clase 2015 i electromagnetismo ii
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Magnetismo en el vacio
Magnetita (Fe3O4), imán permanente.
Principios del siglo XIX Experimento de Oersted.
1
Campo magnético socio del campo eléctrico, Gauss, Henry,Faraday y otros.
2
Los campos eléctricos y magnéticos se encuentra relacionados,Maxwell y otros
3
Inducción magnética
Cargas en reposo producen Fe =1
4πε0
qq1
r2
rr
Carga en movimiento a velocidad constante produceFm =
µ0
4π
qq1
r2 v×(
v1×rr
)con
µ0
4π= 10−7 N.s2/C2.
Fm = qv×B
B = µ04π
qq1r2 v1× r
r
F = q(E+v×B)
Si v,v1 c los efectos magnéticos son despreciables respecto a
los efectos eléctricosFm
Fe≤ v
cv1
ccon c2 =
1ε0µ0
4
Fuerza y torque magnético
La fuerza magnética ejercida por un campo magnético B sobre unconductor de sección transversal S y con N número de portadorespor unidad de volumen es:
dF = NS|dl|qv×BdF = Nq|v|Sdl×BdF = Idl×B
Si el campo B es uniforme
F =∮
CIdl×B = 0.
El torque magnético que ejerce un campo B sobre un conductorque conduce una corriente I es
dτ = r×dF = Ir× (dl×B)5
El torque resultante sobre un circuito cerrado es
τ = I∮
Cr× (dl×B)
Si B es constante
τ = IS×B, m = IS
S =12
∮C
r×dl, m =12
I∮
Cr×dl
Problema: Una partícula cargada de masa m y carga q se mueveen un campo magnético uniforme de inducción magnética B = B0k.Demuestre que el movimiento más general que describe la partículaes una hélice, cuya sección transversal es una circunferencia de radioR = mv⊥/qB. (v⊥ es la componente de la velocidad v perpendiculara B).
6
Problema:Dado un campo magnético
B = B0(x+ y)k
calcular la fuerza y el torque magnético sobre el circuito rectangularde lados a y b, que conduce una corriente I.
7
Problema: Una partícula de carga q y masa m se deja con velocidadinicial nula en el origen de coordenadas, en presencia de un campogravitatorio que ejerce una fuerza −mgk y un campo magnéticouniforme B = B0 j. Formular las ecuaciones de movimiento de lapartícula y calcular las distintas componentes de la velocidad.
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Ley de Biot-Savart
Ampere dedujo que la fuerza magnética entre dos conductores quetransportan corrientes I1 e I2 es
F2 =µ0
4πI1I2
∮1
∮2
dl2× [dl1× (r2− r1)]
|r2− r1|3
9
Teniendo en cuenta que F2 = I2∮
2 dl2×B(r2) se tiene
B(r2) =µ0
4πI1
∮1
dl1× (r2− r1)
|r2− r1|3
dB(r2) =µ0
4πI1
dl1× (r2− r1)
|r2− r1|3
Expresando en términos de la densidad de corriente
B(r2) =µ0
4π
∫V
J(r1)× (r2− r1)
|r2− r1|3dv1
dB(r2) =µ0
4π
J(r1)× (r2− r1)
|r2− r1|3dv1
B(r2) =µ0
4π
∫S
K(r1)× (r2− r1)
|r2− r1|3dS1
10
Problema: Determinar el campo magnético generado por unconductor rectilíneo infinito que conduce una corriente I
ax= tan(π−θ) =− tanθ
11
Problema: Calcular la fuerza magnética por unidad de longitud quese ejercen dos conductores paralelos separados una distancia d y queconducen corrientes I1 e I2
FL=
µ0
2π
I1I2
d
12
Problema: Determinar el campo magnético generado por unaespira circular que conduce una corriente I
13
Problema: Calcular el campo magnético en el centro de unsolenoide
14
Problema: Calcular la fuerza magnética por unidad de longitudque ejerce el conductor plano de ancho W que conduce una corrientede densidad K = K0 j sobre el alambre conductor que conduce unacorriente I0.
15
Ley de Ampere
Para corrientes estacionarias ∇ ·J = 0, entonces
∇2×B(r2) =µ0
4π
∫V
[∇2×
J(r1)× (r2− r1)
|r2− r1|3
]dv1
∇×B(r2) = µ0J(r2)
∮C
B ·dl = µ0
∫SJ ·ndS
16
Verificar la ley de ampere utilizando una corriente lineal infinita.
17
Problema: Determinar el campo magnético en cada región delcable coaxial que conduce una corriente uniforme I entrante por laparte interior y saliente por la exterior.
18
Potencial vector magnético
Ley de Gauus ∇2 ·B(r2) = 0 entonces
B = ∇×A
es decir∇
2A =−µ0J
soluciónA(r2) =
µ0
4π
∫V1
J(r1)
|r2− r1|dv1
en puntos muy alejados
A(r) =µ0
4π
m× rr3
19
Potencial escalar magnético
∇×B(r2) = µ0J(r2), si J = 0
entoncesB =−µ0∇ϕ
de acuerdo a ∇ ·B = 0 ϕ cumple con
∇2ϕ = 0
solución en puntos muy alejados
ϕ(r) =m · r4πr3
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Problema: En la figura, sean las regiones 0 < z < 0.3 m y 0.7 <
z< 1.0 m barras conductoras que transportan densidades de corrienteuniformes de 10 A/m2 en direcciones opuestas. Encontrar B en (a)z =−0.2; (b) z = 0.2; (c) z = 0.4; (d) z = 0.75 y (e) z = 1.2 m.
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Problema: Por un cilindro conductor de radio a muy largo circulauna corriente de densidad
J = J0ρ
az
Calcular el potencial vector magnético, considerando que el potencialvector de referencia es A(ρ = a) = 0
Solución: consideramos A = Az(ρ)z
∇2A =
1ρ
ddρ
(ρ
dAz
dρ
)=
−µ0J0
ρ
a si ρ ≤ a0 si ρ > a
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Problemas
1. Un conductor lineal de la figura conduce corriente I constantes,si las partes rectas del conductor tienen longitud L y la partesemi-circular tiene radio R determine la fuerza magnética queejerce el campo magnético B = B0xy sobre el conductor.
2. Un conductor plano de ancho W que tiene la forma mostrada e lafigura conduce una corriente total constante I0, si las partes rectasdel conductor son semi-infinitas, determine el campo magnéticoproducido por el conductor en el origen de coordenadas.
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(Sugerencia: utilice ley de Biot y Savart.)
3. Un conductor filamentario forma un triángulo equilátero cuyoslados son de longitud l y transporta una corriente I. Determinela intensidad del campo de inducción magnética en el centro deltriángulo.
4. Un cilindro conductor largo de radio R conduce a lo largo de sulongitud una corriente de densidad
J = J0
(1− r
R
),
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donde r es la distancia radial de un punto del espacio a partir deleje del cilindro. Determine El campo magnético producido por lacorriente en puntos (a) r < R y (b) r > R.
(Sugerencia: Utilizar ley de Ampere)
5. Un protón cuya velocidad es de 107 m/s se lanza perpendicularmentea un campo uniforme de inducción magnética de 0.15 T. (a)¿Cuánto se desvía la trayectoria de la partícula de una línea rectadespués de que ha recorrido una distancia de 1 cm? (b) ¿Cuántotarda el protón en recorrer un arco de π/2?.
6. Dado el campo magnético B = B0ρ
Rz T (Tesla), donde R es unaconstante y 0 ≤ ρ ≤ R (ρ distancia radial a partir del eje z).Determine la fuerza y torque magnético total que ejerce B sobreuna espira de la figura, que conduce una corriente I en sentidoantihorario. Considere el radio del arco circular igual a R.
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7. Un disco conductor delgado de radio interno a y radio externob, conduce una corriente superficial K uniforme, se dobla por lamitad que modo que una mitad del disco se encuentra en el planoxy y la otra mitad en el plano xz, si la dirección de la corrienteen la mitad que se encuentra sobre el plano xy es φ determine lainducción magnético B en un punto z0z (z0 > b) sobre el eje z.
8. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndrico26
macizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico huecocon radio interior R y radio exterior 2R. El conductor interiorconduce una corriente de densidad J0
(1− r
R
), con 0 ≤ r ≤ R y el
conductor exterior conduce una corriente de densidad uniforme.Si toda la corriente que ingresa por el conductor interior regresapor el conductor exterior, determine el potecial vector y el campode inducción magnética en (a) r < R, (b) R < r < 2R y (c) r > 2R.
9. Dado el campo magnético B = B0ρ
L z T (Tesla), donde L es unaconstante y 0 ≤ ρ ≤ L (ρ distancia radial a partir del eje z).Determine la fuerza y el torque magnético total que ejerce B sobrela espira triangular de la figura, que conduce una corriente I ensentido antihorario.
