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Lógica

Definiciones básicas de cálculo proposicional

www.math.com.mxJosé de Jesús Angel Angel

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Contenido

1. Razonamiento 31.1. ¿Qué es razonar?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Qué se requiere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Qué es verdad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. A dónde queremos llegar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Ejemplos Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.1. Negación NOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.2. Disyunción OR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.3. Conjunción AND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.4. Condicional IF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.5. Equivalencia (bicondicional, IF AND ONLY IF) . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.6. Disyunción XOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.7. Tautología y contradicción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.8. Más de la condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7. Argumentos válidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7.1. Métodos de demostración.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7.2. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7.4. Problemas de matemáticas básicas como argumentos. . . . . . . . . . . . . 181.7.5. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7.6. Negaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8. Demostraciones geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.9. Proposiciones matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.10.Demostraciones matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.1. Más sobre cuantificadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.10.2. Cuantificadores anidados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2. Definiciones básicas del cálculo 352.0.3. Problemas extras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.0.4. Demostraciones incorrectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1. Ejemplos Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Conjuntos 493.1. Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 53

4. Algebra booleana 554.0.1. Operaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 554.0.2. Algebra booleana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56

5. Inducción matemática 59

2

6. Números complejos 646.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2. Representación polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Capítulo 1

Razonamiento

1.1. ¿Qué es razonar?

Una de las habilidades más importantes que la humanidad tiene es la de razonar, se dice que es loque nos distingue de otros seres vivos como los animales. El poder plantear y resolver problemas nosha permitido tener el desarrollo tecnológico con que contamos en la actualidad. Desde los inicios de lacivilización muchos de los problemas que se han tenido se hanpodido resolver. Por ejemplo, el trans-porte terrestre ha evolucionado desde la carreta tirrada por caballos hasta los modernos automóviles,trenes o aviones. Esto debido a la habilidad, primero de conocer por medio de la experiencia las leyesdel movimiento. Sin ambargo el hombre no se ha conformado y profundiza en el conocimiento parapoder evolucionar sus medios de transporte. En la actualidad, existen complejos estudios de las leyesfísicas, gravitacionales, y de energía, lo que nos permite tener medios de transporte eficientes comolos aviones. Sin duda en el futuro podran ser derarrollados mejores y noevedosos medios de transporteque aún no tenemos idea qué pueden ser.

Es entonces, la habilidad de poder plantear y resolver problemas es lo que ha permitido al hom-bre evolucionar. Primero, se analiza, después se plantea y se formula y finalmente se concluye. Hayquienes llaman a esto el método científico, es decir la observación, la investigación, la formulación dehipótesis y finalmente las conclusiones.

Lo que permite construir todas estas etapas es la correcta forma de razonamiento, esto es, a partirde la pregunta encontrar la respuesta.

Existen diferentes niveles de razonamientos que dependen del tamaño del problema que tengamosal frente, por ejemplo, si queremos decidir sobre qué producto comprar, podemos reunir informacióngeneral del producto y a partir de ahi conluir cual de ellos comprar. Sin ambargo si se requiere resolverun problema qué aún no se sabe la respuesta, requiere de muchotrabajo de observación, de muchaspersonas involucradas, y generalmente de muchos años de estudio para poder hacer conlusiones, in-cluso solo parciales.

En razonamiento como una habilidad de resolver problemas, es inherente al hombre, pero comocasi todas las habilidades para algunos les es más fácil hacerlo que para otros.

El razonamiento es usado en todas las ciencia como la física,la química, la biología, la políticaetc., pero la disiplina donde se practica más claramente el razonamiento son las matemáticas, ésta esla ciencia del razonamiento, a partir de algunas afirmaciones se llega a conclusiones deseadas. Hacermatemáticas significa obtener nuevas verdades a partir de las ya existentes.

A partir de axiomas, que son verdades obvias se razona y se construyen otras verdades más ge-nerales que finalmente conforman una teoría, como la teoria de conjuntos, la geometría euclidiana uotras.

En estas notas nos daremos a la terea de intentar enseñar a razonar, enfocado a las materias dematemáticas que se toman en una universidad.

1.2.Qué se requiere 4

1.2. Qué se requiere

¿Qué es lo que se requiere para poder razonar?, primero un lenguaje que usaremos para poderestablecer entendimiento, el lenguaje que usaremos sera elespañol, el español ya quiere reglas desintáxis (qué se escribe) y reglas gramaticales (cómo se escribe). Por ejemplo: la expresión "Todos losniños juegan en la calle", tiene un sujeto, los niños, una acción o verbo, juegan, y un complemento, enla calle. El español es un lenguaje que ha hido desarrollándose conforme pasan los años y que tienencomo finalidad la comunicación, pero no es su objetivo el razonamiento lógico. Esto es, es necesariohacer la diferencia entre la escritura en español y la escritura lógica formal. Sin embargo, se esperaríaque la escritura principalmente de profesionales de la ciencia y/o la tecnología escriba de una maneramás lógica y que el propósito no sea solo la comunicación simple.

Sin embargo, debemos acoplar la comunicación con la lógica,quizá, no sea posible en muchasocasiones pero si es deseable.

La lógica matemática conjunta el español, la lógica y las matemáticas. Es decir, es un área don-de el razonamiento se puede practicar en casi todo momento, en estas notas nos introduciremos alrazonamiento por medio de la lógica matemática.

1.3. Qué es verdad

Para poder plantear los objetivos del razonamiento, debemos platicar un poco de lo que es la verdad.La verdad, como tal puede ser muy ambigua, pero en lógica matemática la verdad siempre esta biendefinida y se sabe qué es.

Partiremos con algunos ejemplos de expresión lingüística que son verdad.

1. Los perritos tienen cola.

2. Los niños de menos de 3 años no miden más de 1 metro.

3. tres más tres es igual a seis.

Definición 1. Una proposición es una expresión lingüística, de la cual podemos decir si es verdad omentira (falcedad).

Por lo tanto, verdad es:

1. Un axioma, una proposición que es obvia.

2. Proposiciones que se deriva de axiomas.

3. Prososiciones que se derivan de otra que son ya verdaderas.

1.4. A dónde queremos llegar

El objetivo principal es poder hacer razonamientos bien fundamantados, esto significa el cómopodemos llegar a verdades a partir de otras verdades. Si partimos de falsedades se induce que noimporta a lo que llegemos, de hecho no tiene relevancia. Por lo tanto, partir de falsedades se tomarácomo un caso no relevante que no tomaremos en cuenta. Lo importante es, a partir de verdades llagara otras verdades.

1.5. Ejemplos Preliminares

1. De las siguientes hipótesis:

a) Tanya tiene más edad que Eric.

b) Cliff es de mayor edad que Tanya.

1.5.Ejemplos Preliminares 5

¿Qué podemos concluir?

a) Tanya es de mayor edad que Cliff.

b) Eric es de mayor edad que Cliff.

c) Cliff no es de menor edad que Eric.


a) Todos los números enteros tienen un sucesor.

b) Los números pares son enteros.

c) Además un conjuntoA de números enteros es acotado porx si a < x para todoa enA.


a) Los números pares están acotados.

b) Los números pares no están acotados.

c) Los números enteros no están acotados.


a) Los ángulos interiores de un triángulo suman180◦.

b) Los ángulos interiores de un triángulo no son cero.

c) Los triángulos con un ángulo (recto) de90◦ se llaman triángulos rectángulo.


a) En un triángulo rectángulo puede haber dos ángulos rectos.

b) En un triángulo rectángulo los ángulos distintos al recto miden menos de90◦ .

c) En un triángulo rectángulo existe un ángulo máyor a90◦ .


a) Todos los números reales no cero tienen inverso multiplicativo.

b) Para resolver la ecuaciónax = c, multiplicamos por el inversoa−1 dea.

c) La solución esx = a−1 · c.


a) La ecuación siempre tiene solución.

b) La ecuación solo tiene solución sia 6= 0.

c) La ecuación no tiene solución.


a) Un número diferente de 1, es primo si es divisible solo por 1 yel mismo.

b) Todos los números primos son impares, excepto uno.

c) El número 2, no es divisible por otro número diferente a 1 y elmismo.


a) El número dos es impar.

b) El número dos es primo.

c) El número dos no es primo.


1.6.Definiciones 6

a) En una urna tenemos bolas rojas y bolas blancas.

b) Tomamos una bola de la urna.

c) La bola no es roja.


a) La bola es blanca.

b) La bola es roja

c) La bola no es roja.


a) Si es jueves, entonces hay cine gratis.

b) Hoy no hay cine gratis.


a) Hoy es lunes.

b) Hoy es jueves.

c) Hoy no es jueves.


a) Todos los estudiantes tiene libros.

b) Existe un estudiante que no tiene coche.

c) Los que no tienen coche usan bicicleta.


a) Existe un estudiante que no tiene libros y usa bicicleta.

b) Existe un estudiante que no tiene coche y usa bicicleta.

c) Existe un estudiante que tiene coche y tiene libros.

1.6. Definiciones

Definición 2. Una proposiciónes una expresión lenguistica que solo podemos decir que sea falsa overdadera, pero no ambas a la vez (principio del tercero excluido).

Decir si las siguientes expresiones son o no proposiciones.

1. El reloj marca las doce del día.

2. Los autobúses llegan en la tarde.

3. !!Dónde esta mi perro!!

4. Dos más tres es igual a cinco.

5. Todo niño del mundo tiene un carrito.

6. Al menos un día del año llueve.

Definición 3. En matemáticas la mayoría de expresiones son proposiciones.

1.6.Definiciones 7

1.6.1. Negación NOT

Definición 4. La negaciónde una proposición es aquella que cambia el valor verdadero afalso y elfalso a verdadero, es un operador unario, es decir, se aplicasolo a una proposición. Escrita tambiéncomo−P , P .

P ¬ PV FF V

1.6.2. Disyunción OR

Definición 5. La disyunción (inclusiva, operador binario) de dos proposiciones es falsa si ambosdisyuntos son falsos, en otro caso es verdadera. Escrita también comoo.

P Q P∨ QV V VV F VF V VF F F

1.6.3. Conjunción AND

Definición 6. La conjunción (operador binario) de dos proposiciones es verdadera si ambos conjun-tos son verdaderos, en otro caso es falsa. Escrita también como∧ ó y.

P Q P& QV V VV F FF V FF F F

1.6.4. Condicional IF

Definición 7. La condicional(operador binario) se aplica a dos proposiciones, donde a laprimera sele llama antecedente y la segunda consecuente. El condicional es falso en el caso de que el antecedentesea verdadero y el consecuente falso. En cualquiero otro caso el condicional es verdadero. Escritatambién comoP ⊃ Q.

P Q P⇒ QV V VV F FF V VF F V

1.6.5. Equivalencia (bicondicional, IF AND ONLY IF)

Definición 8. La equivalencia(operador binario) se aplica a dos proposiciones, es verdadero siambas tienen el mismo valor de verdad, es falso si tienen diferentes valores de verdad. Escrita tambiéncomo: para queP es necesario y suficiente queQ, o≡.

P Q P⇐⇒ QV V VV F FF V FF F V

1.6.Definiciones 8

1.6.6. Disyunción XOR

Definición 9. La disyunción(exclusiva, operador binario) de dos proposiciones es verdadera si am-bos disyuntos tienen diferente valor, en otro caso es falsa.Escrita también comoEOR,EXOR.

P Q P⊕

QV V FV F VF V VF F F

1.6.7. Tautología y contradicción

Definición 10. 1. Una proposición que es siempre verdadera se llamatautología.

2. Una proposición que es siempre falsa se llamacontradicción.

3. Una proposición que es falsa unas veces y otras verdadera se llamacontingencia.

Las siguientes proposiciones son tautologías:

1. La ley de la contradicción¬(P &¬P ).

2. La ley del tercero excluidoP ∨ ¬P .

3. Le ley de la noble negaciónP ⇔ ¬(¬P ).

4. (leyes de Morgan)

¬(P &Q) es equivalente a¬P ∨ ¬Q.

La negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones.

¬(P ∨Q) es equivalente a¬P &¬Q.

La negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones.

