classical-quantum analogies: su(1,1) and glauber photonic ... quantum... · bessel states as...

Classical-quantum analogies: SU(1,1) and Glauber photonic lattices

Héctor Moya-Cessa

EOM 2011

Instituto Nacional de Astrofísica, Optica y Electrónica

Tonantzintla, Pue.Mexico

Bessel states as nonlinearcoherent states

Infinite waveguides array: fibers

A. L. Jones, JOSA 55, 261-271 (1965)

EOM 2011

Weak coupling, interaction only with nearest neighbor: ( )1 1 0j

z j j

dEik E E

dz + −+ + =

Waveguidenumber

Waveguide

A beam injected into one of the waveguides in the array spreads to the

Discrete Diffraction

gnumber

y prest of them by wave coupling.

EOM 2011

This phenomenon has been referred to as DISCRETE DIFFRACTION

H.S Eisenberg et al, PRL 81, 3383 (1998)( )( ) ( ) 2j

j j zE z i J k z=

†

,

| 1|,

| 1 |,

|

n

n

n m

V n n

V n n

n m δ

∞

=−∞

∞

=−∞

= >< +

= + ><

< >=

∑

∑

Schrödinger like equation

EOM 2011

†| ( ) | ,

| |

z

jj

d Ei k V V EdZ

E E j∞

=−∞

>− = + >

>= >∑

Schrödinger-like equation

( )1 1 0jz j j

dEik E E

dz + −+ + =

†

†

( )

1( )

| ( ) | ,

| | (0)

|

z

z

z

ik V V z

k iV ziV

d Ei k V V Edz

E e E

e m

+

−

∞

>− = + >

>= >

= >†

| 1|,

| 1 |,

|

n

n

V n n

V n n

n m δ

∞

=−∞

∞

=−∞

= >< +

= + ><

< >=

∑

∑

EOM 2011

(2 ) |

| | (2 ) |

n nn z

n

nn z

n

i J k V m

j E j i J k m n

=−∞

∞

=−∞

= >

< >=< − >

∑

∑

,| n mn m δ< >=

( )( ) ( ) 2jj j zE z i J k z=

Non-linear coherent states –Susskind-Glogower phase operators

EOM 2011

0| ( )| ,

| | ,

nn

E t n

i Ht

ψ

ψ ψ

∞

=

>= >

∂ >= >

∂

∑† †

† †

1 1( ) ,H c V V c a aaa aa

⎛ ⎞= + ≡ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

| ( ) exp( )| (0)t iHtψ ψ>= − >

EOM 2011

EOM 2011

H. M.-C., P.L. Knight and A. Rosenhouse-Dantsker, Phys. Rev. A 50, 1814-1821 (1994). “PHOTON AMPLIFICATION IN A TWO-PHOTON LOSSLESS MICROMASER”

EOM 2011

Bessel states

EOM 2011

010 =+ E

ZdEdi

EOM 2011

Zd

01 11 =+++ −+ nnn EnEn

dZEdi

( )( ) )0(exp)( ψψ ++= aaiZz )(ZmEm ψ=

kaZiaZimZEm )exp()(exp)2/exp( 2 +−=

1( ) ( )n na x n xψ ψ −=see Arfken

EOM 2011

1],[ =+aa| | 1a n n n>= − >

1( ) 1 ( ),

| 1 | 1n na x n x

a n n n

ψ ψ++

+

= +

>= + + >

)()!(

!)()2/(exp)( 22 ZLsk

kZiZZE sk

ssk +

−=+

)(!

)!()()2/exp()( 22 ZLk

skZiZZE ssk

ssk −−

−−=

EOM 2011

Optics Communications(2011)

f(n)

EOM 2011

SU(1,1) algebra

†02 lncoshtan tan| ( ) | (0)A Zi ZA i ZAz e e eψ ψ−>= >

EOM 2011

| ( ) | ( )ψ ψ

Optical realization of a quantum beam splitter

R. Mar Sarao (INAOE)

OPTICS LETTERS 33, 1966 (2008).

EOM 2011

R.A. Campos, B.E.A. Saleh, and M. C. Teich, Phys. Rev. A 40, 1371 (1989).

