circuiti del secondo ordine - unibo.it11 1 12 2 1 1 a x t a x t t dt dx a x t a x t t dt dx 3...
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Circuiti dinamici
Circuiti del secondo ordine
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm
(versione del 9-11-2013)
2
Circuiti del secondo ordine
● Circuiti del secondo ordine: circuiti il cui stato è definito da due variabili x1(t) e x2(t)
Per un circuito (non degenere) del secondo ordine le equazioni di stato hanno la forma
f1(t) e f2(t) sono delle combinazioni lineari degli ingressi
)(f)()(
)(f)()(
22221212
12121111
ttxatxadt
dx
ttxatxadt
dx
3
Circuiti del secondo ordine
● I circuiti non degeneri del secondo ordine contengono due bipolidinamici (condensatori o induttori) si hanno tre possibilità:
4
Circuiti con un induttore e un condensatore (1)
● Il circuito è costituito da un doppio bipolo resistivo (formato da componenti lineari e generatori indipendenti) con le porte collegate a un induttore e un condensatore
● Se il circuito non è degenere il circuito resistivo associato ammette un’unica soluzione è possibile fissare i valori di iL e di vC
il doppio bipolo ammette la rappresentazione ibrida Per il teorema di rappresentazione del doppio bipolo, le equazioni
della parte resistiva del circuito sono
)()(v)()(
)()()()(
2G2221212
1G2121111
tithtihti
tvtvhtihtv
5
Circuiti con un induttore e un condensatore (2)
● Inoltre si ha
Quindi le equazioni di stato sono
C
titv
C
hti
C
h
dt
dvL
tvtv
L
hti
L
h
dt
di
)()()(
)()()(
2GC
22L
21C
1GC
12L
11L
dt
dvCiivv
dt
diLvvii
CC2C2
LL1L1
6
Circuiti con due induttori
● Per un circuito non degenere con due induttori, il doppio bipolo ècomandato in corrente ( il circuito resistivo associato ammette un’unica soluzione)
Il doppio bipolo ammette la rappresentazione mediante di matrice di resistenza
Le equazioni di stato sono
2
2G2L
2
221L
2
212L
1
1G2L
1
121L
1
111L
)()()(
)()()(
L
tvti
L
rti
L
r
dt
di
L
tvti
L
rti
L
r
dt
di
7
Circuiti con due condensatori
● Per un circuito non degenere con due condensatori, il doppio bipolo ècomandato in tensione ( il circuito resistivo associato ammette un’unica soluzione)
Il doppio bipolo ammette la rappresentazione mediante di matrice di conduttanza
Le equazioni di stato sono
2
2G2C
2
221C
2
212C
1
1G2C
1
121C
1
111C
)()()(
)()()(
C
titv
C
gtv
C
g
dt
dv
C
titv
C
gtv
C
g
dt
dv
8
Circuiti del 2° ordine reciproci
● Se il circuito è formato da componenti reciproci si ha
C
tt
C
ht
C
h
dt
dL
tt
L
ht
L
h
dt
d
hh)(i
)(v)(iv
)(v)(v)(i
i
2GC
22L
21C
1GC
21L
11L
2112
2
2G2L
2
221L
2
212L
1
1G2L
1
211L
1
111L
2112 )(v)(i)(i
i
)(v)(i)(i
i
L
tt
L
rt
L
r
dt
dL
tt
L
rt
L
r
dt
d
rr
2
2G2C
2
221C
2
212C
1
1G2C
1
211C
1
111C
2112 )(i)(v)(v
v
)(i)(v)(v
v
C
tt
C
gt
C
g
dt
dC
tt
C
gt
C
g
dt
d
gg
9
Equazioni risolventi del secondo ordine (1)
● In generale la risoluzione del sistema delle equazioni di stato può essere ricondotta alla risoluzione di un’equazione del secondo ordine contenente una sola variabile di stato
● Per ottenere l’equazione risolvente si elimina una delle variabili dal sistema
Mediante una delle equazioni si esprime una delle variabili di stato in funzione dell’altra variabile e della derivata dell’altra variabile
Si sostituisce questa espressione nell’altra equazione
10
Derivazione dell’equazione del secondo ordine in x1
)(f)()(
)(f)()(
22221212
12121111
ttxatxadt
dx
ttxatxadt
dx
)(f1
)(1
)( 112
112
111
122 t
atx
a
a
dt
dx
