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CLASE 10 PARTE 1: DERIVADAS PARCIALES PRIMERAS

Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006.

Derechos reservados.

Ejercicios para las clase 10

•Práctico 4 del año 2006, ejercicios 1 a 5 y 13.

Bibliografía de la Clase 10:

•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.1, parágrafos 22 y 23.

DERIVADAS PARCIALES

Dada

La derivada parcial de f respecto de x es la derivada de f como función de una sola variable x, dejando y constante.

La derivada parcial de f respecto de y es la derivada de f como función de una sola variable y, dejando x constante.

Notaciones para las derivadas parciales:

EJEMPLO:

INTERPRETACIÓNGRÁFICA:

Recta verde dependiente

Recta rosada de pendiente

PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES:Se definen las tres derivadas parciales

ó

derivadas respecto de x, y ó z respectivamentedejando las otras dos variables constantes.

PARA FUNCIONES DE q VARIABLES:

OBSERVACIÓN IMPORTANTE:Para funciones f(x) de una sola variable real:

Existe derivada f ’ IMPLICA que f es continua

Para funciones f(x_1, x_2, …, x_q) de más de dos variables reales:

Existen las derivadas parciales NO IMPLICA que f sea continua.

Existen funciones de varias variables:• continuas que no tienen derivadas parciales.• que tienen derivadas parciales y no son continuas.• que no son continuas ni tienen derivadas parciales.• que son continuas y tienen derivadas parciales.

CLASE 10 PARTE 2: MATRIZ JACOBIANA







MATRIZ JACOBIANA.

J f (a) es la matriz con s filas y q columnas, tal que en la fila i, columna j, tiene el término

(a)

EJEMPLO. Hallar la matriz Jacobiana en el punto a = (1,1) dela función f siguiente:

EJEMPLO. Hallar la matriz Jacobiana en el punto (1,2) de

CLASE 10 PARTE 3: DERIVADAS PARCIALESDE ORDEN SUPERIOR

Y FUNCIONESDE CLASE Cr.







DERIVADAS PARCIALES SEGUNDAS: Se obtiene derivandoparcialmente respecto a una variable x_i (dejando las demás fijas) y a lo que se obtiene derivándolo parcialmente respectoa otra o la misma variable x_j (dejando las demás fijas).

Derivadas “iteradas”

EJEMPLO: Calcular las derivadas parciales primeras y segundas de f. Verificar que las derivadas iteradas son iguales entre sí.

DEFINICIÓN:

si existen derivadas parciales primeras y son todas continuas.

DEFINICIÓN:

si existen derivadas parciales primeras y segundas y son todas continuas.

DEFINICIÓN:

si existen derivadas parciales hasta orden r y son todas continuas.

EJEMPLO:Encontrar si existe una función f(x,y) tal que:

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