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ResolviendoejerciciosdematemticasconlaClassPad330

MarioSnchezAguilaryJuanGabrielMolinaZavaleta

NDICE PRESENTACIN 5 OPERACIONESCONNMEROSCOMPLEJOS 7Configurandolacalculadoraparatrabajarconnmeroscomplejos 7Conversindeunnmerocomplejodesuformacartesianaasuformaexponencial

8

Conversindeunnmerocomplejodesuformacartesianaasuformatrigonomtrica

9

Conversindeunnmerocomplejoasuformacartesiana 9Sumayrestadenmeroscomplejos 10Multiplicacindenmeroscomplejos 10Divisindenmeroscomplejos 11Potenciacindenmeroscomplejos 11 OPERACIONESCONMATRICES 13Sumayrestadematrices 13Multiplicacindematrices 14Inversadeunamatriz 15Valoresyvectorespropios 16 DERIVADAS 19Clculodeladerivadaconladefinicin 19Clculodeladerivadaconelcomandoderivada 20Derivadasdeorden2omayor 20Derivadaimplcita 21Derivadasparciales 23Clculodederivadaparcialconladefinicin 23Clculodeladerivadaconlaplantilla 25Laregladelacadena 26 INTEGRALES 29Integracinindefinida 29Integracindefinida 30Integracinnumrica 32Integracinmltiple 34 ECUACIONESDIFERENCIALES 37

3

Resolviendoecuacionesdiferencialessincondicininicial 37Ecuacionesdiferencialesconcondicininicial 38Sistemasdeecuacionesdiferencialeslineales 39Graficandounaecuacindiferencialdeprimerorden 41Condicionesinicialesygraficandocurvassolucindeunaecuacindiferencialdeprimerorden

41

TRANSFORMADADELAPLACE 43TransformadadeLaplacedeunafuncin 43TransformadainversadeLaplace 45TransformadadeLaplacedeunaecuacindiferencial 46 TRANSFORMADASDEFOURIER 49ClculodelatransformadadeFourier 49LatransformadadeFourierconelcomandofourier 50LatransformadainversadeFourier 51 ELMTODODENEWTON(PROGRAMACIN) 53ConstruyendoelprogramaNewton 54DefiniendolafuncinNewton 54ElcuerpodelprogramaNewton 57UtilizandoelprogramaMeNewton 62

4

Presentacin En elao2005 escribimos elprimer libropara la calculadoraClassPad300.ElttulodeesetextofueClassPad300:RepresentacinyManipulacindeObjetosMatemticos. Ese fue un material en el que tratamos de mostrar lasposibilidades que ofreca la calculadora, desafortunadamente varios de esostpicos,porno estar integrados en la curricula escolar,podan representarunintersmenor (o inclusonulo)para los estudiantesusuariosde la calculadora.Era necesario escribirmateriales que respondieranmejor a los requerimientosacadmicos de los estudiantes. La necesidad de elaborar materiales msadecuados y pertinentes para los estudiantes, de tamao ms manejable, yactualizados, fuediscutidacon representantesde lacompaaCasioduranteelcongreso ICME 11 celebrado enMxico en julio de 2008.Ah se estableci elcompromisodeelaborardosmateriales,unoparaelnivelmedioyotroparaelnivel superior, que ilustrara la manera en que se podan resolver tareasmatemticasescolares,peroutilizandolacalculadoraClassPad330.Elpresentecuadernilloesunodeesosmateriales.Paraestablecerelcontenidodeestosmateriales,no slohemos recurridoaprogramasdeestudioactualesyanuestra propia experiencia como estudiantes dematemticas; tambin hemoscontadoconelinvaluableapoyodelIngenieroJulioCsarSurezylaLicenciadaClaudia Iveth Meza quienes con sus sugerencias han contribuido a laconfiguracinde loscontenidosdeestosmateriales.A travsde loscontenidosde estos dos cuadernillos, los autores tratamos de abordar algunos de losejercicios matemticos escolares a los que un estudiante de nivel medio osuperior puede enfrentarse, y algunas de las maneras de resolverlos con lacalculadoraClassPad330.Lamaneraenque los contenidos sonpresentadosnoes tandetallada como laquesepodraencontrarporejemplo,enelmanualdeusuariodelacalculadora.Esto debido a que losmateriales estn dirigidos a estudiantes, usuarios de lacalculadora ClassPad 330 y con conocimientos bsicos sobre el manejo de lamisma.Dadoqueeseeseltipodepersonasparaquieneslosmaterialeshansidodiseados,esperamossimplementequeseanellosquienesloslean,losusenyloscritiquen.MarioSnchezyJuanGabrielMolinaMarzode2009

5

1.OPERACIONESCONNMEROSCOMPLEJOSLos nmeros complejos estn compuestos por un nmero real y un nmeroimaginario. Un nmero complejo puede representarse como un punto en elplano complejo mediante un par ordenado ( )ba , , sin embargo los nmeroscomplejossoncomnmenterepresentadosusando laforma bia + ,donde yb sonnmerosrealese i eslaunidadimaginaria.Estaformaderepresentacinseconocecomoformacartesiana.

a

Los nmeros complejos tambin pueden representarse mediante suscoordenadas polares. Esta forma de representacin se denomina forma polar.Cuando la notacin en forma polar es ( ) sin cos irz += se le llama formatrigonomtrica.Usando la frmula de Euler la forma trigonomtrica puede serescritacomo lacualesllamadaformaexponencialirez = 1.EnestecaptulomostraremoscmooperarnmeroscomplejosconlacalculadoraClassPad 330. Tambin mostraremos cmo realizar conversiones entre lasdiferentesformasderepresentacin.

1.1 Configurando la calculadora para trabajar con nmeroscomplejos

Cuando se trabaja connmeros complejos con la calculadoraClassPad330, esnecesarioquestaseencuentreconfiguradaenelmodocomplejo.Paradeterminarsi la calculadora se encuentra configurada enmodo realo enmodo complejo,slosenecesitaingresaralaaplicacinPrincipal delacalculadoraymirarlaparte inferior de la pantalla. Si aparece la palabra Real esto indica que lacalculadoraestconfiguradapara trabajarnicamenteconnmeros reales (verfigura1).Siestefueraelcaso,esnecesariodaruntoqueconellpiztctilsobrelapalabraRealyentoncessta ser sustituidapor lapalabra Cplj lacual indicaquelacalculadoraestpreparadaparatrabajartambinconnmeroscomplejos(verfigura2).Enestecaptulodellibroslotrabajaremosenelmodocomplejo.

1 Ntese que en el instructivo de la calculadora esta forma de representacin es llamadasimplementepolar.

7

Figura1.Figura2.

1.2 Conversindeunnmerocomplejodesuformacartesianaasuformaexponencial

Un nmero complejo expresado en la forma cartesiana puede sertransformadoasuformaexponencialoasuformatrigonomtrica.Consideremosporejemploelnmerocomplejo .Paraconvertirloasuformaexponencialhay que escribirlo y seleccionarlo con ayuda del lpiz tctil (recuerda que elsmbolo se encuentra situado en laspestaasmthy 2Ddel tecladovirtual),posteriormentehayqueaplicarle el comando compToPolque se localiza en elmenInteractivo/Complejo(verfigura3).Laexpresinresultantesemuestraenlafigura4.

bia +

i23 +

Figura3.Figura4.

