95

3. CINEMATICA

3.1 CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

3.1.1 NOŢIUNI FUNDAMENTALE

a) Traiectoria – este locul geometric al poziţiilor succesive ocupate de

punctul material în mişcare. Există 2 tipuri de probleme referitoare la traiectorie:

1. Se cunoaşte poziţia punctului material prin ecuaţiile parametrice ale mişcării:

În acest caz, traiectoria se obţine eliminând parametrul t din ecuaţiile parametrice ale

mişcării, rezultând ecuaţiile:

2. Se cunoaşte traiectoria (o curbă continuă şi rectificabilă) şi se cere

determinarea poziţiei punctului material. La momentul t, poziţia punctului material pe

curbă poate fi precizată prin legea orară a mişcării:

b) Viteza liniară. Se consideră un punct material aflat, la momentul t, în

pe o traiectorie curbilinie (fig. 3.1). După intervalul de timp , foarte mic,

punctul material se află în . Poziţiile celor 2 puncte faţă de un punct oarecare ,

sunt date de vectorii de poziţie , respectiv .

)(1 tM

)(2 ttM

)( ttr

)(tr

v

r

O

Fig. 3.1

96

Viteza medie cu care se deplasează punctul material pe arcul este dată

de relaţia

Mai importantă, însă, decât viteza medie este viteza instantanee, care se obţine din

viteza medie, făcând intervalul de timp să tindă către zero:

Se face precizarea că derivata unei mărimi în raport cu timpul se notează cu punct

deasupra. Prin urmare, viteza instantanee a unui punct material se obţine derivând

vectorul de poziţie în raport cu timpul. Relaţia (3.5) mai poate fi prelucrată astfel:

ceea ce arată faptul că viteza instantanee este întotdeauna un vector tangent la

traiectorie. În relaţiile (3.6) s-au folosit:

Unitatea de măsură pentru viteză este .

c) Acceleraţia liniară – este o mărime care arată cum variază viteza la

momentul t. Dacă se reprezintă vitezele instantanee în punctele şi (fig. 3.2),

atunci acceleraţia medie are expresia:

a

v

v v

1M

2M

Fig. 3.2

Trecând la limită în relaţia (3.8), se obţine acceleraţia instantanee:

97

Unitatea de măsură pentru acceleraţie este .

d) Viteza şi acceleraţia unghiulară. În anumite aplicaţii, când traiectoria

este curbă, poziţia punctului material pe traiectorie poate fi precizată cu ajutorul unui

unghi, astfel:

Considerăm un punct material care se deplasează pe o triectorie circulară,

care la momentul t se află în , iar la se află în (fig. 3.3).

0x

)(2 ttM

)(1 tM

θ(t)θ(t+

Δt)

y

Fig. 3.3

Similar cu viteza liniară medie, se defineşte viteza unghiulară medie, a cărei mărime

este dată de relaţia:

precum şi viteza unghiulară instantanee, pentru tinzând către 0:

Acceleraţia unghiulară instantanee se notează cu , şi se calculează astfel:

În ce priveşte unităţile de măsură, viteza unghiulară se măsoară în , iar acceleraţia

unghiulară se măsoară în .

98

e) Viteza şi acceleraţia areolară. Sunt aplicaţii în care este nevoie de o

mărime care caracterizează variaţia ariei suprafeţei determinată de vectorii de poziţie

ai punctului material la momentele t şi (fig. 3.4).

y

z

0

)(2 ttM

)(

tt

r)(tr

x

Fig. 3.4

Aproximând aria triunghiului curbiliniu cu aria unui triunghi:

se introduce noţiunea de viteză areolară medie care, prin definiţie, este:

unde este o mărime vectorială de modul , cu direcţia perpendiculară pe

triunghiul şi sensul dat de regula şurubului drept, când vectorul de poziţie al

punctului se suprapune peste vectorul de poziţie al punctului . Trecând la

limită în relaţia (3.13) se obţine viteza areolară instantanee:

Ţinând cont de expresiile vectorului de poziţie şi vitezei instantanee:

99

proiecţiile vitezei areolare pe axele unui sistem cartezian sunt:

Observaţie: Vireza areolară este nulă atunci când punctul material trece prin

O, sau când vectorii şi sunt coliniari.

Accelaraţia areolară se notează cu şi, prin definiţie, este:

având, pe axele de coordonate, proiecţiile:

În cazul particular al mişcării punctului material cu viteză areolară costantă,

vectorii şi sunt coliniari, deci acceleraţia trece permanent prin punctul fix O.

3.1.2 STUDIUL MIŞCĂRII PUNCTULUI MATERIAL

ÎN DIFERITE SISTEME DE COORDONATE

3.1.2.1 Sistemul de coordonate cartezian

Se consideră un punct material M, care se deplasează pe o traiectorie

oarecare şi un sistem de coordonate cartezian cu originea în O (fig. 3.5).

La un moment dat t, poziţia punctului material pe traiectorie este dată de vectorul de

poziţie

ale cărui coordonate depind de timp:

100

şi care reprezintă ecuaţiile parametrice ale mişcării.

y

z

0

),,( zyxM

i

z

j

k

xy

Fig. 3.5

Dacă se aplică relaţia (3.5) şi se face precizarea că versorii sunt versori

ficşi (derivatele lor în raport cu timpul sunt nule), viteza are expresia:

Prin urmare, componentele vitezei pe cele 3 axe sunt:

Modulul vitezei este:

iar direcţia vitezei este tangentă la traiectorie.

Derivând în continuare vectorul viteză se obţine acceleraţia:

cu componentele

Modulul acceleraţiei este:

101

iar direcţia este dată de cosinuşii directori:

În relaţiile (3.23) unghiurile sunt unghiurile făcute de vectorul acceleraţie cu

axele sistemului de coordonate.

Aplicaţia 3.1 Ecuaţiile parametrice ale mişcării unui punct material sunt:

Se cer: traiectoria, viteza şi acceleraţia.

Rezolvare:

Se observă că mişcarea punctului material este o mişcare plană, deoarece

sunt date doar ecuaţiile parametrice în şi . Pentru a obţine traiectoria se elimină

parametrul (timpul), din ecuaţiile parametrice ale mişcării:

şi se obţine ecuaţia unei drepte cu pantă negativă (fig. 3.6).

y

x

0

a

v)0(0 tM

Fig. 3.6

Poziţia iniţială a punctului material se obţine din ecuaţiile parametrice ale mişcării,

făcând . Rezultă . Sensul de deplasare se observă că este în jos,

deoarece, dând valori lui t rezultă şi

Componentele vitezei sunt:

102

care dau viteza .

Acceleraţia are componentele:

rezultanta fiind .

Fiind o mişcare rectilinie, atât vectorul viteză, cât şi vectorul acceleraţie sunt

vectori care au direcţiile pe traiectorie, sensul fiind în sensul deplasării punctului

material.

3.1.2.2 Sistemul de coordonate cilindrice

Deplasarea din originea sistemului până la punctul material se poate face şi

astfel:

- translaţie pe direcţia axei x, cu distanţa ;

- rotire în planul (după axa x), cu unghiul ;

- translaţie pe direcţia axei z, cu distanţa z.

Prin urmare, se poate spune că, în acest caz, coordonatele punctului material (numite

coordonate cilindrice) sunt (raza polară), (unghiul polar) şi z (cota). Versorii

acestui sistem de coordonate sunt: , şi (fig. 3.7).