atx
dt
d
adt
dx
a
a
dt
xd
adt
dx 1
12
1
12
1121
2
12
2 f11
)(f)(ff
)()()( 2121221
1211222111
221121
2
tatadt
dtxaaaa
dt
dxaa
dt
xd
11
Nota
● Il procedimento non è applicabile se a12 0 o a21 0
Se a12 0 nella prima equazione di stato non compare x2(t)
x1(t) soddisfa un’equazione differenziale del primo ordine
Se a21 0 nella seconda equazione di stato non compare x1(t)
x2(t) soddisfa un’equazione differenziale del primo ordine
● Se il circuito è reciproco a12 0 a21 0
In questo caso il circuito si riduce a due circuiti del primo ordine disaccoppiati
12
Equazioni risolventi del secondo ordine (2)
● Equazione risolvente in x1
● Procedendo in modo analogo si trova l’equazione risolvente in x2
Le equazioni del secondo ordine relative alle due variabili di stato differiscono solo per i termini noti
)(f)(ff
)()()( 2111212
2211222112
221122
2
tatadt
dtxaaaa
dt
dxaa
dt
xd
)(f)(ff
)()()( 2121221
1211222111
221121
2
tatadt
dtxaaaa
dt
dxaa
dt
xd
13
Equazioni risolventi del secondo ordine (3)
● Le due equazioni possono essere scritte nella forma
coefficiente di smorzamento
pulsazione naturale
)2,1()()(2 202
2
itFtxdt
dx
dt
xdii
ii
)tr()(2 2211 A aa
)det(2112221120 A aaaa
2221
1211
aa
aaA
14
Espressioni delle variabili di stato
● I primi membri delle equazioni in x1 e x2 sono uguali
per entrambe le variabili di stato l’equazione omogenea associata è la stessa
● Le variabili di stato possono essere espresse come
● xP1(t) e xP2(t) rappresentano le soluzioni particolari
● xH1(t) e xH2(t) derivano dall’integrale generale della stessa equazione omogenea
differiscono solo per i valori delle due costanti dipendenti dalle condizioni iniziali
)()()(
)()()(
222
111
txtxtx
txtxtx
PH
PH
15
Condizioni iniziali
● Per determinare la soluzione occorre associare a ciascuna equazione differenziale due condizioni iniziali relative al valore all’istante t0
+ di xj e della sua derivata
● I valori iniziali delle variabili di stato si ottengono studiando il comportamento del circuito per t t0
● I valori all’istante t0+ delle derivate delle variabili di stato si
ottengono inserendo nelle equazioni di stato i valori delle variabili di stato all’istante t t0
)(f)()(
)(f)()(
02022201212
01021201111
0
0
ttxatxadt
dx
ttxatxadt
dx
t
t
16
Determinazione della soluzione omogenea
● Per determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata, si deve risolvere l’equazione caratteristica
● Le soluzioni dell’equazione caratteristica sono dette frequenze naturali del circuito
● Si distinguono tre casi caratterizzati da valore positivo, nullo o negativo del discriminante
soluzioni reali distinte:
soluzioni reali coincidenti:
soluzioni complesse coniugate:
02 20
2
20
2 20
20 20
20 20
20
17
Soluzioni reali distinte (1)
● Le frequenze naturali sono
Se , si ha d < e quindi 1, 2 < 0 Il circuito è asintoticamente stabile
In questo caso si dice che il circuito è sovrasmorzato
● Integrale generale dell’equazione omogenea associata:
● Integrale generale dell’equazione completa:
d 20
221,
020
2
)()( 2121 txekektx Pi
ti
tii
ti
tiHi ekektx 21
21)(
00 20 e
18
Soluzioni reali distinte (2)
● Le costanti k1i e k2i si determinano imponendo le condizioni iniziali
● Assumendo, per semplicità, t0 0 si ha
02211
0
21 )0()0(
dt
dxkk
dt
dx
xkkx
Piii
i
Piiii
12
100
2
21
200
1
)0()0(
)0()0(
PiiPii
i
PiiPii
i
xxdt
dx
dt
dx
k
xxdt
dx
dt
dx
k
19
Soluzioni reali coincidenti (1)
● Il valore comune delle due frequenze naturali è
