clase6 estadística

ESTADÍSTICA

Clase 6

Wendy Plata Alarcón

[email protected]

ESTADÍSTICAII. CONTEO Y PROBABILIDAD

Guayaquil, mayo de 2015

Wendy Plata Alarcó[email protected]


Experimento

Estadística para Ingenierías3

Conjunto de acciones con las que, utilizando

procedimientos claramente establecidos, se efectúa

algún tipo de observación o medida.

En general, el propósito de la experimentación es

generar nuevo conocimiento o puede ser con la

finalidad de verificar el cumplimiento de algún

principio, supuesto o teoría.


Experimento Estadístico


Un experimento se dice es un Experimento

Estadístico si reúne las siguientes características:

Se conoce cuales son todos los resultados posibles del

experimento antes de su ejecución;

Cualquier realización del experimento debe conducir a

un resultado que no es conocido previo a tal ejecución,

pero que se sabe es uno de los “posibles”; y,

El experimento puede ser repetido bajo idénticas

condiciones.


Espacio Muestral Continúa…


Dado un Experimento Estadístico, se denomina

Espacio Muestral de un Experimento, al par ( , L),

donde:

es el conjunto de todos los resultados posibles del

experimento; y,

L es el conjunto potencia de , esto es, L es el

conjunto de todos los subconjuntos de ; L es

denominado Espacio de Eventos.


Espacio Muestral Continúa…


Los elementos de son llamados “puntos” y se los suele

representar por la letra griega w. Los elementos de L se

los denomina Eventos.

Téngase en cuenta que para un Espacio Muestral ( , L) lo

siguiente siempre debe cumplirse:

no es vacío; y,

L cumple con incluir al conjunto vacío ; es “cerrado”

bajo unión contable de sus elementos (E1, E2 L

(E1E2) L) así como también bajo complementación de

sus elementos (E1 L L)


Espacio Muestral: ejemplo


Supongamos que un Experimentos Estadístico consiste

en lanzar una moneda una vez y observar si sale sello

o cara; tenemos que:

= {w1 ; w2} = {s ; c}

Donde s significa que el resultado del lanzamiento es

sello y c que es cara, mientras que el espacio de

eventos L es:

L = { ; {s} ; {c} ; }


Espacio Muestral


Cardinalidad de un Espacio Muestral: es el número de

elementos de un conjunto finito E. Se lo denota por N(E).

Espacio Muestral Discreto Finito: un espacio Muestral ( , L) es

Discreto si y solo si es contable.

Ω= {ω1; ω2; ω3; ω4} = {ss; sc; cs; cc}

Espacio Muestral Discreto Infinito: un espacio Muestral ( , L)

es Discreto Infinito si y solo si es infinito contable.

Ω= {c; sc; ssc; sssc; ssssc; sssssc; …}

Espacio Muestral Continuo: si no es discreto.

Medir la estatura o el peso a un grupo de entes.

Lanzar la moneda

hasta obtener

cara


Espacio Muestral: ejemplo


Las personas tenemos cuatro tipos de sangre: A, B, AB y O; a

su vez existe el Factor Rhesus o Factor Rh, que puede ser

positivo o negativo. Si un investigador realiza un

experimento que consiste en verificar a una persona su tipo

de sangre y el Factor Rh, ¿cuáles son los resultados posiblesde este Experimento Estadístico y la cardinalidad de y L ?

= {(A Rh+) ; (A Rh-) ; (B Rh+) ; (B Rh-) ; (AB Rh+) ; (AB Rh-) ;

(O Rh+) ; (O Rh-)}

El Espacio Muestral es discreto finito ya que la cardinalidad

de es 8 y L consecuentemente contiene 28 eventos.


Eventos de un Espacio Muestral


Todo subconjunto de se denomina Evento.

Eventos Mutuamente Excluyentes: es cuando dos eventos de

un mismo no tienen elementos en común, es decir,

[(E1, E2 ) (E1E2 = )]

Evento Imposible: es aquel cuya probabilidad de suceso es

igual a 0. Ejemplo: al lanzar un dado el resultado obtenido

sea 8.

