ciencias universidad nacional autónoma de méxico issn … · 2014-05-03 · matar al minotauro y...

CienciasUniversidad Nacional Autónoma de Mé[email protected] ISSN (Versión impresa): 0187-6376MÉXICO

2003

José Marquina LA METODOLOGÍA DE NEWTON Ciencias, abril-junio, número 070

Universidad Nacional Autónoma de México Distrito Federal, México

pp. 4-15

Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal

Universidad Autónoma del Estado de México

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mailto:[email protected]

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16 CIENCIAS 70 ABRIL JUNIO 2003

Una de las historias más co-

nocidas de la mitología griega

es la del vuelo de Dédalo y la

caída de Ícaro. Dédalo, uno de

los inventores más talentosos

de su época, había cobrado

fama por el diseño del labe-

rinto de Creta, ordenado por

el rey Minos para contener en

su interior al grotesco Mino-

tauro: el espantoso monstruo

mitad bestia y mitad humano,

fruto de los amores de la es-

posa de Minos con un porten-

toso toro blanco. Cuenta la

historia que Dédalo cayó de la

gracia de Minos cuando el

afable inventor proporcionó a

Teseo la clave que le permitió

matar al Minotauro y salir ile-

so del laberinto, todo con la

complicidad de Ariadna, hija

del cruel soberano cretense.

En castigo, Dédalo y su hijo

Ícaro fueron condenados a

ser encerrados en el laberinto

hasta su muerte.

Sin embargo, el ingenioso

Dédalo no estaba dispuesto a

pasar sus últimos días en la

prisión que él mismo había

construido. Con engaños, se

hizo de plumas y cera, como

pegamento, para construir las

alas artificiales que le permi-

tieron a él y a su hijo escapar

del laberinto volando como

las aves. Como en muchas

historias de la mitología clási-

ca, la aventura terminó en

tragedia. Embriagado por el

placer de volar a sus anchas,

Ícaro se acercó demasiado al

Sol, cuyo calor derritió la cera

de sus frágiles alas y ocasio-

nó la caída y muerte del joven

e infortunado prófugo.

Para algunos científicos, la

mitología ofrece preguntas

técnicas de gran interés. Por

ejemplo, ¿es realmente posi-

ble construir alas artificiales

que permitieran a un ser hu-

mano volar libremente? De

hecho, la historia de Dédalo

inspiró a un buen número de

espíritus creativos e intrépi-

dos que, a lo largo de los si-

glos, intentaron desarrollar

aparatos que permitieran a un

ser humano volar usando su

propia fuerza muscular. Exclu-

yendo los sistemas de planeo,

que permiten a una persona

mantenerse en el cielo inclu-

so por periodos largos pero

que no logran el vuelo propul-

sado, los intentos por desa-

rrollar alas para la gente han

fracasado. El sueño del audaz

Dédalo de emular el vuelo de

las aves impulsó numerosos

experimentos que terminaron,

prácticamente todos ellos, en

tragedias comparables a la

del temerario Ícaro.

Los sistemas de vuelo mo-

derno son de hecho muy dife-

rentes a los que utilizan las

aves. Ante el fracaso de nume-

rosos intentos por copiar de la

naturaleza la capacidad de

vuelo propulsado, George

Cayley propuso en el siglo XIX

que una máquina voladora de-

bería tener sistemas separa-

dos de propulsión, sustenta-

ción y dirección. Éste fue un

concepto revolucionario que

en su época permitió a los

hermanos Wright desarrollar

finalmente un aparato volador

en 1903: el primer aeroplano.

Sin embargo, es claro que

existe muy poca semejanza

técnica y estética entre los

modernos aviones y las aves.

Por lo que se sabe actual-

mente sobre la mecánica del

vuelo animal, es muy poco

probable que se pueda dise-

del bestiario

El sueño de Dédalo

HÉCTOR T. ARITA

17

CIENCIAS 70 ABRIL JUNIO 2003

ñar un sistema análogo al de

las aves que permitiera volar a

un ser humano. Las aves po-

seen complejas adaptaciones

musculares, neurológicas y fi-

siológicas que les permiten

controlar con sus alas los tres

aspectos básicos del vuelo

identificados por Cayley. Ade-

más, por razones energéticas,

es imposible que un animal

de más de 15 kilos pueda vo-

lar usando el sistema que em-

plean las aves. Para desarro-

llar un aparato de vuelo que

permitiera a una persona im-

pulsarse por los aires, el in-

ventor tendría que desarrollar

mecanismos que potenciaran

la fuerza muscular y la capaci-

dad aeróbica de una persona

para permitirle emular a las

aves.

