clases uni callao2010 (mf)(fin)

Diplomado

“Gestión Financiera

de Empresas”

Universidad Nacional del Callao

Curso

“Matemática Financiera”

Universidad Nacional de Ingeniería

ESTRUCTURA DEL CURSO

¨ FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS¨ VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO¨ SOPORTE MATEMATICO DE DECISIONES

FINANCIERAS¨ APLICACIONES BANCARIAS Y

COMERCIALES

Parte I :

Fundamentos de Matemáticas

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

¨ Función Exponencial¨ Función Logarítmica¨ Progresión Aritmética¨ Progresión Geométrica¨ Progresión Geométrica Infinita

FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS

• Función Exponencial:

Propiedades:• x e R (números reales)

• N=bx >0• b0=1• b1=b• bm.bn=bm+n

• bm/bn=bm-n

• (bm)n=bm.n

• am.bm=(a.b)m

• am/bm=(a/b)m

nn bb /1

n mn

m

bb

Ejemplos:

Casos Especiales:

base

ExponentexbN

FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS

xby Propiedades:

• N>0• x e R (números reales)

• Logbb=1• Logb1=0• Logb(P.Q)=LogbP+LogbQ• Logb(P/Q)=LogbP-LogbQ• Logb(P)n=n.LogbP

Ejemplos:

base

antilogaritmo

xby Nx blog

Logaritmo

Casos Especiales:

PP loglog10

PPe lnlog (Logaritmo natural o neperiano)

(Logaritmo de base decimal)

• Función Logarítmica:

• Si b=10

• Si b=e ; e=2,718281…

FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS• Progresión Aritmética:

xby Fórmulas:

Ejemplos:

xby ))1((...)3()2()( dnadadadaaS

“n” términos

Variables: • a Primer término de las serie • d Razón o diferencia aritmética• n número de términos de la serie• S Suma de la serie

dkaak ).1(

n

dnan

dnaaS .

2).1(2

.2

).1(

• Progresión Geométrica:

xby Fórmulas:

Ejemplos:

xby )(...)()()( 132 naqaqaqaqaS

“n” términos

Variables: • a Primer término de las serie • q Razón geométrica• n número de términos de la serie• S Suma de la serie

1. kk qaa

11

.1.. 1

qq

aq

aqqaS

nn

1q; donde

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS• Progresión Geométrica Infinita:

xby Fórmulas:

Ejemplos:

xby ....)(...)()()( 132 kaqaqaqaqaS

“Infinitos términos”

Variables: • a Primer término de las serie • q Razón geométrica• S Suma de la serie

qa

qq

aSn

nn

111

.limlim

10 q; donde

Parte II :

Valor del Dinero en el Tiempo

Universidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ingeniería Económica y Ciencias Sociales

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

¨ Definición de Interés¨ Cálculo del Interés y Capitalización¨ Tipos de Interés¨ Diagramas de Flujo de Caja¨ Valor Presente y Futuro¨ Tasas de Interés¨ Anualidades Uniformes¨ Anualidades Variables (Gradientes)

¨ Definición de Interéso Frases: “El dinero crea dinero”

“El tiempo es oro”o El interés es la cantidad pagada por el uso

del dinero obtenido en préstamo o la cantidad producida por la inversión del capital en un momento dado de tiempo.



o El monto del interés depende de:La magnitud del capital prestado.La tasa de interés.El tiempo de duración de la operación.El riesgo del negocio donde se invierte

el capital prestado.Las variables de carácter económico,

político, y social que influyen en el riesgo del negocio.


Principal Principal

Interés

Momento de aperturade la cuenta

Momento de cierrede la cuenta

Mo

nto

inic

ial

Mo

nto

Fin

al

Horizonte Temporal

¨ Cálculo del Interés

iPI Principal o monto inicial

Tasa de interés

Interés


¨ La capitalización, es una Ley financiera que, aplicada a un determinado capital en un momento dado, produce un nuevo valor en un momento futuro.

IPS Stock o monto final


¨ Tipos de Interés:


o Interés Simple

Es aquel cuyo cálculo se hace en función del principal o capital inicial; es decir, los intereses devengados en un período no ganan intereses en el período siguiente.

Fórmulas:

Ejemplos:

niPI niPIPS 1


o Interés Compuesto

Es aquel cuyo cálculo se hace no sólo en función del principal, sino que los intereses obtenidos en un período ganan intereses en el período siguiente; es decir; los intereses se capitalizan.

Fórmulas:

Ejemplos:

niPS 1

11 niPPSI

Deducción:


o Interés Continuo

Al igual que en el interés compuesto el principal y los intereses se capitalizan, pero el periodo de capitalización es el más pequeño posible.

Fórmulas:

Ejemplos:

niePS

1 niePPSI

; donde e=2,718281…


Monto del Principal 5,000.00 S/.

Tasa de Interés 10.0% mensual

Tipo de Interés

Simple Compuesto Continuo

1 5,500.00 5,500.00 5,525.852 6,000.00 6,050.00 6,107.013 6,500.00 6,655.00 6,749.294 7,000.00 7,320.50 7,459.125 7,500.00 8,052.55 8,243.616 8,000.00 8,857.81 9,110.597 8,500.00 9,743.59 10,068.768 9,000.00 10,717.94 11,127.709 9,500.00 11,789.74 12,298.02

10 10,000.00 12,968.71 13,591.4111 10,500.00 14,265.58 15,020.8312 11,000.00 15,692.14 16,600.58

Mes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


Comparativo de Tipos de Interés: Caso I


Monto del Principal 100.00 S/.

Tasa de Interés 90.1% anual

Tipo de Interés


0 100.00 100.00 100.000.25 122.53 117.42 125.270.50 145.06 137.88 156.930.75 167.59 161.91 196.581.00 190.12 190.12 246.261.25 212.65 223.25 308.491.50 235.18 262.15 386.44

Año

0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50


Comparativo de Tipos de Interés: Caso II

¨ Diagrama de Flujo de Cajao La evaluación de la conveniencia de una

alternativa de financiamiento o inversión, se suele realizar en términos de su flujo de caja, el cual se entiende como el conjunto de ingresos y egresos de dinero que se generarán en el tiempo por elegir tal alternativa.


o El flujo de caja se suele representar en un diagrama, donde los ingresos se indican por flechas hacia arriba y los egresos por flechas hacia abajo, siendo el tiempo representado por una línea horizontal.

Por ejemplo:


0 1 2 3 4

-5 000

1 5002 500

6 000

-500


¨ Equivalencia del Dinero en el TiempoEn un sentido más general, la frase valor del dinero en el tiempo, se refiere al hecho de que una unidad monetaria en la mano vale hoy más que una unidad monetaria prometida en algún momento del futuro.

Los teóricos de las matemáticas financieras diseñaron una serie de formulas que ayudan al usuario no solamente a encontrar la equivalencia entre diversas cantidades ubicadas en diferentes momentos del tiempo, sino también la tasa de interés o el tiempo que las puede hacer equivalentes.

