ckat sxol 2015-2016 papagrigorakis b - mathematica.gr · Γ Λυκείου –Μ 2 ΠΑ 2.01 Να...
TRANSCRIPT
Γ Λυκείου
4Ο ΓΛΧ
2015 - 2016
M .Ι .Παπαγρηγοράκης Χανιά
[Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών
Β ΜΕΡΟΣ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Μέρος Β: Διαφορικός Λογισμός
Έκδοση 15.07
Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση
αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της
Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd
Χανιά 2015
Ιστοσελίδα: http:users.sch.gr/mipapagr
Γ Λυκείου –Μ
2 ΠΑ
2.01 Να
2f(x) x -5
2.02 Να
0 η συνάρτ
2.03 Αν
βρείτε τα α
παραγωγίσι
2.04 Αν
στο 0x 3 ν
παραγωγίσι
2.05 Έστ
και ισχύει ό
Να αποδείξ
ox 0
2.06 Αν
2f(x) x
η f είναι πα
2.07 Έστ
παραγωγίσι
Υπολογίσετ
Α) x α
f(x)lim
x
Γ) 2
x α
α f(lim
Μαθηματικά Θ
ΑΡΑΓΩΓΟΣ
αποδείξετε ό
5x 6 δεν είν
εξεταστεί αν
τηση f(x)
αxf(x) x
x
,β R ώστε η
ιμη στο 2
x 3
f(x)lim
x 3
να αποδείξετ
ιμη στο 3
τω συνάρτησ
ότι ημx f(x)
ξετε ότι η f ε
για την συνά
2(x 1) για κ
αραγωγίσιμη
τω f ,g : R
ιμες στο α
τε τα:
f(α)
α
Β
2x) x f(α)
x α
Δ
Θετικών Σπουδ
Σ- ΟΡΙΣΜ
ότι η συνάρτ
ναι παραγωγ
ν είναι παραγ
1xxe αν
1 συνx αν
β αν x
2 2αν x
2
η f να είναι
7 και η f εί
τε ότι η f είν
ση f ορισμέν
) x x ημx
είναι παραγω
άρτηση f : R
κάθε x R , ν
η στο ox 1
R συναρτήσ
R με f α
Β) x α
(f(x))lim
x
Δ) x α
g(α)flim
δών
ΜΟΣ
ηση
γίσιμη στο 2
γωγίσιμη στο
x 0
x 0
x 2
x 2
να
ίναι συνεχής
ναι
νη στο 0.
x , για x 0 .
ωγίσιμη στο
R ισχύει
να δείξετε ότι
σεις
g α 3 .
2 2(f(α))
x α
f(x) f(α)g(x)
x α
2
ο
ς
ι
)
2.
πα
απ
πα
2.
x
2.
κα
2.
πα
f
xl
2.
πα
g
πα
2.
πα
f
ότ
2.
πα
.08 Έστω
αραγωγίσιμη
ποδείξετε ότι
αραγωγίσιμη
.09 Η συν
o με of(x )
.10 Έστω
αι x 0
f(2x)lim
x
.11 Δίνετα
αραγωγίσιμη
(1) 2 . Να α
im (x 1) f(
.12 Η συν
αραγωγίσιμη
ο
xf (x )
αραγωγίσιμη
.13 Έστω
αραγωγίσιμη
x y f x
τι η f είναι π
.14 Δίνετα
αραγωγίσιμη
2
x 0
flim
η συνάρτηση
η στο 0 και σ
ι η f
g(x)f(
η στο 12
αν κ
νάρτηση f εί
3 , of (x ) 2
f : R R πα
f(x)3
x
. Απ
αι η συνάρτη
η στο 1 για τη
αποδείξετε ότ
x1) f
x 1
νάρτηση f : R
η στο ox R
ο ο
f(x))(x-x ) f(x
η στο ox
η συνάρτηση
η στο 0 και ι
f y xy
παραγωγίσιμ
αι η συνάρτη
η στο 0 . Να
2 2(3x) f (2x)x
η f : R R
στο 1 με f(0
f(2x) αν
(2x-1) αν
και μόνο αν
ίναι παραγω
. Bρείτε το xl
αραγωγίσιμη
ποδείξτε ότι
ηση f : R R
ην οποία ισχ
τι
2
R R είναι
. Δείξτε ότι η
αν x x) αν x x
η f : R R
ισχύει
για κάθε x, y
μη στο R .
ηση f : R R
αποδείξετε ό
)2f(0)f (0)
41
0) f(1) . Να
1x
21
x2
είναι
f (0) f (1)
ωγίσιμη στο
οx ο
2f(x)-6lim
x-x
η στο ox 0
f 0 3
R
χύει ότι
η
ο
ο
xx
είναι
y R , δείξτε
R ,
ότι
1
ε
42
2.15 Αν
στο 0x 1 μ
f xy xf y
δειχθεί ότι f
2.16 ** Δ
τέτοια ώστε
Να δείξετε ό
0x 0 και ό
2.17 Έστ
παραγωγίσι
h 0lim
2.18 Αν
x 0
f x 2lim
x
A) Να
στο 2 και ό
B) Να
i) x 2lim
ΚΑΝΟΝΕΣΒΑΣΙΚΩΝ
2.19 Βρε
Α) e
f(x)1
Γ) g(x) x
Ε). η
g(x)
Ζ) 2f x
1
Θ) 2x
h(x)
η συνάρτηση
με f (1) α κ
y yf x γ
0f(
f x α+
Δίνεται η συν
3 4f (x) 2x f(
ότι η f είνα
ότι f (0) 0
τω η συνάρτη
ιμη στο x R
0
f(x 3h) f(m
h
για την συνε
3 τότε:
δείξετε ότι η
ότι f (2) 3
βρεθούν τα
2
22
f (x) f(x)m
x 4
Σ ΠΑΡΑΓΩΓΝ ΣΥΝΑΡΤΗ
είτε τις παράγ
xe
x
ln xxημx
x 1
μx συνx1 εφx
2 ημxημx
x
x 1
e
η f είναι πα
και ισχύει:
για κάθε x, y
0
0
(x )x
για κάθ
νάρτηση f : R
(x) 8 , για κ
αι συνεχής στ
ηση f ορισμέ
R , να δείξετε
(x 2h)5f
εχή συνάρτη
η f είναι παρ
όρια:
ii) xlim η
ΓΙΣΗΣ-ΠΑΡΗΣΕΩΝ
γώγους των
Β) f
Δ) f
Στ)
Η) f
Ι) f(
ραγωγίσιμη
0, . Ν
θε 00 x 1
R (0, )
κάθε x R
ο σημείο
ένη στο R κ
ε ότι
x
ση f ισχύει
ραγωγισιμη
2x 1μx f
x 2
ΡΑΓΩΓΟΙ
συναρτήσεω
2
1f x
x 4
x
ln xf x
e
ln xg(x)
x 2
2xf(x)
ln x
1 ημx(x)
1 συνx
Να
και
ων
xx
2.
P
2.
πα
xli
2.
2.
A
2.
R
f
2.
f
x
A
Γ)
ότ
Δ)
εί
f
2.
πα
απ
Α
Β)
.20 Να βρ
P x P x
.21 Έστω
αραγωγίσιμη
x
1
f(e ) xf(im
x 1
.22 Να υπ
.23 Να απ
A) x
x 0
elim
.24 Η συν
R , με g e
2x x g x
.25 Έστω
xx y e f
, y R Να απ
A) f 0
) Αν είν
τι of x f
) Αν η
ίναι παραγω
o ox f x
.26 Αν μι
αραγωγίσιμη
ποδείξετε ότι
Α) x α
f(lim
) x α
αflim
htt
ρείτε όλα τα π
2 για κάθε
συνάρτηση
η στο ox e
e)ef (e) f
πολογίσετε το
ποδείξετε ότι
x 11
x
B)
νάρτηση g εί
1 και g e
2xln x
να βρ
συνάρτηση
yy e f x
ποδείξετε ότι
α B) η
ναι παραγωγ
xox f 0 e
f είναι παρα
γίσιμη στο R
oxf 0 e x
α συνάρτηση
η στο σημείο
ι:
(x)ln x f(α)lx α
2
f(x) xf(α)
x αx
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
πολυώνυμα
x R .
f : R R
. δείξτε ότι
f(e)
ο ημ π h
h 0
elim
h
ι
5 5
x 2
x 2lim
x 2
είναι παραγω
2 . Αν
ρείτε τον f e
f για την οπ
xy α για κ
ι:
η f 0 0
γίσιμη στο R
oxox , ox
αγωγίσιμη στ
R και ισχύει
ox για κάθε
η f : R R ε
ο 0x α,α 0
lnα f(α)α
f(α)f (α)
α
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
P με
h 1
80
ωγίσιμη στο
e
ποία ισχύει:
κάθε
τότε ισχύει
R .
το 0 τότε
ox R
είναι
0 , να
f (α)lnα
Σ
r
Γ Λυκείου –Μ
ΠΑΡΑΓΩΓ
2.27 Βρε
2f(x) ημ x
2f(x) εφ (4
3f x ln x
f x συν
f x ημ 2
2f x x
2.28 Βρε
Α) f x
Β) f x
Γ) f x
2.29 Βρε
Α) f x
Β) f x
Γ) f x
Δ) f x
Ε) f x
2.30 Δίν
Α) Απο
βρείτε το πε
Β) Αν
να δείξετε ό
2.31 Αν
στο 0x 0 κ
κάθε x R
Μαθηματικά Θ
ΓΟΣ ΣΥΝΘΕ
είτε τις παραγ
2συν 3x ,
34x 1)
2x 3x ln 3
3ln 2x 2
x x2 3 ημt
4 333 x 5
είτε τις παραγ
x συν ln x
xx log 2
42x x 3
είτε τις παραγ
2 1
x ημx x
0
2x x x 3
log xx x , x
xx ημx , x
xx 2
εται η f x
οδείξτε ότι η
εδίο ορισμού
η 1f είναι π
ότι 1f 1
η συνάρτηση
και ισχύει: f
να βρεθεί η
Θετικών Σπουδ
ΕΤΗΣ ΣΥΝΑ
γώγους των
3
2
t , t R
2y , y R
γώγους των
x , x 1
x3
332x 5
γώγους των
αν x 0
αν x 0
3 2
0
πx 0,
2
x 3e x x ,
f είναι αντισ
ύ της 1f
παραγωγίσιμ
12
.
η f είναι πα
3 2(x) x f(x)
f 0 .
δών
ΑΡΤΗΣΗΣ
συναρτήσεω
R
συναρτήσεω
συναρτήσεω
x R .
στρέψιμη κα
μη στο 1fD ,
ραγωγίσιμη
22x ημx , γ
ων:
ων:
ων:
ι
,
για
2.
c,
ff
Β)
2.
R
Α
εί
Β)
απ
2.
R
f
2.
πα
απ
Α
Β)
2.
R
Α
Β)
2.
Α
Β)
πα
f
.32 Α) Α
,α,β,γ R κ
(x) 1f(x) x α
) Να βρεθεί η
.33 Η συν
R με f x 0 γ
Α) Να απ
ίναι παραγω
) Αν ισχ
ποδείξετε ότι
.34 Η συν
R και για κάθ
22x 3 x
.35 Αν μι
αραγωγίσιμη
ποδείξετε ότι
Α) x α
f(lim
) x α
αflim
.36 Έστω
R . Να αποδει
Α) η f εί
) η f εί
.37 Έστω
Α) Να δε
) Αν θεω
αραγωγίσιμη
1f (x)
Αν f(x) c(x
και x α,β,γ
1 1x β x γ
η f αν f(x)
νάρτηση f είν
για κάθε x
ποδείξετε ότι
γίσιμη στο R
χύει ότι f 2
ι f 2 4
νάρτηση f εί
θε x R ισχύ
3x 5 να β
α συνάρτηση
η στο σημείο
ι:
(x)ln x f(α)lx α
2
f(x) xf(α)
x αx
η συνάρτηση
ιχτεί ότι αν:
ίναι άρτια τό
ίναι περιττή τ
η συνάρτηση
είξετε ότι υπά
ωρήσουμε γν
η, να δείξετε
2
1, x (
1 x
α)(x β)(x
γ τότε να απ
2 3(x 5) (1
1 x
ίναι παραγω
R .
ι η συνάρτησ
R .
2 5 και f
ίναι παραγω
ύει
βρεθεί το f
η f : R R ε
ο 0x α,α 0
lnα f(α)α
f(α)f (α)
α
η f παραγω
ότε η f είναι
τότε η f είν
η f(x) συνx
άρχει η συνά
νωστό ότι f
ότι
( 1,1)
43
γ) με
ποδείξετε ότι:
4 2
2
x )
x
γίσιμη στο
ση y f x
2 4 να
ωγίσιμη στο
3
είναι
0 , να
f (α)lnα
γίσιμη στο
ι περιττή
ναι άρτια
x, x (0,π)
άρτηση 1f
1 είναι
3
44
2.38 Έστ
0 τέτοια ώσ
f f(x) f x
2.39 Δίν
είναι f(x y
x,y R . Α
αποδειχτεί ό
2.40 Οι σ
στο R και γ
με f 1 0
2.41 Να
οποία ισχύε
2.42 Έστ
x xf x
0
Να εξετάστε
2.43 Έστ
R . Να απο
Α) Αν
Β) Αν
Γ) Αν
και περιττή
α)
β)
γ)
Δ) Αν
2g(x) (x
τω η συνάρτη
στε για κάθε
x 2x .Δείξτ
εται η συνάρ
y) f(x)f(y) κ
Αν ισχύει ότι
ότι η f είναι
συναρτήσεις
για κάθε x
, να αποδειχ
βρείτε όλα τ
ει ότι P x
τω η συνάρτη
2 2x ημ , x
x0, x
ε αν η f x
τω η συνάρτη
δείξετε ότι
η f είναι άρτ
η f είναι περ
η f είναι δύ
τότε:
Η fC διέρχ
f x f
f 0 0
η f είναι άρ
1)f(x) 3x τό
ηση f παραγ
x R να ισχ
τε ότι f 0
ρτηση f για
και f(x) 0 γ
x 0
f(x) 1lim
x
ι παραγωγίσ
f ,g είναι πα
R ισχύει ότι
χτεί ότι g΄ 1
τα πολυώνυμ
2P x
ηση
0
0
είναι συνεχ
ηση f παραγ
τια τότε η f
ριττή τότε η
ύο φορές παρ
χεται από το
f x
ρτια και
ότε g (0) 3
γωγίσιμη στο
χύει
1 ή f 0
την οποία
για κάθε
R να
σιμη στο R
αραγωγίσιμε
ι 2f(xg x e
2g(1)f΄ 1
μα P x για τ
χής στο ox
γωγίσιμη στο
είναι περιττή
f είναι άρτια
ραγωγίσιμη
0,0
ο
2
ες
) ,
τα
0
ο
ή
α
2.
f
πα
να
υπ
Π
2.
