círculo- sistema de medición angular

1 Sis. De Medición Angular

2

Sis. De Medición Angular

Sistema de Medición

Angular

Problema 1 Calcular: 𝑈 + 𝑁 + 𝐼

Si: 22,22° <> 𝑈°𝑁′𝐼′′ A) 17 B) 37 C) 47 D) 57 E) 67

Problema 2 Con los datos de la figura, hallar x.

A) -9 B) -8 C) -15 D) -12 E) -16

Problema 3 A y B son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo T. Si (9𝑥 + 4)𝑔 y (8𝑥 + 22)0 son las medidas de A y B, respectivamente. Hallar la medida del menor ángulo T, en radianes. A) 𝛑/2 rad B) 𝛑/7 rad C)

𝛑/4 rad

D) 𝛑/5 rad E) 𝛑/8 rad

Problema 4 Sean S0 y Cg y R rad. Las medidas de un ángulo en grados sexagesimales, centesimales y radianes, respectivamente y tal que 1/S – 1/C = R/4S. Hallar la medida de dicho ángulo en radianes.

A) 3/4 𝛑 rad B) 2/5 𝛑 rad C)

3/5 𝛑 rad

D) 4/5 𝛑 rad E) 1/2 𝛑 rad

Problema 5 Se tiene los ángulos 𝛼 𝑦 𝜃 cuyos valores se expresan de la siguiente forma.

𝛼 = (2𝐾 + 3

5)

0

𝑦 𝜃 = (3𝐾 − 5

2)

𝑔

Hallar K para que los ángulos 𝛼 𝑦 𝜃 sean iguales. A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

Problema 6 P y Q son los números que indican la medida de un ángulo 𝜑 en minutos sexagesimales y minutos centesimales respectivamente. S y C son ángulos que indican la medida de un ángulo 𝛼 en grados sexagesimales y grados centesimales respectivamente. Si se sabe que:

𝑃 = 2𝑆 − 18 𝑦 𝑄 = 2𝐶 + 20

Calcular (𝛼 + 𝜑) en grados centesimales. A) 35g B) 30g C) 40g D) 41g E) 56g

Problema 7 Un ángulo mide S0 y Cg y R rad en los sistemas sexagesimales, centesimal y radial respectivamente. Si S y C son las raíces de la ecuación.

6𝑥2 − 19𝑥 + 15 = 0

Calcular: 24𝑅

𝜋+ 𝑆

A) 1,7 B) 1,8 C) 1,6 D) 1,4 E) 1,3

(−50𝑥

9)𝑔

100g

x°

3


Problema 8 Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo, para lo cual se cumple:

𝑆−13

2=

𝐶−2

3= 𝑥2𝑛

Hallar el valor de: 𝑀 = 4𝑥 + 𝑛; siendo x un entero y además x>n. A) 17 B) 12 C) 14 D) 20 E) 21

Problema 9 Los tres ángulos de un triángulo son

(9𝑥

10) grados sexagesimales, (𝑥 + 1)

radianes y (𝑥 + 2) grados centesimales. El mayor de ellos expresado en radianes, es.

A) 𝜋

100+𝜋 B)

100𝜋𝑟𝑎𝑑

𝜋+100 C)

50𝜋𝑟𝑎𝑑

𝜋+100

D) 10𝜋

2𝜋+150 E)

12𝜋𝑟𝑎𝑑

𝜋+100

Problema 10

De acuerdo al gráfico, calcular 9𝑎

𝑏+165

A) 2000 B) 1000 C) 5000 D) 2500 E) 4000

Problema 11 Si “a” y “b” son los números que indican la cantidad de minutos sexagesimales y segundos centesimales de un mismo ángulo. Calcular el número de radianes si:

𝑎 = 3𝑥 + 24 𝑦 𝑏 = 5000𝑥

A) 𝛑/300 B) 𝛑/100 C)

𝛑/400

D) 𝛑/200 E) 𝛑/500

Problema 12

El símbolo 𝑎𝑏̅̅ ̅ indica un número de dos cifras, cuya primera cifra es a y la segunda es b. dos ángulos cuyas medidas son x e y son tales que:

(𝑥 − 1)(𝑦 − 1)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ radianes equivale a (x + y) grados sexagesimales; además (180x – 180y) grados sexagesimales equivale a 1980 radianes. Entonces; y/x, cuando x e y están en grados centesimales, será igual a: A) 5𝛑 – 10 B) 2𝛑+20 C)

