Cilindricne i sfernekoordinate

Koordinatni sustavi u 2D

Slika 1 prikazuje tocku P u ravnini ciji polozaj mozemo opisati dvamaskupovima koordinata: presjekom projekcije tocke na medusobno okomitekoordinante osi x i y, cime dobijemo uredeni par brojeva (x, y) koji jed-noznacno definira polozaj tocke P u pravokutnom ili Cartesiusovom koor-dinatnom sustavu, ili drugim uredenim parom, (r, φ), gdje je r udaljenostod ishodista to tocke P , a φ kut kojeg r zatvara s pozitivnim dijelom osi x.Ovaj drugi zapis je zapis u dvodimenzionalnom cilindricnom koordinatnomsustavu.

Slika 1: Pravokutni i cilindricni koordinatni sustavi u 2D.

1

Slika 2: Volumni elementi u 2D za rpavokutni (lijevo) i cilindricni koordi-natni sustav (desno).

Element povrsine moramo moci prikazati preko malih promjena koordi-nata. U slucaju pravokutnog sustava, element povrsine je pravokutnik sastranicama dx i dy (slika 2-lijevo) te je

dS = dx · dy (1)

U slucaju cilindicnih koordinata, element povrsine je kruzni isjecak (slika2-desno) te vrijedi

dS = r · dr · dφ (2)

Koordinatni sustavi u 3D

Uz pravokutni, u kojemu je polozaj tocke opisan uredenom trojkom brojeva(x, y, z), a volumni element je kocka volumena dV = dx · dy · dz, u tridimenzije postoje jos dva koordinatna sustava: cilindricni i sferni.

Cilindricni koordinatni sustav je prikazan na slici 3-lijevo, iz koje sevidi da je za opis polozaja neke tocke potrebno znati duljinu projekcije ρspojnice tocke s ishodistem na ravninu x − y, kut φ sto ga ta projekcijazatvara s pozitivnim dijelom osi x te z-koordinatu tocke. Koordinate ρ i z

2

Slika 3: Cilindricni koordinatni sustav u 3D.

mogu poprimiti vrijednosti izmedu 0 i∞, a φ od 0 do 2π. Element volumenaje naznacen na slici 3-desno: to je paralelepiped stranica dr, dz i rdφ te jenjegov volumen jednak

dV = r · dr · dφ · dz (3)

Sferni koordinatni sustav je prikazan na slici 4-lijevo. Za opis polozajaneke tocke potrebne su nam tri koordinate: udaljenost od tocke do ishodistar, kut φ sto ga projekcija r na ravninu x − y zatvara s pozitivnim dijelomosi x te kut θ izmedu osi z i r. Koordinata r moze poprimiti vrijednosti od0 do ∞, φ od 0 do 2π, a θ of 0 do π. Elementarni volumen je paralelepipedsa stranicama dr, rdθ i r sin θdφ volumena

dV = r2dr · sin θdθ · dφ (4)

3

Slika 4: Sferni koordinatni sustav.

4