στ
να
2.
πα
Α
Β)
Γ)
κά
2.
A
B)
x
2.
πα
f
2.
Α
Β)
.44 Έστω
x xημ
αραγωγίσιμη
α δείξετε ότι
πολογίσετε τ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ
.45 Θεωρο
το R με παρά
α δείξετε ότι
.46 Έστω
αραγωγίσιμη
Α) h 0
f (x 2lim
) h 0
f (x hlim
) h 0
4f (x 2lim
άθε x R
.47 Να απ
A) Αν y ln
) Αν y ημ
2y xy y
.48 Αν η σ
αραγωγίσιμη
2x xf x
.49 Να α
Α) Αν f x
) Αν f x
htt
η συνάρτησ
xμ x e , x
η στο 0,
ι /f (x) ημx
ο 2x 0
f(x)lim
x
Σ ΑΝΩΤΕΡ
ούμε συνάρτ
άγωγο συνεχή
f 3 5
μια συνάρτη
η στο R. Να α
2h) f (x)2
h
h) f (x)f
h
2h) 6f (x h)h
ποδειχτεί ότι
2xe 1 x τ
ln x συν
0
συνάρτηση f
η στο R και
, να αποδείξε
ποδείξετε ότι
συνx , τότε f
xxe τότε (νf
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
ση f : 0,
x 0 . Αν f
τότε
xσυνx 2x
1
ΡΗΣ ΤΑΞΗΣ
τηση f παρα
χή. Αν x 1
flim
ηση f δύο φο
αποδείξετε ό
2f (x) , xR
f (x) , xR
10f (x)2f
ι:
τότε y 1
ln x τότε
f είναι δύο φ
ι για κάθε x
ξετε ότι f 1
ι:
(ν)f x συν
ν) xx e x
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
R ώστε
είναι
2xxe και να
Σ
αγωγίσιμη
(4 x)5
x 1
ορές
ότι:
(x) για
y 1 y
φορές
R ισχύει
0 .
νπν x
2
ν
Σ
r
Γ Λυκείου –Μ
ΕΦΑΠΤΟΜ
2.50 Βρε
0x 0 αν f
2.51 Μια
ox 1 και ι
ότι η εφαπτ
είναι κάθετη
2.52 Δίν
τις εφαπτόμ
M( 2, 8)
2.53 Έστ
ότι: x ln x
αποδείξετε ό
να βρείτε τη
στο σημείο
2.54 Αν
να αποδειχτ
σχηματίζου
εφαπτομένη
ανεξάρτητο
2.55 Να
όταν f(x)
τέμνονται σ
2.56 Αν
α,β R ώσ
εφαπτόμενη
Μαθηματικά Θ
ΜΕΝΗ ΚΑΜ
είτε την εφαπ
2
3
1x ημ
xf(x)x
α συνάρτηση
ισχύει x 1
f(lim
ομένη της C
η στην ευθεία
εται η συνάρ
μενες της fC
τω συνάρτησ
2f x x x
ότι είναι παρ
ην εξίσωση τη
Μ 1, f(1) .
f : 0,
τεί ότι το εμβ
υν οι ημιάξον
η της καμπύλ
ο του α .
βρεθούν οι ε
2x 2 και g
στον y y και
f x α ln x
στε η ευθεία ε
η της fC στο
Θετικών Σπουδ
ΜΠΥΛΗΣ
πτομένης της
1αν x 0
xαν x 0
η f είναι συν
2x) x7
x 1
. Ν
fC στο σημείο
α x 9y 5
ρτηση f(x)
που διέρχον
ση f για την
x για κάθε x
ραγωγίσιμη σ
ης εφαπτομέ
R με f x
βαδόν του τρ
νες Ox,Oy κ
λης στο ox
εφαπτόμενες
21g(x) x
8
ι είναι κάθετε
2βx 3 , να
ε: 2x y 4
ο σημείο της
δών
fC στο
0
0
νεχής στο
Να αποδείξε
ο A 1, f 1
0
3x . Να βρείτ
νται από το
ν οποία ισχύε
Δ . Να
στο ox 1 κ
ένης της fC
1x
και α 0
ριγώνου που
και η
α είναι
ς των f gC , C
12
που
ες μεταξύ του
α βρείτε τα
0 να είναι
A 1, f 1 .
ετε
τε
ει
και
0 ,
g
υς.
2.
ισ
απ
πα
στ
2.
βρ
στ
2
2.
Ν
2.
f
g
2.
f(
κο
2.
συ
κά
το
στ
γω
2.
f
εί
f
.57 Για τη
σχύει ότι f 2
ποδείξετε ότι
αράστασης σ
την y x .
.58 Αν f
ρεθούν τα α,
το A(2, f(2))
x y 1 0
.59 Αν f
Να βρείτε τις
.60 Για πο
2x x 3x
αx
x
.61 Δείξτ
x xe e2
(x)
οινή εφαπτομ
.62 Θεωρο
υνεχή πρώτη
άθε x R . Α
ον άξονα x x
το σημείο τομ
ωνία o45
.63 ** Δίν
4 2x x 4x
ίναι εφαπτομ
σε δύο διαφ
ην παραγωγί
x f 2 x
ι η εφαπτομέ
στο σημείο 2
2αx 2
x
x
,β,γ R ώστ
να είναι πα
2x 4 x κ
κοινές εφαπτ
οια τιμή του
στο 1, f(1)
ε ότι οι γραφ
και g( )x
μένη σε κάθε
ούμε την συν
η παράγωγο σ
Αν η gC της g
x , να αποδειχ
μής , σχηματ
εται η συνάρ
2 3x . Να β
μένη της γρα
φορετικά σημ
ίσιμη συνάρτ
x 2x , x
ένη της γραφ
2, f(2) είναι
2αx β α xγ
xx 1
τε η εφαπτομ
αράλληλη πρ
και g x x
τόμένες των
α 0 η εφαπ
είναι εφαπ
φικές παραστ
x xe exμη
2
ε κοινό τους
νάρτηση f π
στο R με f (
g με g(x)
ιχτεί ότι η εφ
τίζει με τον ά
ρτηση
ρεθεί ευθεία
αφικής παράσ
μεία της. (ma
45
τηση f
R . Να
φικής
ι κάθετη
x 2
x 2
, να
μένη της Cf
ος την
2x 8x 20 .
fC και gC .
πτόμενη της
τόμενη της
τάσεις των
έχουν
σημείο.
που έχει
(x) 0 για
f(x)f (x)
τέμνει
απτομένη
άξονα x x
που να
στασης της
athematica)
5
46
2.64 Μία
ιδιότητα: f
x R . Έστ
από το M
διαφορετικά
της f και να
fC στα Α κ
2.65 Δίν
x 0 , όπου
εφαπτόμενη
και αποδείξ
Ρ για κάθε α
2.66 Αν
εφαπτομένη
σημείο της μ
στη gC της
2.67 * Αν
ότι οι fC κα
2.68 Δείξ
xg(x) e κα
2.69 Να
με xf(x) α
2.70 Έστ
συνάρτηση
3f x 1 2
Α) Να
Β) Απο
άγονται απ
α συνάρτηση
2x 2 x
τω μεταβλητ
1,0
2
και τ
ά σημεία Α κ
α αποδείξετε
και Β τέμνοντ
εται η συνάρ
υ α R . Να
ης της fC στο
ξετε ότι διέρχ
αR.
η ευθεία y
η του διαγρά
με ox 1 , ν
g(x) fx
ν 1
f(x)x
κα
αι gC έχουν κ
ξτε ότι οι γρα
αι 2f(x) 2x
βρείτε τον α
, να έχει εφα
τω f δευτερο
για την οποί
22f x 2 x
βρεθεί ο τύπ
οδείξτε ότι οι
ό το σημείο
η f : R R έχ
3x 2 f x
τή ευθεία η οπ
τέμνει τη fC
και Β. Να βρ
ε ότι οι εφαπτ
ται κάθετα.
ρτηση f x
βρείτε την εξ
ο σημείο της
χεται από στα
2x 0 είναι
άμματος της
να βρεθεί η ε
2
1
x
στο σημ
αι xg(x) e
κοινή εφαπτο
αφικές παρα
, έχουν κοιν
α R ώστε η
απτομένη την
οβάθμια πολ
ία ισχύει ότι
2 14x 5 ,
πος της f .
ι εφαπτόμενε
1A 1,
4
, εί
χει την
3 2x 4 ,
ποία διέρχετ
σε δύο
είτε τον τύπο
τόμενες της
2α ln x ,
ξίσωση της
M 1, f 1
αθερό σημείο
ι η
y f(x) , στο
εφαπτομένη
είο με 1x 1
, αποδείξετε
ομένη.
στάσεις των
νή εφαπτομέν
συνάρτηση
ν y x .
υωνυμική
:
x R
ες της fC πο
ίναι κάθετες.
,
ται
ο
ο
ο
1
ε
νη
f
ου
.
2.
R
υπ
σχ
ση
2.
Α
C
Β)
στ
δι
2.
f
Α
τη
Β)
2.
Α
εφ
Β)
ση
2.
f(
A
πα
B)
τα
άξ
Γ)
ση
κά
.71 ** Έστ
R , και ισχύει
πολογίσετε τ
χηματίζεται
ημείο της με
.72 ** Έστ
Α) Να βρ
fC στο σημείο
) Aποδε
το σημείο x
ιέρχονται απ
.73 Έστω
: (0, ) R
Α) Να βρ
ης γραφικής
) Υπολο
.74 Έστω
Α) Bρείτε
φαπτόµενη δ
) Να βρ
ηµείου M ότ
.75 Θεωρο
21(x) x 2
2
A) Να απ
αραβολές έχο
) Να απ
α οποία οι εφ
ξονα x x , βρ
) Αν λ
ημείων του ε
άθετες εφαπτ
htt
τω συνάρτησ
ι f ln x xl
ο εμβαδόν το
από την εφα
ox 1 και τ
τω η lnf x
ρεθεί η εξίσω
ο ο οx , f(x ) .
είξτε ότι οι π
ο ο, f(x ) , καθ
πό το ίδιο σημ
μία παραγω
, με 2f(x ) f
ρείτε την εξίσ
παράστασης
ογίστε το όρι
η συνάρτησ
ε το σηµείο M
ιέρχεται από
ρείτε τον γεω
ταν το α δια
ούμε τις παρ
λx - 2λ(1 - λ),
ποδείξετε ότι
ουν μία κοιν
ποδείξετε ότι
φαπτόμενες ε
ρίσκονται στη
0 , να βρείτ
πιπέδου από
τόμενες τη συ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
ση f παραγω
ln x x , x 0
ου τριγώνου
απτομένη της
τους άξονες x
n (αx)x
με α ,
ωση της εφαπ
.
παραπάνω εφ
θώς μεταβάλ
μείο.
ωγίσιμη συνά
f(x) 3 ln x
σωση της εφα
ς της f στο
ιο: 2x 1
x f(xlim
x -
ση αxf x e
M της fC σ
ό την αρχή τω
ωµετρικό τόπ
ατρέχει το R
ραβολές
, λ R
ι οι παραπάν
νή εφαπτομέν
ι τα σημεία τ
είναι παράλλ
την ευθεία y
τε το σύνολο
ό τα οποία άγ
υνάρτηση f
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
ωγίσιμη στο
0 . Να
υ το οποίο
ς fC στο
x x και y y .
x 0
τομένης της
φαπτόμενες
λλεται το α ,
άρτηση
4
απτόμενης
1, f(1)
) - 2
- 1.
*x, α R
το οποίο η
ων αξόνων.
ο του
νω
νη.
ων fC για
ληλες στον
x .
ο των
γονται
Σ
r
.
Γ Λυκείου –Μ
Η ΠΑΡΑΓΩ
2.76 Μια
λάμπα βρίσ
προχωράει
A) να α
απόστασης
B) να β
βρίσκεται σ
2.77 Ενα
της τετμημέ
2.78 Ένα
κατευθύνον
ισούται με τ
Το αυτοκίνη
Α) Με
Β) Να
του από τον
Γ) Πόσ
απομακρυν
2.79 Σε ο
συνάρτησης
προβολές το
1 m /sec . Τ
Α) του
Γ) της
2.80 ***Τ
της ευθείας
των ευθειών
( ),( ) και δ
μεταβολής τ
γίνεται ορθο
Μαθηματικά Θ
ΩΓΟΣ ΩΣ Ρ
α κολόνα ύψ
σκεται 1m κά
προς τον τοί
αποδείξετε ό
του από την
βρείτε τον ρυ
σε απόσταση
α σημείο Μ
ένης του είνα
α αυτοκίνητο
νται προς τα
το τετράγωνο
ητο A απομ
ποια ταχύτη
βρείτε την α
ν δρόμο Oy
σο γρήγορα
νθεί 3 km πρ
ορθοκανονικ
ς xf x e , x
ου M στους
Τη χρονική σ
εμβαδού του
γωνίας που
Το κινητό O
(ε). Κυκλικό
ν ( ),( ) , έχε
δημιουργεί τ
του μήκους A
ογώνιο για π
Θετικών Σπουδ
ΡΥΘΜΟΣ Μ
ψους 4m φωτ
άτω από την
ίχο με ταχύτη
τι το ύψος y
ν κολόνα είνα
υθμό με τον ο
2m από τον
x, y κινείτα
αι ίσος με το
ο A απομακ
ανατολικά κ
ο της απόστα
μακρύνεται π
ητα απομακρ
απόσταση του
.
