MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÁMICOS

• El diseño de un sistema de control requiere un delicado balance entre limitaciones fundamentales y soluciones de compromiso.

• Para lograr este balance, es necesario tener una comprensión cabal del proceso.

• Esta comprensión se captura en un modelo matemático. Teniendo un modelo, es posible predecir el impacto de distintos diseños posibles sin comprometer al sistema real.

• La derivación de modelos matemáticos es una disciplina compleja.

MODELOS EN

CONTROL

Los modelos matemáticos

• Brindan los medios de capturar el comportamiento de un sistema sujeto a condiciones iniciales, entradas de control y perturbaciones mediante un conjunto de ecuaciones matemáticas.

Importancia de los modelos

matemáticos

• Permiten simulaciones en situaciones hipotéticas,

• Facilita ensayos en estados que serían peligrosos en el sistema real, y

• Se usan como base para sintetizar controladores.

COMPLEJIDAD DE MODELOS

Modelo nominal.

• Es una descripción aproximada de la planta que se usa para el diseño de control.

Modelo de calibración.

• Es una descripción más exhaustiva de la planta. Incluye características no usadas en el diseño de control pero que tienen directa influencia en el desempeño alcanzado.

Error de modelo.

• Es la diferencia entre el modelo nominal y el modelo de calibración. Los detalles de este error podrían ser desconocidos, pero podrían disponerse de cotas aproximadas.

CONSTRUCCIÓN DE MODELOS

Experimental.

• En este enfoque, se postula una determinada estructura de modelo, a la que se varían los parámetros, bien vía prueba y error, o bien vía algún algoritmo, hasta que el comportamiento dinámico del modelo se ajuste al observado en la planta mediante ensayos.

Analítico.

• Se basa en el uso de leyes físicas (conservación de masa, energía y momento). El modelo se obtiene a partir de las leyes fenomenológicas básicas que determinan las relaciones entre todas las señales del sistema.

MODELO DINÁMICO DE SISTEMA ELÉCTRICO

𝑒 𝑡 = 𝑅𝑖 𝑡 + 𝐿𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡+

𝑖

𝐶 0𝑡𝑖 𝜏 𝑑𝜏 (1)

𝑒𝑐 𝑡 =1

𝐶 0𝑡𝑖 𝜏 𝑑𝜏 (2)

Corriente en C: C𝑑𝑒𝑐(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑖(𝑡)

Voltaje en L: L𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡= −𝑅𝑖 𝑡 − 𝑒𝑐 𝑡 + 𝑒(𝑡)

MODELO DINÁMICO DE SISTEMA MECÁNICO

𝑑𝑥1(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑥2(𝑡)

𝑑𝑥2(𝑡)

𝑑𝑡= −

𝐾

𝑀𝑥1 𝑡 −

𝐵

𝑀𝑥2 𝑡 +

1

𝑀𝑓(𝑡)

• Sistema Mecánico Rotacional

Analogía Fuerza - Voltaje

Para el Sistema Mecánico:

Analogía Fuerza - Corriente

en términos del flujo magnético

MODELO MATEMÁTICO DE MOTOR DE CC DE IMAN PERMANENTE

Modelo Dinámico de Sistemas de Nivel de Líquido

Modelo Dinámico de Sistemas Térmicos

Modelo Dinámico de Sistemas neumáticos

Modelo Dinámico de Sistemas hidráulicos

Sistema con retardo de transporte

ALGUNAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS DINÁMICOS

LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES

Sistema no lineal de una

variable.

Sistema no lineal

multivariable

Ejemplo

)t(hK)t(q 2