EOM 2011

Splitting in a 50:50 beam splitter

EOM 2011

Paraxial wave equation

Consider the copropagation of two beams, probe and signal, in a Kerr medium. The probe beam produces the index of refraction

EOM 2011

If the probe beam has a Gaussian profile, Is astigmatic and slightly tilted,a term xy is produced

S. Chávez-Cerda, J.R.Moya-Cessa, and H. Moya-Cessa, J. of the Opt. Soc. of Am. B 24, 404-407 (2007).

† †, , , ,2 2

q qq q q q q

q ip q ipa a n a a q x y

+ −= = = =

EOM 2011

1 1 2 0 0 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x u y u x u y u x u y→ +

2 2q q q q q

221 ( )qI

• •⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

2 ( ) 0q t q••

+Ω =

Classical time dependent HO

Ermakov-Lewis invariant

Optical realization of a quantum invariant

EOM 2011

2( ) ,2

qI q qρ ρρ

⎛ ⎞⎢ ⎥= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2 3( ) 1/tρ ρ ρ••

+Ω =Ermakov equation

Lewis, PRL (1967).

( )2

2ˆ1ˆ ˆ ˆ2

qI p qρ ρρ

⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Squeezing & Displacement

Translation to quantum

( )2 2 21 ˆ ˆ( )2

H p t q= +Ω

EOM 2011

2ln ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 22ˆ ˆ i qi qp pqS e D e

ρρρ

•

−+= =

H. Moya-Cessa and M. Fernández GuastiPHYSICS LETTERS A 311, 1 (2003).

| |i Htψ ψ∂ >

= >∂

2 2†

0 0 2

ˆ ˆ| 1 1| , ( )( ) 2 2

ˆ ˆ

p qi H H t a at tq ip

ϕ ϕ νρ

∂ > + ⎛ ⎞= > = ≡ +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠+

ˆ ˆ ˆ| | |SD Tψ ϕ ϕ>= >≡ >

EOM 2011

2q ipa +

=

Time dependence nowas a factor

† 1ˆ| ( ) exp ( ) | (0)2

t T i dt t a aψ ν ψ⎧ ⎫⎛ ⎞>= − + >⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭∫

Paraxial wave equation

Suponemos ahora dos medios GRIN pegados

EOM 2011

GRaded INdex referring to an optical material with refractive index in the form of a parabolic curve, decreasing from the center towards the cladding.

EOM 2011

2 2 2 2 2 2 21 1 1 1( , ) ( , ) ( ),k x y k x y x y z Lβ ν μ= = − + <

2 2 2 2 2 2 22 2 2 2( , ) ( , ) ( ),k x y k x y x y z Lβ ν μ= = − + >

2 2 22 2 2 ( )( ) ( )2 2

yx p z yp z xEi g z Ez

μν⎧ ⎫⎛ ⎞+⎛ ⎞+∂ ⎪ ⎪= − − +⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

22 1 0( )

z zνν

⎧ <⎨

EOM 2011

,x yd dp i p idx dy

= − = −

2 1 022 0

22 1 0

22 0

21 022 0

( )

( )

( )

zz z

z zz

z z

z zg z

z z

νν

μμ

μ

ββ

= ⎨>⎩

⎧ <= ⎨

>⎩⎧ <

= ⎨>⎩

2 2 22 2 2 ( )( )2 2

yx p z yp z xiz

μνε ε⎧ ⎫⎛ ⎞+⎛ ⎞+∂ ⎪ ⎪= − − ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

( )i g z dzE e ε− ∫=

2ln wi ρρ•

EOM 2011

w w wT S D=

2ln ( ) 22 , ,ww

w ww

i wi wp p w

w wS e D e w x yρρρ

−+= = =

22 3

2 ( ) 1/xx x

d zdzρ ν ρ ρ+ =

22 3

2 ( ) 1/yy y

dz

dzρ

μ ρ ρ+ =

x yTTε ξ=

1 2( 0) ( ) ( )z G x G yε = =

1 22 2

1 1( ) exp ( ) ( ) exp ( ) ( )dz dzz T i N G xT i N G yε⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∫ ∫

EOM 2011

1 22 2( ) exp ( ) ( ) exp ( ) ( )( ) 2 ( ) 2

x y

x x y yz T i N G xT i N G yz z

ερ ρ

+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

H. MOYA-CESSA, M. Fernández Guasti, V.M. Arrizon and S. Chávez-Cerda, Opt. Lett. 34, No. 9, 1459-1461 (2009), “OPTICAL REALIZATION OF QUANTUM MECHANICAL INVARIANTS.”

