cinématique du solide
TRANSCRIPT
Lionel GRILLET Lycée B FRANKLIN
Cinématique du Cinématique du solidesolide
Cinématique du Cinématique du solidesolide
Terminale SiTerminale Si
Sur Mini-Compresseur
Mini-CompresseurAnalyse du système
Entrée :
Mouvement de rotation
(Moteur électrique)
Entrée :
Air (BP)
Sortie :
Air (HP)
Pivot 0( )Bx
Pivot 0( )Ax
0( )Az
Pivot glissan
t
Pivot glissan
t 0( )Cx
Mini-CompresseurModélisation
Piston
Bielle
Bâti
Arbre Entrée
0x A
0z
0x B
C
0x
Mini-CompresseurSchéma cinématique
Système plan
AB
C
Plan d’étude
A
B
C
bâti
Entrée
Bielle
Piston
Schéma cinématiqu
e
Repère(s) de référence
Le mouvement d’un point se définit par rapport à un repère de référence
Cinématique du solide
Chaque groupe cinématique peut être choisi comme
référence
Définir un Repère par groupe cinématique
Cinématique du point
Repère lié au solide
Mini-compresseurDéfinition des Repères
Repères liés aux solides :
Bâti 0 0 0 0( , , , )R A x y z
Entrée 1 0 1 1( , , , )R A x y z
Bielle 2 0 2 2( , , , )R B x y z
Piston 3 0 0 0( , , , )R C x y z
0y
A
B
C
0y
0z
1y
1z
1y2y
2z
2z
Mini-compresseur Relativité du mouvement
Trajectoire de C appartenant au piston par rapport au bâti
Trajectoire de C appartenant au piston par rapport à l’arbre d’entrée
RepèresNotations et Utilisation
1y
1z
1y
0y
2y
2z
2z
A
B
C
0y
0z
Définir un mouvement c’est donner obligatoirement
Pour la trajectoire, la vitesse et l’accélération
le Solide dont on considère le mouvement
le Solide de référence
Un point
Notation (exemple)
( 1/ 0) ou (1/ 0)BV B V
Vitesse du point B appartenant au solide 1 (bielle) dans son mouvement par rapport au solide 0 (bâti)
Remarque (autre exemple)
( / 0) 1CV
Mini-CompresseurMouvement du Piston / Bâti
Trajectoire d’un point du piston par rapport au bâti
Vitesse d’un point є Piston/bâti
Constatation
Toutes les trajectoires sont des droites parallèles.
Tous les points ont le même vecteur vitesse à chaque instant.
Le mouvement du piston par rapport au bâti est un mouvement de :
Translation Rectiligne
Mouvement de translation
(Rappel de 1ère)Caractéristiques
Les trajectoires sont des courbes identiques
Cas particuliers Translation
Rectiligne :
Translation Circulaire :
Trajectoires = droites
Trajectoires = cercles de même rayon
A chaque instant :
Les vecteurs vitesses sont identiques en tous points de (S)
Les vecteurs accélérations sont identiques en tous points de (S)
et , ( / 0) ( / 0)P Qt P Q S V S V S
et , ( / 0) ( / 0)P Qt P Q S S S
Mini-CompresseurMouvement de l’arbre d’entrée/bâti
Trajectoire d’un point de l’arbre d’entrée par rapport au bâti
Vitesse d’un point є arbre d’entrée/bâti
Constatation
Toutes les trajectoires sont des cercles de même centre (concentriques)Plus on s’éloigne du centre, plus la vitesse augmente
Le mouvement de l’arbre d’entrée par rapport au bâti est un mouvement de :
Rotation
Mouvement de Rotation
Autour d’un axe fixe(Rappel de 1ère)
Caractéristiques
Les trajectoires sont des cercles concentriques
Champ des vitesses
Les vecteurs vitesses sont perpendiculaires au rayon
La norme des vecteurs vitesses est proportionnelle à la distance à l’axe de rotation.