8

1.3 Conversindeunnmerocomplejodesuformacartesianaasuformatrigonomtrica

El comando compToTrig se utiliza para convertir un nmero complejo de laformacartesianaalaformatrigonomtrica.Estecomandoestlocalizadodebajodel comando compToPol en el men Interactivo/Complejo (ver figura 4). Elprocesodeaplicacindeestecomandoes idnticoaldelcomandocompToPol.

La expresin

+

i

32tansen

32tancos13 11 es el resultado de aplicar el

comandocompToTrigalaexpresin i23 + (verfigura5).

Figura5.Figura6.

1.4 ConversindeunnmerocomplejoasuformacartesianaSi se tuviera un nmero complejo expresado en su forma exponencial otrigonomtrica, esmuy fcil convertirloa su forma cartesiana.Simplemente senecesitaescribirelnmerocomplejoensuformaexponencialotrigonomtricayposteriormenteoprimirlateclaEXE.Estaaccinconvertirelnmerocomplejoasu forma cartesiana.Por ejemplo, la figura6muestraque elnmero complejo

42i

e+

seexpresacomo ensuformacartesiana.i+1

9

1.5 SumayrestadenmeroscomplejosCuando operamos (sumar, restar,multiplicar, elevar aunapotencia) nmeroscomplejosenlacalculadoraClassPad330,esposiblehacerloutilizandosuformacartesiana, trigonomtrica, exponencial o incluso combinaciones de stas. Por

ejemplo para restar los nmeros complejos 43

2i

e

y i27 + , slo se necesitaescribir cadaunode ellosdentrodeunparntesisy colocar enmediode esosparntesiselsmbolo(verfigura7).Sisetrataradeunasumasedebesustituirelsmboloporelsmbolo+.NtesequelacalculadoraClassPad330expresaenforma cartesiana el resultado de cualquier operacin con nmeros complejos. Esto seilustraenlafigura8,dondesemuestraelresultadodelarestaplanteada.

Figura7.Figura8.

1.6 MultiplicacindenmeroscomplejosParamultiplicarnmeroscomplejossenecesitaescribircadaunodelosfactoresentreparntesisyposteriormenteoprimirlateclaEXE.Porejemplo,enlafigura

9 se muestra el producto de multiplicar los nmeros , i21 y

ie

21tan 1

5 . El

productoesiguala

+ i21 .

10

Figura9.Figura10.

1.7 DivisindenmeroscomplejosPara dividir dos nmeros complejos se pueden escribir entre parntesis,poniendoenmediodestoselsmbolo / talycomosehacecon lasumay lamultiplicacin.Otraposiblemaneradehacerloesutilizar laexpresin quese localiza en lapestaa 2Ddel teclado virtual.En la figura 10 semuestra el

cocientequeseobtienealdividirlosnmeroscomplejos

+

isen4

cos2

4

y

.Comosepuedeobservarelresultadonovarasiseusaelsmbolo/oelsmbolo .

i31

1.8 PotenciacindenmeroscomplejosParaelevarunnumerocomplejoaunapotenciaesnecesarioescribirelnmeroentreparntesisydespusutilizarelbotn localizadoenlapestaa2Ddeltecladovirtual.Lautilizacindeestebotnnospermiteespecificarlapotenciaala cual queremos elevar el nmero complejo. As, en la figura 11 se puedeconstatar que el resultado de elevar a la cuarta potencia el nmero complejo

+

i2

sen2

cos8 es4096.

11

Figura11.

12

2.OPERACIONESCONMATRICESUnamatrizesunarreglorectangulardenmeros.Muchasvecesesosnmerosrepresentancoeficientesdeunsistemadeecuacioneslineales.Aligualqueotrosobjetosmatemticos, lasmatrices pueden operarse; es decir, pueden sumarse,multiplicarse,invertirse,etc.Enestecaptuloilustraremoslamaneraderealizarlas operaciones conmatricesms comunes utilizando la calculadoraClassPad330.

2.1 SumayrestadematricesParapodersumarorestardosmatrices,ambasdebentenerelmismonmeroderenglones y de columnas. Para ilustrar el procedimiento, vamos a efectuar lasiguienteoperacinconlacalculadora:

+

9424

125.0103

6372

Primero debemos ingresar a la aplicacin Principal de la calculadora yactivarlapestaa2Ddeltecladovirtualdelacalculadora.Despushayquedarunclicenelbotn conlocualaparecernlosbotones quesonlos que se utilizan para introducir matrices. Para este ejemplo particularutilizaremos el botn para introducir cada una de las tres matrices (verfigura 1). Finalmente hay que oprimir el botn EXE para obtener la matrizresultante(figura2).

Figura1.Figura2.

13

2.2 MultiplicacindematricesPara multiplicar dos matrices se requiere que el nmero de columnas de laprimeramatrizseaigualalnmeroderenglonesdelasegunda.Multipliquemosporejemplolassiguientesdosmatrices:

1242681

61104

58625.000131311029

Para introducir lamatrizde la izquierdade3x5,hayqueoprimirelbotn dos veces (para introducir tres renglones) y el botn cuatro veces (paraintroducir cinco columnas); as tendremos un acomodo rectangular de tresrenglones y cinco columnas en el que nicamente resta introducir los valoresnumricos.Unprocedimientosimilarsesiguepara ingresar lasegundamatriz.El operador x debe escribirse en medio de las dos matrices, quedando laexpresin final como en la figura 3. Al oprimir EXE obtendremos la matrizproducto(verfigura4).

Figura3.Figura4.

14

2.3 InversadeunamatrizSolamente tienen inversa lasmatrices cuadradas (mismonmerode renglonesquedecolumnas)cuyodeterminanteesdistintodecero.Enelsiguienteejemplomostraremos cmo calcular la inversa de una matriz que incluye nmeroscomplejos.Lamatrizqueutilizaremoseslasiguiente:

+

234061210

i

i

Debido a que emplearemos nmeros complejos en la matriz, ser necesarioconfigurar la calculadora para trabajar con ese tipo de nmeros. Elprocedimientoesmuy sencillo, simplementedeunclicconel lpiz tctilen lapalabraReal localizada en laparte inferiorde lapantallade la calculadora,alrealizar esto lapalabra ser sustituidapor la expresinCpljque indicaque lacalculadora est lista para trabajar con nmeros complejos (ver figura 5).UnnuevoclicsobrelaexpresinCpljregresaralacalculadoraalmodoreal.Ahorahayqueingresarlamatrizysuscorrespondientesvalores;recuerdaquelaexpresiniseencuentraenlapestaa2Ddeltecladovirtual.Cuandosehayaingresado lamatriz, ser necesario agregar el exponente con ayuda delbotn (ver figura6).Eseexponente indicaquesedeseacalcular la inversadelamatriz.DespusdeoprimirEXEseobtienelamatrizinversaquesemuestraenlafigura7.