5. P ⇒ Q es equivalente a¬P ∨Q.

6. P ⇒ Q es equivalente a¬(P &¬Q).

7. Ley distributiva de la conjunció respecto la disyunciónP ∨ (Q & R)⇔ (P ∨Q) & (P ∨R).

8. Ley distributiva de la disyunción respecto la conjunciónP & (Q ∨ R) ⇔ (P & Q) ∨(P & R).

9. La ley de la contraposición (transposición)(P ⇒ Q)⇔ (¬Q⇒ ¬P ).

10. Ley transitiva((P ⇒ R)& (R⇒ Q))⇒ (P ⇒ Q).

11. Ley de MPP (Modus Ponendo Ponens) o MP (Modus Ponens) o Detachment,

(P &(P ⇒ Q))⇒ Q

12. Ley de MTP (Modus Tollendo Ponens)

((P ∨Q)&¬P )⇒ Q

13. Ley de la simplificación(P &Q)⇒ P .

14. Ley de la adiciónP ⇒ (P ∨Q).

1.7.Argumentos válidos 9

1.6.8. Más de la condicional

Definición 11. La implicaciónP ⇒ Q tiene asociada:

1. su recíproca,Q⇒ P .

2. la contrapositiva¬Q⇒ ¬P .

3. la inversa¬P ⇒ ¬Q.

Proposición 1. La implicaciónP ⇒ Q es equivalente a su contrapositiva¬Q⇒ ¬P .

Definición 12. Decimos queP es condición necesaria para queQ si se cumle el condicionalQ⇒ P ,Q solo siP .

Definición 13. Decimos queP es condición suficiente para queQ si se cumle el condicionalP ⇒ Q,P solo siQ.

1.7. Argumentos válidos

Definición 14. Un argumento es una sucesión finita den proposiciones, de las cuales las primerasn− 1 se llaman premisas y la última conclusión.

Definición 15. Dado un argumentoP1, P2, ..., Pn el condicionalP1&P2&..&Pn−1 ⇒ Pn se le llamacondicional asociado.

Definición 16. Un argumento es válido si su condicional asociada es verdadera, siempre que parta-mos de premisas verdaderas. Es decir, siempre que las hipótesis sean verdaderas se llega a establecerque la conclusión es también verdadera, tendremos a un argumento válido o correcto.

1.7.1. Métodos de demostración.

Las demostraciones en matemáticas son la parte esencial de la construcción de teorías.Las teorías matemáticas se inician con varias afirmaciones que suponemos verdaderas, llamadas

axiomas y a partir de ellas se contruyen nuevas afirmaciones que en base a razonamientos lógicostambién son verdaderas.

Las afirmaciones en matemáticas son verdaderas o falsas, pero no podemos tener afirmaciones quesean falsas y verdaderas a la vez.

El método que parte de afirmaciones verdaderas y concluye unanueva afirmación verdadera sellama método de demostración.

Métodos de demostración.

Método directopara mostrar válidez de argumentos: a parti de las hipótesisverdaderas deducir elvalor de verdad de otra proposiciones, hasta llegar a concluir que la conclusión necesariamente debeser verdadera.

Método indirectopara demostrar válidez de argumentos o por Reducción al Absurdo: se suponenlas hipótesis verdaderas y la conclusión falsa, entonces a partir de deducciones lógicas se llega auna contradicción, es decir, una proposición que es verdadera y falsa. Por lo que se concluye que lasuposición de la conclusión falsa no puede ser correcta, porlo tanto, la conclusión debe ser verdaderay así el argumento válido.

Método del contraejemplopara demostrar inválidez de argumentos: en el caso de que exista uncaso de valores de verdad donde las hipótesis son verdaderasy la conclusión falsa, diremos que es uncontraejemplo, y por lo tanto el argumento no es válido.


1.7.2. Ejemplos.

Ejemplos de argumetos válidos.

Ejercicio 1 1 Si estudias, entonces pasas el examen.

2 Estudias.

⊢ Pasas el examen.

Ejercicio 2 1 Todos los hombres son mortales.

2 Sócrates es hombre.

⊢ Sócrates es mortal.

Ejercicio 3 1 O voy al cine o al teatro.

2 No voy al cine.

⊢ Voy al teatro.

Ejercicio 4 1 Tengo coche y tengo moto.

⊢ Tengo coche

Ejercicio 5 1 Tengo empleo.

⊢ Tengo empleo o tengo casa.

Ejercicio 6 1 Si es sábado, entonces no se trabaja.

2 Hoy se trabaja.

⊢ Hoy no es sábado.

Ejercicio 7 1 Soy profesionista es equivalente a tener título.

2 No tengo título.

⊢ No soy profesionista.

1.7.3. Ejercicios

Verificar si los siguientes argumentos son o no válidos.

Ejercicio 1 1. ¬s & c

2. w ⇒ s

3. ¬w ⇒ t

4. t⇒ h

⊢ h

Demostración por método directo:1. ¬s & c V por hipótesis.2. w ⇒ s V por hipótesis.3. ¬w ⇒ t V por hipótesis.4. t⇒ h V por hipótesis.5. ¬s V de 1, ydefinición. de&.

6. s F de 5, ydefinición de¬.7. w F de 2 y 6, ydefinición de⇒.8. ¬w V de 7, ydefinición de¬.9. t V de 3 y 8, ydefinición de⇒.10. h V de 4 y 9, ydefinición de⇒.

∴ El argumento es correcto.


Ejercicio 2 1. (a ∨ b)⇒ c

2. ¬a⇒ e

3. k & ¬e⊢ c

Demostración por método directo:1. (a ∨ b)⇒ c V por hipótesis.2. ¬a⇒ e V por hipótesis.3. k & ¬e V por hipótesis.4. e F de 3.5. a V de 2 y 3.6. a ∨ b V de 5.7. c V de 6 y 1.


Ejercicio 3 1. (a ∨ b)⇒ ¬c2. a ∨ k

3. ¬k⊢ ¬(c ∨ k)

Demostración por método directo:1. (a ∨ b)⇒ ¬c V por hipótesis.2. a ∨ k V por hipótesis.3. ¬k V por hipótesis.4. k F de 3.5. a V de 2 y 4.6. a ∨ b V de 5.7. ¬c V de 6 y 1.8. c F de 7.9. c ∨ k F de 4,8.10. ¬(c ∨ k) V de 9.


Ejercicio 4 1. f ⇒ ¬g2. ¬f ⇒ (h⇒ ¬g)3. (¬i ∨ ¬h)⇒ g

4. ¬i⊢ ¬h

Demostración por método reducción al absurdo (indirecto):1. f ⇒ ¬g V por hipótesis.2. ¬f ⇒ (h⇒ ¬g) V por hipótesis.3. (¬i ∨ ¬h)⇒ g V por hipótesis.4. ¬i V por hipótesis.5. ¬h F por hipótesis (R. al A.).6. g V de 3 y 4.7. f F de 1 y 6.8. f V de 2,5 y 6.9. 7→← 8


∴ 5 es V.Osea el argumento es correcto.

Ejercicio 5 1. m⇒ n

2. ¬(n ∨ c)

3. m ∨ b

⊢ bDemostración por método reducción al absurdo (indirecto):

1. m⇒ n V por hipótesis.2. ¬(n ∨ c) V por hipótesis.3. m ∨ b V por hipótesis.4. b F por hipótesis (R. al A.).6. m V de 3 y 4.7. n V de 1 y 6.8. n ∨ c V de 2 y 7 .9. ¬(n ∨ c) F de 8 .10. 2→← 9

∴ b es V.Osea el argumento es correcto.

Ejercicio 6 1. (a⇒ b)⇒ (c ∨ d)

2. (c ∨ d)⇒ k

3. k ⇒ e

4. ¬e & ¬a⊢ ¬(a⇒ b)

Ejercicio 7 1. q ⇒ r

2. ¬s⇒ (t⇒ u)

3. s ∨ (q ∨ t)

4. ¬s⊢ r ∨ u

Ejercicio 8 1. ¬p⇒ (q ⇒ r)

2. ¬p3. q

⊢ r

Ejercicio 9 1. ¬p⇒ ¬¬q2. ¬¬¬p⊢ q

Ejercicio 10 1. (p& q)⇒ (r& s)

2. ¬¬p


3. q

⊢ s

Ejercicio 11 1. m ∨ s

2. ¬s3. x⊕ ¬m4. p→ ¬x⊢ ¬p

Ejercicio 12 1. q ⇒ p

2. r ⇔ q

3. r ∨ s

4. ¬s⊢ p

Ejercicio 13 1. s→ ¬r2. r&p

3. s⊕ ¬n4. n ∨ q

⊢ q

Ejercicio 14 1. ¬a⊕ ¬b2. a⇔ s

3. s ∨ ¬p4. p

⊢ ¬b

Ejercicio 15 1. (a⊕ b)⊕ c

2. d→ a

3. h ∨ c

4. ¬h&d

⊢ b

Ejercicio 16 1. (a→ b)→ c

2. b ∨ h

3. ¬h&¬c⊢ a

Ejercicio 17 1. p ∨ q

2. p⇒ r


3. q ⇒ r

⊢ r

Ejercicio 18 1. (p ∨ q)& (p ∨ r)

2. p⇒ s

3. q ⇒ s

4. p⇒ t

5. r ⇒ t

⊢ s& t

Ejercicio 19 1. p⇔ (q ∨ r)

2. r

⊢ p

Ejercicio 20 1. p⇒ q

2. (p⇒ q)⇒ (q ⇒ p)

⊢ p⇔ q

Ejercicio 21 1. p⇔ q

2. q ⇔ r

⊢ p⇔ r

Ejercicio 22 1. p⇒ q

2. p⇒ ¬q⊢ ¬p

Ejercicio 23 1. (¬s& v)⇒ ¬p2. p

3. v

⊢ s

Ejercicio 24 1. p ∨ q

2. ¬p3. q ⇒ s

⊢ s

Ejercicio 25 1. ¬p⇒ (r ⇒ q)

2. ¬r ⇒ p

3. s ∨ ¬p4. ¬s⊢ ¬q


Ejercicio 26 1. s⇒ (p ∨ q)

2. ¬p&¬s3. q ∨ r

⊢ r

Ejercicio 27 1. p& s

2. p⇒ (r ⇒ (s⇒ t))

3. ¬s⇒ ¬r⊢ t

Ejercicio 28 1. p⇒ (r ⇔ s)

2. ¬r& s

3. t ∨ (s⇒ p)

4. t⇒ ¬m5. m ∨ n

⊢ n

Ejercicio 29 1. s→ r

2. (p ∨ q)→ ¬r3. ¬s→ (¬q → r)

4. p

⊢ q

Ejercicio 30 1. (p⇔ q)⊕ r

2. (s ∨ t)→ p

3. ¬m→ s

4. (¬m&¬t)→ w

5. w

⊢ (q ∨ r)

Ejercicio 31 1. (p→ (q → r))→ s

2. r → (q ∨ s)

3. ¬q4. ¬s ∨ ¬q⊢ ¬s

Ejercicio 32 1. (p⊕ q)⇔ (¬p⊕ ¬q)2. s→ (p ∨ r)

3. (¬r → ¬t)→ ¬k4. t&s

5. k → s

⊢ (¬p ∨ q)

Ejercicio 33 1. p⇔ (¬q ∨ s)


2. a⊕ (p&b)

3. (a ∨ c)→ ¬d4. ¬g → d

5. e⇔ f

6. (¬f → g)→ ¬h7. (h→ e)→ k

8. ¬k&s

⊢ ¬(q&¬s)

Ejercicio 34 1. (p→ q)→ r

2. (p ∨ n)→ ¬r3. t⊕ n

4. t→ m

5. ¬m ∨ y

6. y ⇔ x

7. ¬x⊢ p&¬q

Ejercicio 35 1. Q⊕ (R ∨ S)

2. ¬R⇔ ¬Q3. (Q⊕ ¬N)⇔ ¬N4. N ∨O ∨ P

5. O → T

6. ¬T ⇔ X

7. (X&Y )→ Z

8. Z ⊕X

9. X&¬P⊢ S

¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas si(A&B) lo es?:

1. A.

2. B.

3. A ∨B.

4. ¬A ∨B.

5. (¬B)⇒ A.

6. A⇔ B.

7. A⇒ B.

8. ¬B ⇒ ¬A.


9. A&¬B.

Si A y B son verdaderas yC es falsa, cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1. A ∨ C.

2. B&C.

3. ¬A&¬C.

4. A⇔ ¬B ∨ C.

5. B ∨ ¬C ⇒ A.

6. (B ∨A)⇒ (B ⇒ ¬C).

7. (B ⇒ ¬A)⇔ (A⇔ C).