Cu aceste precizări, vectorul de poziţie al punctului material, aflat pe traiectorie la

momentul t, poate fi scris sub forma:

Legătura dintre cele 2 sisteme de coordonate (cilindrice şi carteziene) este

dată de relaţiile (fig. 3.7 b):

care, derivate în raport cu timpul, dau:

103

O

x

y

z , ,M z

v

( )r t

z

k

u

u

a

a)

Ox

y

u

u

b)

Fig. 3.7

Viteza se obţine derivând, în raport cu timpul, relaţia (3.24):

Componentele vitezei pe cele 3 axe ale sistemului de coordonate cilindrice sunt:

iar modulul este dat de relaţia:

Derivând, în continuare, vectorul viteză se obţine acceleraţia:

cu componentele:

şi modulul:

104

3.1.2.3 Sistemul de coordonate polare

Sistemul de coordonate polare este, de fapt, sistemul de coordonate

cilindrice particularizat pentru . Coordonatele polare ale unui punct material M

aflat pe o traiectorie oarecare sunt: r sau - raza polară şi - unghiul polar (fig. 3.8).

Ox

y

u

u

r

( , )M r

Fig. 3.8

Viteza punctului material în coordonate polare este:

cu componentele:

şi modulul:

Acceleraţia punctului material în coordonate polare este:

cu componentele:

şi modulul:

105

Aplicaţia 3.2 Ecuaţiile parametrice ale mişcării unui punct material sunt:

în care a şi b sunt constante, iar t este parametru. Se cer: traiectoria, viteza şi

acceleraţia.

Rezolvare:

Eliminând parametrul t din ecuaţiile parametrice ale mişcării se obţine

ecuaţia traiectoriei:

care este o spirală logaritmică.

Viteza punctului material este:

cu componentele:

şi modulul:

Acceleraţia punctului material se obţine fie aplicând relaţia (3.32), fie

derivând în continuare vectorul viteză. Se obţine:

cu modulul:

3.1.2.4 Sistemul de coordonate Frenet (naturale, intrinseci)

Spre deosebire de celelalte sisteme de coordonate, sistemul de coordonate

Frenet (denumit şi sistem de coordonate naturale, sau sistem de coordonate

intrinseci), are originea mobilă, şi anume chiar în punctul material a cărui mişcare se

studiază (fig. 3.9). Axele acestui sistem de coordonate sunt:

- tangenta, de versor , având sensul determinat de sensul de mişcare a

punctului;

106

- normala principală, de versor , care se obţine la intersecţia dintre planul

osculator şi planul normal, şi are sensul îndreptat către centrul de curbură al

traiectoriei, în punctul considerat;

- binormala, de versor , determinat cu relaţia , astfel încât sistemul

să fie unul drept.

( )O M t

n

0 0M t

Fig. 3.9

Studiul cinematicii punctului material cu sistemul de coordonate Frenet se

face pornind de la ecuaţia orară a mişcării (relaţia 3.3).

Viteza, conform relaţiei (3.6), are expresia:

care, se observă, are o singură componentă pe direcţia tangentei: .

Derivând în continuare viteza, se obţine expresia acceleraţiei:

cu componentele:

În relaţia (3.35) s-a folosit formula lui Frenet:

Modulul acceleraţiei este:

107

Aplicaţia 3.3 Un punct material se deplasează cu viteza , pe o

parabolă de ecuaţie . Se cere acceleraţia punctului material atunci când

acesta se află în vârful parabolei.

Rezolvare:

Deoarece se cunoaşte traiectoria şi se cere acceleraţia punctului material într-

o anumită poziţie (vârful parabolei), se va folosi sistemul de coordonate Frenet, cu

originea în vârful parabolei (fig. 3.10).

n

O x

y

Fig. 3.10

Raza de curbură a unei curbe plane de ecuaţie se calculează cu relaţia:

Pentru parabola dată, derivatele sunt:

iar raza de curbură devine:

având valoarea m, în origine. Semnul minus arată faptul că raza de

curbură se măsoară în sens invers axei Oy. Se aplică, în continuare, relaţia (3.37) şi se

observă că .

108

Se obţine .

3.1.2.5 Sistemul de coordonate sferice

Poziţia punctului material pe traiectorie mai poate fi precizată utilizând

următoarele coordonate, numite coordonate sferice: r – raza vectoare, – azimutul şi

– longitudinea (fig. 3.11).

O

x

y

u

u

z

u

r

Fig. 3.11

Versorii sistemului de coordonate sferice sunt: , iar derivatele lor în raport

cu timpul sunt date de relaţiile:

Pornind de la expresia vectorului de poziţie:

viteza punctului material în coordonate sferice va fi:

cu componentele:

109

şi modulul:

Acceleraţia punctului material în coordonate sferice se obţine derivând

viteza în raport cu timpul:

cu componentele:

3.1.3 MIŞCĂRI PARTICULARE ALE PUNCTULUI MATERIAL

3.1.3.1 Mişcarea rectilinie şi uniformă

Mişcarea rectilinie şi uniformă este mişcarea punctului material pe o dreaptă,

cu viteză constantă:

Se consideră un punct material aflat, la momentul iniţial, în ( ), şi

care începe mişcarea rectilinie şi uniformă cu viteza iniţială . La momentul t

punctul material se află în M şi are viteza egală cu viteza iniţială (fig. 3.12).

x

x

x0

)0(0 tM )(tM

0v

0v v

Fig. 3.12

110

Se alege ca sistem de referinţă sistemul cartezian, din care se reprezintă doar axa Ox.

Notăm cu distanţa de la origine la , respectiv cu x distanţa de la origine la M.

Ştiind că viteza unui punct material este derivata în raport cu timpul a

deplasării:

sau sub forma scalară:

pentru a obţine legea de variaţie a deplasării, se integrează relaţia :

Constanta de integrare C se determină din condiţiile iniţiale (la ),

rezultând .

Acceleraţia punctului material se obţine derivând expresia vitezei:

În concluzie, legile mişcării rectilinii şi uniforme a punctului material sunt:

iar reprezentarea lor grafică, în funcţie de timp, este arătată în figura 3.13.

x0

O

x

t t0v

v

O O

a

t

Fig. 3.13

111

3.1.3.2 Mişcarea rectilinie uniform variată

Mişcarea rectilinie uniform variată este mişcarea punctului material pe o

dreaptă, cu acceleraţia constantă:

Pentru studiul mişcării se folosesc aceleaşi condiţii şi acelaşi sistem de

referinţă ca la mişcarea rectilinie şi uniformă (fig. 3.12).

Viteza se obţine integrând expresia acceleraţiei:

iar deplasarea se obţine integrând, în continuare, expresia vitezei:

Constantele şi se determină din condiţiile iniţiale (la şi

), rezultând şi .

În final, legile mişcării rectilinii uniform variate a punctului material sunt:

Mişcarea rectilinie uniform variată poate să fie uniform accelerată (vectorii

şi au acelaşi sens), sau uniform încetinită (vectorii şi au sensuri contrare).