La historia de Dédalo e Íca-

ro puede inspirar otro tipo de

preguntas científicas, por

ejemplo: si el vuelo es un fe-

nómeno tan complejo, ¿cómo

es posible que algunas espe-

cies hayan evolucionado has-

ta lograrlo? El vuelo propulsa-

do ha aparecido al menos tres

veces en la evolución de los

vertebrados: en las aves, en

los murciélagos y en los pte-

rosaurios. La evidencia actual

muestra además que al me-

nos entre las aves y los qui-

rópteros el proceso evolutivo

debe haber sido muy diferen-

te. La pregunta básica en los

estudios de evolución del

vuelo es: ¿cómo se pudo dar

una transición entre sus an-

cestros no voladores y las es-

pecies voladoras actuales?

En el caso de los murciéla-

gos toda la evidencia apunta

a que los “proto-murciélagos”

debieron haber sido mamífe-

ros primitivos arborícolas que

saltaban de un árbol a otro.

Con el paso del tiempo evolu-

tivo, los descendientes de es-

tos “proto-murciélagos” ha-

brían poseído membranas

entre las patas, similares a las

de las ardillas voladoras ac-

tuales, que les habrían permi-

tido planear entre los árboles.

Eventualmente, los ancestros

de los actuales murciélagos

habrían desarrollado el vuelo

propulsado moderno.

En el caso de las aves exis-

te más controversia respecto

al mecanismo que originó el

vuelo. Hasta el año pasado

existían dos teorías básicas:

una era que el vuelo se habría

desarrollado en las aves de la

misma forma que en los mur-

ciélagos, es decir, a través de

formas planeadoras. La otra

teoría era que el vuelo se ha-

bría logrado a partir de ances-

tros que desarrollaron alas

para correr mas rápido en tie-

rra y que eventualmente ad-

quirieron la capacidad del

vuelo propulsado. Una dife-

rencia fundamental entre las

aves y los murciélagos parece

apoyar la segunda teoría,

pues el aparato volador de los

murciélagos incluye membra-

nas conectadas con las extre-

midades posteriores, mientras

que las alas de las aves están

constituidas totalmente por

las extremidades anteriores.

Esto hace que las aves pue-

dan usar sus patas con mayor

libertad para desplazarse en

tierra, actividad que los mur-


ciélagos desarrollan con gran

dificultad. Además, en el caso

de las aves es difícil explicar

la forma en la cual sus ances-

tros no voladores podrían ha-

ber trepado a los árboles, co-

mo lo requeriría la teoría del

planeo.

En las páginas de Science

de enero de 2003, Kenneth

Dial, un ecólogo conductual

de la Universidad de Montana,

ha propuesto una tercera teo-

ría sobre el origen del vuelo

en las aves. Dial estudió el

movimiento de las alas de las

codornices cuando éstas tre-

pan a lo largo de planos incli-

nados con diferentes ángulos.

Cuando la inclinación es rela-

tivamente pequeña, hasta de

45°, las aves no utilizan las

alas y ascienden el plano

usando únicamente sus patas.

Para planos colocados entre

45° y 90°, las codornices ba-

ten sus alas en un plano tal

que la fuerza resultante va

hacia la superficie, no hacia el

cielo. Esto hace que la fric-

ción de las patas de las aves

contra el plano aumente, lo

cual permite la tracción nece-

saria para el ascenso. Dial

compara este efecto con el

de los spoilers de los autos

deportivos, que utilizan el mo-

vimiento del viento para em-

pujar los autos hacia el pavi-

mento, lo cual propicia un

mejor "agarre" de los neumá-

ticos. Cuando las aves trepan

en superficies colocadas ver-

ticalmente, incluso con ángu-

los de hasta 105°, mueven

sus alas en un plano diferen-

te, de tal manera que la fuerza

resultante apunta hacia el cie-

lo, es decir, se produce la sus-

tentación, que es el mismo

mecanismo que permite a es-

tas aves volar libremente

cuando necesitan hacerlo.

Dial propone que un meca-

nismo similar pudo haber per-

mitido la evolución del vuelo

en los ancestros de las aves.

Bajo esta hipótesis, un grupo

de dinosaurios terópodos con

plumas habría aprovechado el

mecanismo de locomoción

que Dial ha descrito para des-

plazarse en planos inclinados,

lo que habría dado ventajas a

estas proto-aves para conse-

guir alimento o para escapar

de los depredadores. Even-

tualmente, en el sentido evo-

lutivo de la palabra, estos an-

cestros habrían podido dar el

paso final, desarrollando la

capacidad de vuelo autónomo

y propulsado.

Todos los seres humanos

tienen, en mayor o menor gra-

do, una fascinación por el

vuelo propulsado de las aves.

El sueño de poseer alas y de

escapar de nuestra cotidiana

prisión gravitacional es recu-

rrente e incluso constituyó un

tema central de estudio para

algunos psicoanalistas. Estu-

dios e ideas como los de Dial

nos ayudan a poner en una

perspectiva científica esos

sueños románticos. Aunque la

mecánica y la biología nos di-

cen que es muy poco proba-

ble que se pueda cumplir al-

gún día, el sueño de Dédalo

vive en la mente de la mayoría

de nosotros.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Dial, K. P. 2003. “Wing-assisted incline running and theevolution of flight”, en Science, vol. 299, pp. 402-404.