1

Figura5.

Figura6.

Figura7.

15

2.4 ValoresyvectorespropiosFinalmente ilustraremos la manera de obtener los valores propios (oeigenvalores) y los vectores propios (o eigenvectores) de una matriz.Consideremoslamatriz :A

=

101011110

A

Para calcular susvalorespropiosesnecesarioescribir lamatrizy seleccionarlaconellpiztctil.PosteriormenteseledebeaplicarelcomandoeigVllocalizadoen el men Interactivo/MatrizCalcular (ver figura 8). De esta maneraobtendremos loseigenvaloresqueparaelcasodeestamatrizson2,1y 1 (verfigura9).

Figura8.Figura9.A partir de los valores propios se calculan los vectores propios. Sin embargoestos ltimos no son nicos, por esa razn la calculadora ClassPad 330 slocalculavectorespropiosunitarios,esdecir,vectorescuyanormaesiguala1enotrostrminos,vectoresV talesque:

Si ,entonces

=

nx

xx

V #2

1 ( ) 122221 =+++ nxxx "

16

Entonces, para calcular los vectores propios de la matriz A empleada en elejemploanterior,sedebeseguirelmismoprocedimientodescritoparaelclculodelosvalorespropios,peroaplicandoelcomandoeigVcenlugardelcomandoeigVl.El comando eigVc se encuentra situado justodebajodel comando eigVl(verfigura8).Comosepuedeapreciarenlafigura10,elresultadodeaplicarelcomandoeigVcesunamatrizde3x3dondecadaunadelascolumnasrepresentacadaunodelosvectorespropiosunitariosdelamatriz A .

Figura10.

17

3.DERIVADASEntrminosgenerales,elClculoDiferencialestudiacmocambianlasfuncionescuando susvariables cambian.Unaherramienta fundamental enque seapoyaparamedirestecambioesel onceptodederivada,elcualsedefi mosigue:c neco

Laderivadadeunafuncin representadapor,es en unnmero,

lim

encasodeexistirellmite(Stewart,1998,p.112).

ConlacalculadoraClassPad330esposiblecalcularladerivadautilizandoporlomenosdosformas,unadeellasesladefinicin,lacualcomoseobservaimplica

un lmite.Laotra formaes calcularladirectamente conel comando ,paraaccederacualquieradelasopcioneslasaccionesaejecutarson:

Principal/2D/CLC

Acontinuacinejemplificaremoscmocalcularladerivadadeunafuncin.

3.1 ClculodeladerivadaconladefinicinSupongamos que deseamos calcular la derivada de la funcinfx 2x 3yparaellodebemosemplearladefinicindederivada.Elprocedimientoaseguires el siguiente: entrar a la aplicacin Principal, luego definir la funcinfx 2x 3,estosehaceutilizandoelcomandodefine,esdecir,debemosescribirenlacalculadoralasentencia,

definefx 2x 3

ypresionarlateclaEXE,laletraf seencuentraenlapestaaabc,verfigura1.Elsiguientepasoesutilizarelcomando yllenarsuscamposconlosdatosdeladefinicindederivada,comoenlafigura2.

19

Figura 1. Figura 2.

3.2 ClculodeladerivadaconelcomandoderivadaCalcular la derivada con el comando es simple, para ello en la aplicacin

principalse insertaelcomando (figura3)yastese lecolocan losdatosnecesarios:lafuncinaderivarylavariableconrespectoalacualsevaaderivar.Porejemplo,paraderivar la funcin 2 3conrespectoa lavariabledebemos introducir la informacin en la calculadora como se muestra en lafigura4ypresionarlateclaEXE.

Figura3. Figura4.

3.3 rivadasdeorden2omayor DeSieslafuncinresultantedederivaryastaselederivanuevamente,se dice que se ha calculado la segunda derivada de, esta operacin seacostumbra representar como . Si esta expresin resultante se derivanuevamentesehablaentoncesdeuna terceraderivada.Esdecir,alnmerodevecesque sederivauna funcin se le conoce comoelordendederivacin.Enocasiones es necesario calcular segundasderivadas, terceras, cuartas, etc.Para

estos casos se emplea el comando . Por ejemplo, para calcular la tercera

20

derivadade la funcin , sedebe insertar el comando en laaplicacinprincipalyseingresanlossiguientesdatos:elordendederivacin,lafuncinaderivary lavariableconrespectoa lacualsederivar.En lafigura5mostramoslaterceraderivadade conrespectoa.

Figura5.

3.4 DerivadaimplcitaA las funciones tratadas en los ejemplos anteriores se les llama funcionesexplcitas, en ellas la variable dependiente () se expresa en trminos de lavariable independiente (). Sin embargo en ocasiones las funciones a derivarestn expresadas en forma implcita, es decir de la forma, , algunadesusvariantes.UnadelasnuevascaractersticasdelaClassPad330esquepuederesolverestetipodederivadasconayudadelcomandoImpDiff.Porejemplo,calcularladerivadade 3 4,pararesolverlaseingresaalaaplicacinPrincipalyseintroducelaecuacin,verfigura6,posteriormenteseselecciona la ecuacin y luego se utiliza el comando ImpDiff localizado enInteractivo/Clculo,verfigura7.

21

Figura6. Figura7.

Alaplicarelcomandosemostraruncuadrodedialogoquepedirlasiguienteinformacin: la ecuacin a derivar (la cual se ingresa automticamente porhaberlaseleccionadopreviamente),lavariableindependiente,enestecasoesla,ylavariabledependiente,la,figura8.FinalmentesecolocalainformacinysepresionalateclaEXE,figura9.

Figura8.Figura9.

22

3.5 DerivadasparcialesLaderivadaparcialesunaoperacinqueseacostumbraaplicara funcionesdedos variables reales, nos centraremos en stas por ser muy utilizadas en loscursosde clculo.El clculode lasderivadasparciales se realizade lamismaformaconquese alculaladerivadadeunafuncinenu av riabl c n a e.

Supngase que es una funcin de dos variables y . Si se conservaconstante,digamos ,entonces, seconvierteenunafuncindeunasola variable. Su derivada para se llama derivada parcial de conrespectoaen, ysedenotaco o,

mo , .Porlotant

, lim , ,

Enformasimilar,laderivadaparcialdeconrespectoaen, sedesignacomo , yestdadaporlaexp i res n

, lim, ,

(TomadadePurcellyVarberg,1987,p.640)

3.6 ClculodederivadaparcialconladefinicinA continuacin calcularemos la derivada parcial de una funcin utilizando ladefinicin mencionada anteriormente. Para simplificar en la calculadora laimplementacinde ladefinicindederivadaparcial,haremosque , conestolasfrmulasquedarnas:

, lim , ,

y

, lim, ,

F l .rmu a1

Ejemplo.Calcular 1, 5y 1, 5 si, 7

Para realizar esta operacin ingrese a la aplicacinPrincipal, aqu se necesitadefinirlafuncinfdada,paraelloseescribelasiguientesentencia:

23

definef(x,y)=x^5y+7xy^2

Es importanteque las letrasese ingresencomovariables,nocon lapestaaabc,porquede locontrario lacalculadora lasconsideraconstantesyalderivarlasharcero.AlpresionarlateclaEXEsemostrarlafigura1.