Diagramele mişcării sunt prezentate în figura 3.14 pentru mişcarea uniform

accelerată, respectiv în figura 3.15 pentru mişcarea uniform încetinită.

x0

O

t t0v

v

O O

t0a

x a

Fig. 3.14

112

x0

O

t t0v

v

O O

t0a

ax

Fig. 3.15

Caz particular: Mişcarea unui punct material pe verticală, în câmp

gravitaţional

Se adoptă ca sistem de referinţă axa Ox pe verticală, cu sensul în sus, iar poziţia

iniţială a punctului material în origine (fig. 3.16).

h

P

O

v0

x

Fig. 3.16

Ecuaţiile mişcării punctului material pe verticală, în câmp gravitaţional se obţin din

ecuaţiile , în care se înlocuieşte ( = acceleraţia gravitaţională) şi

. Rezultă ecuaţiile:

113

Dacă se notează înălţimea la care viteza punctului material se

anulează, viteza iniţială cu care trebuie lansat punctul material pe verticală, se obţine

eliminând timpul din ecuaţiile de mişcare . Rezultă relaţia:

cunoscută sub numele de formula lui Galilei.

Aplicaţia 3.4 Un punct material execută o mişcare rectilinie după legea

deplasării:

Se cere să se studieze mişcarea şi să se traseze diagramele corespunzătoare.

Rezolvare:

Derivând succesiv relaţia dată, se obţine:

La momentul iniţial ( ), rezultă m şi . Se observă că la

viteza se anulează, punctul material deplasându-se în sens invers. Spunem că

mişcarea este cu întoarcere.

Diagramele mişcării sunt prezentate în figura 3.17.

3

O

t t

v

OO t

ax

422 4,6

-2

Fig. 3.17

114

3.1.3.3 Mişcarea circulară

Studiul mişcării circulare a punctului material se poate face utilizând mai

multe sisteme de coordonate, rezulatele finale fiind, evident, aceleaşi. Ca o aplicaţie a

studiului mişcării unui punct material în diferite sisteme de coordonate, vom prezenta

studiul mişcării circulare în sistemele de coordonate carteziene, polare şi Frenet.

1. Studiul mişcării circulare în sistemul de coordonate carteziene

Se consideră un punct material care descrie o traiectorie circulară de rază r (fig. 3.18).

y

xO

v

yv

a

xa

xv M(t)

i

j

r

M0(t=0)

Fig. 3.18

Dacă se alege sistemul de axe cartezian cu originea în centrul cercului şi

axele Ox şi Oy în planul mişcării, poziţia punctului material pe traiectorie, la

momentul oarecare t, este dată de coordonatele carteziene x şi y, care pot fi scrise sub

forma:

în care este unghiul făcut de raza traiectoriei cu axa Ox, şi reprezintă parametrul în

ecuaţiile parametrice . Ecuaţia traiectoriei se obţine eliminând parametrul din

115

ecuaţiile parametrice ale mişcării (ridicând la pătrat şi însumând relaţiile ). Se

obţine:

care verifică faptul că traiectoria este un cerc cu centrul în origine şi raza r.

Componentele vitezei pe cele două axe se obţin derivând, în raport cu

timpul, relaţiile :

Prin urmare, în coordonate carteziene viteza are expresia:

având modulul:

iar direcţia este tangentă la traiectorie (conform relaţiei 3.6).

Componentele acceleraţiei pe cele două axe se obţin derivând componentele

vitezei; ţinând cont şi de relaţia (3.12) rezultă:

În final, expresia acceleraţiei în coordonate carteziene este:

cu modulul:

2. Studiul mişcării circulare în sistemul de coordonate polare

Se consideră sistemul de coordonate polare, de versori şi , cu originea

în centrul traiectoriei circulare a punctului material (fig. 3.19).

Vectorul de poziţie al punctului material la momentul t are expresia:

din care, prin derivare, rezultă expresia vitezei:

116

O

v

a

a

a

u

M(t)

r

M0(t=0)u

θ

O

v

a

a

a

u

M(t)

r

M0(t=0)u

θ

a) b)

Fig. 3.19

Din relaţia se observă că viteza punctului material în mişcarea circulară este

un vector pe direcţia versorului (tangent la traiectorie) şi are mărimea:

Acceleraţia se obţine derivând expresia vitezei:

din care se observă că acceleraţia punctului material în mişcare circulară are două

componente:

acceleraţia normală (centripetă), aflată pe direcţia versorului , cu sens

contrar, şi având mărimea:

acceleraţia tangenţială, aflată pe direcţia versorului , cu mărimea:

Observaţie: Dacă vectorii acceleraţie tangenţială şi viteză liniară au

acelaşi sens, atunci punctul material execută mişcare accelerată (fig. 3.19 a), iar dacă

au sensuri contrare, mişcarea este încetinită (frânată) (fig. 3.19 b).

Modulul acceleraţiei se obţine pe baza celor două componente:

117

3. Studiul mişcării circulare în sistemul de coordonate Frenet

După cum se ştie, sistemul de coordonate Frenet are originea în punctul

material la momentul t, iar versorii sunt şi (mişcarea fiind plană, se renunţă la

versorul ), (fig. 3.20).

O

v

a

na

M(t)≡0

r

M0(t=0)θ

n

Fig. 3.20

Aplicând relaţia , în care s reprezintă arcul :

viteza va fi:

relaţie care arată că viteza punctului material în mişcarea circulară este un vector

tangent la traiectorie şi are mărimea .

Cu relaţia se obţine expresia acceleraţiei:

având componentele:

şi modulul:

118

3.1.3.4 Mişcarea uniformă a punctului material

pe elicea circulară

Se consideră punctul material M care se deplasează cu viteză constantă pe

elicea circulară de rază r (fig. 3.21 a), a cărei desfăşurată este dată în figura 3.21 b. Se

notează cu proiecţia punctului M pe planul orizontal Oxy. Distanţa parcursă de

punctul material în direcţia axei Oz, se notează cu p şi reprezintă pasul elicei.

O

x

y

z

r

0M

M

M

p

pM

z

M0M

r

2 r a) b)

Fig. 3.21

Din asemănarea triunghiurilor care apar pe desfăşurată, se poate scrie:

din care rezultă expresia deplasării punctului material în direcţia axei Oz:

Dacă se face notaţia:

relaţia devine:

119

Având în vedere cele prezentate, rezultă că vectorul de poziţie al punctului M la

momentul t, are expresia:

Dacă se derivează în raport cu timpul, se obţine expresia vitezei:

sau, cu notaţiile:

rezultă:

Modulul vitezei va fi:

Ştiind că r şi sunt constante în timp, iar mişcarea este uniformă, deci modulul

vitezei este constant, rezultă că şi viteza unghiulară este constantă, deci acceleraţia

unghiulară este nulă:

Prin urmare, dacă se derivează relaţia şi se ţine cont de se obţine

expresia acceleraţiei punctului material în mişcarea uniformă pe elicea circulară:

cu modulul:

Raza de curbură a traiectoriei se poate obţine din studiul mişcării în

coordonate Frenet. Astfel, pornind de la ecuaţia orară a mişcării:

expresiile vitezei şi acceleraţiei vor fi:

Egalând relaţiile şi rezultă raza de curbură a traiectoriei:

120

3.2. CINEMATICA RIGIDULUI

3.2.1. MIŞCAREA GENERALĂ A RIGIDULUI

Se consideră un corp rigid aflat în mişcare generală. Pentru a studia mişcarea

se aleg 2 sisteme de referinţă: sistemul fix , cu versorii şi sistemul

mobil Oxyz, solidar cu rigidul, de versori . Poziţia unui punct oarecare M care

aparţine rigidului, faţă de sistemul de referinţă mobil, este dată de vectorul de poziţie:

iar faţă de sistemul de referinţă fix, de vectorul de poziţie:

unde este vectorul de poziţie al originii sistemului de referinţă mobil faţă de

sistemul de referinţă fix (fig. 3.22).