απομακρύνε
ρος τα βόρεια
κό σύστημα α
x 0 . Έστω
άξονες Ox
στιγμή ot πο
υ τριγώνου
σχηματίζει η
κινείται με σ
ό εμπόδιο έχε
ι διάμετρο 2
την «σκιά» A
AB την στιγ
πρώτη φορά
δών
ΜΕΤΑΒΟΛΗ
τίζει ένα στεν
ν κορυφή της
ητα 1m /sec
y t της σκιά
αι y t 3
οποίο αυξάν
ν τοίχο.
αι στην fC , μ
ρυθμό μετα
κρύνεται από
και βόρεια αν
ασής του από
προς τα ανατ
ρύνεται το αυ
υ αυτοκινήτο
εται το A απ
α;
αναφοράς O
M η θέση το
και Oy αντί
ου το κινητό β
OAM
η εφαπτομένη
σταθερή ταχ
ει το κέντρο
2m ίση με το
AB . Να βρεθ
γμή κατά την
(Άσκηση απ
ΗΣ
νό δρομάκι,
ς κολόνας. Έν
c . Αν η κολό
άς που ρίχνει
6x(t)
, 2 x t
νει το ύψος τη
με f(x) x
αβολής της τε
ό τη διασταύρ
ντίστοιχα. Η
ό το δρόμο O
τολικά με ρυθ
υτοκίνητο πρ
ου A από το
πό το σημείο
Oxy ένα κινη
ου κινητού σ
ίστοιχα. Η τε
βρίσκεται στ
Β)
νη της fC στο
χύτητα 2m /
του στην μεσ
ο μισό της απ
θεί ο στιγμιαί
ν οποία το τρ
πό www.mat
το οποίο κατ
νας παίχτης
να απέχει 6m
ι ο άνδρας στ
6
ης σκιάς που
. Να βρείτε τ
εταγμένης το
ρωση δύο κά
Η απόσταση τ
Ox
θμό v 10
ρος τα Βόρεια
ο σημείο O 0
O 0,0 τη χ
τό κινείται π
στο επίπεδο κ
ετμημένη του
το σημείο 1,
της από
ο σημείο M ,
sec κατά μή
σοπαράλληλ
πόστασης των
ίος ρυθμός
ρίγωνο OAB
thematica.gr
ταλήγει κάθε
του μπάσκετ
m από τον τ
τον τοίχο ως
υ ρίχνει ο άνδ
τη θέση όπου
ου.
άθετων δρόμω
του αυτοκινή
km/min .
α; (συναρτήσ
0,0 ως συνά
χρονική στιγ
πάνω στη γρα
κάθε στιγμή κ
υ σημείου M
e , βρείτε το
όστασης AB
, με τον άξον
κος
η
ν
)
ετα σε έναν τ
τ με ύψος 2m
τοίχο, τότε:
συνάρτηση
δρας στον το
υ ο ρυθμός μ
ων Ox και O
ήτου από το δ
σει της θέσης
άρτηση της α
γμή που έχει
αφική παράσ
και έστω A,
M μεταβάλετ
ο ρυθμό μετα
B
να x x
47
τοίχο. Η
m
της
οίχο όταν
μεταβολής
Oy , που
δρόμοOy
ς του)
απόστασής
σταση της
B οι
αι με ρυθμό
αβολής:
7
48
Θ. R2.81 Εφα
f x x 1
2.82 Αν
οι α,β,γ R
Rolle στο
f ξ 0 .
2.83 θεω
συνεχής και
παραγωγίσι
υπάρχει 0x
2.84 Δίν
και παραγω
δείξτε ότι υπ
2.85 Δίν
α,β και π
αποδείξετε ό
23
f β f3ξ
β α
2.86 Έστ
παραγωγίσι
g(x)g x
υπάρχει ξ
Rolleαρμόστε το θ
1 x ημx σ
2xf(x)
3 (γ
R ώστε να εφ
1,1 και να
ωρούμε μια συ
ι μη μηδενικ
ιμη στο π
,2
π 3π,
2 2
ώ
εται ότι η f σ
ωγίσιμη στο (
πάρχει ξ α
εται η συνάρ
παραγωγίσιμ
ότι υπάρχει
3
αf ξ
α
τω f ,g συνεχ
ιμες στο α,β
0 για κάθε
α,β ώστε
e –Θθ. Rolle για τη
στο διάστημα
αx β x 0γ α)x x 0
φαρμόζεται τ
βρεθεί ξ
υνάρτηση f
κή στο π 3π
,2 2
3π2
. Αποδε
ώστε of (x )
συνεχής στο
(α, β) με f α
α
α,β ώστε ξf
ρτηση f συν
μη στο (α, β).
ξ α, β ώσ
χείς συναρτή
β με f(α)g(α)
x (α,β) . Να
ε να ισχύει fg
.Μ.Τη συνάρτηση
α 0,1
00
να βρεθούν
το θεώρημα
1,1 ώστε
η οποία είνα
π2
και
είξτε ότι
o of(x )εφx .
α,β , α > 0
f β
β . Να
f ξ f ξ
εχής στο
Να
στε
ήσεις στο α,
f(β)g(β)
και
α δείξετε ότι
f (ξ) f(ξ)g (ξ) g(ξ)
Τ. η
ν
αι
α
β
2.
στ
Ν
το
2.
2f
ξ
2.
στ
ώ
2.
συ
f
ln
υπ
2.
πα
f
υπ
2.
γι
Β)
τη
2.
πα
g
βρ
.87 Έστω
το R με f(x)
Να αποδείξετε
ουλάχιστον ρ
.88 Έστω
2 2(α) f (β)
α,β έτσι
.89 Αν η
το 1,1 , να
στε 2f ξ 5
.90 Θεωρο
υνεχείς στο [
x 0 για κ
n f(α) ln f(β
πάρχει ξ (α
.91 Έστω
αραγωγίσιμη
1 f 0 f
πάρχει x 0
.92 Α) Δ
ια κάθε x R
) Να δε
η συνάρτηση
.93 Να απ
αραστάσεις τ
x 3g(x) e x
ρίσκεται στο
htt
f μια παραγ
) 0 για κάθ
ε ότι η εξίσωσ
ρίζα στο 1,2
η f : [α,β]
2 2α β . Να
ι ώστε: f ξ f
συνάρτηση
α αποδείξετε
45ξ f(1) f(
ούμε τις συνα
[α,β] παραγ
κάθε x [α,β
) g(β) g(α
α,β) ώστε f (
f : R R τρ
η. Υποθέτουμ
f 0 f 0
0,1 ώστε 3f
Δείξτε ότι η f
R με λ R δ
είξετε ότι εφα
f xg x e
ποδείξετε ότι
των συναρτή
3 έχουν ένα μ
ν y y
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
γωγίσιμη συ
θε x R και
ση f (x) f(x
2 .
R παραγωγ
α αποδείξετε ό
ξ ξ
f είναι παρ
ότι υπάρχει
1) .
αρτήσεις f ,g
γωγίσιμες στο
β] και
α) . Να αποδε
(ξ) f(ξ) g (ξ
ρεις φορές
με ότι
0 . Nα απο
3 x 0 .
3f x x λx
δεν είναι 1
αρμόζεται το
2x λx 3
ι οι γραφικές
ήσεων f(x)
μόνο κοινό ση
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
νάρτηση
f(2)
ef(1)
.
x) έχει μια
γίσιμη, ώστε:
ότι υπάρχει
ραγωγίσιμη
ξ 1,1 ,
g που είναι
ο (α ,β) με
είξετε ότι
ξ) 0
δείξετε ότι
2x 3x 1
1 .
θ. Rolle για
ς
xe 2x και
ημείο που
Σ
r
Γ Λυκείου –Μ
2.94 Nα
2.95 Να
2.96 Να
2.97 Να
2.98 Να
2.99 Να
2.100 Να
2.101 Λύσ
2.102 Να
5x 3x α
2.103 Να
20122013x
τουλάχιστον
…----------
2.110 Η α
με ευθεία σι
Μια αμαξο
απόσταση σ
κάποια χρο
ταχύτητα 85
2.111 Αν
f x 2 ,
2.112 Έστ
f 5 f 0
κ , λ 0,5
Μαθηματικά Θ
ΕΞΙΣ
λύσετε την ε
λύσετε την ε
λύσετε την ε
λύσετε την ε
λύσετε την ε
λύσετε την ε
λύσετε την ε
στε την εξίσω
αποδείξετε ό
0 έχει μον
δειχθεί ότι η
2012 λ 1 x
ν μία ρίζα στ
-------------
απόσταση δύ
ιδηροδρομικ
οστοιχία διαν
σε 0,6 ώρες. Ν
ονική στιγμή
5 km /h .
f συνεχής σ
x (1, 5) να
τω f παραγω
1 . Να δείξε
ώστε 2f κ
Θετικών Σπουδ
ΣΩΣΕΙΣ
εξίσωση 1 2
εξίσωση ln 1
εξίσωση x2
εξίσωση x5
εξίσωση ln x
εξίσωση xxe
εξίσωση: 2x
ωση 96x 3
ότι η εξίσωση
ναδική ρίζα σ
η εξίσωση
2011x λ 0 έ
το 0,1 για
--------------
ο πόλεων πο
κή γραμμή εί
νύει τη μεταξ
Να αποδειχτ
η αμαξοστο
στο 1,5 με
α δείξετε ότι
ωγίσιμη στο
ετε ότι υπάρχ
3f λ 1
δών
x x 12 3 0
x1 xe x
x5 2 5x
xx 4
x x 1 0
x x1 e
x ln x 2
96x 1 16
η
στο R
έχει
κάθε λ R
-------------
ου συνδέοντα
ναι 51 km .
ξύ τους
τεί ότι για
οιχία έχει
f 1 2 κα
10 f(5) 6
0, 5 με
χουν
2
246
2.
e
2.
α
μο
2.
πε
2.
εξ
e
2.
α
ώ
ρί
2.
με
κα
--------------
αι
αι
6
2.
1
κα
1ξ
2.
ότ
2.
.104 Να απ
x 2αx βx
.105 Να απ
3 2αx βx γx
οναδική ρίζα
.106 Δείξτε
ερισσότερες α
.107 Να δε
ξίσωσης xe ημ
xσυνx 1
.108 Nα απ
3α ln x β ln
στε 3 2α γ
ίζα στο 21,e
.109 Αν η ε
ε α,β,γ,δ R
αι άνισες μετ
-------------
.113 Η συν
1, 4 και για
αι 25
f100
1 2 3,ξ ,ξ 1,
.114 Δίνετα
τι υπάρχει ξ
.115 Να βρ
ποδείξετε ότι
γ έχει μέχρ
ποδείξετε ότι
x δ 0 με β
α στο R
ε ότι η εξίσωσ
από δύο διαφ
είξετε ότι μετα
μx 1 υπάρχ
ποδείξετε ότι
2n x γ ln x
δ 4β 0
2
εξίσωση 4x
R έχει τέσσερ
ταξύ τους, να
--------------
νάρτηση f εί
κάθε x R
1 να αποδείξ
4 ώστε f ξ
αι η συνάρτη
1,20 ώσ
ρείτε το x 0lim
ι η εξίσωση
ρι τρείς ρίζες
ι η εξίσωση
2β αγ ,α 0
ση 8x 7x 6
φορετικές ρί
αξύ δύο ριζώ
χει ρίζα της ε
ι η εξίσωση
δ 0 , α,β,
0 έχει μια του
3 2αx 3βx
ρις ρίζες πρα
α αποδείξετε
---------
ίναι παραγω
ισχύει f 4x
ξετε ότι υπάρ
1 2ξ f ξ f
ηση f x lo
στε 19 lo
ξ1 lo
ημxx2 2x ημx .
49
στοR
0 έχει
6 δεν έχει
ίζες στο R
ών της
εξίσωσης
,γ,δ R
υλάχιστον
γx δ 0
αγματικές
ότι 2α 8β
ωγίσιμη στο
4f x
ρχουν
3f ξ 12
og x . Δείξτε
ogeog2
.
9
50
2.116 Απο
2.117 Απο
2.118 Δείξ
2.119 Δείξ
2.120 Nα
Α) xxe
Β) 2
2.125 Αν
στο R και υ
της fC , να α
f ξ 0 .
2.126 Μια
2, 2 και
f( 2)= f(2
αποδειχθεί ό
2.127 Έστ
παραγωγίσι
f 1 f 0
υπάρχει x
2.128 Έστ
α,β,γ,δ R
υπάρχουν τ
που να ανή
ΑΝΙΣΟΤΗ
οδείξτε ότι x
οδείξτε ότι l
ξτε ότι ημβ
ξτε ότι 1 x
αποδείξετε τ
1x 1 x 1 x
e πln π
π e
********
η f είναι δύ
υπάρχουν τρ
αποδείξετε ό
α συνάρτηση
παραγωγίσι
)= 2 . Αν f
ότι f(x) x ,
τω f : R R
ιμη. Υποθέτο
f 0 f 0
0,1 ώστε
τω 2f(x) α x
*R με 23β 5
τρία διαφορε
κουν στη γρ
ΗΤΕΣ
1 x 1ln
x 1 x
2
2
α 1ln αβ 1
ημα β α
xx e 1 xe
τις ανισότητε
1xxe για κάθε
************
ύο φορές παρ
ρία συνευθεια
ότι υπάρχει ξ
η f είναι συν
ιμη στο 2,
(x) 1 , x
, x 2, 2
τρεις φορές
ουμε ότι
0 0 . Nα απ
(3)f x 0 .