1 1 / 0( / 0) SV P S r
r1
r2
P2P1
ωS/0
2 2 / 0( / 0) SV P S r
ωS/0 = vitesse angulaire de S/0
Composition des mouvements
Berge (0)
Berge (0)
Rivière (1)
Bateau (2)
Exemple : une rivière, un bateau…
P
.
Ecoulement de la rivière
Mvt du bateau / rivière
( 1/ 0)V P
( 2 /1)V P
Mouvement du bateau / berge
( 1/( 02 /2 / 0) ) )1(V P V P V P
Composition des vitesses
L’idée !!! S1
S2 S0
L2 L1Utiliser les liaisons connues
pour la décomposition
Composition des mouvements sur
Mini-CompresseurOn cherche
ˆ( / ) ( 2 / 0)V B bielle bati V B
Décomposition des mouvements
Pivot 0( )Bx
Pivot 0( )Ax
0( )Az
Pivot glissan
t
Pivot glissan
t 0( )Cx
Piston (3)
Bielle (2)
Bâti (0)
Arbre Entrée
(1)
1ère décomposition :
( 2 / 0) ( 2 /1) ( 1/ 0)V B V B V B
2ème décomposition :
( 2 / 0) ( 2 / 3) ( 3 / 0)V B V B V B
Or ( 2 /1) 0V B
( 2 / 0) ( 1/ 0)V B V B
Donc
( 2 / 0)V B AB
( 2 / 3)V B CB
( 3 / 0) //V B AC
AB
C
EquiprojectivitéDéfinition et utilisation
(S)
( / 0)V A S Direction de la vitesse en B
A B
( / 0)V A S AB CCCCCCCCCCCCCC
( / 0)V B S
( / 0)V B S AB CCCCCCCCCCCCCC
S solide en mouvement / bâti (0)
A et B deux points quelconques du solide S
( / 0) ( / 0)V A S AB V B S AB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
Relation d’équi-projectivité « traduction »
La projection de la vitesse en A sur (AB) est égale à la projection de la vitesse en B sur (AB)
même projection
La décomposition des vitesses nous donne
Equiprojectivité sur Mini-Compresseur
( 1/ 0) ( 2 / 0)V B V B
( 3 / 0) ( 2 / 0)V C V C
On connaît ( 1/ 0)V B
On cherche
( 3 / 0)V C
Et on sait que
( 3 / 0) //( )V C AC
( 2 / 0) ( 2 / 0)V B BC V C BC CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
On utilise l’équiprojectivité sur le solide 2
Rappel de Mathématiques
Equiprojectivitédémonstration
Rappel de 1ère
0
( 1/ 0)R
dOAV A
dt
CCCCCCCCCCCCCC
Idée de base : les solides sont indéformablesSi A et B sont deux points du même solide, alors la distance AB reste constante au cours du mouvement
2AB AB AB cte CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
On dérive par rapport au temps « t »
0d
AB ABdt
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC .u v u v v u
Si on prend v = u
2 2u u u Relation de Chasles AB AO OB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
0d d
AB OB AB OAdt dt
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
( 1/ 0) ( 1/ 0)V A AB V B AB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
C.I.R sur
Mini-Compresseur
Constatation
A chaque instant « t »
Les perpendiculaires aux directions des vitesses des points de la bielle sont concourantes en I(t)
A l’instant t
Mvt 2/0 = Rotation de centre I(t)
On s’intéresse au mouvement de la bielle 2 / au bâti 0
( / 0)V A S (S)
AB
Direction de la vitesse en B
Centre Instantané de Rotation (C.I.R)
définition et utilisationLe mouvement d’un solide est assimilable à chaque instant t à une rotation de centre I(t).
I(t) : Centre Instantané de Rotation
Utilisation 1 – On trouve la position du
CIR
2 - On est revenu à une rotation
I(t)
A’
( / 0)V A S ( / 0)V B S
( )A IBIA IA