-10+𝛑

D) -10+𝜋

90 E) 𝛑+5

Problema 13 Se tiene tres ángulos consecutivos cuya suma es la cuarta parte de un ángulo llano, sabiendo que se halla en progresión aritmética y el mayor es igual al cuadrado del primero. Hallar la razón expresada en radianes. A) 𝛑/18 B) 𝛑/36 C) 𝛑/10 D) 𝛑/5 E) 𝛑/4

Problema 14 Sea A el factor que convierte segundos centesimales en minutos sexagesimales y B el factor que convierte minutos centesimales en segundos sexagesimales. Calcular el valor de B/A. A) 6000 B) 600 C) 60 D) 6 E) 1

Problema15 En un nuevo sistema de medición angular, un ángulo de 𝛼 grados

sexagesimales mide 𝛼 − 3. Si un ángulo

de 𝛑 radianes mide 120 en el nuevo

sistema, halle 𝛼 − 3. A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 15

Problema 16

(2𝑏 − 30)°

𝛼𝑚

4


Los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimales y centesimales son x100 y x100+1 respectivamente. Halle el valor del complemento del ángulo expresado en radianes. A) 4𝛑/15 B) 3𝛑/8 C) 9𝛑/20 D) 9𝛑/20 E) 3𝛑/11

Problema 17 De la figura expresar “x” en términos de "𝛼" y "𝛽" A) 𝛼 + 𝛽 + 360 B) 𝛼 − 𝛽 − 360

C) 𝛼 − 𝛽 D) 𝛼 + 𝛽

E) 𝛼 − 𝛽 + 360

Problema 18 Calcule x si se cumple:

[(𝑥 + 3)0

5𝑔]

0

= [(4𝑥 − 18)0

15𝑔]

𝑔

A) 48 B) 41 C) 42 D) 40 E) 39

Problema 19 Si los ángulos de un triángulo se encuentran en progresión geométrica de razón 2; calcular la medida del menor ángulo en un sistema “M” de medición angular, cuya unidad (1M) es la medida de un ángulo central en una circunferencia cuando el arco que subtiende resulta ser la séptima parte del radio de dicha circunferencia.

A) 6 𝛑 B) 𝛑 C) 4 𝛑 D) 5 𝛑 E) 2 𝛑

Problema 20 Si: 𝑥 = 𝐶 − 𝑆/9; 𝑦 = 𝑆 + 𝐶/10 Donde “S” y “C” representan los números de grados en el sistema sexagesimal y centesimal respectivamente de un ángulo. Hallar el valor en radianes con la siguiente condición: 𝑋𝑦 = 𝑌𝑥

A) (10

9)

9 𝜋

180 B) (

10

9)

10 𝜋

90 C)

(10

9)

5 𝜋

12

D) (10

7)

6 𝜋

10 E) (

10

9)

10 𝜋

12

Problema 21 Hallar el ángulo, en radianes que satisface la siguiente condición: La medida geométrica de los números que representan la medida de ese ángulo, en grados centesimales y sexagesimales multiplicada por la suma de las inversas de los mismos es igual a 19/300 veces la semidiferencia de esos números.

A) 𝛑√7 B) 𝛑√10 C)

𝛑√15

D) 𝛑√20 E) 𝛑√2

Problema 22 Si S y C son los números de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo y cumplen:

𝑆𝑔 =(1 − 𝑥)0

(1 + 𝑥)2 𝑦 𝐶𝑔 =

(1 − 𝑥)𝑔

(1 − 𝑥)2

Calcule el valor de: 19x2 A) 1/141 B) 1/14 C) 1/19 D) 1/18 E) 1/15

Problema 23 Cuál es el valor de N (N > 0) si se cumple la siguiente igualdad.

𝛼0

𝑥0

𝛽0

5


𝑁𝜋𝐶 − 10𝑅

𝑁𝜋𝑆 + 10𝑅=

𝑁𝑆 + 𝐶

𝑁𝐶 + 𝑆

Donde S, C y R son los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimales, centesimal y radial, respectivamente. A) -1/2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Problema 24 Determine la medida de un ángulo de radianes. Si S, C y R son lo convencional, además A=B.