F

A continuacinpara calcular 1, 5con lapestaa2D se ingresa la frmula1correspondiente,ver figura2,alpresionar la teclaEXEseexhibirelresultado,figura3.Enlafrmulaingresada,sienlugardelosvaloresparticulares(1,5)seemplealasvariables, seobtendrlaformageneraldeladerivadaparcialdefconrespectoax,verlafigura4.

igura1.

Figura2. Figura3. Figura4.

24

Porotraparte,modificandolaposicindehenlafrmulaquemostramosenlafigura3determinamos 1, 5,verlafigura5.Engeneral,laderivadaparcialdeconrespectoalamostramosenlafigura6.

Figura5. Figura6.

3.7 Clculodeladerivadaconlaplantilla Otra forma de calcular la derivada parcial es utilizando la plantilla .Retomandolafuncin, 7,paracalcularsusderivadasparcialesesnecesarioinsertarlaplantilla delapestaa2DenlaaplicacinPrincipal,eintroducirledirectamentelafuncin,figura7.Sisedeseacalcularlaparcialde con respectoase coloca lavariableeneldiferencialy sepresiona la teclaEXE,figura8,ysisedesealaparcialconrespectoa,secolocaestavariableeneldiferencial,verfigura9.


25

3.8 LaregladelacadenaEsta regla es aplicable a funciones compuestas, los autores Purcell yVarberg(1987 igue:)lapresentancomos

Sean y dos funciones diferenciables en , y sea , diferenciableen,

.En ce ton s, ,

esdiferenciableeny,

(PurcellyVarberg,1987,p.659).

Frmula2.

Ejemplo.Si donde 2y ,encontrar

Laideapararesolvereslasiguiente:asignarlasfuncionesalasvariables,yyposteriormenteusar laplantilla como lo indica lafrmula2.Paraasignarunvaloraunavariablelasintaxiseslasiguiente:

ExpresinVariable

En la figura10 semuestra laasignacinde las funcionesdadasa lasvariablescorrespondientes:

Figura10. Figura11.

26

Finalmente para determinar, ingresamos la plantilla tantas veces

comoloindicalafrmula2(figura11)yagregamoslasvariablescomoensudefinicinyalterminarsepresionalateclaEXE,verfigura12.

Figura12.

27

4.INTEGRALESEl de integral es un concepto fundamental de lasmatemticas avanzadas. LacalculadoraClassPad 330 tiene la capacidadde efectuar integralesdefinidas eindefinidas. Tambin permite efectuar integracin mltiple e integracinnumrica.En este captulomostraremos cmo llevar a cabo cadaunade estasoperacionesconayudadelacalculadora.

4.1 IntegracinindefinidaEl proceso de hallar la primitiva de una funcin se conoce como integracinindefinida y es por tanto el proceso inverso de la derivacin. Para ilustrar lamanera en que se efectan este tipo de integrales en la calculadoraClassPadvamosaresolver la integral ( ) ++ dxxx 21ln .LoprimeroquehayquehaceresingresaralaaplicacinPrincipal yescribirlafuncinquesequiereintegrarque en este caso es ( )21ln xx ++ . Despus de escribir la expresin hay queseleccionarla con el lpiz tctil.Ahora hay que aplicarle el comando que selocalizaenelmenInteractivo/Clculo(verfigura1).Alseleccionarelcomando aparecer una ventana en la que se debe especificar qu tipo de integral sequiererealizar.Demaneraautomtica laopcinpara integral indefinidaestarseleccionada (ver figura 2), por tal razn slo es necesario oprimir el botnAcep.paraobtenerelresultado,elcualsemuestraenlafigura3.

Figura1.Figura2.

29

Figura3.Figura4.

4.2 IntegracindefinidaEnmuchasocasionesserequierecalcularelvalorde la integraldeuna funcinenunintervaloparticular.Entalcasoesnecesarioefectuarunaintegralenlaquese especifiquen los lmites de integracin, es decir, una integral definida.Supongamos que nos interesa integrar con respecto de x a la funcin

en el intervalo( ) ( )xxf 2cos= [ ],0 . Una manera de hacerlo es seguir elprocedimiento que aplicamos en el caso de la integral indefinida: escribir lafuncin que queremos integrar, seleccionarla con el lpiz tctil y aplicarle elcomando ; la nica diferencia es que ahora, cuando aparezca la ventana dedilogodeberemosseleccionarlaopcinDefinitivoyespecificarque0serellmiteinferiormientrasque serellmitesuperior(verfigura4).AloprimirelbotnAcep.seobtendrelresultadoqueenestecasoescero.La calculadoraClassPad 330 realiza representacionesgrficasde las integralesdefinidas. Para ilustrar de manera grfica el resultado de la integral queacabamosdeefectuaresnecesariooprimirelbotn localizadoenlabarradeherramientas de la aplicacin principal que estamos utilizando (ver figura 5).Justo cuando se oprime ese botn, aparece un plano cartesiano en la parteinferior de la pantalla (ver figura 6). Es necesario entonces seleccionar slo lafuncinque se integr (en este caso ( )x2cos , como semuestra en la figura 6)yposteriormente arrastrar la expresin con ayudadel lpiz tctilhacia elplanocartesiano (ver figura7).De estamaneraobtendremos lagrficade la funcin

comosemuestraenlafigura8.( ) ( )xxf 2cos=

30

Figura5.Figura6.

Figura7.Figura8.Situadosenlaventanaquecontienelagrficadelafuncin ( ) ( xxf 2cos= ),vamosahoraautilizarelcomandodxqueseencuentraenelmenAnlisis/ResolucinG(verfigura9).Cuandoseseleccionaelcomandodxapareceuncursorsobrelagrfica de la funcin. Es en este momento cuando debemos definir el lmiteinferiorysuperiorde la integral.Aloprimir latecla0 (queesel lmite inferior)aparecerunaventanaenlaquetambindeberemosespecificara comolmitesuperior (figura 10). Finalmente, al oprimir el botn Acep. se mostrar larepresentacin grfica de la integral definida (rea sombreada), y en la parteinferiordelapantallaelvalordelaintegralcalculada.

31

Figura9.Figura10.

Figura11.

4.3 IntegracinnumricaEn algunas ocasiones es muy difcil o incluso imposible calcular de maneraanaltica el valor de una integral. En este tipo de situaciones es convenienteefectuarunaintegracinnumrica,queaunqueesunaaproximacinalresultadoexacto, uno puede definir el intervalo de error permisible en la calculadoraobteniendo as resultados muy precisos. Vamos a ilustrar la relevancia de laintegracin numrica con el siguiente ejemplo: supongamos que queremos

encontrar el valor numrico de la integral . Si tratamos de

resolverlasiguiendoelmtodorecindescritoparacalcularintegralesdefinidas,

( ) ( )0 sen2cos dxex x

32

nos encontraremos con que la calculadora arroja un error de memoriainsuficiente (ver figura12).Siahora repetimoselprocedimientode integracincon lacalculadora,peroestavezseleccionando laopcinNumricoen lugardeDefinitivoaparecerunaventanaenlaquedeberemosdefinirloslmitesdeintegracin y el intervalo de error permisible o tolerancia (ver figura 13).Aloprimir elbotnAcep.obtendremosunabuenaaproximacinalvalorde laintegral,talycomosemuestraenlafigura14.