6 4 2x βx x
25α . Να απο
ετικά συνευθ
αφική παράσ
1 1x
, x 0
α β , α,β R
α , α,β R
xe , 0 x 1
ες:
ε x 0 .
************
ραγωγίσιμη
ακά σημεία
ξ R με
νεχής στο
2 με
2, 2 να
ποδείξετε ότι
γ δ ,
οδείξετε ότι δε
ειακά σημεία
σταση της .
R
1
2.
Α
Β)
2.
2.
1
2.
η
Δε
************
ι
εν
α
2.
συ
Α
γα
f
2.
πα
απ
f
2.
δύ
f
Α
υπ
Β)
υπ
.121 Nα απ
Α) x
x 1
) xx e
.122 Δείξτε
.123 Για κά
2α εφ α
.124 Έστω
παράγωγος
είξτε ότι: f 1
************
.129 Θεωρο
υνάρτηση f γ
Αν ισχύει lnα
2γ βe
α γ , να
1 2(ξ ) f (ξ )
.130 Έστω
αραγωγίσιμη
ποδειχτεί ότι
ο οx f x
.131 Η συν
ύο φορές παρ
α f β 0
Α) αν υπ
πάρχει ξ α
) αν υπ
πάρχει ξ α
htt
ποδείξετε τις
ln(x 1) x
x 1 1 (x 1
ε ότι x1
1x
άθε π
0 α4
π1
4 συ
f παραγωγί
είναι γνησίω
1999 f 200
************
ούμε την παρ
για την οποί
α ln γ lnβ
α δειχτεί ότι
0
συνάρτηση
η στο α,β μ
ι υπάρχει ox
οf x .
νεχής συνάρτ
ραγωγίσιμη
0 . Να αποδε
άρχει οx α
α,β ώστε f
άρχει οx α
α,β ώστε f
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
ανισότητες:
x αν x>0
1)e αν x 1
x 1e 1
x
π4να αποδειχ
2
απ
υν (α )4
ίσιμη στο R
ως φθίνουσα
02 f 2000
*
ραγωγίσιμη
ία ισχύει f(ln
β , με α,β,γ
υπάρχουν ξ
f , δυο φορές
με f α f β
o α,β ώστ
τηση f : α, β
στο α,β , μ
είξετε ότι:
α,β με of x
ξ 0 ,
α,β με of x
ξ 0 .
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
1,2
x 1
,x 0
τεί ότι
της οποίας
α στο R .
f 2001
στο R
nα) f(lnβ) .
0 και
1 2ξ ,ξ R με
ς
β 0 . Να
τε
R , είναι
με
o 0 , τότε
o 0 , τότε
Σ
r
ι
Γ Λυκείου –Μ
2.132 Να
34x 2 x
0,1 για κά
2.133 Έστ
R με f( 1)
Α) 11
Β) 11
2.134 Η σ
0,α με α
2f(x ) 2f(x
1 2ξ ,ξ 0,α
2.135 Αν
2,20 ικαν
θεωρήματος
Α) υπά
1 2ξ ξ και
Β) υπά
13f (κ )+ 2f (
Γ) ότι
τουλάχιστον
Δ) υπά
ώστε 2f κ
2.136 Έστ
f : R R με
, ώστε η εφα
της f στο Μ
P 2ξ,0
Μαθηματικά Θ
αποδείξετε ό
1 0 έχει
άθε R .
τω η συνάρτη
1 , f(1)
2 1 ώστε
2 1 ώστε
συνάρτηση f
> 1 και ισχύε
x), x [0,α]
α ώστε 1f (ξ
για τη συνάρ
νοποιούνται
ς του Rolle, τ
άρχουν αριθμ
1 2f ξ f ξ
άρχουν 1κ ,κ
2(κ ) = 0
η εξίσωση f
ν ρίζα στο δι
άρχουν κ , λ,
3f λ 4f
τω η παραγω
ε f 2 0 . Να
απτομένη της
Μ ξ, f(ξ) , να
Θετικών Σπουδ
ότι η εξίσωση
ι μια τουλάχ
ηση f , παρα
1 . Δείξτε ότι
ε 1f f
ε1
1 1f '( ) f'(κ
είναι παραγ
ει f(0) = 0 κα
] . Να δείξετε
1 2) f (ξ )2
ρτηση f στο
ι οι προϋποθ
τότε να αποδ
μοί 1 2ξ ,ξ
0 .
2κ (2, 20) με
(x) f(x) - f(α
ιάστημα 2,2
μ με 2 κ
f μ 0
ωγίσιμη συνά
α δείξετε ότι
ς γραφικής π
α τέμνει τον ά
δών
η
χιστον ρίζα σ
γωγίσιμη στ
ι υπάρχουν
2 2
22
)
γωγίσιμη στο
αι
ε ότι υπάρχου
f(α)
α - 1.
διάστημα
έσεις του
δείξετε ότι:
2,20 με
ε 1 2κ κ ώστ
α) έχει μία
20 .
λ μ 20
άρτηση
υπάρχει ξ
παράστασης
άξονα x x σ
στο
ο
ο
υν
στε
R
στο
2.
φο
f
τη
2.
πα
Α
έχ
Β)
1ξ
2.
συ
σε
2.
α
ώ
ρί
2.
Ν
Α
τη
Β)
έχ
2.
f
το
f
.137 Η συν
ορές παραγω
4 8 . Να α
ης fC που δι
.138 Έστω
αραγωγίσιμη
Α) Να απ
χει μια τουλά
) Να απ
1 2,ξ α,β
.139 Αν 4
υνάρτηση f
ε ένα τουλάχ
.140 Nα απ
3α ln x β ln
στε 3 2α γ
ίζα στο 21,e
.141 Δίνετα
Να αποδείξετε
Α) Υπάρχ
ης fC στο ξ
) Να απ
χει ρίζα στο
.142 Έστω
f 0 fx
2
ουλάχιστον έ
ox 0
νάρτηση f : 1
ωγίσιμη και ι
αποδείξετε ότ
ιέρχεται από
συνάρτηση
η στο α,β ,
ποδείξετε ότι
άχιστον ρίζα
ποδείξετε ότι
τέτοια ώστε
3 2
3x x x
χιστον σημείο
ποδείξετε ότι
2n x γ ln x
δ 4β 0
2 .
αι η συνάρτη
ε ότι:
χει 1
ξ ,12
, f(ξ) να είν
ποδείξετε ότι
1,1
2
f παραγωγ
10. Να δεί
ένα ox 0,1
1, 4 R είν
ισχύουν f 1
τι υπάρχει εφ
την αρχή τω
f : α,β R
με f α 2β
ι η εξίσωση f
στο α,β .
ι υπάρχουν
1 2f ξ f ξ
0 , να δείξετ
2x x μη
ο του διαστή
ι η εξίσωση
δ 0 , α,β,
0 έχει μια του
ηση f x x
ώστε η εφα
ναι παράλλη
ι η εξίσωση
γίσιμη στο R
είξετε ότι υπά
10 τέτοιο ώσ
51
ναι δύο
2 και
φαπτομένη
ων αξόνων.
β , f β 2α
f x = 2x
4 .
τε ότι η
ηδενίζεται
ματος 0,1
,γ,δ R
υλάχιστον
x 1 ln 2x .
απτομένη
λη στον x x
x 2 2x2x e
. Αν
άρχει
στε
1
.
52
ΣΤΑΘΕΡΗ
2.143 Δίν
f x 2f
f 0 f 0
Α) Οι συναρ
g x f x
σταθερές συ
Β) Να
2.144 Θεω
οποία ισχύε
κάθε x, y R
2.145 Να
x R και f
2.146 Να
και f 1
2.147 Να
Α) αν
f(0) f (0)
Β) αν
δ(0) 1 κα
2.148 Έστ
παραγωγίσι
όλες οι εφαπ
αξόνων. Να
οποίας η γρ
σημεία 2,1
2.149 Έστ
Να δείξετε ό
αν και μόνο
Η ΣΥΝΑΡΤΗ
εται συνάρτη
x f x 2
f 0 1 .
ρτήσεις h x
2x f x
υναρτήσεις
βρεθεί ο τύπ
ωρούμε συνά
ει ότι: f x
R . Να δειχτε
βρείτε την f
f 1 2
βρείτε την f
f 1 2
αποδειχτεί
f (x) f(x) γ
1 τότε f(x)
δ (x) δ(x)
αι δ (0) 4
τω συνάρτησ
ιμη στο *R μ
πτόμενες διέ
α βρείτε εκείν
ραφική παρά
και 2,1
τω f παραγω
ότι ισχύει f
ο αν υπάρχει
ΗΣΗ
ηση f : R R
2f x , για κά
Να αποδείξε
xf x e κ
2 f x f x
πος της f .
άρτηση f : R
f y συν x
εί ότι η f είν
f αν f 1 2
f αν f x
ότι:
για κάθε x
xe , x R
5x για κάθ
, τότε δ(x)
ση f ορισμέν
με f 0 0 , τ
ρχονται από
νη τη συνάρτ
άσταση διέρχ
ωγίσιμη συνά
x 2x 1
ι c R ώστε
R , ώστε:
άθε x R κα
ετε ότι :
και
2x είναι
R για την
x y 1 για
ναι σταθερή
2x 7 12x ,
2
1
x , x R *
R και
R ,
θε x R ,
xe 5x , x
νη στο R
της οποίας
ό την αρχή τω
τηση f της
χεται από τα
άρτηση στο R
f x , x R
2x xf x ce
αι
ν
α
,
*
R
ων
R .
R
x
2.
f
2.
πα
κά
α
2.
ισ
f
2.
f
f
2.
εί
ισ
2.
αν
2.
δι
με
2.
f
f
2.
στ
γι
.150 Να βρ
(x) f(x) η
.151 Αν η
αραγωγίσιμη
άθε x 0,π
α R .
.152 Να βρ
σχύει: x 2
3 7
.153 Να βρ
: 0, 0
(x) f(x) ln
.154 Nα βρ
ίναι παραγω
σχύει f(x) x
.155 Να βρ
ν ισχύει f(x
.156 Βρείτε
ιέρχεται από
ε τετμημένη
.157 Να βρ
: 0, 0
(x) f(x) ln
.158 Δίνετα
το R ώστε ν
ια κάθε x R
htt
ρείτε την f , α
μx συνx κα
f : 0,π R
η με π
f2
να αποδείξ
ρεθεί η συνά
2f x 2x
ρεθεί η παρα
0, αν ισ
f(x) για κά
ρεθεί, αν υπά
γίσιμη στο R
xf (x) , f(1)
ρείτε τη συνά
x) e f (x)
ε την εξίσωση
το M(0, 3)
α έχει εφαπ
ρεθεί παραγω
0, , αν ισ
f(x) για κά
αι η συνάρτη
να ισχύει [f (x
R και f 0
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
αν για κάθε
αι f(0) 1 .
R είναι δύο φ
0 και f x
ίξετε ότι f x
άρτηση f : R
5x 2 , x
αγωγίσιμη συ
σχύει ότι
άθε x 0 κα
άρχει, συνάρ
R * και για κ
1 και f( 1)
άρτησης f μ
xe 0 , x
η της καμπύλ
και σε κάθε
πτομένη με λ
ωγίσιμη συν
σχύει ότι f (1)
άθε x 0
ηση f , παρα
2xx) f(x)]e
1 .Bρείτε τον
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
x R ισχύει
φορές
f x για
αημx ,
R αν
R και
υνάρτηση
ι f (1) 0
τηση f που
κάθε x R *
2 .
με f 0 2 ,
xR
λης που
ε σημείο της
εφ 2
4αλ
4α 1
νάρτηση
) 0 και
γωγίσιμη
f(x) f (x)
ν τύπο της f
Σ
r
ι
α
Γ Λυκείου –Μ
2.159 Αν
παραγωγίσι
κάθε x 0,
2.160 Να
στο R με f
η γραφική π
έχει εφαπτο
2.161 Να
είναι δύο φο
διέρχεται απ
στο σημείο
-2x y 3
2x 1 f (
2.162 Έστ
παραγωγισι
Αν δέχοντα
τους και ισχ
x R , να δ
2.163 Α)
οποία ισχύε
f 0 f 0
μηδενική συ
Β) Έστ
g x g x
g 0 1 . Ν
2.164 * Δί
R με f 0
f(x)f x e
βρεθεί ο τύπ
Μαθηματικά Θ
η f : 0,π
ιμη με π
f2
,π , δείξτε ότ
βρεθεί συνά
x 0 , x R
παράσταση σ
ομένη με κλίσ
βρεθεί ο τύπ
ορές παραγω
πό το O 0,0
O 0,0 είνα
0 και ισχύε
x) 4x f (x)
τω οι συναρτ
ιμες στο R μ
αι κοινή εφαπ
χύει f x g
είξετε ότι f x
Έστω συνά
ει f x f x
0 . Να απο
υνάρτηση.
τω συνάρτησ
x 0 για κάθ
Να αποδείξετ
ίνεται συνάρ
0 για την ο
2
21 2x
x
πος της f .
Θετικών Σπουδ
R είναι δύο
0
και f
τι f x αημ
άρτηση f παρ
R , f 1 9
σε κάθε σημε
ση 4x f(x) ,
πος της συνά
ωγίσιμη στο
0 η εφαπτόμ
αι παράλληλη
ει
2f(x) 0, x
τήσεις f και
με f x 0 γι
πτόμενη σε κ
x f x g
x g x
άρτηση f : R
x 0 , x R
οδείξετε ότι η
ση g : R R
θε x R και
τε ότι η g x
ρτηση f παρα
οποία ισχύει
2x
1 για κάθε
δών
ο φορές
x f x γ
μx , α R .
ραγωγίσιμη
και της οποί
είο M x,f(x)
x R
ρτησης f αν
R , η fC
μενη της fC
η στην ευθεία
x R
g δυο φορέ
ια κάθε x R
κοινό σημείο
x για κάθε
R για την
και
η f είναι η
με
ι g 0 0 ,
ημx .
