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Uma bola rola sobre o telhado de uma casa at cair pela beirada com velocidade v0. Sendo a altura do ponto de onde a bola cai iguala H e o ngulo de inclinao do telhado, com a vertical, igual a , calcule:a) O tempo necessrio para a bola atingir o cho;b) A distncia horizontal, a partir da casa, onde a bola atinge o cho;c) A equao da trajetria do movimento;d) A velocidade com que a bola atinge o cho.

Dados do problema

velocidade inicial da bola: v 0; altura da borda do telhado: H,; ngulo de inclinao do telhado: .

Esquema do problema

Adota-se um sistema de referncia no ponto de onde a bola cai do telhado com o eixo Ox apontando para a direita e Oy para cima, a acelerao da gravidade est apontada para baixo e o ponto de onde a bola cai do telhado est em (x0, y0) = (0, 0), conforme a figura 1.

figura 1

O movimento pode ser decomposto ao longo dos eixos x e y. A velocidade inicial v0, com que a bola rola do telhado tem componentes nas direes x e y

v 0 x=v 0 sen (I)v0 y=v0 cos (II)

onde a componente em x proporcional ao seno e em y ao co-seno, ao contrrio do que se faz usualmente, isso porque o ngulo foi medido em relao ao eixo-y.

Da decomposio do movimento vemos que na direo x no h acelerao agindo sobre a bola, ento ela est em Movimento Uniforme (M.U.) e seu movimento regido pela equao

S x=S0xv x t

como no movimento uniforme v x=v 0x constante podemos substituir vx pelo valor de (I) e S0x=0

Sx=0v0 sen t

1

figura 2

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Sx=v 0 sen t (III)

Na direo y a bola est sob a ao da acelerao da gravidade, portanto est em queda livre que regido pelas equaes

Sy=S0yv0 ytgt 2

2v y=v0yg t

substituindo v0y pelo valor dado em (II) e S0y=0

Sy=0v0 cos tgt 2

2

Sy=v0cos tgt 2

2 (IV)

v y=v 0 cosg t (V)

com g constante (os sinais de negativo indicam que a acelerao da gravidade e a velocidade na direo y esto contra a orientao do referencial).

Assim pela figura 3 vemos que no movimento ao longo da direo x temos que para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaos iguais (x1 = x2 = x3 = x4) Na direo y temos que no instante que a bola cai da beirada do telhado a velocidade vy comea a aumentar, assim para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaos cada vez maiores (y1 < y2 < y3 < y4)

Soluo

a) O intervalo de tempo para a bola atingir o cho ser obtido da expresso (IV) com a condio de que no cho a altura a mesma do telhado Sy=H ento temos que

H=v0 cos tgt 2

2

g t2

2v0 cos tH=0

esta uma Equao do 2. Grau onde a incgnita o valor de t desejado

=b24 a c = v0 cos24 g

2H = v 0

2 cos2 2 g H

t=b 2 a

=v 0 cos v 02 cos22 g H

2 g2=v0 cos v02cos22 g H

g

onde a razes sero

t 1=v 0 cos v 02 cos22 g H

ge t2=

v 0cos v 02cos22 g Hg

desprezando a segunda raiz que tem valor negativo (t 2 < 0) o tempo para a bola atingir o cho ser

t=v 0 cos v 02 cos22 g H

g

2

figura 3

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b) O intervalo de tempo calculado acima, para a bola cair at o cho, tambm o tempo que ela levar para ir da origem at o ponto D ao longo do eixo x, ento substituindo a resposta do item anterior na expresso (III), obtemos

D=v 0sen v0 cos v02 cos2 2 g Hg D=

v 02cossenv0 sen v 02cos2 2 g H

g

D=v0

2cos sen v 02cos2v02 sen2 2 g Hg

D=v0

2cos sen v 04 cos2 sen2 2 g Hg

(VI)

Lembrando da propriedade da trigonometria que nos d o seno da soma de arcos, temos que sen ab =sena cosbsenb cosa e sendo a = b = podemos escrever

sen =sen cossen cossen 2=2sen cos

cos sen=sen22

(VII)

elevando a expresso (VII) ao quadrado de ambos os lados da igualdade, obtemos

cos sen2= sen22 2

cos2 sen2 =sen2 24

(VIII)

substituindo as expresses (VII) e (VIII) em (VI), temos

D=v 0

2 sen22

v04 sen2 24 2 g Hg

D=

v02 sen2

2 v04 sen2 28 g H4

g

D=

v02 sen2

21

2 v 04 sen228 g H

g

D=v 0

2 sen2 v 04 sen2 28 g H2 g

c) Para obter a equao da trajetria indicada na figura 1 temos que ter y com funo de x, ou y=f x , usando as equaes (III) e (IV) para os movimentos em x e y, temos o sistema

Sx = v0 sen tSy =v0 cos tg t22isolando o tempo na primeira equao temos

t =S x

v 0 sen

3

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substituindo este valor na segunda equao obtemos

Sy =v 0cos Sx

v0 seng

2 Sxv 0 sen2

Sy =cossen

S xg

2 v02 sen2

Sx2

da trigonometria temos que tg = sencos 1

tg = cos

sen , ento

Sy =1

tgSx

g2 v 0

2 sen2Sx

2

Fazendo a associao mostrada abaixo com uma Equao do 2. grau do tipo y=a x 2b xc

Sy =g

2 v02 sen2

Sx2 1

tgSx0

y = a x2 b x c

vemos que obtivemos uma funo do tipo ( )xy SfS = com o coeficiente a < 0 o que indica que a nossa trajetria uma parbola de boca para baixo.

d) Quando a bola atinge o cho sua velocidade tem componentes nas direes x e y (figura 4). A velocidade na direo x dada pela expresso (I) e a velocidade na direo y obtida da expresso (V) onde se substitui o tempo pelo valor encontrado no item (a)

v y=v 0 cosg v0 cos v02 cos2 2 g Hg v y=v 0 cos v 0cos v 02 cos2 2 g H

v y= v 02 cos22 g HA velocidade da bola ser dada pela soma vetorial

v = v x v y

O mdulo pode ser obtido aplicando-se o Teorema de Pitgoras

v 2= v x2v y

2

v 2= v 0 sen2v 02cos2 2 g H

2

v 2 = v 02 sen2 v 0

2cos2 2 g H

colocando v 02 em evidncia do lado direito da igualdade

v2 = v02 sen2 cos2

1

2 g H

lembrando da trigonometria que sen2 cos2=1 , temos finalmente

v = v 022 g H

4

figura 4