città di torino divisione servizi educativi-settore ... · - l'uso dei numeri per descrivere...

Verso il concetto di numero

Maria G. Bartolini Bussi *

(i numeri ordinali);- l'uso dei numeri come elementi diun codice (i numeri codice),' - la lettura e la scrittura dei simboliutilizzati per denotare i numeri (inumerali).

Vi sono lingue nelle quali i diversiusi del numero sono caratterizzati davocaboli diversi, Non è così perl'italiano e per la maggior parte dellelingue indoeuropee, che riservanotermini speciali solo ai numeri ordinalie ad alcuni casi speciali dei cardinali,Tuttavia, il fatto che siano usati glistessi termini e, spesso, gli stessisimboli per denotare oggetti o attributidi natura diversa non sembraprovocare ambiguità nell'adulto (che,talvolta, non riflette neppure sullacoincidenza) e nemmeno nei bambini,che già alla scuola dell'infanzia usanomolte parole numero in modoappropriato e consapevole (v, tav, 1),

1. Introduzione

L'adulto della nostra società usagrande varietà di significati e di fun-zioni dei numeri naturali, che richie-dono almeno: - la conoscenza della sequenza con-venzionale delle parole numero (i nu-meri per contare); - il suo utilizzo nei conteggi (i numeri per contare oggetti); - la cardinalità degli insiemi (i numeri cardinali); - l'uso dei numeri per descrivere lamisura di una grandezza rispetto aduna unità fissata (i numeri misura); - l'uso dei numeri per indicare il posto occupato in un certo ordinamento

* Nucleo di ricerca in Storia e Didattica dellaMatematica Università di Modena. Il Nucleo, diretto dal prof. P. Quattrocchi, operacon fondi erogati dal M.P .1. (RicercaScientifica) e dal C.N.R. (Contratti).

Città di TorinoDa "Bambini" n°10/1987

Divisione Servizi Educativi-Settore Servizi per l'InfanziaArchivio "Bambini"

62

Le ricerche compiute, da un lato,sullo sviluppo storico dei sistemi dinumerazione (IFRAH 1983), dall'al-tro, sulle costruzioni" spontanee" dei bambini (HUGHES 1982, DA-VOLI e VECCHI 1986, SINCLAIR1987), mostrano che l'attività dirappresentazione numerica èstrettamente collegata a necessitàsociali (ad esempio, dicomunicazione) o necessità diastrazione (ad esempio la soluzione diproblemi non affrontabili per ma-nipolazione diretta). La conquista diquesti strumenti è quindi strettamentedipendente dall'ambiente in cui ilbambino viene educato.

Spesso, nel passato, si è suggeritamolta cautela nella introduzione diattività sui numeri, fino a che non sifosse accertato il supera mento di al-cuni ostacoli legati alle intuizionispontanee. Così, molte guide per in-segnanti (di scuola materna o ele-mentare) suggeriscono, richiamando leosservazioni di Piaget (PIAGET oSZEMINSKA 1968), di svolgereinizialmente tutta una serie di attivitàdi tipo logico miranti a stimolare ilriconoscimento della conservazionedella quantità rispetto a certe trasfor-mazioni. Solo in seguito dunque sa-rebbe utile e opportuno introdurre inomi e i simboli dei numeri.

Negli ultimi dieci anni, molte ricer-che sono state compiute, soprattuttoall'estero, sulla formazione delconcetto di numero. Purtroppo, soloraramente (v., ad esempio, NOCE eVICENTINI MISSONI 1987) essesono state portate a conoscenza degliinsegnanti italiani.

Dal complesso di queste ricerche,emerge la mancanza di schemi linearigenerali in grado di guidare la pro-gettazione del lavoro secondo una se-quenza preordinata. Sembra, piuttosto,opportuno proporre ai bambini attivitàche, se non sono del tutto da lorodominabili, sono tuttavia vicine ai lorointeressi e alle loro capacità.Guidandoli in queste attività, gli adultili avviano all'uso dei simboli numericie delle strategie di numerazioneproprie del gruppo culturale di cuifanno parte.

