cinemática del sólido rígido iii - bienvenido al...
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Dpto. Física y Mecánica
Cinemática del sólido rígido IIIsólido rígido III
Movimiento plano paralelo
Elvira Martínez Ramírez
Definición y generalidades
Base y ruleta
Ecuación de la base y la ruleta
Distribución de las aceleraciones en el movimiento plano-paralelo.
Ecuación de la base y la ruleta
Velocidad de sucesión del centro instantáneo de rotación
Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo
Circunferencia de las inversiones y de las inflexiones
OCW-UPM
Distribución de aceleraciones en el movimiento plano-paralelo
Un sistema tiene movimiento plano-paralelo si existe un planode puntos del sistema que se mantiene constantementecoincidente consigo mismo a lo largo de la evolución delmovimiento en el tiempo
Movimiento plano-paralelo
OCW-UPM
Todos los puntos del sistema que pertenecen a ese plano,tienen velocidades cuyos vectores están contenidos en elmismo.
Movimiento plano-paralelo
Si existiera un punto P de dicho plano cuya velocidad noestuviera contenida en el plano, admitiría unadescomposición en una componente sobre el plano y otra enla dirección perpendicular; esta componente haría que elpunto P abandonara el plano, lo cual está en contra delhipótesis
OCW-UPM
Las trayectorias de todos los puntos contenidos en elplano son curvas planas contenidas en el mismo
El eje instantáneo de rotación y deslizamiento es
Movimiento plano-paralelo
El eje instantáneo de rotación y deslizamiento esperpendicular en todo momento al plano
En un movimiento plano-paralelo el eje instantáneode rotación y deslizamiento es perpendicular en todomomento al plano Π
OCW-UPM
Las velocidades de los puntos A y P, y el vector quelos une, están contenidas en el plano.
Movimiento plano-paralelo
Π
A
P
rr
vr
Pvr
De la ecuación, se deduce quetambién lo está. Como el producto vectorial essimultáneamente perpendicular a los dos vectores,necesariamente es perpendicular al plano Π.
P Av v rω= + ∧rr r r
rω ∧r r
ωr
OCW-UPM
Avr
Si dos puntos A y B están enlos planos paralelos Π y Π´ ,
Las velocidades de puntos pertenecientes a rectasperpendiculares al plano Π son idénticas.
Movimiento plano-paralelo
los planos paralelos Π y Π´ ,la velocidad de ambos puntoses la misma ya que
Y los vectores yson colineales
B Av v ABω= + ∧uuurrr r
ωr
ABuuur
OCW-UPM
Basta con estudiar el movimiento de uno de los planos del
haz de planos paralelos, plano director, ya que el
movimiento se reproduce de igual forma para todos
los puntos del haz
OCW-UPM
Base y ruleta
La intersección del plano director con los axoides fijoy móvil determina curvas polares: polar fija o base ypolar móvil o ruleta.
En cada plano del movimiento, la ruleta rueda convelocidad angular ω sobre la base, siendo el punto decontacto entre ambas en cada instante el polo develocidades o centro instantáneo de rotación ydeslizamiento.
OCW-UPM
Base y ruleta
La velocidad de cualquier punto material es ortogonala la velocidad instantánea de rotación, por lo que elsegundo invariante cinemático se anula por tratarsede vectores perpendiculares.de vectores perpendiculares.
La velocidad de mínimo deslizamiento se anula.
El movimiento plano-paralelo es una rotación puraalrededor del eje instantáneo de rotación siempreque la rotación no sea nula
OCW-UPM
El movimiento se puede materializar en unarodadura sin deslizamiento (porque la velocidad demínimo deslizamiento es nula) del axoide móvilsobre el fijo, siendo en cada instante la generatrizcomún de tangencia entre ambos axoides el eje
Base y ruleta
común de tangencia entre ambos axoides el ejeinstantáneo de rotación
La intersección de ambos axoides con el planodirector determina las denominadas curvas polares:fija o base y móvil o ruleta
OCW-UPM
Ambas son tangentes en el punto P, que es laintersección del eje instantáneo de rotación con elplano director, denominado centro instantáneo derotación o centro de velocidades.
Base y ruleta
El movimiento puede materializarse en el planodirector como la rotación sin deslizamiento de lapolar móvil o ruleta (solidaria con el sistemamaterial) sobre la polar fija o base
OCW-UPM
Ecuación de la Base y ruleta
Tomamos dos sistemas de referencia con el mismo origen. Enel sistema de referencia móvil (O, X, Y) hacemos coincidir la eleje OX con la recta R, y en el fijo (O1, X1, Y1) el eje O1X1 conla recta R1.