Para expresar las fórmulas utilizaremos los siguientes símbolos y criterios:

P = valor presente o principal de un préstamo o inversión. Se supone ubicado al principio, o momento cero (0), con respecto a los demás periodos Considerados.

S = valor futuro o valor acumulado al final de un determinado número de Periodos de tiempo.

i = tasa de interés periódica.

n = número de periodos ( meses, trimestres, semestres, años, etc.)

Las alternativas que se pueden presentar y las respectivas fórmulas a utilizar para su manejo, son las siguientes:


¨ Valor Presente y Futuroo A Interés Simple

niPS 1

niSP

11

Aspectos importantes:

Valor Futuro:

Valor Presente:

Ejemplos:


¨ Valor Presente y Futuroo A Interés Compuesto

niPS 1Valor Futuro:

niSP 1Valor Presente:

Ejemplos:

Factor Simple de Capitalización

Factor Simple de Actualización


¨ Tasas de Interés del Sistema Financieroo Tasa Nominal y Proporcionalo Tasa Efectiva y Equivalenteo Tasa Vencida y Adelantadao Tasa Activa y Pasivao TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEXo Tasa Compensatoria y Moratoriao Tasa Discreta y Continuao Tasa de Interés Realo Tasa de Interés en Moneda Extranjera y Devaluacióno Tasa Explícita e Implícita


o Tasa NominalLa tasa de interés nominal es una tasa referencial que no incorpora capitalizaciones.

Se aplica directamente a operaciones de interés simple.

Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) “m” veces en un período de tiempo, ya sea para ser expresada en otra unidad de tiempo (en interés simple) o como la tasa efectiva de ese período de tiempo para ser capitalizada “n” veces (en interés compuesto), siendo “m” el número de capitalizaciones del período .


o Tasa ProporcionalUna vez elegida la unidad de tiempo con la cual se realizarán los cálculos financieros, se determina la fracción o proporción de la tasa nominal correspondiente.

Para una tasa nominal en el régimen de interés simple, existen diversas tasas proporcionales.

Tasa Nominal Tasa Proporcional( tasa nominal )

(multiplicar o dividir o regla de tres simple)

En Interés Simple


o Tasa ProporcionalBajo el régimen de interés compuesto, sólo existe

un periodo capitalizable, por tanto la tasa proporcional hallada es única y se considera como la tasa efectiva del período capitalizable.

Tasa Nominal ( j ) Tasa Proporcional ( i )( tasa efectiva )

(multiplicar o dividir o regla de tres simple)

En Interés Compuesto

mj

i Es decir: donde,

número de capitalizaciones del período

Plazo de la Tasa NominalPlazo del período capitalizable

=m

Ejemplos:


o Tasa EfectivaLa tasa de interés efectiva (ief) es la verdadera tasa

de rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera.

En muchas operaciones financieras la tasa efectiva suele estar oculta por diversos mecanismos operacionales; sin embargo, para la empresa, esta tasa es la de mayor relevancia en la elección de alternativas financieras.

Es decir:

inicial

inicialfinalef C

CCi


o Tasa EquivalenteSi una tasa efectiva (ief) puede convertirse en otra

tasa efectiva (ief’) de diferente plazo, se le denomina tasa equivalente.

Dos o más tasas efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal.

11' Hfefef iiEs decir:

donde: f : plazo de la tasa equivalente (ief’)H: plazo de la tasa efectiva (ief)

Ejemplos:


o Tasa Vencida y Adelantada Una tasa de interés se llama vencida si la

liquidación se hace la final del período. Si no se especifica el término vencido, debe sobreentenderse que la tasa es vencida.

Una tasa de interés es adelantada cuando su liquidación se hace al principio del período, y permite conocer el importe que debe deducirse del valor nominal de un título valor que vence en el futuro.

0 1


o Relación entre la Tasa Vencida y Adelantada:S/. 1

1-ia

ia

iv

S/. 1

período 111 va ii 111 va ii

v

va i

ii

1 a

av i

ii

1Ejemplos:


o Tasa Activa y Pasiva La tasa activa, expresada generalmente en

términos efectivos, se aplica a las colocaciones efectuadas por los Bancos e instituciones financieras a sus clientes por créditos de corto, mediano y largo plazos.

Las tasas pasivas corresponden a las captaciones que los Bancos e instituciones financieras reciben del público a través de cuentas corrientes, ahorros, depósitos a plazo, emisión de certificados y bonos. Se expresan generalmente en términos efectivos con una frecuencia de capitalización determinada.


o Tasa Activa y PasivaBalance Bancario

Activo Pasivo

Operaciones activas Operaciones pasivas

Préstamos Cuentas corrientesDescuentos AhorrosSobregiros Depósitos a Plazo

etc. etc.

Tasa activa Tasa pasiva

TAMN TIPMNTAMEX TIPMEX

Tasa que cobran las empresas financieras

Tasa que pagan las entidades financieras

Expresada en términos efectivos Expresada en términos efectivos


o TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEX

A partir del 11 de marzo de 1991 el Banco Central de Reserva del Perú utiliza la siguiente terminología para las operaciones activas y pasivas que efectúan las entidades del Sistema financiero nacional:

TAMN : Tasa de interés activa promedio en moneda nacional. TAMEX : Tasa de interés activa promedio en moneda extranjera. TIPMN : Tasa de interés pasiva promedio en moneda nacional. TIPMEX : Tasa de interés pasiva promedio en moneda extranjera.


o Tasa Compensatoria y Moratoria La tasa de interés compensatoria constituye

la contraprestación por el uso del dinero o de cualquier otro bien. En operaciones bancarias está representada por la tasa activa para colocaciones y la tasa pasiva por captaciones.

La tasa de interés moratoria constituye la indemnización por incumplimiento del deudor en el reembolso del capital y del interés compensatorio en las fecha pactadas. El deudor incurre en mora a partir del día siguiente de la fecha de vencimiento de una cuota no cancelada. Ejemplos:


o Tasa con Capitalización Discreta y Continua La tasa de interés con capitalización discreta

es una tasa nominal cuyo plazo de capitalización es un período de tiempo definido, sea anual, trimestral, mensual e incluso horas y minutos.

La tasa de interés con capitalización continua es una tasa nominal cuyo plazo de capitalización se hace cada vez más pequeño y tiende a infinitos períodos y, por tanto, incrementa la tasa efectiva.

Ejemplos:


o Tasa de Interés RealLa tasa de interés real mide en que grado la

inflación, o aumento generalizado y sostenido en el nivel de precios, distorsiona el valor nominal de una tasa de interés.

11

1

efi

r

donde: r : Tasa de interés realp: Tasa de inflación Ejemplos:


o Tasa de Interés en Moneda Extranjera y Devaluación

La rentabilidad (o pérdida) de un depósito en moneda extranjera estará en función de la tasa de interés que se perciba por él y la devaluación (o revaluación) del sol con respecto a dicha moneda.