Figura12.Figura13.

Figura14.

33

4.4 IntegracinmltipleLaintegracinmltipleseutilizacuandosequiereintegrarfuncionesdemsde

unavariablerealcomoporejemplo ( )yxf , .Paraefectuaruna integralmltipleenlacalculadoraClassPad330esnecesarioutilizarelteclado2Dparaintroducirlas expresiones matemticas. De hecho, este mtodo de introduccin de lasexpresionesmatemticasqueutilizaremosparalasintegralesmltiples,tambinpuede ser aplicado a los tipos de integracin que se han presentado conanterioridadenestemismocaptulo.

Comenzaremos pues resolviendo la integral doble 10

3

2

160x

x

dydxxy . Lo primero

quedebemoshaceresdirigirnosalapestaa2Ddeltecladovirtual.Enlaesquinainferior izquierda encontraremos el botn , el cual deberemos oprimir.Estebotnnosdaaccesoavariossmbolosmatemticosincluidoeldelaintegralrepresentadoporelbotn .Esteltimobotndebeseroprimidodosveces(porque se trata de una integral doble), y posteriormente hay que llenar losespacios en blanco que se refieren a los lmites de integracin, la funcin aintegrar y los diferenciales. Es muy importante destacar que es necesariointroducir el smbolo x en medio de la expresin para que lacalculadora pueda distinguir que se trata de dos variables diferentes y noproduzca resultados errneos (ver figura 15). La necesidad de incluir esosoperadorespuedesersuperadasienlugardeusarlasletrasdelapestaaabcseutilizanlasvariablesx,y,zdeltecladofsicodelacalculadoraodelmen incluidoen lapestaa2D (ver figura16).AloprimirelbotnEXE seobtendrcomoresultado6.

3xy

Figura15.Figura16.

34

Siguiendoelprocedimientodescritoesposiblecalcularinclusointegralestriples.Por ejemplo en la figura 17 se muestra que el resultado de la integral

11 11 112

2

2

23

x

x

z

zdydzdx es 16.

Figura17.

35

5.ECUACIONESDIFERENCIALESA groso modo, las ecuaciones diferenciales son expresiones matemticas deigualdadque involucranderivadasodiferenciales.Estas tienengranaplicacinen las distintas ramas de las ciencias, comnmente se les utiliza para hacermodelosmatemticosyresolverciertosproblemas.Unejemplodeunaecuacindiferencialeselsiguiente:

12 0

Ecuacin1.

Como en la ecuacin 1 el ordende lams altaderivada es 2, se tratadeunaecuacin diferencial de orden 2. La calculadora ClassPad 330 puede resolverecuacionesdiferencialesdeprimero, segundoy tercerorden, tambin resuelvesistemasdeecuacionesdiferencialesdeprimerorden.

5.1 ResolviendoecuacionesdiferencialessincondicininicialPara resolveruna ecuacindiferencial seutiliza el comandodSolve el cual seencuentra en la aplicacin Pincipal dando un toque en Interactivo/SolveEcuacin/Desigualdad.

Ejemplo,resolverlaecuacin1:

12 0

Sabemos que esta expresin es equivalente a 12 0 , entoncesingresamoslaexpresin(figura1),enseguidaseleccionamoslaecuacinyconellpizaplicamoselcomandodSolve,verfigura2,conellosemostrarlapantalladelafigura3,endondesedeberindicaraxcomolavariableindependiente,yaycomolavariabledependienteyacontinuacinelegirAcep.,asseobtendrelresultado de la figura 4. Las expresiones const(1) y const(2) son lasconstantes.

37


Figura4.

5.2 EcuacionesdiferencialesconcondicininicialCuandosenecesitaresolverunaecuacindiferencialdeprimerordensujetaalacondicin ,dondexesunnmeroenun intervaloIyunnmeroreal arbitrario se deber hacer lo siguiente: reptase el procedimiento de laseccinanteriorhastaelmomentodeaplicarelcomandodSolve,sinembargoenestaocasinseleccionelaopcinIncluirco dn icin.

Ejemplo, resolver la ecuacindiferencial ,para la cual sedeseaque2 5.

Ingresamos laecuacin (figura5), laseleccionamosyposteriormenteaplicamosel comando dSolve (figura 6), es aqu donde elegimos la opcin Incluircondicin,ver figura7,noteque laecuacinse introdujoconvariables,noconletrasdelapestaaabc.

38


En este caso se indica a la calculadora que la variable independiente es, ladependientees,laprimercondicines 2ylasegundacondicin 5,verfigura8.Enlapantalladelafigura9semuestraelresultado.

Figura8. Figura9.

5.3 SistemasdeecuacionesdiferencialeslinealesLos sistemasde ecuacionesdiferencialesdeprimerorden son semejantesa lossistemasdeecuacioneslinealesdeprimergrado,ladiferenciaentreestosesqueenlosprimeroslasolucincuandoexiste,sonfuncionesofamiliasdefuncionesque cumplen las condiciones de las ecuaciones diferenciales que forman elsistema,mientrasqueenelotrocasolasolucinsuelenservaloresnumricos.

39

Unejemplodeunsistemadeecu o ialeseselsiguiente:aci nes diferenc

2

Sujetaa0 1,0 0

Para resolverlo con la ClassPad 330 se procede as: estando en la aplicacinPrincipalescribir s la iguientesentencia:

dSolve({ , },, , , , , )

Como puede observarse, las dos ecuaciones diferenciales del sistema sedelimitan con , y se agrupan con {},es la variable independiente,, indican las variables dependientes y finalmente , , , son lacondicininicial.Verfigura10.

Figura10. AlpresionarlateclaEXEsemostrarlasolucinalsistema,verfigura11.

Figura 11.

40

5.4 GraficandounaecuacindiferencialdeprimerordenPara graficar el campo de pendientes de una ecuacin diferencial de primerorden se debe proceder de la siguiente manera, entrar a la aplicacin

Graf.Ec.Di enelMen,conellosemostrarlapantallaenlafigura12.Ejemplo,paragraficar ,seingresalaecuacindiferencial(figura13)ysepresionaelcono ,verfigura14.


5.5 Condiciones iniciales y graficando curvas solucin de unaecuacindiferencialdeprimerorden

Retomando el trabajo realizado al graficar la ecuacin del ejemploanterior, podemos tocar con el lpiz el cono CI, figura 15, y para agregarcondiciones iniciales sedebendarvaloresparay,porejemplo, introduzcalossiguientesvalores(0,0),(0,0.5),verfigura16(cadaqueseintroduceunvalor,automticamente aparecennuevos espacios). Si con el lpiz se selecciona cadacondicinenel cuadritode seleccin,alpresionarel cono segraficarn lascurvassolucinasociadasatalescondiciones,figura17y18.