Evento Seguro: es aquel cuya probabilidad de suceso es igual

a 1. Ejemplo: al lanzar una moneda el resultado obtenido sea

“cara” o “sello”.


Función de Probabilidades


Supongamos que el Experimento Estadístico tiene Espacio

Muestral ( , L); una función P cuyo dominio es L y cuyo

conjunto de llegada, es el intervalo cerrado de números

reales de cero a uno, es una Función de Probabilidades

(P: L [0,1]) si y solamente si:

i. P() = 1;

ii. 0 P(E) 1, EL ; y,

iii. P(E1E2) = P(E1) + P(E2); siempre que E1E2 =

Éstos axiomas también son conocidos como los axiomas de

Kolmogorov.


Función de Probabilidades


El número real P(E) se denomina Probabilidad de que

el Evento E ocurra, bajo las condiciones impuestas en

el experimento.

La terna ( , L, P) es denominada Espacio de

Probabilidades.


Teorema 1


Si P es una Función de Probabilidades, para cualquierevento E L la probabilidad de que el mismo ocurra esP(E) = 1 – P(Ec), siendo Ec el complemento de E en .

Prueba: por definición de complemento Ec de unconjunto cualquiera E, se cumple que

E Ec =

P(E Ec) = P() = 1

Siendo E y Ec mutuamente excluyentes

P(E) + P(Ec) = 1

P(E) = 1 - P(Ec)


Teorema 2 Continúa…


Si P es una Función de Probabilidades mientras que E1

y E2 son eventos en el correspondiente Espacio

Muestral ( , L), entonces

P(E1E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1E2)

E1 E2

E 1

E 2

c12 EE


Teorema 2


Prueba: Siendo E1 y E2 subconjuntos de es cierto

que

Los tres eventos mostrados en paréntesis son

mutuamente excluyentes, por tanto

)EE()EE()EE(EE 21c12

c2121

)EE(P)E(P)E(P)EE(P

)EE(P)E(P)]EE(P)EE(P[

)E(P)EE(P

)EE(P)EE(P)EE(P

)]EE()EE()EE[(P)EE(P

212121

21221c21

2c21

21c12

c21

21c12

c2121


Teorema 2: ejemplo


Los datos recogidos en un banco de sangre concreto

indican que el 0.1% de los donantes da positivo en

el test de VIH y el 1% da positivo para el test de

herpes. Si el 1.05% da positivo para uno u otro de

estos problemas, ¿cuál es la probabilidad de que un

donante seleccionado aleatoriamente no tenga

alguno de estos problemas? ¿le sorprendería hallar

un donante con ambos problemas?


Teorema 2: ejemplo


Datos:

E1: el donante da positivo en el test de VIH.

E2: el donante da positivo para el test de herpes.

P(E1) = 0.001

P(E2) = 0.01

P(E1 E2) = 0.0105

Se pide:

P(E1 E2)c

P(E1 E2)

P(E

1) =

0.0

01

P(E

2) =

0.0

1

E 1

E 2

P(E1 E2) = 0.0105


Teorema 2: ejemplo


Desarrollo:

P(E1 E2)c = 1 - P(E1 E2) = 1 – 0.0105

P(E1 E2)c = 0.9895

0.9895 es la probabilidad de que un donante no tenga alguno de estosproblemas.

P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2)

P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2)

P(E1 E2) = 0.001 + 0.01 – 0,0105

P(E1 E2) = 0.0005

0.0005

es la probabilidad de un donante tenga ambos problemas VIH y Herpes.


Teorema 2: extensión a tres eventos


Si se tienen tres conjuntos en lugar de dos, se puede probar que:

P(E1E2 E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) – P(E1E2) – P(E1E3)

– P(E2E3) + P(E1E2 E3)

E1 E2

E 1

E 2

E3

E1E2E3


Teorema 2: ejemplo


En el gráfico se presenta un Diagrama de Venn

donde se describen tres eventos de un Espacio

Muestral ( , L) y las probabilidades de los mismos.