111 tdii memn

donde: imn : Tasa de interés en moneda nacionalime : Tasa de interés en moneda extranjeratd : Tasa de devaluación

Ejemplos:


o Tasa Explícita e Implícita Una tasa de interés explícita es una tasa

anunciada en las operaciones mercantiles y financieras.

La tasa implícita o tasa interna de retorno (TIR) no figura expresamente en la operación financiera o mercantil, pera está oculta en el costo total cuando se compara un precio de contado con un precio a crédito generalmente más elevado, o cuando un préstamo debe cancelarse en varias cuotas.Ejemplo:


¨ Anualidades:o Definición de Anualidad Una anualidad es un conjunto de dos o más flujos de

igual monto, equidistantes en el tiempo. El intervalo de tiempo entre los flujos no es necesariamente un año, puede ser semestral, mensual, diario, etc.

El importe de cada flujo es denominado renta, constituyendo el conjunto de rentas una anualidad.

Son ejemplos de anualidades: las cuotas de un crédito, pago de dividendos, primas de seguros, los sueldos, pensiones de enseñanza, entre otros.


¨ Anualidades:o Anualidades Ciertas: Son aquellas cuyas condiciones se conocen de

antemano (horizonte temporal, períodos de renta, etc) y se establecen previamente por contrato entre el deudor y acreedor.

oClasificación:

T em p ora l P erp e tua

V en cida A nticip ada D ife rida

A nu a lidadC ie r ta


¨ Anualidades:Anualidades TemporalesCuando el horizonte temporal de la anualidad es un plazo determinado.Vencidas, cuando las rentas se inician al final de

cada período de renta.Anticipadas, cuando las rentas se inician al

comienzo del período.Diferidas, las rentas se inician después de un

determinado número de períodos de renta, plazo en el cual el capital inicial se va capitalizando.


¨ Anualidades:Anualidades Temporales Vencidas

Cálculo del Monto o Valor Futuro (S)

ii

RSn 11

S

R R R R . . . . . . . . . . . R

0 1 2 3 4 . . . . . . . . . . . n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


donde:

S : Monto o valor futuro de la anualidadR : Rentai : Tasa de interés del período capitalizablen : número de periodos

Factor de Capitalizaciónde la Serie


¨ Anualidades:Anualidades Temporales Vencidas

Cálculo del Valor Presente (P) P

R R R R . . . . . . . . . . . R

0 1 2 3 4 . . . . . . . . . . . n

ii

Rii

iRP

n

n

n )1(1

1

11

donde:P : Valor presente de la anualidad Factor de Actualización

de la Serie Ejemplos:


¨ Anualidades:Anualidades Temporales Anticipadas


ii

iRaSn 11

1

donde:Ra : Renta Anticipada

S

Ra Ra Ra Ra Ra . . . . . . . . Ra

0 1 2 3 4 . . . . . . . n-1 n


¨ Anualidades:Anualidades Temporales Anticipadas

Cálculo del Valor Presente (P)

ii

iRaii

iiRaP

n

n

n )1(11

1

111

donde:P : Valor presente de la anualidadRa: Renta anticipada

P

Ra Ra Ra Ra Ra . . . . . . . . Ra

0 1 2 3 4 . . . . . . . n-1 n

Ejemplos:


¨ Anualidades:Anualidades Temporales Diferidas (Vencidas)


ii

RSkn 11

S

R R . . . . . . . . . . . R

0 1 2 3 4 . . . . . . . . . . . n

diferido (“k” períodos)

donde:k : Plazo diferido


¨ Anualidades:Anualidades Temporales Diferidas (Vencidas)

Cálculo del Valor Presente (P)

kkn

k

kn

kn

iii

Riii

iRP

1

)1(11

1

11 )(

donde:P : Valor presente de la anualidadk : Plazo diferido

P

R R . . . . . . . . . . . R

0 1 2 3 4 . . . . . . . . . . . n


Ejemplos:


¨ Anualidades:Anualidades PerpetuasCuando el horizonte temporal de la anualidad no está determinado, siendo los flujos de caja una sucesión constante e infinita.Vencidas, cuando las rentas se inician al final de

cada período de renta.Anticipadas, cuando las rentas se inician al

comienzo del período.Diferidas, cuando las rentas se inician después

de un determinado número de períodos de renta.


¨ Anualidades:Anualidades Perpetuas Vencidaso Cálculo del Valor Presente (P)

iR

P donde:P : Valor presente de la renta perpetua

P

R R R . . . . . . . . . R . . . . . . . . . ∞

0 1 2 3 . . . . . . . . . n . . . . . . . . . ∞


¨ Anualidades:Anualidades Perpetuas Anticipadaso Cálculo del Valor Presente (P)

i

iRaP

1

P

Ra Ra Ra Ra . . . . . . . . . Ra . . . . . . . . . ∞

0 1 2 3 . . . . . . . . . n . . . . . . . . . ∞

donde:P : Valor presente de la renta perpetua


¨ Anualidades:Anualidades Perpetuas Diferidaso Cálculo del Valor Presente (P)

P

R . . . . . . . . . R . . . . . . . . . ∞

0 1 2 3 . . . . . . . . . n . . . . . . . . . ∞


kiiR

P 1donde:P : Valor presente de la renta perpetuak : Plazo diferido

Ejemplos:


¨ Anualidades Variables:o Gradiente En una anualidad vencida cuyas rentas consecutivas

varían de acuerdo con una ley predeterminada, se denomina gradiente a la diferencia entre el importe de cualquier renta a partir de la segunda y la anterior.

En el caso de un comportamiento geométrico tenemos un gradiente geométrico y en el caso de un comportamiento aritmético tenemos un gradiente aritmético.


¨ Anualidades Variables:Gradientes Geométricos

Si los capitales son crecientes o decrecientes en un determinado porcentaje con respecto al inmediato anterior entonces estamos frente a un gradiente geométrico.


¨ Anualidades Variables:Gradientes GeométricosoCálculo del Monto o Valor Futuro (S)

nn gigi

RS

11

R.(1+g)n - 1 S

R.(1+g)3

R.(1+g)2

R.(1+g)R

0 1 2 3 4 n


¨ Anualidades Variables:Gradientes GeométricosoCálculo del Valor Presente (P)

n

ig

giR

P11

1

P R.(1+g)n - 1

R.(1+g)3

R.(1+g)2

R.(1+g)R

0 1 2 3 4 n

0 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50


Ejemplos:


¨ Anualidades Variables:Gradientes Aritméticos

Si los capitales son crecientes o decrecientes en una determinado cantidad con respecto al inmediato anterior, estamos frente a un gradiente aritmético.