8. (B ⇒ A)⇒ ((A⇒ ¬C)⇒ (¬C ⇒ B)).

Verificar si los siguientes proposiciones son o no tautologías:

1. ((A⇔ ((¬B) ∨ C))⇒ ((¬A)⇒ B)).

2. ((A⇒ (B ∨ C)) ∨ (A⇒ B)).

3. (((A⇒ B)⇒ B)⇒ B).

4. (((A⇒ B)⇒ B)⇒ A).

5. (((A⇒ B)⇒ A)⇒ A).

6. (((B ⇒ C)⇒ (A⇒ B))⇒ (A⇒ B)).

7. ((A ∨ (¬(B&C)))⇒ ((A⇔ C) ∨B)).

8. (A⇒ (B ⇒ (B ⇒ A))).

9. ((A&B)⇒ (A ∨ C)).

10. ((A⇔ B)⇔ (A⇔ (B ⇔))).

11. ((A⇒ B) ∨ (B ⇒ A)).

12. ((¬(A⇒ B))⇒ A).

Determinar si los siguientes pares de proposiciones son equivalentes:

1. ((A⇒ B)⇒ A) y A.

2. (A⇔ B) y (A⇒ B)&(B ⇒ A).

3. ((¬A) ∨B) y ((¬B) ∨A).

4. (¬(A⇔ B)) y (A⇔ (¬B)).

5. (A ∨ (B ⇔ C)) y ((A ∨B)⇔ (A ∨ C)).

6. (A⇒ (B ⇔ C)) y ((A⇒ B)⇔ (A⇒ C)).

7. (A&(B ⇔ C)) y ((A&B)⇔ (A&C)).


Verificar si los siguientes argumentos son o no correctos.

I 1. Si Pedro termina temprano, entonces va al GYM.

2. Si Pedro tieme mucho trabajo, entonces no va al GYM.

⊢ Si Pedro termina temprano, entonces no tiene mucho trabajo.

II 1. Llueve o hay sequía.

2. No llueve.

3. Si hay cosecha, entonces no hay sequía.

⊢ No hay cosecha.

III 1. Si es fin de semana, entonces descanzaré, todo lo anterior implica que no iré a una fiesta.

2. No voy a una fiesta y hoy es fin de semana.

⊢ Por lo tanto descanzaré el fin de semana.

IV Si descubro las ruinas de la Atlántida, seré un arqueólogofamoso. Si encuentro las minas delrey Salomón, me haré rico. O bien encuentro las minas del rey Salomón o bien encuentro lasruinas de la Atlántida. Luego, me haré rico o seré un arqueólogo famoso.

V Sólo si llueve mucho, entonces o bien la cosecha será grandeo bien los pantanos se llenaránde agua. Pero si llueve mucho, habrá demasiados mosquitos. Resulta que la cosecha es grande.Luego, habrá mosquitos a montones.

VI Si se es joven, no hay que vacilar en filosofar. Si se es viejo, no hay que cansarse de filosofar.Luego, si eres joven o si eres viejo, o bien no debes vacilar enfilosofar o bien no debes cansartede ello.

VII Si bajo los precios, venderé mucho. Y si la calidad de mi mercancía es buena, mis clientesestarán satisfechos. Luego, si bajo los precios y la calidadde mi mercancía es buena, venderámucho y mis clientes estarán satisfechos.

VIII No es cierto que los marcianos beban tequila pero no beban vino. Si no beben tequila, no cantanrancheras. Pero si beben vino, no cantan rancheras, pero sí fandangos. Luego, los marcianos ono cantan rancheras o cantan fandangos.

IX Si gasto todo lo que gano, me expongo a hundirme en la miseria. Pero si no gasto todo lo quegano, favorezco a la clase financiera. O bien gasto todo lo quegano o bien ahorro algo. Luego,me expongo a los horrores de la miseria o favorezco a la clase financiera.

X En este punto el cirujano o conecta la válvula y deja bloqueada la circulación sanguínea, osigue operando lo más rápidamente que pueda. Si opta por la primera opción, dispone de tiempopara suturar, pero existe peligro de necrosis. Si opta por operar rápidamente, no hay riesgo denecrosis. Ahora bien, por experiencia sabemos que si la edaddel paciente es elevada, el peligrode necrosis aumenta y la segunda opción es la apropiada. Luego, si el paciente tiene más de 60años y no queremos que exista una situación irreversible de necrosis, no debemos emplear elprimer método.

1.7.4. Problemas de matemáticas básicas como argumentos

1. Si a una distancia de la torre eiffel de 200 pies de la base, el ángulo de elevación es79,2◦.Estimar la altura de la torre.


1.7.5. Cuantificadores

Definición 17. Una proposiciónP (x), es abierta de una variable si al sustituirx ∈ D, P (x) esproposición. La variablex se llama variable libre yD es el dominio de la variable.

Definición 18. Una proposiciónP (x, y), es abierta de dos variables si al sustituirx ∈ D1, y ∈ D2,P (x, y) es proposición. Las variablesx, y se llaman variables libres yD1, D2 son el dominio de lasvariables.

1. p(x) : x es número primo,x ∈ Z.

a) 3 es número primo.

b) 6 es número primo.

c) 7 es número primo.

2. p(x) : x es cuadrado perfecto,x ∈ Z.

a) 36 es cuadrado perfecto.

b) 16 es cuadrado perfecto.

c) 11 es cuadrado perfecto.

3. p(x) : x es profesionista,x ∈ { humanos}.

a) Hugo es profesionista.

b) Paco es es profesionista.

c) Luis es profesionista.

4. p(x) : x tiene área 2,x ∈ { figuras geométricas}.

a) Un cuadrado de lado 1.

b) Un círculo de radio 1.

c) Un rectángulo de base 1 y altura 2.

5. p(x) : x es hermano de Luis,x ∈ { familiares de Luis}.

a) Paco es hermano de Luis.

b) bob es hermano de Luis.

c) Mario es hermano de Luis.

6. p(x, y) : x es mayor ay, x, y ∈ Z.

a) 2 es mayor a 1.

b) 5 es mayor a 1.

c) -2 es mayor a 3.

Definición 19. Cuantificador universal∀x∈D xP (x), es verdadero si en cada sustitución dex ∈ D,P (x) es verdadero.

Definición 20. Cuantificador existencial∃x∈D xP (x), es verdadero siP (x) es verdadero al menospara unx ∈ D.

Ejemplos:

1. Todos los humanos tienen dos ojos.Tiene la forma∀x∈D x p(x) donde:p(x) : x tiene dos ojos .x ∈ D = {humanos}.


2. Todos los números enteros son primos.Tiene la forma∀x∈D x p(x) donde:p(x) : x es número primo .x ∈ D = Z.

3. Todos los números enteros tienen un sucesor.Tiene la forma∀x∈D x p(x) donde:p(x) : x tiene un sucesor.x ∈ D = Z.

4. Todas las matrices tienen determinante cero.Tiene la forma∀x∈D x p(x) donde:p(x) : x tiene determinante cero.x ∈Mn×n.

5. Para todos los números enteros existe su inverso aditivo entero.Tiene la forma∀x∈D x ∃y∈Dp(x, y) donde:p(x, y) : x tiene inverso aditivoy.x ∈ Z, y ∈ Z.

6. Existe el neutro aditivo, cero, para todo número entero.Tiene la forma∃x∈D ∀y∈D, p(x, y) donde:p(x, y) : x es el inverso aditivo dey.x ∈ Z, y ∈ Z.

1.7.6. Negaciones

La negación de una proposiciónp, es la proposición¬p. Es decir, sip esV , entonces¬p esF , yrecíprocamente.

La negación de algunas proposiciones comunes:

1. ¬¬p ≡ p

2. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p&¬q

3. ¬(p& q) ≡ ¬p ∨ ¬q

4. ¬(p⇒ q) ≡ p&¬q

5. ¬∀xP (x) ≡ ∃x,¬P (x).

6. ¬∃xP (x) ≡ ∀x,¬P (x).

Ejemplos de negaciones.

1. p : Los números enteros tienen sucesor.¬p : Hay un número entero que no tienen sucesor.

2. p : Una matriz es no singular si su determinant es diferente de cero.¬p : Toda matriz con determinante cero es singular.

3. p : Todos los números primos son impares.¬p : Hay un número primo que no es impar.

4. p : Para todo número realx, existe el neutro aditivo0, tal quex+ 0 = x.¬p : Existe un número realx0, tal que para todoy, x0 + y 6= x.

5. p : Para todo número realx, y para todoy realx+ y = y + x.¬p : Existe un número realx y unoy tal quex+ y 6= y + x.


6. p : Para todo número realx 6= 0, existey real tal quex · y = 1.¬p : Existe un número realx, tal que para todoy, x · y 6= 1.

7. p : Una funcion es sobre, si para todoy en el contradominio, existex en el dominio, tal quef(x) = y.¬p : Una funcion no es sobre, si existe uny0 en el contradominio, tal que para todox en eldominio, tal quef(x) 6= y.

8. p : Una funcion es inyectiva, si para todox, y tal que sif(x) = f(y), entoncesx = y.¬p : Una funcion no es inyectiva, si existen unx0, y0 tal quef(x0) = f(y0), perox0 6= y0.

9. p : Una funcion es creciente , si para todox, y ∈ D tal que six < y, entoncesf(x) < f(y).¬p : Una funcion no es creciente, si existenx0, y0 ∈ D tal quex0 < y0, perof(x0) ≥ f(y0).

Ejercicios de negaciones.

1. Todo número es par o impar.

2. Sia > 0 y b > 0, entoncesa · b > 0.

3. Existe un neutro multiplicativo, para todo número real, tal quex · 1 = x.

4. Para todo número real no cero, existe su inverso multiplicativox · 1/x = 1.

5. Una sucesión es acotada si:∃M tal quean < M ∀n ∈ N. Una sucesiónan converge a cero, sipara todoǫ > 0, existen0 tal que∀n ≥ n0, entonces|an| < ǫ

6. ∀ǫ > 0∃δ > 0 tal que si0 < |x− x0| < δ, entonces|f(x)− f(x0)| < ǫ.

7. Relación reflexiva: una relaciónR es reflexiva si∀ x ∈ A⇒ (x, x) ∈ R.

8. Relación simétrica: una relaciónR es simétrica si∀ (x, y) ∈ R⇒ (y, x) ∈ R.

9. Relación transitiva: una relaciónR es transitiva si∀ (x, y), (y, z) ∈ R⇒ (x, z) ∈ R.

10. Relación antisimétrica: una relaciónR es antisimétrica si∀ (x, y)&(y, x) ∈ R⇒ x = y.

1.8.Demostraciones geométricas 22

1.8. Demostraciones geométricas

En cada caso, encontrar el valor de la incógnita indicada, usando un argumento lógico, y resultadosconocidos de la geomtría euclidiana.

1.

2.

3.

4.

5.

1.8.Demostraciones geométricas 23

6.

7.

8.

9.

1.9.Proposiciones matemáticas 24

10.

1.9. Proposiciones matemáticas

Traducir con cuantificadores y negar las siguientes proposiciones.

1.

2.

3.

4.

1.9.Proposiciones matemáticas 25

5.

6.

7.

8.

9.

1.10.Demostraciones matemáticas 26

10.

1.10. Demostraciones matemáticas

Demostrar si son válidos o no las, siguientes proposicionesmatemáticas sobre números enteros:

Proposición 1Las suma de dos números impares es par.

Demostración directa.

1. n1 = 2k + 1 un número impar por definición de impar, hipótesis.V2. n2 = 2l + 1 otro número impar por definición de impar, hipótesis.V3. n1 + n2 = (2k + 1) + (2l + 1) sumando . V4. (2k + 1) + (2l + 1) = (2k + 2l + 2) = 2(k + l + 1) conmutando, asociando, factorizando.V5. n1 + n2 = 2s es par por definición. V


Proposición 2La suma de un número par y uno impar es impar.


1. n1 = 2k un número par por definición de par, hipótesis.V2. n2 = 2l + 1 un número impar por definición de impar, hipótesis.V3. n1 + n2 = (2k) + (2l + 1) sumando . V4. (2k) + (2l + 1) = (2k + 2l) + 1 = 2(k + l) + 1 asociando, factorizando.V5. n1 + n2 = 2s+ 1 es impar por definición. V


Proposición 3La suma de dos números pares es par.