Se > 0, le soluzioni sono negative
Il circuito è asintoticamente stabile
In questo caso si dice che il circuito è criticamente smorzato
● Integrale generale dell’equazione omogenea associata:
● Integrale generale dell’equazione completa:
21
020
2
tii
tiiHi etkketkktx 0)()()( 2121
)()()( 21 txetkktx Pit
iii
20
Soluzioni reali coincidenti (2)
● Le costanti k1i e k2i si determinano imponendo le condizioni iniziali
● Assumendo t0 0 si ha
021
0
1 )0()0(
dt
dxkk
dt
dx
xkx
Piii
i
Piii
)0()0(
)0()0(
002
1
Pii
Piii
Piii
xxdt
dx
dt
dxk
xxk
21
Soluzioni complesse coniugate (1)
● Le frequenze naturali sono
Se > 0, le parti reali di e sono negative
Il circuito è asintoticamente stabile
In questo caso si dice che il circuito è sottosmorzato
● Integrale generale dell’equazione omogenea associata:
● Questa soluzione rappresenta la tensione di un condensatore o la corrente di un induttore, quindi ha significato fisico solo se assume valori reali per ogni t
djj 22021,
020
2
tji
tjiHi
dd ekektx )(2
)(1)(
22
Soluzioni complesse coniugate (2)
● Affinché xHi(t) sia reale occorre che sia
Si può porre
Utilizzando la formula di Eulero si ottiene
● Integrale generale dell’equazione completa:
● Anche in questo caso si devono determinare due costanti reali (Ai e i) imponendo le condizioni iniziali
)()cos()( txteAtx Piidt
ii
idt
i
tjtjt
i
tjjitjjiHi
teAee
eA
eeA
eeA
tx
idid
didi
cos2
22)(
)()(
)()(
*12 ii kk
ii jiiiii
jii e
AkARAe
Ak
2)0,,(
2 21
23
Soluzioni complesse coniugate (3)
● Assumendo t0 0, si deve risolvere il sistema
00
)sen()cos(
)0()cos()0(
dt
dxAA
dt
dxxAx
Piiidii
i
Piiii
bxxdt
dx
dt
dxA
axxA
PiiiPi
dii
Piiii
)0()0(1
)sen(
)0()0()cos(
00
0)sgn(/arctg
0)sgn(2
0/arctg
22
abab
ab
aab
baA
i
i
24
Espressioni delle risposte (1)
● Le altre risposte sono combinazioni lineari delle variabili di stato e degli ingressi
La generica risposta yi(t) può essere espressa come
● yPi(t) è un termine che dipende solo dagli ingressi● yHi(t) ha la stessa forma di xH1(t) e xH2(t)
● Quindi tutte le tensioni e le correnti del circuito hanno, a seconda del valore di , espressioni del tipo
)()()( tytyty PiHii
)(g)()()( 2211 ttxctxcty iiii
0)()cos()(
0)()(
0)()(
21
2121
per
per
per
tyteAty
tytekekty
tyekekty
Piidt
ii
Pit
it
ii
Pit
it
ii
25
Espressioni delle risposte (2)
● Se il circuito è asintoticamente stabile, per t le componenti yHi(t)tendono a zero (componenti transitorie)
● Per t abbastanza grande, cioè per
(dove in pratica significa 57 volte maggiore) le risposte si identificano con le componenti yPi(t) (componenti di regime) dipendenti solo dagli ingressi
● In particolare
se gli ingressi sono costanti il circuito si porta in regime stazionario
se gli ingressi sono sinusoidali e isofrequenziali il circuito si porta in regime sinusoidale
01
01
,1
max21
se
se
t
t
26
Risposta di un circuito del secondo ordine
Caso sovrasmorzatoIngresso costante
27
Risposta di un circuito del secondo ordine
Caso sovrasmorzatoIngresso costante
28
Risposta di un circuito del secondo ordine
Caso sovrasmorzatoIngresso sinusoidale
29
Risposta di un circuito del secondo ordine
Smorzamento criticoIngresso costante
30
Risposta di un circuito del secondo ordine
Smorzamento criticoIngresso costante
31
Risposta di un circuito del secondo ordine
Smorzamento criticoIngresso sinusoidale
32
Risposta di un circuito del secondo ordine
Caso sottosmorzatoIngresso costante
33
Risposta di un circuito del secondo ordine