41


Figura18.

42

6.TRANSFORMADADELAPLACESea unafuncindefinidaparatodo t .LatransformadadeLaplacedef t( ) 0 f t( )sedefinecomo:

f t( ){ } s( )= F s( )= est f t( ) dt0

= lim

b e st f t( )

0

b dt siellmiteexiste.UnadelasventajasquepresentalatransformadadeLaplaceesquesimplificalaresolucindeecuacionesdiferenciales.Enestecaptulomostraremos lamaneraenquesepuedeencontrarlatransformadadeLaplaceylatransformadainversade Laplace de una funcin, con la calculadora ClassPad 330. Tambinpresentaremoslamaneraderesolverecuacionesdiferenciales.Antesde comenzar es importante tener claro que la calculadoraClassPad 330puederealizarlatransformadadelasfunciones: sen(x) , cos(x) , , ,senh(x) cosh(x)xn , x , , , ;peronopuederealizarlatransformadadelasfunciones:

ex heaviside (x)tan (

delta (x)x) sen-1

log (x) ln (x)

, , , , , , ,

, , ,

(x) cos-1

1x

(x) tan-1 (x) tanh (x) senh-1 (x) cosh-1 (x)

tanh-1 (x) , ygaabs (x) mma (x) .

6.1 TransformadadeLaplacedeunafuncinPara encontrar la transformada de Laplace de una funcin con lacalculadoraClassPadslosenecesitaespecificarculeslavariableconrespectoalacualsetransformalaexpresin,culeselparmetrodelatransformadayporsupuestolafuncin .Porejemplo,calculemoslatransformadadeLaplacedela funcin .Primerohayque ingresara laaplicacinPrincipal

de lacalculadorayescribir la funcin

f t( )

f t( )t cosf t( )= te 4t( )

f t( )comosemuestraen la figura1.Enseguidadeberemos seleccionar la expresin con el lpiz tctil y aplicarle elcomando laplace que est localizado en el men Interactivo/Avanzado (verfigura2).

43

Figura1.Figura2.Al aplicar el comando laplace a la expresin, aparecer la ventana que semuestraenlafigura3.Ahsedebeespecificarquelavariableindependientees y que el parmetro de la transformada es ; al oprimir el botn Acep.obtendremos la transformada que se muestra en la figura 4. Si aplicamos elcomando simplify al resultado obtenido, veremos que ste es equivalente a

ts

s + 5( ) s 3( )s2 + 2s +17( )2 (verfigura4).

Figura3.Figura4.

44

6.2 TransformadainversadeLaplaceSi ,entoncessedicequef t( ){ } s( )= F s( ) f t( )esunatransformadainversadeLaplacede .F s( )CalcularunatransformadainversadeLaplacerequieredeunprocesosimilaralpresentado en elpunto1.1;primerohayque ingresar la expresinmatemtica

que queremos transformar, que en este caso ess +1

s2 s + 2( )3 (ver figura 5).Enseguida hay que seleccionar la expresin con el lpiz tctil paraposteriormente aplicarle el comando invLaplace localizado en el menInteractivo/Avanzado, justo debajo del comando laplace. As aparecer unaventana de dilogo en la que deberemos especificar a s como la variableindependienteya t comoelparmetrodelatransformada(verfigura6).

Figura5.

Figura6.

Figura7.Al oprimir el botnAcep. se obtendr la transformada inversa tal y como semuestraenlafigura7.Es importante recordar que tanto la transformada de Laplace como latransformadainversadeLaplacepuedenseraplicadasusandolosbotones y

respectivamente,loscualesselocalizanenelmenADVdelapestaa2Ddeltecladovirtual.

45

6.3 TransformadadeLaplacedeunaecuacindiferencialEs posible aplicar la transformada de Laplace para resolver ecuacionesdiferenciales ordinarias. Para ilustrar lamanera en que se hace, resolveremosenseguida la ecuacin diferencial en la quey '' 4y '+ 4y = t 3e2t y 0( )= y ' 0( )= 0 .Primero debemos escribir la ecuacin diferencial que queremos resolver y laseleccionamos con el lpiz tctil (ver figura 8). Recuerde que la comilla paradenotar lasderivadasse ingresautilizandoelbotn localizadoenelmen

de lapestaamthdel tecladovirtual.Ahora leaplicaremoselcomandolaplace y cuando aparezca la ventana de dilogo seleccionaremos la opcinEcuacinODE; en lanuevaventanaque aparecerdefiniremos comovariableindependientea t , comovariabledependientea ,y comoparmetroay s (verfigura9).

Figura8.Figura9.Cuando oprimamos el botn Acep. obtendremos una expresin en la quedeberemossustituirlosvaloresde y 0( ) y y ' 0( ).Comenzaremossustituyendoelvalor , simplemente escribiendo la expresin y 0( )= 0 ans y 0( )= 0 2 yoprimiendoEXE.Estaexpresinleindicaalacalculadoraquequeremossustituirel valor en la respuesta recin obtenida (ver figura 10). Despus deoprimirEXEseobtieneunanuevaexpresinenlaquesedebesustituirelvalor

, esto se logra escribiendo la expresin

y 0( )== 0

0

y ' 0( ) ans y ' 0( )= 0 y oprimiendo

2 Recuerda que el smbolo | se localiza en el submenu SMB de la pestaa abc del teclado virtual.

46

nuevamente EXE. De esta manera obtendremos la expresin

LP s2 4 LP s + 4LP = 6s 2( )4 quesemuestraenlafigura11.

Figura10.Figura11.Ahora necesitamos despejar de la ltima expresin obtenida; para esoutilizaremos el comando solve, escribiendo la expresin yoprimiendo EXE posteriormente. El valor de resultante de se muestra en la figura 12. Finalmente, calcularemos la transformada inversa de Laplace de L mediante la aplicacin del comando invLaplace.Paraestosernecesarioreescribir(ocopiarypegar)laexpresindelladoderechodelaltimaigualdadobtenidayaplicarleelcomandoinvLaplace,con

LPsolve ans, LP( )

LPP

s comovariableindependientey t comoparmetro(ver figura 13). De esta manera obtendremos la solucin de la ecuacin

diferencialqueenestecasoes t5e2t

20.Elprocesocompletoquehemosefectuadose

muestraenlafigura14.

47

Figura12.Figura13.

Figura14.

48

7.TRANSFORMADASDEFOURIERLa transformada de Fourier es una funcin que tiene un gran campo deaplicacin para el anlisis de datos en teora de nmeros, fsica, teora de laprobabilidad,porcitaralgunos.Sedefineas:

e

Porotraparte,latransformadainversadeFourierdees:

e

La calculadoraClassPad 330 puede realizar la transformada de las funciones:sin , cos , log , ln , abs , signum , heaviside , delta ,delta, ,;peronopuede realizar la transformadade las funciones: tan(x),sin ,cos ,tan ,sinh,cosh,tanh,sinh,cosh,tanh,gamma,,.