αγωγίσιμη σ
ότι
ε x R . Να
για
ίας
)
ν
α
ές
R
ν
στο
2.
ν
τό
2.
στ
πα
2
γρ
2.
f
f
Δε
κα
2.
ισ
x
πα
2.
f
κά
Α
Β)
Γ)
2.
πα
ισ
Α
πα
Β)
.165 Έστω
ν 2 και ισχύ
ότε ναδείξετε
.166 Να βρ
το R , αν η εφ
αράσταση σε
xxe f x κ
ραφική παρά
.167 * Δίνε
xy f x
e e . Η f
είξτε ότι η f
αι ότι f x
.168 Έστωι
σχύει ότι και
, y R , f 1
αραγωγίσιμη
.169 Η συν
0 2 και ι
άθε x, y R .
Α) f x
) η f είν
) ο τύπο
.170 Έστω
αραγωγίσιμη
σχύει f xy
Α) Να απ
αραγωγίσιμη
) Δείξτε
συνάρτηση
ύει f x f y
ε ότι η f είνα
ρείτε συνάρτη
φαπτομένη σ
ε κάθε σημείο
και το A 1,
άσταση της f
ται η συνάρτ
f y για κά
είναι παραγ
είναι παραγ
eln x , για κ
ι η συνάρτησ
f x y x
1 , f 2
η στοR και
νάρτηση f εί
ισχύει f y x
Να αποδείξ
0 για κάθε
ναι παραγωγ
ος της f είνα
συνάρτηση
η στο 1 με f
2 2x f y y f
ποδείξετε ότι
η για κάθε x
ε ότι f x x
f : R R κα
νy x y
αι σταθερή.
τηση f , παρα
στη γραφική
ο x, f(x) να
2e
να ανήκ
f
τηση f : 0, +
άθε x, y 0,
γωγίσιμη στο
γωγίσιμη στο
κάθε x 0, +
ση f : R R ,
2xy y f x
2 . Δείξτε ότ
να βρεθεί ο
ίναι ορισμέν
x f y f x
ξετε ότι:
x R και f
γίσιμη στο R
αι 2xf x e
f : 0,
f 1 1 για τ
f x . για κά
ι η f είναι
x 0
2x ln(x) για κ
53
αι ν N . Αν
, x, y R
αγωγίσιμη
της
α έχει κλίση
ει στη
+ R με
+ και
ο ox 1 .
ο 0, +
+ .
, ώστε να
για κάθε
τι η f είναι
τύπος της
νη στο R με
2xye , για
f 0 1
2x
R ,
την οποία
άθε x, y 0 .
κάθε x 0
3
54
ΜΟΝ2.171 Μελ
συναρτήσεω
2.172 Nα
συναρτήσεω
2.173 Να
συνάρτησης
2.174 Να
συνάρτηση
είναι γνησίω
2.175 Αν
παραγωγίσι
φθίνουσα, ν
f(x)g x
x
2.176 Oι σ
παραγωγίσι
x R να ισ
g(x) 0 . Να
x [0, ) κ
2.177 * Έσ
στο [0,+ )
x 1 ln(x
μελετηθεί η
ΝΟΤΟλετήστε τη μο
ων Α) f x
Β) f x
μελετήσετε τ
ων Α)
Β)
μελετήσετε τ
ς 2f x x
βρεθεί για π
f με f x
ως αύξουσα
η συνάρτηση
ιμη με f 0
να αποδείξετ
, x 0 , είνα
συναρτήσεις
ιμες στο R μ
σχύουν f (x)g
α αποδείξετε
και f(x) g(x
στω μία παρα
ώστε 5f(x)
4 xx 1) - x -
5 2
f ως προς τ
ΟΝΙΑ- ονοτονία των
xln x
x συνx,
τη μονοτονία
x
2
ef x
x
f(x) ln(1
τη μονοτονία
2 x 1 στο
ποιες τιμές το
3x α 1 x
στο R .
η f : R R ε
0 και η f ε
τε ότι η συνά
ι γνησίως φθ
f και g είνα
με f(0) g(0)
g(x) f(x)g (x
ε ότι: f(x) g
x) για κάθε x
αγωγίσιμη σ
5 32 f(x)
2 3x2015
2 6
την μονοτονί
ΑΚΡΟν
x [0,2π)
α των
ex 1 x 0
ln x x 0
2 xx ) e
α της
20,
3
ου α R , η
2 2x 10
είναι
είναι γνησίω
ρτηση
θίνουσα.
αι
και για κάθ
x) και
g(x) για κάθ
x ( ,0] .
υνάρτηση f
3f(x)
5 . Να
ία της.
ΟΤΑΤ
0
0
1
ως
θε
θε
2
Α
Β)
2
εξ
2
2
2
x
2
2
ισ
ισ
εξ
2
f
3f
x
2
να
ΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
.178 Έστω
Α) να μελ
) να απ
α) πln e
β) ln x
.179 Να βρ
ξίσωσης ln(x
.180 Λύστε
.181 Να λύ
.182 Για κά
πx 1 συν
x
.183 Δείξτε
.184 Έστω
σχύει ότι f 1
σχύει ότι f x
ξίσωση f x
.185 Δίνετα
: R R για
3 x ln f(x
R . Να λύσ
.186 Αν xg
α αποδείξετε
htt
Σ – ΑΝΙΣΩΣΕ
η συνάρτηση
λετήσετε τη μ
ποδείξετε ότι:
π1 ln e
1 ln x 1
ρείτε το πλήθ
2x 1) x x
ε την εξίσωση
ύσετε την εξίσ
άθε x 2
πxσυν
1 x
ε ότι 2 ln(ημ
συνάρτηση
x f 1
x 0 , x R
0
αι η παραγω
α την οποία ,
f x 3) e x
σετε την εξίσ
g x συνx
ε ότι η
g(x)
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
ΕΙΣ -ΑΝΙΣΟ
η ln(xf x
ln
μονοτονία τη
:
21 π .
2ln x , x
θος των ριζών
x 6 0
η ln(x 1)x
σωση x 1e
να αποδεί
1
2μx) ημ x ,
f : R R για
x για κάθε
R , να λύσετε
ωγίσιμη συνά
ισχύουν f x
3 2x 2x 1
σωση f ln x
g x για κ
ημxx
για κάθε
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
ΤΗΤΕΣ
x 1)n x
, x 2
ης f
2
ν της
2xx 0
x 2
2x e 0
ίξετε ότι
x 0,π
α την οποία
ε x R . Αν
ε την
άρτηση
x 0 και
1 για κάθε
2f 1 x
κάθε x R ,
ε x 0 .
Σ
r
Γ Λυκείου –Μ
ΑΚΡΟΤΑΤ
2.187 Να
την μονοτον
Α) f x
Γ) nf x
x
2.188 Να
την μονοτον
Α) f x
2.189 Δείξ
έχει ακριβώ
2.190 Να
συνάρτηση
οx 1 τοπι
2.191 Έστ
f : R R μ
Δείξτε ότι η
2.192 Έστ
βρείτε το ση
μικρότερη κ
2.193 Να
συνάρτηση
έχει ακρότα
2.194 Έστ
είναι παραγ
κάθε x 0,
1 2x x τέτο
αποδείξετε ό
Μαθηματικά Θ
ΤΑ ΣΥΝΑΡΤ
μελετήσετε τ
νία και τα ακ
2x lnx Β)
2
nx
x Δ) f x
μελετήσετε τ
νία και τα ακ
x , x 01
, x 0x
ξτε ότι η συν
ώς τρία τοπικ
βρεθούν οι τ
f x α ln 2
ικό ακρότατο
τω η παραγω
με 2 2(f(x)) x
f δεν έχει τ
τω η συνάρτη
ημείο της fC
κλίση.
βρείτε τις τιμ
3f x x
ατα.
τω η συνάρτη
γωγίσιμη τρε
,1 . Αν υπάρ
οια, ώστε f x
ότι υπάρχει
Θετικών Σπουδ
ΤΗΣΕΩΝ
τις συναρτήσ
κρότατα:
συνxf x 2 ,
xe2x
E) f
τις συναρτήσ
κρότατα:
B) 1f x
ln
νάρτηση f x
κά ακρότατα.
τιμές των α,
β2x α
x να
ο με τιμή 2
ωγίσιμη συνά
2 1 2xf(x)
οπικά ακρότ
ηση f x x
όπου η f έχ
μές του λ R
2λ 1 x λ
ηση f : 0,1
εις φορές με
ρχουν 1 2x ,x
1 2x f x
ξ 0,1 με
δών
σεις ως προς
, 0 x 2π
x x 4 x
σεις ως προς
x 1e , x 1n(1-x), x 1
2 xx e e
.
β R ώστε η
έχει στη θέσ
ln 2 .
άρτηση
) , x R .
τατα.
2ln x . Να
χει τη
R αν η
λ 5 x 2 δε
R , η οποία
f x 0 για
0,1 με
0 να
3f ξ 0 .
2x
2
η
ση
εν
α
2
φ
ισ
απ
A
B
Γ
Δ
ρί
2
τη
2
συ
x
απ
2
γι
e
τη
2
οπ
f
Α
απ
x
2
βρ
.195 Μια σ
ορές παραγω
σχύει: 2f (3x
ποδείξετε ότι
A Υπάρχ
Η συν
f (1)
Η εξίσ
ίζα στο R
.196 Να βρ
ης συνάρτηση
.197 Δίνετα
υνάρτηση f
1 2, x (α,β)
ποδείξετε ότι
.198 Έστω
ια την οποία
2xf x 1 0
ης εφαπτομέν
.199 Έστω
ποίες είναι π
x x 1 κα
Αν η fC διέρχ
ποδείξετε ότι
o 0 τέμνον
.200 Αν ισχ
ρείτε το α
συνάρτηση f
ωγίσιμη στο
1) 4 4·f(2
ι:
χει ξ (1, 4) τ
νάρτηση f δε
f (4)
σωση f (x)
ρεθεί ο κ R
ης 2f x xe
αι η δυο φορ
στο [α,β] . Α
τέτοιοι ώστε
ι υπάρχει ξ
συνάρτηση
α ισχύουν: f
0 , για κάθε x
νης της fC σ
οι συναρτήσ
παραγωγίσιμ
αι g(x)f x e
χεται από το
ι οι εφαπτόμ
νται κάθετα
χύει ότι ln x
είναι ορισμ
R και για κ
22x x 1) .
τέτοιο ώστε:
εν αντιστρέφ
0 έχει μια το
R ώστε η μέγι
2κ x να είναι
ρές παραγωγ
Αν υπάρχουν
ε f(α),f(β)
1 2(ξ ,ξ ) ώστ
f παραγωγί
0 1 και
x R .Βρείτε
στο σημείο A
σεις f ,g : R
μες και ισχύο
xe x για
ο σημείο A 0
μενες των fC
αx α
x , x
55
μένη και δύο
άθε x R
Να
f (ξ) 0
φεται
ουλάχιστον
ιστη τιμή
ι το e .
γίσιμη
ν
1 2f(x ), f(x ) ,
τε f (ξ) 0 .
ίσιμη στο R ,
την εξίσωση
A(0,1)
R οι
υν:
κάθε x R .
0,1 , να
και gC στο
x 0 ,να
5
,
,
56
2.201 Αν
κάθε x 0 ,
2.202 ¨Εστ
λ>0 με f x
και ότι η f
2.203 Έστ
Α) Να βρεί
οποία ισχύε
Β) Αν λ 1
g x 1 λ
2.204 Έστ
παραγωγίσι
παρουσιάζε
f 0 0 . Να
2.205 Να
σημείων 0(x
ακροτάτου
διατρέχει το
2.206 Έστ
Α) Να
την οποία ισ
Β) Να
το ελάχιστο
2.207 Εστ
0,3 με f (
2
f(xg(x)
1 f
μονοτονίας
α,β 0 και
να αποδείξε
τω η συνάρτ
x 0 , x
είναι γνησίω
τω η συνάρτη
ίτε τη μικρότ
ει f x 0 γι
11
e να απο
x
x 1λ x
e
εί
τω η συνάρτη
ιμη με f x
ει για ox 0
α δείξετε ότι:
βρείτε τον γ
0 0, f(x )) , όπο
της f(x) x l
ο R
τω συνάρτησ
βρείτε την μ
σχύει ότι λx
βρείτε την τ
ο της f παίρν
τω f συνάρτη
x) 0 και f(
2
x)
(x), 0 x
ς και το σύνο
ισχύει ln x
xα
ετε ότι α β
τηση f x α
0 . Να δείξε
ως αύξουσα
ηση x
xf x
e
τερη τιμή του
ια κάθε x R
δείξετε ότι η
ίναι γνησίως
ηση f : R R
f x , x
τοπικό ακρό
: x f x f
γεωμετρικό τό
ου ox η θέση
ln x λx , λ
ση λf(x) x
μικρότερη τιμ
ln x για
ιμή του λ γι
νει τη μέγιστ
ηση παραγω
(1) 1 , f(2)
3 , βρείτε τα
ολο τιμών της
x 1xβ 2
γι
1 .
x αα x , x>0
ετε ότι α e
στο e, .
x
x1 λ , λ
υ λ για την
R .
συνάρτηση
ς φθίνουσα.
R , δύο φορέ
R που
ότατο το
x 0
όπο των
του τοπικού
R όταν το
ln x , λ 0
μή του λ για
κάθε x 0
ια την οποία
η τιμή του.