Caso sottosmorzatoIngresso sinusoidale
34
Risposta di un circuito passivo (1)
● Un circuito formato da componenti passivi e generatori indipendenti è stabile
● L’equazione caratteristica ha due soluzioni distinte con parte reale non positiva oppure due soluzioni coincidenti negative, quindi:
La somma delle soluzioni è non positiva
Il prodotto delle soluzioni è non negativo
I coefficienti dell’equazione caratteristica soddisfano le condizioni
0)det(
002)tr(
2120
21
A
A
35
Risposta di un circuito passivo (2)
● Le condizioni precedenti possono essere ricavate anche a partire dalle proprietà delle matrici R, G, e H di un due porte passivo
● Nei tre casi di circuito con due induttori, due condensatori o un condensatore e un induttore si ha, rispettivamente
● Se il circuito è passivo, gli elementi sulla diagonale principale delle matrici R, G, e H sono non negativi, quindi
C
h
L
h
C
g
C
g
L
r
L
r
2211
2
22
1
11
2
22
1
11
)tr(
)tr(
)tr(
A
A
A
0)tr( A
36
Risposta di un circuito passivo (3)
● Per un doppio bipolo passivi valgono, inoltre le condizioni
● Queste condizioni implicano che sia
● Quindi si ha anche
● E, di conseguenza,
2
21122211
2
21122211
2
21122211 222
hh
hhgg
ggrr
rr
2
21122211 2
aa
aa
2
21122112
2
211221122211 22
aa
aaaa
aaaa
02
)det(2
2112
aa
A
37
Risposta di un circuito reciproco
● Se il circuito è reciproco si può avere solo se i due componenti dinamici sono un induttore e un condensatore
Dimostrazione:
● Il discriminante dell’equazione caratteristica è
● Per un circuito reciproco con due induttori o due condensatori a12 e a21hanno lo stesso segno il discriminante è positivo
● Per un circuito reciproco con un induttore e un condensatore a12 e a21hanno segno opposto il discriminante può essere positivo, nullo o negativo
21122
2211
211222112
221122
02
)(4
1
)()(4
1)det()(tr
4
1
aaaa
aaaaaa
AA
38
Analisi di circuiti del secondo ordine - Riepilogo (1)
● Si studia il circuito per t t0 e si determinano i valori iniziali
(all’istante t t0) delle variabili di stato
● Si costruisce il circuito resistivo associato per t > t0
● Analizzando il circuito resistivo associato si ricavano
le equazioni di stato
le equazioni di uscita relative alle (eventuali) altre risposte richieste
● Si elimina una delle variabili di stato dalle equazioni di stato
Si ricava un’equazione differenziale del secondo ordine nell’altra variabile
39
Analisi di circuiti del secondo ordine - Riepilogo (2)
● Si ricava la condizione iniziale relativa alla derivata inserendo i valori iniziali delle variabili di stato in una delle equazioni di stato
● Si risolve l’equazione differenziale e si determina l’andamento di una delle variabili di stato
● Si ricava l’altra variabile di stato mediante l’espressione che èstata utilizzata per eliminarla dal sistema
● Si determinano le altre risposte inserendo le espressioni delle variabili di stato nelle equazioni di uscita
(Le variabili coniugate possono essere calcolate anche sostituendo le espressioni delle variabili di stato nelle equazioni dei componenti dinamici)
40
Analisi di circuiti del 2° ordine – Metodo diretto
● Se la componente di regime yPj(t) può essere ricavata direttamente (es. regime stazionario o sinusoidale) è possibile calcolare le risposte con un procedimento semplificato:
Dalle equazioni di stato si ricava l’equazione caratteristica
Risolta l’equazione caratteristica, si ricava yHi(t)