7.1 ClculodelatransformadadeFourierEl clculo de la transformada de Fourier de una funcin se puede realizarutilizandoelcomando ,parahacerlo,estandoen laaplicacinPrincipalsedebe insertarelcomandoe indicarlea lacalculadora laexpresina lacualseaplicar la transformacin (asegreseque lacalculadoraestconfiguradaenmodo complejo), luego se debe indicar la variable con respecto a la cual setransforma la expresin y elparmetrode la transformada.Por ejemplo,paracalcularlatransformadadeFourierde sinlosdatosseingresancomomostramos en la figura 1 y 2, y son los siguientes:sin es la expresin atransformar, es la variable con respecto a la cual se transforma y es elparmetro. Una vez ingresada la informacin se presiona la tecla EXE y serealizarelclculo,figura3.

49


7.2 LatransformadadeFourierconelcomandofourierOtra forma de calcular la transformada de Fourier es utilizando el comandofourier, la aplicaremos nuevamente a la funcin sin . Para hacerlo,estando en la aplicacin Principal se debe escribir la siguiente sintaxis:fourier(sin(x),x,w,1),verfigura4yalpresionarlateclaEXEserealizarelclculo,figura5.

Figura4. Figura5.

Comosepuedeobservarenlasintaxis,sehaincorporadoelvalor1.Estevaloresunajustealatransformadayseeligedependiendoelcontextoenqueseutilice,

50

elvalor1correspondeconlamatemticapurayeselquelacalculadoradapordefault si no se elige algn otro. Se puede escoger los nmeros del 0 al 4 ycorresponden con 0 para Fsica Moderna, 1 con Matemtica Pura, 2 conProbabilidad,3conFsicaClsicay4conProcesamientodeSeales.

7.3 LatransformadainversadeFourierPara calcular la transformada inversa se utiliza el comando invFourier o laplantilla de la pestaa 2D del teclado virtual. Utilizaremos el comandoinvFourierparacalcular la transformada inversade la funcin 1 1 . Para ello, os la sintaxissiguiente:

estando en el men principal escribim

invFourier( , , , )

Notequeenestecasolavariableesyelparmetro,verlafigura6.

Figura6.AlpresionarlateclaEXEserealizarelclculoysemostrarelresultado,verlafigura7.

Figura7.

51

8.ELMTODODENEWTON(PROGRAMACIN)Una tarea comn en las escuelasde ingeniera omatemticas es el clculoderaces de una ecuacin de la forma 0 , donde es una funcindiferenciable. Por ejemplo, calculamos races cuando aplicamos la frmulageneralpara resolver ecuaciones cuadrticas.Por otraparte, existen funcionesquenopermitendeterminar sus races exactas,para lo cualhaymtodos queproducenaproximacionesdestas.UnodeestosmtodosesllamadoMtododeNewton,y su funcionamiento sebasaen lo siguiente:Ver la figura1, la razadeterminares,altrazarlatangenteaporelpunto, secortaalejedelasen,siacercamosa,pareceestarmscercade,yestevalorseempleacomounasegundaaproximacin.Calculandolapendientedelatangenteyutilizandolafrmuladelarectadadounpuntoysupendiente,sedeterminalaecuacindelatangenteydeellasedespeja.

Figura1.

Repitiendo el proceso se puede llegar a la frmula general para lasaproximaciones:

=

Frmula1.

53

8.1 ConstruyendoelprogramaNewtonAcontinuacinmostramosunaformadeprogramarelmtodoenlacalculadoraClasspad330.

Segn la frmuladelmtodo, la informacinquedeber recibir la calculadoraparaoperares:

a. Lafuncin cualseledeseaaplicarelmtod ala ob. Unvalorinicialyelnmerodeaproximaciones,.c. Conlosdatosdeentradaanteriores,lacalculadoradeberdeterminarlas

aproximaciones,por tantosenecesitarcrearuna funcinquebasadaenlafrmuladelmtododeNewtonproduzcaunaaproximacin.

d. Estafuncinserllamadarepetidamenteenelcuerpodelprogramaparaobtenernuevasaproximaciones,loscualesserndatosdesalida,juntoconelnmerodeiteracin.

8.2 DefiniendolafuncinNewtonIniciaremosatendiendoalincisocdelapartado1.1.

Para definir la funcin debemos acceder a la aplicacin Programa la cual se

identificaconelcono enelMenprincipal,alaccedersemostrarlafigura2.

Figura2.

54

Al tocar conel lpiz enel cono , semostrar la figura3,en la cualparaelcampoTipodeberelegir laopcinFuncin,enCarpetasepuedeconservar laopcinMain,lacualesellugarenqueseguardarelarchivoyfinalmenteenelcampoNombredeberescribirelnombredelafuncin,enestecasoesNewtonyluegosedebeelegirAcep.

Figura3.Conloanteriorsemostrarlaimagendelafigura4,enestaaplic insedefinelafuncincomosigue:

ac

Seindicaquparmetrorecibirlafuncin,lollamaremos,figura4.

Figura4.

Se introduce la operacin, la frmula del mtodo en trminos delparmetro,figura5.

Figura5.

55

eselparmetroevaluadoen la funcin f(x), la funcin fsedefinirenelcuerpo del programa. El comandoDiff(f(x), x,1,xn) calcula la derivada de lafuncin,conrespectoalavariable,laderivadaesdegrado1,yseevalaenelparmetro.Figura6.

Figura6.

Finalmente se asigna esta operacin a la funcin,para ello seutiliza elsmbolo localizadoenlapestaamth,deltecladovirtual(oenelmenCtrl),figura7.Elsmbolosecolocafrentealafrmulayacontinuacinseescribeelnombredelafuncindefinida,oseaNewton,figura8.

Figura7. Figura8.

Finalmente se presiona el cono , aparecer un mensaje preguntado si sedesean guardar los cambios, se debe elegir la opcin S, y con ello se habrdefinidolafuncin.Losiguienteesintroducirelcuerpodelprograma,peroestoesmateriadelapartadosiguiente.

56

8.3 ElcuerpodelprogramaNewtonA continuacin escribiremos elprograma. Estando en la aplicacin Programa,tocarelcono ,conelloindicaremosalacalculadoraquecrearemosunonuevo.En la opcin Tipo seleccionemos Progr.(normal), la opcin Carpeta laconservamosen main, y en Nombre del programa escribimos MeNewton yseleccionamosAcep.,figura9.

Figura9.Ahora introduciremos las instrucciones a la calculadora para que realice lasaccionesqueserequieren.Incisoadelapartado8.1Indicarlealacalculadoraquecuandoseejecuteelprogramapidaalusuarioqueintroduzcalafuncin.Antes de introducir comandos, indicaremos a la calculadora que limpie lapantalla (para borrar posibles residuos de programas ejecutados) y quetrabajaremosconnmerodecimales,paraestoseingresanenrenglonesdistintoslassiguientessentencias:ClrTextySetDecimal,figura10.