Nei prossimi paragrafi, si cercheràdi esemplificare quanto detto sopraattraverso la proposta di schemi dilavoro sperimentati a Modena daalcuni anni.

2. L'aspetto cardinale dei numeri naturali

Sotto l'aspetto cardinale, un numero è considerato come l'astratto comunead una classe di insiemi equivalentirispetto alla relazione di equipotenza (ricordiamo che due insiemi sono equipotenti quando i loro elementi si possono porre in corrispondenza biunivoca).

In italiano esistono alcuni termini, diversi dai numeri, che possonodescrivere, in contesti particolari, lacardinalità di un insieme: - nella musica, solo, duo o duetto, trio o terzetto, quartetto, ...; - nella tombola, ambo, temo, qua-terna, cinquina...; - nella vita di tutti i giorni, coppia > paio (anche se con accezioni diver:e);- in aritmetica, doppio, triplo, .......... ;-nella metrica, terzina, quartina.

Nelle esperienze iniziali del bam-bino, due oggetti possono essere per-cepiti in modi diversi: due anni,cioè:sono grande; due caramelle, unaper

me e una per mio fratello; due mac-chinine, devo scegliere; due alberi, ilgiardino di casa mia; due scarpe, nes-sun piede nudo; due cucchiai di pap-pa, prima uno e poi l'altro... Perconquistare l'uso cardinale del nu-mero, è necessario che quéste espe-rienze disparate si canalizzino versol'astrazione dell'aspetto comune adesse (il numero cardinale due).

Nell 'itinerario tradizionale prati-cato e consigliato, si dà molta impor-tanza all'acquisizione della conserva-zione (o invarianza) della cardinalità:si intende con ciò riferirsi, adesempio, alla consapevolezza che ilnumero di oggetti non dipende dallaloro disposizione nello spazio o dallaloro grandezza o da altre carat-teristiche percettive particolari. A talescopo, si suggeriscono tutta una seriedi attività di confronto tra insiemirispetto alla relazione di equipotenza.Nella prassi, queste attività possonoprendere anche molti mesi di scuola,fino a che l'insegnante non decide che“il concetto di numero è statoacquisito" e che quindi è lecitopassare alla simbolizzazione.



64

Questa conclusione si fonda su al-cuni presupposti discutibili. Nullagarantisce, infatti, che il concetto dinumero sia stato acquisito, anzi sipossono avanzare ragionevoli dubbi alriguardo.

In primo luogo, l'attività si svolge sempre con collezioni finite di oggetti: nessuna esperienza è finalizzata adintuire la infinità dell'insieme dei

numeri. In secondo luogo, l'attività si svolge

generalmente con oggetti concreti (o loro immagini): nessuna esperienza riguarda la possibilità di contare insiemi di oggetti astratti (ad esempio,gesti, pensieri, sapori.. .).

Inoltre, i bambini operano di solito con "piccole" collezioni di oggetti: nulla garantisce che essi siano in grado(o, almeno, credano nella possibilità) di trasferire le strategie apprese acollezioni più numerose, per le quali, avolte, è di fatto impossibile.

Infine, l'attività statica su collezioni di oggetti assegnate fa perdere di vistala relazione tra un numero, ilprecedente e il successivo.

In realtà, come è bene evidenzia to nei Nuovi Programmi della ScuolaPrimaria, il concetto di numero è piùcomplesso e richiede un approccioche si avvale di diversi punti di vista ...la sua acquisizione avviene a livellisempre più elevati di interiorizzazione e di astrazione durante l'intero corsodi scuola elementare e oltre.

Anche l'introduzione precoce, manaturale, dei nomi dei numeri con-corre alla costruzione del concetto dinumero. Esperienze svolte in diversipaesi mostrano che, fino dai due anni di età, i bambini contano sponta-neamente per confrontare due colle-zioni di "pochi" oggetti e ricorrono ametodi diversi su consegna esplicita dell'adulto o quando la prassi sco-lastica ha, in qualche modo, "vietato" l'uso dello strumento spontaneo.

