EXPERIMENTOALEATORIO

ESPACIOMUESTRAL

SUCESO O EVENTO

( )( )

( )

n AP A

n ( ) 0n

EXPERIMENTO ALEATORIO

ESPACIOMUESTRAL

Es todo proceso que consiste en laejecución de un acto o prueba una omás veces, cuyo resultado en cadaprueba depende del azar.

Conjunto de todos los resultadosposibles de dicho experimento

SUCESOO EVENTO

EVENTO ELEMENTAL

(Conjunto unitario)

EVENTO IMPOSIBLE

(Conjunto Vacío)

EVENTO COMPUESTO

( Dos o más eventos)

Es cualquier subconjunto del espaciomuestral, se denotan con letrasmayúsculas.

OPERACIONESUniónIntersecciónDiferencia ComplementoProducto cartesiano

Evento Independiente

Los eventos A y Bsonindependientes, sial ocurrir uno deellos cualquiera,no afecta laocurrencia del otro

donde

n(A) = número de elementos del evento A

n(Ω) = número de elementos del espacio muestral Ω.

La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias

posibilidades, que un hecho o condición se produzcan. La

probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se obtiene un

resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre

el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las

condiciones de estabilidad que el contexto supone de antemano.

Esto es( )

( ) ( )

n AP A

n

) 0 ( ) 1

) ( ) 1

) ( ) ( ) ( )

a P A

b P

c Si A B P A B P A P B

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

TEOREMAS DE PROBABILIDAD1 ( ) 0

2 ( ) 1 ( )

3 ( ) ( ) ( ) ( )

C

T P

T P A P A

T Si A B P A B P A P B P A B

1. Se lanza una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad

de obtener exactamente dos sellos?

2. En una facultad de cierta Universidad el 30% de los

estudiantes desaprobaron Química, el 35% desaprobaron

Lenguaje y el 15% desaprobaron las dos materias; se

selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad

de que desaprobara Química o Lenguaje?

3. En un ómnibus viajan 10 varones, 15 damas y 20 niños.

¿Cuál es la probabilidad de que el primero en bajar sea un

niño?

HÁBITO DE FUMARBRONQUITIS

TOTALSI NO

FUMA 140 110 250

NO FUMA 50 100 150

TOTAL 190 210 400

4. La siguiente tabla muestra la distribución de 400 personas

según hábito de fumar y presencia de bronquitis.

Si se elige una persona al azar ¿Cuál es la probabilidad de que:

i) Fume y tenga bronquitis

ii) No fume o tenga bronquitis.

iii) Fume.

5. En una compañía hay 7 mujeres y 5 varones que aspiran a ser

miembros de un comité. Si se deben escoger 3 al azar

escribiendo los nombres en hojas de papel y sacándolos de una

urna.

a) ¿Cuál es la probabilidad que los tres sean varones?

b) ¿Cuál es la probabilidad que 2 sean varones y 1 sea mujer?

6. Un servicio de Urología en el que el 38.2% de los pacientes a

los que se les practica una biopsia prostática presentan una

hiperplasia benigna (HB), el 18.2% prostatitis (PR) y en un

43.6% el diagnóstico es de cáncer (C). ¿Cuál es la probabilidad

de que un paciente que se somete a una biopsia de próstata nos

se confirme el diagnóstico de prostatitis?

( ) 0.8P A ( ) 0.3P B( ) 0.10P A B

( )P A B ( )P B A

7. Sean A y B dos eventos que no son mutuamente

excluyentes tal que:

Encuentre:

a) b)

8. Un experimento aleatorio consiste en disponer los

dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 uno a continuación de otro.

Calcular la probabilidad de:

a) Que el 3 aparezca junto al 4 y en ese orden.

b) El número formado sea par.

9. Un joven se presenta a 2 universidades A y B. El estima la

probabilidad que sea admitido en la Universidad A en 0.8; a la

Universidad B en 0.75; en al menos una de ellas en 0.95.

¿Cuál es la probabilidad que ingrese a ambas universidades?