E1 E2

E3

0.21 0.10

0.12

0.12

0.08

0.01

x


Teorema 2: ejemplo


Calcular P(E1); P(E1 E2)c; P(E1 E3)

c; y, P(E1 E2)

1. Verificaremos que la P() = 1

P() = 0.21 + 0.12 + 0.10 + 0.01 + 0.08 + 0.12 + x

1 = 0.64 + x

1 – 0.64 = x x = 0.36

Desarrollo:

P(E1) = 0.21 + 0.12 + 0.01 + 0.08

P(E1) = 0.42

E1 E2

E3

0.21 0.10

0.12

0.12

0.08

0.01


Teorema 2: ejemplo


Calcular P(E1); P(E1 E2)c; P(E1 E3)

c; y, P(E1 E2)

Desarrollo:

P(E1 E2)c = 0.12

P(E1 E3)c = 0.10

P(E1 E2) = 0.12 + 0.01

P(E1 E2) = 0.13

E1 E2

E3

0.21 0.10

0.12

0.12

0.08

0.01


Probabilidad de Eventos Finitos


Es de singular importancia conocer la Cardinalidad de

Eventos Finitos, ya que la probabilidad de que ellos

ocurran, depende de su cardinalidad, esto es, del

número de elementos que posea el evento con

respecto al total contenido en.

Si por ejemplo, tiene N elementos y E es un evento

en un Espacio Muestral, tal que E tiene k elementos,

k N, entonces:

0N,N

k

)(N

)E(N)E(P


Probabilidad de Eventos Finitos: ejemplo


Si nos preguntamos cuál es la probabilidad de que

aparezca un número menor que 3 en el lanzamiento

de un dado “legal”, o equilibrado, sabemos que:

= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}

Y que el conjunto de números menores que tres es el

evento E = {1 ; 2};

Además, N(E) = 2 y N() = 6

Entonces, la probabilidad de que un número menor que

3 aparezca durante el lanzamiento es:

3

1

6

2)E(P


Regla de la Multiplicación de opciones


Sean E1, E2, …, Ek, k eventos cuyas cardinalidades son

respectivamente n1, n2, …, nk; si se debe tomar k

elementos, primero uno de E1, luego otro de E2 y así

sucesivamente hasta tomar el último elemento de Ek,

entonces el número de opciones que es posible elegir,

es igual a:

n1 n2 … nk

Esto es, al producto de las cardinalidades de los

eventos en consideración.


Regla de la Multiplicación de opciones: ejemplo


Si una compañía de taxis opera con vehículos de tres

distintas marcas, a las que llamaremos A, B y C. la

compañía tiene 4 taxis de marca A, tres de marca B y

dos de marca C, esto es, un total de nueve vehículos. Un

cliente les pide el alquiler simultáneo de tres vehículos

pero exige que sean de diferentes marcas. ¿De cuántas

opciones de agrupamiento de sus vehículos dispone la

compañía para complacer a su cliente?


Regla de la Multiplicación de opciones: ejemplo


Desarrollo

Tenemos tres eventos finitos

E1: el cliente alquila un vehículo de la marca A

E2: el cliente alquila un vehículo de la marca B

E3: el cliente alquila un vehículo de la marca C

Las cardinalidades de estos eventos son:

N(E1) = n1 = 4; N(E2) = n2 = 3; y, N(E2) = n3 = 2

Número de opciones = n1 n2 n3 = 4 3 2 = 24

Por lo tanto, la compañía tiene 24 maneras de agrupar tresvehículos de marcas distintas.


Combinaciones y Muestras


Supongamos que se tiene una Población Objetivo de

tamaño N y que de ella vamos a tomar n Unidades de

Investigación, una a una y sin reemplazo, para que

constituyan una Muestra de tamaño n, siendo n menor

o como máximo igual a N. El Número de Muestras que

de esta forma pueden tomarse, se la denomina

Número de Combinaciones de n objetos y se calcula

de la siguiente manera:

)!nN(!n

!N

n

NMuestrasdeNúmero


Combinaciones y Muestras


Si por ejemplo se tiene una Población Objetivo compuesta por

las cuatro primeras letras del alfabeto y se quiere identificar

todas las posibles Muestras de tamaño dos que de ella pueden

obtenerse, se tiene:

Población Objetivo de tamaño N = 4: {a; b; c; d}

Posibles Muestras de tamaño n = 2: {a; b} {a; c} {a; d} {b; c}

{b; d} {c; d}

Utilizando la expresión mostrada anteriormente se obtiene:

.6

)12(!2

!234

)!24(!2

!4

2

4MuestrasdeNúmero


Combinaciones y Muestras: ejemplo


De un grupo de 20 estudiantes se van a elegir 6 para

integrar un comité. En la Población Objetivo hay 9

damas y 11 caballeros; se requiere que dos de los

integrantes del comité sean necesariamente mujeres. La

pregunta es, ¿de cuántas maneras se puede elegir este

comité?