Anche sulla conservazione ritenia-mo utile qualche osservazione. Moltiinsegnanti pensano che, quando unbambino sente il bisogno di contare dinuovo gli oggetti dopo averli spostati, ciò significa che non si è ancora conquistata l'invarianza. Esperienze svolte cori bambini che hanno ben chiaro l'uso dei numeri cardinali mostrano che spesso la ripeti

cardinale, che tiene conto delle os-servazioni fin qui svolte e va in ogni caso intrecciato ad altre attività che saranno descritte nei prossimi para-grafi. Lo schema non deve essere preso come un itinerario scandito nel tempo. In ogni proposta, possono essere presenti ed intrecciati in modo dialettico e con percorsi di andata e ritorno una attività manipolativa o motoria o, comunque, di azione diretta ad una attività rappresentativa che utilizza i diversi linguaggi (grafico. verbale. gestuale...).

zio ne della conta non è legata a unbisogno di verifica ma alla gratifica-zione che nasce dall'eseguire un gioco gradito.

Queste osservazioni critiche nondevono far pensare che sia scorrettoimpiantare attività sull'aspetto car-dinale del numero. Tali attività, che si inseriscono naturalmente nell' e-sperienza del bambino (v. tav.2),vanno però intrecciate con attivitàdiverse, senza dunque riconoscere adesse una priorità risolutiva di tutti iproblemi.

3. L'aspetto ordinale dei numeri naturali

I numeri naturali sono gli elementidi un insieme infinito totalmente or-dinato. Ad essi si possono dunqueapplicare tutte le proprietà degli or-dinamenti; non ha invece alcun sensotentare, in questo contesto, diestendere le operazioni aritmetiche.

La lingua italiana, come molte altrelingue moderne, riserva terminiparticolari (aggettivi ordinali) ai nu-meri ordinali: primo, secondo... de-cimo, undicesimo ...ventesimo...centesimo... millesimo...

L'esperienza dei bambini muove

Un'ultima osservazione. Spessonegli itinerari di approccio al numero cardinale si vedono inserite attività sugli insiemi, che prevedono l'uso di quantificatori come "uno", "pochi","tanti". Queste attività possono esseresignificative sul piano linguistico, ma sono scorrette dal punto di vistamatematico. Infatti gli insiemi vanno usati nel contesto di un linguaggioscientifico univoco, mentre "pochi" e"tanti" sono termini di significato soggettivo e dipendente dal contesto.

Nel seguito, proponiamo un pro-memoria di attività (v. tav. 3) perl'approccio al numero nel suo aspetto



65

dall 'uso degli aggettivi ordinali nelcontesto delle esperienze familiari: sonoarrivato primo,:il secondo cas- setto,… l'ultimo giorno di scuola (quest'ultima locuzione si applica,ovviamente, solo ad insiemi finiti). Lasequenza degli aggettivi ordinali, perframmentarietà di esperienze, è menoconosciuta della sequenza dei numericardinali. Le esperienze manipolativesono invece frequenti, fino dal primoanno: esistono molti materiali di giocoche differiscono vistosamente per unaproprietà (regoli di altezze diverse,contenitori incastrabili e impilabili,scatolette di di

verse dimensioni, le bambolette russe…)e possono essere ordinati.

Le difficoltà documentate nelleesperienze di ordinamento di oggetti diquesto tipo sono legate soprattuttoall'utilizzo della proprietà transitiva: sevogliamo ordinare per altezza alcunibastoncini e verifichiamo che il rosso èpiù alto del blu e che il blu è più alto delgiallo, possiamo concludere, senzaulteriori confronti, che il rosso è più altodel giallo. Spesso i bambini non si ren-dono conto di questo ed eseguono anche iconfronti non necessari, senzaindividuare strategie risolutive ottimaliper i problemi di ordinamento di piùoggetti. L'uso linguistico degli aggettivi or 'dinali è diffuso in contesti diversi uti



66

lizzabili a scuola: le gare di corsa, i piani delle case (ad esclusione del piano terreno, considerato quasi un livello zero), i gradini di una scala, le vignette di una storia, le istruzioni per il LEGO (v. tav. 4).