10. De 250 empleados de una compañía, 130 fuman cigarrillos. Hay

150 hombres que trabajan en esta compañía, de los cuales 85 fuman

cigarrillos. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado

al azar:

a) No fume cigarrillo.

b) Sea hombre y fume cigarrillos.

c) Sea mujer o fume cigarrillos.

11. En la realidad nacen más niños que niñas. En un grupo

típico hay 205 bebes recién nacidos y 105 de ellos son

niños. Si un bebe del grupo es seleccionado al azar, ¿cuál

es la probabilidad de que el bebe no sea un niño?

12. Tres varones y dos chicas van al cine y encuentran una

fila de 5 asientos juntos en una misma fila donde desean

acomodarse. Determinar cuál es la probabilidad de que las

chicas no se sienten juntas.

13. A una señora embarazada le diagnosticaron que tendría

cuatrillizos. ¿Cuál es la probabilidad que el día del parto

nazcan dos mujeres y dos varones?

DEFINICIÓN: Sean A y B dos eventos en un espacio

muestral. La probabilidad condicional de B dado A, es el

número que se define por:

AXIOMAS

Si “A” es el evento tal que , satisface los

siguientes axiomas:

( / )P B A

( )( / ) , ( ) 0

( )

P A BP B A P A

P A

( ) 0P A ( / )P B A

1 2 1 2 1 2

) 0 ( / ) 1

) ( / ) 1

) ( / ) ( / ) ( / )

a P B A

b P A

c Si B B P B B A P B A P B A

TEOREMAS

Como consecuencia de los axiomas anteriores tenemos

los siguientes teoremas

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

De la definición de probabilidad condicional obtenemos

una forma para hallar la probabilidad de la intersección

o producto.

1 ( / ) 0

2 ( / ) 1 ( / )

3 ( / ) ( / ) ( / ) ( / )

C

T P A

T P B A P B A

T Si B C P B C A P B A P C A P B C A

( ) ( ) ( / ) P A B P A P B A( ) ( ) ( ) P A B P A P B

Eventos Independientes Eventos Dependientes

1. En una facultad el 25% de los estudiante desaprobaron

Química, el 35% desaprobaron física y el 10%

desaprobaron las dos materias. Se selecciona un estudiante

al azar:

a) Si desaprobó Química , ¿cuál es a probabilidad de que

desapruebe física?

b) Si desaprobó Física, ¿cuál es la probabilidad de que

desapruebe Química ?.

2. En una universidad el 70% de los estudiantes son de

ciencias y el 30% de letras; de los estudiantes de

ciencias el 60% son varones y los de letras son varones

el 40%. Si se elige aleatoriamente un estudiante.

Calcular la probabilidad que:

a) Sea un estudiante varón.

b) Sea un estudiante varón, si es de ciencias.

c) Sea un estudiante de ciencias, si es varón

3. En un lote de 10 artículos hay 3 defectuosos. Si se

toma al azar 3 artículos uno tras otro . ¿Cuál es la

probabilidad de que los 3 artículos sean buenos?

Consiste en particionar el espacio muestral Ω en n- eventos

que son mutuamente excluyentes, es decir:

Consideremos otro evento B que depende de

Resulta que:

n

i=1

i j iA A A1 2, , , nA A A

1

( ) ( ) ( / )n

i i

i

P B P A P B A

1. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10

bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis

bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres

bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de

que al tomar una bombilla al azar de una caja cualquiera, esté

fundida?

2. En una fábrica de pernos, las máquinas A, B y C fabrican 25, 35

y 40 por ciento de la producción total, respectivamente. De lo que

producen 5, 4 y 2 por ciento respectivamente son pernos

defectuosos. Si se escoge un perno al azar, ¿cuál es la probabilidad

de que sea defectuoso?

3. Un ensamblador de computadoras usa partes que provienen de

tres proveedores A, B y C. De 2000 partes recibidas 1000 provienen

de A, 600 de B y el resto de C. De experiencias pasadas, el

ensamblador sabe que las partes defectuosas que provienen de A, B

y C son respectivamente 3%, 4% y 5%. Si se elige una

computadora al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga una

parte defectuosa?