitacionales originan una

enorme deformación y densidad, de tal

forma que durante mucho tiempo los

científicos creyeron que nada podía

escapar de su interior, incluyendo la luz . Los agujeros negros son por lo

tanto invisibles por definición. Nadie

ha visto ni vera uno de ellos, por muy potente que fuera el telescopio

utilizado”. Según Hawking “es posible

que haya unos mil millones de ellos en

nuestra galaxia”


171

43 ,73

32 ,56

21 ,39

10 ,22

)(

x

x

x

x

xf

Ejemplo: Para un vendedor, su sueldo depende del número de unidades vendidas, suponga que se aplica la siguiente función:

xx

xxxf

40 ,7525.2

400 ,502)(

Si vende 20 unidades, el vendedor calcula su sueldo con la fórmula 2x+50 y esta fórmula la aplica siempre que vende menos de 40 unidades. Si el número de unidades vendidas es mayor o igual a 40, el sueldo lo calcula con la fórmula 2.25x+75

a) Calcula el salario del vendedor si realiza 33 unidades vendidas:__________ b) ¿Cuál es su salario si vende 46 unidades? ___________________________

Ejemplo: En un experimento psicológico sobre información visual, un sujeto observo brevemente un conjunto x de letras y después se le pidió recordar tantas como fuera posible. Se repitió el procedimiento varias veces. Se llego a la conclusión de que el promedio f de letras recordadas, a partir de x, está dada por la función:

125 ,5.4

54 ,25.0

40 ,

)(

x

xx

xx

xf

a) Si la persona observa 4 letras ¿Cuántas puede recordar?__________. b) ¿Cuántas letras recuerda si observa más de 7? ___________________________.

Es útil conocer la representación gráfica de las funciones definidas por secciones. Veamos la siguiente función.


172

Ejemplo: Grafica la siguiente función:

xxxf

0 ,

0 x,2)( representamos la parte f(x)=2 , para números menores de cero y a

continuación f(x)=x, para números positivos incluyendo el cero. Como se muestra en la gráfica:

Una función que tiene muchas aplicaciones es la función valor absoluto, la cual se

representa por el símbolo: x , ésta función tiene la característica de transformar todos los

números a números positivos, por ejemplo:

00

390390

6060

4444

22

Veamos su representación gráfica. Ejemplo: Tenemos que la función valor absoluto se define como a continuación se muestra, obtenga su grafica.

xx

xx

0 ,

0 x, Representamos la parte f(x)=-x, para números menores de cero y a

continuación f(x)=x, para números positivos incluyendo el cero. Como se muestra en la gráfica:

GRAFICA DE LA FUNCION VALOR ABSOLUTO


173

Ejercicio

1) Obtenga la gráfica de la siguiente función:

x

xx

xx

xf

3 ,5.2

30 ,2

0 ,

)(

2

Obtenga: f(7), f(8),f(-4), f(2.5) 2) Obtenga la gráfica de la siguiente función:

)2(3)( xsenxf

Obtenga: f( ), f( /2),f(-4 ), f(3 /4)


174

La piscina


175

Construcción de un cono con tijeras y papel

Vamos a deshacer el cono y relacionar el ángulo el arco y la longitud L.

El perímetro del circulo de la base es S=2 r

Cuando el ángulo esta expresado en radianes se tiene la relación L

S

Combinando las formulas tenemos: 22 rh

2

r

L

S

Escribiendo la fórmula para manejar grados, tenemos:

22

0

22

00

22

rh

360

:

rh

360180

rh

2

r

Así

rr

-Si queremos un cono de 10cm de altura y 5cm de radio. Qué ángulo debemos tener.

- Si el cono debe de tener 8cm de altura y 8cm de radio construye el cono.

Apliquemos el teorema de

Pitágoras

h2

+ r2=L

2

Despejando L, tenemos:

L=22 rh

S=2 r


176

AUTOEXAMEN

Escuela:____________________________________________________

Alumno:____________________________________________ Grupo:________________

1.- Resolver x2-7x+10<0

2.-Obtenga el dominio y la grafica de la función y= 7x

3.-De una pieza cuadrada de 40cm de lado, se desea fabricar una caja recortando un cuadrado de lado x en cada esquina. Obtenga la función que represente el volumen de la caja. Calcule el volumen de la caja si a)x=2cm. b)x=3.8cm.

4.-Calcule el siguiente límite: )4

2(

4

h

hLimh

5.-Calcule el siguiente límite: )632

114(

26

36

xx

xxxLimx

AUTO EXAMEN

Escuela:____________________________________________________

Alumno:____________________________________________ Grupo:________________

Obtenga las siguientes derivadas 1.- y=e3x+1+4e3+5x+11e6x-2

2.- y=Ln(3x-22) 3.- y=sen4x+4sen5x+ 10sen 9x 4.- y=arctan( )

5.-En una mancha de aceite de forma circular, aumenta el radio a razón de 1cm/s ¿Cuál es la rapidez del cambio de área en el momento en que r=5m?

Bibliografía -Calculo Esencial.

Ron Larson , Robert Hostetler, Bruce H. Edwards.

Ed. Cengage Learning, S.A. año 2010

-Cálculo con Geometría Analítica

Segunda Edición

Earl W. Swokowski

Ed. Iberoamericana año 1989.


177

-Calculo

Sexta edición

James Stewart

Ed. Cengage Learning año 2008

Guía de Calculo

David E. Heyd

Serie Schaum

Ed. Mc Graw Hill 1993

México

Calculo Diferencial e Integral

Frank Ayres Jr.

Serie Schaum

Ed Mc Graw Hill

España año1989

Calculo Diferencial e Integral

Granville

Ed. Limusa

México D.F. año 2009

El Cálculo

Séptima edición

Louis Leithold

Ed. Oxford

México año 1998

Calculo

Tercera reimpresión

Richard C. Diprima

Compañía editorial Continental

México año 2005

cÁlculo diferencial - ipn.mx · cÁlculo diferencial . 4 contenidos pág. prologo. capítulo 1....

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