Speakman, J. R. 2001. “The evolution of flight andecholocation in bats: another leap in the dark”, enMammal Review, núm. 31, pp. 111-130.

IMÁGENES

P. 16: Martín pescador moteado. P. 17: Faisán orien-tal imaginario, Takagi, siglo XIX. P. 18: P. Polluelo dealca común de Cuvier (Alca torda); Dodo, grabados.f.

Héctor T. Arita

Instituto de Ecología,Universidad Nacional Autónoma de México.

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plena aceptación en Inglaterra y había servido, incluso,como guía para el diseño de la Royal Society.

A rasgos muy generales, las corrientes cartesianas secaracterizaban por la construcción a priori de hipótesisque les permitían rechazar la validez de cualquier conclu-sión contraria, independientemente de su origen, por lasimple razón de oponerse al sistema aceptado. Por el otrolado, la Royal Society planteaba una concepción que con-sistía en rechazar la filosofía natural dogmática, que sebasa más en el ingenio que en los hechos (en clara refe-rencia al cartesianismo), predicando un baconismo es-trecho y antiteórico que lo único que llegó a producirfueron historias naturales, de las que se encuentran llenoslos anales de las Philosophical Transactions. Lo estrechode esta concepción se refleja en el caso de la Micrographia

El panorama metodológico al que se enfrenta Newton sepuede caracterizar, a grandes rasgos, señalando la inexis-tencia de patrones aceptados universalmente para la in-vestigación científica. En su aprendizaje formal en Cam-bridge, Newton tuvo que empezar su formación en libroscomo el Physiologiae Peripateticae Libri Sex Cum Commen-

tariis de Johannes Magirus, que como su nombre lo indica,representaba el legado de la filosofía aristotélica, mismaque en los medios universitarios gozaba todavía de granprestigio. Sin embargo, los estudios autodidactas de New-ton lo pusieron en contacto con las dos corrientes que ejer-cían mayor influencia entre los personajes más relevan-tes de la época: las herederas intelectuales de Descartesy de Bacon. Mientras que la primera tenía gran impor-tancia en la Europa continental, la segunda gozaba de

La metodología de

Newton

JOSÉ MARQUINA

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el examinar los caminos diferentes por los cuales los fe-nómenos deberían ser explicados […] la teoría que yopropongo se me mostró […] no deduciéndola solamentemediante la confrontación de suposiciones contrarias, sinoderivándola de los experimentos”, en donde queda claroque para Newton el camino de comparar la bondad delas hipótesis existentes no puede conducir a la certeza, yaque, incluso, no se puede tener la seguridad de que se dis-pone de todas las hipótesis posibles y siempre existe la po-sibilidad de construir otra que sea mejor que la aceptadacon anterioridad.

La crítica a los cartesianos se hace evidente en el Pre-facio a la segunda edición de los Principia, en el que RogerCotes plantea que “algunos se muestran contrarios a estafísica celeste porque contradice las opiniones de Descar-tes y parece difícil de reconciliar con ellas. Dejemos quedisfruten con su propia opinión, pero pidamos que haganellos lo mismo, sin negarnos a nosotros la libertad quepara sí exigen. Puesto que la filosofía newtoniana nos pa-rece verdadera, concédasenos la libertad de abrazarla yretenerla, siguiendo causas probadas por los fenómenos,en vez de causas sólo imaginadas y sin probar todavía”.

Para Cotes, y claramente para Newton, aquellos “queparten de hipótesis como primeros principios de sus es-peculaciones —aunque procedan luego con la mayor pre-cisión a partir de esos principios— pueden desde luegocomponer una fábula ingeniosa, pero no dejará de seruna fábula”.

Esta forma de entender las hipótesis representa paraNewton una forma de dogmatismo metodológico que in-vierte el orden acerca de cómo debe actuarse en el pro-ceso de investigación. La refutación de una teoría legíti-ma, entendida a la manera newtoniana, sólo podrá darsemostrando la insuficiencia de la evidencia experimentala favor o la evidencia experimental que muestre lo con-trario.

Las funciones válidas que Newton le asigna a las hi-pótesis son, por un lado, la de permitirnos explicacionesprovisionales, sujetas a escrutinio, que no deben de con-siderarse como necesariamente verdaderas y, por otro, lashipótesis que se plantean no con una finalidad dogmáticasino con una finalidad heurística, como guía en la inves-tigación, indicando nuevos caminos y sugiriendo nuevosexperimentos.

Como es obvio en todo el corpus de su obra, Newtonsí hacía hipótesis, por ejemplo la relativa al carácter cor-puscular de la luz, pero negaba que dichas hipótesis fue-

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de Robert Hooke, que para que fuera publicada por la Ro-

yal Society se le solicitó al autor que diera “noticia en ladedicatoria de esa obra a la sociedad de que, aunque lehayan dado licencia, con todo ello no abrazan teoría al-guna ni se ha de pensar que así sea, y de que las diversashipótesis y teorías que él enuncia allí no se exponen co-mo certezas, sino como conjeturas, y que no pretende enabsoluto imponerlas o exponerlas al mundo como la opi-nión de la sociedad”.

