Dinmica Cristalina Ondas acsticasVibraciones reticulares en cristales Cadena linealcon un tipo de tomo Cadena Lineal con dos tipos de tomos Vibraciones reticulares en cristales 3D Fonones Calor especfico en slidos Efectos anarmnicosConductividad trmica por fonones

La dinmica cristalina Estudia las caractersticas de lavibraciones en un slido cristalino

Esta relacionado con: Condiciones de propagacin deondas en una red peridica La energa trmica El calor especfico La cuantizacin de la vibraciones en unslido ( Fonones) El efecto e del acople armnico entre lostomos Efectos de anarmonicidad entre el acopleatmicoPropagacin del calor en un slido cristalino.www.ph.utexas.edu/~shvetsgr/lens.html

La dinmica cristalina Hemos asumido que los tomos en un slido estn en reposo , perorealmente los tomos vibran alrededor de su posicin de equilibrio, auna 0 K ( energa de punto cero).

La amplitud del movimiento aumenta a medida que los tomos gananenerga trmica a mas altas temperaturas. La dinmica cristalina se usa frecuentemente la aproximacin armnica, que implica que la amplitud de la vibracin es pequea con respecto a la distancia interatmica.

En esta aproximacin la fuerza se requiere para determinar la funciones de onda y la energas de los electrones en el cristal. Muchas propiedades pueden ser deducidas sin necesidad de un clculo mecanocuntico A altas temperaturas aparecen efectos anarmnicos

.

Ley de HookeUna de las propiedades de la elasticidad es que se requiere eldoble de fuerza para estirar un resorte el doble. Esta dependencia linear del desplazamiento con la fuerzadeformadora se conoce como la ley de Hooke.

Ondas AcsticasOndas longitudinales Ondas trasversales Las ondas acsticas corresponden a vibraciones atmicas con Largas. La naturaleza atmica no importa en este lmite, >>a, el medio es no dispersivo. La ondas mecnicas son perturbaciones que se propagan a travs del material ( Slido ,lquido o gas) a una velocidad que depende de las propiedades elsticas e inerciales del medio.

Ondas Elsticas A pesar de que un slido esta compuesto de tomos discretos para ondas con longitudes de onda larga la naturaleza atmica puede no ser considerada y tratar el slido como si fuese un medio continuo en tal caso las perturbaciones se consideran como ondas elsticas U(x) es el desplazamiento elstico en el punto x la deformacin e es definida como el cambio de longitud por unidad de longitud. Propagacin de ondas elsticas longitudinales en una barra

De acuerdo con la ley de Hooke, la tensin S ( Fuerza por unidad de rea) es proporcional al desplazamiento e

Para un segmento arbitrario la ley de movimiento de Newton puede ser escrita como: Y = Mdulo de Young Masa x Aceleracin Fuerza neta resultante de la tensin Ondas Elsticas

Ecuacin de onda cuya solucin conduce a ondas sonoras de velocidad vs q = Nmero de Onda (2/) = Frecuencia A = AmplitudOndas Elsticas

Relacin de dispersin (q)q 0 a longitudes de onda grandes sistema NO DISPERSIVO (no scattering)q a pequeos medio dispersivo (aparece scattering )Cuando k aumenta la velocidad decrece, si q continua aumentando la dispersin se hace importante y el sistema es altamente dispersivo Para ondas elsticas Y = Modulo elstico de Bulk = Densidad de masaVelocidad depende de la direccin, ondas trasversals viajan a velocidades menores

Velocidad del sonido para slidos tpicos VL los valores son comparables con las observaciones directas de la velocidad del sonido. La velocidad del sonido es del orden de 5000 m/s en slidos metlicos, covalentes y ionicos.

Una onda vibracional en una red cristalina es una secuencia repetitiva de desplazamientos atmicos, longitudinales, trasversales o una combinacin de ambos.La ecuacin de movimiento para cualquier desplazamiento.puede deducirse de las fuerzas restauradoras sobre los tomos producidas por los potenciales moleculares .

[ F=-V(r) ]

Se puede obtener una relacin de dispersin (q) que describe el comportamiento mecnico del sistema .. Vibraciones Reticulares

Vibraciones reticulares de una red 1D con tomos idnticos Los tomos interactan va un potencial V(r) que puede ser desarrollado en un serie de Taylor.

Esta ecuacin es similar a la energa potencial de un resorte de constante :Se puede relacionar K con el mdulo elstico de Young Y0

Cadena Lineal MonoatmicaEl modelo ms simple de cristal es una cadena uni-dimensional detomos idnticos. La cadena consiste de un nmero muy grande de tomos idnticos conidnticas masas.Los tomos estn separados por una distancia a.Los tomos se mueven solo en la direccin paralela a la cadena 1DSolo se considera interaccin con los prximos vecinos (short-rangeforces).aaaaaaUn-2Un-1UnUn+1Un+2

El caso ms simple de lacadena lineal es considerarsolamente interacciones a prximos vecinosExpandiendo la energa cercaal punto de equilibrio del ensimo tomo y usando laaproximacin elstica ( ley deHooke) la ecuacin de Newton aaUn-1UnUn+1Cadena Lineal MonoatmicaFuerza total = Fuerza a la derecha Fuerza a la izquierda

Fuerza a la derechaFuerza a la izquierda

Todos los tomos oscilan con la misma amplitud A y frecuencia . Asi una solucin posible sera:Posicin de equilibrio Posicin instantneaCadena Lineal Monoatmica