1. n1 = 2k un número par por definición de par, hipótesis.V2. n2 = 2l otro número par por definición de par, hipótesis.V3. n1 + n2 = (2k) + (2l) suma . V4. (2k) + (2l) = 2(k + l) factorizando. V5. n1 + n2 = 2s es par por definición. V


Proposición 4Si a, b son números impares, entoncesa · b es impar.


1. a = 2k + 1 un número impar por definición de impar, hipótesis.V2. b = 2l + 1 otro número impar por definición de impar, hipótesis.V3. a · b = (2k + 1) · (2l + 1) multiplicando . V4. (2k + 1) · (2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 distribuyendo. V5. 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1 factorizando. V6. a · b = 2s+ 1 es impar por definición. V


Proposición 5Si dos númerosn,m son impares, entoncesn ·m es impar, en otro caso es par.


Caso I: sin,m son impares1. n,m impares por hipótesis. V2. n ·m impar por proposición 4. V

∴ El caso I es correcto.

Caso II:n par,m impar1. n = 2k par por hipótesis. V1. m = 2l + 1 impar por hipótesis. V2. n ·m = 2k(2l + 1) producto. V2. n ·m = 2(k(2l + 1)) asociando. V

∴ El caso II es correcto.

Caso III:n par,m par1. n = 2k par por hipótesis. V2. m = 2l par por hipótesis. V3. n ·m = 2k(2l) producto. V4. n ·m = 2(k(2l)) asociando. V

∴ El caso III es correcto.


Proposición 6x · y es impar si y sólo six y y son impares.

⇒ (por la contrapositiva.)1. x es par por hipótesis. V2. x · y par por proposición 5. V


∴ Esta implicación es correcta.

⇐ (directo)1. x impar por hipótesis. V1. y impar por hipótesis. V2. x · y impar por proposición 4. V

∴ Esta implicación es correcta.

Proposición 7Si n es par, enoncesn2 es par.


1. n es par por hipótesis. V2. n = 2k por definición de par. V3. n2 = (2k)2 elevando al cuadrado. V4. n2 = 4k2 efectuado el cuadrado.V5. n2 = 2(2k2) factorizando. V6. n2 es par por definición. V


Proposición 8Si n es impar, entoncesn2 es impar.


1. n es impar por hipótesis. V2. n = 2k + 1 por definición de impar. V3. n2 = (2k + 1)2 elevando al cuadrado. V4. n2 = 4k2 + 4k + 1 efectuado el cuadrado.V5. n2 = 2(2k2 + 2k) + 1 factorizando. V6. n2 es impar por definición. V


Proposición 9Si n2 es par, entoncesn es par.

Demostración por R. al A.1. n2 un número par por hipótesis. V2. n es impar por hipótesis (R. al A.). V3. n2 es impar por proposición 8. V4. 1→← 3 contradicción. V5. n es par por 4. V


Proposición 10Si n2 es impar, entoncesn es impar.

Demostración por R. al A.1. n2 un número impar por hipótesis. V2. n es par por hipótesis (R. al A.). V3. n2 es par por proposición 7. V4. 1→← 3 contradicción. V5. n es impar por 4. V



Proposición 11Si (3n)2 es par, entoncesn es par.

Demostración por R. al A.1. (3n)2 un número par por hipótesis. V2. n es impar por hipótesis (R. al A.). V3. 3n es par por proposición 9. V4. 3 · n es impar por proposición 4. V5. 3→← 4 contradicción. V6. n es par por 5. V


Proposición 12La suma de dos números consecutivos es impar.


1. n un número por hipótesis. V2. n+ 1 su consecutivo por hipótesis. V3. n+ n+ 1 la suma. V4. 2n+ 1 impar por definición. V


Proposición 13La suma de dos números consecutivos impares es par.


1. 2n+ 1 un número impar por hipótesis. V2. 2n+ 3 su consecutivo por hipótesis. V3. 2n+ 1 + 2n+ 3 = 4n+ 4 la suma. V4. 2(2n+ 2) factorizando. V5. 2(2n+ 2) par por definición. V


Proposición 14Para cada enterom existek tal que(4m+ 3)2 = 2k + 9.

Proposición 15Para cualquier número enterox, el númerox(x+ 1) es par.

Proposición 16Si x, y son números pares, entonces 4 divide a(x− y)2.

Proposición 17Si n es entero y3n+ 2 es impar, entoncesn es impar.

Proposición 18Cada entero impar entre 2 y 26 es ya sea primo o producto de dos primos.

Proposición 19Existe una infinidad de números primos.

Demostración por R. al A.1. Suponemos que hay una cantidad finita de primos. por hipótesis R. al A.. V2. SeaP = {p1, p2, p3, ..., pn} todos los números primos. de 1. V3. Seaq = p1 · p2 · p3 · · · pn + 1 por construcción. V4. Comoq es mayor a todo elemnto deP , entoncesq no puede ser primo. V5. Siq no es primo, existepi|q, entoncespi|q − (p1 · · · pn) = 1. contradicción. V6. AsíP no puede ser finito. por 4 o 5. V

∴ QED (Quod erat demonstrandum).

Proposición 20No todos los números primos son impares.

Proposición 21La suma de tres números pares consecutivos es múltiplo de 6.

Proposición 22El producto de tres números pares consecutivos es múltiplo de 8.


Proposición 23No existe un número entero par máximo.

Proposición 24Si a|b y b|c, entoncesa|c.Proposición 25Si d|a · b, entoncesd|a o d|b.

Demostrar si son válidos o no las, siguientes proposicionesmatemáticas sobre números racionales:

Proposición 26Si a, b son números racionales, entoncesa

bes racional.

Proposición 27Si a, b son números racionales, entoncesa · b es racional.

Proposición 28Si a, b son racionales, entoncesa+ b es racional.

Demostrar si son válidos o no las, siguientes proposicionesmatemáticas sobre números irraciona-les:

Proposición 29Si x es número racional yy es irracional, entoncesx+ y es irracional.

Proposición 30√2 es irracional.


Proposición 32√p es irracional sip es número primo.


Proposición 34√2 +√3 es irracional.

Proposición 351/√2 es irracional.

Proposición 36 3√4 es irracional.

Proposición 37√2 + 3√3 es irracional.

Proposición 381

3

√2 + 5 es irracional.

Proposición 39Para cualquier enteron libre de cuadrado√n es irracional.

Proposición 40Para cualquien entero positivo,√n es entero o irracional.

Demostrar si son válidos o no las, siguientes proposicionesmatemáticas sobre números reales:

Proposición 41Si a < b y b < c, entoncesa < c.

Proposición 42Si n < m, y p < 0, entoncespn > pm.

Proposición 43Si a < b y c < d, entoncesa+ c < b+ d.

Proposición 44Si a < b y c > 0, entoncesac < bc.

Proposición 45Si a > 1, entoncesa2 > a.

Proposición 46Si a < b y b < c, entoncesa < c.

Proposición 47Si a > 0, entonces1/a > 0.

Proposición 48Si a < 1/n ∀ n, entoncesa = 0.

Proposición 49El 0 es único.

Proposición 50Si a, b son enteros cuadrados perfectos, entoncesab es también cuadrado perfecto.

Proposición 51Una matrixA es similar aB si existeP , y P−1, tal queA = P−1BP . A es una matrizdiagonalizable si es similar a una matriz diagonal.

Proposición 52Si a, b son enteros cuadrados perfectos, entoncesab es también cuadrado perfecto.

Proposición 53Mostrar quean+m = anam.


1.10.1. Más sobre cuantificadores

1. ∀x∈Dx p(x) es verdadera sip(x) es verdadera para todax en el dominio.

2. ∃x∈Dx0 p(x0) es verdadera sip(x0) es verdadera para unx0 en el dominio.

Ejemplo 1

1. Todos los animales son fieros.

2. Algunos animales no son carnivoros.

⊢ Algunos animales fieros no son carnivoros.

1. Todos los hombres son buenos.

2. Algunos hombres no son simpáticos.

⊢ Algunos hombres buenos no son simpáticos.

1. ∀x(p(x)→ q(x))

2. ∃x(p(x)&¬r(x))

⊢ ∃x(q(x)&¬r(x))

Ejemplo 2

1. ∀x(p(x)→ s(x))

2. ¬∃x(q(x)&r(x))

3. ∀x(¬r(x)→ ¬s(x))

⊢ ∀x(p(x)→ ¬q(x))

1. Verificar la válidez del siguiente argumento:

a) No hay profesores ignorantes.

b) Toda la gente ignorante es inepta

⊢ No hay profesores ineptos.


1 Algunas mujeres bellas son rubias.

2 Las rubias se divierten más.

⊢ Algunas mujeres bellas se divierten más.

Solución:

1 ∃x∈M x, B(x)⇒ R(x).

2 ∀x∈M x, R(x)⇒ D(x).

1 x0, B(x0)⇒ R(x0).

2 x, R(x)⇒ D(x), x arbitrario.

1 x0, B(x0)⇒ R(x0).

2 x0, R(x0)⇒ D(x0), porque es para todo.


3 B(x0)⇒ D(x0). de[1], [2] transitividad.

4 Existex0 mujer bella que se divierte más.

⊢ Algunas mujeres bellas se divierten más.

∴ El argumento es válido.�


a) Ningún mono es soldado.

b) Todos los monos son traviesos.

⊢ Algunas criaturas traviesas no son soldados.


a) Todas las explicaciones claras son satisfactorias.

b) Algunas excusas no son satisfactorias.

⊢ Algunas excusas no son explicaciones claras.


a) Los bebés son ilógicos.

b) Nadie que pieda dominar a un cocodrilo es despreciado.

c) Las personas ilógicas son despreciadas.

⊢ Los bebés no puden dominar a un cocodrilo.


a) Ningún pato quiere bailar un vals.

b) Ningún oficial rechaza bailar un vals.

c) Todas las aves de mi corral son patos.

⊢ Los aves de mi corral no son oficiales.

7. Determinar una conclusión válida del siguiente argumento:

a) Toda fruta inmadura es poso saludable.

b) Todas estas manzanas son saludables.

c) Ninguna fruta cultivada a la sombra es madura.

Ejercicios

1. Determinar el valor de verdad si el dominio son los enteros.

a) ∀n(n+ 1) > n

b) ∃n(n = −n)c) ∃n(2n = 3n)

d) ∀n(n2 ≥ n)

e) ∀n(n2 ≥ 0)

f) ∀n(n2 ≥ n)

g) ∃n(n2 = 2)

h) ∃n(n2 < 0)

2. Determinar el valor de verdad si el dominio son los reales.


a) ∃xx3 = −1b) ∃x(x4 < x2)

c) ∀x(−x)2 = x2

d) ∀x(2x > x)

e) ∀x(x2 + 2 ≥ 1)

f) ∀x(x2 6= x)

g) ∃x(x2 = 2)

h) ∃x(x2 = −1)

1.10.2. Cuantificadores anidados

Ejercicios

Traducir:

1. Hay una mujer que ha viajado en un vuelo en cada una de las líneas aéreas del mundo.

2. La suma de dos enteros positivos es positiva.

3. Todo número real, excepto el cero, tiene un inverso multiplicativo.

4. Definición de límite de una función.

Verificar el valor de verdad de:

1. ∀x∀y∃z x+ y = z.

2. ∃z∀x∀y x+ y = z.

3. ∀x∃y x < y.

4. ∀x∀y (x ≥ 0&y ≥ 0)→ xy > 0.

5. ∀x∀y∃z xy = z.

6. ∀x∃y xy = y.

7. ∀x∀y (x ≥ 0&y ≤ 0)→ x− y > 0.

8. ∀x∀y∃z x = y + z.

SiQ(x, y) esx le ha enviado un email ay, expresar las siguientes proposiciones en lenguaje natural:

1. ∃x∃y Q(x, y).

2. ∀x∃y Q(x, y).

3. ∀y∃x Q(x, y).

4. ∃x∀y Q(x, y).

5. ∃y∀x Q(x, y).

6. ∀x∀y Q(x, y).



1. ∀n∃m n2 < m.

2. ∃n∀m n < m2.

3. ∀n∃m n+m = 0.

4. ∃n∀m nm = m.

5. ∃n∃m n2 +m2 = 5.

6. ∃n∃m n2 +m2 = 6.

7. ∃n∃m n+m = 4 & n−m = 1.

8. ∃n∃m n+m = 4 & n−m = 2.

9. ∀n∀m∃p p = (n+m)/2.


1. ∀x∃y x2 = y.

2. ∀x∃y x = y2.