¨ Anualidades Variables:Gradientes AritméticosoCálculo del Monto o Valor Futuro (S)

nii

iG

ii

RSnn 1111

R+(n-1)G S

R+3GR+2G

R+GR

0 1 2 3 4 n


¨ Anualidades Variables:Gradientes AritméticosoCálculo del Valor Presente (P)

nn

n

n

n

i

n

ii

iiG

ii

iRP

11

11

1

11

P R+(n-1)G

R+3GR+2G

R+GR

0 1 2 3 4 n

Ejemplos:

Parte III :

Decisiones de Financiamiento e

Inversión

Universidad Nacional del Callao Ingeniería

DECISIONES DE FINANCIAMIENTO E INVERSION

¨ Sistemas de Amortización¨ Valorización de Bonos y Acciones¨ Criterio del Valor Presente Neto¨ Criterio de la Tasa Interna de Retorno (TIR)

¨ Sistemas de AmortizaciónAmortización

Es el proceso financiero mediante el cual una deuda u obligación y el interés que genera se extinguen de manera progresiva por medio de una serie de pagos parciales.

Los sistemas de amortización más utilizados son:• Cuotas uniformes (método francés)• Amortización constante (método alemán)• Interés constante (método inglés)


¨ Sistemas de AmortizaciónCuotas Uniformes (método francés)Monto de Préstamo : S/. 5 000

Tasa de interés (TEA) : 9%

Plazo : 5 años


1)1(

)1(0 n

n

iii

PRCálculo de la Cuota:

Año Saldo Amortización Interés Cuota

Deuda Total

0 5,000.00

1 4,164.54 835.46 450.00 1,285.46

2 3,253.88 910.65 374.81 1,285.46

3 2,261.27 992.61 292.85 1,285.46

4 1,179.32 1,081.95 203.51 1,285.465 0.00 1,179.32 106.14 1,285.46

Total 5,000.00 1,427.31 6,427.31

¨ Sistemas de AmortizaciónCuotas Uniformes (método francés)Fórmulas Adicionales:


nkk iRA 1)1.(

11 )1.( k

k iAA

nkk iRI 1)1(1

kn

kn

k iii

RP)1(

1)1(

Amortización:

Interés:

Deuda Residual:Ejemplos:

¨ Sistemas de AmortizaciónAmortización Constante (método alemán)Monto de Préstamo : S/. 5 000


Plazo : 5 años



Deuda Total

0 5,000.00

1 4,000.00 1,000.00 450.00 1,450.00

2 3,000.00 1,000.00 360.00 1,360.00

3 2,000.00 1,000.00 270.00 1,270.00

4 1,000.00 1,000.00 180.00 1,180.005 0.00 1,000.00 90.00 1,090.00

Total 5,000.00 1,350.00 6,350.00

nP

A Cálculo de la Amortización:

¨ Sistemas de AmortizaciónAmortización Constante (método alemán)Fórmulas Adicionales:


nkn

iPIk

1Interés:

Deuda Residual:

nkn

PPk

Ejemplos:

¨ Sistemas de AmortizaciónInterés Constante (método inglés)Monto de Préstamo : S/. 5 000


Plazo : 5 años



Deuda Total

0 5,000.00

1 5,000.00 450.00 450.00

2 5,000.00 450.00 450.00

3 5,000.00 450.00 450.00

4 5,000.00 450.00 450.005 0.00 5,000.00 450.00 5,450.00

Total 5,000.00 2,250.00 7,250.00

iPI Cálculo del Interés:

¨ Sistemas de AmortizaciónInterés Constante (método inglés)Fórmulas Adicionales:


iPRn

1

1

Primera a penúltima Cuota:

Ultima Cuota: PiPRn

Ejemplos:

¨ Valorización de Bonos y AccionesMarco General

Todo inversionista desea encontrar el valor aproximado de un bono o una acción en una fecha determinada; o, si ya tiene este valor, desearía hallar su rentabilidad.

En general el precio de un bono o una acción es el siguiente:


nnv

cr

RP

r

Rr

RP

1...

11 221

donde:Pc : Precio de compra del bono o la acción.Pv : Precio de venta.R : Son los intereses o dividendos en efectivo, según sea el caso.r : Tasa de rentabilidad exigida por los inversores y refleja el riesgo del bono o la acción.

¨ Valorización de Bonos y AccionesDefinición de Bono

Es un certificado en el cual se declara que un prestatario adeuda una suma específica. Con el fin de reembolsar el dinero del préstamo, el prestatario conviene en hacer los pagos de intereses y de principal en fechas determinadas.

Tipos de Bonos Bonos de cupon cero (descuento puro), ofrece un sólo pago

en la fecha de vencimiento. Bonos de cupón constante, ofrecen pagos en efectivo (cupón)

en momentos intermedios o regulares. Consols, cuando nunca se deja de pagar un cupón, no tienen

fecha de vencimiento y por lo tanto nunca vencen.


¨ Valorización de Bonos y AccionesFórmulas de Valor Presente para Bonos

Bonos de cupon cero

Bonos de cupón constante

Consols


ncr

VNP

1

nn

n

cr

VN

rr

rRP

111

11

r

RPc

¨ Valorización de Bonos y AccionesTasas de Interés y Precios de los Bonos

Precio al valor nominal (a la par)

Si la tasa del cupón es igual a la tasa de interés del mercado. Precio a descuento (bajo la par)

Si la tasa del cupón es más baja que la tasa de interés de mercado.

Precio con prima (sobre la par)

Si la tasa del cupón es superior a la tasa de interés de mercado.


Ejemplos:

¨ Valorización de Bonos y AccionesValor Presente de Acciones Comunes

Una acción proporciona dos tipos de flujo de efectivo: primero, la mayoria de las acciones paga dividendos de manera regular; segundo, el accionista recibe el precio de venta cuando vende la acción. De tal manera que para valuar las acciones comunes, necesitamos responder una pregunta muy interesante: el valor de una acción es igual a:

1 Al valor presente descontado de la suma del dividendo del siguiente período más el precio de la acción del siguiente período? ó

2 Al valor presente descontado de todos los dividendos futuros?

La respuesta es que tanto 1 y 2 son correctos, por lo siguiente:


¨ Valorización de Bonos y AccionesValor Presente de Acciones ComunesSi un inversionista compra ciertas acciones y las mantiene un año, está dispuesto a pagar Po por las acciones el día de hoy, hará el siguiente cálculo:

Pero de donde viene P1? Debe haber un comprador al final del año 1 que esté dispuesto a comprar la acción en P1. Este comprador determina el precio de la acción como:

Asimismo, siguiendo este proceso puede repetirse indefinidamente, finalmente se obtendrá:

Para el inversionista el valor de las acciones comunes de una empresa es igual valor presente de todos los dividendos futuros esperados.


r

P

r

DivPo

11

11

r

P

r

DivP

1122

1

13

32

21

1...

111 tt

to

r

Div

r

Div

r

Div

r

DivP

¨ Valorización de Bonos y AccionesValuación de Diferentes Tipos de AccionesEl modelos general se puede simplificar si esperamos que los dividendos de la empresa sigan los siguientes patrones básicos:

Dividendo con Crecimiento Cero

El valor de una acción con crecimiento constante está dado por:

Dividendo con Crecimiento Constante

Si los dividendos crecen a una tasa “g”, el valor de una acción con dividendos que crecen a una tasa constante está dado por:


r

Div

r

Div

r

Div

r

DivPo

...

