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Uma bola rola sobre o telhado de uma casa at cair pela beirada com velocidade v0. Sendo a altura do ponto de onde a bola cai iguala H e o ngulo de inclinao do telhado, com a vertical, igual a , calcule:a) O tempo necessrio para a bola atingir o cho;b) A distncia horizontal, a partir da casa, onde a bola atinge o cho;c) A equao da trajetria do movimento;d) A velocidade com que a bola atinge o cho.
Dados do problema
velocidade inicial da bola: v 0; altura da borda do telhado: H,; ngulo de inclinao do telhado: .
Esquema do problema
Adota-se um sistema de referncia no ponto de onde a bola cai do telhado com o eixo Ox apontando para a direita e Oy para baixo, a acelerao da gravidade est apontada para baixo e o ponto de onde a bola cai do telhado est em (x0, y0) = (0, 0), conforme a figura 1.
figura 1
O movimento pode ser decomposto ao longo dos eixos x e y. A velocidade inicial v0, com que a bola rola do telhado tem componentes nas direes x e y
v 0 x=v 0 sen (I)v 0 y=v 0 cos (II)
onde a componente em x proporcional ao seno e em y ao co-seno, ao contrrio do que se faz usualmente, isso porque o ngulo foi medido em relao ao eixo-y.
Da decomposio do movimento vemos que na direo x no h acelerao agindo sobre a bola, ento ela est em Movimento Uniforme (M.U.) e seu movimento regido pela equao
S x=S0xv x t
como no movimento uniforme v x=v 0x constante podemos substituir vx pelo valor de (I) e S0x=0
Sx=0v0 sen t
1
figura 2
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Sx=v 0 sen t (III)
Na direo y a bola est sob a ao da acelerao da gravidade, portanto est em queda livre que regido pelas equaes
Sy=S0yv0 ytgt 2
2v y=v0yg t
substituindo v0y pelo valor dado em (II) e S0y=0
Sy=0v0 cos tgt 2
2
Sy=v0 cos tgt 2
2 (IV)
v y=v 0 cosg t (V)
com g constante (a acelerao da gravidade positiva pois est na mesma direo que a orientao do referencial).
Assim pela figura 3 vemos que no movimento ao longo da direo x temos que para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaos iguais (x1 = x2 = x3 = x4) Na direo y temos que no instante que a bola cai da beirada do telhado a velocidade vy comea a aumentar, assim para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaos cada vez maiores (y1 < y2 < y3 < y4)
Soluo
a) O intervalo de tempo para a bola atingir o cho ser obtido da expresso (IV) com a condio de que no cho a altura a mesma da beirada do telhado Sy=H ento temos que
H=v 0 cos tgt 2
2
g t2
2v 0 cos tH=0
esta uma Equao do 2. Grau onde a incgnita o valor de t desejado
=b24 a c = v0 cos24 g
2H = v 0
2 cos2 2 g H
t=b 2 a
=v 0 cos v 02 cos22 g H
2 g2=v0 cos v02cos22 g H
g
onde a razes sero
t 1=v 0 cos v 02 cos22 g H
ge t2=
v 0cos v 02cos22 g Hg
desprezando a segunda raiz que tem valor negativo (t 2 < 0) o tempo para a bola atingir o cho ser
t=v 0 cos v 02 cos22 g H
g
2
figura 3
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b) O intervalo de tempo calculado acima, para a bola cair at o cho, tambm o tempo que ela levar para ir da origem at o ponto D ao longo do eixo x, ento substituindo a resposta do item anterior na expresso (III), obtemos
D=v 0sen v0 cos v02 cos2 2 g Hg D=
v 02cossenv0 sen v 02cos2 2 g H
g
D=v0
2cos sen v 02cos2v02 sen2 2 g Hg
D=v0
2cos sen v 04 cos2 sen2 2 g Hg
(VI)
Lembrando da propriedade da trigonometria que nos d o seno da soma de arcos, temos que sen ab =sena cosbsenb cosa e sendo a = b = podemos escrever
sen =sen cossen cossen 2=2sen cos
cos sen=sen22
(VII)
elevando a expresso (VII) ao quadrado de ambos os lados da igualdade, obtemos
cos sen2= sen22 2
cos2 sen2 =sen2 24
(VIII)
substituindo as expresses (VII) e (VIII) em (VI), temos
D=v 0
2 sen22
v04 sen2 24 2 g Hg
D=
v02 sen2
2 v04 sen2 28 g H4
g
D=
v02 sen2
21
2 v 04 sen228 g H
g
D=v 0
2 sen2 v 04 sen2 28 g H2 g
c) Para obter a equao da trajetria indicada na figura 1 temos que ter y com funo de x, ou y=f x , usando as equaes (III) e (IV) para os movimentos em x e y, temos o sistema
Sx = v0 sen tSy = v 0 cos tg t22isolando o tempo na primeira equao temos
t =S x
v 0 sen
3
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substituindo este valor na segunda equao obtemos
Sy = v0 cosSx
v0 sen g
2 Sxv0 sen2
Sy =cossen
Sxg
2 v 02 sen2
Sx2
da trigonometria temos que tg = sencos 1
tg = cos
sen , ento
Sy =1
tgSx
g2 v 0
2 sen2 Sx
2
Fazendo a associao mostrada abaixo com uma Equao do 2. grau do tipo y=a x 2b xc
Sy =g
2 v02 sen2
Sx2 1
tgSx0
y = a x2 b x c
vemos que obtivemos uma funo do tipo ( )xy SfS = com o coeficiente a > 0 o que indica que a nossa trajetria uma parbola de boca apontando no mesmo sentido do eixo y positivo (neste caso para baixo ao contrrio do que usualmente acontece).
d) Quando a bola atinge o cho sua velocidade tem componentes nas direes x e y (figura 4). A velocidade na direo x dada pela expresso (I) e a velocidade na direo y obtida da expresso (V) onde se substitui o tempo pelo valor encontrado no item (a)
v y=v0 cosg v0 cos v02 cos22 g Hg v y=v0 cosv 0 cos v02 cos2 2 g H
v y= v02 cos2 2 g HA velocidade da bola ser dada pela soma vetorial
v = v x v y
O mdulo pode ser obtido aplicando-se o Teorema de Pitgoras
v2 = v x2v y
2
v2 = v0 sen2v02 cos2 2 g H
2
v 2= v 02 sen2 v0
2 cos2 2 g H
colocando v 02 em evidncia do lado direito da igualdade
v2 = v02 sen2 cos2
1
2 g H
lembrando da trigonometria que sen2 cos2=1 , temos finalmente
4
figura 4
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v = v 022 g H
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