La posición de Hooke, asumida como punto interme-dio entre el dogmatismo cartesiano y el escepticismo ba-coniano, planteaba que la verdad de una teoría podía serestablecida tomando todas las hipótesis existentes, paradespués, por el método de exhaución, irlas desechando deuna en una y así quedarse únicamente con la que hubie-se sobrevivido al escrutinio.

Al menos ante estas cuatro posturas (aristotélica, car-tesiana, baconiana y hookiana), Newton va a pretenderentronizar una nueva concepción para la filosofía natural.En este sentido, con respecto a la concepción de Hooke,Newton señala en una carta a Oldenburg (julio de 1672):“Yo no creo que sea efectivo para determinar la verdad,

ran la base de su constructo óptico, en particular su teoríade los colores; y fue la incomprensión de este hecho porparte de sus colegas (Hooke, Pardies, Huygens), lo quellevó a Newton a las agrias disputas que sostuvo con ellosa raíz del envío a la Royal Society de su tratado sobre laluz y los colores en 1672.

El concepto de hipótesis de Newton era tan diferenteal de sus contemporáneos que al publicarse la primera edi-ción de los Principia, en el Journal des Sçavans en 1688,apareció una reseña del libro en la que el autor, anónimo,planteaba que se trataba de un libro matemático, hipoté-tico y no de filosofía natural. Es curioso constatar que noobstante la pretensión newtoniana de separar certezasde conjeturas, siempre terminaba siendo acusado de ha-cer hipótesis (en su acepción peyorativa), con la conse-cuente minimización por lo realizado. Estas intermina-bles controversias ponen de relevancia que en realidadlo que ocurría era que Newton estaba inaugurando unanueva tradición de investigación que se oponía al restode las tradiciones imperantes, en particular a la cartesia-na, y que la batalla entre ellas se daba en todos los nive-les; pero en particular en el metodológico, en el que New-ton proponía un conjunto de cánones difíciles de entendery mucho más difíciles de aceptar para los seguidores deotras tradiciones.

El método de análisis y síntesis

La concepción metodológica newtoniana proviene, comolo dice en su Óptica, de las matemáticas, y constituye elmétodo de análisis que “consiste en realizar experimen-tos y observaciones, en sacar de ellos conclusiones gene-rales por inducción y en no admitir otras objeciones encontra de esas conclusiones que aquellas salidas de los ex-perimentos u otras verdades ciertas, pues las hipótesis nohan de ser tenidas en cuenta en la filosofía experimen-tal”. El análisis posibilita el pasar de “los efectos a las cau-sas y de estas causas particulares a las más generales,hasta que el argumento termina en la más general”.

Una vez completado el proceso de análisis se ha deproceder a lo que Newton denomina “el método de com-posición o síntesis”, que “consiste en suponer las causasdescubiertas y establecidas como principios y en expli-car con ellos los fenómenos, procediendo a partir de ellasy demostrando las explicaciones”.

En este sentido, la síntesis, por un lado, requiere el aná-lisis y, por otro, lo complementa; de forma tal, que par-

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la Óptica empieza probando con base en experimentos ytermina preguntando y basándose en especulaciones.

La Parte I del primer libro inicia con una proposiciónrelativa a que “la luz que difiere en color, difiere tambiénen grado de refrangibilidad”, misma que pasa a demos-trar experimentalmente a través de dos dispositivos (ex-perimentos 1 y 2) en los que cuenta con obsesivo detalleque tomó “un papel rígido de forma oblonga”, miró “dichopapel a través de un prisma sólido”, giró “hacia arriba elángulo de refracción del prisma” y así sucesivamente,para concluir que “la luz proveniente de la parte azul yque, tras atravesar el prisma, alcanza el ojo, sufre en se-mejantes circunstancias una refracción mayor que la luzproveniente de la mitad roja, por lo que es más refrangi-ble”. Una vez hecho esto el experimento dos se concate-na con el uno, pues en “torno al antedicho papel enrollévarias veces un hilo sutil de seda negra”, de forma tal queel dispositivo se va complicando y le permite concluirque “a iguales incidencias del rojo y el azul sobre la lente,el azul se refractaba más que el rojo”, por lo que estos “ex-perimentos bastarán por lo que atañe a los colores de loscuerpos naturales, pero, en el caso de los colores produ-cidos por refracción con prismas, se mostrará esta propo-sición mediante los experimentos que siguen inmediata-mente”. Es decir, que lo que ha hecho Newton es plantearuna proposición que él ha demostrado, parcialmente, ba-sándose en dos experimentos.