111 32

gr

Div

r

gDiv

r

gDiv

r

DivPo

...1

1

1

1

1 3

2

2

Ejemplos:


¨ Criterio del Valor Presente NetoSerie de Flujos de Caja

Para evaluar una inversión es necesario estimar ingresos y egresos de efectivo y plasmarlo en un modelo de presupuesto de inversiones que genera una serie de flujos de caja.

Valor Actual Neto (VAN) Es la diferencia del valor actual de los ingresos futuros, VAI, y del

valor actual de egresos, VAC, (incluye las inversiones) que se realizarán durente la vida útil de un proyecto, descontados a una tasa de costo de oportunidad del capital previamente determinado por el inversionista.

VACVAIVAN Si VAN>=0 ENTONCES ACEPTAR LA INVERSION

Ejemplos:


¨ Criterio de la Tasa Interna de RetornoTasa Interna de Retorno (TIR)

La TIR es la tasa de descuento que iguala el valor actual de los ingresos con el valor actual de los egresos y hace el VAN=0; representa la tasa de rentabilidad generada por la inversión.

Si TIR>=COK ENTONCES ACEPTAR LA INVERSION

0

1...

111 33

221

n

no

r

FC

r

FC

r

FC

r

FCIVAN

r : Tasa Interna de Retorno.donde:

Ejemplos:

Parte IV :

Aplicaciones

Universidad Nacional del Callao

Ejercicios de Potenciación:

Resolver:1. (1,04)-6

2. (1,02)-3/2

3. (1+10%)90/360 - 1

4. 3 000 * e10%

5. 32 000*(1,0025)- 48

6. j = 4* ( (1,014)1/4 -1 )

7. S = ( (1,0135)20 -1 ) / 0,0135

8. A = ( 1- (1,0245)-32 ) / 0,0245

9. Hallar “r”: 630 000*(1+r)15 = 465 957 *(1+r)26

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Ejercicios de Logaritmos:

Hallar “n” en:1. (1,036)n = 2,154

2. 5 225*(1,0255)-n = 3 750

3. (1,0385)-n = 0,43884

4. 4 797,5 = 30*( 1- (1,02)-n )/0,02

5. 14 241,3 = 530*( (1,03)n - 1)/0,03

6. (1,02)n -1 = 26,82%

7. 8 000 * e3.i = 9 294,67

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Ejercicios de Progresiones Aritméticas:

Resolver:1. Hallar la suma de los 15 primeros números de PA = 3;6; 9; 12;

15…

2. Calcular el 10mo término y la suma de los 10 primeros números de PA = 2; 5; 8; 11; 14;…

3. Si un capital de S/. 1000 colocado a una tasa mensual de 10% ha producido un interés simple de S/. 3,33 en un día y de S/. 6,66 en dos días ¿Qué interés simple habrá producido en 43 y 60 días?

4. Calcule el importe total a pagar en la adquisición de una máquina cuyo precio de contado es de S/. 5000, y ha sido financiado con una cuota inicial de S/.1000 más 8 amortizaciones mensuales iguales de S/. 500 c/u. El proveedor aplica una tasa mensual de 2% sobre los saldos deudores.

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Ejercicios de Progresiones Geométricas:

Resolver:1. Hallar el 8vo término en la PG : 620; 310; 155; …

2. Un capital de S/. 1 000 000 colocado a una tasa mensual de 8% ha producido un interés de S/. 2 568,66 en el primer día y de S/. 2 575,26 en el segundo día ¿Calcule el interés efectivo que ganó dicho capital los días 29 y 30 y el interés acumulado al día 30?

3. Encontrar la suma de los 15 primeros términos de la PG : 1; 1,03 ; (1,03)2 ; (1,03)3 ; ….

4. Encontrar la suma de la PG : (1,04)-1 ; (1,04)-2 ; (1,04)-3 ; ….(1,04)-12.

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Ejercicios de Progresiones Geométricas Infinitas:

Resolver:1. Hallar la suma de la siguiente serie de términos infinitos: 1; ½

; ¼ ; 1/8; ….

2. Hallar la suma de la siguiente serie de términos infinitos: 0,4; 0,04 ; 0,004 ; 0,0004; ….

3. Hallar la suma de la siguiente serie de términos infinitos: 1/(1+i) ; 1/(1+i)2 ; 1/(1+i)3 ; 1/(1+i)4 ; ….

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Ejercicios de Interés Simple:

Resolver:1. ¿Cuál será el saldo final de una persona en su libreta de ahorros

si el depósito lo realizó el 09 de setiembre y retiro el dinero el 22?. La tasa de interés es de 4% mensual y el depósito inicial fue de 15 000.

2. Encontrar el capital inicial que, a una tasa de interés mensual simple de 8% y durante 120 días, produjo un monto de S/.2000.

3. Un capital de S/. 4000 estuvo depositado durante 24 meses en una cuenta de ahorro que pagó una tasa de 2% mensual para los primeros 10 meses y una tasa i% mensual para el resto del plazo. Si el monto generado al final de los 24 meses fue S/. 6480. Hallar i%.

4. Un préstamo de S/. 3000 se canceló con un pago único de S/. 4500. Si la tasa pactada fue de 2,5% mensual, determinar el plazo de la operación. Regresar

Uso de Calculadora FC 200

Deducción de Interés Compuesto:

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Año Cantidad a principio de año

Interés ganado durante el año

Suma a ser pagada a fin de año

1 P P × i P + P × i = P × (1+i)

2 P × (1 + i) P × (1+i) × i P × (1+i) + P × (1+i) × i = P × (1+i)2

3 P × (1 + i)2 P × (1+i)2 × i P × (1+i)2 + P × (1+i)2 × i = P × (1+i)3

. . . .

. . . .

. . . .

n P × (1 + i)n-1 P × (1+i)n-1 × i P × (1+i)n-1 + P × (1+i)n-1 × i = P × (1+i)n = F

Ejercicios de Interés Compuesto:

Resolver:1. Hallar el interés compuesto sobre S/. 1000 por 3 años si el

interés de 5% es convertible anualmente en capital.

2. Una entidad financiera ofrece devolver por cada depósito de S/. 500 hoy, un monto total de S/.800 dentro de un año. Calcular la tasa efectiva mensual que está pagando la entidad financiera.

3. Un capital de S/. 600 es depositado en una entidad financiera por tres meses, durante los cuales se le pagará las tasas del 8%, 5% y 3,5% mensual respectivamente. Calcular el monto por retirar luego de los tres meses así como la TET recibida.

4. ¿En qué tiempo se triplicará un capital depositado a una tasa de interés efectiva de 10,5% anual?

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Ejercicios de Interés Continuo:

Resolver:1. Una persona deposita hoy una suma de dinero de US$ P, en una

institución financiera que paga un interés de 27% anual capitalizable continuamente. Si el saldo a favor del inversionista es de US$ 855 000 dentro de 3 años. Hallar la cantidad depositada originalmente.

