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7/18/2019 CLASE-NÂ-14-1

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Departamento de

Cálculo 1Sesión N°14

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Resolve !o"le#$s %e #á&i#os ' #(ni#os $!lic$%os.

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Se le pide a un carpintero construir una cajaabierta con base cuadrada. Los lados de la cajacostarán $3 por metro cuadrado, y la base costará$4 por metro cuadrado. ¿Cuáles son lasdimensiones de la caja de máximo volumen que se

puede construir con $4!

"imensiones de una caja de máximovolumen

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¿Qué criterio podría servirnos paracalcular las dimensiones de dicha caja?

¿Cómo podemos obtener el volumenmáximo ?

¿Qué nos indica la primera y seundaderivada?

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LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudianteresuelve problemas de optimizaciónrelacionados con las cienciasempresariales e ingeniería, haciendouso del criterio de la primera ysegunda derivada.

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!n la práctica surenmuchas situaciones en"ue deseamosmaximi#ar o minimi#arcierta cantidad.

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PROBLEMÁTICA

Longitud mínima

Dos postes, uno de 12 pies de altura y el otro de 28 pies,estn a !" pies de distancia. #e sostienen por dos cables,conectados a una sola estaca, desde el nivel del suelohasta la parte superior de cada poste$Dónde debe

colocarse la estaca para %ue se use la menor cantidad decable&

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEMÁXIMOS Y MÍNIMOS

'na de las aplicaciones ms comunes delclculo implica la determinación de losvalores m(imo y mínimo de una función y

es a lo %ue llamamos OPTIMIACIÓN! )n nuestra vida diaria usamos

permanentemente este proceso, por e*emplocuanto comentamos de utilidad m(ima,mínimo costo, volta*e m(imo, m(imadistancia, m(ima capacidad, etc.

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Guía "a#a $a #%&o$u'i(n d% "#o)$%ma& d% a"$i'a'i(nd% m*+imo& , mínimo&

-+uando sea apropiado, elabore un diagrama %ue muestre lainformación dada en el problema.

. ormule una función para la cantidad %ue se %uiere ma(imizar ominimizar.

/ )(prese la función del paso 2 como función de una sola variabley se-ale el dominio de esta función. )l dominio puede serdeterminado por la naturaleza del problema.

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0 )ncuentre los valores críticos de la función e investigue si sonm(imos o mínimos locales.

1 +on base en los resultados obtenidos del paso , respondalas preguntas formuladas en el enunciado del problema.

Guía "a#a $a #%&o$u'i(n d% "#o)$%ma& d% a"$i'a'i(nd% m*+imo& , mínimo&

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E2EMPLO 3-4

)ncuentre dos n/meros cuya suma sea " y cuyo producto sea m(imo.

#olución0

#eguiremos los pasos para la solución del problema0

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E2EMPLO 3.4

'na empresa dispone de !""" para cercar una porción rectangular de terrenoadyacente a un río usando a ste como un lado del rea cercada. )l costo dela cerca paralela al río es de 3 por pie instalado y el de la cerca para los ladosrestantes es de ! por pie instalado. )ncuentre las dimensiones del ream(ima cercada.

#olución0

$rea xy

x

)laboremos una grfica con la información dada en el problema.

"imensi#n áximo

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$rea

x

y

x

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E2EMPLO 3/4

So$u'i(n5

%olumen áximo

abricante "uiere dise'ar una caja abierta "ue tena una base cuadrada y un árr)cial de *+, puladas cuadradas como muestra la )ura. ¿Qué dimensionescaja con volumen máximo.

*- uestra ecuación primaria será la "ue relaciona la

manitud "ue deseo maximi#ar. h xV .

2

=

/- uestra ecuación secundaria será la "ue permitaexpresar al volumen como una sola variable.

( ) x

xh

xh xS

4

108

1084

2

2

−=

=+=

0- !xpresamos el volumen en &unción a una sola variable1

427

4

108..

3

2

22

x xV

x

x xh xV

−=

−==

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2- !ncontremos el dominio admisible3 es decir para "ue valores de x tieneel problema.

( ) x

xh

4

108 2−

=Deducimos de esta relación "ue11080 ≤≤ x

4- Determinemos los puntos críticos de la &unción volumen en su dominio.

6

1083

04

327

2

2

±==

=−=

x

x

x

dx

dV

5- %saremos el valor positivo "ue da sentido al problema3 entonces el val "ue maximi#a la &unción volumen es x6 5. y sus dimensiones ser

( )

324

72

6.4

36108

4

6108 2

==

−=

−=

h

xh

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2

2

63( ) 0 63

63

t t R t t

t

−= ≤ ≤

+

)l ingreso obtenido por la venta de una nueva clase de

patín motorizado t semanas despus de su introducciónest dado por0

millones de dólares. $+undo se alcanza el ingresom(imo& $+ul es el ingreso m(imo&

'pta.'pta.!l momento óptimo se consiue después de 7 semanas y elinreso máximo será de 3,5 millones de dólares.

E2EMPLO 304

#olución0

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4)566+A+67 96 :;<5;

¿Qué puntos sobre la rá)ca de y627x/ son más cercanos al punto 8+

(i tenemos una cuerda de *++cm de laro ¿Cuáles serían las dimensi

rectánulo para "ue tena área máxima?

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'e(exi#n sobre lo)prendido

!n esta sesión3 ¿"ué has aprendido?¿Cuáles son los errores "ue hascometido &recuentemente en esta

unidad? ¿Cómo lo has en&rentadopara superarlos?¿!n "ué aspecto de tu vida crees "ue

usarás la optimi#ación?¿!speras utili#ar procesos deoptimi#ación en tu trabajo &uturo?

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@atemáticas para la

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