Y1
Y
OCW-UPM
θ X1
X
1ir
ir
1j
j
Ecuación de la Base y ruleta
1 1
1 1
cos sen
sen cos
i iiA
j jj
θ θθ θ
= = −
r rr
r rr
θθ sencos
OCW-UPM
−=
θθθθ
cossen
sencosA
11
1
cos sen
sen cos
i i iA
j j j
θ θθ θ
− − = =
r r r
r r r1 cos seni i jθ θ= −r r r
1 sen cosj s i jθ θ= +r r r
Ecuación de la Base y ruleta
1 1
1 1
cos sen
sen cos
x xxA
y yy
θ θθ θ
= = −
1 cos senx xθ θ− =
OCW-UPM
1
1 sen cosy yθ θ=
−+
=
y
x
y
x
y
x
θθθθ
cossen
sencos
0
0
1
1
Ecuación de la Base y ruleta
El lugar geométrico descrito por el CIR se calcula imponiendola condición de que se anule su velocidad, por tantoderivando respecto al tiempo e igualando a cero se tiene
01 sen cosdxdx d d d d x
d dt d dt dt dt
θ θ θ θθ θθ θ
− −
OCW-UPM
1 0 cos sen
d dt d dt dt dt
dy dy d dd dy
dt dtd dt d dt
θ θ
θ θθ θ θ θθ θ
= + −
01
1 0
sen cos
cos sen
dxdxxd d
d d d
dt dt dtdy dy y
d d
θ θθ θθ θ θ
θ θθ θ
= −
−
01 0 ( sen cos )dxdx
x yd d
θ θθ θ
= = − + +
01 0 ( cos sen )dydy
x yd d
θ θθ θ
= = − − + +
0
0
sen cos
cos sen
dxx d
y dy
d
θ θ θ
θ θθ
=
−
0
0
sen cos
cos sen
dxx d
y dy
d
θ θ θ
θ θθ
− =
Polar móvil
sen cos
cos sen
O O
O O
dx dyx
d ddx dy
yd d
θ θθ θ
θ θθ θ
= − = +
Polar fija
cos senyd d
θ θθ θ
= +
0 0
01
0 01 0
sen coscos sen
sen coscos sen
dx dyxx d d
dx dyy y
d d
θ θθ θ θ θ
θ θ θ θθ θ
− − = +
+
2 20 0 0 0
01
2 20 0 0 01 0
sen cos sen sen cos sen
sen sen cos cos sen cos
dx dx dx dyxx d d d d
dx dy dx dyy y
d d d d
θ θ θ θ θ θθ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ θ θ
− − − = +
− + +
0dyxx dθ
− 01
01 0
xx d
dxy y
d
θ
θ
− = +
1
1
OO
OO
dyx x
ddx
y yd
θ
θ
= − = +
Velocidad de sucesión del centro instantáneo de rotación
A lo largo del transcurso del tiempo, la posición delcentro instantáneo de rotación y deslizamiento se irátrasladando sobre la polar fija.
A la velocidad en un instante dado en estemovimiento se denomina velocidad de cambio depolo, la cual no tiene nada que ver con la velocidadque tiene un punto P perteneciente al sistemaindeformable, que en todo instante es nula.
OCW-UPM
Velocidad de sucesión del centro instantáneo de rotación
En un instante determinado, las polares (base y ruleta) sontangentes en un punto I.
Ruleta
I
El centro instantáneo derotación ocupa las posicionesI e I´en los instantes t y t+∆t
Se denomina velocidad de sucesión del CIR al límite
Base
II e I´en los instantes t y t+∆trespectivamente
0
´lims
t
I Iv
t∆ →=
∆OCW-UPM
La velocidad de sucesión viene representada por unvector tangente a la base en el CIR
Corresponde a la velocidad de un punto ficticio cuyatrayectoria fuese la base y cuya posición coincidiese
Velocidad de sucesión del centro instantáneo de rotación
trayectoria fuese la base y cuya posición coincidieseen cada instante con la del centro instantáneo derotación.
La velocidad de sucesión se puede determinar enfunción de la velocidad de rotación del sólido y delas curvaturas de la base y de la ruleta en el CIR.
OCW-UPM
La ruleta rueda sobre la base sindeslizamiento, los elementos dearco sobre ambas curvas soniguales, el arco II´B tiene la mismalongitud que el arco II´R, por tantose puede expresar
Ruleta
I´R
CR C’R
ρρρρR dφR dθ
Velocidad de sucesión del centro instantáneo de rotación
se puede expresar
´
´B B B
R R R
ds arc II d
ds arc II d
ρ φρ φ
= == =
B Rs B R
d ddsv
dt dt dt
φ φρ ρ= = =
ω´ Base
I´R
I´B
CB
ρρρρB dφB
vs
OCW-UPM
B Rd d dθ φ φ= +
Velocidad de sucesión del centro instantáneo de rotación
s sB R
B R
v vd dd
dt dt dt
φ φθωρ ρ
= = + = +
OCW-UPM
Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo
El movimiento se puede considerar como una rotación pura,sin deslizamiento a lo largo del eje de rotación.