A continuación plantea una segunda proposición con-catenada con la anterior. Para la demostración de estaproposición y lo que resta de la primera, Newton planteatres experimentos (números tres, cuatro y cinco). Comose observa, lo que hace Newton es ir avanzando cautelo-samente, concatenando experimentos de forma tal queavanza hasta el punto en el que considera que ha llegadoa algo seguro y esto le permite plantear nuevos experi-mentos que van completando paralelamente la demostra-ción de las proposiciones generales. Todos estos experi-mentos han sido construidos con la finalidad de demostrarel planteamiento newtoniano de que la luz solar es unamezcla heterogénea de diferentes rayos de luz con diver-sas refrangibilidades. Ésta es una concepción que se opo-ne a las ideas de corte cartesiano, sostenidas, entre otros,por Hooke, relativas a la composición homogénea de laluz, con diferentes versiones que van siendo derrotadas através de los diversos experimentos pero que, en princi-pio, pueden seguir surgiendo por medio de mecanismosad hoc.

tiendo de los fenómenos se encuentren, a partir del aná-lisis, las causas de dichos fenómenos y a partir de dichascausas asumidas como principios se dé razón del restode los fenómenos. La síntesis tiene una virtud adicionala la de dar cuenta de otros fenómenos, que es la de po-ner a prueba el potencial explicativo de las causas.

En realidad, lo que propone Newton es un procedi-miento único de análisis y síntesis, en el cual cada unode dichos procesos opera independientemente y en mo-mentos sucesivos, sin perder por ello el carácter unitario.Esto es relevante en la medida en que, en este punto, New-ton se diferencia de Descartes, ya que para éste análisisy síntesis no son fases sucesivas del mismo método, sinodos caminos alternos para llegar a ideas claras y distintas.

El método de análisis y síntesis es planteado por New-ton, principalmente, en la cuestión 31 de la Óptica, don-de se aclara el significado de la aseveración hecha en losPrincipia relativa a que de los fenómenos de movimientose encuentren las fuerzas responsables de los movimien-tos y a partir de ellas se describa el resto de los fenóme-nos, lo cual demuestra que es un planteamiento generalaplicable tanto en la investigación que avanza por mediode observaciones directas y experimentos, el caso de laÓptica, como en la investigación que plantea explícita-mente la matematización de la experiencia, el caso delos Principia.

Las diferencias entre el enfoque experimental y elmatemático, presentes en la Óptica y los Principia, llevaa preguntarse acerca del carácter de ambos dentro delesquema de análisis y síntesis que Newton recomiendacomo método para la filosofía natural y que asegura ha-ber seguido en su trabajo sobre ambas ramas del cono-cimiento.

Experimentación y matematización

Es precisamente en el Libro I de la Óptica donde puedeobservarse con mayor claridad la operación del métodode análisis y síntesis vinculado con la experimentación.La estructura de la Óptica es peculiar, ya que consta de 3libros en los que la trama se va debilitando, de tal maneraque en el Libro I las proposiciones se demuestran a partirde experimentos, el Libro II consta de observaciones y con-sideraciones respecto a éstas, así como proposiciones queno son demostradas con el rigor del Libro I, para terminaren el Libro III con un conjunto de observaciones que de-sembocan en la famosas 31 cuestiones, de forma tal que

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dos”. Ante esta evidencia, Newton está posibilitado paraasegurar que el experimentum crucis “demuestra tanto laprimera como la segunda proposición”.

Como colofón a lo anterior, Newton plantea cuatro ex-perimentos más (números siete, ocho, nueve y diez) paraconcluir que todo “esto confirma no sólo la primera pro-posición, sino también la segunda”. Además, en el escoliopropone unir dos experimentos para que la conclusiónse haga “aún más clara” y sea “manifiesto que la luz delSol es una mezcla heterogénea de rayos, unos de los cua-les son más refrangibles que los otros”.

El método expuesto le permite a Newton, a lo largode todo el Libro I, demostrar catorce proposiciones y re-solver ocho problemas, deducidos de 33 experimentos.El Libro I es un excelente ejemplo del método propuestopor Newton, en el que a partir de los fenómenos se en-cuentran las causas.

La Óptica es un libro peculiar, pues aunque es indis-cutiblemente una obra maestra de método experimentalasume “la forma externa de una obra matemática, en lamedida en que empieza con definiciones y axiomas yprocede mediante proposiciones. No obstante, es de des-tacar que las proposiciones de la Óptica no se demues-tran en su mayor parte de manera lógica en relación conlos axiomas […] Y lo que resulta aún más significativo, lasproposiciones no se demuestran mediante la aplicaciónde técnicas matemáticas”. La pretensión matemática deNewton se ve confirmada por algunas de sus aseveracio-nes, en las cuales ante los menores vestigios de matema-tización asegura que “habrá amplias posibilidades de tra-tar por extenso las cuestiones relativas a esta ciencia deuna nueva manera, no sólo por lo que respecta al perfec-cionamiento de la visión, sino también a la determina-ción matemática de todo tipo de fenómenos relacionadoscon los colores, susceptibles de producirse por refrac-ción”. En este sentido, “la ciencia de los colores se con-vierte en una teoría tan genuinamente matemática comocualquier otra parte de la óptica”, aunque hay que desta-car que el propio Newton parece darse cuenta de lo exa-gerado de su pretensión matematizadora cuando señalaque “todas estas cosas se siguen de las propiedades de laluz por un razonamiento de tipo matemático” pero “suverdad se pone de manifiesto por los experimentos”, endonde Newton reconoce que el poder de sus aseveracio-nes ópticas recae en las evidencias empíricas y la mate-mática juega, mayoritariamente, el papel de método derazonamiento.