O

y

z

x

k

j

i

r

x( , , )M x y z

1r

0r

1z

1y

1x

1O

1i

1j

1k

Fig. 3.22

Versorii sistemului de referinţă mobil îşi modifică poziţia în timp (sunt

variabili în timp); prin urmare derivatele lor în raport cu timpul sunt diferite de zero,

121

spre deosebire de derivatele versorilor sistemului de referinţă fix, care sunt zero.

Pornind de la relaţiile cunoscute în cazul unui sistem de axe triortogonal:

şi derivând în raport cu timpul, se obţine:

respectiv:

Se fac următoarele notaţii:

în care şi sunt proiecţiile pe axele sistemului de coordonate ale unui vector

arbitrar .

Se ştie că proiecţia unui vector pe o axă , de versor , este dată de relaţia:

adică este produsul scalar dintre vectorul respectiv şi versorul axei. Astfel, expresia

analitică a vectorului poate fi pusă sub forma:

sau, folosind relaţia :

Utilizând relaţiile şi notaţiile , derivatele versorilor sistemului de axe

mobil, în raport cu timpul, pot fi scrise sub forma:

122

În final se reţin relaţiile:

care reprezintă relaţiile lui Poisson.

Pentru calculul vitezei punctului M se derivează, în raport cu timpul, relaţia

şi se obţine:

În expresia finală din relaţia (coordonatele punctului

M, faţă de sistemul mobil sunt constante în timp), iar reprezintă viteza originii

sistemului de referinţă mobil faţă de sistemul de referinţă fix.

În concluzie, viteza unui punct oarecare M, aparţinând unui rigid în mişcare

generală, se calculează cu relaţia:

Pe baza celor prezentate, se pot formula proprietăţile câmpului de viteze ale unui

rigid în mişcare generală:

1. Vectorul este acelaşi în orice punct al rigidului;

2. Vectorul nu depinde de alegerea originii sistemului de referinţă mobil;

3. Proiecţiile vitezelor diferitelor puncte ale unui rigid în mişcare generală pe

vectorul , sunt constante;

4. Punctele aparţinând unui rigid în mişcare generală, care sunt situate pe o

dreaptă paralelă cu vectorul , au aceeaşi viteză.

123

Observaţie: Dacă se face analogie între vectorul viteză şi vectorul moment

, respectiv, între vectorul şi vectorul rezultant al forţelor , de la Statică, se

observă faptul că proprietăţile 3 şi 4 ale câmpului de viteze sunt echivalente cu

proprietăţile corespunzătoare de la reducerea sistemului de forţe oarecare.

Pentru calculul acceleraţiei punctului M se derivează, în raport cu timpul,

vectorul viteză:

în care:

iar derivata vectorului este:

Dacă se utilizează relaţiile lui Poisson şi se fac notaţiile:

relaţia devine, pe rând:

Utilizând relaţiile şi în relaţia se obţine acceleraţia unui punct

oarecare M, aparţinând unui rigid în mişcare generală:

3.2.2 MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

3.2.2.1 Mişcarea de translaţie

Mişcarea rigidului în care orice dreaptă a acestuia rămâne paralelă cu ea

însăşi, pe toată durata mişcării, se numeşte mişcare de translaţie. Exemple de corpuri

în mişcare de translaţie: sertarul unei mese, ascensorul, pistonul unui motor termic,

etc.

124

Pentru studiul cinematicii unui rigid aflat în mişcare de translaţie se

poziţionează sistemul de referinţă mobil în aşa fel încât axele să fie paralele cu axele

sistemului de referinţă fix (poziţie permanentă pe toată durata mişcării), (fig. 3.23).

Oy

z

x

k

j

i

r

x( , , )M x y z

1r

0r

1z

1y

1x

1O

1i

1j1k

Fig. 3.23

Prin urmare, derivatele în raport cu timpul ale vectorilor de poziţie ale sistemului de

referinţă mobil sunt nule:

Cu relaţiile lui Poisson, rezultă:

ceea ce înseamnă că vectorul este nul.

Utilizând relaţiile obţinute la mişcarea generală a rigidului, în cazul mişcării de

translaţie, viteza şi acceleraţia unui punct oarecare al rigidului vor avea expresiile:

ceea ce înseamnă că toate punctele rigidului, aflat în mişcare de translaţie, au aceeaşi

viteză şi acceaşi acceleraţie.

125

3.2.2.2 Mişcarea de rotaţie

Mişcarea rigidului în care două puncte ale rigidului (deci o axă), rămân fixe

pe toată durata mişcării, se numeşte mişcare de rotaţie. Exemple de corpuri în

mişcare de rotaţie: rotorul unui motor electric, roata olarului, roata morii, volantul,

etc.

Se consideră un rigid articulat în două puncte şi şi cele două sisteme

de referinţă, fix şi mobil, suprapuse la momentul iniţial. La momentul t sistemul de

referinţă mobil s-a rotit, faţă de sistemul de referinţă fix, cu unghiul (fig. 3.24 a).

y

x

i

1z z

1yj

k

1O O

rM

d

a

v

2O

1x

a)

1O O

i

j

y

x

1y

1x

b)

Fig. 3.24

Se observă faptul că versorii şi sunt mobili, în timp ce versorul este fix (axa de

rotaţie a rigidului coincide cu axa Oz). Rezultă:

adică vectorul are direcţia pe axa Oz.

Versorii şi , ai sistemului de referinţă mobil, pot fi scrişi în funcţie de versorii

sistemului de referinţă fix (fig. 3.24 b):

126

Derivatele lor în raport cu timpul sunt:

sau, utilizând relaţiile lui Poisson, precum şi observaţia cuprinsă în relaţia , se

obţine:

Dacă se compară relaţiile şi mărimea capătă o semnificaţie fizică:

Prin urmare vectorul are direcţia pe axa Oz (axa de rotaţie), iar modulul este dat se

relaţia şi reprezintă viteza unghiulară. Derivata sa în raport cu timpul:

este un vector tot pe axa Oz şi reprezintă acceleraţia unghiulară.

Apilcând relaţia viteza unui punct oarecare M, aparţinând unui rigid

în mişcare de rotaţie are expresia:

Modulul vitezei este:

unde d reprezintă distanţa de la punctul M la axa de rotaţie.

Dacă se ţine cont de expresiile vectorilor şi , vectorul viteză mai pote fi scris sub

forma:

din care se observă faptul că viteza rigidului în mişcare de rotaţie are componente

doar în planul perpendicular pe axa de rotaţie.

Având în vedere cele prezentate, proprietăţile câmpului de viteze ale

rigidului în mişcare de rotaţie sunt:

127

1. Viteza unui punct aflat pe un rigid în mişcare de rotaţie este un vector a cărui

direcţie se află într-un plan perpendicular pe axa de rotaţie (tangent la cercul

descris de punctul M în mişcare), iar modulul său este direct proporţional cu

distanţa de la punct la axa de rotaţie;

2. Punctele aparţinând axei de rotaţie au viteză nulă.

Acceleraţia se obţine aplicând relaţia :

Făcând calculele se obţine:

Proprietăţile câmpului de acceleraţii ale rigidului în mişcare de rotaţie sunt analoge

câmpului de viteze, cu observaţia că direcţia nu mai este tangentă la cercul descris de

punctul M în mişcare.