Si se tomar el punto de referencia O sobre dicho eje, noSi se tomar el punto de referencia O sobre dicho eje, notiene ni velocidad ni aceleración, lo cual simplificaconsiderablemente el problema.
Cualquier punto P realiza una trayectoria circular con centroen un punto de dicho eje.
OCW-UPM
αr
El cálculo de la velocidad y aceleración del punto P del sólido se reduce a calcular la velocidad y aceleración de un punto que realiza un movimiento circular,
Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo
ωr
α
O
P
vr
tar
nar
Eje fijo
ω
θ
θ0
OCW-UPM
Velocidad de un punto M de un sistema material indeformablecon movimiento plano paralelo
Aceleración de un punto M de un sistema material
Distribución de las aceleraciones en el movimiento plano-paralelo.
rvM
rrr ∧= ωAceleración de un punto M de un sistema materialindeformable con movimiento plano paralelo:
Se usarán coordenadas polares, siendo el polo el centroinstantáneo de velocidades I, y el eje origen de ángulos larecta tangente común a la base y ruleta.
dt
rdr
dt
daM
rrr
rr ∧+∧= ωω
OCW-UPM
M
O Ruleta
rr
rr2ω−
rrr
∧α
svrr
∧− ω
OIOMr −=r
Distribución de las aceleraciones en el movimiento plano-paralelo.
I
Base
ωr sM vvdt
OId
dt
OMd
dt
rd rrr
−=−=
( )2
M M s s
s
a r v v r r v
r r v
α ω ω α ω ω ω
α ω ω
= ∧ + ∧ − ∧ = ∧ + ∧ ∧ − ∧ =
= ∧ − − ∧
r r r r r r rr r r r r r r
r r rr r r
OCW-UPM
2
M sa r r vα ω ω= ∧ − − ∧r r rr r r r
El primer término, es tangente a la trayectoria del punto enM, y representa la aceleración tangencial del punto M en surotación alrededor de I.
Distribución de las aceleraciones en el movimiento plano-paralelo.
El segundo término es normal a la trayectoria en M, estadirigido hacia I, y representa la aceleración normal de M ensu movimiento alrededor de I.
El tercer término, es constante en todos los puntos, porqueno depende de r; representa la aceleración del centroinstantáneo de rotación I, ya que en ese punto se anulan losotros términos.
OCW-UPM
También se puede expresar en función de las componentesintrínsecas
ϕωα cosst vra −=
Distribución de las aceleraciones en el movimiento plano-paralelo.
Se puede encontrar algún punto en el que la aceleración seanula,
ϕωω senvra sn +−= 2
ϕωα cossvr =
ϕωω senvr s=2
OCW-UPM
Circunferencia de las inflexiones y de las inversiones
Se define la circunferencia de las inversiones como el lugargeométrico perteneciente al sistema indeformable y al planodirector tales que poseen aceleración tangencial nula.
ϕωα cosvr =
Se define la circunferencia de las inflexiones como el lugargeométrico de los puntos pertenecientes al sistemaindeformable y al plano director tales que poseen aceleraciónnormal nula.
ϕωα cossvr =
ϕωω senvr s=2
OCW-UPM
circunferencia de las inversiones : aceleración tangencial nula.
ϕωα cossvr =
ϕα
ωcos
· svr =
Ecuación que en el sistema de coordenadas polares elegido
Circunferencia de las inversiones
Ecuación que en el sistema de coordenadas polares elegidorepresenta una circunferencia de diámetro
El centro está en la dirección de la tangente común base-ruleta y que pasa por el punto I.
En los puntos de la circunferencia el vector aceleración esortogonal al vector velocidad
αω sv·
OCW-UPM
rr
A
Ruleta
Avr
Aar
ϕ
Circunferencia de las inversiones
I sv
r
Base
αω sv·
ϕ
OCW-UPM
circunferencia de las inflexiones : aceleración normal nula.
es la ecuación que representa la ecuación en polares de una
ϕωω senvr s+−= 20
ϕω
senv
r s=
Circunferencia de las inflexiones
es la ecuación que representa la ecuación en polares de unacircunferencia de diámetro
El centro está en la dirección normal a la tangencia entre basey ruleta y que pasa por el punto I.
En los puntos de esta circunferencia la velocidad y laaceleración son colineales.
ωsv
OCW-UPM
En la intersección de las dos circunferencias se anula laaceleración, es el centro instantáneo de aceleraciones.
Circunferencia de las inflexiones
A
I svr
rr
Base
Ruleta
ωsv
Avr
Aar
ϕ
OCW-UPM