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10. Sobre el cilindro semicircular dieléctrico de la figura seenrolla con un alambre de cobre esmaltado (haciendo espirassemicirculares de radio C), tal que el número de vueltas porunidad de longitud n = N/B sea constante. Si sobre la bobinaasí construida se aplica una corriente I0, determine el campomagnético que genera la bobina en un punto sobre la base delcilindro y a la mitad de la distancia A.
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11. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndricohueco de radio R y exterior 2R y el conductor exterior es cilíndricohueco con radio interior 2R y radio exterior 3R. El conductorinterior conduce una corriente de densidad J0
(1− r
2R
), con R ≤
r ≤ 2R y el conductor exterior conduce una corriente de densidaduniforme. Si toda la corriente que ingresa por el conductor interiorregresa por el conductor exterior, determine el potencial vector yel campo de inducción magnética en (a) R < r < 2R, (b) 2R < r <3R y (c) r > 3R.
12. Una partícula de masa m y carga negativa −q se mueve en unaregión con campo magnético uniforme B = B0y y campo eléctricoconstante E = E0z. Si la partícula en t = 0 se encontraba en elorigen de coordenadas con velocidad inicial v0x, determine laposición en función del tiempo y realice una gráfica aproximadade la trayectoria seguida por la partícula.
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13. En una región con campo magnético B = A|x|z T (Tesla), dondeA es una constante se encuentra un anillo semicircular de radio Rque bordea la sección semicircular 0≤ r≤R, 0≤ φ ≤ π y z= 0. Sila corriente I en la espira circula en sentido antihorario, determineel torque magnético total que ejerce B sobre la espira.
14. Una cáscara esférica conductora de radio R centrada en el origentiene una corriente superficial de densidad K=K0|z|φ , si la regióndentro de la esfera es aire, determine el campo de inducciónmagnética en el centro de la cascara esférica.
15. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndricomacizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico huecocon radio interior R y radio exterior 2R. El conductor interiorconduce una corriente de densidad J0
(1− r
R
), con 0 ≤ r ≤ R y el
conductor exterior conduce una corriente uniforme cuya densidad
30
−JM, siendo JM la densidad de corriente media en el conductorinterior. Usando ley de Ampere determine el campo de inducciónmagnética en (a) r < R, (b) R < r < 2R y (c) r > 2R.
16. Una partícula de masa m y carga negativa −q se mueve en unaregión con campo magnético uniforme B = B0x y campo eléctricoconstante E = E0z. Si la partícula en t = 0 se encontraba en elorigen de coordenadas con velocidad inicial v0y, determine laposición en función del tiempo y realice una gráfica aproximadade la trayectoria seguida por la partícula.
17. En una región con campo magnético B = A|x|(x+ z) T (Tesla),donde A es una constante se encuentra un anillo circular de radioR que bordea la sección semicircular 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 3π/2 yz = 0. Si la corriente I en la espira circula en sentido antihorario,determine el torque magnético total que ejerce B sobre la espira.
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18. Una cáscara esférica conductora de radio R centrada en el origentiene una corriente superficial de densidad K=K0|z|φ , si la regióndentro de la esfera es aire, determine el campo de inducciónmagnética en el punto Rz de la cáscara esférica.
19. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndricomacizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico huecocon radio interior R y radio exterior 2R. El conductor exteriorconduce una corriente de densidad J0
(2− r
R
), con R≤ r≤ 2R y el
conductor interior conduce una corriente uniforme cuya densidades −JM, siendo JM la densidad de corriente media en el conductorexterior. Usando ley de Ampere determine el campo de inducciónmagnética en (a) r < R, (b) R < r < 2R y (c) r > 2R.
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Inducción electromagnética
Flujo magnético
Cantidad de líneas de campo magnético que pasan a través de unasuperficie.
Φ =∫
SB ·dS webers(Wb)
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Ley de Gauss del magnetismo
En la naturaleza no existen monopolos magnéticos
∇ ·B = 0 o∮
SB ·ndS = 0
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Inducción electromagnética
Propuesta por Faraday y Henry a principios del siglo XIX.
En electrostática tenemos ∇×E = 0 y ∇ ·D = ρ
Fuerza electromotriz∮
C E · dl = ε que es igual a cero para camposE y B estáticos.
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Pero si el flujo magnético sobre un circuito cerrado varía con eltiempo entonces se encuentra que
ε =−dΦ
dt
siendo Φ =∫
S B ·ndS el flujo magnético.∮C
E ·dl =− ddt
∫SB ·ndS
Utilizando el teorema de Stokes∫S∇×E ·ndS =−
∫S
∂B∂ t·ndS
Forma diferencial de la ley de Faraday
∇×E =−∂B∂ t
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Ley de Lenz: La polaridad de la fem inducida es tal, que produceuna corriente, cuyo campo magnético se opone al cambio de flujomagnético externo aplicado.
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Fem por movimiento: producida cuando una barra conductora semueve dentro de un campo magnético
La fuerza magnética produce la separación de cargas eléctricaspositivas y negativas sobre el conductos, hecho que induce un uncampo eléctrico de modo que la fuerza resultante sobre una carga del
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conductor esF = q(E+v×B)
si v es perpendicular a B en el caso límite se obtiene E = vB, demodo que si B = cte la diferencia de potencial entre los extremos dela barra es
ε = ∆ϕ =−∫ b
aE ·dl = El = BLv
Se obtienen resultados similares si se considera la ley de Faradaysobre el circuito cerrado imaginario abcd, es decir
ε =−dΦ
dt= Blv.
En general si v no es perpendicular a B, pero B = cte
ε = B · l×v
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Autoinducción
Representa la inducción electromagnética que produce un circuitosobre sí mismo.
Se encuentra que el flujo magnético sobre el circuito es proporcionala la corriente
dΦ
dt=
dΦ
dIdIdt
siendo la Autoinductancia
L =dΦ
dIes decir
ε =−LdIdt
40
Bobina toroidal
B =µ0NI
l
Φ1 =µ0NIA
l, Φ =
µ0N2IAl
, L =µ0N2A
l
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Inductancia Mutua
Dado un sistema de n circuitos, el flujo sobre el i-ésimo circuito es
Φi = Φi1+Φi2+ . . .+Φii+ . . .+Φin =n
∑j=1
Φi j
La fem inducida sobre el circuito i es
εi =−dΦi
dt=−
n
∑j=i
dΦi j
dt
Si los cambios de flujo dependen de las corrientes
dΦi j
dt=
dΦi j
dI j
dI j
dt→ Mi j =
dΦi j
dI j, i 6= j
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Embobinados toroidales
B =µ0N1I1
l, Φ11 =
µ0N21 I1Al
, Φ21 =µ0N1N2I1A
l
L1 =µ0N2
1Al
M21 =µ0N1N2A
l
B =µ0N2I2
l, Φ22 =
µ0N22 I2Al
, Φ12 =µ0N1N2I2A
l
L2 =µ0N2
2Al
M12 =µ0N1N2A
l
M12 = M21 M12 =√
L1L2, M12 = k√
L1L2, 0≤ k ≤ 1
k coeficiente de acoplamiento.
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Inductancias en serie y paralelo
SerieV = (R1+R2)I +(L1+L2+2M)
dIdt
Le f = L1+2k√
L1L2+L2
Paralelo
Le f =L1L2−M2
L1+L2−2M
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Problemas
1. La ubicación de la barra deslizante de la figura está dada porx = 5t + 2t3 y la separación entre los dos rieles es de 20 cm. SeaB = 0.8x2z T. Encontrar la lectura del voltímetro en a) t = 0.4 s yb) x = 0.6 m
45
2. Un conductor metálico que tiene la forma de un segmento dealambre de longitud L se mueve en un campo magnético Bcon velocidad v. Partiendo de una consideración detallada de lafuerza de Lorentz sobre los electrones del alambre, demuestre quelos extremos de este se encuentran a la diferencia de potencial:B ·L×v.
3. Una varilla metálica de un metro de longitud gira en torno a uneje, que pasa por uno de sus extremos y que es perpendicular a lavarilla, con una velocidad angular de 12 rad/s. El plano de rotaciónde la varilla es perpendicular al campo magnético uniforme de 0.3T. ¿Cuál es la fem inducida por movimiento entre los extremos dela varilla?
46
4. Un cilindro conductor de radio R muy largo que coincide conel eje y conduce una corriente eléctrica de densidad J1(t) =
J0rR
cosωt y y una espira triangular de vértices (R + b)x, (R +
b+ L)x y (R+ b)x+ Ly se encuentra en el plano xy y conduceuna corriente I2(t) en sentido antihorario. Determine: (a) lafem inducida por el alambre sobre la espira cuadrada y (b) lainductancia mutua entre el alambre y la espira.