3. ∃x∀y xy = 0.

4. ∃x∃y (x+ y 6= y + x).

5. ∀x(x 6= 0→ ∃y xy = 1).

6. ∃x∀y (y 6= 0→ xy = 1).

7. ∀x∃y x+ y = 1.

8. ∃x∃y x+ 2y = 2 & 2x+ 4y = 5.

9. ∀x∃y x+ y = 2 & 2x− y = 1.

10. ∀x∀y∃z z = (x+ y)/2.

Capítulo 2

Definiciones básicas del cálculo

Definición 1: una funciónf : D → C, conD,C ⊆ R, essobresi:

∀ y ∈ C ∃ x0 ∈ D tal quef(x0) = y.

Ejemplo:

I Seaf(x) = 2x+ 1 una función deR aR, f es sobre:

Demostración:

1 Seay ∈ R arbitrario.

2 Comoy = 2x+ 1, aplicando inverso aditivo de1 y multiplicativo de2.

3 Entonces siempre existex0 =y − 1

2.

4 Comprobando2

(

y − 1

2

)

+ 1 = y.

Ejercicios:

1. Mostrar que la funciónf(x) = x3, es sobre.

2. Mostrar que la funciónf(x) = −x+ 1, es sobre.

3. Mostrar que la funciónf(x) = 3x− 5, es sobre.

Definición 2: una funciónf : D → C, conD,C ⊆ R, No es sobresi:

∃ y0 ∈ C ∀ x ∈ D tal quef(x) 6= y0.

Ejemplo:

II Seaf(x) = 2− x2 una función deR aR, f probemos que no es sobre:Demostración:

1 Seay0 ∈ R y y0 > 2, por ejemploy0 = 3.

2 Si3 = 2− x2, entoncesx =√−1.

3 Pero√−1 no es número real.

2. Definiciones básicas del cálculo 36

4 Entonces para todax, f(x) 6= y0.

Ejercicios:

1. Mostrar que la funciónf(x) = ex, no es sobre.

2. Mostrar que la funciónf(x) =√x, no es sobre.

3. Mostrar que la funciónf(x) = sinx, no es sobre.

Definición 3: una funciónf : D → C, conD,C ⊆ R, esinyectivasi:

∀ x0, x1 ∈ D, six0 6= x1 entoncesf(x0) 6= f(x1).

Ejemplo:

III Seaf(x) = 2x+ 1 una función deR aR, f probemos que es inyectiva:Demostración:

1 Seax0 6= x1.

2 Entonces2x0 6= 2x1.

3 También2x0 + 1 6= 2x1 + 1.

4 O seaf(x0) 6= f(x1).

Ejercicios:

1. Mostrar que la funciónf(x) = 3x− 1, es inyectiva.

2. Mostrar que la funciónf(x) = ex, es inyectiva.

3. Mostrar que la funciónf(x) = −x+ 1, es inyectiva.

Definición 4(la contrapuesta): una funciónf : D → C, conD,C ⊆ R, esinyectivasi:

∀ x0, x1 ∈ D: si f(x0) = f(x1), entoncesx0 = x1.

IV Seaf(x) = 2x+ 1 una función deR aR, f probemos que es inyectiva:Demostración:

1 Sea2x0 + 1 = 2x1 + 1.

2 Cancelando el1, 2x0 = 2x1.

3 Cancelando el2, x0 = x1.

4 O seaf es inyectiva.

Definición 5: una funciónf : D → C, conD,C ⊆ R, NO es inyectivasi:

∃ x0, x1 ∈ D, tal que six0 6= x1, & f(x0) = f(x1).


Ejemplo:

V Seaf(x) = x2 una función deR aR, f probemos que NO es inyectiva:Demostración:

1 Seax0 = 1 y x1 = −1 .

2 Tenemos quef(x0) = 1 y f(x1) = 1 .

3 f(x0) = f(x1)

4 O seaf NO es inyectiva.

Ejercicios:

1. Mostrar que la funciónf(x) = sin(x), no es inyectiva.

2. Mostrar que la funciónf(x) = cos(x), no es inyectiva.

3. Mostrar que la funciónf(x) = x2 + x, no es inyectiva.

Definición 6: una funciónf : D → C, conD,C ⊆ R, escrecientesi:

∀ x0, x1 ∈ D, tal que: six0 ≤ x1 entoncesf(x0) ≤ f(x1).

VI Seaf(x) = 2x+ 1 una función deR aR, f probemos que es creciente:Demostración:

1 Seanx0 ≤ x1.

2 Multiplicando por2, 2x0 ≤ 2x1.

3 Sumando1, 2x0 + 1 ≤ 2x1 + 1.

4 O seaf(x0) ≤ f(x1).

Ejercicios:

1. Mostrar que la funciónf(x) = ex, creciente.

2. Mostrar que la funciónf(x) = 3x, creciente.

3. Mostrar que la funciónf(x) = 3x− 1, creciente.

Definición 7: una funciónf : D → C, conD,C ⊆ R, No es crecientesi:

∃ x0, x1 ∈ D, tal quex0 ≤ x1 & f(x0) > f(x1).

VII Seaf(x) = x2 una función deR aR, f probemos que NO es creciente:Demostración:

1 Seanx0 = −2, x1 = −1.

2 Tenemos que:−2 ≤ −13 Perof(−2) = 4 > 1 = f(x1).


4 O sea No es creciente.

Definición 8: una funciónf : D → C, conD,C ⊆ R, esdecrecientesi:

∀ x0, x1 ∈ D, tal que: six0 ≤ x1 entoncesf(x0) ≥ f(x1).

VIII Seaf(x) = −2x+ 1 una función deR aR, f probemos que es decreciente:Demostración:

1 Seanx0 ≤ x1.

2 Multiplicando por−2,−2x0 ≥ −2x1, por ser negativo.

3 Sumando1,−2x0 + 1 ≥ −2x1 + 1.

4 O seaf(x0) ≥ f(x1).

Definición 9: una funciónf : D → C, conD,C ⊆ R, No es decrecientesi:

∃ x0, x1 ∈ D, tal quex0 ≤ x1 & f(x0) < f(x1).

IX Seaf(x) = x2 una función deR aR, f probemos que NO es decreciente:Demostración:

1 Seanx0 = 1, x1 = 2.

2 Tenemos que:1 ≤ 2

3 Perof(1) = 1 < 4 = f(x1).

4 O sea No es decreciente.

2.0.3. Problemas extras

I a) Seana, b, c, d números reales todos diferentes y no cero.

b) a < b.

c) Si (a− b) > 0, entoncesa > b.

d) Si (b− a) > 0, entoncesb > c.

e) b < c o a < d.

f) Si d > 0, entoncesa > d.

⊢ d < 0.

II a) Si f es continua, entoncesf es integrable.

b) Si f es derivable, entoncesf es continua.

c) Seaf una función no integrable.

⊢ ¿Esf derivable?.

III Seana, b, c números enteros positivos que cumplen:

1. Sia < 2, entoncesb nno es 1.

2. a+ b = 2c


3. c < 3

4. Sib > 1, entoncesa = 2.

¿Cuánto valeb ?

IV Qué podemos deducir del siguiente argumento:

1. Six > y, entoncesa 6= b.

2. Si2|p, entoncesa = b.

3. 2|p si y solo si 2 es factor dep.

4. 2 es factor dep o p es primo.

5. p no es primo.

2.0.4. Demostraciones incorrectas

1. Todos los números son cero:

a) a = b

b) a2 = ab

c) a2 − b2 = ab− b2

d) (a+ b)(a− b) = b(a− b)

e) a+ b = b

f) a = 0

2. 3 = 4

a) a+ b = c

b) 4a− 3b+ 4b− 3b = 4c− 3c

c) 4a+ 4b− 4c = 3a+ 3b− 3c

d) 4(a+ b− c) = 3(a+ b− c)

e) 4 = 3

3. 1 = −1

a) 1/(−1) = (−1)/1b)

√

1/(−1) =√

(−1)/1c)√1/√

(−1) =√

(−1)/√1

d)√1√1 =√−1√−1

e) 1 = −1

4. 1 = −1

a) 1 =√1

b) 1 =√

(−1)(−1)c) 1 =

√

(−1)√

(−1)d) 1 =

√

(−1)2

e) 1 = −1

5. 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = −1

a) x = 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·

2.1.Ejemplos Finales 40

b) 2x = 2 + 4 + 8 + · · ·c) −x = 1

6. 4 = 5

a) −20 = −20b) 16− 36 = 25− 45

c) 42 − 9 · 4 = 52 − 9 · 5d) 42 − 9 · 4 + 81/4 = 52 − 9 · 5 + 81/4

e) (4− 9/2)2 = (5− 9/2)2

f) 4− 9/2 = 5− 9/2

g) 4 = 5

7. 1 = 0

a) x = 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 · · ·b) x = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · ·c) x = (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + · · ·d) x = 1

e) x = 0

8. log(−1) = 0

a) log(−1)2 = 2 log(−1)b) Por otro lado:log(−1)2 = log(1) = 0

c) 2 log(−1) = 0

d) log(−1) = 0

2.1. Ejemplos Finales

Lista de Problemas

I Cuando Adrian, Beto y Camilo, salen a comer fuera, cada uno de ellos ordenaya sea Cordero o Puerco.

1 Si Adrian ordena Cordero, Beto ordena Puerco.

2 Adrian o Camilo ordenan Cordero, pero no ambos.

3 Beto y Camilo no ordenan Puerco al mismo tiempo

Determinar quien puede ordenar cordero ayer y puerco hoy.

Solución:

a) Veamos el caso de que: Adrian ordena Cordero.

b) Beto ordena Puerco, de 1.

c) De a) y 2, Camilo ordena puerco (ya que Adrian ordenó cordero).

d) Pero, b) y c) contradicen 3.


e) Por lo tanto, Adrian debe ordenar Puerco.

f) Entonces, de e) y 2 Camilo ordena Cordero.

g) De 3, Beto ordena Puerco, pero también puede ordenar cordero (ya que nohay contradicción).

Por lo tanto, el único que puede ordenar ayer cordero y hoy puerco esBeto.

II Val, Lynn y Chris están relacionados uno del otro, de manera tradicional.

1 De los 3, está el padre de Val, la única hija de Lynn y el hermano de Chris.

2 El hermano de Chris, no es el padre de Val o no es la hija de Lynn.

Solo uno de ellos tiene diferente sexo de los otros dos, quiénes?

Solución:

a) De 1 entre los tres hay un padre, una hija y un hermano. Si el padre de Valfuera Chris, entonces el hermano de Chris debería ser Lynn (No hay otraopción).

b) De 2 la hija de Lynn deberá ser Val. Por lo tanto, Val deberá ser la hija deambos Lynn y Chris, y son hermanos, lo que no es normal.

c) Por lo que el padre de Val es Lynn, entonces de 2 el hermano deChris esVal.

d) Por lo tanto, La hija de Lynn, también es Chris, y el hijo de Lynn es Val.


Es decir, la única mujer esChris.

III Fred conoce a 5 mujeres, Ada, Bea, Cyd, Deb, y Eve.

1 Las mujeres pertenecen a dos rangos de edades, 3 de ellas conmenos de 30años y 2 con más de 30.

2 2 mujeres son maestras y las otras 3 son secretarias

3 Ada y Cyd, están en el mismo rango de edades.

4 Deb y Eve están en diferente rango de edades.

5 Bea y Eve tienen la misma ocupación.

6 Cyd y Deb tienen diferente ocupación.

7 Una de las 5 mujeres se casará con Fred y es maestra arriba de los 30.

¿ Con quien se casará Fred? ¿Determinar la edad y ocupación de las mujeres?

Solución:

a) De 1,3 y 4, Deb o Eve están en el mismo rago de edades, entonces en amboscasos las dos de 3 (Ada, Cyd) y una de 4 (Beb o Eve) son tres mujeres, ysolo puede pasar en el rango de menos de 30. Por lo tantoAda y Cyd estánen el rango menos de 30. Además Fred no se casa con Ada o Cyd de 7.

x < 30 < xAda, Cyd

b) De 2,5 y 6, Cyd o Deb deben tener la misma ocupación que Bea y Eve, porlo tantoBea y Eve son secretarias. De 7, Fred no se casa con Bea o Eve.Secretarias Bea, Eve

Maestras

c) De a), b) y 7 Fred se casa conDeb.

d) Entonces por 7, Deb no puede estar en menos de 30 y ser secretaria (por 7está en más de 30 y es maestra).

x < 30 < xSecretarias Bea, Eve

Maestras DebAda, Cyd

e) Entonces, Cyd es secretaria, porque tiene diferente ocupación a Deb (6).Eve es ya secretaria, y tiene menos de 30 ya que está en diferente rango deedad que Deb (4).

x < 30 < xSecretarias Cyd (6) Eve (4) Bea

Maestras DebAda


f) Ada es maestra(No queda otra) menos de 30. Bea es secretariamás de 30.x < 30 < x

Secretarias Cyd (6) Eve (4) Bea

Maestras Ada Deb

IV Annette, Berenice y Claudia son 3 reconocidas mujeres, cada una con notablescaracterísticas.