ωγίσιμη στο
) 1 . Αν
διαστήματα
ς g
ια
,
R
ές
ύ
λ
0
α
α
α
2
πα
f(
τό
f
2
να
2
με
Δ
2
άγ
γρ
2
έχ
2
R
δε
στ
2
εξ
2
ρι
α
2
εξ
.208 Μία σ
αραγωγίσιμη
(α) f (α) f
ότε να αποδε
(x) 0 και f
.209 **Αν α αποδείξετε
.210 Έστω
ε f 0 f 0
είξτε ότι f 1
.211 Να απ
γονται ακριβ
ραφική παρά
ΕΞΙΣΩΣΕ
.212 Να απ
χει στο 0,π
.213 Η συν
R και ισχύει
είξετε ότι η εξ
το 0,π
.214 Να β
ξίσωσης 2 ln
.215 Να βρ
ιζών της εξίσ
α R
.216 Να απ
ξίσωση 3x α
htt
συνάρτηση f
η στο R . Αν
f (α) 0 και
είξετε ότι οι ε
f(x) 0 έχουν
2x 4x f x
ε ότι f x 0
f δυο φορές
0 και f
11
3
ποδείξετε ότι
βώς δύο εφαπ
άσταση της σ
ΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣ
ποδειχτεί ότι
ακριβώς μι
νάρτηση f εί
3f x f x
ξίσωση f x
ρείτε το πλήθ
2x λx 1,
ρείτε το πλήθ
σωσης 28x x
ποδείξετε ότι
2αx 4x α
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
είναι τρεις
ν υπάρχει α
f (x) 0 γι
εξισώσεις f (
ν μοναδική ρ
x f x 0 ,
0 για κάθε x
ς παραγωγίσ
x 2x για
ι από το σημε
πτόμενες πρ
συνάρτησης
ΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟ
ι η εξίσωση σ
ια λύση
ίναι παραγω
συνx , x
0 έχει μον
θος των ριζώ
λ 0
θος των πραγ
x α x 1
ι για κάθε α
0 έχει τρεις
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
φορές
R ώστε
ια κάθε x ,
x) 0 ,
ρίζα.
x 0, 4
0, 4 .
σιμη στο R
κάθε x R .
είο A(1,1)
ος τη
xf(x) e
ΟΤΗΤΕΣ
συνx 2 x
ωγίσιμη στο
0,π . Να
ναδική ρίζα
ών της
γματικών
0 όταν το
R η
ς ρίζες
Σ
r
.
Γ Λυκείου –Μ
2.217 Απο
x2αe 2 2
2.218 ** Α
εξισώσεις:
2.219 Να
x 1 ln x
οποίες είναι
2.220 Να
f x ln 1
2.221 A) Μ
τα ακρότατα
B) Να δείξε
2.222 Έστ
Α) Να απο
εφαπτομένη
Β) Να λύσε
Γ) Να αποδ
2.223 *Να
θετικών ριζ
2.224 Έστ
παραγωγίσι
f x x 0
f x 2 1
Μαθηματικά Θ
οδείξτε ότι γι
22x x έχει μ
Αν 2f x x
Α) f ln
Β) f x
αποδείξετε ό
x 1 έχει δύ
ι αντίστροφο
αποδειχθεί ό
2 xx e ε
Μελετήστε ω
α τη συνάρτη
ετε ότι xe
τω η συνάρτη
δείξετε ότι η
η σε ένα μόνο
ετε την εξίσω
δείξετε ότι xe
α βρείτε, για
ζών της εξίσω
τω συνάρτησ
ιμη στο R μ
0 για κάθε x
3x12
για κά
Θετικών Σπουδ
ια κάθε α 0
μοναδική ρίζ
1 ln(x) , ν
(x 1) f 6
17f x f
ότι η εξίσωση
ύο ακριβώς ρ
οι αριθμοί.
ότι η συνάρτ
ίναι γνησίως
ως προς την μ
ηση e
f(x)x
vexv
, x (
ηση xf x e
fC δέχεται
ο σημείο της
ση x 2e x
x 1 x 1 x
κάθε α 0 ,
ωσης 2x α
ση f δυο φορ
με f 0 2 , f
x R , δείξτε
άθε x R
δών
0 η εξίσωση
ζα στο R
α λύσετε τις
2x x 0
3 2008x f x
η
ρίζες, οι
τηση f με
ς αυξουσα
μονοτονία κα
x
v
e,ν N *
x
(0, )
2x x 1
οριζόντια
.
x 1 .
x , x R
το πλήθος τω
3α x
ρές
f 0 0 , και
ότι
αι
ων
ι
2
Β)
2
να
2
συ
Β)
απ
2
2
f
πλ
2
f(
R
2
οπ
απ
2
πα
κά
x
Ν
συ
ότ
.225 Α) να
) Να δε
.226 Αν ισχ
α βρείτε τη μ
.227 Α) Ν
υνάρτηση f
) Αν α,
ποδείξτε ότι
3 3 3α β γ
.228 Έστω
: R R με f
λήθος των ρι
.229 ** Να
2(x) ln(1 x
R και να λύσ
.230 Έστω
ποία ισχύει ό
ποδείξετε ότι
.231 Αν η σ
αραγωγίσιμη
άθε x R , να
0 .
Να βρεθεί ο τύπ
υνεχής στο 0τι f x f 1
α αποδείξετε
ειχθεί ότι: 1π
χύει x 2e κx
μεγαλύτερη τ
Να μελετηθεί
3x 2x 2x
,β,γ 0,
23 2 α
η παραγωγίσ
f x 0 για
ιζών της εξίσ
αποδείξετε ό
2 x) e 1 εί
ετε την εξίσω
μια συνάρτη
ότι f x 2f
ι 2xf x e γ
συνάρτηση f
η με f 0 0
α αποδείξετε
πος της συνάρ
,1 , παραγωγ
f 0 για κ
ότι π ee π
1821 181
π
2 για κάθε x
τιμή του κ
ί ως προς τα
2x x lnx ,
με α β γ
2 2β γ α
ίσιμη συνάρτ
α κάθε x R .
σωσης xf e
ότι η συνάρτ
ίναι γνήσια α
ωση f ln x
ηση f : R R
f x και f 0
για κάθε x
f : R R είν
0 και f x
ε xf x 0 γ
ρτησης f , που
γίσιμη στο 0,
κάθε x 0,1
57
π821π
x 0 , κ R
R
ακρότατα η
x 0
1 ,
α β γ
τηση
. Βρείτε το
f x α
τηση
αύξουσα στο
2f 1 x
R για την
1 . Να
0 .
ναι
f x 0 για
για κάθε
υ είναι
,1 και ισχύει
7
ι
58
ΚΥΡΤΕΣ-Κ
2.232 Να
κοίλα και τα
Α) h(x) x
Γ). g(x) ln
2.233 Να
της x lf
σημεία καμπ
2.234 Nα
2g x ln x
2.235 Αν
5f x x 5
τρία σημεία
2.236 Δίν
την οποία ισ
για κάθε x
κυρτή στο
2.237 Δίν
συνάρτησης
έχει σημείο
Α) Να
Β) Βρε
καμπής της
4 x ln x
2.238 Έστ
ιδιότητα (x
Να αποδειχ
καμπής.
ΚΟΙΛΕΣ Σ
μελετήσετε τ
α σημεία κα
2 8x
x
2n x x 1
αποδείξετε ό
xln e x , x
πής
αποδείξετε ό
x 2x ln x x
είναι γνωστό
4 35αx 10βx
α καμπής, να
εται η συνάρ
σχύουν f x
0 . Nα απο
0, .
εται ότι η γρ
ς f x α x
καμπής το A
αποδείξετε ό
είτε την εφαπ
και να αποδ
x 3 , x
τω η συνάρτη
2 x 1)f (x
χθεί ότι η fC
ΣΥΝΑΡΤΗΣ
τις συναρτήσ
αμπής.
Β) g(x
Δ) f(x)
ότι η γραφικ
IR έχει ακρ
ότι η συνάρτ
2 3 είναι κυ
ό ότι η συνάρ
2x , x R ,
α αποδείξετε ό
ρτηση f : 0,
x και f x
οδείξετε ότι η
ραφική παρά
x β ln x βx
A 1,3
ότι α 4 και
πτομένη της
δείξετε ότι
1 .
ηση f : R R
f(x)) xe 0 γ
έχει ακριβώ
ΣΕΙΣ - Σ
σεις ως προς τ
5 3x) 3x 5x
x) xe
ή παράσταση
ριβώς δύο
ηση
υρτή
ρτηση
,α,β R έχει
ότι 2α β .
R για
xx
x f(x)
η f είναι
άσταση της
x με α,β R ,
ι β 1 :
fC στο σημε
R με την
για κάθε x
ώς ένα σημείο
ΣΗΜΕΙΑ Κ
τα
η
ι
α
,
είο
R
ο
2.
πα
εί
ακ
2.
πα
f
x
2.
εί
2f
απ
2.
πα
δε
ση
2.
πα
g
Α
Β)
κυ
2.
εί
g
ΚΑΜΠΗΣ
.239 Η συν
αραγωγίσιμη
ίναι δυνατόν
κρότατο και
.240 Nα δε
αράσταση τη
4x 2x 4α
R , δεν έχε
.241 Έστω
ίναι δύο φορ
2 x x 4
ποδείξετε ότι
.242 Η συν
αράγωγο κα
είξετε ότι το
ημείο καμπή
.243 Έστω
αραγωγίσιμη
x R , f 1
g x f x f
Α) Βρείτε
) Να βρ
υρτή ή κοίλη
.244 Έστω
ίναι κυρτή με
f(x)(x)
x είν
htt
νάρτηση f εί
η στο R . Να
ν η f να έχει
σημείο καμπ
είξετε ότι για
ης συνάρτηση
3 2αx 3 2α
ει σημεία καμ
συνάρτηση
ές παραγωγί
f x x 0 γ
ι η fC δεν έχ
νάρτηση f έχε
ι xf (x) ημ
A(0, f(0)) δεν
ς της fC
συνάρτηση
η στο R με f
0 και η συ
f 2 x , x
ε τις ρίζες κα
ρείτε τα διασ
η και τα σημε
συνάρτηση
ε f(0) 0 . Δε
ναι γνήσια α
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
ίναι δύο φορ
α αποδείξετε
ι στο ox τοπ
πής.
α κάθε α IR
ης
24α 5 x
αμπής.
f : 0,1 R
ίσιμη και ισχ
για κάθε x
χει σημεία κα
ει συνεχή δεύ
μ2x 0 , x
εν μπορεί να
f δύο φορές
στο R f
υνάρτηση
R .
αι το πρόσημο
στήματα που
εία καμπής τ
f : [0, ) R
είξτε ότι η συ
αύξουσα στο
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
ρές
ότι δεν
ικό
η γραφική
αx 1 με
η οποία
χύει ότι
0,1 . Να
αμπής
ύτερη
R . Να
είναι
ς
x 0 ,
ο της g .
η g είναι
ης gC
R η οποία
υνάρτηση
(0, ) .
Σ
r
Γ Λυκείου –Μ
2.245 Αν
τον γεωμετρ
γραφικής π
2.246 Δίν
παραγωγίσμ
f(x)f(x) e
δείξετε ότι η
Α) δεν
Β) έχει
ΕΞΙΣΩΣ
2.247 Α) Η
παραγωγίσι
δείξετε ότι γ
1 2x xf
2
B) Να απο
α β R
Γ) Δείξτε ό
2.248 Αν
αποδείξετε ό
2.249 Η σ
παραγωγίσι
και f 0 f
κυρτή στο R
2.250 Η σ
παραγωγίσι
παράσταση
αξόνων, να
ότι 3f x 4
Μαθηματικά Θ
λxf(x) 2e
ρικό τόπο τω
αράστασης τ
εται η συνάρ
μη στο R κα
21 x x e
η γραφική τη
έχει σημεία
ι ένα ακριβώ
ΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩ
Η συνάρτηση
ιμη και κυρτ
για κάθε 1x ,x
1f x f x
2
οδείξετε ότι: e
τι α β
ln2
x 0 , y 0
ότι ισχύει
συνάρτηση f
ιμη στο R κ
0 0 . Να
R
συνάρτηση f
ιμη και κυρτ
της f περνά
αποδείξετε ό
3x4f
4
Θετικών Σπουδ
22
2x , λ
λ
ων σημείων κ
της f , για κά
ρτηση f δύο
αι ισχύει
xe για κάθε
ης παράστασ
α καμπής
ώς κρίσιμο ση
ΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣ
η f είναι δύ
τή σε διάστημ
2x Δ ισχύε
2x (Jensen)
α β
2e 1
lnα lnβ ,
0 , α 1 και
α1x y
x
είναι δύο φ
αι ισχύει ότι
α αποδείξετε ό
είναι δύο φ
τή στο R κα
ά από την αρ
ότι για κάθε
δών
0. Να βρείτε
αμπής της
άθε λ (0,
φορές
x R . Να
η
ημείο.
ΣΟΤΗΤΕΣ
ο φορές
μα Δ . Να
ει
βαe 1 e 1
fα,β Α
x y 1 , να
α α
α 1
1 5y 2
φορές
f x f x
ότι η f είναι
φορές
αι η γραφική
ρχή των
x R ισχύει
ε
)
1
α
1
ι
ή
ι
2.
1
f
f
2.
1
ότ
2.
f
x
2.
f(
Α
μο
Β)
f(
2.
1
f
κά
2.
δι
β
2.
1
f
f
.251 Η συν
1, με παρ
1 1 Να α
x x 1 f
.252 Η συν
1, με f γ
τι f x x 1
.253 Δείξτε
: R R ώστ
R
.254 Έστω
x 1
x 1
e(x)
e 1
Α) Να με
ονοτονία, τα
) Να δε
(ln x) f (x 1
.255 Η συν
1, με παρ
1 0 Να α
άθε x 1,
.256 Αν οι
ιαδοχικοί όρ
γβ αα γ
.257 Η συν
1, με παρ
1 1 Να α
x x 1 f
νάρτηση f εί
ράγωγο γνήσ
αποδείξετε ότ
f x 1 0 γι
νάρτηση f εί
γνήσια αύξου
f x για
ε ότι δεν υπά
τε f x 0 κα
η συνάρτηση
για x R .
ελετηθεί η συ
α κοίλα και τα
ειχθεί ότι για
1) f(x 1)
νάρτηση f εί
ράγωγο γνήσ
αποδείξετε ότ
.