Por esta razón, el experimento seis es planteado porNewton como el experimentum crucis, el cual debe per-mitir escoger entre las dos únicas causas posibles de queaparezcan colores cuando un rayo de luz solar pasa a tra-vés de un prisma, las cuales son que los colores son pro-ducidos por el prisma o que se debe a que los colorespertenecen a los rayos de luz desde su origen. Para reali-zar este experimento, Newton coloca un primer prismapor el que hace pasar un rayo de luz solar dirigiendo laluz hacia otro prisma situado a doce pies de distancia,para concluir que “la luz que, por ser más refractada porel primer prisma, iba a dar al extremo azul de la imagen,volvía a ser más refractada por el segundo prisma que laluz que iba a parar al extremo rojo de la imagen”, lo queimplica, como le señala Newton a Hooke, que “rayos dediferentes colores considerados cada uno aparte, a igua-les incidencias sufren desiguales refracciones sin habersido separados, rarificados, o de cualquier manera dilata-


Su método

Para entender el origen de esta aparente tensión entrematemáticas y experimentos, de esta ansia matematiza-

dora, es necesario considerar el hecho de que la Óptica esuna obra cuya impresión fue retardada por el propio New-ton hasta 1704 (una vez muerto Hooke), pero que se re-monta a sus escritos de la década de 1670. En el famosoescrito A New theory about light and colors, de 1672 y ori-gen de su famosa controversia con Hooke, Newton afir-maba que “un naturalista difícilmente esperaría ver quela ciencia de ellos [los colores] se tornase matemática y,con todo, me atrevo a afirmar que hay en ella tanta cer-teza como en cualquier otra parte de la óptica”.

Una carta a Oldenburg, en la que Newton pretende darrespuesta a los ataques de Hooke, aclara el papel que asig-na tanto a las matemáticas como a los experimentos, cuan-do señala: “En último lugar, yo voy a dedicarme a una ex-presión casual que insinúe más certeza de muchas cosasde las que yo he prometido, i.e. la certeza de las proposi-ciones matemáticas. Yo dije, en verdad, que la ciencia delos colores era matemática, y tan certera como cualquierotra parte de la óptica; pero ¿quién no sabe que la óptica,al igual que otras ciencias matemáticas, depende tantode las ciencias físicas como de las demostraciones mate-máticas? Y la certeza absoluta de una ciencia no puede ex-ceder la certeza de sus principios. Ahora, la evidencia, pormedio de la cual yo aseveré las proposiciones de los colo-res es, desde los experimentos, en las siguientes palabras:que las proposiciones por sí solas no pueden ser estima-das más que como principios físicos de una ciencia. Y es-tos principios deben ser tales que en ellos un matemáticopueda determinar todos los fenómenos de los colores […]Yo supongo que la esencia de los colores va a ser matemá-tica, y tan certera como cualquier otra parte de la óptica.Y tengo buenas razones para creer en ello, pues siempre,desde que me di cuenta de estos principios, los he usadocon éxitos constantes para estos propósitos”.

De la cita anterior se desprende la forma de opera-ción del método de análisis y síntesis, en el cual los ex-perimentos y las matemáticas no están reñidos, sinoque, por el contrario, se conjugan de forma tal que se im-pone la certeza de las matemáticas pero sin perder el re-ferente empírico. En este sentido, el problema de la Óp-

tica es que es un libro inconcluso, en el cual Newton nologró llevar hasta sus últimas consecuencias su proyectoinicial de matematización.

Del proyecto newtoniano de matematizar los estu-dios ópticos sólo quedó su confesión en la Óptica: “nopretendo explicar mediante hipótesis las propiedades dela luz, sino presentarlas y probarlas mediante la razón ylos experimentos”.