Ecuacin de movimiento para el enesimo tomo Cancelando trminos comunes

Relacin de dispersin (q)Valor mximo 1 cuando q=/a

Anlisis de la relacin de dispersin (q)q Obsrvese la periodicidad:yLas soluciones planteadas corresponden a osciladores desacoplados cada uno llamado un modo normal. Cada q define un oscilando independientemente uno del otro. Hay N modos de vibracin en la primera zona de Brillouin L=Na ( Numero de tomos en la cadena)

Adicionando un mltiplo de of 2/a a q no produce cambio en la frecuencia o en su velocidad de grupo, as para puntos fuera de la 1ZB no tienen significado fsico 1ZB

Para longitudes de onda grande, es decir, q prximo a cero, la relacin de dispersin Se reduce a :La medida de la velocidad del sonido nos permite determinar las fuerzas interatmicas y las constantes elsticas Anlisis de la relacin de dispersin (q)Aproximacin continua

Anlisis de la relacin de dispersin (q)Para longitudes de onda grandesPara valores de q en la frontera de zona de Brillouin: Las ondas elsticas en la frontera de zona de Brillouin experimentan difraccin de Braggq=/a =90o tiene un significado especial: Reflexiones de Bragg se obtienen a q= n/a

Modos de vibracin en una cadena monoatmicaNo todos los modos son posibles debido a el tomo N debe ser el mismo que el (N+n) cuando la cadena se cierra sobre si mismaSe requiere que haya un nmero entero de longitudes de onda en el en el anillo As en la 1ZB en el rango 2/a de q, hay N valores permitidos de q .

L

Cadena lineal 1D con dos tipos de tomos Dos tipos diferentes de tomos estan conectados por resortes identicos de constante K Un-2Un-1UnUn+1Un+2KKKKMMmMma)b) (n-2) (n-1) (n) (n+1) (n+2)aEste es el modelo ms simple para un cristal inico: la distancia entre prximos vecinos es a/2 y la constante de red a.

Dos ecuaciones de movimiento: una para el tomo de masa M y otra para el tomo de masa m

MmMmMUn-2Un-1UnUn+1Un+2Equacin de movimiento para la masa M (n):

Equacin de movimiento para la masa m (n-1):

-1-1Cadena diatmica

MmMmMUn-2Un-1UnUn+1Un+2

Solucin para la masa MPara la masa m

: nmero complejo que determina la amplitud relativa y la fase de la onda de vibracin.

-1Cadena diatmica

Para el tomo M (n):Cancelando trminos Cadena diatmica

Cancelando trminos comunes

Para el tomo m (n-1)Cadena diatmica

Un par de ecuaciones para y como funcin de q. esta dada por

Una ecuacin cuadrtica para 2 an se puede obtener de la siguiente manera.Ecuacin para m Ecuacin Para MCadena diatmica

En la regin de longitudes de onda larga (qa1); sin(qa/2) qa/2 Usando la expansin de Taylor para x pequeosAnlisis de la relacin de dispersin (q)

Con sinqa1 Valor mximo para la rama opticaValor Mnimo para la rama acstica Sustitutyendo los valores de en (amplitud relativa)y usando la aprox. cos(qa/2) 1 for qa1 se encuentra para Anlisis de la relacin de dispersin (q)

Hay dos valores de para cada valor de q la relacin de dispersin tiene dos ramas ;Corresponde al signo + en 2(q)Corresponde al signo - en 2(q)Rama Optica Rama Acstica La relacin de dispersin es peridica en q con periodo 2 /a = 2 /(Longitud celda unidad).Los resultados son vlidos para una cadena que contiene un nmero arbitrario de tomos por celda unitaria. Ramas acstica y Optica en (q)

Substitute into relative amplitude Esta solicion representa ondas sonoras de longitud de onda larga en el cento de la 1ZB (q=0) los dos tipos de tomos oscilan con al misma amplitud y fase con una velocidad del sonodo dada por. T Representacin esquemtica de (q) Anlisis de la relacin de dispersin (q)

Esta solucin corresponde al mximo en la rama ptica, el valor de muestra que los dos tomos oscilan in antifase con el centro de masa en reposoSubstitute into relative amplitude we obtain,Anlisis de la relacin de dispersin (q)

El otro limite para la solucin de (q) es para kq/a = en el lmite de la 1ZB donde sen(qa/2)=1.Rama Acstica M oscila y m esta en reposo Rama Optica m oscila M esta en reposo. Anlisis de la relacin de dispersin (q)

Ramas acstica y Optica en (q)Para q = 0 en el centro de la 1ZBModo trasversal acstico en una cadena diatmica Rama Acsticarama ptica Los dos tomos oscilan en antifase faseRama Opticarama Acstica

Modo transversal ptico en una cadena diatmica Amplitud de la vibracion exageradaSi los iones tienen carga opuestas, se puede excitar una vibracin de este tipo con campos elctricos (por ejemplo una onda electromagntica).

+: rama pticap-1 longitudinales 12(p-1) transversales 2Si hay p tomos en la celda primitiva, habrn 3p ramas-: rama acstica1 longitudinales 1 2 transversales 2

longitudinalesp-1 ptica1 acsticatransversal2(p-1) pticas2 acsticas

p=2Ramas acstica y Optica en (q)

Dispersin de NeutronesEl mtodo tpico para medir las curvas de dispersin (q)

http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/GaN/figs/siegle971.gif GaN

Dispersiones de fonones en molibdeno a altas presiones www.esrf.eu/news/spotlight/spotlight36phonon/

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