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5. Una espira cuadrada de lado 2a y resistencia R se mueve convelocidad constante v hacia la derecha como se muestra en lafigura, penetra en una región de anchura 2b donde hay un campomagnético B = B0xcosωtz perpendicular al plano del papel yhacia fuera. Calcular (a) El flujo en función de la posición x delcentro de la espira. (b) La fem y el sentido de la corriente inducida,justificando la respuesta en términos de la ley de Lenz
48
6. Para una corriente rectilínea y una espira rectangular. (a) Calcularel coeficiente de inducción mutua. (b) Supongamos ahora, que lacorriente rectilínea tiene una amplitud de 10 A y una frecuenciade 60 Hz, determinar la intensidad de la corriente inducida en laespira, si su resistencia es de 40 Ω. Dibújese sobre la espira elsentido de dicha corriente cada cuarto de periodo. Dibujar en unmismo gráfico, intensidad - tiempo, la intensidad en la corrienterectilínea y la intensidad en la espira. Razónese las respuestas.
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Magnetismo en materiales
50
Dipolo magnético
A =µ0I4π
∮ dlr
en puntos muy alejados A =µ0m× r
4πr2
1|r− r′|
=1r+
r · r′
r3 +O(δ 2)
51
A =µ0Iπa2 senθ
4πr2 φ , m =12
I∮
Cr× dr = ISn
B = ∇×A =µ0m4πr3
(2cosθ r+ senθθ
)
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Magnetización
Objetivo: efecto del campo magnético sobre los materiales.
La materia se compone de átomos, cada átomo tiene electrones quedescriben órbitas al rededor del núcleo y rotan en torno su propioeje (dipolos magnéticos). Estos dipolos magnéticos producen campomagnético.
Magnetización: momento dipolar magnético por unidad de volumen
M = lım∆V→0
1∆V ∑
imi
mi es el momento dipolar magnético del i-ésimo átomo.
En el SI M se mide en Am−1
53
Magnetización uniforme: las corrientes magnéticas se distribuyenuniformemente en el material (se eliminan todas las corrientesatómicas), pero existe corriente superficial.
Magnetización no uniforme: la distribución de las corrientesatómicas varía en el espacio, generando corrientes de magnetizacióndentro del material (estas corrientes no implican movimiento decargas eléctricas libres).
54
Corriente de magnetización
El momento dipolar de un volumen ∆V es ∆m = M∆V , que a suvez se expresa como ∆m = ISn, entonces los momentos dipolares delos elementos de volumen de la figura son
Mx∆x∆y∆z = I′c∆y∆z,(
Mx+∂Mx
∂y∆y)
∆x∆y∆z = I′′c ∆y∆z
55
La corriente magnética paralela al eje z en la región entre los doselementos de volumen es
I′c− I′′c =−∂Mx
∂y∆x∆y
al considerar elementos de volumen de magnetización My y My+∆y setiene
(Ic) =∂My
∂x∆x∆y
La corriente total paralela al eje z es
Jz =∂My
∂x− ∂Mx
∂y
Considerando elementos de volúmenes similares se encuentra
56
Jx =∂Mz
∂y− ∂My
∂ z, Jy =
∂Mx
∂ z− ∂Mz
∂ z
Entonces la corriente de magnetización JM se expresa como
JM = ∇×M
JM es una corriente ficticia que aparece en un material magnetizado.
Campo magnético producido por un material magnetizado
Considerando elementos de volumen con ∆m = M∆V el potencialvector A es
57
A(r) =µ0
4π
∫V0
M(r′)× (r− r′)|r− r′|3
dV ′
∇× (ϕF) = (∇ϕ)×F+ϕ∇×F,∫
V∇×FdV =
∮Sn×FdS′
58
A(r) =µ0
4π
∫V0
∇′×M|r− r′|
dV ′+µ0
4π
∫S0
M×n|r− r′|
dS′
entoncesJM = ∇×M, KM = M×n
es decir
A(r) =µ0
4π
∫V0
JM
|r− r′|dV ′+
µ0
4π
∫S0
KM
|r− r′|dS′
Calculando ahora el campo de inducción magnética
B(r) = ∇×A =µ0
4π
∫V0
JM× (r− r′)|r− r′|3
dV ′+µ0
4π
∫S0
KM× (r− r′)|r− r′|3
dS′
59
Por otro lado
B(r) = ∇×A =µ0
4π
∫V0
∇×[
M× r− r′
|r− r′|3dV ′]
∇×[
M× r− r′
|r− r′|3
]= M∇ ·
[r− r′
|r− r′|3
]− (M ·∇)
r− r′
|r− r′|3
∇ ·M = 0 entonces
B = BI(r)+BII(r)
BI =µ0
4π
∫V0
M∇ ·[
r− r′
|r− r′|3
]dV ′
BII =−µ0
4π
∫V0
(M ·∇)r− r′
|r− r′|3dV ′
60
BI =µ0
4π
∫V0
M4πδ (r− r′)dV ′ = µ0M(r)
BII =−µ0∇1
4π
∫V0
M · r− r′
|r− r′|3dV ′
BII =−µ0∇ϕ(r)
ϕ(r) =1
4π
∫V0
M · r− r′
|r− r′|3dV ′
B(r) =−µ0∇ϕ(r)+µ0M(r)
61
Potencial escalar y densidad de polo magnético
ϕ(r) =1
4π
∫V0
M · r− r′
|r− r′|3dV ′
M · r− r′
|r− r′|3= ∇
′ · M|r− r′|
− 1|r− r′|
∇′ ·M
entonces
ϕ(r) =1
4π
∫V0
ρMdV ′
|r− r′|+
14π
∫S0
σMdS′
|r− r′|
donde ρM y σM son la densidad de polo magnético dados por
62
ρM =−∇ ·M y σM = M ·n
el campo B es
B(r) =µ0
4π
∫V0
ρMr− r′
|r− r′|3dV ′+
µ0
4π
∫S0
σMr− r′
|r− r′|3dS′+µ0M(r)
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Fuentes de campo magnético e intensidad magnética
Si existe corriente eléctrica, entonces el campo B en un mediomaterial es
B(r) =µ0
4π
∫V
J× (r− r′)|r− r′|3
dV ′−µ0∇ϕ(r)+µ0M(r)
Considerando que la intensidad de campo magnético en el materiales H dado por
H(r) =1
4π
∫V
J× (r− r′)|r− r′|3
dV ′−∇ϕ(r) A/m
tenemos
64
H =1µ0
B−M
B = µ0(H+M)
65
Ley de Gauss y Ampere
La ley de Gauss en medios materiales es expresado por
∇ ·B = 0,∮
SB ·ndS = 0
La ley de Ampere se escribe como
∇×B = µ0(J+JM)
teniendo en cuenta que JM = ∇×M
∇×(
1µ0
B−M)= J
es decir
66
∇×H = JIntegrando a través de una superficie y utilizando el teorema deStokes tenemos
∮C
H ·dl =∫
SJ ·ndS
Medios magnéticos lineales
Son materiales en las cuales la magnetización es proporcional alcampo magnético H.
M = χmH
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donde χm es una constante adimensional llamada susceptibilidadmagnética del material.
La susceptibilidad depende de las propiedades del material:estructura electrónica, atómica, densidad, temperatura, etc. Nodepende del campo aplicado.
En materiales isótropos, χm es una cantidad escalar. Esto implicaque la magnetización es paralela al campo aplicado.
En los materiales magnéticos anisótropos, la susceptibilidad es untensor
χm =
χxx χxy χxz
χyx χyy χyz
χzx χzy χzz
de forma que en estos materiales la magnetización no necesariamentees paralela al campo aplicado.
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Permeabilidad magnética: En medios lineales el campo Btambién es proporcional al campo magnético H
B = µ0(H+M) = µ0(1+χm)H = µH
a la cantidad µ = µ0(1+χm) se denomina permeabilidad magnéticadel material y a la cantidad
µr = µ/µ0 = 1+χm
es la permeabilidad magnética relativa.
69
Materiales diamagnéticos: poseen susceptibilidad negativa con|χm| << 1 de modo que µ ≈ µ0. En estos materiales el campoaplicado se reduce debido a la magnetización.
Material 105χm Material 105χm
Bismuto -16.6 Mercurio -2.9Plata -2.6 Carbono (diamante) -2.1
Carbono (grafito) -1.6 Plomo -1.8Cloruro sódico -1.4 Cobre -1.0
Agua -0.91 CO2 -0.0012
70
Materiales paramagnéticos: tienen susceptibilidad positiva, quehace que la magnetización del material refuerce al campo externoaplicado, en general χm << 1, tal que µ ≈ µ0, sin embargo existencasos con χm alto.