1 Solo 2 son notablemente inteligentes, solo 2 son notablemente hermosas,solo 2 son artistas notables, y solo 2 son notablemente ricas.

2 Cada una de ellas tiene no más de 3 características notables.

3 De Annette, se sabe que si ella fuera notablemente inteligente, entoncessería notablemente rica.

4 De Berenice y Claudia se sabe que si ellas fueran notablementehermosas,entonces serían artistas notables.

5 De Annette y Claudia se sabe que si fueran notablemente ricas, entoncesserían artistas notables.

6 Annete y Claudia tienen 2 veces las mismas características.

¿ Quién no es notablemente rica?

Solución:

a) De 3 y 5, si Annette es inteligente , entonces es artista.

b) De 5, si Annette es rica , entonces es artista.

c) De 1 y 2, si Annette no es rica ni inteligente, entonces es artista .

d) En cualquier caso Annette es artista (solo pueden tener a lo más 3).Inteligentes Hermosa Artistas Ricas

1 Annette2

e) De 4, si Claudia es hermosa, entonces es artista.

f) De 5, si Claudia es rica, ella es artista.

g) De 1 y 2, si Claudia no es rica ni hermosa, entonces es artista.

h) En cualquier caso Claudia es artista.

i) De 1, Berenice no es artista.Inteligentes Hermosa Artistas Ricas

1 Annette2 Claudia

j) De 4 y i), Berenice no es hermosa (transpuesta).

k) De 1,2 y j, Berenice es inteligente y rica.Inteligentes Hermosa Artistas Ricas

1 Annette2 Berenice Claudia Berenice


l) De 6, Annette y Claudia son Hermosas.Inteligentes Hermosa Artistas Ricas

1 Annette Annette2 Berenice Claudia Claudia Berenice

m) De 2 y 3, Annette no es inteligente(si lo fuera tendria 4 características), asíClaudia es Inteligente.

Inteligentes Hermosa Artistas Ricas1 Claudia Annette Annette2 Berenice Claudia Claudia Berenice

n) De 1 y 2, Annette es Rica.Inteligentes Hermosa Artistas Ricas

1 Claudia Annette Annette Annette2 Berenice Claudia Claudia Berenice

o) De lo anteriorClaudia no es rica.

V Dos mujeres, Alice y Carol y dos hombres, Brian y David, son deportistas. Unoes nadador, otro es patinador, uno tercero es gimnasta y el cuarto es jugador detenis. Un día se sentaron alrededor de una mesa cuadrada.

1 El nadador está sentado a la izquierda de Alice.

2 Alice no esta junto de David.

3 La gimnasta está sentada del otro lado de Brian.

4 Una mujer esta sentada a la izquierda del patinador.

¿ Quien es el jugador de Tenis?

Solución:

a) De 1, Alice tiene a la izquierda al nadador, y de 2, David está al frente deAlice.

b) De 3, Brian es el nadador, y tiene al frente al gimnasta que esCarol.

c) De 4, El patinador es David.

d) FinalmenteAlice es tenista.

VI Albert, Barney y Curtis fueron interrogados acerca del asesinato de Dwight. Lasevidencias en la escena del crimen indica que un abogado pudohaber estadoimplicado en el crimen. Cada sospechoso, uno de los cuales es el asesino, hacedos declaraciones.

a) Albert:

1 Yo no soy abogado.2 Yo no maté a Dwight.

b) Barney:


3 Yo soy abogado.4 Pero , yo no maté a Dwight.

c) Curtis:

5 Yo no soy abogado.6 Un abogado mató a Dwight.

d) La policia, posteriormente descubrió estas verdades:

i Solo dos de las declaraciones anteriores eran verdaderas.ii Solo uno de los tres sospechosos no es abogado.

¿ Quien mato a Dwight?

Solución:

a) De Si 2 y 4 son verdaderas, entonces Curtis mato a Dwight, y de(i) 5 y 6son falsas, pero entonces, Curtis es abogado y un abogado no lomato, esuna contradicción.

b) Es decir, Curtis no mato a Dwight.

c) Por lo tanto, entre 2 y 4 solo una de ellas es verdadera y la otra falsa.

d) De ii, es imposible que solo una de 1,3 y 5 sea verdadera (solo hay dosverdaderas y ya hay una que no está entre 1,3 y 5). Si 1 es solo verdadera(3 y 5 falsas), Albert es no abogado, pero también Barney. Si 3 es soloverdadera (1 y 5 falsas), entonces Albert y Curtis son no abogados. Si 5 esla verdadera (1 y 3 falsas), entonces Barney también es no abogado.

e) Por lo tanto, las 3 son falsas y la otra verdadera es 6.

f) Entonces, lo mato un abogado. Como Curtis no lo mato, Barney noes abo-gado ya que 3 es falsa, pero 1 también es falsa o seaAlbert es el abogadoque mato a Dwight.

VII Alan, Bart, Clay y Earl jugaron en dos torneos de tenis.

a) En cada torneo se jugaron 4 sets de la siguiente manera.Alan vs Bart Alan vs EarlClay vs Dick clay vs Earl

b) El ganador de solo un set fue el mismo en ambos torneos.

c) Alan ganó el primer torneo.

d) En cada torneo, solo el ganador no pierde un set.

e) No hay empates en un set.

¿ Quien ganó el segundo torneo?

(Dick)

VIII Tres internos son residentes del mismo hospital.

1 Solo hay un día único día de la semana donde los 3 internos tienen practi-cas.


2 Ningún interno tiene prácticas en 3 días consecutivos.

3 No sucede que dos internos descanzan el mismo día más de una vez a lasemana.

4 El primer interno sale el domingo, martes y jueves.

5 El segundo interno descanza el jueves y sábado.

6 El tercer interno descanza el domingo.

¿ Qué día de la semana están los 3 internos en prácticas?

Solución:

a) De 4 y 5.

D L M M J V S1er Interno x x x2o Interno x x3er Interno x

b) De 3, el 2o está el domingo y el 3o el jueves.

D L M M J V S1er Interno x x x2o Interno X x x3er Interno x X

c) De 3, el 2o y 3o están el martes también.

D L M M J V S1er Interno x x x2o Interno X X x x3er Interno x X X

d) De 2, el 2o descanza el lunes, y el 3o el miércoles. De 5 el 2o no está eldomingo, asi el viernes es el día en que los 3 internos están.

D L M M J V S1er Interno x x x X

2o Interno X x X x X x3er Interno x X x X X

e) Se completa la tabla: de 2 el 3o esta fuera el sábado. De 3 el 1o, esta enlunes, miércoles y sábado, el 2o el miércoles, y el 3o está en lunes.

D L M M J V S1er Interno x X x X x X X

2o Interno X x X X x X x3er Interno x X X x X X x

IX Dos mujeres Arlene y Cheryl, dos hombres Burton y Donald son músicos. Unoes pianista, otro violinista, el tercero flautista y el cuarto baterista. Un día esta-ban sentados un una mesa cuadrada.


a) La persona que se sentó al otro lado de Burton era el pianista.

b) La persona que se sentó al otro lado de Donald no era el flautista.

c) La persona que se sentó a la izquierda de Arlene era el violinista.

d) La persona que se sentó a la izquierda de Cheryl no era el baterista.

e) El flautista y el baterista estaban casados.

¿ Quien era el baterista? (Cheryl)

X Austin, Brooks y Calvin vivian en el mismo piso de un edificio de departamen-tos. El departamento de uno de ellos, estaba en medio de los otros dos.

a) Cada quien era el dueño solo de una mascota, de un perro o un gato; cadauno tomaba solo una bebida, ya sea té o café; cada uno fumaba solo de unaforma, ya sea con pipa o cigarro.

b) Austin vivia al lado del fumador de cigarro.

c) Brooks vivia al lado del dueño del perro.

d) Calvin vivia al lado del bebedor de té.

e) Ningun fumador de pipa era un bebedor de té.

f) Al menos un dueño de un gato era fumador de pipa.

g) Al menos un bebedor de café vivia al lado del dueño de un perro.

h) No hay designaciones como: cigarro-fumador, perro-dueño, té-bebedor, ..que pertenecian a más de un hombre.

¿ De quien era el departamento de enmedio ? (Calvin)

XI Sr. Blank tiene una esposa y una hija; la hija tiene un marido y un hijo. Lossiguientes hechos se refieren a las personas que se mencionan:.

a) Una de las cinco personas es un médico y uno de los otros cuatro es elpaciente del médico.

b) El descendientes del doctor, y el padre mayor del paciente son del mismosexo.

c) El descendientes del doctor es:

1) No es el paciente y.2) No es el padre más viejo del paciente.

¿ Quién es el doctor ? ( el esposo de la hija de Blank)

XII Ken y Liz se conocieron en un club de salud.

1a Ken empezó a ir al centro de salud en el primer lunes de enero.

1b A partir de entonces, Ken fue cada cinco días.

2a Liz empezó a ir al centro de salud en el primer martes de enero.

2b A partir de entonces, Liz fue cada cuatro días.

3 Ken y Liz fueron al centro de salud un mismo día sólo una vez enenero;fue en ese día en que se conocieron.


¿ En qué día del mes Ken y Liz se conocieron ? ( 17)

XIII Arlo, Bill, y Carl fueron interrogados por un detective sobre la manera de lamuerte de Dana por ahogamiento.

a) Arlo dijo: Si fue un asesinato, Bill lo hizo.

b) Bill dijo: Si fue un asesinato, yo no lo hice.

c) Carl dijo: Si no fue un asesinato, fue un suicidio.

d) El detective dijo una verdad: Si sólo uno de estos hombres mintió, fue sui-cidio.

¿ Cuál fue la forma de la muerte de Dana: accidente, suicidio o asesinato? (sui-cidio)

XIV Tres hombres y dos mujeres cruzaron el Río rápido en un bote donde caben sólodos personas.

a) Ninguna mujer se quedó sola con un hombre en cualquier momento, comolo requiere la las mujeres.

b) Sólo una persona remó durante cada paso; nadie remó dos veces en suce-sión, como es requerido por los hombres.

c) De los que remaba mientras hiban solos en el bote, Art fue el primero, Benfue el segundo, y Cal era el tercero.

¿ Quién fue el último en cruzar el Río rápido? (Ben)

XV Lee, Dale, Terry, y Marion están relacionados entre sí.

a) Uno es de diferente sexo de los otros tres. .

b) Entre los cuatro están la madre de Lee, el hermano de Dale, elpadre deTerry, y la hija de Marion.

c) Los más viejos y los más jóvenes son de sexo opuesto.

¿ Quién es de sexo diferente a los otros tres? (Marion es el único varón.)

Capítulo 3

Conjuntos

3.1. Definiciones

Definición 21. Un conjunto es una colección de objetos que cumplen cierta propie-dad.

Definición 22. La relaciónx ∈ A es una proposición que es verdadera si el elementox está en el conjuntoA. Es falsa si el elementox no está en el conjuntoA.

Observece que la negación dex ∈ A es decir¬(x ∈ A) se puede escribir comox /∈ A.

Un conjunto de puede denotar de acuerdo a la característica que tienen sus ele-mentos,{x | P (x)}, por ejemplo

1. {x ∈ N | es es número par}.2. {x ∈ N | es es primo}.

O de manera explícita, escribiendo sus elementos.Ejemplos de conjuntos:

1. N = {1, 2, 3, ...}.2. Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...}.

3. Q = {ab|a, b ∈ Z, b 6= 0}.

4. R = { Números reales}.5. C = { Números complejos}.

Axioma 1. (de la especificación): para cada conjunto y para cada condición S(x),existe un conjuntoB de elementos que están enA y cumplenS.

B = {x|(x ∈ A)&S(x)}

3.1.Definiciones 50

Axioma 2. (de la extensión): dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elemen-tos.