Si determinano le due costanti contenute in yHi(t) imponendo che yi(t) yHi(t) + yPi(t) soddisfi le condizioni iniziali
Se la risposta che si deve valutare non coincide con una variabile di stato, le condizioni iniziali si ottengono sostituendo
i valori iniziali delle variabili di stato nell’equazione di uscita
i valori iniziali delle derivate delle variabili di stato nell’equazione ottenuta derivando membro a membro l’equazione di uscita
0)det()tr(2 AA
41
Circuiti elementari del secondo ordine
Circuito RLC serie Circuito RLC parallelo
42
Circuito RLC serie
● LKI:
● LKV:
● Componenti:
)()()( tititi RLC )()()()( tvtvtvtv GCLR
dt
dvCti C
C )(
dt
dvRCtRitv C
RR )()(
)()(2
2
tvtvdt
dvRC
dt
vdLC GC
CC
2
2
)(dt
vdLC
dt
diLtv CL
L
43
Circuito RLC parallelo
● LKI:
● LKV:
● Componenti:
)()()( tvtvtv RLC )()()()( titititi GCLR
dt
diLtv L
L )(
dt
di
R
L
R
tvti LR
R )(
)(
)()(2
2
titidt
di
R
L
dt
idLC GL
LL
2
2
)(dt
idLC
dt
dvCti LC
C
44
Equazione risolvente
● Le due equazioni possono essere poste nella forma
● Il coefficiente di smorzamento è
per il circuito RLC serie
per il circuito RLC parallelo
● La pulsazione naturale 0 vale
0 è pulsazione di risonanza del bipolo RLC
● Il rapporto è il fattore di merito del bipolo RLC
)f()(2 20
202
2
ttxdt
dx
dt
xd
L
R
2
LC
10
C
G
RC 22
1
2
00Q
f(t) grandezza impressa del generatore
45
Risposte di un circuito RLC (1)
● Per il circuito RLC serie, il discriminante dell’equazione caratteristica si annulla se
RC è detta resistenza critica
● Per il circuito RLC parallelo, il discriminante si annulla se
GC è detta conduttanza critica
● In termini di fattore di merito, dato che e per un circuito passivo non possono essere negativi, per entrambi i circuiti si ha
CRC
LR
LCL
R 2
1
4 2
220
2
CGL
CG
LCC
G 2
1
4 2
220
2
2
1
20
0020
2
Q
46
Risposte di un circuito RLC (2)
● Il circuito RLC serie è
sovrasmorzato per R > RC
criticamente smorzato per R = RC
sottosmorzato per R < RC
● Il circuito RLC parallelo è
sovrasmorzato per G > GC
criticamente smorzato per G = GC
sottosmorzato per G < GC
● In termini di fattore di merito, per entrambi i circuiti si ha
caso sovrasmorzato per Q0 1/2 caso criticamente smorzato per Q0 1/2 caso sottosmorzato per Q0 1/2
47
Circuiti LC (1)
● Come casi limite per R 0 per il circuito RLC serie e per G 0 (R ) per il circuito RLC parallelo si ha
Circuito LC serie Circuito LC parallelo
2
020
00Q
L
R
R
2
020
00Q
C
G
G
48
Circuiti LC (2)
● Le equazioni differenziali (rispettivamente in vC e iL) diventano
● L’equazione caratteristica ha due soluzioni immaginarie coniugate
In questo caso si dice che il circuito è senza perdite
● L’integrale generale dell’equazione omogenea è una funzione sinusoidale di pulsazione
non si annulla per t ma rimane limitata il circuito è semplicemente stabile
● L’espressione della risposta completa è
02120 0 j
)()cos()( 0 txtAtx P
)cos()( 0 tAtxH
)f()( 20
202
2
ttxdt
xd
49
Oscillatore armonico (1)
● Se l’ingresso è nullo, i circuiti LC serie e parallelo si riducono al circuito seguente
● Considerando (per esempio) l’equazione in vC si ottiene
● Quindi si ha anche
La tensione e la corrente sono sinusoidali con pulsazione 0
)cos()()( 0 VMLC tVtvtv
)sen()sen()()( 000 VMVMC
CL tVL
CtCV
dt
dvCtiti
Oscillatorearmonico
50
Oscillatore armonico (2)
● Energia accumulata nel condensatore
● Energia accumulata nell’induttore
wC(t) è massima quando wL(t) si annulla e viceversa
● Energia totale
● L’energia totale è costante e coincide con i valori massimi assunti da wC(t) e da wL(t)