Material 105χm Material 105χm
Gadolinio 48000 Óxido de hierro (FeO) 720Uranio 40 Platino 26
Tungsteno 6.8 Aluminio 2.2Lithium 1.4 Magnesio 1.2Sodio 0.72 Oxígeno gaseoso 0.19
71
Ferromagnetismo: Un material está dividido en dominios magnéticos,separados por superficies conocidas como paredes de Bloch. Encada uno de estos dominios, todos los momentos magnéticos estánalineados. La relación que tiene la magnetización M con el campoaplicado H es no lineal.
72
Condiciones de frontera
Las condiciones de contorno que deben verificar los campos B y Hen la superficie de separación entre dos medios se obtienen al utilizarla ley de Gauss del magnetismo y la ley de Ampere resultando
(B2−B1) ·n2 = 0, n2× (H2−H1) = K
73
Al utilizar la ley de Ampere se obtiene
H2 · l−H1 · l = K · lt
(H2−H1) · l = K · ltsiendo t un vector perpenicular a l = hl, ademas l = t× n2
lt · [n2× (H2−H1)] = K · lt
es decirn2× (H2−H1) = K
74
Problemas de frontera
En medios donde la corriente eléctrica es nula J = 0, la ley Amperese escribe como ∇×H = 0, que nos permite expresar H en la forma
H =−∇ϕ
en medios magnéticos lineales o uniformemente magnetizadostenemos ∇ ·M = 0, es decir en la ley de Gauss ∇ ·B = 0 tenemos
∇ · (µ0[−∇ϕ +M]) = 0
es decir
∇2ϕ = 0
75
Problema: Determinar el campo B generado por una esferamagnética de radio a magnetizada uniformemente con M = M0z
La solución de ϕ(r,θ) en r < a es
ϕ1(r,θ) =∞
∑n=0
(Anrn+Bnr−(n+1))Pn(θ)
pero lımr→0
r−(n+1) no está definido, Bn = 0,
ϕ1(r,θ) =∞
∑n=0
AnrnPn(θ)
En r > a tenemos
ϕ2(r,θ) =∞
∑n=0
(Cnrn+Dnr−(n+1))Pn(θ)
debido a que las funciones rn son divergentes, es decir lımr→∞
rn = ∞,
76
Cn = 0
ϕ2(r,θ) =∞
∑n=0
Dnr−(n+1)Pn(θ)
Para obtener An y Dn usamos las condiciones de frontera H2t = H1t yB2n = B1n
H1 =−∇ϕ1 =−13
M, H2 =−∇ϕ2 =13
M0a3
r3(2cosθ r+ senθθ)
77
Problema: Esfera magnética en un campo magnético uniformeDeterminar el campo B generado por una esfera magnética depermeabilidad µ que se encuentra dentro de un campo de inducciónmagnética uniforme B = B0z
La solución de ϕ(r,θ) en r < a es
ϕ1(r,θ) =∞
∑n=0
(Anrn+Bnr−(n+1))Pn(θ)
pero lımr→0
r−(n+1) no está definido, Bn = 0,
ϕ1(r,θ) =∞
∑n=0
AnrnPn(θ)
En r > a tenemos
ϕ2(r,θ) =∞
∑n=0
(Cnrn+Dnr−(n+1))Pn(θ)
78
Si B = B0z, entonces en r→∞ ϕ2→−B0
µ0r cosθ , es decir C1 =−
B0
µ0,
así mismo como rn son funciones divergentes en r → ∞ entoncesCn = 0 para n 6= 1
ϕ2(r,θ) =−B0
µ0rP1(θ)+
∞
∑n=0
Dnr−(n+1)Pn(θ)
Usando ahora las condiciones de frontera H2t = H1t y B2n = B1n
79
Problemas
1. Una esfera magnética de radio R tiene magnetización constanteM0z, determine el campo de inducción magnética B en el centrode la esfera.
2. Un imán cilíndrico de radio R y longitud L se define por medio de0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 2π y 0 ≤ z ≤ L, y tiene una magnetizacióndada por
M =
M0(1− ρ
R
)z, si 0≤ ρ ≤ R,0≤ φ ≤ 2π,0≤ z≤ L
0 en cualquier otra región
Determine el campo de inducción magnética B en el origen decoordenadas.
80
3. Dados dos cilindros concéntricos muy largos determine elpotencial vector y la densidad de energia magnética en todo puntodel espacio, determine también la energía total magnética porunidad de longitud, teniendo en cuenta que el primer cilindro esconductor de radio R y conduce una corriente de densidad J = J0zy el segundo conductor es un cilindro magnético hueco de radiointerior R y radio exterior 2R con una magnetización M = M0
ρ
Rφ ,
donde ρ es la distancia radial de un punto al eje del cilindro y M0
una constante. Considere que el campo de inducción magnética Bes cero en ρ = 0 y el potencial vector A es una función continuaen todo el espacio y toma el valor cero en ρ = 0.
81
4. Un magneto permanente en a forma de un cilindro de longitud L yradio R es orientada tal que su eje de simetría coincide con el ejez. El origen de coordenadas se encuentra en el centro del magneto.Si el cilindro tiene una magnetización constante M, (a) determineel potencial escalar en puntos sobre el eje z, dentro y fuera delmagneto. (d) use los resultados de la parte (a) para encontrar lainducción magnética Bz en puntos del eje de simetría.
5. Una esfera de material magnético de radio R es ubicado enel origen de coordenadas. La magnetización es dado por M =
(ax2 +b)i, donde a y b son constantes. Determine las densidadesy corrientes de magnetización.
82
Energía magnética
Para establecer un campo es necesario realizar un gasto de energía.
Si a un circuito eléctrico con resistencia R se aplica una fuente V ,que produce una fem inducida ε , entonces
V + ε = RI
el trabajo que realiza V para mover un incremento de carga dq= Idtes
V dq =V Idt = (RI− ε)Idt = RI2dt− εIdt
de la ley de Faraday εdt =−dΦ, luego
83
V dq = IdΦ+RI2dtsi no existen pérdidas por efecto Joule
dWb = IdΦ
El trabajo realizado por un agente externoa para alterar el campomagnético de un conjunto de circuitos es
dWb =n
∑i=1
IidΦi
Si los flujos dΦi varían con las corrientes I j
dΦi =n
∑j=1
dΦi j
dI jdI j =
n
∑j=1
Mi jdI j
84
Si las corrientes en cada circuito i varían linealmente desde cerohasta las corrientes finales Ii, es decir I′i = αiIi, dΦi = Φidα entonces
∫dWb =
∫ 1
0dα
n
∑i=1
I′iΦi =n
∑i=1
IiΦi
∫ 1
0αdα
U =12
n
∑i=1
IiΦi
U =12
n
∑i=1
n
∑j=1
Mi jIiI j
Para dos circuitos acoplados
U =12
L1I21 +MI1I2+
12
L2I22
85
Para un solo circuito
Φ = LI, U =12
IΦ =12
LI2 =12
Φ2
L
Densidad de energía magnética
Φi =∫
Si
B ·ndS =∮
Ci
A ·dli
entoncesU =
12 ∑
iIiΦi =
12 ∑
i
∮Ci
IiA ·dli
sustituyendo Iidli→ JdV y ∑i∮
Ci→∫
V tenemos
U =12
∫V
J ·AdV
86
reemplazando ∇×H = J y teniendo en cuenta que ∇ · (A×H) =
H · (∇×A)− (∇×H) ·A se obtiene
U =12
∫V[H · (∇×A)−∇ · (A×H)]dV
usando el teorema de la divergencia
U =12
∫V
H · (∇×A)dV − 12
∫SA×H ·ndS
teniendo en cuenta que ninguno de los circuitos se extiende al infinitoy considerando que la superficie S tiende al infinito, entonces laintegral de superficie anterior es nula. Por tanto, la energía magnéticaen todo el espacio con B = ∇×A es
U =12
∫V
H ·BdV
87
definiendo la densidad de energía
u =12
H ·B , tal que U =∫
VudV
Para un medio lineal e isótropo
u =12
µH2 =12
B2
µ
88
Problema.- Un imán permanente tiene la forma de un cilindrocircular recto de longitud L. Si la magnetización M es uniforme ytiene la dirección del eje del cilindro, encontrar las densidades decorriente de magnetización JM y KM y determinar el campo B en unpunto sobre el eje del imán.
89
Problema.- Encontrar la distribución de las corrientes de magnetizacióncorrespondientes a una esfera con magnetización uniforme M.Determine el campo de inducción magnética B. Puede utilizar dichainformación para diseñar un devanado, que produzca un campomagnético uniforme dentro de la región esférica.