𝐴 = 𝑆 +𝑆

𝑆 +𝑆

𝑆 +𝑆

𝑆 + 𝑆⋱

𝐵 = 𝐶 +𝐶

𝐶 +𝐶

𝐶 +𝐶

𝐶 + 𝐶⋱

A) 361𝛑/3600 B) 19𝛑/3600 C)

30𝛑/1500 D) 17𝛑/1700 E)

36𝛑/1200

Problema 25 Hallar la medida circular de un ángulo, sabiendo que sus números de grados sexagesimales, centesimales y radianes se relacionan así

√100𝜋2 +𝜋2

19(𝑆 + 𝐶) +

𝜋𝑅

20(𝐶 − 𝑆) =

32𝜋

3

A) 𝛑/7 B) 2𝛑/3 C) 𝛑/3 D) 𝛑/4

E) 𝛑/2

Problema 26 Si los números de grados sexagesimales (S) y centesimales (C) que contiene un ángulo verifican que: log𝐶 𝑆 = 𝐾 log𝑆 𝐶

Al hallar “S” se encontró, (10

9)

𝑛. ¿Cuál

es el valor de n?

A) 𝑘

𝑘+2 B)

√𝑘

√𝑘−1 C)

𝑘

𝑘−1

D) √𝑘

1−√𝑘 E)

𝑘

𝑘+1

Problema 27 Si un ángulo se expresa como a°b’ y también como "𝐶𝑟𝑎𝑑". Calcular:

𝐸 = √60𝑎 + 𝑏

12𝑐

A) 10

√𝜋 B)

20

√𝜋 C)

30

√𝜋 D)

12

√𝜋

E) 30

𝜋

Problema 28 Siendo S y C lo convencional para un mismo ángulo, tales que cumple:

(𝑆 + 𝐶)(𝐶−𝑆) = (𝐶 − 𝑆)(𝐶+𝑆) Calcule el valor de:

𝐸 = √(𝑆 + 𝐶)2𝑆𝑆+𝐶

A) 14 B) 12 C) 19 D) 17 E) 15

Problema 29 Calcule “C” si cumple la igualdad:

36

𝑅+ 1 = (1 +

1

𝑅) (1 +

1

𝑅 + 1) (1 +

1

𝑅 + 2) … (1

+1

𝑅 + 𝑆 − 1)

Donde S, C y R lo convencional para un mismo ángulo. A) 40 B) 30 C) 50 D) 60 E) 70

Problema 30 Si 𝜃 = 1𝑎5̅̅ ̅̅ ̅0𝑏3̅̅ ̅′𝑐3̅̅ ̅′′, es el suplemento del complemento de 25,3925°; entonces el valor de (a + b + c) es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Problema 31 Se define: < 𝑁 >= 3 + 𝑁 Halle la medida en el sistema internacional de un ángulo que cumple:

6


< 𝑆 >= 𝑎 + 4, < 𝐶 >= 2𝑎 +1 siendo S y C lo convencional para dicho ángulo.

A) 𝜋

40𝑟𝑎𝑑 B)

𝜋

80𝑟𝑎𝑑 C)

𝜋

10𝑟𝑎𝑑

D) 𝜋

20𝑟𝑎𝑑 E)

𝜋

30𝑟𝑎𝑑

Problema 32 El cuadrado de la medida geométrica de los números que representan la medida de un ángulo en sexagesimales y centesimales es igual a 45 veces la diferencia de los mismos. Halle la medida de dicho ángulo en centesimales. A) 0g; 5g B) 0g; -5g C) ±5g

D) 0g; ±5 E) 0°; 10g

Problema 33 Siendo S y C los números que representan la medida de un ángulo en grados sexagesimales y centesimales, y cumplen la igualdad.

𝐶(𝐶 − 1) + 𝑆(𝑆 − 1) = 2𝑆𝐶 Calcule la medida del ángulo en grados sexagesimales. A) 141° B) 151° C) 161° D) 167° E) 171°

Problema 34 Para un cierto ángulo, se cumple:

2𝐶 − 4

3=

2𝑆 − 26

2= 𝑎𝑏+1

Donde S y C son los números conocidos del ángulo. Halle b/a, siendo {𝑎, 𝑏} ∈ ℤ+. A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/4 E) 5/4

Problema 35 Si se cumple que Ag=B0, entonces el valor de:

𝐸 =9(𝐴)° + 6(𝐵)′

(6𝐵)𝑔 + (9𝐴)𝑚 𝑒𝑠

A) 549/1010 B) 849/1010 C) 9/10 D) 1010/849 E) 1010/549

Problema 36 Dos ángulos positivos cumplen que la diferencia del número de centesimales de uno de ellos con el número de minutos sexagesimales del otro es 400, además el número de grados centesimales del primero es y el grado de número de grados sexagesimales del segundo suman 10. Calcule la diferencia de éstos en radianes.