A = B

⇔

(∀x, x ∈ A⇔ x ∈ B)

⇔

(∀x, x ∈ A⇒ x ∈ B) & (∀x, x ∈ B ⇒ x ∈ A)

Axioma 3. (de la unión): para dos conjuntosA,B existe otro que contienen todoslos elementos de ambos conjuntos.

A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

Axioma 4. (de la intersección): para dos conjuntosA,B existe otro que contienen alos elementos que están en ambos conjuntos.

A ∩B = {x|(x ∈ A)& (x ∈ B)}

Definición 23. (de la contención) Un conjuntoA esta contenido en un conjuntoBsi:

A ⊂ B ⇔ ∀x, x ∈ A⇒ x ∈ B

Axioma 5. (de la potencia): para todo conjuntoA existe otro llamado el potenciaque consiste en el conjunto de todos los subconjuntos deA.

P (A) = {B|B ⊆ A}

Definición 24. Existe un conjunto llamado vacío∅ tal que no tiene elementos. Elvacío puede definirse

∅ = {x|x 6= x}Definición 25. Existe un conjunto llamado complemento deA que consiste de loselementos que no están enA.

Ac = {x|¬(x ∈ A)} = {x|x /∈ A}

Definición 26. Dados los conjuntosA,B la resta deA − B es el conjunto de ele-mentos que están enA, pero no enB.

A−B = {x|x ∈ A & x /∈ B}

Definición 27. Dados los conjuntosA,B la resta simetrica se define como:

A△B = (A−B) ∪ (B − A)

Propiedades, operaciones entre conjuntos:

3.1.Definiciones 51

1. (Ac)c = ADemostración:

a) (Ac)c = {x|x ∈ (Ac)c} Por definición.

b) x ∈ (Ac)c ≡ ¬(x ∈ Ac) Un complemento se convierte en una negación.

c) ≡ ¬(¬(x ∈ A)) El otro complemento se convierte en otra negación.

d) ≡ x ∈ A Las dos negaciones se cancelan.

Por lo tanto(Ac)c = A. Por las equivalencias se concluye la igualdad.

2. ∅ ⊂ A.Demostración:

a) x ∈ ∅ Siempre es falsa.

b) x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A Siempre es verdadera .

c) ∅ ⊂ A También es verdadera .

3. SiA ⊂ B y B ⊂ C, entoncesA ⊂ C.Demostración:

a) ∀x ∈ A,⇒ x ∈ B Es verdadera, por hipótesis.

b) ∀x ∈ B,⇒ x ∈ C Es verdadera, por hipótesis.

c) x0 ∈ A,⇒ x0 ∈ B Es verdadera conx0 arbitario.

d) x0 ∈ B,⇒ x0 ∈ C Es verdadera conx0 arbitario.

e) x0 ∈ A,⇒ x0 ∈ C Es verdadera por transitividad.

f) ∀x ∈ A,⇒ x ∈ C Es verdadera, ya quex0 es arbitraria.

Por lo tantoA ⊂ C.

4. A ∩B = B ∩ A.

5. A ∪B = B ∪ A.

6. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

7. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

8. (A ∩ B)c = Ac ∪Bc.

9. (A ∪ B)c = Ac ∩Bc.

10. C − (A ∩ B) = (C − A) ∪ (C − B).

11. C − (A ∪ B) = (C − A) ∩ (C − B).

12. A ∩ (B − C) = (A ∩ B)− C.

13. A−B = ∅ si y sólo siA ⊆ B.

14. A△A = ∅.15. A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A.

3.1.Definiciones 52

16. A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B.

17. A ⊆ B ⇔ A− B = ∅.18. A ⊆ B ∩ C ⇔ A ⊆ B & A ⊆ C.

19. B ∪ C ⊆ A⇔ B ⊆ A & C ⊆ A.

20. A−B = (A ∪B)−B = A− (A ∩ B).

21. A ∩B = A− (A−B).

22. A− (B − C) = (A−B) ∪ (A ∩ C).

23. A = B si y sólo siA△B = ∅.

1. Si un conjuntoA tiene 5 elementos, yB tiene 3 elementos, y se sabe queA∩Btiene 2 elementos, entonces Cuál es la cardinalidad deA ∪ B?

2. Determinar la cardinalidad deA,B,C si |U | = 30, |(A ∪ B ∪ C)C | = 5,|A ∪ B| = 23, |A − C| = 12, |A ∩ C| = 4, |B ∩ C| = 8, |A ∩ B ∩ C| = 3, y|A ∩B| = 11.

3. Se pregunto a 50 padres de alumnos sobre deportes que practicaban, obtenién-dose los siguientes resultados. 20 practicaban solo fútbol, 12 practicaban fútboly natación y 10 no practican ninguno de estos deportes. Qué número de pa-dres practica natación, el número de ellos que solo prácticanatación, y los quepractican alguno de dichos deportes.

4. A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100alumnos, de loscuales 65 aprobaron el examen de Matemáticas, 25 el de Matemáticas y Física y15 aprobaron sólo el de Física. Cuántos no aprobaron ninguno de los exámenesmencionados?

5. Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas, para determinar que medioutilizan para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escu-chan las noticias en forma regular por TV, 300 personas escuchan las noticiaspor la Radio y 275 se enteran de las noticias por ambos medios.

a) Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por laTV?

b) Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo porRadio?

c) Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias?

6. Determina el número de alumnos de una clase, si se sabe que cada uno parti-cipa en al menos una de las tres seminarios de ampliación de las asignaturasMatemáticas, Física o Química. 48 participan en el de Matemáticas, 45 en el deFísica, 49 en el de Química, 28 en el de Matemáticas y Física, 26 en el de Ma-temáticas y Química, 28 en el de Física y Química y 18 en los tres seminarios.Cuántos alumnos participan en los seminarios de Física y Matemáticas, pero noen el de Química?. Cuántos participan sólo en el de Química?

3.2. Relaciones 53

7. En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V.,7, 9 y 13 se obtuvola siguiente información: 55 Encuestados ven el canal 7, 15 Sólo ven el canal 7y el canal 9, 33 Ven el canal 7 y el canal 13, 3 Sólo ven el canal 13, 25 Ven lostres canales, 46 Ven el canal 9, 6 No ven T.V, 2 Sólo ven el canal13 y el canal 9.Averigua: a) La cantidad de personas encuestadas. b) La cantidad de personasque ven sólo el Canal 9.

8. Una tienda de artículos electrónicos vende en un día 44 equipos de música, to-dos los que tienen lector de CD (C.D.) tienen lector de cassetes(T.C.). Algunostienen control remoto (C.R) y otros ninguna de las tecnologíasnombradas. Si sevendieron: 16 equipos con (C.R) pero sin (C.D), 12 equipos con (TC) pero sin(CD) ni (CR), 24 equipos sin (C.R), 9 equipos con (C.R) y (T.C), 16 equipos con(T.C) pero sin (C.R): a) Cuántos equipos que tenían alguna de éstas tecnologíasse vendieron? b) Cuantos equipos se vendieron con (CD) y (CR)? c) Cuántosequipos con (CR) pero sin (TC) se vendieron?

9. Una agencia de autos, vendio durante el año 180 unidades con las siguientescaracterísticas,

a) 57 tenían transmisión automática.

b) 77 tenían clima.

c) 45 tenían transmisión automática y clima.

d) 10 tenían trasnmisión automática pero no tenían ni clima niestéreo.

e) 28 tenían transmisión automática y clima, pero no tenían estéreo.

f) 90 no tenían ninguna de las tres características mencionadas.

g) 19 tenían clima y estéro.

Cuántas unidades tenían estéreo?.

3.2. Relaciones

Sea un conjunto finitoA y otro también finitoB, entonces definimos aA × Bcomo el producto cartesiano deA y B, que consisteA×B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B},conjunto de parejas ordenadas.

Si A = B, entonces yR ⊆ A× A, entonces decimos queR es una relación sobreA.

1. SeaA = {a, b, c}, y R = {(a, a), (b, b), (c, c)}, R es una relación.

2. SeaA = {1, 2, 3}, y R = {(1, 2), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3)} es una rela-ción.

Un relaciónR es:

1. Reflexiva: si∀x ∈ A, entonces(a, a) ∈ R o xRx.

2. Simétrica: si∀(x, y) ∈ R, entonces(y, x) ∈ R, oxRy ⇒ yRx.

3.2. Relaciones 54

3. Antisimétrica: si(x, y) ∈ R y (y, x) ∈ R, entoncesx = y, o xRy y yRx,⇒x = y.

4. Transitiva: si(x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, entonces(x, z) ∈ R, o xRy y yRz,⇒(xRz)

Si un relación es reflexiva, simétrica y transitiva, entonces se llama relación deequivalencia. SiR es reflexiva, antisimétrica y transitiva, entonces se llamaordenparcial.

De las sigientes relaciones determinar cuales son sus propiedades:

1. A = {0, 1, 2, 3}, R = {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}2. A la personas,aRb si a y b tienen la misma edad.

3. A la personas,aRb si a y b tienen hablan el mismo idioma.

4. A la personas,aRb si a y b se conocen.

5. SeaR la relación de pares ordenados de enteros positivos tales que(a, b)R(c, d)si ad = bc.

6. SeaR la relación entre las cadenas de bits, ysRt si s y t tienen el mismo númerode unos.

7. SeaR la relación entre dos números enteros tales quexRy si x− y = 3k

8. SeaR la relaciónxRy si x ≤ y

9. SeaR la relaciónxRy si a|b10. SeaR la relación entre sunconjuntos de un conjunto potencia, yARB siA ⊆ B

Capítulo 4

Algebra booleana

4.0.1. Operaciones Binarias

Definición: Una operación binaria◦ sobre un conjuntoM es una regla que asignaa cada par(x, y) ∈M ×M un único elemento deM z = x ◦ y.

Ejemplos:

1. La suma de números naturales es una operación binariaN× N.

2. El producto de números enteros es una operación binariaZ× Z.

3. El producto de números realesR× R.

4. La división de números enterosZ× Z∗..

Otros ejemplos:

Ejemplo de la operación> sobre el conjunto{♦,�,∆}.

> ♦ � ∆♦ ♦ ∆ �

� ∆ � ♦

∆ � ♦ ∆

Ejemplo de la operación< sobre el conjunto{♦,�,∆}.

< ♦ � ∆♦ ♦ � ∆� ♦ � ∆∆ ♦ � ∆

Definición: Una operación binaria◦ sobre un conjunto de elementosM es asocia-tiva si y solo si

a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ cDefinición: Una operación binaria◦ sobre un conjunto de elementosM es conmu-

tativa si y solo sia ◦ b = b ◦ a

4. Algebra booleana 56

Definición: Si◦ y ∗ son dos operaciones binarias sobre el mismo conjuntoM , ◦ sedistribuye en∗ si y solo si

a ◦ (b ∗ c) = (a ◦ b) ∗ (a ◦ c)

Definición: Un elementoe en un conjuntoM con una operación binaria◦ se llamaidentidad si y solo si

a ◦ e = e ◦ a = a ∀a ∈M

Ejemplo: en los enteros0 es la identidad para la suma y1 es la identidad para elproducto.

4.0.2. Algebra booleana

Definición: Un conjuntoM junto con dos operaciones binarias+ y · es un algebrabooleana si y solo si satisfacen las siguientes afirmaciones:

p1 Las operaciones+ y · son conmutativas.

p2 Existen elementos identidades diferentes para+ y ·p3 Cada operación es distributiva respecto a la otra.

p4 Para cada elementoa ∈ M existe un elementoa′ enM tal quea + a′ = 1 ya · a′ = 0

Teorema 1:para cada elementoa ∈ B dondeB es un álgebra booleana:a+ a = ay aa = a.

Demostración:

a = a+ 0 por p2= a+ aa′ por p4= (a+ a)(a+ a′) por p3= (a+ a)(1) por p4= (a+ a) por p2

a = a(1) por p2= a(a+ a′) por p4= aa+ aa′ por p3= aa+ 0 por p4= aa por p2


Teorema 2:para cada elementoa ∈ B dondeB es un álgebra booleana:a+1 = 1y a0 = 0.

Demostración:

1 = a+ a′ por p4= a+ a′(1) por p2= (a+ a′)(a+ 1) por p3= 1 · (a+ 1) por p4= (a+ 1) por p2

Teorema 3:para cada elementoa, b ∈ B dondeB es un álgebra booleana:a+ab =a y a(a+ b) = a.