90
Problema.- Una esfera magnética de permeabilidad magnética µ
constante y radio R, centrada en el origen tiene una magnetizaciónuniforme M = M0z donde M0 es una constante. Determinar ladensidad de energía y la energía magnética total almacenada en elcampo magnético.
∇2ϕ∗ = 0, H =−∇ϕ
∗, ϕ∗(r,θ) =
∞
∑n=0
(Anrn+Bnr−(n+1)
)Pn(cosθ)
u=12
B·H, U =12
∫B ·HdV, P0 = 1, P1 = cosθ , P2 =
12(3cos2
θ−1)
91
Problema.- Dado una cáscara esférica de radio interior R1 y radioexterior R2, uniformemente magnetizada en la dirección del eje z.Encontrar le energía magnética almacenada.
92
Problema.- Un elipsoide con ejes principales de longitudes 2a, 2ay 2b, es magnetizada uniformemente en la dirección paralela al eje2b. La magnetización del elipsoide es M0z encontrar la densidad depolos magnéticos.
93
Problemas
1. Si M =M0
a(−yx + xy) en un cubo de arista a. Suponiendo k0
constante y el medio tiene permeabilidad constante 5µ0 calculela energía magnética almacenada dentro del cubo.
94
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuacionesque describen por completo los fenómenos electromagnéticos.La gran contribución de James Clerk Maxwell fue sintetizar lascontribuciones de Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros,introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento,y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo campo:el campo electromagnético.
95
1. Ley de Gauss de la Electrostática∮SD · ndS =
1ε0
∫ρdV, ∇ ·D = ρ
2. Ley de Gauss del magnetismo∮SB · ndS = 0, ∇ ·B = 0
3. Ley de Ampere general∮C
H ·dl =∫
S
(J+
∂D∂ t
)· ndS, ∇×H = J+
∂D∂ t
4. Ley de Inducción electromagnética de Faraday∮C
E ·dl =− dd t
∫SB · ndS, ∇×E =− ∂
∂ tB
96
Generalización de la ley de Ampere
Al considerar la ley de Ampere a través del área S1 tenemos∮C
H ·dl =∫
S1
J · ndS = I
Por otro lado si usamos el área S2 encontramos∮C
H ·dl =∫
S2
J · ndS = 0
97
Maxwell corrige la incoherencia con la corriente de desplazamiento.
De la ley de Ampere ∇×H = J tenemos ∇ ·J = 0
Pero la conservación de carga exige ∇ ·J+ ∂ρ
∂ t= 0
Para resolver la incoherencia en ∇ · J usamos ∇ · D = ρ quereemplazado en la ecuación de continuidad produce
∇ ·[
J+∂D∂ t
]= 0
si agregamos∂D∂ t
a J en la ley de Ampere la inconsistenciadesaparece
∇×H = J+∂D∂ t
98
Energía electromagnética
De las ecuaciones de Maxwell
∇ · (E×H) =−H · ∂B∂ t−E · ∂D
∂ t−E ·J
∇ · (E×H) =− ∂
∂ t12(H ·B+E ·D)−E ·J
Considerando el vector Poynting S = E×H y la densidad de
energía electromagnética u =12(H ·B+E ·D)
∇ ·S+∂u∂ t
=−J ·E
en medios no conductores
∇ ·S+∂u∂ t
= 0
99
Ecuación de onda para E en medios no conductores
∇× (∇×E) =− ∂
∂ t(∇×B)
Sustituyendo ∇×B de acuerdo a la ley de Ampere y aplicandoidentidad del rotacional tenemos:
∇(∇ ·E)−∇2E =− ∂
∂ tµ(J+ ε0
∂E∂ t
)
En medios no conductores J y ρ son ceros
−∇2E =−µε
∂ 2E∂ t2
100
Igualando a cero y teniendo que µε =1v2, siendo v la velocidad de
la luz, tenemos
∇2E− 1
v2
∂ 2E∂ t2 = 0
Ecuación de onda para H en el vacío
∇× (∇×H) = ∇× (J+ ε∂E∂ t
)
Teniendo que J es también cero, nos queda:
101
∇(∇ ·H)−∇2H = ε
∂
∂ t(∇×E)
Sustituyendo ∇×E de acuerdo a la ley de Faraday e igualando acero, tenemos la ecuación de onda para H es
∇2H− 1
v2
∂ 2H∂ t2 = 0
Onda Electromagnética.- Perturbación (oscilación) de camposeléctricos y magnéticos que no necesitan un medio para propagarse,en el vacío se propaga a c= 3×108 m/s. Transmite energía y cantidadde movimiento.
102
Problema.- Compruebe si los campos siguientes son camposelectromagnéticos genuinos; es decir si satisfacen las ecuaciones deMaxwell. Suponga que existen en regiones sin carga.
A = 40sen(ωt +10x)z
B =10ρ
cos(ωt−2ρ)φ
C =
(3ρ
2 cotφρ +cosφ
ρφ
)40sen(ωt)
D =1r
senθ sen(ωt−5r)θ
103
Potenciales electromagnéticos
Como ∇ ·B = 0 entonces
B = ∇×A
en la ley de Faraday ∇×[
E+∂A∂ t
]= 0 entonces
E =−∇ϕ− ∂A∂ t
en la ley de Ampere con B = µH y D = εE tenemos
∇×∇×A = µJ+ εµ∂
∂ t
(−∇ϕ− ∂A
∂ t
)104
∇(∇ ·A)−∇2A = µJ− εµ∇
(∂ϕ
∂ t
)− εµ
∂ 2A∂ t2
−∇2A+∇
(∇ ·A+ εµ
∂ϕ
∂ t
)+ εµ
∂ 2A∂ t2 = µJ
Considerando la condición de Lorentz ∇ ·A+ εµ∂ϕ
∂ t= 0
∇2A− εµ
∂ 2A∂ t2 =−µJ
en la ley de Gauss ε∇ ·(−∇ϕ− ∂A
∂ t
)= ρ , con ∇ ·A =−εµ
∂ϕ
∂ t
∇2ϕ− εµ
∂ 2ϕ
∂ t2 =−ρ
ε
105
Las soluciones formales de las ecuaciones de Poisson para lospotenciales electromagnéticos A y ϕ son:
A =µ
4π
∫V
J(r′, t ′)|r− r′|
dV ′ ϕ =1
4πε
∫V
ρ(r′, t ′)|r− r′|
dV ′
siendo t ′ = t−|r− r′|/c el tiempo de retardo.
Indice de refracción.- se define como la razón de la velocidad cde propagación de la luz en el vacío a la velocidad v de la luz en elmedio:
n =cv
n =
√εµ
ε0µ0
106
Ondas monocromáticas
OEM con una sola frecuencia cuyo campo eléctrico es
E(r, t) = E(r)e− jωt, H(r, t) = H(r)e− jωt
Las ecuaciones de Maxwell son(
∂
∂ t→− jω
)∇ ·D = ρ
∇ ·B = 0∇×E = jωB∇×H = J− jωD
Ecua. de onda espacial de E en un medio no conductor
∇2E+ω
2εµE = 0
107
Si la OEM se propaga en la dirección de eje z
d2E(z)dz2 + k2E(z) = 0
con k = ω√
εµ =ω
vnúmero de onda. Luego
E(z) = E0e± jkz , → E(z, t) = E0e− j(ωt±kz)
cuando se realizan las mediciones experimentales la OEM es
E(z, t) = E0 cos(ωt± kz) , E(z, t) = E0 cosω
(t± z
v
))
108
Ondas planas monocromáticas
En un medio no conductor la Ec. de onda para E es ∇2−εµ∂E∂ t
= 0,cuya solución se expresa como
E(r, t) = E0e− j(ωt−k·r)
donde k = ku = nω
cu es el vector de propagación, u un vector
unitario en la dirección de propagación. Además el frente de onda(planos) en un instante de tiempo t es dado por ωt−k ·r = constante.
H(r, t) = H0e− j(ωt−k·r)
109
110
En las ecuaciones de Maxwell con∂
∂ t= − jω y ∇ = jk, D = εE,
B = µH tenemos
k ·D = 0 → k ·E = 0
k ·B = 0 → k ·H = 0
k×E = ωB → H =k×Eωµ
k×H =−ωD → E =−k×Hωε
111
Problema.- El campo eléctrico de una onda plana en un mediono conductor es dado por E(r, t) = E0e− j(ωt−k·r), determine el vectorPoynting S promedio y la Intensidad de flujo de energía quetransporta la OEM, definida como el módulo del valor medio de S(potencia media por unidad de área).