Desarrollo

El número de formas en que se pueden escoger dos mujeres

de un conjunto de nueve es:

362

72

!7!2

!789

)!29(!2

!9

2

9


Combinaciones y Muestras: ejemplo


El número de formas en que se pueden escoger cuatro

varones de un conjunto de once es:

Consecuentemente, el número de formas que se puede elegir

el comité con 4 varones y 2 mujeres es:

Por lo tanto, el comité puede ser elegido de 11880

formas diferentes.

3301234

891011

!7!4

!7891011

)!411(!4

!11

4

11

11880330364

11

2

9


Probabilidades de Eventos Finitos y Combinaciones: ejemplo


Un representante de ventas debe visitar seis ciudades

durante un viaje. Si hay 10 ciudades en el área geográfica

que va a visitar, de las cuales seis son mercados primarios

para el producto en cuestión, mientras que las otras

cuatro son mercados secundarios. Si el vendedor elige al

azar las seis ciudades que va a visitarse, ¿cuál es la

probabilidad de que…

a) cuatro de ellas sean ciudades de mercado primario y dos

sean ciudades de mercado secundario?

b) las seis resulten ser ciudades de mercado primario?


Permutaciones


Las Permutaciones son subconjuntos ordenados de

tamaño n tomados de un conjunto de tamaño N.

El número de Permutaciones de tamaño n que se

pueden obtener de un conjunto de tamaño N, para

n N, es igual a:

)!nN(

!NPN

n


Permutaciones: ejemplo


En Guayaquil, en uno de los buses de la “Metrovía”,

existe una fila lateral de 4 asientos para personas

especiales o también de la tercera edad. Si en el

bus viajan 8 pasajeros aptos para ocupar este tipo

de asientos, ¿de cuántas maneras diferentes pueden

sentarse ellos?

)personascuatroparadasquedándosesiguenPero(

16805678!4

!45678

)!48(

!8

4

8!4PformasdeNúmero 8

4


EJERCICIO


Juego de Póker – Examen Semestre anterior


Muestreo con y sin reposición


Muestreo sin reposición o más conocido como

Muestreo Aleatorio Simple: consiste en la selección

aleatoria de elementos sin ser reintegrados a la

Población Objetivo.

Ejemplo: de un mazo de naipes que tiene 52 cartas

(13 son corazón rojo, 13 corazón negro, 13 brillo y 13

trébol), se van a tomar 2 cartas de manera sucesiva,

aleatoria y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de

que la segunda carta sea trébol, sabiendo que la

primera fue corazón rojo?


Que se lee, “probabilidad de que E2 ocurra dado que ya ocurrió E1”



En primer lugar podemos afirmar que:

E1: se selecciona una carta de corazón negro.

E2: se selecciona una carta de trébol, sabiendo que ya se

extrajo una carta, que es corazón negro y que no ha sido

reintegrada al mazo.

52

13

)(N

)E(N)E(P 1

1

51

13)EE(P 12




Muestreo con reposición: consiste en la selección

aleatoria de elementos de tal manera que una vez

observados sean reintegrados a la Población Objetivo.

Ejemplo: Nótese que si una vez verificada cuál fue la

primera carta extraída hubiese sido reintegrada al

mazo tendríamos,

)E(P52

13)EE(P 212


Probabilidad Condicional


La Probabilidad Condicional es la probabilidad de que

ocurra un evento A, sabiendo que ha sucedido un

evento B.