57

Figura10.

Para que la calculadora solicite introducir la funcin se utiliza el comandoInputFunc,elcualselocalizaenelmenE/SenEntradaverfigura11(tambinsepuedeescribirlasentenciaconlapestaaabcdeltecladovirtual).

Figura11.Lasintaxisparausarestecomandoeslasiguiente:

InputFuncNombredelafuncin,Cadena1,Cadena2

Paraelcasoconcretoquenosocupaquedarcomosigue:

InputFuncf(x),Introducelafuncin,MtododeNewton

58

Ver Figura 12, si el programa se ejecuta en este momento presionadoconsecutivamente los conos y , se mostrar una ventana en la cual lacalculadorapedirqueseintroduzcalafuncin,verfigura13.Lafuncinpuedeser introducida con las opciones de la pestaamth del teclado virtual de lacalculadoraoconeltecladofsico.

Figura12. Figura13.

Quelacalculadorapidaelvalorinicial()yelnmeroderepeticiones().Incisobdelapartado8.1

Aqu se requiere que la calculadora pida dos valores y los almacene en lasvariablesy,paraestoseutilizalafuncinInput,lasintaxises:

InputNombredelavariable,cadena1,Cadena2

oseaInputxn,Daelvalorinicial,MtododeNewton

yInputn,Cuntasiteraciones?,MtododeNewton,figura14.

Figura14.

59

Alejecutarestaetapadelprogramasemostrarnlaspantallasdelasfiguras15y16.

Figura15. Figura16.

Incisocdelapartado8.1Esteapartadosedesarrollpreviamenteenelapartado8.2.Incisoddelapartado8.1LlamarrepetidamentelafuncinNewtoncreadaenelapartado1.2paracalcularaproximacionesaunadelasracesdelafuncin.Para indicarle esta accin a la calculadora se puede usar cualquiera de loscomandosquepermitendefinirciclos.UsaremoselcomandoFor, lavariablen(nmeroderepeticiones)ydosvariablesauxiliares(AuxyRaz).Lasintaxisdelcomandoeslasiguiente:

ForcantidadParmetro1ToParmetro2StepParmetro3

Paraelcasoconcreto:

For1AuxTonStep1

Estosepodrainterpretarcomosigue:ParaAuxigualcon1,hastaquevalgan,yendo de uno en uno, hacer y en el siguiente rengln se indican lasinstruccionesquesedeseanejecutar.AlrepetiressecalculanaproximacionesalarazconlafuncinNewton,elvalorresultantesedebeasignaralavariableRaz,verfigura17.

60

Figura17.

Posteriormente se debe indicar a la calculadora que asigne al parmetroelnuevovalorde la raz,paraque se leconsidereen laprxima repeticinde lafuncinNewton,esoseindicaconlasentencia:Raz ,Verfigura18.

Figura18.

A continuacin, se debe pedir a la calculadora que muestre el nmero deiteracin,ylarazcalculadaenella.UsaremoselcomandoLocate,puespermitepresentar datos en coordenadas especficas de la pantalla. La sintaxis delcomando es Locate Ordenada, Abscisa, Parmetro. Introduciremos lassiguientessentencias:

Locate5,5,XnLocate30,5,Raz

61

Locate5,15Aux,AuxLocate20,15Aux,Raz

NextNexteslasentenciaconlaquecerramoselcicloFOR,verfigura19.

Figura19.

Finalmenteelprogramaestconcluido,presionamoselcono oelcono yguardamosloscambiosrealizados.

8.4 UtilizandoelprogramaMeNewtonAcontinuacinutilizaremoselprogramaMeNewtonparadeterminarunadelasracesde la funcin 5 4 13, elvalor inicial ser2y lasiteracionessern10.Solucin:alingresaralaaplicacinProgramasemostrarunentornosemejantealdelafigura20,enlasopcionesquemuestrandebernestarseleccionadascarpetamainyennombresedebermostrarMeNewton.Entoncessedeberejecutarelprogramadandountoqueenelcono .

62

Figura20.

Conestosemostrarelcuadrodedialogoquepideinserteslafuncin,lacualdeberseringresadaconeltecladodelacalculadoraoconlapestaamthdeltecladovirtual,figura21.

Figura21.

A continuacin se deber aceptar y posteriormente dar el valor inicial y elnmerodeiteraciones,figura22y23.

Figura22. Figura23.

Conestoelprogramaseejecutaryfinalizar(figura24),elegimosaceptarenelcuadro de dilogo que se muestre y luego podemos ampliar la pantalla deresultados del programa (con Resize) y mirar cada iteracin y su razcorrespondiente,figura25.

63

Figura24. Figura25.

En los resultados del programa se puede apreciar que a partir de la terceriteracin la raz se repite, e indica que es el valor a considerar. Hay variosmtodosmsparacalcularracesysepuedenimplementarenlaClassPad330.

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EstelibrofueimpresoenMxico,D.F.enelao2009.

CasioComputerCo.,Ltd.

http://edu.casio.com

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Presentacin1. OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS1.1 Configurando la calculadora para trabajar con nmeros complejos1.2 Conversin de un nmero complejo de su forma cartesiana a su forma exponencial1.3 Conversin de un nmero complejo de su forma cartesiana a su forma trigonomtrica1.4 Conversin de un nmero complejo a su forma cartesiana1.5 Suma y resta de nmeros complejos1.6 Multiplicacin de nmeros complejos1.7 Divisin de nmeros complejos1.8 Potenciacin de nmeros complejos

2. OPERACIONES CON MATRICESSuma y resta de matrices2.2 Multiplicacin de matrices2.3 Inversa de una matriz2.4 Valores y vectores propios

3. DERIVADAS Clculo de la derivada con la definicin3.2 Clculo de la derivada con el comando derivada 3.3 Derivadas de orden 2 o mayor3.4 Derivada implcita3.5 Derivadas parciales3.6 Clculo de derivada parcial con la definicin3.7 Clculo de la derivada con la plantilla /3.8 La regla de la cadena

4. INTEGRALESIntegracin indefinida4.2 Integracin definida4.3 Integracin numrica4.4 Integracin mltiple

5. ECUACIONES DIFERENCIALES Resolviendo ecuaciones diferenciales sin condicin inicial5.2 Ecuaciones diferenciales con condicin inicial5.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales5.4 Graficando una ecuacin diferencial de primer orden5.5 Condiciones iniciales y graficando curvas solucin de una ecuacin diferencial de primer orden

6. TRANSFORMADA DE LAPLACETransformada de Laplace de una funcin6.2 Transformada inversa de Laplace6.3 Transformada de Laplace de una ecuacin diferencial

7. TRANSFORMADAS DE FOURIERClculo de la transformada de Fourier7.2 La transformada de Fourier con el comando fourier7.3 La transformada inversa de Fourier

8. EL MTODO DE NEWTON (PROGRAMACIN)Construyendo el programa Newton8.2 Definiendo la funcin Newton8.3 El cuerpo del programa Newton8.4 Utilizando el programa MeNewton

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