112
Problema.- El campo eléctrico en el vacío es dado por
E = 50cos(108t +βx)yV/m
(a) Halle la dirección de la propagación de la onda, (b) Calcule β y eltiempo que tarda en recorrer una distancia de λ/2, (c) Trace la ondaen t = 0, T/4 y T/2, (d) Halle el campo magnético y (e) la intensidadde energía.
113
Problema.- La componente del campo magnético de una ondaplana en un dieléctrico sin pérdidas es
H = 30sen(2π×108t−5x)z
(a) Si µr = 1 halle εr, (b) Calcula la longitud de onda y la velocidadde onda. (c) Determine la impedancia de la onda. (d) Halle el campoeléctrico y (e) halle el vector Poynting Promedio.
114
Problema.- Una onda plana uniforme que viaja en el un mediodieléctrico de permitividad eléctrica ε = 1.5ε0 en la dirección del ejez positivo tiene asociado un campo magnético de amplitud H0 = 1/π
A/m, dirigido en la dirección dada por el vector x+ y. La frecuenciade la onda es de 100 MHz, determine (a) el vector de propagación(b) los campos eléctrico y magnético, (c) el vector Poynting y (d) laintensidad de energía transmitida.
115
Polarización de OEM
Si el campo eléctrico es de la forma: E = E0 · e− j(ωt−k·r), cuandola onda viaja en la dirección del eje z la amplitud de la onda, E0, sedescompone como suma de dos vectores
E0 = E0x · e jθ1x+E0y · e jθ2 · y
La polarización depende de la diferencia θ1 − θ2 y según elresultado se tendrá:
Polarización lineal.- si la diferencia es 0 o un múltiplo entero(positivo o negativo) de π .
Polarización circular.- si la diferencia es un múltiplo entero impar(positivo o negativo) de π
2 . En este caso se cumple, además, queE0x = E0y.
116
En el resto de casos se producirá polarización elíptica.
En el caso de polarización elíptica, el sentido de giro de lapolarización de la onda depende de la diferencia θ1−θ2
Si θ1−θ2 < 0 se trata de polarización elíptica levógira ó helicidadnegativa.
Si θ1−θ2 > 0 se trata de polarización elíptica dextrógira ó helicidadpositiva.
117
118
Ondas en medios disipativos
En un medio disipativo la OEM pierde potencia al propagarse acausa de una conducción deficiente. Es decir es un medio en el queσ 6= 0, donde consideramos ρ = 0 de modo que las ecuaciones deMaxwell en el dominio de las frecuencias con E(r, t) = E(r)e− jωt,D = εE y B = µH es
∇ ·E = 0∇ ·H = 0
∇×E = jωµH∇×H = (σ − jωε)E
Ecuación de onda para E
∇×∇×E = jωµ∇×H
119
∇(∇ ·E)−∇2E = jωµ(σ − jωε)E
∇2E+ γ
2E = 0con γ2 = jωµ(σ − jωε).
Así mismo para H tenemos ∇2H+ γ2H = 0.
Considerando que γ = α + jβ y reemplazando en γ2 se tiene
α2+ j2αβ −β
2 = jωµσ +ω2µε
α2−β
2 = ω2µε 2αβ = ωµσ
resolviendo
α = ω
√√√√µε
2
[√1+[
σ
ωε
]2−1
]
β = ω
√√√√µε
2
[√1+[
σ
ωε
]2+1
]120
Si la OEM viaja a lo largo del eje z entonces E = E(z)d2
dz2E− γ2E = 0 → E(z) = E0e±γz
E(z, t) = E0e−αz cos(ωt−β z)
Profundidad pelicular δ =1α
, impedancia η =
√jωµ
σ + jωε.
121
En un buen conductor σ ωε es decir σ ' ∞, ε = ε0 y µ = µ0µr,entonces
α = β =
√ωµσ
2, η =
√ωµ
σ]45
de modo que E se adelanta a H en 45°.
122
Reflexión y refracción de OEM
Cuando una OEM que se propaga en un medio de característicasµ1, ε1 pasa a otro medio con µ2 y ε2 el campo eléctrico E y el campomagnético H deben verificar las condiciones de frontera
n2× (E2−E1) = 0, (D2−D1) ·n2 = σ
n2× (H2−H1) = K, (B2−B1) ·n2 = 0
Ei = E0ie− j(ωit−ki·r), Er = E0re− j(ωrt−kr·r), Et = E0te− j(ωtt−kt ·r)
La condición n2× (E2−E1) = 0 exige123
[E0ie− j(ωit−ki·r)+E0re− j(ωrt−kr·r)
]tangente
=[E0te− j(ωtt−kt ·r)
]tangente
Donde la frecuencia ωi de la onda incidente se conserva, es decirωi = ωr = ωt = ω . Así mismo si las fases de todas las OEM en lafrontera son iguales entonces
k1 senθi = k1 senθr = k2 senθt
k1 = ki = kr =n1ω
c, k2 =
n2ω
centonces
θi = θr , n1 senθi = n2 senθt
124
Incidencia normal en medios no conductores
Sea el medio 1 de incidencia z < 0 y el medio 2 de refracción z > 0,en incidencia normal la OEM viaja en la dirección paralela al eje z
Ei = E0ixe− j(ωt−k1z), Er = E0rxe− j(ωt+k1z), Et = E0t xe− j(ωt−k2z)
µ1 = µ2 = µ0, k1 = ω√
ε1µ1, k2 = ω√
ε2µ2
125
Los coeficientes de reflexión r y de transmisión t son:
r =E0r
E0i=
n1−n2
n1+n2; t =
E0t
E0i=
2n1
n1+n2
La Reflectancia R que es definido como la fracción del flujo deenergía incidente que es reflejada es
R =〈Sr〉〈Si〉
=
(n1−n2
n1+n2
)2
La Transmitancia T que representa el flujo de energía incidente quees transmitida es
T =〈St〉〈Si〉
=n2
n1
(2n1
n1+n2
)2
126
Incidencia oblicua entre medios no conductores (polarizaciónparalela)
medio de incidencia 1 (z < 0) y medio de refracción 2 (z > 0),plano de incidencia y = 0.
Ei = E0ie− j(ωt−ki·r), Er = E0re− j(ωt−kr·r), Et = E0te− j(ωt−kt ·r)
127
E0i = E0i(icosθi− k senθi), E0r = E0r(icosθr + k senθr)
E0t = E0t(icosθt− k senθt)
r =E0r
E0i=
ε1 senθi cosθt− ε2 senθt cosθi
ε2 senθt cosθi+ ε1 senθi cosθt
t =E0t
E0i=
2ε1 senθi cosθt
ε2 senθt cosθi+ ε1 senθi cosθt
R =〈Sr〉n〈Si〉n
, T =〈St〉n〈Si〉n
128
Incidencia oblicua entre medios no conductores (polarizaciónperpendicular)
129
Reflexión en un plano conductor (incidencia normal)
Sea la onda incidente y reflejada en un medio no disipativo
Ei = E0ixe− j(ωt−k1z), Er = E0rxe− j(ωt+k1z)
y la onda refractada en el medio conductor
Et = E0t xe− j(ωt−γ2z)
γ2 = α2+ jβ2 =√
ω2ε2µ2+ jωg2µ2
α2 =∓ω√
ε2µ2
[12∓ 1
2
√1+(g2/ω2ε2)
]1/2
, β =ωqµ2
2α
E0r
E0i=
1− (γ2/ωµ2)√
µ1/ε1
1+(γ2/ωµ2)√
µ1/ε1
E0t
E0i=
21+(γ2/ωµ2)
√µ1/ε1
130
Reflexión total interna.- Ocurre cuando n1 > n2
senθc =n2
n1, θc = ángulo crítico
131
Guías de Onda
Medio dieléctrico que permite transmitir energía electromagnéticade un punto a otro. Se utiliza generalmente a altas frecuencias(frecuencias ópticas), en las que las líneas de transmisión no soneficientes.
132
Campos en una guía de onda
Dada una guía de onda con eje paralelo al eje z, de modo que
E(r, t) = ξ (x,y)e− j(ωt−kgz), H(r, t) = ℵ(x,y)e− j(ωt−kgz)
ξ (x,y) = ξx(x,y)x+ξy(x,y)y+ξz(x,y)zℵ(x,y) = ℵx(x,y)x+ℵy(x,y)y+ℵz(x,y)z
k0 =nω
c=
2π
λ0número de onda en el medio dieléctrico
kg =2π
λgconstante de propagación de la guía de onda
λg longitud de onda de la guía de onda.