α,β,γ R
ροι αριθμητικ
νάρτηση f εί
ράγωγο γνήσ
αποδείξετε ότ
f x 1 0 γι
ίναι παραγω
σια αύξουσα
τι
ια κάθε x
ίναι παραγω
υσα και f 1
κάθε x 1,
άρχει συνάρτ
αι f x 0
η f : R R μ
υνάρτηση ως
α σημεία καμ
α κάθε x 1 ι
f (ln x)
ίναι παραγω
σια αύξουσα
τι f x x 1
με α β γ
κής προόδου
ίναι παραγω
σια αύξουσα
τι
ια κάθε x
59
ωγίσιμη στο
α και
1, .
ωγίσιμη στο
0 Δείξτε
.
τηση
για κάθε
με
προς τη
μπής.
ισχύει
ωγίσιμη στο
α και
f x για
, είναι
υ δείξτε ότι
ωγίσιμη στο
α και
1, .
9
60
ΚΑΝΟΝΕΣ
2.258 Να β
Α) xlim
Γ) xlim
2.259 Να υ
Α) xx 0
ημxlim
x e
Γ) x
xlim
x
2.260 Απο
x ln x
f x 1 x-1
2.261 Nα υ
2.262 Nα υ
2.263 Να υ
2.264 Να β
2.265 Υπολ
2.266 Nα β
2.267 Να υ
Σ DE L΄ HO
βρεθούν τα π
m (x ln x)
1xm x e 1
υπολογίσετε
x
xσυνx
1 ημx
3
2
οδείξτε ότι είν
x, 0 x 1
x , x=1
υπολογιστεί
υπολογίσετε
υπολογίσετε
βρεθεί το xli
λογίστε το x
βρείτε τo xlim
υπολογίσετε
OSPITAL
παρακάτω όρ
Β) x 1lim lnx
Δ) 1x
xlim x
τα παρακάτ
Β) xlim xln
Δ) x
x
elim
4e
ναι συνεχής
και ότι f 1
τo x 0
1lim
ημx
τα
1x
x 0
elim
x
το x 0
1 σlim
x
x
e 2xim
4e x
x
3x lnlim
x ln x
ln xm
2 ln x
το x 0
2xlim
1
ρια
ln(lnx)
τω όρια:
x 1n
x 1
x
x
2x 1
x 3
η συνάρτηση
0,5 .
2 1x ημ
x
και 1x 0x
xlim
e
3 2
6 4
συν x ln x
x ln x
1
3
x x
x x
x e e
x e e
ln x
ln x
ημx
συνx
η
2.
2.
το
2.
γι
γι
2.
τη
κά
έχ
f
2.
πα
hli
εφ
εξ
2.
τα
2.
α
.268 Αποδε
.269 Αν f
ο
f x
f xx 0
elim
e
.270 Έστω
ια την οποία
ια κάθε x R
.271 Έστω
ην οποία ισχύ
άθε x 1 . Ν
χει συνεχή 2η
0 f 0 0
.272 Δίνετα
αραγωγίσιμη
0
f(x 4h)im
φαπτομένη τη
ξίσωση y 5
.273 Αν f
α α,β R ώσ
.274 Να βρ
α,β,γ ώστε xli
htt
είξτε ότι x 0lim
x2e 2x
xx
μια συνεχής
ισχύει xf x
R . Να βρείτε
f : R R , συ
ύει 1 συνx
Να βρείτε το
η παράγωγο
0 . Να δείξετε
αι η συνάρτη
η στο R . Αν
22f(x 2h)h
ης fC στο ση
x 8 , να βρε
1x
x ln xx 1
e ln(
στε η f να είν
ρεθούν οι πρ
x x
20
αe βem
x
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
4 x
20
x e xm
sinx x
2
2x 2 xx
να
ς συνάρτηση
ημxe f x
ε το f 0 .
υνεχής συνά
x f x ln 1
f 0 .Η συνά
ο στο R με f
ε ότι: x 0
f(xlim
1
ηση f : R R
ν για κάθε x
f(x)24x 8
ημείο M 1,f
είτε τον τύπο
αx β, x , x=0
x) α , x
ίναι συνεχής
ραγματικοί α
x γ1
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
2
118
υπολογίσετε
f : R R
xημx e
άρτηση, για
x x για
άρτηση f
30
2 και
x) f( x)3
συνx
R δύο φορές
R ισχύει
8 και η
f(1) έχει
ο της f
0
0
να βρείτε
στο ox 0
αριθμοί
Σ
r
ε
ε
Γ Λυκείου –Μ
ΑΣΥΜΠΤΩ
2.275 Nα β
παραστάσεω
x
3
eh(x)
x ,
λ x x ln
2.276 Έστω
g x f x
η ευθεία y
, να βρεί
2.277 Nα α
ασύμπτωτη τ
f x 2 ln e
2.278 Έστω
g x xf e
της fC στο 0
στο .
2.279 Έστω
xlim f x ημ
Αποδείξτε ότ
της γραφική
ΜΕΛΕΤΗ Σ
2.285 Να
Γ) x
f(x)x
2.286 Να
παράσταση
Μαθηματικά Θ
ΩΤΕΣ
βρείτε τις ασ
ων των συναρ
f(x)
xn e 1
ω οι συναρτή
x ln x 1
x 3 είναι
ίτε την ασύμ
αποδείξετε ό
της γραφική
xe 1 2 ln 2
ω η συνάρτη
x . Αν η ευθ
0 , να βρείτε
ω συνάρτηση
1μ 1
x
και
τι η y x 2
ής παράσταση
ΣΥΝΑΡΤΗΣ
μελετήσετε τ
11
κάνετε μελέτ
(για λόγους
Θετικών Σπουδ
σύμπτωτες τω
ρτήσεων
ln xx 1
,
ήσεις f,g : 0
ln x για κ
ασύμπτωτη
πτωτη της C
ότι η y 2x
ς παράσταση
2
ση f : R R
θεία y 2x
την ασύμπτω
η f : R R ,
x
xf xlim
ln x
2 είναι πλάγ
ης της f στο
ΣΗΣ
τις συναρτήσ
Δ) f x
τη της συνάρ
ς απλότητας
δών
ων γραφικών
xk x xe
, R με
κάθε x 0 . Α
της fC στο
gC στο .
2 ln 2 είναι
ης της
και η g με
1 εφάπτετα
ωτη της gC
τέτοια ώστε
2x2
x
.
για ασύμπτω
ο
σεις Α)
ln xx
ρτησης f x
θεωρείστε σ
ν
21
x
ε
Αν
αι
ωτη
2.
πα
έχ
2.
f(
τι
A
B)
ορ
2.
οπ
απ
C
2.
τη
ασ
2.
f
Bρ
3f(x) x
Ε) f x
121
eσ 2π
σ 1 και μ
.280 Να βρ
αράσταση τη
χει ως ασύμπ
.281 Δίνετα
2
1(x)
x αx
ις ευθείες x
A) Να βρ
) Να απ
ριζόντια ασύ
.282 Έστω
ποία ισχύει e
ποδείξετε ότι
fC .
.283 Να απ
ης συνάρτηση
σύμπτωτες.
.284 Αν η γ
έχει ασύμπτ
ρείτε το xlim
12x
ln x, x
x1 x, x
2x μσ
και να
0 )
ρείτε τα α,β,
ης f με f(x)
πτωτες τις ευθ
αι ότι η συνά
β έχει κατ
3 και x=5
ρεθούν οι αρ
ποδειχτεί ότι
ύμπτωτη της
συνάρτηση
xe xf(x)
ι ο άξονας x
ποδείξετε ότι
ης f(x) ημx
γραφική παρ
τωτη στο
2
f(x) ημ
xf(x) 2x
Β) f(x) ημ
11
σχεδιάσετε τ
,γ R ώστε η
2(α 1)x3x γ
θείες x 2
άρτηση f με τ
τακόρυφες ασ
ριθμοί α και
ι η ευθεία y
fC στο +.
f : 0,
1 για κάθε x
x είναι ασύ
ι η γραφική π
x ln x, x 0 δ
ράσταση της
την ευθεία
2 x
2
μx x e
ln x x ημ
μx x , x [
τη γραφική τ
61
η γραφική
βx 5γ
να
και y 3 .
τύπο
σύμπτωτες
β .
0 είναι
R για την
x 0 . Να
ύμπτωτη της
παράσταση
δεν έχει
συνάρτησης
α y 2x 3 .
1x
.
π,π]
της
1
ς
62
ΠΡΟΒΛΗΜ
2.287 Αν
ελάχιστο, να
2.288 Σε ο
οποίο ισχύο
άξονα x΄x κ
B το εμβαδ
2.289 Μια
πώληση του
500 € το έν
μείωσης της
μικρότερη α
2.290 Ένα
Ορίζεται οτ
30 € για κά
επιπλέον τω
Α) Ποι
Β) Ποι
2.291 Ενα
0,8 € το λίτ
Α) να ε
Β) να β
Γ) πόσ
2.292 Η σ
A) την
B) το μ
2.293 Δίν
A 9,4 τη μ
2.294 Το ά
τους.
ΜΑΤΑ
Μ το σημείο
α βρεθεί η απ
ορθοκανονικ
ουν τα εξής. Η
και η κορυφ
δό του τριγών
α εταιρεία αυ
υ κάθε αυτοκ
α, οι πωλήσε
ς τιμής είναι
από 2000 € .
α τουριστικό
τι για να γίνε
θε άτομο. Για
ων 30 , θα με
ιο το πλήθος
ια το μέγιστα
α φορτηγό δι
τρο και κατα
εκφράσετε το
βρείτε την τα
σα είναι τα ελ
συνάρτηση π
ν χρονική στι
μέγιστο κέρδ
εται η ευθεία
μικρότερη δυ
άθροισμα δύ
ο του διαγράμ
πόσταση OM
κό σύστημα σ
Η κορυφή Γ
ή B είναι ση
νου ABΓ γίν
υτοκινήτων ε
κινήτου είναι
εις αυξάνοντ
ι ανάλογη τη
Πόσα αυτοκ
γραφείο οργ
ει η εκδρομή
α να αυξήσει
ιώνει κατά 3
των επιπλέο
α έσοδα του γ
ιανύει καθημ
αναλώνονται
ο κόστος της
αχύτητα που
λάχιστα αυτά
ου μας δίνει
ιγμή, κατά τη
ος της επιχεί
α y 2x 3 .
υνατή απόστα
ύο αριθμών ε
μματος της f
M όταν ο ρυθ
συντεταγμένω
έχει συντετα
ημείο της παρ
νεται μέγιστο
εκτιμά ότι μπ
ι 5000 € . 'Εχ
ται κατά 1000
ης μείωσης αυ
κίνητα πρέπε
γανώνει εκδρ
χρειάζονται
ι τις συμμετο
30 λεπτά την
ον επιβατών
γραφείου απ
μερινά 100 km
ι με ρυθμό 2
διαδρομής α
πρέπει να έχ
ά έξοδα;
το κέρδος μι
ην οποία η επ
ίρησης.
Να βρείτε το
αση.
είναι 82 . Να
f με f x x
θμός μεταβολ
ων θεωρούμ
αγμένες 4,
ραβολής y
ο ;
πορεί να που
χει επίσης υπ
0 αυτοκίνητ
υτής. Αν η τι
ει να πουλήσ
ρομές με λεω
ι τουλάχιστο
οχές το γραφ
ν χρέωση κάθ
κάθε λεωφορ
πο κάθε λεωφ
km με σταθερ
2x400
lt/h. Τ
αυτής ως συν
χει το φορτη
ιας επιχείρησ
πιχείρηση θα
ο σημείο της
βρείτε τη μέ
xln x λx 3
λής του OM
ε ορθογώνιο
,0 , η κορυφ
24x x . Για
υλήσει 2000
πολογίσει ότι
τα τον μήνα.
ιμή ενός αυτο
σει η εταιρεία
ωφορεία. Κάθ
ον 30 συμμετ
είο κάνει της
θε επιβάτη».
ρείου που με
φορείο;
ρή ταχύτητα
Τα υπόλοιπα
νάρτηση της
γό , ώστε τα
σης είναι: P(
α παρουσιάσ
ς ευθείας αυτή
έγιστη τιμή π
htt
3 που αντιστο
ως προς λ
τρίγωνο ΑΒ
φή A είναι στ
ποια τιμή τω
αυτοκίνητα
για κάθε μεί
Η αύξηση τω
οκινήτου δεν
α, ώστε να έχ
θε λεωφορείο
τοχές και τότ
ς εξής προσφ
γιστοποιεί τα
x km/h . Τα
α έξοδα του φ
ταχύτητας x
έξοδά του να
2
(t 1)(t)
(t 1)
n
σει μέγιστο κέ
ής το οποίο α
που μπορεί να
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
τοιχεί στο τοπ
γίνει μηδέν.
ΒΓ με οΑ 90
στο διάστημα
ων συντεταγ
τον μήνα, αν
ίωση της τιμή
ων πωλήσεω
ν μπορεί να ε
χει τα μέγιστα
ο έχει 70 θέσ
τε η τιμή ορίζ
φορά. «Για κά
α έσοδα;
α καύσιμα κο
φορτηγού είν
x ,
α είναι τα ελ
, t 0 . Να β
έρδος.
απέχει από τ
α πάρει το γ
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
πικό της
ο , για το
α [0, 4] του
γμένων του
ν η τιμή
ής κατά
ν λόγω
είναι
α έσοδα;
σεις.