Aplicaţia 3.5 O placă dreptunghiulară OABC, articulată în punctul O, se

roteşte în planul său cu viteza unghiulară constantă (fig. 3.25). Cunoscând

dimensiunile plăcii: , se cere să se calculeze viteza şi acceleraţia

punctului B.

y

1yBv

B

A

x

C

1x

Ba

1O O Fig. 3.25

Rezolvare:

Se aleg, convenabil, sistemele de referinţă. Sistemul de referinţă mobil se

alege în aşa fel încât axele acestuia să fie pe laturile plăcii dreptunghiulare.

128

Problema se poate rezolva prin două metode:

: Se observă faptul că punctul B execută mişcare circulară în jurul

articulaţiei, cu raza:

Aplicând noţiunile studiate la mişcarea circulară a punctului material, viteza va fi un

vector perpendicular pe raza OB, având modulul:

De asemenea, acceleraţia va avea direcţia razei OB, sensul îndreptat spre articulaţie,

iar mărimea:

: Aplicând relaţiile obţinute la mişcarea de rotaţie, cu observaţia că ,

avem viteza:

cu modulul

şi acceleraţia:

cu modulul

Aplicaţia 3.6 Se consideră mecanismul patrulater din figura 3.26, în care

. Ştiind că barele şi se rotesc în planul mecanismului cu

viteza unghiulară variabilă , se cere să se calculeze viteza şi acceleraţia punctului M

de pe bara AB.

Rezolvare:

În primul rând trebuie observat faptul că barele şi execută mişcare

de rotaţie, iar bara AB execută mişcare de translaţie (rămâne paralelă cu ea însăşi pe

toată durata mişcării).

129

BA

2O

MAv

Aa

nAa

Aa

Aa

Ma

nMa

Mv

1O

Fig. 3.26

Punctul A de pe bara se află în mişcare circulară cu raza .

Viteza sa va fi perpendiculară pe bara şi va avea modulul:

Acceleraţia punctului A, având în vedere că viteza unghiulară este variabilă, are două

componente:

acceleraţia centripetă (normală):

acceleraţia tangenţială:

deci modulul acceleraţiei punctului A este:

Stiind că toate punctele de pe un corp aflat în mişcare de translaţie au aceeşi

viteză şi aceeaşi acceleraţie, rezultă că punctul M va avea aceeaşi viteză, respectiv

aceeşi acceleraţie cu punctul A.

3.2.2.3 Mişcarea elicoidală

Mişcarea rigidului în care două puncte ale sale rămân, pe toată durata

mişcării, pe o axă fixă, se numeşte mişcare elicoidală. Altfel spus, mişcarea

elicoidală este o mişcare compusă, formată dintr-o mişcare de rotaţie şi o mişcare de

130

translaţie de-a lungul axei de rotaţie. Exemple de corpuri în mişcare elicoidală:

şurubul, elicea, glonţul, pe porţiunea rectilinie a traiectoriei sale, etc.

Se consideră un rigid şi cele două sisteme de referinţă, fix şi mobil, având

axele suprapuse la momentul iniţial. La momentul t sistemul de referinţă mobil s-a

rotit, faţă de sistemul de referinţă fix, cu unghiul , şi s-a translatat, după direcţia axei

de rotaţie, cu distanţa , axele Oz şi rămânând, în continuare, suprapuse (fig.

3.27).

1z z

1x

1y1O

O

( , , )M x y z

x

y

0 ( )z t

Fig. 3.27

Se observă faptul că versorii , şi sunt mobili; totuşi, versorul se deplasează pe

direcţia sa, ceea ce înseamnă că derivata sa în raport cu timpul este, de asemenea,

zero (ca la mişcarea de rotaţie):

adică vectorul (viteza unghiulară) are direcţia pe axa Oz. Acceleraţia unghiulară

este, de asemenea, un vector aflat pe direcţia axei Oz.

Aplicând relaţiile obţinute la mişcarea generală a rigidului, viteza unui punct

oarecare de pe un rigid aflat în mişcare elicoidală va fi:

131

iar accelaraţia va fi:

Analizând relaţiile şi , se observă că expresiile vitezei şi acceleraţiei

unui punct de pe un rigid aflat în mişcare elicoidală se pot deduce prin suprapunerea

rezultatelor obţinute la mişcările de rotaţie şi de translaţie.

3.2.2.4 Mişcarea plan-paralelă

Mişcarea rigidului în care trei puncte necoliniare ale sale (adică un plan)

rămân, pe toată durata mişcării, în acelaşi plan fix, se numeşte mişcare plan-

paralelă. Altfel spus, mişcarea plan-paralelă este o mişcare compusă, formată dintr-o

mişcare de rotaţie şi o mişcare de translaţie pe o direcţie perpendiculară pe axa de

rotaţie. Exemple de corpuri în mişcare plan-paralelă: roata unui vehicul aflat în mers,

biela unui motor, nava aflată în giraţie, etc.

Se consideră un rigid şi cele două sisteme de referinţă, fix şi mobil, având

axele suprapuse la momentul iniţial. La momentul t sistemul de referinţă mobil s-a

rotit, faţă de sistemul de referinţă fix, cu unghiul , şi s-a translatat, după o direcţie

perpendiculară pe axa de rotaţie, axele Oz şi rămânând paralele între ele (fig.

3.28). Se constată că vectorii şi sunt vectori de direcţie constantă (perpendiculari

pe planul Oxy) întocmai ca la mişcarea de rotaţie.

132

1x

1z

1y1O

0r

z

x

y

O

I

Fig. 3.28

Studiul distribuţiei de viteze

Aplicând relaţia obţinută la mişcarea generală a rigidului, viteza unui punct

oarecare de pe un rigid aflat în mişcare plan-paralelă va fi:

În studiul mişcării plan-paralele se pune problema identificării unui punct

din planul mişcării în care viteza, la momentul t, să fie zero. Acest punct se numeşte

centru instantaneu de rotaţie şi se notează cu I, sau CIR, iar axa , care conţine

centrul instantaneu de rotaţie şi este paralelă cu axa , se numeşte axa instantanee

de rotaţie. Coordonatele centrului instantaneu de rotaţie, faţă de sistemul de referinţă

mobil, se obţin din relaţia , egalând cu zero componentele vitezei:

Determinarea poziţiei axei (centrului) instantaneu de rotaţie este foarte

importantă, deoarece, la momentul t, se poate considera că rigidul execută mişcare de

rotaţie în jurul său. Cu alte cuvinte, un observator plasat, la momentul t, exact în

centrul instantaneu de rotaţie percepe mişcarea rigidului ca pe o mişcare de rotaţie în

jurul său. Locul geometric al punctelor I faţă de sistemul de referinţă mobil este o

curbă mobilă numită rostogolitoare (centroida mobilă).

133

Faţă de sistemul de referinţă fix, centrul instantaneu de rotaţie are

coordonatele (fig. 3.29):

1O 1y

1xx

I

O

y

Ix

Iy

1Ix

1Iy

0r

Fig. 3.29

Locul geometric al punctelor I faţă de sistemul de referinţă fix este o curbă fixă

numită bază (centroida fixă).

