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Clase
Sistemas de ecuaciones de primer grado
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Ecuación de primer grado
ecuación
numérica
ecuación
fraccionaria
2x – 3 = x 3x52
x
ecuación
literal
px + q = qx + p
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Aprendizajes esperados
• Resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas.
• Determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones
de primer grado con dos incógnitas.
• Modelar situaciones mediante sistemas de ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas.
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26. Dado el sistema el valor de y es
A) 0
B) 3b
C) 6b
D) 7a
E) 14a
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2010.
Pregunta oficial PSU
bayx
bayx
37
37
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Sistemas de ecuaciones
de primer grado
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Sistemas de ecuaciones
Para determinar el valor numérico de cada una de ellas, debe
existir la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas.
Definición
Es un conjunto de ecuaciones donde hay más de una incógnita.
Ejemplo:2x + 3y = 7
x – 4y = 2
x + 2y + 3z = 51
2x + 3y + z = 72
3x + y + 2z = 57
Es decir, si hay 3 incógnitas, debe haber 3 ecuaciones distintas.
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Sistemas de ecuaciones
Gráficamente, la solución de un sistema de ecuaciones lineales
(o de primer grado) corresponde a la intersección de las rectas
representadas por dichas ecuaciones.
Definición
Ejemplo:
2) x + y = 5
1) 2x – y = – 2
1) 2x – y = – 2
– y = – 2x – 2
(Restando 2x)
(Multiplicando por – 1)
2) x + y = 5
y = – x + 5
(Restando x)
y = 2x + 2
– 1– 2– 3
2
3
4
5
1
1 2 3 4
Solución del sistema
x = 1 ; y = 4
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Sistemas de ecuaciones
Ejemplo:
Por lo tanto, al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que
tenga:
• una solución:
• infinitas soluciones:
• ninguna solución:
las rectas se intersectan en un solo punto (x, y).
las rectas son coincidentes.
Las rectas son paralelas.
6x – 2y = – 4
3x – y = – 2 y = 3x + 2
y = 3x + 2
– 1– 2– 3
1
5
2
3
4
1 2 3 4
– 1– 2– 3 1
2
3
4
2 3 4
1
5
9x = 3y
3x – y = – 2 y = 3x + 2
y = 3x
Ejemplo:
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Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas
• Igualación:
Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones
del sistema. Luego, se igualan los resultados.
El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones
despejadas del sistema.
Ejemplo:
Despejando x en ambas ecuaciones:
1) 2x + 3y = 7
2x = 7 – 3y
2) x – 4y = – 2
x = – 2 + 4y
7 – 3y
2x =
Sistemas de ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2) x – 4y = – 2
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Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas
Igualando ambas ecuaciones se obtiene
7 – 3y = – 4 + 8y
7 – 3y + 3y = – 4 + 8y + 3y
7 = – 4 + 11y
7 + 4 = – 4 + 11y + 4
11 = 11y
1 = y
(Sumando 3y)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
= – 2 + 4y7 – 3y
2
Sistemas de ecuaciones
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se
determina el valor de x.
(Multiplicando por 2)
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Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas
2) x = – 2 + 4y
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuación despejada queda
x = – 2 + 4·1
x = – 2 + 4
x = 2
Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1).
Sistemas de ecuaciones
Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor
de y nos indica la ordenada del punto de intersección.
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Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas
• Sustitución:
Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del
sistema. Una vez despejada, se reemplaza en la otra ecuación,
determinando el valor de la otra incógnita.
El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuación despejada.
Ejemplo: 1) 2x + 3y = 7
2) x – 4y = – 2
Despejando x en la segunda
ecuación:
x = – 2 + 4y
2) x – 4y = – 2
Sistemas de ecuaciones
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Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas
Reemplazando x = – 2 + 4y en la primera ecuación resulta
1) 2x + 3y = 7
2·(– 2 + 4y) + 3y = 7
– 4 + 8y + 3y = 7
11y = 7 + 4
11y = 11
y = 1
(Distribuyendo)
(Sumando 4)
(Dividiendo por 11)
Como x = – 2 + 4y x = – 2 + 4·1
x = 2
Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1)
Sistemas de ecuaciones
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Para eliminar x, multiplicaremos la segunda ecuación por – 2
Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas
• Reducción:
Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un número
tal que una de las incógnitas quede con coeficientes opuestos en
cada ecuación. Luego, se suman ambas ecuaciones, de modo
que se elimine la incógnita con coeficientes opuestos.
Ejemplo:
/ · (– 2)
1) 2x + 3y = 7
2) – 2x + 8y = 4(+)
11y = 11
y = 1
Sistemas de ecuaciones
1) 2x + 3y = 7
2) x – 4y = – 2
Dividiendo por 11
Sumando ambas
ecuaciones
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Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas
2) x – 4y = – 2
x – 4·1 = – 2
x = 2
x = – 2 + 4
Reemplazando y = 1 en la segunda ecuación se obtiene
Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1)
Sistemas de ecuaciones
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1. En un parque hay avestruces y koalas. Si entre todos hay 55
cabezas y 170 patas, ¿cuántos avestruces y koalas hay?
Si a: cantidad de avestruces y k: cantidad de koalas, entonces:
Solución:
Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4, la cantidad
total de patas de avestruz será 2a y el total de patas de koala 4k
1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
Aplicaciones
Sistemas de ecuaciones
Como hay la misma cantidad de cabezas que animales
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1) a + k = 55
2) 2a + 4k = 170
/·(– 2) 1) – 2a – 2k = – 110
2) 2a + 4k = 170
2k = 60
k = 301) a + k = 55
a + 30 = 55
a = 55 – 30
a = 25
Por lo tanto, hay 25 avestruces y 30 koalas.
Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema:
Sistemas de ecuaciones
(+)
Sumando ambas
ecuaciones
Reemplazando
k = 30 en
primera ecuación
Amplificando
por – 2
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2. 3x + 2y = 4
9x + 6y = 12
Solución:3x + 2y = 4
9x + 6y = 12
/ ·( – 3)
– 9x + – 6y = – 12
9x + 6y = 12
0 = 0
Determinar x e y.
Sistemas de ecuaciones
(+)
Sumando ambas
ecuaciones
Se eliminaron las incógnitas y llegamos a una identidad, por lo tanto, el
sistema tiene INFINITAS SOLUCIONES.
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3. 3x + 2y = 3
9x + 6y = 12
Solución:3x + 2y = 3
9x + 6y = 12
/ ·( – 3)
– 9x + – 6y = – 9
9x + 6y = 12
0 = 3
Determinar x e y.
Ejercicios
Se eliminaron las incógnitas y llegamos a una contradicción, por lo tanto,
el sistema NO TIENE SOLUCIÓN.
Sistemas de ecuaciones
(+)
Sumando ambas
ecuaciones
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4. Dado el sistema , determinar (a + b + c).a + 2b + 3c = 51
2a + 3b + c = 72
3a + b + 2c = 57
6a + 6b + 6c = 180
(a + b + c) = 30
(a + b + c) =1806
Solución:
a + 2b + 3c = 51
2a + 3b + c = 72
3a + b + 2c = 57
Sistemas de ecuaciones
(+)
Sumando las tres
ecuaciones
Dividiendo por 6
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26. Dado el sistema el valor de y es
A) 0
B) 3b
C) 6b
D) 7a
E) 14a
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2010.
Pregunta oficial PSU
bayx
bayx
37
37
ALTERNATIVA CORRECTA
B
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Síntesis de la clase
Sistema de
ecuaciones
Igualación
Sustitución
Reducción
Métodos de resolución