Sulla base di queste riflessioni si può proporre uno schema di lavoro per la pianificazione dell'attività scolastica (v. tav. 5).

4. L'aspetto ricorsivo dei numeri naturali

In questo caso ci occupiamo del-l'uso dei numeri naturali per contare. Il numero per contare, tradizionalmente presente nella scuola fino agli anni sessanta, era quasi scomparso negli anni in cui si diffondeva l'approccio cardinale attraverso gli insiemi. Negli ultimi anni, il numero per contare è stato ampiamente rivalutato, soprattutto sulla base di ricerche di scuola anglosassone, a cui ci richiameremo in seguito, pur senza citarle espressamente (v. ad esempio, NOCE e VICENTINI MISSONI 1987, PELLEREY 1987).

Nel contare, possiamo distinguere un aspetto puramente linguistico o intransitivo (contare per contare) dall'aspetto finalizzato alla soluzione di problemi o transitivo (contare oggetti, persone, parole, gesti.. .).

L'abilità puramente linguistica del recitare una sequenza di parole nu-mero coincidente, almeno in parte, con quella convenzionale è il presup posto su cui si basa la capacità di contare oggetti, che, a sua volta, sti-mola la padronanza della sequenza delle prime parole numero e la sco-perta della regola ricorsiva di gene-razione delle parole che denotano i numeri più grandi: venti-due, ventitre.. (DAVOLI e VECCHI 1986). La me -morizzazione della sequenza, che inizialmente è pronunciata con sforzo e senza costanza nel risultato, rende pian piano la recita automatica e consente di spostare l'attenzione sulla procedura più complessa del contare oggetti.

Almeno inizialmente, infatti, contare oggetti significa combinare la pronuncia di una parola numero con un gesto (il dito che punta o tocca o sposta, la mano che raccoglie o mette



67

in fila...) e il gesto con un oggetto, in modo da realizzare due corrispon-denze biunivoche tra parole e gesti etra gesti e oggetti. Gli errori di con-teggio possono riguardare la corri-spondenza tra parole e gesti (la vocecorre più della mano o viceversa) o tragesti o oggetti (uno stesso oggetto è segnato più volte o è saltato).

Si può quindi dire che l'abilità delcontare oggetti è una abilità comples-sa: non ci si deve stupire se la cono -

scenza di una parte, anche consisten-te, della sequenza numerica si ac-compagna a molti errori di conteggio,quando la recita è applicata ad uninsieme di oggetti. La difficoltàaumenta se gli oggetti non sono ma-nipolabili (ad esempio, gesti o eventiscanditi nel tempo): per essi saràopportuno ricorrere, almeno inizial-nente, ad una qualche forma di re-gistrazione intermedia: un segno perogni colpo di tamburello...

L'approccio ricorsivo ai numeri è quello che più suggerisce l'idea di in-finito. Il dominio della regola di pro-duzione linguistica delle parole nu-mero, presto o tardi, induce la con-sapevolezza che non esiste un limite, se non il tempo a disposizione, per la generazione di numeri sempre diversi. Nel momento in cui ci si rende conto che, detto un numero qualsiasi, con questa regola se ne può generare uno più grande (attraverso il meccanismo del passaggio al successivo), il gioco è fatto. Questo non capita di solito nella scuola dell'infanzia, anche se, singolarmente, qualche bambino può avere intuizioni al riguardo (v. tav. 6).

Proponiamo ora un promemoria di punti nodali da tenere presenti nella progettazione di un itinerario sui numeri per contare. Le prestazioni evidenziate sono raggiunte gradual-mente e non sono subito estese a tutti i numeri. Ciò non deve stupire: anche l'adulto, di fronte ad un insieme numeroso o costituito di oggetti in movimento, in assenza di strategie particolari, può perdere il conto e commettere qualche errore.



68

città di torino divisione servizi educativi-settore ... · - l'uso dei numeri per descrivere...

Documents