Observaţie: Poziţia centrului instantaneu de rotaţie se poate determina şi

grafic, la intersecţia perpendicularelor duse pe direcţiile vitezelor a două puncte ale

rigidului aflat în mişcare plan-paralelă.

În concluzie, studiul distribuţiei de viteze în cazul mişcării plan-paralele a

rigidului se face după următorul algoritm:

1. Se determină poziţia centrului instantaneu de rotaţie fie analitic (utilizând

relaţiile şi ), fie geometric (utilizând observaţia);

2. Se determină viteza unghiulară cu care ni se pare că se roteşte rigidul în

jurul lui I;

3. Se calculează viteza punctului cerut, ştiind că acesta se află în mişcare

circulară în jurul lui I.

Aplicaţia 3.7 (Problema lui Cardan). Se consideră o bară AB de lungime 2l,

care se deplasează într-un plan vertical, rezemându-se, în permanenţă, cu un capăt pe

134

perete şi cu celălalt capăt pe pardoseală (fig. 3.30 a). Cunoscând viteza

, se cer: distribuţia de viteze, baza şi rostogolitoarea.

1O A O1x

Av

xB

y 1y

a)

1O A O 1xAv

x

baza

IB

y 1y

C

rostogolitoarea

Bv

b)

Fig. 3.30

Rezolvare:

Se aleg convenabil sistemele de referinţă şi se notează cu unghiul făcut de

bară cu peretele vertical. Deoarece se cunosc direcţiile vitezelor punctelor A şi B,

poziţia centrului instantaneu de rotaţie se determină foarte uşor, la intersecţia

perpendicularelor duse pe direcţiile celor două viteze (fig. 3.30 b). Determinând

centrul instantaneu de rotaţie, mişcarea plan-paralelă a barei poate fi privită ca o

mişcare de rotaţie în jurul lui I (ca şi când bara s-ar roti în jurul lui I). Prin urmare, se

poate spune că toate punctele barei se află în mişcare circulară în jurul lui I.

Viteza unghiulară se determină cu relaţia:

Viteza unui punct oarecare M de pe bară, are mărimea:

este perpendiculară pe IM şi are sensul dat de sensul lui . Spre exemplu, viteza

punctului B are modulul:

135

Pentru a afla ecuaţia bazei se determină coordonatele punctului I faţă de

sistemul de referinţă fix:

Dacă ridicăm la pătrat cele două ecuaţii şi le adunăm se obţine:

care reprezintă ecuaţia bazei. Se observă că aceasta este un cerc cu originea în

originea sistemului de referinţă fix, şi are raza 2l.

Pentru a afla ecuaţia rostogolitoarei se determină coordonatele punctului I

faţă de sistemul de referinţă mobil:

sau aranjate convenabil:

Eliminăm unghiul (ridicăm la pătrat şi adunăm) şi se obţine ecuaţia rostogolitoarei:

care este ecuaţia unui cerc cu centrul în centrul de greutate al barei, şi raza l.

Studiul distribuţiei de acceleraţii

Aplicând relaţia obţinută la mişcarea generală a rigidului, acceleraţia unui

punct oarecare de pe un rigid aflat în mişcare plan-paralelă va fi:

sau, făcând calculele:

care arată că acceleraţia este un vector aflat într-un plan paralel cu Oxy.

Există mai multe metode pentru studiul distribuţiei de acceleraţii în mişcarea

plan-paralelă, metoda polului (centrului) acceleraţiilor fiind una dintre cele mai

136

utilizate. La fel ca la studiul distribuţiei de viteze, se pune problema găsirii unui punct

din planul mişcării în care acceleraţia, la momentul t, să fie nulă. Vom numi acest

punct centrul (polul) acceleraţiilor, şi îl vom nota cu J; coordonatele sale, faţă de

sistemul de referinţă mobil, se determină egalând cu zero componentele acceleraţiei:

din care se obţine:

Analog centrului instantaneu de rotaţie la distribuţia de viteze, polul

acceleraţiilor se bucură de proprietatea că, la un moment dat, distribuţia de acceleraţii

în mişcarea plan-paralelă este identică cu cea de la mişcarea de rotaţie (ca şi cum

rigidul s-ar roti în jurul punctului J cu viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară

). Se face precizarea că, în general, cele două puncte, I şi J, nu coincid.

Poziţia polului acceleraţiilor se poate determina cu metoda grafo-analitică,

sau cu metoda grafică. Prezentăm, în continuare, metoda grafo-analitică pentru

determinarea polului acceleraţiilor, aceasta fiind cea mai utilizată metodă.

Se consideră cunoscute acceleraţia unui punct oarecare de pe rigidul în

mişcare plan-paralelă , viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară .

Presupunem, într-o primă fază, că se cunoaşte poziţia punctului J. Având în vedere că

punctul A se află în mişcare circulară în jurul lui J, acceleraţia sa poate fi descompusă

în cele două componente (fig. 3.31):

acceleraţia tangenţială:

acceleraţia normală (centripetă):

137

A Aa

M

Aa

nAa

J

nMa

Ma

Ma

Fig. 3.31

Acceleraţia punctului A va fi:

de unde rezultă:

Unghiul se poate determina cu relaţia:

Cu relaţiile şi se determină poziţia polului acceleraţiilor J faţă de

punctul A, astfel:

prin punctul A cunoscut, se trasează o dreaptă rotită cu unghiul , calculat cu

relaţia , faţă de direcţia acceleraţiei punctului A;

pe dreapta trasată se măsoară segmentul JA, calculat cu relaţia .

În continuare, se poate determina acceleraţia unui punct oarecare M,

aparţinând rigidului în mişcare plan – paralelă, considerând că, la momentul t, acesta

execută mişcare circulară în jurul lui J. Astfel, componentele acceleraţiei punctului M

sunt:

138

3.3. MIŞCAREA RELATIVĂ A PUNCTULUI MATERIAL

a) Studiul vitezelor Se consideră un punct material M şi două sisteme de

referinţă: sistemul fix , cu versorii şi sistemul mobil Oxyz, de

versori . Poziţia punctului M faţă de sistemul de referinţă mobil, este dată de

vectorul de poziţie:

iar faţă de sistemul de referinţă fix, de vectorul de poziţie:

unde este vectorul de poziţie al originii sistemului de referinţă mobil faţă de

sistemul de referinţă fix (fig. 3.32).

1O 1y

1z

O

1i

1j

1k

x

y

i j

k

M z

1x Fig. 3.32

Pentru a calcula viteza absolută a punctului M, se derivează, în raport cu

timpul, relaţia şi rezultă:

sau, utilizând relaţiile lui Poisson pentru derivatele versorilor sistemului de referinţă

mobil şi notând expresia din prima paranteză:

139

se obţine:

Dacă trecem coordonatele x, y şi z în partea dreaptă a produsului vectorial, şi dăm

factor comun la stânga vectorul , se poate scrie:

în care:

reprezintă viteza de transport, iar reprezintă viteza relativă.

