CLASE 10 – Parámetros de líneas y máquinas

Líneas

Simplificaciones asociadas al cálculo de líneas

- Conductores rectilíneos, paralelos e infinitos - Conductores cilíndricos con densidad de corriente uniforme - La presencia de tierra no afecta la inducción magnética a 50 Hz - La presencia de tierra puede afectar al campo eléctrico

Parámetros asociados al campo eléctrico

Campo debido a conductores cilíndricos Se sabe que para dos conductores filamentarios cargados a +ζ y –ζ, el potencial en un punto M es la suma de los potenciales debidos a cada conductor.

CabC

baVM +=+

−+= ln

21ln

21ln

2 πξτ

πξτ

πξτ

Se tendrá una equipotencial para b/a. Según el teorema de Appolonius, ese lugar geométrico es un círculo. Para dos conductores cilíndricos equipotenciales se puede sacar la posición del eje de carga n,m:

Para el 1: xrxrd

ab

−−−

=

Para el 2: xrxrd

ab

+−+

=

de igualarlos:

22

22rddx −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±= , con – para el n y + para el m

Cuando la distancia entre conductores es grande frente al radio, estas diferencias entre eje geométrico y el eje de carga no merecen tenerse en cuenta.

xrdxr

xrxrdVVV

−−−

−−−−

=−= ln2

ln23113 πξ

τπξτ

y si d>>r, x

Campo debido a líneas cargadas frente a un plano conductor

Para un punto M:

.........ln2

1ln2

1..........2

22

1

11321 ++=+++=

M

M

M

MMMMM a

babVVVV

πξτ

πξτ

Coeficientes de potencial Si el punto M se pone en el conductor 1, VM=V1, b1M=2h1, a1M=r1, bM2=b12, etc.

.........ln2

1ln2

12ln2

1

13

133

12

122

1

111 +++=

434214342143421CPCPncialCoefdePote

ab

ab

rhV

πξτ

πξτ

πξτ

V1=ζ1 α11 + ζ2 α12 + ζ3 α13 + ............. V2=ζ1 α21 + ζ2 α22 + ζ3 α23 + ............. V3=ζ1 α31 + ζ2 α32 + ζ3 α33 + ............. con αkm= αmk y la unidad es [m/F] A este grupo de ecuaciones a veces se lo llama Primer Conjunto de Ecuaciones de Maxwell (no confundir con las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo).

Puede asociarse un sentido físico si se pone ζ1=1 en el conductor 1 y cero en el resto y resulta V1=α11

Coeficientes de capacitancia (2º grupo de ecuaciones de Maxwell) Resolviendo el sistema anterior para las cargas ζ 1= β11 V1 + β 12 V2 + β 13 V3+ ............. ζ 2= β 21 V1+ β 22 V2 + β 23 V3 + ............. ζ 3= β 31 V1+ β 32 V2 + β 33 V3 + .............

DDkn

kn =β

β: coeficiente de capacitancia βkn = βnk βii resultan positivos

Capacidades parciales (3º grupo de ecuaciones de Maxwell) Reescribiendo en función de las diferencias de potencial (entre conductores y a tierra)

∑=

≠=

+=nm

kmmkmkkkk VV

1

ββζ

Capacidad de servicio V1=α11ζ1+ α12ζ2+ α13ζ3 V2=α21ζ1+ α22ζ2+ α23ζ3 V3=α31ζ1+ α32ζ2+ α33ζ3 Pero la sumatoria Σζi=0 para el sistema de conductores (si no, dado la longitud infinita resultaría carga neta infinita) ζ1 + ζ2 + ζ3 = 0 y si se trata de un sistema equilibrado:

V1 + V2 + V3 = 0 V1 - V2 = ζ1 (α11 – α21) + ζ2 (α12 – α22) + ζ3 (α13 – α23) V2 - V3 = ζ1 (α21 – α31) + ζ2 (α22 – α23) + ζ3 (α23 – α33) V3 – V1 = ζ1 (α31 – α11) + ζ2 (α32 – α12) + ζ3 (α33 – α13) Reemplazando a partir de Σζi=0 V1 - V2 = ζ1 (α11 – α12 - α13 + α23 ) + ζ2 (α21 – α22 -α13 + α23) V2 - V3 = ζ2 (- α21 + α22 +α13 – α23 ) + ζ3 (-α21 – α33 +α31 + α32) V3 - V1 = ζ3 (α33 + α12 - α31 - α32 ) + ζ1 (-α11 + α12 + α13 - α23) V1 - V2 = ζ1 αS1 – ζ2 αS2 V2 - V3 = ζ2 αS2 – ζ3 αS3 V3 – V1 = ζ3 αS3 – ζ1 αS1

Caso de conductor simple, línea simétrica, sin tierra

Caso de conductor simple, línea asimétrica, subconductores múltiples

Parámetros asociados al campo magnético (de apunte manuscrito 101099 desde pág 8)

b) con o sin simetría geométrica (del libro de Carter)

VIDEOS MIT:

Demo 4.7.1 Carga inducida en plano de tierra por un conductor aéreo

Demo 8.6.1 Corrientes superficiales inducidas en plano de tierra por un conductor aéreo

Máquinas

Inductancia de transformador a partir de la geometría

32143421 dvol

t

HB

hdxH

W

EnergíasidemHH

tx

hiN

hF

HiNtxF

hF

HiNiNF

12

:1

0

2

21

01

12

1

111111

11

3322113

⋅=

=

==⇒=

=⇒==

∫ μ

( )

( )

( )3

2110

3

230

3

22

2202

12

110

0

2

1

12

1101

222

32

322

1

thiN

thH

vBHW

thiN

W

thiN

dxtx

hhiN

Wt

μμ

μ

μμ

=⋅⋅==

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

La inductancia total de dispersión referida al primario es:

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

=++

==mHt

tthN

iWWW

iWL 3

212

102

1

3212

11 3

22 μ

Inductancia de bobinados de máquina eléctrica

a) Suponiendo distribución de corriente uniforme 10.3 de Carter en Complementos de Teoría

b) Suponiendo distribución de corriente no uniforme NP p 270 a 273 para distribución de corriente y desarrollar cálculo