2. ¿Al cabo de cuanto tiempo una inversión de S/. 420 000 se convierte en S/. 1 465 944, si el rendimiento del dinero es del 25% nominal anual capitalizable continuamente?.

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Aspectos Importantes a tener en Cuenta

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1. Identificar las variables: es decir, el valor presente, el valor futuro, el número de periodos y la tasa de interés. Recuerde que.... vamos a trabajar un sistema de ecuaciones con cuatro variables; por lo tanto necesitamos conocer mínimo tres de ellas y la cuarta será en cada caso, nuestra incógnita.

2. Construir el diagrama de flujo de caja, donde representaremos las variables del paso anterior.

3. Plantear el problema en términos de la notación solicitada. E Identificar el modelo matemático.

4. Hacer los cálculos respectivos.

5. Interpretación

Ejercicios de VP y VF a Interés Simple:

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Resolver:1.Un electrodoméstico tiene un precio de contado de S/. 2 000, pero

puede adquirirse a crédito con una cuota inicial de S/. 500 y con una letra a 60 días por S/. 1 620. ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual cargada en este financiamiento?.

2.Dos letras de cambio de S/ 8 000 y S/ 9 000 vencen dentro de 60 y 90 días, respectivamente. Calcule el valor al día de hoy (valor presente) de ambas letras a interés simple, con una TNM de 3%.

3.En la actualidad existe una deuda de S/. 4 000, que vencerá dentro de 3 meses; se acordó con el acreedor cancelarla hoy a su valor presente, calculado con una TNM de 2% para el primer mes y 2,5% para los dos últimos meses. Determinar el importe con el que se cancelaría la deuda el día de hoy.

Ejercicios de VP y VF a Interés Compuesto:

Resolver:1.Ud .acaba de ganar US$ 5 000. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de 10

años si lo invierte a un interés compuesto anualmente del 10%? ¿Al 14%?

2.Daniel deposita hoy S/. 650 000 en una cuenta de ahorros en la cual le pagan una tasa de interés de 1,5% mensual. Si Daniel deja su dinero por espacio de un año, cuánto tendrá acumulado al final de dicho periodo?

3.Ricardo tiene una factura que vence dentro de cuatro meses por valor de $ 1'250 000; pero por estar necesitando dinero hoy, decide venderla. La entidad crediticia compradora de dicho papel comercial, le cobra una tasa del 2% mensual; cuánto dinero recibe Ricardo por concepto de la venta de la factura?

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Ejercicios de VP y VF a Interés Compuesto:

Resolver:4. ¿En cuánto tiempo (contado desde el momento cero) un monto de

S/. 6 000 sustituirá deudas cuyos importes son: S/. 2 000; S/. 1 000 y S/. 2 997.83; las cuales vencen dentro de 30, 60 y 90 días respectivamente?. Utilice como costo de oportunidad del dinero una TEM de 3%.

5. Un depósito de S/. 20 000 estuvo colocado en un Banco durante 90 días y gano una TED de 0,1% ¿Qué interés se ganó el día 46 y el día 87?

6. Los flujos de caja y las inflaciones mensuales proyectadas por la empresa Agroexport S.A. Se muestran en la siguiente tabla

Calcule el valor presente de dichos flujos y utilice como tasa de descuento la tasa de inflación.

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0 Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4

Flujo de caja 2 000 2 000 2 200 2 400 2 500% de inflación 2,00% 1,80% 1,60% 1,65%

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Ejercicios de Tasas Nominales y Proporcionales:

Resolver:1. Dada la tasa de 48% nominal anual, hallar las tasas

proporcionales mensual y trimestral.

2. Dada la tasa 8% nominal bimestral, hallar las tasas proporcionales semestral y anual.

3. Dada la tasa de 8% nominal bimestral, hallar las tasas proporcionales semestral y anual.

4. Un capital de S/. 1 250 es depositado al régimen de interés simple por 3 trimestres a una tasa de 60% anual. Determinar el monto generado al final del plazo mencionado.

5. Calcule las siguientes tasas nominales proporcionales:

Trimestral, a partir de una tasa nominal semestral de 12%.

De 46 días, a partir de una tasa nominal bimestral de 6%.

De 125 días, a partir de una tasa nominal mensual de 2%.

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Ejercicios de Tasas Efectivas:

Resolver:1. Calcule la TEA equivalente a una TNA de 24% capitalizable

trimestralmente.

2. Calcule la TET a partir de una TNA de 36% capitalizable mensualmente.

3. Si la TNM es 2% y el período de capitalización es mensual ¿cuál es la tasa efectiva trimestral, de 8 meses y anual?

4. Calcule la TEA que producirá una TNM de 2% que se capitaliza trimestralmente.

5. Se requiere determinar la tasa efectiva que debe aplicarse a un préstamo de S/. 2 000, que se concedió el 5 de mayo y se canceló el 10 de junio del mismo año. El Banco que concedió el préstamo aplica una TNA de 36% capitalizable bimestralmente.

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Ejercicios de Tasas Equivalentes:

Resolver:1. Calcule la TEM a partir de una TEA de 30%.

2. Calcule la TEA equivalente a las siguiente TEM: 1%; 1,5% ;2%; 2,5%; 3%; 4%; 5%; 6% y 8%.

3. ¿Cuál es la TNS capitalizable bimestralmente, equivalente a una TEA de 18%?.

4. Las acciones de la compañía Gamma, adquiridas el 3 de mayo y vendidas en la BVL el 11 de agosto del mismo año, tuvieron una tasa de rentabilidad de 26% durante eses período. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual

5. Un préstamo de S/. 1 000 devenga una TEM de 5%, si este préstamo se utilizó durante 17 días ¿qué tasa efectiva debe aplicarse?

6. Calcule la TNA capitalizable trimestralmente equivalente a una TEA de 12%.

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Ejercicios de Tasas Adelantadas Equivalentes:

Resolver:1.¿Qué tasa anticipada efectiva anual es equivalente a otra tasa efectiva anual de 12%?

2.¿Cuál es la tasa mensual adelantada equivalente a una vencida de 5%?

3.¿Qué tasa trimestral anticipada equivale al 3% mensual anticipado?

4.Hallar la tasa efectiva anual vencida equivalente al 30% nominal anual anticipado.

5.La firma TUMI SA es beneficiaria de una letra por S/. 10 000, firmada el 29/03/2005 y con vencimiento el 28/05/2005. La descuenta el 03/04/2005 en un Banco que trabaja con una tasa efectiva del 2.5% mensual para este tipo de operaciones. Determinar la cantidad de dinero abonado por el Banco y el descuento.

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Ejercicios de Tasas Compensatoria y Moratoria:

Resolver:1. Un pagaré con valor nominal de S/. 8 500 que venció el 23 de

marzo, se canceló el 4 de abril del mismo año ¿Cuál es el pago total por efectuar en esta fecha si el pagaré devenga una TEM de 5% y la tasa de mora es una TEM de 0,75%?