În concluzie, viteza absolută a unui punct material faţă de sistemul de

referinţă fix, este suma vectorială dintre viteza de transport şi viteza relativă:

a) Studiul acceleraţiilor Acceleraţia absolută a punctului material se obţine

derivând, în raport cu timpul, expresia vitezei absolute:

Dacă se ţine cont de expresia vitezei relative (relaţia ), derivata sa, în raport

cu timpul, este:

sau, dacă se face notaţia:

şi se folosesc relaţiile lui Poisson, se obţine:

140

În continuare, se trec scalarii din faţa produselor vectoriale la termenul doi, şi se dă

factor comun la stânga, vectorul . Se obţine:

De asemenea, se observă că:

reprezintă acceleraţia originii sistemului mobil, faţă de sistemul fix; derivata

vectorului este:

şi reprezintă acceleraţia unghiulară, iar derivata vectorului , este:

Introducând relaţiile , , şi în relaţia , se

obţine, pentru acceleraţia absolută, expresia:

sau, grupând convenabil:

Din relaţia rezultă că acceleraţia absolută a punctului material are

următoarele componente:

acceleraţia de transport, care reprezintă acceleraţia punctului solidar cu

rigidul:

acceleraţia relativă, care reprezintă acceleraţia punctului faţă de sistemul

mobil, ca şi cum acesta ar fi fix:

termenul:

141

care este un vector perpendicular pe planul determinat de vectorii şi , şi

care reprezintă acceleraţia Coriolis.

În concluzie, acceleraţia absolută a punctului material se determină cu relaţia:

Aplicaţia 3.8 Se consideră bara OA, articulată în punctul O, care se roteşte,

în planul desenului, cu viteza unghiulară . În acelaşi timp, pe bară se

deplasează un cursor M, de la O către A, după legea orară (fig. 3.33

a). Se cere să se calculeze viteza absolută şi acceleraţia absolută a cursorului.

Rezolvare:

Având în vedere că bara execută mişcare de rotaţie, viteza de transport a

cursorului este perpendiculară pe bară şi are mărimea:

Os

M

A

O

M

tv

av

rv

O

ta

ca

ra

tna

AA

a) b) c)

Fig. 3.33

Viteza relativă a cursorului se află pe direcţia barei, cu sensul de la O către A, şi are

mărimea:

Viteza absolută se calculează cu relaţia , se află în planul mişcării şi are

mărimea:

Vectorii, atât pentru viteza absolută, cât şi pentru componentele sale, sunt reprezentaţi

în figura 3.33 b.

142

Acceleraţia de transport a cursorului, aşa cum se cunoaşte de la mişcarea de

rotaţie, are două componente:

acceleraţia de transport normală (centripetă), având direcţia pe direcţia barei,

sensul îndreptat către punctul O, şi mărimea:

acceleraţia de transport tangenţială, cu direcţia perpendiculară pe bară şi

mărimea:

Derivând viteza relativă se obţine acceleraţia relativă:

Acceleraţia Coriolis se calculează cu relaţia ; direcţia rezultă din produsul

vectorial dintre cei doi vectori şi , astfel încât vectorul (care este perpendicular

pe planul desenului) să se suprapună peste vectorul , iar mărimea este:

Aplicând relaţia , acceleraţia absolută a cursorului este:

Acceleraţia absolută şi componentele sale sunt reprezentate în figura 3.33c.

3.4. MIŞCAREA RELATIVĂ A RIGIDULUI

Se consideră un solid rigid aflat în mişcare generală. Pentru studiul mişcării

relative a rigidului, se vor reprezenta 3 sisteme de referinţă (fig. 3.34), astfel:

sistemul de referinţă fix ;

sistemul de referinţă mobil, intermediar ;

sistemul de referinţă mobil , solidar cu rigidul.

143

O

0x

0y

0z

1O

1x

1y

1z2O

2y

2x

2z

1r 2r

M

21v

2 1

10v

10

Fig. 3.34

a) Studiul vitezelor Poziţia unui punct oarecare M aparţinând rigidului, faţă

de sistemul de referinţă mobil , este dată de vectorul de poziţie , iar faţă

de sistemul de referinţă mobil, intermediar , de vectorul de poziţie .

Viteza relativă a punctului M faţă de sistemul de referinţă mobil, intermediar

, se calculează cu relaţia:

în care şi sunt vectorii viteză liniară, respectiv viteză ungiulară, faţă de

sistemul de referinţă intermediar .

Viteza de transport a punctului M este viteza faţă de sistemul de referinţă

fix, a unui punct de pe sistemul de referinţă intermediar , care la momentul t

coincide cu punctul M:

în care şi sunt vectorii viteză liniară, respectiv viteză unghiulară, faţă de

sistemul de referinţă fix.

Viteza absolută a punctului M va fi:

144

Dacă se generalizează problema şi se utilizează sisteme de referinţă

intermediare, în loc de unul singur, sistemul de referinţă n fiind sistemul solidar cu

rigidul, relaţia devine:

Având calculată viteza absolută a punctului M, viteza absolută a unui alt

punct P, de pe rigidul aflat în mişcare relativă, se va calcula cu relaţia:

Studiul vitezelor în cazuri particulare de rigid în mişcare relativă

1. Compuneri de translaţii

În acest caz sistemele de referinţă execută doar mişcări de translaţie, vitezele

unghiulare fiind nule:

Viteza absolută a punctului M va fi:

Aplicaţia 3.9 Se consideră un pod rulant care execută o mişcare de

translaţie cu viteza în lungul halei. În acelaşi timp, pe podul rulant se deplasează o

macara cu viteza şi manevrează o piesă M cu viteza (fig. 3.35). Se cere să se

calculeze viteza absolută (distribuţia de viteze) a piesei.

Rezolvare:

Se observă că toate corpurile execută mişcare de translaţie. Aşadar, conform

relaţiei , viteza absolută a piesei M este:

iar ca mărime:

145

1v

2v

3v

Fig. 3.35

2. Compuneri de rotaţii concurente

În acest caz sistemele de referinţă execută doar mişcări de rotaţie, vitezele

liniare fiind nule:

şi originile sistemelor de referinţă coincid, ceea ce înseamnă că vectorii de poziţie ai

punctului M coincid:

Având în vedere aceste precizări, viteza absolută a punctului M , în cazul

compunerilor de rotaţii concurente, va fi:

Pe baza relaţiei se poate spune că distribuţia de viteze în cazul

compunerilor de rotaţii concurente, este similară cu distribuţia de viteze obţinută prin

rotaţia rigidului cu viteza unghiulară în jurul unei axe, numită axă instantanee de

rotaţie.

Aplicaţia 3.10 Un vagon descrie un viraj cu viteza unghiulară .

Cunoscând raza virajului R şi raza roţilor r (fig. 3.36), se cere distribuţia de viteze a

roţilor. Se face ipoteza că roata exterioară se rostogoleşte fără să alunece.

146

O

1

2

B A

r

R

Fig. 3.36

Rezolvare:

Pentru a determina distribuţia de viteze a roţilor, trebuie găsite două puncte

fixe prin care trece axa instantanee de rotaţie. Unul din punctele fixe este punctul A

(la contactul dintre roata exterioară şi calea de rulare), în condiţiile ipotezei din enunţ.

Celălalt punct fix se găseşte la intersecţia dintre viteza unghiulară a vagonului şi

viteza unghiulară a roţilor faţă de şasiu (punctul O). Viteza unghiulară absolută a

roţilor este dată de relaţia:

şi este un vector a cărui direcţie se află pe axa instantanee de rotaţie (axa OA), iar

modulul este dat de relaţia:

Având vectorul determinat cu toate elementele (mărime, direcţie şi sens),

se poate calcula acum viteza oricărui punct aparţinând roţilor. Spre exemplu, punctul

B de contact între roata interioară şi calea de rulare, va avea viteza:

care este diferită de zero, cei doi vectori şi nefiind coliniari. Rezultă, deci, că

roata interioară se rostogoleşte cu alunecare.