ζεται στα
άθε επιβάτη
οστίζουν
ναι 9 €/ώρα
άχιστα,
βρείτε:
το σημείο
ινόμενό
Σ
r
α
Γ Λυκείου –Μ
ΓΕΝ2.295 Δίν
στο ox 2 κ
A) Να
Β) Να
Γ) Να
Δ) Να
2.296 Δίν
γραφική πα
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
2.297 Έστ
Α) Να
Β) Να
Γ) Αν
2.298 Έστ
Α) να α
Γ) να λ
2.299 Θεω
f 0 0 . Να
Α) Η f
Β) Το θ
Γ) Ο τύ
Δ) Η f
Ε) Η ευ
Μαθηματικά Θ
ΝΙΚΕεται η συνάρ
και η εφαπτό
βρείτε τις τιμ
βρείτε το πλ
δείξετε ότι η
βρεθούν τα
εται η παραγ
αράσταση αυ
βρεθεί ο τύπ
βρεθεί το σύ
αποδείξετε ό
τω η συνάρτη
δείξετε ότι η
βρείτε την μ
Rμ και ισ
τω η συνάρτ
αποδείξετε ό
λύσετε την α
ωρούμε τη συ
α αποδείξετε
f δεν παρουσ
θεώρημα του
ύπος της συν
f δεν έχει ορ
υθεία (ε) : y
Θετικών Σπουδ
ΕΣ ΑΣρτηση f x
όμενη της στ
μές των α,β
λήθος των ριζ
η εξίσωση f x
κx
f(x)lim
x,
x
γωγίσιμη συν
υτής διέρχετα
πος της f .
ύνολο τιμών
ότι η εξίσωση
ηση f : R R
η εξίσωση f x
μονοτονία τη
σχύει 4g(x μ
ηση f(x) ln
τι α= 1 ,
ανίσωση ln 2
υνάρτηση f
ε ότι:
σιάζει ακρότ
υ Rolle δεν εφ
νάρτησης f ε
ιζόντιες ασύ
3e 1x
3e 3
δών
ΣΚΗ3 2αx βx 1
ο σημείο A
R και το σ
ζών της εξίσω
x 2004 έχε
κx
f(x)lim , κ
x
νάρτηση στο
αι από το σημ
της.
η: xe 3x e
R , δύο φορέ
x 0 έχει το
ης συνάρτηση
μ) g(4x) , x
αn x α
x με
22
12x 2
x
για την οποί
τατο σε κανέν
φαρμόζεται
είναι f x l
μπτωτες.
1 είναι κάθε
ΗΣΕΙ12x , όπου α,
1, f(1) διέρχ
σύνολο τιμών
ωσης f x 0
ει μόνο μία λ
Z
ο R για την ο
μείο Μ 1,3
έχει μόνο μί
ές παραγωγίσ
ο πολύ μία ρί
ης g(x) f (x
x R να βρεί
ε x 0 . Αν γ
Β) να
21ln x
3
ία ισχύει f x
να σημείο το
σε κανένα δ
x 33e xln
3
γ
ετη στην εφα
ΙΣ ,β R , η οπο
χεται από το
ν της f .
0 .
λύση.
οποία για κά
, τότε:
ία ρίζα στο (
σιμη ώστε να
ίζα στο R .
x) , x R .
ίτε την μικρό
για κάθε x
λύσετε την ε
2
13
2x 2
x f(x)x e
ου διαστήματ
ιάστημα της
για κάθε x
απτομένη της
οία παρουσι
3,5 .
άθε x 0 ισχ
(0, ) .
α ισχύει f (x
ότερη τιμή πο
0 είναι f(x)
ξίσωση xx
2 ln x f(x)e για
τος 0, .
μορφής 0,x
0,
ς fC στο ox
ιάζει τοπικό
χύει f (ln x)
x) f (x) 0, x
ου μπορεί να
0 τότε
x 1e , x 0
α κάθε x 0
ox .
1
63
ελάχιστο
x 3 . Αν η
x R .
α πάρει ο μ .
0, και
3
64
2.300 Δίν
Α) Να
Γ) Να
Δ) Να
2.301 Δίν
Α) Να
Γ) Αν
2.302 *Έσ
και f 0 0
Α. Να
Β. Να
Γ. Να
2.303 * Έσ
g x λx 4
Α) Να
Β) Να
2.304 Έστ
f xe 3f ' x
Α) Να
αποδείξετε ό
Β) Να
Γ) Να
Δ) Να
Ε) Να
Στ) Να
Ζ) Να
εται η συνάρ
βρείτε τα ακ
αποδείξετε ό
βρείτε για τι
εται η συνάρ
βρείτε το πρ
ισχύει ότι ln
στω συνάρτησ
0
εκφράσετε τ
αποδείξετε ό
βρείτε την π
στω συνάρτη
24
x και g
βρείτε τον α
βρείτε την π
τω συνάρτησ
x f x για κ
δείξετε ότι η
ότι η fC τέμ
δείξετε ότι 3
αποδείξετε ό
βρείτε τον τύ
αποδείξετε ό
βρείτε την κ
σχεδιάσετε τ
ρτηση f(x)
κρότατα της
ότι x 0lim f(x)
ις διάφορες τ
ρτηση f(x)
ρόσημο της f
βxxn β
α α
ση f , παραγ
την f συναρ
ότι x
f(x)2
πλάγια ασύμπ
ηση g : 0,
x 4 6x
αριθμό λ
πλάγια ασύμπ
ση f ορισμέν
κάθε x 4 , f
η f είναι γνη
νει τον x 'x
3f '' x f ' x
ότι υπάρχει μ
ύπο της f γι
ότι η εξίσωση
κατακόρυφη
τη γραφική π
x λ ln x ,
f
και xlim
τιμές του λ
x xln
α α
.
β για κάθε x
γωγίσιμη στο
ρτήσει της f κ
xf΄(x) x , γ
πτωτη της γρ
R παρα
14x
για κάθ
πτωτη της C
νη και δύο φο
f ' x 0 για κ
ησίως αύξουσ
σε ένα μόνο
2x και ότι η
μοναδικός x
ια x 4
η f x κ έχ
ασύμπτωτη τ
παράσταση τ
λ R
Β) Να
m f(x)
R το πλήθο
1 με α>0
Β) Να
x 0 , να απο
ο R , που ικα
και να δείξετ
για κάθε x
ραφικής παρ
αγωγίσιμη στ
θε x 0
gC στο κα
ορές παραγω
κάθε x 4 κ
σα στο , 4
σημείο.
η fC στρέφε
ox 0,1 ώσ
χει μοναδική
της f .
της f .
α αποδείξετε ό
ος των ριζών
α λύσετε την ε
οδείξετε ότι β
ανοποιεί τις σ
τε ότι η f είν
0 .
ράστασης της
το 0, με
αι να υπολογ
ωγίσιμη στο
και f 1 0 ,
4 , να βρείτε
ει τα κοίλα ά
στε 0f x x
λύση στο
htt
ότι x
ln xe
γ
της εξίσωση
εξίσωση x
eα
β=1 .
σχέσεις f x
αι δύο φορές
ς f στο .
, g 1 2
γίσετε το xlim
, 4 για τ
f 1 1
ε το πρόσημο
νω στο ,
0 0x f ' x (3)
, 4 για κά
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
για κάθε x
ης λ xxe e
xαe για κάθ
f xe x
ς παραγωγίσ
λ , g 1
g x ημm
xg x 6x
την οποία ισχ
ο της f και ν
4
άθε κ R
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
0
θε α>0
1 , x R
σιμη στο R
8 ,
2
μx 4
x ln x
χύουν:
να
Σ
r
Γ Λυκείου –Μ
2.305 Η σ
Α) Να
Β) Αν
α) Να
Β) να β
στο σημείο τ
2.306 Έστ
Αν ισχύει ό
Α) f (x
Β) η ευ
Γ) f x
2.307 ** Δ
κάθε x R .
Α. Να
Β) Να
Γ) Να
Δ) Να
2.308 **H
κάθε x 0 .
Α) η f
2.309 Έστ
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
Δ) Αν
1
1 2f '(x ) f '(x
Μαθηματικά Θ
συνάρτηση f
βρείτε την π
επιπλέον είν
βρείτε την π
βρείτε την εξ
της με τετμημ
τω η συνάρτη
ότι h 0
2f(xlim
3
4x)
x
υθεία y 2x
2x 2x 2
x
Δίνεται συνάρ
.
αποδείξετε ό
αποδείξετε ό
βρείτε την εφ
αποδείξετε ό
H συνάρτηση
Να αποδείξ
είναι 1 1
τω f συνεχής
δείξετε ότι υ
δείξετε ότι υ
δείξετε ότι υ
f x 0 για
2
23
x )
Θετικών Σπουδ
είναι παραγ
παράγωγο τη
ναι 0 f x
παράγωγο τη
ξίσωση της εφ
μένη 0x 1
ηση f : R R
2
3h) 5f(x)
h
2004 είναι
2004 για κάθ
ρτηση f : R
ότι η συνάρτ
ότι η f είναι
φαπτομένη τ
ότι 3x
f(x)lim
x
f είναι ορισ
ξετε ότι:
Β) f f
ς στο , παρ
υπάρχει τέτ
υπάρχουν 1ξ
υπάρχει ox
α κάθε x α
δών
γωγίσιμη στο
ης συνάρτηση
1 για κάθε
ης συνάρτηση
φαπτομένης τ
R η οποία είν
3f(x 2h)
ι πλάγια ασύ
θε x 0,
R για την
ηση h(x) f
ι κοίλη στο 0
της γραφικής
0
σμένη και πα
(x) x για
ραγωγίσιμη σ
τοιο ώστε f
2,ξ α,β μ
α,β τέτοιο
α,β τότε υπά
ο R με f x
ης g x f
x R και f
ης g x ln
της γραφική
ναι έχει συν
3
60
x και
xlim
ύμπτωτη της
οποία γνωρ
3(x) f(x) x
0,
ς παράσταση
αραγωγίσιμη
α κάθε x 0
στο α,β ) με
ξ 1
με 1 2ξ ξ τέ
ο ώστε of x
άρχουν 1x ,x
0 για κάθε
x
f 1 e , f 1
f(x)
ής παράσταση
νεχή δεύτερη
m f x 4
fC στο
ίζουμε ότι: f
x , x IR είν
ης της f στο
η στο 0,
Γ)
ε f α α , f
έτοια ώστε 2f
2α β3
.
2x α,β μ
ε x R .
1 1 τότε:
ης της συνάρ
παράγωγο σ
24x 9 200
(0) 0 και f
ναι σταθερή.
ox 0
και ισχύει ό
αν f 1 1
f β β
1 2f ξ f ξ
ε 1 2x x τέτο
ρτησης g x
στο IR .
04 , να δείξετ
2
1f (x)
3f (x)
ότι f f (x)
τότε f x
3
οια ώστε
65
ln f(x)
τε ότι
1 για
f x 0 για
ln x .
5
α
66
2.310 * Έσ
α,β . Αν f
Α) υπά
Β) υπά
Γ) το x
2.311 Δίν
το 1,4 . Ν
Αα) Υπά
β) Υπά
γ) Υπά
Βα) Η ευ
στο 1,e
β) Υπά
2.312 Μια
2f (3x 1) 4
A Υπά
B Η σ
Γ f (1
Δ Η εξ
2.313 Για
βρεθεί ο τύπ
2.314 Δίν
για κάθε x
. Να δείξετε
2.315 Δίν
x 0,1 . Ν
στω συνάρτη
f α f β ν
άρχει 0x α
άρχουν 1x
ox του (Α) ε
εται η συνάρ
Να αποδείξετ
άρχουν 1 2x ,x
άρχει ξ 1, e
άρχει οx 1,
υθεία y x
άρχουν 1 2ξ ,ξ
α συνάρτηση
24·f(2x x
άρχει ένα του
συνάρτηση f
) f (4)
ξίσωση f (x)
την παραγω
πος της f .
ονται οι συν
α,β και ο
ε ότι υπάρχε
εται η συνάρ
Να αποδείξετ
ηση f η οποί
να αποδείξετε
α,β τέτοιο ώ
α,β και x
ρωτήματος β
ρτηση f δύο
τε ότι :
2 1,e με x
e ώστε f ξ
,e ώστε of x
e 2 τέμνε
2 1,e με 1ξ
η f είναι ορισ
1) . Να απο
υλάχιστον ξ
δεν αντιστρ
0 έχει μια τ
ωγίσιμη συνά
ναρτήσεις f κ
οι μιγαδικοί
ει ξ α,β ώ
ρτηση f ορισ
τε ότι: υπάρχ
ία είναι συνε
ε ότι:
ώστε: 0f(x )
2x α,β με
βρίσκεται πλ
φορές παραγ
1 2x x ώστε f
0
4o of (x ) 4f (
ι τη γραφική
1 2ξ ώστε να
σμένη και δύ
οδείξετε τα εξ
(1, 4) τέτοιο
ρέφεται
τουλάχιστον
άρτηση f : (1,
και g , συνεχ
w 2f α
ώστε
f ξ
g ξ
σμένη και πα
χει ξ 0,1
εχής στο α,
f(α) f(β)2
.
ε 1 2x x τέτο
λησιέστερα στ
γωγίσιμη στο
1 2f x f x
o o(x ) x
ή παράσταση
α ισχύει ότι
ύο φορές παρ
ξής:
ο ώστε: f (ξ)
ν ρίζα στο R
,+ ) R , ισ
χείς το α,β
ig β , z g
f ξ0
g ξ
αραγωγίσιμη
ώστε (1 ξ)
β παραγωγ
οια ώστε: f
το β απ’ ότι
ο 1,e με f
0
η της f σε ένα
1 2f ξ f ξ
ραγωγίσιμη σ
0
σχύει ότι f
2ln
, παραγωγίσ
α 2if β
η στο 0,1 μ
) f (ξ) f(ξ)
htt
γίσιμη στο α
1 2
1 1x f x
στο α .
1 2 , f e
α τουλάχιστο
1
στο R και γι
(x)x f (x)
n x
σιμες στο α,
ώστε να ισχύ
με f(0) 0 κα
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ttp://users.sch
α,β και κυρ
β α2
f(β) f(α
e 1 και σύν
ον σημείο με
ια κάθε x R
0 . Αν f e
,β με g x g
ύει ότι 2w
αι f x 0 γι
ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
h.gr/mipapagr
ρτή στο
α)
νολο τιμών
τετμημένη
ισχύει:
1 τότε να
g x 0
z 2w z
ια κάθε
Σ
r