2. ¿Calcule el interés total en mora generado por una deuda cuyo monto es de S/. 1 000 vencida hace 18 días. La TEM compensatoria es 5% y la TEM moratoria es 0,75%.

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Ejercicios de Tasas Discreta y Continua:

Resolver:1. Se requiere conocer la TNA que capitalizada continuamente

genera una TEA de 20%?

2. ¿Qué tasa de interés capitalizable continuamente es equivalente a la tasa de interés nominal semestral que convierte US$ 310 000 de hoy en US$ 787 580 dentro de 25 meses?

3. Un ahorrador deposita hoy US$ 350 000 en una institución que paga un interés del 29% capitalizable continuamente. Si retira US$ 135 190 al cabo de un año y US$ 181 600 un año más tarde, ¿Qué saldo tendra en la cuenta de ahorros un año después del último retiro?

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Ejercicios de Tasas de Interés Real:

Resolver:1. Calcule la tasa real de ahorros durante el mes de abril, dada una

tasa efectiva de 3% mensual y una inflación de 3,5%.

2. Un depósito de ahorros percibe una TNA capitalizable mensualmente; estas tasas fueron de 15%, 18% y 16% durante cada uno de los meses de un trimestre. Calcule la tasa real trimestral dedo que en este plazo se produjo una tasa de inflación de 2.5%.

3. En un período trimestral, ¿Que tasa de inflación mensual debe producirse para alcanzar una tasa real trimestral de 5%? El activo financiero genera una TNA de 36% con capitalización mensual.

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Ejercicios de Tasas de Interés en ME y Devaluación:

Resolver:1. Calcule la TEA que rindió en nuevos soles un CBME que paga una

TNA de 8% con capitalización mensual, dada una devaluación promedio del sol de 2% mensual.

2. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva trimestral en soles de un depósito en US$. El Banco remunera los depósitos con una TNA de 8% con capitalización mensual y la devaluación promedio diaria del sol se estima en 0,05%.

3. El 2 de julio Expreso continental invirtió S. 12 000 en las compras de US$ a un tipo de cambio de 3,252 importe que colocó en el Banco de La República donde ganó una TEA de 8%. El 25 de Julio del mismo año cancelo su cuenta y efectuo la venta de los US$ a un tipo de cambio de 3,253. ¿Cuál es la tasa de rentabilidad del período en moneda nacional?

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Ejercicios de Tasas de Interés Explicita e Implicita:

Resolver:1. Usted puede comprar un artefacto a “precio de contado” en cinco

cuotas mensuales de US$ 300. Sin embargo, si usted paga al cash se lo dan a US$ 1 200 ¿ Cuánto es la tasa efectiva anual si paga por partes?

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Ejercicios de Anualidades Vencidas:

Resolver:1. Si la hipoteca no pagada de su casa en 10 años será US$ 89 550,

¿Cuánto dinero tiene que invertir anualmente al 6% para tener exactamente esta cantidad disponible al final del décimo año?

2. Usted tiene una póliza de seguros que le pagará una cantidad global de US$ 200 000 a la edad de 65 años. Si invierte esa cantidad al 6% ¿Cuánto dinero puede retirar de su cuenta en sumas iguales cada año, de manera que al final de los 10 años (a la edad de 75 años) no quede dinero alguno?

3. Se está estudiando una inversión que pagará US$ 15 000 anuales durante los próximos diez años. Si se requiere un rendimiento del 18% ¿Cuál es el valor máximo que se pagaría por esta inversión?

4. Usted se acerca al BWS y solicita un crédito hipotecario de US$ 400 000 por cinco años. Si la TEA es de 13% ¿Cuánto debería pagar Ud. mensualmente?

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Ejercicios de Anualidades Anticipadas:

Resolver:1. ¿Qué monto se habrá acumulado en una cuenta de ahorros si a

inicios de mes y durante 8 meses consecutivos se depositó S/. 800 en un Banco que remunera a esos ahorros con una TEA de 12%?

2. ¿Cuál es el precio de contado equivalente de una máquina que se vende a crédito con 12 cuotas mensuales anticipadas de S/. 200 cada una. ¿El costo de oportunidad es una TEM de 2%?

3. Un préstamo de S/. 5 000 debe cancelarse en el plazo de una año con cuotas uniformes mensuales anticipadas. El préstamo devenga una TEA de 24%. Calcule el importe de la cuota anticipada.

4. Una máquina puede adquirirse de contado en S/. 2 500 y a crédito con 6 cuotas iguales mensuales anticipadas de S/. 450. Calcule la TNA.

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Ejercicios de Anualidades Diferidas:

Resolver:1.¿Cuál será el importe de un préstamo solicitado a un Banco hoy, si el compromiso es pagar S/. 1 000 durante ocho trimestres , y se empieza a amortizar el préstamo dentro de medio año? El préstamo devenga una TEM de 1%.

2.Calcule el importe mínimo con el que hoy debe abrirse una cuenta a una TEM de 2% que permitirá retirar nueve rentas mensuales consecutivas de S/. 500, la primera de las cuales se retirará 90 días después de abrirse la cuenta.

3.Calcule el número de períodos diferidos mensuales por otorgar en un financiamiento de S/.11 166.33 que genera una TEM de 5% para rembolsar con 8 cuotas mensuales vencidas de S/. 2 000 cada una.

4.Un préstamo de S/. 10 000 debe amortizarse en el plazo de una año con cuotas uniformes trimestrales de S/. 5 544. Si el primer pago debe efectuarse dentro de 9 meses. ¿Cuál es la TET cargada en el financiamiento? Regresar

Ejercicios de Anualidades Perpetuas:

Resolver:1. La garita de peaje a Pucusana recauda mensualmente el importe de S/.

10 000 en promedio. ¿Cuál es el valor presente de esas rentas perpetuas si se descuentan con una TEM de 0,5%?

2. Calcule la TEA que debe aplicarse a un capital inicial de S/. 10 000 para que rinda una renta perpetua trimestral anticipada de S/. 300.

3. Una empresa decidió efectuar la donación de una renta perpetua mensual vencida de S/. 500 a una institución religiosa. Para estos efectos adquirió un determinado un determinado importe en bonos del tesoro que rinden indefinidamente una TEA de 8% con pago de interés cada fin de mes. ¿A cuánto debe ascender la inversión en dichos bonos para que los intereses mensuales cubran la donación?

4. Una sociedad benéfica obtuvo una donación anual de S/. 5000 de forma indefinida, los mismos que se percibirán a inicios de cada año, pero luego de haber transcurrido 3 años contados a partir de la fecha.¿Cuál es el valor presente de esa donación, dada una TEA de 8%?

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Ejercicios de Gradientes Geométricas:

Resolver:1. Calcule el valor presente de un préstamo que devenga una TET

de 3% otorgado para amortizarse en el plazo de 6 años, con cuotas trimestrales vencidas de S/. 500, que se irán incrementando en 5% cada una con relación a la anterior.