Funciones de cuasi-probabilidadUna probabilidad clásica P(q,p) puede escribirse como

´´´)´,(´)(´)(),( dpdqpqPppqqpqP −−= ∫ δδ

( )d dddP

dpdudvdqpqPeepqP

uipviqivqiup

qqivppiu

´´´)´(1

´´´)´,(4

1),(

´´

´)(´)(2

−−

−−

∫∫

∫=π

EOM 2011H. Moya-Cessa 1

( )dudvdpdqeepqPee uipviqivqiup ),(4 2 ∫∫=π

>< +− )´´( upvqieAplicamos aquí el principiode correspondencia.

}ˆ{ )ˆˆ( qvpuieTr +−ρρ es la matriz de densidadρ=|ψ><ψ|.

La traza la podemos realizar sobre cualquier base: estados denúmero

Estados coherentes

∑∞

=

+−+− ><=0

)ˆˆ()ˆˆ( |ˆ|}ˆ{k

qvpuiqvpui neneTr ρρ

><= +−+− ∫ αρααρ |ˆ|}ˆ{ )ˆˆ(2)ˆˆ( qvpuiqvpui edeTr


Eigenestados de posición

><= +−+− ∫ qeqdqeTr qvpuiqvpui |ˆ|}ˆ{ )ˆˆ()ˆˆ( ρρ

piuqivuviqvpui eeee ˆˆ2)ˆˆ(ˆ −−−+− =ρ

Notemos que la exponencial se desenlaza de la forma

Donde hemos aplicado el teorema de Baker-Hausdorff

>−>=−>= −−−−− uqeuqeqee uqivqivpiuqiv ||| )(ˆˆˆ

2

)ˆˆ()ˆˆ(

||

|ˆ|}ˆ{uviivq

qvpuiqvpui

euqqedq

qeqdqeTr

>−><<=

><=

−

+−+−

∫

∫ψψ

ρρ


∫Haciendo la transformación q=x+u/2

>−+<= −+− ∫ 2||

2}ˆ{ )ˆˆ( uxuxedxeTr ivxqvpui ρρ

dudvdxeuxuxpqWpqP vxvqupi∫ ∫ ∫ −+>−+<== )(2 2

||24

1),(),( ρπ

Integrando en v

dudxeqxuxuxpqW iup∫ ∫ −>−+<=

1

)(2

||22

1),( δρπ


dueuquq iup∫ >−+<=2

||22

1 ρπ

Haciendo u=-x obtenemos la forma usual de la función de Wigner

dxexqxqpqW ixp∫ −>+−<=2

||22

1),( ρπ

)(|||

)(2

||2

2||

221),(

2 qPq

dxxxqxq

dpdxexqxqdppqW ixp

=><=

>+−<=

>+−<=

∫

∫ ∫∫ −

ψ

δρ

ρπ

H i d /2


dyyeeeey

dyeyeeypqW

qippiqpiqqip

ypipiqpiq

∫

∫

>−<=

>−<=

−−

−−

||1

||1),(

ˆˆˆˆ

2ˆˆ

ρπ

ρπ

Haciendo y=x/2

∑∞

+ |)(ˆ)(ˆ|)1(1)( k kk

{ })(ˆ)(ˆ)1(1

|)1(|1),(

ˆ

ˆˆˆˆˆ

αραπ

ρπ

DDTr

dyyeeeeypqW

n

qippiqpiqqipn

+

−−

−=

>−<= ∫


∑=

+ ><−=0

|)(ˆ)(ˆ|)1(1),(k

k kDDkpqW αραπ

Superposición de estados coherentes

W

W


W W

Estado coherente

Estado comprimido

∑∞

=

><−−=0

,||,)1(1)(n

n nnW αραπ

α

Reconstrucción de la función de onda del

campo EM en una cavidadINTRODUCCION: Formas para reconstruir la función de Wigner

están basadas en la forma


Donde ρ es la matriz de densidad y |α,n> son Estados de número desplazados.

La función de Wigner function para la superpositción b0 |0>+(1-b0

2)½ |1>, con b0=0.2 se ve como

220

00

|1|,1

0|,|)1(1)(

><−+

><−−= ∑∞

=

nb

nbWn

nqubit

α

απ

α

La distribución de fotones para el estado de número desplazado |2,30>


De esta forma términos como<0|2,30> y <1|2,30>

tienen contribuciones apreciables

220

00

)( |1|,10|,|)()( ><−+><=∑∞

=

nbnbWn

ns

squbit ααμα

Consideremos la distribución

EOM 2011 H. Moya-Cessa10

con μs < 1, tal que μs30 << 1

Implicaría errores en la reconstrucción de lafunción de Wigner.