133
Entonces las ecuaciones de Maxwell se reescriben como:
∇ ·E = 0 =⇒ ∂ξx
∂x+
∂ξy
∂y+ jkgξz = 0
∇ ·H = 0 =⇒ ∂ℵx
∂x+
∂ℵy
∂y+ jkgℵz = 0
∇×E =−µ∂H∂ t
=⇒
∂ξz
∂y− jkgξy = jωµℵx
jkgξx−∂ξz
∂x= jωµℵy
∂ξy
∂x− ∂ξx
∂y= jωµℵz
134
∇×H = ε∂E∂ t
=⇒
∂ℵz
∂y− jkgℵy =− jωεξx
jkgℵx−∂ℵz
∂x=− jωεξy
∂ℵy
∂x− ∂ℵx
∂y=− jωεξz
De las ocho ecuaciones resultantes de las ecuaciones de Maxwelldespejamos ξx, ξy, ℵx y ℵy en función de ξz y ℵz
ξx =j
k2c
(kg
∂ξz
∂x+ωµ
∂ℵz
∂y
)ξy =
jk2
c
(kg
∂ξz
∂y−ωµ
∂ℵz
∂x
)ℵx =
jk2
c
(−ωε
∂ξz
∂y+ kg
∂ℵz
∂x
)135
ℵy =j
k2c
(ωε
∂ξz
∂x+ kg
∂ℵz
∂y
)∂ 2ξz
∂x2 +∂ 2ξz
∂y2 + k2cξz = 0
∂ 2ℵz
∂x2 +∂ 2ℵz
∂y2 + k2cℵz = 0
k2c = k2
0− k2g ⇒ kg =
√k2
0− k2c
Los modos de propagación permitidos se obtienen cuando kg es real,si kg es imaginario entonces las OEM que se propagan a través de laguía de onda sufren atenuación.
136
Modo de propagación transversal eléctrico TE
El campo eléctrico no tiene componente en el eje z
ξz = 0 y ℵz 6= 0
∂ 2ℵz
∂x2 +∂ 2ℵz
∂y2 + k2cℵz = 0
Modo de propagación transversal magnético TM
El campo magnético no tiene componente en el eje z
ξz 6= 0 y ℵz = 0
∂ 2ξz
∂x2 +∂ 2ξz
∂y2 + k2cξz = 0
Modo transversal electromagnético TEM
ξz = 0 y ℵz = 0
137
Guías de Onda Slab
Propagación por reflexión múltiple → genera modos diferentes aTEM |ku|= |kd|= k = ω
√µε
ξx =j
k2ckg
∂ξz
∂x, ξy =−
jk2
cωµ
∂ℵz
∂x
ℵx =j
k2ckg
∂ℵz
∂x, ℵy =
jk2
cωε
∂ξz
∂x∂ 2ξz
∂x2 + k2cξz = 0,
∂ 2ℵz
∂x2 + k2cℵz = 0
138
Modos TE y TM en guias de onda SLAB con paredesconductoras
Modo TE ξz = 0 y ℵz 6= 0
∂ 2ℵz
∂x2 + k2cℵz = 0 solución ℵz(x) = Acoskcx+Bsenkcx
ξy =−j
k2cωµ
∂ℵz
∂x=
jωµ
kc(Asenkcx−Bcoskcx)
139
Usando las condiciones de frontera ξy(0) = 0 tenemos B = 0 y siξy(a) = 0 entonces
senkca = 0 kc =mπ
a, m = 0,1,2, . . .
kg =
√(nω
c
)2−(mπ
a
)2
ξy =jωµ
kcAsenkcx Ey(r, t) =
jωµ
kcAsenkcxe− j(ωt−kgz)
ℵx =jkg
k2c
∂ℵz
∂x=
jkg
kcAsenkcx
ℵy =jωε
k2c
∂ξz
∂x= 0
ℵz(x) = Acoskcx
140
Modo TM ξz 6= 0 y ℵz = 0
∂ 2ξz
∂x2 + k2cξz = 0 solución ξz(x) = Acoskcx+Bsenkcx
Usando las condiciones de frontera ξz(0) = 0 tenemos A = 0 y siξz(a) = 0 entonces
senkca = 0 kc =nπ
a, m = 0,1,2, . . .
kg =
√(nω
c
)2−(mπ
a
)2
ξz = Bsenkcx ξx =jkg
kcBcoskcx ξy = 0
ℵy =jωε
k2c
∂ξz
∂x=
jωε
kcBcoskcx
141
Guías de onda rectangulares
∂ 2ψ
∂x2 +∂ 2ψ
∂y2 + k2cψ = 0, ψ(x,y) = X(x)Y (y)
1X
d2Xdx2 =−1
Yd2Ydy2 − k2
c = k21
d2Xdx2 + k2
1X = 0,d2Ydy2 + k2
2Y = 0, k2c = k2
1 + k22
ψ(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(C senk2y+Dcosk2y)
142
Modo TE ξz = 0 y ℵz 6= 0
ℵz(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(C senk2y+Dcosk2y)
ξx =jωµ
k2c
∂ℵz
∂y=
jωµk2
k2c
(Asenk1x+Bcosk1x)(C cosk2y−Dsenk2y)
ξy =−jωµ
k2c
∂ℵz
∂x=− jωµk1
k2c
(Acosk1x−Bsenk1x)(C senk2y+Dcosk2y)
considerando que las componentes tangenciales del campo eléctricoson nulos en las fronteras
ξx(x,0) = 0 ⇒ C = 0
ξy(0,y) = 0 ⇒ A = 0143
ℵz(x,y) = BDcos(k1x)cos(k2y)
ξx =−jωµk2
k2c
BDcos(k1x)sen(k2y)
ξy =jωµk1
k2c
BDsen(k1x)cos(k2y)
ξx(x,b) = 0 ⇒ k1 =mπ
bm = 0,1,2,3, . . .
ξy(a,y) = 0 ⇒ k2 =pπ
ap = 0,1,2,3, . . .
Condición para modos de propagación permitidos
kg =
√(nω
c
)2−π2
[(pa
)2+(m
b
)2]
144
ξx =−jωµ
k2c
(pπ
a
)H0 cos
(mπ
bx)
sen(pπ
ay)
ξy =jωµ
k2c
(mπ
b
)H0 sen
(mπ
bx)
cos(pπ
ay)
ξz = 0
ℵz(x,y) = H0 cos(mπ
bx)
cos(pπ
ay)
ℵx =−jkg
k2c
(mπ
b
)H0 sen
(mπ
bx)
cos(pπ
ay)
ℵy =−jkg
k2c
(pπ
a
)H0 cos
(mπ
bx)
sen(pπ
ay)
Modo TE10
145
Modo TM ξz 6= 0 y ℵz = 0
ξz(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(C senk2y+Dcosk2y)
considerando que ξz es cero en las fronteras
ξz(0,y) = 0 ⇒ B = 0
ξz(x,0) = 0 ⇒ D = 0
ξz(x,y) = AC sen(k1x)sen(k2y)
ξz(a,y) = 0 ⇒ k1 =mπ
am = 0,1,2,3, . . .
146
ξy(x,b) = 0 ⇒ k2 =pπ
bp = 0,1,2,3, . . .
ξx =jkg
k2c
∂ξz
∂x, ξy =
jkg
k2c
∂ξz
∂y
ℵx =−jωε
k2c
∂ξz
∂y, ℵy =
jωε
k2c
∂ξz
∂x
Condición para modos de propagación permitidos
kg =
√(nω
c
)2−π2
[(pa
)2+(m
b
)2]
Componentes de los campos eléctrico y magnético
ξx =jkg
k2c
E0
(mπ
a
)cos(mπ
ax)
sen(pπ
b
)147
ξy =jkg
k2c
E0
(pπ
b
)sen(mπ
ax)
cos(pπ
b
)ξz = E0 sen
(mπ
ax)
sen(pπ
by)
ℵx =−jωε
k2c
E0
(pπ
b
)sen(mπ
ax)
cos(pπ
b
)ℵy =
jωε
k2c
E0
(mπ
a
)cos(mπ
ax)
sen(pπ
b
)ℵz = 0
Modo TM10
148
Problema.- Una guía de ondas rectangular con vacío en su interiortiene a = 8 cm y b = 6 cm. Si dentro de la guía se propaga unaonda cuya frecuencia es ν = 4× 109 Hz, ¿cuales son los modospermitidos?
149
Problema.- Considerar una guía de onda de sección cuadrada.¿Qué condiciones debe satisfacer el lado a para que sea posible quese propague un modo T E10 pero no uno T E11, T M11 o cualquiera deorden superior?
150
Problema.- Para un modo T E10 en una guía rectangular: (a)encontrar 〈u〉, (b) encontrar 〈S〉 (c) encontrar los promedios conrespecto al espacio 〈〈u〉〉 y 〈〈S〉〉, integrando los resultados anteriorespara los promedios con respecto al tiempo sobre la sección de la guía.