Donde puede apreciarse con toda claridad el papelque le asignaba Newton a las matemáticas es en los Prin-

cipia, que desde su título completo, Philosophiae Natura-

lis Principia Mathematica, explicita el objetivo del libro.En el prefacio a la primera edición, Newton señala que“constituye un título de gloria para la geometría el hechode que a partir de esos pocos principios, recibidos de otraprocedencia, sea capaz de producir tantas cosas. Por con-siguiente, la geometría basada en la práctica mecánicano es sino aquella parte de la mecánica universal quepropone y demuestra con exactitud el arte de medir. Perocomo las artes manuales se emplean principalmente enel movimiento de cuerpos, resulta que la geometría serefiere habitualmente a su magnitud, y la mecánica a su

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las que establece conceptos tales como masa, cantidadde movimiento, fuerza impresa, fuerza centrípeta y otrasocho definiciones en total. Enseguida viene un escolioen el que se plantean las ideas relativas al espacio, tiem-po y movimiento absolutos, para pasar, con sólo una bre-ve discusión de cada una de ellas, a enunciar de maneraaxiomática los tres axiomas o leyes de movimiento. Lasleyes vienen acompañadas de seis corolarios, de los cua-les los dos primeros están dedicados a mostrar la compo-sición de las fuerzas, entendidas éstas en sentido vecto-rial. Ya desde estos corolarios, Newton empieza a plantearlos principios matemáticos necesarios para el quehacerde la filosofía natural, para terminar esta especie de in-troducción con un escolio. Inmediatamente vienen lostres libros que componen los Principia. Los Libros I y IIse proponen tratar aspectos puramente matemáticos,

movimiento. En este sentido, la mecánica racional será laciencia de los movimientos resultantes de cualesquierafuerzas, y de las fuerzas requeridas para producir cuales-quiera movimientos, propuestas y demostradas con exac-titud […] Pero yo considero la filosofía más que las artes,y no escribo sobre potencias manuales, sino naturales, to-mando ante todo en cuenta las cosas que se relacionan congravedad, levedad, fuerza elástica, resistencia de fluidos yfuerzas semejantes, tanto atractivas como impulsivas; porconsiguiente, ofrezco esta obra como principios matemá-ticos de la filosofía, pues toda la dificultad de la filosofíaparece consistir en pasar de los fenómenos de movimien-to a la investigación de las fuerzas de la naturaleza, y lue-go demostrar los otros fenómenos a partir de esas fuerzas”.

La cita anterior esboza el proyecto de los Principia,mismo que empieza con un conjunto de definiciones en


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que a decir de Newton posibilitan “fundamentar nues-tros razonamientos en asuntos filosóficos”, ilustrando suaplicación “con algunos escolios filosóficos, proporcio-nando una descripción de aquellas cosas que tienen unanaturaleza más general y sobre las que parece apoyarseprincipalmente la filosofía”.

Los Libros I y II representan la construcción de unaextraordinaria maquinaria matemática que en el Libro IIIentrará en funcionamiento, de forma tal, que a partir delos fenómenos celestes se deduzcan las fuerzas de la gra-vedad, responsables de dichos fenómenos, y a partir dedichas fuerzas se dé razón de otros fenómenos tales comolos movimientos de los planetas, los cometas, la Luna y lasmareas, lo cual representa el método de análisis y sínte-sis en su más brillante y completa exposición.

La separación entre matemáticas y filosofía naturalle permite a Newton explorar las consecuencias mate-máticas relativas a posibles condiciones físicas sin tenerla obligación de entrar en el análisis de la realidad físicade los supuestos. La naturaleza cuasifísica de las mate-máticas newtonianas se basa en el hecho de crear con-trapartidas matemáticas ideales que fácilmente se pue-den poner en relación con las condiciones reales queprovienen de la observación, haciendo las acotacionespertinentes.

Al operar de esta manera, Newton pretendía evadirlas posibles críticas a sus conclusiones, sin atacar, prime-ramente, las premisas, pero como éstas eran estrictamen-te matemáticas, eran inatacables, sin embargo, desafortu-

nadamente para él, fue atacado en sus conclusiones, omi-tiendo las premisas.

Como ejemplo de esta forma de aproximación mate-mática al mundo físico, baste ver la introducción a la Sec-ción XI del Libro I, en la que Newton aclara que ha “estadoexponiendo las atracciones de cuerpos hacia un centroinmóvil, aunque muy probablemente no exista cosa se-mejante en la naturaleza de las cosas”. Una vez resueltoeste problema, que es una primera idealización de lo queocurre en el mundo real, Newton propone avanzar haciauna situación más compleja en la que “si hay dos cuerpos,ni el atraído ni el atrayente se encuentran verdadera-mente en reposo […] si existen más cuerpos que, o bienestán atraídos por un cuerpo, atraído a su vez por ellos, oque se atraen todos mutuamente, entre sí, tales cuerposse moverán de modo tal entre sí que su centro común degravedad se encontrará o bien en reposo o se moveráuniformemente hacia adelante en línea recta”. Para elplanteamiento de esta nueva situación, Newton ha utili-zado básicamente la tercera ley (de ahí el carácter cuasifísico al que hice referencia), pero sigue trabajando en unconstructo de tipo matemático abstraído de la naturale-za, pero constructo matemático a fin de cuentas, como seesfuerza en dejar claro al señalar que “pasaré ahora a tra-tar el movimiento de cuerpos que se atraen los unos alos otros, considerando las fuerzas centrípetas como atrac-ciones, aunque en estricto rigor físico, pudieran llamarsemás apropiadamente impulsos. Pero estas proposicionesdeben considerarse puramente matemáticas: en esta me-