3. Compuneri de rotaţii paralele

În acest caz vitezele liniare sunt nule:

147

sistemele de referinţă executând doar mişcări de rotaţie după axe paralele între ele, cu

vitezele unghiulare:

unde este versorul direcţiei comune.

Înlocuind relaţiile în relaţia se obţine expresia vitezei la

compuneri de rotaţii paralele:

Expresia vitezei din relaţia poate fi, în continuare, prelucrată astfel:

unde reprezintă vectorul de poziţie al centrului vectorilor paraleli , analog

centrului forţelor paralele, şi este dat de relaţia:

În concluzie, distribuţia de viteze în cazul compunerilor de rotaţii paralele

este similară distribuţiei de viteze din mişcarea de rotaţie, cu viteza unghiulară ,

în jurul axei instantanee de roataţie care trece prin centrul vectorilor paraleli, a cărui

poziţie este dată de relaţia .

Aplicaţia 3.11 La un montaj al unui arbore pe un lagăr cu rulmenţi se

cunosc: diametrul arborelui D, diametrul bilei de rulment şi viteza unghiulară a

arborelui (fig. 3.37). Să se calculeze viteza unghiulară absolută şi viteza centrului

de greutate a bilei de rulment. Se presupune că nu există alunecare între arbore şi bilă,

şi nici între bilă şi lagăr.

Rezolvare:

Deoarece s-a presupus că nu există alunecare între arbore şi bila de rulment,

atunci suportul vitezei unghiulare relative trece prin punctul de tangenţă superior;

cum nici între bilă şi lagăr nu există alunecare, rezultă că suportul vitezei unghiulare

absolute trece prin punctul de tangenţă inferior.

148

1

2

d

2

D

Fig. 3.37

Viteza unghiulară se determină din condiţia:

din care rezultă:

Viteza unghiulară absolută a bilei de rulment este:

Viteza centrului de greutate a bilei de rulment este:

4. Compuneri de rotaţii cu translaţii

Acest caz este, de fapt, cazul general, în care distribuţia de viteze este dată

de relaţia , şi în care ambii termeni sunt diferiţi de zero. Se observă că

această mişcarea este o compunere dintr-o translaţie şi o rotaţie, deci o mişcare

elicoidală.

Studiul distribuţiei de viteze în acest caz se face uşor dacă se foloseşte

analogia dintre Cinematică şi Statică. Asfel, se observă că vectorii sunt vectori

alunecători (ca şi vectorii forţă ), deci şi rezultanta lor , este un vector

alunecător (ca şi rezultanta sistemului de forţe ). Pe de altă parte, expresia

149

momentului rezultant al unui sistem de forţe, la schimbarea polului, poate fi scrisă

sub forma:

şi făcând comparaţie cu relaţia pentru calculul vitezei absolute, se observă că

se poate face o analogie şi între vitezele şi momentul rezultant , ambii fiind

vectori legaţi. Având în vedere cele prezentate, se poate spune că la mişcarea relativă

a rigidului există următoarele cazuri:

1) ; rigidul se află în repaus;

2) ; rigidul execută mişcare de translaţie;

3) ; rigidul execută mişcare de rotaţie cu viteza

unghiulară în jurul axei instantanee de rotaţie care trece prin M;

4) ;

4.a) (unghiul dintre cei doi vectori este ), rigidul

execută mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară în jurul axei instantanee

de rotaţie, paralelă cu , şi care trece prin punctul N; poziţia relativă a

punctului N faţă de M este dată de relaţia:

4.b) (unghiul dintre cei doi vectori este diferit de ),

rigidul execută mişcare elicoidală cu viteza unghiulară şi viteza liniară

, în jurul axei instantanee de rotaţie, paralelă cu , şi care trece prin

punctul N; poziţia relativă a punctului N faţă de M este dată de relaţia

, iar vectorul este proiecţia vectorului pe vectorul , având

modulul:

Ca şi la reducerea unui sistem de forţe oarecare, la distribuţia de viteze a rigidului în

mişcare relativă există doi invarianţi: vectorul viteză unghiulară şi proiecţia

vectorului pe vectorul (vectorul ).

Ecuaţia axei instantanee la mişcarea relativă a rigidului se obţine din condiţia

de coliniaritate a vectorilor şi :

150

b) Studiul acceleraţiilor Pentru studiul acceleraţiilor rigidului în mişcare relativă,

faţă de mărimile vectoriale care apar la studiul vitezelor, apar în plus: acceleraţiile

originilor sistemelor de referinţă şi acceleraţiile unghiulare ale sistemelor de

referinţă . Ţinând cont de rezultatele obţinute la mişcarea relativă a punctului

material, acceleraţia absolută a unui punct M aparţinând rigidului în mişcare relativă

(fig. 3.34), se calculează cu relaţia:

şi va avea componentele:

acceleraţia relativă

acceleraţia de transport

acceleraţia Coriolis

Dacă se înlocuieşte expresia vitezei relative (relaţia ) în relaţia ,

acceleraţia Coriolis devine:

Problema se poate generaliza, utilizându-se sisteme de referinţă

intermediare, (ca la studiul vitezelor). În acest caz, acceleraţia unghiulară este,

conform definiţiei:

Observând că vectorii sunt vectori mobili, şi aplicând relaţia de derivare a

vectorilor mobili, se obţine:

în care, dacă se notează:

151

rezultă:

Acceleraţia absolută a unui punct M aparţinând rigidului în mişcare relativă,

în cazul a sisteme de referinţă intermediare, se calculează cu relaţia:

Având calculată acceleraţia absolută a punctului M, acceleraţia absolută a

unui alt punct P, de pe rigidul aflat în mişcare relativă, se va calcula cu relaţia:

Studiul acceleraţiilor în cazuri particulare de rigid în mişcare relativă

1. Compuneri de translaţii

În acest caz sistemele de referinţă execută doar mişcări de translaţie, vitezele

unghiulare şi acceleraţiile unghiulare fiind nule. Acceleraţia absolută a punctului M

va fi:

2. Compuneri de rotaţii paralele

În acest caz vitezele liniare sunt nule, sistemele de referinţă executând doar

mişcări de rotaţie după axe paralele între ele, cu vitezele unghiulare având expresia

.

Deoarece vectorii viteze unghiulare sunt vectori paraleli, produsul vectorial din relaţia

este nul; rezultă că acceleraţia unghiulară are, în acest caz, expresia:

152

fiind un vector paralel cu .

3. Compuneri de rotaţii concurente

În acest caz sistemele de referinţă execută doar mişcări de rotaţie, vitezele

liniare fiind nule şi originile sistemelor de referinţă coincid, ceea ce înseamnă că

vectorii de poziţie ai punctului M coincid. De asemenea, se observă că vectorii şi

nu mai sunt paraleli, ca în cazul anterior. Având în vedere aceste precizări,

distribuţia de acceleraţii, în cazul compunerilor de rotaţii concurente, va fi similară

distribuţiei de acceleraţii la mişcarea rigidului cu punct fix.