151
Problema.- Encontrar la superposición de una onda T Emn y unaonda T Mmn en una guía rectangular, que hace que E sea transversala la dirección y, es decir Ey = 0 mientras que todas las demáscomponentes de E y de H son diferentes de cero.
152
Guías de onda circulares
Dada una guía de onda circular con eje paralelo al eje z, de modoque
E(r, t) = ξ (r,φ)e− j(ωt−kgz), H(r, t) = ℵ(r,φ)e− j(ωt−kgz)
ξ (r,φ) = ξr(r,φ)r+ξφ(r,φ)φ +ξz(r,φ)zℵ(r,φ) = ℵr(r,φ)r+ℵφ(r,φ)φ +ℵz(r,φ)z
∇ ·E = 0 =⇒ 1r
∂ (rξr)
∂ r+
1r
∂ξφ
∂φ+ jkgξz = 0
∇ ·H = 0 =⇒ 1r
∂ (rℵr)
∂ r+
1r
∂ℵφ
∂φ+ jkgℵz = 0
153
∇×E =−µ∂H∂ t
=⇒
1r
∂ξz
∂φ− jkgξφ = jωµℵr
jkgξr−∂ξz
∂ r= jωµℵφ
1r
∂ (rξφ)
∂ r− 1
r∂ξr
∂φ= jωµℵz
∇×H = ε∂E∂ t
=⇒
1r
∂ℵz
∂φ− jkgℵφ =− jωεξr
jkgℵr−∂ℵz
∂ r=− jωεξφ
1r
∂ (rℵφ)
∂ r− 1
r∂ℵr
∂φ=− jωεξz
De las ocho ecuaciones resultantes de las ecuaciones de Maxwelldespejamos ξr, ξφ , ℵr y ℵφ en función de ξz y ℵz
154
ξr =j
k2c
(kg
∂ξz
∂ r+
ωµ
r∂ℵz
∂φ
)ξφ =
jk2
c
(kg
r∂ξz
∂φ−ωµ
∂ℵz
∂ r
)ℵr =
jk2
c
(−ωε
r∂ξz
∂φ+ kg
∂ℵz
∂ r
)ℵφ =
jk2
c
(ωε
∂ξz
∂ r+
kg
r∂ℵz
∂φ
)1r
∂
∂ r
(r∂ξz
∂ r
)+
1r2
∂ 2ξz
∂φ 2 + k2cξz = 0
1r
∂
∂ r
(r∂ℵz
∂ r
)+
1r2
∂ 2ℵz
∂φ 2 + k2cℵz = 0
155
k2c = k2
0− k2g ⇒ kg =
√k2
0− k2c
Los modos de propagación permitidos se obtienen cuando kg es real,si kg es imaginario entonces las OEM que se propagan a través de laguía de onda sufren atenuación.
156
Modo de propagación transversal eléctrico TE
El campo eléctrico no tiene componente en el eje z
ξz = 0 y ℵz 6= 01r
∂
∂ r
(r∂ℵz
∂ r
)+
1r2
∂ 2ℵz
∂φ 2 + k2cℵz = 0
Modo de propagación transversal magnético TM
El campo magnético no tiene componente en el eje z
ξz 6= 0 y ℵz = 01r
∂
∂ r
(r∂ξz
∂ r
)+
1r2
∂ 2ξz
∂φ 2 + k2cξz = 0
Modo transversal electromagnético TEM
ξz = 0 y ℵz = 0
157
1r
∂
∂ r
(r∂ψ
∂ r
)+
1r2
∂ 2ψ
∂φ 2 + k2cψ = 0
Por separación de variables ψ(r,φ)=R(r)Φ(φ), entonces reemplazando
y multiplicado porr2
RΦse tiene
rR
ddr
(rdRdr
)+(kcr)2 =− 1
Φ
d2Φ
dφ 2 = m2
d2Φ
dφ 2 +m2Φ = 0, Φ(φ) = cos(mφ),sen(mφ),e− jmφ ,e+ jmφ
Considerando que Φ(φ) = Φ(φ +2π) tenemos
sen(m(φ +2π))= sen(mφ)cos(2mπ)+cos(mφ)sen(2mπ)= sen(mφ)158
cos(2mπ) = 1, 2mπ = 0,2π,4π, . . .
por tanto m es un número entero.
Por otro lado R(r) verifica la ecuación de Bessel de orden m
rddr
(rdRdr
)+[(kcr)2−m2]= 0
Solución R(r) = Jm(kcr),Nm(kcr), es decir
R(r) =CnJm(kcr)+DnNm(kcr)
Jm(kcr) es la función de Bessel de orden m del primer tipo.
Nm(kcr) es la función de Bessel de orden m del segundo tipo.
159
Jm(x) =∞
∑k=0
(−1)k
k!Γ(k+m+1)
(x2
)2k+m
160
Nα(x) =Jα(x)cos(απ)− J−α(x)
sin(απ), ∀α /∈ Z
Nm(x) = lımα→m
Nα(x), ∀m ∈ Z
161
Para una guía de onda circular de radio a, tenemos que en r < a elcampo debe ser finito, pero en r = 0, tenemos que
lımr→0
Nm(r) no existe
entonces
ψ(r,φ) = Jm(kcr) [Am sen(mφ)+Bm cos(mφ)]
ademas
Am sen(mφ)+Bm cos(mφ) =√
A2+B2 cos(
mφ + tan−1(
Am
Bm
))
ψ(r,φ) = ψ0Jm(kcr)cos(mφ)
162
Modos transversal eléctrico TEmp (ξz = 0 y ℵz 6= 0)
m número de ciclos de λ en dirección φ en 2π radianes.
p número de ceros del campo ξφ en dirección radial, excluyendo elorigen.
ℵz = H0Jm(kcr)cos(mφ)
condiciones de borde ξφ(a,φ) = 0 campo eléctrico tangencial nuloy ℵr(a,φ) = 0 campo magnético radial.
ξr =jωµ
k2c
1r
∂ℵz
∂φξφ =− jωµ
k2c
∂ℵz
∂ r
163
ℵr =jkg
k2c
∂ℵz
∂ rℵφ =
jkg
k2c
1r
∂ℵz
∂φ
Si ξφ(a,φ) = 0 entonces
∂ℵz
∂ r
∣∣∣∣r=a
= 0
es decirJ′m(kca) = 0
Los valores permitidos de kc se determinan a partir de los ceros deJ′m(kca) = 0
164
Modos transversal magnético TMmp (ξz 6= 0 y ℵz = 0)
ξz = E0Jm(kcr)cos(mφ)
condiciones de borde ξz(a,φ) = 0 entonces
Jm(kca) = 0
Los valores permitidos de kc se determinan a partir de los ceros deJm(kca) = 0
165
k J0(x) J1(x) J2(x) J3(x) J4(x) J5(x)1 2.4048 3.8317 5.1356 6.3802 7.5883 8.77152 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610 11.0647 12.33863 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152 14.3725 15.70024 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235 17.6160 18.98015 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094 20.8269 22.2178
k J′0(x) J′1(x) J′2(x) J′3(x) J′4(x) J′5(x)1 3.8317 1.8412 3.0542 4.2012 5.3175 6.41562 7.0156 5.3314 6.7061 8.0152 9.2824 10.51993 10.1735 8.5363 9.9695 11.3459 12.6819 13.98724 13.3237 11.7060 13.1704 14.5858 15.9641 17.31285 16.4706 14.8636 16.3475 17.7887 19.1960 20.5755
166
Cavidades Resonantes
Región (volumen) totalmente encerrado por paredes perfectamenteconductoras
ψ(r, t) = ψ0(r)e− jωt∇
2ψ0+ k2
0ψ0 = 0
167
ψ0(r) = X(x)Y (y)Z(z)
X(x) = A1 senk1x+B1 cosk1x
Y (y) = A2 senk2x+B2 cosk2x
Z(z) = A3 senk3x+B3 cosk3x
k20 = k2
1 + k22 + k2
3
haciendo que las componentes tangentes a las superficies son nulastenemos:
k1 =mπ
a, k2 =
nπ
b, k3 =
pπ
c
168
Ex = (A′1 senk1x+B′1 cosk1x)senk2ysenk3ze− jωt
Ey = senk1x(A′2 senk2y+B′2 cosk2y)senk3ze− jωt
Ez = senk1xsenk2y(A′3 senk3z+B′3 cosk3z)e− jωt
Ecuación de posibles frecuencias de oscilación en la cavidad
k20 =
(ω
v
)2= π
2[(m
a
)2+(n
b
)2+(p
c
)2]
Si cualquiera de los enteros m, n o p son ceros todas lascomponentes de E son ceros.
169