06-08-2015 1 Teora de Zonas Constituye una etapa superior del Modelo de Electrones en una Caja. Tiene en cuenta los cationes, el cristal. Modelo bastante complejo. Interaccin de ondas electrnicas con el cristal. Interaccin de ondas electrnicas con el cristal, con los planos del cristal. Un resultado muy importante establece que los vectores de onda electrnica k que satisfacen la ecuacin de Bragg, son ondas prohibidas dentro del cristal. (Difraccin interna). Por definicin, k= 2 /: (k grande, velocidad alta) ( cortas alta energa) El anteriorresultado en trminos de ksignifica, a nivel escalar, que hay algunos rangos de energa cintica electrnica prohibidos. (Aberturas (gaps) de energa). Interaccin de los k con los planos cristalinos. Se trabaja en el espacio de los k, (kx ky kz ).Ntese que k= 0 corresponde a v= 0, energa cintica nula. Se buscan las condiciones de difraccin con los planos, haciendo crecer k y probando en todas las direcciones posibles. La primera prohibicin corresponde a los planos ms denso del cristal, la segunda al segundoy as sucesivamente.De esta manera expresado en energas cinticas, E, para un cristal CCC, la Primera Abertura de energas prohibidas se asocia a satisfacer la Ley de Bragg con los planos {111}, despus {211], etc. N(E) segn el Modelo de Electrones en una Cajay segn el Modelo de Zonas.Este ltimo considera la interaccin entre ondas electrnicas y los planos del cristal. Otros resultados En un cristal dado: - todas las zonas tienen el mismo nmero de estados disponibles:ed1= ed2= ed3= - el nmero de estados disponibles en una zona vale:ed= f Na. donde f es un factor que depende de la estructura cristalina y Na es el nmero de tomos en el cristal General - En un estado puede haber hasta dos electrones (P. Excl. Pauli) - En un cristal de valencia v y con Na tomos, habr Ne= v Naelectrones. - De manera que a 0 [K], el nmero de estados llenos vale ll= Ne/2 - --------------------------------------------- - De lo anteriory de ed= f Na se desprende, a 0 [K]: ll= Ne/2=v Na/2= v ed/2f Caso de Cu con (CCC, f=1) y v=1: ll= ed/2, sus electrones llenan la mitad de la Primera Zona. 06-08-2015 2 Caso de Cu con (CCC, f=1) y v=1, a T= 0 [K]:ll= ed/2 Sus electrones llenan la mitad de la Primera Zona. EF est en la mitad de la Primera Zona, muy alejada de la primera apertura. Hay estados libres sobre EF. Lo anterior significa que en el Cu los electrones libres acelerados (por Temperaturao por Voltaje) no interactuarn con la Apertura de Energa, no la vern. Esto justifica: - Por qu el Cu conduce bien la electricidad y el calor. - Y por qu es razonable que el primer modelo (sin cationes y sin Aperturas de Energa) explique bien lo que ocurre en los metales. Casos del Cu y de Al, ambos metales CCC.-Estructura CCC: f=1- v= 1 para el Cuy v=3 para el Al - ell= (1/2)*edyell= (3/2)*ed . Ambos tienen estados vacos sobre EF: ambos son buenos conductores. Caso del Ca (Z=20), metal.-Estructura CCC: f=1- v=2- ell = (v/2f)*ed = (1)* ed , para el Ca El ancho de una apertura de Energa depende de caractersticas finas del catin., una propiedad del material. En el Ca hay un traslape de Zonas: buen conductor.((Estrictamente, a nivel vectorial, se trata de que un vector de onda electrnica k de magnitud k en una direccin est en una zona y otra direccin est en otra zona.)) Casos de C, Si y Ge diamante. -Estructura cristalina diamante:f= 2 - v= 4 - ell = (v/2f)*ed = 1* ed N(E) E EF El ancho de la Abertura Energtica, Eg, depende del material. Al pasar del cristal de C, al de Si y al de Ge, se tiene queEg decrece. Por sobre EF hay estados prohibidos:para que haya conduccin, los electrones prximos al nivel de Fermi debern superar la Abertura Eg. T= 0 [K] (o suficientemente baja) Casos de C, Si y Ge diamante. Energa del gap, EgC: 7eVSi:1,7 eVGe:0,74 eV Energa trmica = kT[K] k*300 [K]= 1/40 eV ; k*6.000 [K]= 1/2 eVk= 8,62 [eV/K] Estrictamente, la distribucin de la energas E(T) para saltar la barrera, corresponde a la distribucin de Fermi-Dirac. A temperaturas y/o voltajes muy altos: - Para el C la probabilidad de salto por sobre la Abertura es bajsima. El C diamante es el mejor aislante elctrico (enlace covalente fuerte). - El Si y el Ge conducen algo: semiconductores. Pero esta conductividad es muy baja para directa aplicacin prctica usual. N(E) E Tabla de Electronegatividadesde los Elementos 06-08-2015 3 0,025 (Estructura diamante) Semiconductividad Intrnseca. C, Si o Ge puro Modelo de Bandas de Energa.(Energa en el eje vertical Modelo basado en Enlaces En la Banda de Valencia estn los electrones de los enlaces. En la Banda de Conduccin estn, de haberlos, los electrones libres. Al excitar al cristal un electrn enlazado (Banda de Valencia) podra pasar a convertirse en un electrn libre (Banda de Conduccin). Entonces, en presencia de un campo elctrico habr conduccin por dos mecanismo: - Conductividad tipo n, por el electrn libre (Banda de Conductividad) - Y por un hueco positivo (falta de un electrn de enlace) en la Banda de Valencia. Este hueco puede ser transportado de enlace en enlace Semiconductores extrnsecos basados en Si y en Ge. (Semiconductores dopados) Estas matrices con v=4 se dopancon partes por milln de impurezas (ppm)ya sea con v= 3 (B, Al, ) o con v=5 (P, Sb, ...).Se forman soluciones slidas de sustitucin, con estructura diamante. Estos semiconductores se emplean en tecnologa. (As como el AsGa, etc). Ellos se fabrican a partir de monocristales de Si o de Ge de alta pureza, que luego son dopados desde a una atmsfera gaseosa del dopante. Esquema en Estructura de Bandas de Energade la Conductividad Extrnseca tipo p. Boro, v= 3 Cada impureza genera un estado energtico adicional, por sobre EFllamado estado aceptor, inicialmente vaco.Al aplicarse energa, el electrn de un enlace salta a ese estado superior, ubicado espacialmente en la impureza. Queda un hueco positivo o vacancia positiva en los enlaces, pues falta un electrn en ellos. Con un potencial elctrico ese hueco positivo puede viajar en una direccin privilegiada: eso corresponde a conductividad elctrica tipo p n(positiva). Esquema basado en Enlaces para ilustrar la Conductividad Extrnseca tipo p. Boro, v= 3