Consideraremos el siguiente sistema (que incluye pérdidas).


λγ <<

( ),ˆˆˆˆˆˆˆˆ21

0+

−++ +++= aaaaH zeg σσλσωω

,eg 0ω−ω=δ

λδ >>

El hamiltonianos para la interacción átomo-campo es

definimos

C l di ió


,λδ >>

,ˆnˆaaH zzeffI σχ=σχ= +

λδλχ <<= 2

Con la condición

Obtenemos la interacción conocida como “dispersiva”

,ˆˆ]ˆ,[ˆ ρρρ RH effI

idtd +−=

ˆ +++

La ecuación maetsra (que incluye pérdidas es)

donde:


,ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2ˆ aaaaaaR +++ −−= ργργργρtal que

( ) .ˆJLdtˆd

ρ+=ρ

S.M. Dutra obtiene esta ecuación usando un principio de crrespondencia (lo que es válido para estados coherentes –cuasiclásicos- es válido para todos los campos. Eur. J. Phys. 18, 194 (1997).

,aaˆˆâaˆˆL +++ Γρ−ρΓ−=ρ

,ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ ρρ JSLJ Γ−=

,îIˆ zA σχ+γ=Γ .ggeeI A +=

con

y

,aâˆJ +ργ=ρ 2

.ˆˆˆˆˆS +Γ Γρ+ρΓ=ρ


Esta ecuación tiene una solución formal dada por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).0ˆ0ˆˆ ˆˆˆˆˆ ρρρ JtftLtJL eeet == +

( ) ,ˆ1ˆ

ˆ

Γ

− Γ−=

Setf

tS

con

( ) ( ) ,)0(0 21

Fge ψψ +=

Consideremos el átomo en una superposición de estados base y excietado y el campo arbitrario

midiendo el átomo cuando sale de la cavidad obtendremos infromación del campo


[ ] [ ][ ] ,ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

0mmRRTr

RRTrTr

zRm

Z

Zxx

σρσρ

σρσρσ

Σ∞

=

+

+

==

==

p

Haciendo las cuentas obtenemos

><>=< ∑∞

=nnn F

n

nx ,|)0(|,)cos(

0αραθμσ


Donde μ y θ son funciones de la constante de interacción,la constante de pérdidas y el tiempo.

><

>=<

+

∞

=∑

nDDn

n

F

n

nx

|)()0()(|

)cos(0

αρα

θμσ


Hacemos =- , tal que

><−>=< ∑∞

=nn F

n

nx ,|)0(|,)(

0αραμσ


Funciones de cuasi-probabilidad

><−+

∑∞

=nn

sssF F

n

n ,|)0(|,)11(~);(

0αραα

Ver por ejemplo: H Moya-Cessa and P L Knight Physical Review A 1993


Ver por ejemplo: H. Moya Cessa and P.L. Knight, Physical Review A, 1993.

s=0 Función de Wigner

s=1 Función de Glauber-Sudarshan P

s=-1 Función Q de Husimi

Estas funciones pueden ser usadas para el cálculo demomentos de los operadores de creación y aniquilaciónY por lo tanto de posición y momento generalizados.

kmkm sFdaa )()1;()( *2 αααα −=>=< ∫+


>< xsF σα ~);(

)(sμμ =

R. Juarez-Amaro and H Moya Cessa Phys


H. Moya-Cessa, Phys.Rev. A68, 023802 (2003).

Conclusiones

Hemos visto la cuantización del campo electromagnético, algunosestados que pueden ser generados en este sistema, y una forma de medirlo usando funciones de cuasi-probabilidad, las cuales hemos introducido usando el principio de correspondencia, en particular la función que introdujo Wigner en 1932


función que introdujo Wigner en 1932. Se ha intentado a través de este curso el hacerlo lo más auto

contenido posible, a través del mismo se dan pocas referencias, las cuales contienen referencias a primeros trabajos del tópico. Copia del curso pueden ser obtenidos en la página:

http://speckle.inaoep.mx/QOII/curso1.pfdhttp://speckle.inaoep.mx/QOII/curso2.pfd

classical-quantum analogies: su(1,1) and glauber photonic ... quantum... · bessel states as...

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