Si ha uno scambio continuo di energia tra il condensatore e l’induttore
)(cos2
1)(
2
1)( 0
222VMCC tCVtCvtw
)(sen2
1)(
2
1)( 0
222VMLL tCVtLitw
2
2
1)()( MLCT CVtwtwW
51
Oscillatore armonico (3)
52
Oscillatore smorzato (1)
● A partire dal valore 0, si incrementa la resistenza del resistore in serie a L e C o la conduttanza del resistore in parallelo a L e C
A causa della dissipazione nel resistore, l’energia accumulata nel circuito diminuisce progressivamente e tende a zero per t
0QR 0QG
53
Oscillatore smorzato (2)
● Inizialmente il circuito è sottosmorzato
l’ampiezza delle oscillazioni decresce come et
la pulsazione diminuisce all’aumentare di
● Aumentando si raggiunge la condizione di smorzamento critico per
in queste condizioni la pulsazione d si annulla
a partire da questo punto nelle risposte dei circuiti non sono piùpresenti i termini oscillanti
● Aumentando ulteriormente il circuito diviene sovrasmorzato
al crescere di una delle soluzioni dell’equazione caratteristica tende a mentre l’altra tende a zero
per t la risposta tende a zero sempre più lentamente
220 d
L
CGG
C
LRR CC 220
54
Luogo delle soluzioni dell’equazione caratteristica
Circonferenza di raggio
55
Oscillatore smorzato (3)
● A parità di 0 la risposta con smorzamento critico è quella che tende a zero più rapidamente per t
● Dimostrazione In condizioni di smorzamento critico ( 0) le risposte del circuito
sono del tipo
caso sottosmorzato
caso sovrasmorzato
tC etcctx 0)()( 21
0)cos()( 000 contAetx t
0)cos(
lim)(
)(lim )(
0
21 0
t
t
C
te
tA
tcc
tx
tx
0
0)(
02
0120121
21 contt ekektx
0lim)(
)(lim )(
2)(
1
21
2010
ttt
C
t ekek
tcc
tx
tx
56
Oscillatore smorzato (4)
57
Oscillatore armonico forzato (1)
● Si considera un circuito LC serie con un generatore di tensione sinusoidale
● Se , l’equazione in vC
ammette una soluzione particolaresinusoidale con pulsazione
● La soluzione particolare può essere determinata direttamente mediante il metodo simbolico
)cos()( tVtV GMG
)cos()( 20
202
2
tVtvdt
vdGMC
C
220
20
211
1
GGGCP LCLj
Cj
Cj VVVV
58
Oscillatore armonico forzato (2)
● Soluzione particolare
● Integrale generale dell’equazione completa
● Per la corrente dell’induttore si ha
● Le risposte del circuito sono combinazioni di due funzioni sinusoidali con pulsazioni diverse
In generale le risposte sono aperiodiche
)cos()(22
0
20
t
Vtv GM
CP
)cos()cos()(22
0
20
0
t
VtAtv GM
C
)sen()sen()(22
0
20
00
t
VCtCA
dt
dvCti GMC
L
59
Oscillatore armonico forzato (3)
60
Oscillatore armonico forzato (4)
● Se l’impedenza della serie L-C si annulla
● Nell’analisi con il metodo simbolico si ottiene un circuito assurdo (generatore di tensione in parallelo con un cortocircuito)
● L’equazione differenziale non ammette una soluzione particolare sinusoidale di pulsazione
● Si può verificare che in questo caso l’equazione ammette una soluzione particolare del tipo
● Infatti, dato che
sostituendo vCP(t) nell’equazione differenziale si ottiene
)sen()( 0 tVttvCP
)sen()cos(2 020002
2
tVttVdt
vd CP
2)cos()cos(2
0
02000
GM
GM
VVtVtV
61
Oscillatore armonico forzato (4)
● L’integrale generale è quindi
● Se si considera il caso particolare
si ottiene
)sen(2
)cos()( 00
0
ttV
tAtv GMC
V/s0A0)0(
V0)0(
0
0
dt
dvi
v
CL
C ( Risposta nello stato zero)
)cos(2
)sen(2
)(
)sen(2
)(
0
20
00
00
ttCV
tCV
dt
dvCti
ttV
tv
GMGMCL
GMC
( fase di vG(t) uguale a zero)
62
Oscillatore armonico forzato (5)