2. ¿Cuál será el valor presente de un préstamo que devenga una TEM de 1% en el plazo de 2 años?. Este préstamo debe amortizarse con cuotas mensuales vencidas de S/. 300 que se irán incrementando en 1% cada una con relación a la anterior.

3. Calcule la primera cuota de una anualidad creciente geométricamente, cuyo valor presente es S/. 5000 , su número de cuotas trimestrales es 20, su razón de crecimiento geométrico es 1,04 y tiene una TET de 5%.

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Ejercicios de Gradientes Artiméticas:

Resolver:1. Calcule el valor presente de un cash flow con flujos trimestrales. El

importe del primer flujo es S/. 1 000, que se incrementará trimestralmente en S/. 500, durante un años y medio. Utilice una TET de 5%.

2. Calcule el coste presente total de una máquina cuyo precio es S/. 4000 y origina gastos de mantenimiento de S/. 100 el primer mes, el cual se incrementa en S/. 20 mensualmente hasta el final de la vida útil de la máquina, que es 5 años. Aplique una TEM de 2%.

3. ¿Cuál será el monto que se acumulará en un año al efectuar depósitos cada fin de mes en un Banco que remunera los ahorros con una TEM de 3%? El primer depósito será S/. 200, que se incrementará mensualmente en S/. 50.

4. Calcule el valor presente de un préstamo que devenga una TET de 3% otorgado para amortizarse en el plazo de 6 años, con cuotas trimestrales vencidas de S/. 500, que se irán incrementando en 5% cada una con relación a la anterior.

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Ejercicios con Cuotas Fijas

Resolver:1. Calcule la duodécima cuota principal de un préstamo de S/. 10 000, que

devenga una TEA de 24% y se amortiza en el plazo de año y medio con cuotas uniformes mensuales vencidas.

2. Para conocer el efecto del escudo fiscal producido por un préstamo que devenga uan TEA de 26% amortizable en el plazo de 3 años, con cuotas uniformes mensuales vencidas de S/. 2 000, se requiere calcular el importe de la cuota interés correspondiente a la duodécima cuota.

3. Calcule el importe del saldo insoluto o deuda residual de un préstamo de S/. 5 000, cuando faltan 5 cuotas para su cancelación. El préstamo genera una TNM de 2% y debe amortizarse en el plazo de 3 años, con cuotas uniformes trimestrales vencidas.

4. Suponga que un cliente solicita a una entidad financiera la simulación de un cronograma de pagos de un préstamo de S/. 50 000, con un período de gracia de 60 días, para ser cancelado en de 12 cuotas mensuales (incluye el período de gracia). Prepare el cronograma si la tasa de interés del producto es 2% TEM. Regresar

Ejercicios con Amortización e Interés Constante

Resolver:1. Suponga que se requiere amortizar un préstamo de US$ 10 000, en el

plazo de un año con amortizaciones uinformes que vencen cada 90 días; el préstamo devenga una TET de 4% y se desembolsa el 15 de julio. Prepare la tabla de amortización.

2. Un préstamo es otorgado bajo la modalidad de cuota principal constante. Si este crédito es financiado en 12 cuotas mensuales con una tasa de interés efectiva mensual de 2,5% y además se sabe que el saldo de la deuda después de cancelar la séptima cuota es de S/. 30 000. Se solicita preparar la tabla de amortización.

3. Una empresa emitió bonos por un importe de US$ 100 000, que rinden una TEA de 7% con intereses que deben pagarse cada 90 días. Prepare la tabla de amortización si los bonos deben redimirse al cabo de dos años.

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Ejercicios de Valorización de Bonos

Resolver:1. Microhard ha emitido un bono con las siguientes características:

Calcule el precio del bono si la tasa de interés anual establecida es de: a) 8%, b) 10% y c) 6%

2. La empresa Jays Trucking, Inc., ha emitido un bono a 20 años a 8%, que paga intereses semestralmente y que tiene un valor nominal de $ 1000. Si el rendimiento del bono es de 10% (tasa anual efectiva) ¿cuál será el precio de este bono?.

3. Considere el caso de un bono que paga un cupón de $ 80 anualmente y que tiene un valor nominal de $ 1000. Calcule el rendimiento al vencimiento del bono, si le faltan 20 años para el vencimiento y se vende en un precio de $ 1200.

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Principal: $1 000 Plazo de vencimiento: 20 años Tasa cupón: 8% compuesta semestralmente Pagos Semestrales

Ejercicios de Valorización de Acciones

Resolver:1. Considere el caso de la acción de Davidson Company, que pagará un

dividendo anual de 2 dólares el año siguiente. Se espera que el dividendo crezca a una tasa constante de 5% anual en forma permanente. El mercado requiere de un rendimiento de 12% sobre la acción de la compañía.¿Cuál será el precio actual de una acción de capital?

2. Una cierta acción común pagaba ayer un dividendo de 2 dólares. Se espera que el dividendo crezca a una tasa anual de 8% durante los tres años siguientes; posteriormente crecerá 4% anual a perpetuidad. La tasa de descuento apropiada es de 12% ¿Cuál es el precio de esta acción?.

3. Webster Co., acaba de pagar un dividendo de 5,25 dólares por acción; la empresa aumentará sus dividendos en 14% el año siguiente y posteriormente lo reducirá 3% cada año hasta que alcance el crecimiento promedio de la industria, el cual es de 5%; después de ello, mantendrá un crecimiento constante para siempre. La tasa de rendimiento requerida de Webster Co., es de 14% ¿Cuál es el precio de la acción?

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Ejercicios de Valor Presente Neto y TIR

Resolver:1. Una inversión de US$ 5 000, puede generar flujos de caja anuales de

US$ 2 000, durante la vida útil del proyecto que es 4 años. Con una tasa de costo de oportunidad de 15% anual (360días), calcule el VAN de la inversion.

2. Las inversiones y flujos de caja trimestrales de un proyecto cuya tasa COK es de 15% anual (360 días), se presenta en el cuadro siguiente:

Calcule el VAN y la TIR anual del proyecto.

3. Usted debe decidir si vale la pena o no comprar un nuevo equipo. El costo de la máquina es de US$ 5 000, y producirá los siguientes flujos de efectivo:

La tasa de descuento apropiada

es de 10% ¿Debería comprar el

equipo? Regresar

Trim 0 1 2 3 4 5 6 7 8FC -10 000 500 1 000 -800 1 200 2 000 3 000 4 000 3 181

Año Flujo de Efectivo1 7002 9003 1 0004 1 0005 1 0006 1 0007 1 2508 1 375

Uso de Calculadora Financiera (Casio FC-200) Configuración inicial:

Modo FIN Borrado de memorias:

SHIFT + AC + EXE + AC Almacenamiento:

STO + ALPHA + LETRA + EXE Recuperación:

ALPHA + LETRA

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clases uni callao2010 (mf)(fin)

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