Se denota por:

Dicha probabilidad también puede ser calculada

como:

"BdadoAdeadprobabilidla"leesey)BA(P

Bquesiempre;)B(P

)BA(P)BA(P


Probabilidad Condicional: ejemplo


Se sabe que el 50% de la población fuma y que el

10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad

de que alguien que es fumador sea hipertenso?

Datos:

A: personas que son hipertensas.

B: personas que fuman.

P(B) = 0.50

P(AB) = 0.10

Se pide:

P(AB)


Probabilidad Condicional: ejemplo


Se sabe que el 50% de la población fuma y que el

10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad

de que alguien que es fumador sea hipertenso?

Desarrollo:

Por lo tanto, la probabilidad de que alguien sea

hipertenso dado que se conoce que es fumador es

0.20.

20.050.0

10.0

)B(P

)BA(P)BA(P




Es importante tener en cuenta que la definición de

Probabilidad Condicional satisface los axiomas de

Kolmogorov, sin embargo debe resaltarse que si elexperimento tiene un Espacio Muestral ( , L), al

“condicionar” el mismo, el espacio Muestral se restringe a(’ , L ’); donde ’ es el conjunto de resultados posibles,

conociendo que ha ocurrido E1.

P(E1 E1) = 1;

P(E2 E1) 0; y,

P(E2 E3 E1) = P(E2 E1) + P(E3 E1), siempre que E2 E3 =




P(E2 E3 E1) = P(E2 E1) + P(E3 E1), siempre que

E2 E3 = .

Demostración

P(E2 E3 E1) = P[(E2 E3) E1]/P(E1)

= P[(E2 E1) (E3 E1)]/P(E1)

= [P(E2 E1) + P(E3 E1)]/P(E1)

= P(E2 E1)/P(E1) + P(E3 E1)/P(E1)

P(E2 E3 E1) = P(E2 E1) + P(E3 E1)


Probabilidad Condicional: Teorema 3


Si P(E2) > 0 entonces

Demostración

)EE(P1)EE(P 2c121

)EE(P1)E(P

)EE(P1)EE(P

)E(P

)EE(P

)E(P

)E(P

)E(P

)EE(P)E(P

)E(P

)]EE(E[P

)E(P

)EE(P)EE(P

2c1

2

2c1

21

2

2c1

2

2

2

2c12

2

2c12

2

2121


Independencia Estocástica de Eventos


Sean E1 y E2 eventos de un mismo Espacio Muestral,

diremos que el Evento E1 es Estocásticamente

Independiente del Evento E2 cuando y solo cuando:

P(E1 E2) = P(E1) P(E2)

También se cumple que P(E2 E1) = P(E2), así como

P(E1 E2) = P(E1).

Si E1 y E2 son estocásticamente independientes no son

mutuamente excluyentes, pues necesariamente

P(E1 E2) 0.


Independencia Estocástica de Eventos: ejemplo


Si se tienen eventos E1 y E2 que se conoce son

independientes y se sabe además que P(E1) = 0.80 y

P(E2) = 0.30, determinar P(E1 E2) y P(E1 E2).

Desarrollo:

Si los eventos son por hipótesis independientes, se

cumple que:

P(E1 E2) = P(E1) P(E2) = (0.80)(0.30) = 0.24

Mientras que:

P(E1E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1E2) = 0.80 + 0.30 – 0.24

P(E1E2) = 0.86


Independencia Estocástica de Eventos


Tres eventos E1, E2 y E3 se dicen sonEstocásticamente Independientes, cuando y solocuando es verdad que se cumplen las siguientes cuatrocondiciones:

i. P(E1 E2) = P(E1) P(E2)

ii. P(E1 E3) = P(E1) P(E3)

iii. P(E2 E3) = P(E2) P(E3)

iv. P(E1 E2 E3) = P(E1) P(E2) P(E3)

Téngase en cuenta que

P(E1 E2 E3) = P(E1) P(E2 E1) P(E3 E1 E2 )


Independencia Estocástica de Eventos: ejemplo


De un mazo de barajas se extraen de manera sucesiva y

sin reemplazo cuatro cartas, se pide calcular la

probabilidad que todas las cartas sean “reyes”.

Desarrollo

Ei: sale rey en la i-ésima extracción.