dida, prescindiendo de cualesquiera consideraciones fí-sicas, utilizo un discurso llano para hacerme compren-der mejor por un lector matemático”. Los resultados ma-temáticos que demuestra enseguida, son utilizados en elLibro III, ya que como señala en el escolio a la Sección XI,la forma de avanzar debe ser tal que en “matemáticas he-mos de investigar las cantidades de las fuerzas con suproporción consiguiente en cualesquiera condicionessupuestas; luego, cuando descendamos a la física, com-pararemos esas proporciones con los fenómenos para po-der conocer qué condiciones de esas fuerzas respondena las diversas clases de cuerpos atractivos. Partiendo deello podremos argumentar con mayor seguridad sobrelas especies físicas, las causas y las proporciones de lasfuerzas”.

Como se puede observar, los Principia avanzan conbase en constructos idealizados que van complicándose,de forma que las proposiciones demostradas pueden,eventualmente, ser trasladadas al mundo de los fenóme-nos, aplicándole a éstos las consecuencias derivadas deltratamiento puramente matemático.

En el Libro II, Newton empieza a analizar los proble-mas relativos a los fluidos para, una vez caracterizadoséstos, sus movimientos, y en particular el movimientocircular de los mismos en la Sección IX, llegar en la Pro-posición LII, Teorema XL, al análisis de vórtices, lo cualle permite “investigar las propiedades de los vórtices conel fin de determinar si los fenómenos celestes puedenexplicarse recurriendo a ellos”. Evidentemente, todo esteedificio conceptual va encaminado no a la validaciónmatemática de una concepción por la vía de los fenóme-nos, sino, por el contrario, a la refutación de un plantea-miento específico, el modelo cosmológico cartesiano.

Una vez que, de acuerdo con su metodología, Newtondesecha los vórtices cartesianos en tanto que teoría ex-plicativa, el Libro III está dedicado a la construcción ypuesta en marcha de la teoría de la gravitación. Ya desdela Proposición II, Teorema II podemos ver en funciona-miento el método de demostración matemática newto-niana, cuando al demostrar dicha proposición señala: “Laprimera parte de la Proposición se desprende manifies-tamente del Fenómeno V y la Proposición II, Libro I; laúltima del Fenómeno IV y el Corolario VI, ProposiciónIV del mismo Libro”.

Como se puede observar de este ejemplo, la preten-sión es demostrar a partir de los fenómenos, utilizandotodo el aparato matemático construido con anterioridad.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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IMÁGENES

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José Marquina

Facultad de Ciencias,Universidad Nacional Autónoma de México.

Conclusiones

Siguiendo este método de estructuración paulatina, New-ton planteará su principio de gravitación universal formu-lado como gravitación de todos los cuerpos entre sí y delas partes con los todos y las partes con las partes y la que,si no es percibida en los objetos que nos rodean, es por-que “la gravitación hacia estos cuerpos es a la gravitaciónhacia toda la Tierra como estos cuerpos son a toda la Tie-rra, la gravitación hacia ellos tiene que ser muy inferiora lo que nuestros sentidos pueden observar”.

Asimismo, Newton muestra que le es claro que uno esel mundo ideal con simplificaciones y otro el mundo real,en el cual hay que hacer consideraciones en torno a no to-mar en cuenta, en el análisis, determinados elementos,siempre y cuando dichos elementos produzcan efectosque pueden despreciarse, pues hay otros casos en los que“la acción de Júpiter sobre Saturno no puede ignorarse”por lo que “el error en su movimiento en torno al Sol […]puede casi evitarse […] situando el foco inferior de su ór-

bita en el centro común de gravedad de Júpiter y el Sol”.De lo anterior se observa que Newton se percata de queal resolver problemas concretos será necesario aceptarel carácter aproximado de los resultados, pues como se-ñala en De Motu (borrador de los Principia), “considerarsimultáneamente todas estas causas de movimiento ydefinir estos movimientos mediante leyes exactas quepermitan un cálculo apropiado excede, si no me equivoco,la fuerza de todo el entendimiento humano”. La distin-ción que traza Newton entre el mundo matemático, enel cual, por ejemplo, las leyes de Kepler son exactas, y elmundo físico, en el cual sólo son aproximaciones, es unode los caracteres revolucionarios de la dinámica celestenewtoniana.

La gravitación le permite a Newton, asumiéndola co-mo principio, explicar el resto de los fenómenos, talescomo el comportamiento de la Luna, de las mareas, de laprecesión de los equinoccios, así como de los cometas,con lo que completa el proceso de análisis y síntesis quehabía anunciado en el prefacio a la primera edición.

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