A) 𝜋

96𝑟𝑎𝑑 B)

𝜋

8𝑟𝑎𝑑 C)

𝜋

20𝑟𝑎𝑑

D) 𝜋

12𝑟𝑎𝑑 E)

𝜋

46𝑟𝑎𝑑

Problema 37 Sabiendo que S, C y R son los números convencionales para un mismo ángulo los cuales cumplen:

𝐶2 − 𝑆2 − 𝑅2 = 10𝑅 (76

𝜋−

𝜋

100)

Calcule el número de radianes del ángulo.

A) 𝜋

40𝑟𝑎𝑑 B)

𝜋

20𝑟𝑎𝑑 C)

𝜋

10𝑟𝑎𝑑

D) 𝜋

36𝑟𝑎𝑑 E)

𝜋

48𝑟𝑎𝑑

Problema 38 En un nuevo sistema de medida angular R, se establece que un grado R es equivalente a un ángulo central que subtiende un arco de longitud igual a la quinta parte de la longitud del radio. Halle la medida del ángulo recto en este nuevo sistema.

A) 4𝜋

5𝑟𝑎𝑑 B)

2𝜋

3𝑟𝑎𝑑 C)

5𝜋

2𝑟𝑎𝑑

D) 5𝜋

4𝑟𝑎𝑑 E)

7𝜋

2𝑟𝑎𝑑

Problema 39

7


El número de grados sexagesimales de un cierto ángulo y los 2/3 del número de grados centesimales de otro ángulo están en la relación de 9 a 10; además dichos ángulos son suplementarios. Calcule la medida del mayor ángulo. A) 110° B) 102° C) 104° D) 108° E) 111°

Problema 40 En un hexágono los ángulos internos están en progresión aritmética y:

𝛼1 > 𝛼2 > 𝛼3 > 𝛼4 > 𝛼5 > 𝛼6

¿Cuánto medirá el cuarto ángulo 𝛼4 dado en radianes, si el mayor es igual a 125°? A) 0,675𝜋 B) 0,6𝜋 C) 0,350𝜋

D) 0,340𝜋 E) 0,65𝜋

Problema 41 Calcular la longitud del radio de una circunferencia en la que un ángulo central, que comprende un arco que mide 61𝜋/50m, tiene una medida en grados centesimales representado por un número entero y en grados sexagesimales representada en la

forma 𝑥0𝑥′. A) 5 B) 4 C) 6 D) 8 E) 3

Problema 42 Halle la medida en el sistema sexagesimal de un ángulo mayor de una vuelta, si en la siguiente ecuación R representa el número de radianes que mide dicho ángulo.

√4𝑅

𝜋+ √

9𝜋

𝑅= 5

A) 670° B) 405° C) 360° D) 120° E) 450°

Problema 43

La medida aritmética de los números que expresan la medida de un ángulo positivo en grados sexagesimales y centesimales es a su diferencia como 38 veces el número de radianes de dicho ángulo es a 5𝛑. Hallar cuánto mide el ángulo en radianes. A) 4𝛑 / 7 B) 3𝛑 / 4 C)

𝛑 / 4

D) 5𝛑 / 4 E) 4𝛑 / 3

Problema 44 Sabiendo que M y N son ángulos complementarios. Hallar M – N.

𝑀 =𝑅𝐶

20−

𝑅2

𝜋, 𝑅 > 0; 𝑁 =

𝑅𝑆

30−

7𝑅2

𝜋

A) 5𝛑/4 B) 5𝛑/8 C)

5𝛑/2

D) 5𝛑/4 E) 5𝛑/3

Problema 45 Siendo S y C números convencionales para un ángulo trigonométrico, el cuál cumple la condición:

𝑆𝑒𝑛(𝐶 − 𝑆2)𝐶𝑠𝑐(2𝐶 − 5𝑆2) = 1;

𝐶 − 2𝑆2 ≠ (2𝑘 + 1)𝜋

3; 𝑘 ∈ ℤ

Calcular: 𝐾 = 𝑡𝑔(545°) + 𝐶𝑡𝑔(1085°)

Dar como respuesta un valor. A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

Problema 46 Siendo S, C y R los números

convencionales tal que: (𝐶+𝑆

𝐶−𝑆)

𝑆= 𝑅𝐶

Calcular 𝑅10 A) 1010 B) 1910 C) 199 D) 129 E) 1510

Problema 47 Sean dos ángulos, el primero mide P grados sexagesimales y el segundo Q grados centesimales. La diferencia

8


numérica de estas medidas es 15. Si la suma de estos ángulos en el sistema sexagesimal es 129, los ángulos tal como estaban medidos originalmente, son:

A) 51 y 58 B) 67 y 50 C) 75 y 60 D) 70 y 64 E) 75 y 50

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