Demostración:

a = (1)a por p2= (1 + b)a por tma. anterior= 1a+ ba por p3 y p1= a+ ba por p2= a+ ab por p1

Teorema 4:para cada elementoa ∈ B dondeB es un álgebra booleana:(a′)′ = a.

Demostración:

a+ a′ = 1 por p4.

Por otro lado:

a′′ + a′ = a′′ + a′ · 1 por p2.= (a′′ + a′) · (a′′ + 1) por p3.= 1 · (a′′ + 1) por p4.= (a′′ + 1) por p2.= 1 por tma 2.

Por lo tanto por unicidada = a′′.

Teorema 5:para cada álgebra booleana:0′ = 1 y 1′ = 0.

Teorema 6:para cada elementoa, b ∈ B dondeB es un álgebra booleana:(ab)′ =a′ + b′ y (a+ b)′ = a′b′.

Sugerencia: Por P4a + a′ = 1 y aa′ = 0, entonces para que(ab)′ = a′ + b′,entonces basta ver que(a′ + b′) + ab = 1 o (a′ + b′)(ab) = 0.


Teorema 7:para cada elementoa, b ∈ B dondeB es un álgebra booleana:

a+ a′b = a+ b

Demostración:

a+ a′b = (a+ a′)(a+ b) distribuyendo.= 1 · (a+ b) por p4= a+ b por p2

Teorema 8:para cada álgebra booleana las siguientes expresiones son iguales:

1. (a+ b)(a′ + c)(b+ c)

2. (a+ b)(a′ + c)

3. ac+ a′b+ bc

4. ac+ a′b

Capítulo 5

Inducción matemática

La proposiciónF (n) es verdadera para todon si:

1. F (n) es verdadera paran = 1. (base de inducción)

2. SiF (k) es verdadera (hipótesis de inducción), entoncesF (k + 1) es tambiénverdadera.

Ejemplos:

I 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.

Demostración:

a) Base de la inducción:n = 1, 1 =1(1 + 1)

2

b) Supongamos que1 + 2 + 3 + · · ·+ k =k(k + 1)

2.

Ahora considerese:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1) =k(k + 1)

2+ (k + 1)

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2

=k2 + k + 2k + 2

2

=k(k + 2) + (k + 2)

2

=(k + 2)(k + 1)

2

Por lo tanto1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2es cierta para todon.

II 1 + 3 + 32 + 33 · · ·+ 3n =3n+1 − 1

2.

Demostración:

a) Base de la inducción:n = 0, 1 =30+1 − 1

2


b) Supongamos que1 + 3 + 32 + 33 · · ·+ 3k =3k+1 − 1

2.

Ahora considerese:

1 + 3 + 32 + 33 · · ·+ 3k + 3k+1 =3k+1 − 1

2+ 3k+1

=3k+1 − 1 + 2 · 3k+1

2

=3k+1(1 + 2)− 1

2

=3k+2 − 1

2

Por lo tanto1 + 3 + 32 + 33 · · ·+ 3n =3n+1 − 1

2es cierta para todon.

III 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.Demostración:

a) Base de la inducción:n = 1, 1 = 12

b) Supongamos que1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2.Ahora considerese:1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Por lo tanto1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2 es cierta para todon.

IV en > (1 + n).Demostración:

a) Base de la inducción:n = 1, e1 > 2

b) Supongamos queek > (1 + k).Ahora considerese:ek+1 = ek · e

> (1 + k) · e> (1 + k) · 2= 2 + 2k> 2 + k= 1 + (1 + k)

Por lo tantoen > (1 + n) es cierta para todon.

V 23n − 1 es divisible por 11∀ n > 0.Demostración:

a) Base de la inducción:n = 1, 231 − 1 = 22.

b) Supongamos que23k − 1 es divisible por 11.Ahora considerese:


23k+1 − 1 = 23k · 23− 1= (22 + 1)23k − 1= (11 · 2 + 1)23k − 1= 11 · 2 · 23k + 23k − 1= (11 · 2 · 23k) + (23k − 1)

Por lo tanto23n − 1 es divisible por 11, para todan.

VI1

2+

1

4+

1

8+ · · ·+ 1

2n= 1−

(

1

2

)n

VII 12 + 22 + 32 + · · ·n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

VIII 12 + 32 + 52 + · · ·+ (2n− 1)2 =1

3(4n3 − n)

IX 1 + 8 + 16 + · · ·+ 8(n− 1) = (2n− 1)2

X 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n(n+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)

3

XI1

1 · 2 · 3 +1

2 · 3 · 4 +1

3 · 4 · 5 + · · ·+ 1

n(n+ 1)(n+ 2)=

n(n+ 3)

4(n+ 1)(n+ 2)

XII Probar que42n − 1 es divisible por 5 para todon positivo.

XIII 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =

(

n(n+ 1)

2

)2

XIV 1− 22 + 32 − 42 + · · ·+ (−1)n−1n2 = (−1)n−1n(n+ 1)

2

XV 1 · 2 · 3+ 2 · 3 · 4+ 3 · 4 · 5+ · · ·+ n(n+1)(n+2) =n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

4

XVI1

1 · 3 +1

3 · 5 +1

5 · 7 + · · ·+ 1

(2n− 1)(2n+ 1)=

n

(2n+ 1)

a) Base de inducción: el primer elemento de la suma es1

1 · 3 =1

3, que se

obtiene de la formula deln-ésimo elemento conn = 1, es decir,

1

(2(1)− 1)(2(1) + 1)=

1

(2− 1)(2 + 1)=

1

(1)(3)=

1

3

Comprobando en la formula del resultado de la suma propuesta (lado de-

recho),1

(2(1) + 1)=

1

3. Por lo tanto la igualdad se cumple para el primer

elementon = 1, es decir es verdadera la base de inducción.b) Paso de inducción, hay que mostrar que el caso paran = k, implica el caso

paran = k+1. Por ser una implicación se supone elantecedente verdadero,llamada hipótesis de inducción. Es decir:

1

1 · 3 +1

3 · 5 + · · ·+ 1

(2k − 1)(2k + 1)=

k

(2k + 1)


Esta es verdadera.Ahora hay que probar el consecuente, es decir que la formula es cierta conn = k + 1. Por una parte, el lado izquierdo de la igualdad es:

1

1 · 3 +1

3 · 5 + · · ·+ 1

(2k − 1)(2k + 1)+

1

(2(k + 1)− 1)(2(k + 1) + 1)=

Por hipótesis de inducción

k

(2k + 1)+

1

(2(k + 1)− 1)(2(k + 1) + 1)=

(A)k

(2k + 1)+

1

(2k + 1)(2k + 3)=

A dónde tenemos que llegar!!

Sustituirn = k + 1, en la formula original

(B)k + 1

(2k + 3)

Es decir, hay que probar que (A) es igual a (B). Partiendo de (A)

(A)k

(2k + 1)+

1

(2k + 1)(2k + 3)=

k(2k + 3) + 1

(2k + 1)(2k + 3)

=2k2 + 3k + 1

(2k + 1)(2k + 3)

=(2k + 1)(k + 1)

(2k + 1)(2k + 3)

=(k + 1)

(2k + 3)(B)

O sea elcaso (k+1) es V, (el consecuente). Por lo tanto,el condicional es V.

Finalmente, esto quiere decir quela formula inicial es cierta para todon ∈ N.

XVII12

1 · 3 +22

3 · 5 +32

5 · 7 + · · ·+ n2

(2n− 1)(2n+ 1)=

n(n+ 1)

2(2n+ 1)

XVIII1

1 · 4 +1

4 · 7 +1

7 · 10 + · · ·+ 1

(3n− 2)(3n+ 1)=

n

(3n+ 1)

XIX1

1 · 5 +1

5 · 9 +1

9 · 13 + · · ·+ 1

(4n− 3)(4n+ 1)=

n

(4n+ 1)


XX1

a(a+ 1)+

1

(a+ 1)(a+ 2)+

1

(a+ 2)(a+ 3)+ · · · + 1

(a+ n− 1)(a+ n)=

n

a(a+ n)

Capítulo 6

Números complejos

6.1. Introducción

Los números naturalesN = {1, 2, 3, 4, ...}, la ecuaciónx+2 = 0 no tiene soluciónenN ∪ {0}.Los números enterosZ = {...−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}, la ecuación2x = 1 no tienesolución enZ.Los números racionalesZ = {a

b|b 6= 0, a, b ∈ Z}, la ecuaciónx2 = 2 no tiene solu-

ción enQ.Los números realesR = Q∪ I, donde los irracionales son los números que no tienenexpansión decimal finita ni periódica, la ecuaciónx2 = −1 no tiene solución enR.

Los numeros complejosC de la formaa+ bi, dondei2 = −1 son un campo cerra-do, es decir todas las ecuaciones con coeficientes comlejos tienen al menos una raízcompleja.

1. Los números complejosC con la suma+ son un grupo abeliano.

2. Los números complejosC∗ = C−{0} con el producto· son un grupo abeliano.

3. Seaz1 = a+ bi y z2 = c+ di, entoncesz1 + z2 = (a+ c) + (b+ d)i.

4. Seaz = a + bi, entonces la parte real dez esRe(z) = a y la parte imaginariaIm(z) = b.

5. Seaz = a+ bi, el conjugadoz = a− bi.

Ejercicios:

1. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) x2 + 9 = 0.

b) 9x2 + 25 = 0.

c) 2x2 + 3x+ 2 = 0.

2. Encontrar la ecuación cuadrática que tiene raíces a2±√3i.

6.1.Introducción 65

3. Escribir los siguientes números complejos en la formaa+ bi

a) (3 + 2i) + (2 + 4i).b) (3 + 2i)(4− 3i).c) (1 + i)(1− i)(2 + i).

4. Encontrar el valor relay tal que(3 + 2i)(1 + iy).

a) Sea real.b) Sea imaginario.

5. Simplificar:

a) i4.

b)1

i3.

c) in.

6. Despejarz de1

z+

1

2− z=

3

1 + i.

7. Si1

u=

1

v+

1

w. Dadosv = 3 + 4i, w = 4− 3i, encontraru en su formaa+ bi.

8. Demostrar|z| = |z|.9. Demostrararg(z) = −arg(z).Demostrar los siguientes propiedades:

1. z1 + z2 = z1 + z2.

2. z1 · z2 = z1 · z2.

3. Re(z) =z + z

2.

4. Im(z) =z − z

2i.

5. Siz es raíz del polinomiof(z) = anzn + · · ·+ a1z+ a0, entoncesz también es

raíz.

Teorema fundamental del álgebra:todos los polinomios con coeficientes com-plejos tienen al menos una raíz compleja. Es decir, si el polinomio tiene gradon,entonces tienen raíces complejas.

Definiciones:

1. Siz = a+ bi, entonces la norma (módulo)|z| =√a2 + b2.

2. |z|2 = zz

Demostrar los siguientes propiedades:

1. |z1z2| = |z1||z2|.2. |z−1| = |z|−1.

3.

∣

∣

∣

∣

z1z2

∣

∣

∣

∣

=|z1||z2|

.

6.2.Representación polar 66

6.2. Representación polar

Seaz un número complejo, entoncesz tiene un módulor y un argumentoθ. r = |z|y θ = tan−1

b

a. Ademása = r cos(θ) y b = r sin(θ).

Propiedades:

1. Seanz1 y z2 números complejos con argumentosθ1 y θ2 respectivamente, en-toncesθ1 + θ2 es argumento dez1z2.

2. Siθ1, ..., θn son argumentos dez1, ..., zn respectivamente, entoncesθ1+ · · ·+θnes argumento dez1 · · · zn.

3. Siθ es argumento dez, entoncesnθ es argumento dezn.

4. Siθ es argumento dez, entonces−θ es argumento dez−1.

5. Seanz1 y z2 números complejos con argumentosθ1 y θ2 respectivamente, en-toncesθ1 − θ2 es argumento dez1/z2.

Teorema de Moivre:Si z = r(cos θ + i sin θ), zn = rn(cosnθ + i sinnθ).

Raíces de un número complejo:z1

n = r1

n (cos(θ + 2kπ

n) + i sin(

θ + 2kπ

n)), k =

0, 1, 2, .., (n− 1).

Raíces de la unidad:wk = r1

n (cos(2kπ

n) + i sin(

2kπ

n)), k = 0, 1, 2, .., (n− 1).

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