Se nos pide calcular P(E1 E2 E3 E4), que usando la

expresión anterior tendríamos:

P(E1E2 E3E4) = P(E1) P(E2 E1) P(E3 E1E2) P(E4 E1E2 E3)

6497400

24

49

1.

50

2.

51

3.

52

4)EEEE(P 4321


Regla de la Probabilidad Total


En un experimento estadístico, supongamos que el

conjunto de resultados posibles , es “particionado”

en k eventos, a los que denominaremos E1, E2, …, Ek.

Particionar significa que los k eventos son Exhaustivos

y Mutuamente Excluyentes.

jipara,EEE

k

1i

jii




Supongamos que A es un evento cualquiera en ( , L).

Entonces:

k

1i

ii

iii

k

1i

i

k21

k

1i

ik21

)E(P)EA(P)A(PquetenemosFinalmente

)E(P)EA(P)EA(PqueconoceseAdemás

)EA(P)A(P

)EA(P...)EA(P)EA(P)A(P

)EA()EA(...)EA()EA(A




A = (A E1) (A E2) … (A Ek)

E3

E2E1

E4

E5

E6

Ek

A

E1 A


Regla de la Probabilidad Total: ejemplo


Cuatro ventanillas operan en la agencia de un banco,

en su orden, las ventanillas atienden al 25%, 28%, 33%

y 14% de los clientes. En la ventanilla 1 ocurre alguna

inconformidad el 13% de las veces que atienden a un

cliente; en la ventanilla 2 el 2%; en la ventanilla 3 el

5% de las veces; y, en la restante, el 1.50% de las

veces. ¿Cuál es la probabilidad que un día cualquiera

se produzca una inconformidad?




Datos

A: se produce una inconformidad.

E1: el cliente es atendido en la ventanilla 1.




P(E1) = 0.25 ; P(A E1) = 0.13 ; P(E2) = 0.28 ; P(A E2) = 0.02

P(E3) = 0.33 ; P(A E3) = 0.05 ; P(E4) = 0.14 ; P(A E4) = 0.015

Se pide

P(A)




Desarrollo

P(A) = P(AE1)P(E1) + P(AE2)P(E2) + P(AE3)P(E3) + P(AE4)P(E4)

P(A) = 0.13 (0.25) + 0.02 (0.28) + 0.05 (0.33) + 0.015 (0.14)

P(A) = 0.0325 + 0.0056 + 0.0165 + 0.0021

P(A) = 0.0567

La probabilidad de que se produzca una inconformidad un

día cualquiera es de 0.0567.


Teorema de Bayes


Sea ( , L) el Espacio Muestral de un Experimento

Estadístico; sean además E1, E2, …, Ek, k Eventos

Exhaustivos y Mutuamente Excluyentes en dicho

Espacio Muestral. Sea A un evento cualquiera que

resulta en el experimento. Bajo estas condiciones,

)A(P

)E(P)EA(P

)E(P)EA(P

)E(P)EA(P)AE(P

rr

k

1i

ii

rr

r


Teorema de Bayes: demostración


Por la aplicación de la definición de probabilidad

condicional, se conoce que:

k

1i

ii

rr

r

rrr

rr

)E(P)EA(P

)E(P)EA(P)AE(P

)A(P

)E(P)EA(P)AE(P

)A(P

)EA(P)AE(P


Teorema de Bayes: ejemplo


Con los datos de las ventanillas del banco del ejercicio sobre

Probabilidad Total, si se conoce que ocurrió una

inconformidad, y no es posible identificar quien lo cometió,

por falta de cooperación del usuario. ¿Cuál es la probabilidad

que ocurrió en la ventanilla 2?

Se pide

P(E2 A)

Por lo tanto, la probabilidad de que dado que ocurrió una

inconformidad ésta haya sido en la ventanilla 2 es 0.099

099.00567.0

)28.0(02.0

)A(P

)E(P)EA(P)AE(P

22

2


Referencias


Zurita, G. (2010), “Probabilidad y Estadística:

Fundamentos y Aplicaciones”, Segunda Edición,

Escuela Superior Politécnica del Litoral, Instituto de

Ciencias Matemáticas, Guayaquil-Ecuador.

clase6 estadística

Engineering