clase de lhopital

Regla de L’Hôpital

David Coronado1

1Departamento de Formación General y Ciencias BásicasUniversidad Simón Bolívar

Matemáticas I

D. Coronado L’Hôpital

Contenido

1 Regla de L’HôpitalIndeterminaciones 0/0indeterminaciones∞/∞Otras Indeterminaciones

L’Hôpital0/0indeterminaciones ∞/∞Otras Indeterminaciones

Contenido

¿Cómo se rompe una indeterminación del tipo 0/0?Usualmente factorizamos tanto el numerador como eldenominador.¿Qué hacemos si el numerador o el denominador no sonpolinomios? no podemos factorizarEn estos casos, tratamos de llevar la expresión a la forma deun límite notable. ¿Los recuerdas?Afortunadamente, existe una regla que permite romperindeterminaciones de este tipo sin necesidad de aplicar límitesnotables ni de factorizar. Solo derivar.Esta regla es la Regla de L’Hôpital

Teorema (Regla de L’Hôpital 0/0)

Suponga que l«ımx→u f (x) = l«ımx→u g(x) = 0. Si l«ımx→u

[f ′(x)

g′(x)

]existe (en cualquiera de los sentidos finito o infinito). Entonces

l«ımx→u

[f (x)

]= l«ım

[f ′(x)

g′(x)

]Aquí u puede significar cualquiera de los símbolos a−, a+,∞ ó−∞.

Nosotros no demostraremos esta regla. Para ello se utiliza elTeorema de Valor Medio de Cauchy. Si nos centraremos encomo la aplicamos.

Teorema (Regla de L’Hôpital 0/0)

Suponga que l«ımx→u f (x) = l«ımx→u g(x) = 0. Si l«ımx→u

[f ′(x)

g′(x)

l«ımx→u

[f (x)

]= l«ım

[f ′(x)

g′(x)

Nosotros no demostraremos esta regla. Para ello se utiliza elTeorema de Valor Medio de Cauchy. Si nos centraremos encomo la aplicamos.

EjemploUtilice la regla de L’Hôpital para demostrar los límites notables

l«ımx→0

sen xx

= 1; l«ımx→0

1− cos xx

Solución: Como ambos límites presentan indeterminación deltipo 0/0, aplicamos L’Hôpital:

l«ımx→0

sen xx

L′H= l«ım

cos x1

l«ımx→0

1− cos xx

L′H= l«ım

−(− sen x)

l«ımx→0

sen xx

= 1; l«ımx→0

1− cos xx

l«ımx→0

sen xx

L′H= l«ım

cos x1

l«ımx→0

1− cos xx

L′H= l«ım

−(− sen x)

l«ımx→0

sen xx

= 1; l«ımx→0

1− cos xx

l«ımx→0

sen xx

L′H= l«ım

cos x1

l«ımx→0

1− cos xx

L′H= l«ım

−(− sen x)

l«ımx→0

sen xx

= 1; l«ımx→0

1− cos xx

l«ımx→0

sen xx

L′H= l«ım

cos x1

l«ımx→0

1− cos xx

L′H= l«ım

−(− sen x)

Otros ejemplos:

Ejemplo

Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ımx→3

x2 − 9x2 − x − 6

Solución:Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamosL’Hôpital:

l«ımx→3

x2 − 9x2 − x − 6

L′H= l«ım

2x2x − 1

2(3)− 1

=65D. Coronado L’Hôpital

Otros ejemplos:

Ejemplo

x2 − 9x2 − x − 6

l«ımx→3

x2 − 9x2 − x − 6

L′H= l«ım

2x2x − 1

2(3)− 1

Otros ejemplos:

Ejemplo

x2 − 9x2 − x − 6

l«ımx→3

x2 − 9x2 − x − 6

L′H= l«ım

2x2x − 1

2(3)− 1

Otros ejemplos:

Ejemplo

x2 − 9x2 − x − 6

l«ımx→3

x2 − 9x2 − x − 6

L′H= l«ım

2x2x − 1

2(3)− 1

Otros ejemplos:

Ejemplo

x2 − 9x2 − x − 6

l«ımx→3

x2 − 9x2 − x − 6

L′H= l«ım

2x2x − 1

2(3)− 1

Ejemplo

Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ımx→2+

x2 + 3x − 10x2 − 4x + 4

l«ımx→2+

x2 + 3x − 10x2 − 4x + 4

L′H= l«ım

x→2+

2x + 32x − 4

=2(2) + 32(2)− 4

Ya que x > 2 → x − 2 > 0→ 2x − 4 > 0

Ejemplo

x2 + 3x − 10x2 − 4x + 4

l«ımx→2+

x2 + 3x − 10x2 − 4x + 4

L′H= l«ım

x→2+

2x + 32x − 4

=2(2) + 32(2)− 4

Ya que x > 2 → x − 2 > 0→ 2x − 4 > 0

Ejemplo

x2 + 3x − 10x2 − 4x + 4

l«ımx→2+

x2 + 3x − 10x2 − 4x + 4

L′H= l«ım

x→2+

2x + 32x − 4

=2(2) + 32(2)− 4

Ya que x > 2 → x − 2 > 0→ 2x − 4 > 0

Ejemplo

tan 2xln(1 + x)

l«ımx→0

tan 2xln(1 + x)

L′H= l«ım

2 sec2 2x1

Ejemplo

tan 2xln(1 + x)

l«ımx→0

tan 2xln(1 + x)

L′H= l«ım

2 sec2 2x1

Ejemplo

tan 2xln(1 + x)

l«ımx→0

tan 2xln(1 + x)

L′H= l«ım

2 sec2 2x1

Ejemplo

tan 2xln(1 + x)

l«ımx→0

tan 2xln(1 + x)

L′H= l«ım

2 sec2 2x1

Ejemplo

sen x − xx3

l«ımx→0

sen x − xx3

L′H= l«ım

cos x − 13x2

L′H= l«ım

sen x6x

L′H= l«ım

cos x6

Ejemplo

sen x − xx3

l«ımx→0

sen x − xx3

L′H= l«ım

cos x − 13x2

L′H= l«ım

sen x6x

L′H= l«ım

cos x6

Ejemplo

sen x − xx3

l«ımx→0

sen x − xx3

L′H= l«ım

cos x − 13x2

L′H= l«ım

sen x6x

L′H= l«ım

cos x6

Contenido

Otra indeterminación estudiada es la del tipo∞/∞.Estasindeterminaciones las podíamos romper si x → ±∞ y lasfunciones son polinomios. En casos más generales tambiénpodemos aplicar la regla de L’Hôpital.

Teorema (Regla de L’Hôpital∞/∞)

Suponga que l«ımx→u f (x) = l«ımx→u g(x) =∞. Si l«ımx→u

[f ′(x)

g′(x)

l«ımx→u

[f (x)

]l«ımx→u

[f ′(x)

g′(x)

Veamos los ejemplos:

EjemploUtilice la regla de L’Hôpital para calcular

l«ımx→∞

Solución:Como al evaluar nos queda la indeterminación∞/∞ podemosaplicar la regla de L’Hôpital:

l«ımx→∞

L′H= l«ım

x→∞

1ex = 0

Analizando el ejemplo anterior, ¿cuánto dá este límite?

l«ımx→∞

x10000

Contenido

Otras Indeterminaciones

Otras formas indeterminadas son: 0 · ∞,∞−∞, 00,∞0, 1∞.Para resolver estas indeterminaciones aplicaremos L’Hôpital,pero antes debemos acomodar la función para que laindeterminación sea 0/0 ó∞/∞.

Veamos los ejemplos.

EjemploResolver los siguientes límites

1 l«ımx→π/2

(tan x · ln sen x)

2 l«ımx→0+

(x · ln x)

3 l«ımx→0+

x · ln x)

4 l«ımx→∞

x · ln(

x − 1x + 1

Solución: Las indeterminaciones son del tipo 0 · ∞.

1 Para acomodar la función, escribimos tan x = sen xcos x :

l«ımx→π/2

(tan x · ln sen x) = l«ımx→π/2

(sen xcos x

· ln sen x)

= l«ımx→π/2

(sen x ln sen x

l«ımx→π/2

(tan x · ln sen x)L′H= l«ım

x→π/2

(cos x ln sen x + sen x 1

sen x cos xsen x

= l«ımx→π/2

(cos x ln sen x +��sen x 1

��sen x cos xsen x

= l«ımx→π/2

(cos x [ln sen x + 1]

2 Esta vez para acomodar la función, escribimos x =11x

l«ımx→0+

(x · ln x) = l«ımx→0+

)=∞∞

l«ımx→0+

(x · ln x)L′H= l«ım

x→0+

− 1x2

)doble C

= l«ımx→0+

(−x�2

)= l«ım

x→0+(−x)

3 l«ımx→0+

x · ln x)

4 l«ımx→∞

x · ln(

x − 1x + 1

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