1

CIENCIAS (FÍSICA, QUÍMICA, BIOLOGÍA) MÓDULO 3 Eje temático: Mecánica - Fluidos I. Mecánica 1. Conceptos generales La mecánica en esta unidad se centra principalmente en el movimiento circular uniforme, en las rotaciones y en la ley de conservación de la energía mecánica. 1.1. Vectores Para describir en forma adecuada el movimiento de un objeto en el plano, como el caso del movimiento circular uniforme, es de gran utilidad emplear vectores. Estos pueden ser entendidos como flechas y sirven para representar magnitudes físicas que poseen dirección, sentido y módulo.

La figura 1 ilustra las características de un vector xr :

Esto indica su sentido

La distancia AB corresponde al módulo de x ; es decir a r xr

A

BEsta es su dirección

A es el origen y B el extremo del vector

Fig. 1

xr

Las magnitudes físicas se pueden clasificar en vectoriales y escalares. Las primeras son todas aquellas que tienen asociada una dirección y un sentido en el espacio, como por ejemplo la velocidad, la aceleración y la fuerza. Entre las segundas, en que la dirección y sentido carecen de significado, tenemos la masa, la temperatura, y la energía. Comprender las magnitudes vectoriales es de gran importancia, pues ocupan un lugar importante en todos los contenidos de Tercer y Cuarto Año Medio.

2

Para los vectores se han definido algunas operaciones, de las cuales las más importantes aquí son la suma o adición entre vectores, el producto de un vector por escalar y la resta. Estas operaciones se ilustran en la figura 2.

arbr

barr

+

ar

arar

ar

ar3ar

br

−

barr

−

Fig. 2

br Producto de y 3 ary arResta de Suma de ar y b

r

El módulo de un vector se representa entre barras; por ejemplo, el módulo de la velocidad, que denominamos rapidez, se expresa como vr . Así, cuando

decimos que un vehículo viaja a 80 km/h estamos expresando su rapidez, cuando decimos que un vehículo viaja a 80 km/h hacia el norte, como además estamos expresando la dirección y sentido en que se mueve, estamos habando de velocidad . vr

Debes notar que, en general, babarrrr

+≠+ y que, cuando y ar br

son

perpendiculares, entonces 22 baba

rrrr+=+ ; es decir, se aplica el teorema de

Pitágoras. 1.2. Vectores que describen movimientos Algunos vectores son particularmente útiles para describir los movimientos. Entre ellos están la posición, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, que expresaremos respectivamente como rr , rr∆ , vr y ar . El esquema de la figura 3 muestra estos vectores para el caso del movimiento de un insecto que se ha trasladado por cierta trayectoria (línea de puntos) desde la posición A a la B durante el tiempo ∆t.

Fig. 3

Brr

vr

P

A ar

Arr

rr∆

Trayectoriaα

B

3

P es un punto cualquiera de un sistema de referencias y en él se han colocado los orígenes de los vectores que indican las posiciones Ar

r y Brr .

En la descripción vectorial de un movimiento como este hay que tener presente los siguientes aspectos: - El desplazamiento corresponde a AB rrr rrr

−=∆ y su módulo es en general menor que la distancia entre los puntos A y B, medida a lo largo de la trayectoria y que denominaremos camino recorrido. - La velocidad posee en cada instante la dirección y sentido del movimiento, es decir, en cada punto es tangente a la trayectoria.

- La aceleración en cada instante es tva

∆∆

=r

r, para un ∆t muy pequeño y, como

consecuencia de esta definición, es un vector que siempre está dirigido hacia el interior de la trayectoria, cuando ella es curva. - Si α es el ángulo descrito por el insecto en el tiempo ∆t, en relación al punto

P, entonces su rapidez angular se define como: t∆

=αω .

2. Movimiento circular uniforme

El movimiento circunferencial uniforme es aquel cuya trayectoria es una circunferencia y cuya rapidez es constante. La figura 4 representa esta situación para un automóvil que está dando vueltas en una rotonda. Es importante notar que en este caso, y en relación al centro de la trayectoria, el módulo de rr corresponde al radio de la circunferencia, es decir, rr =

r. La

velocidad es en todo instante perpendicular a rr , es decir, rr ⊥ y su módulo, por tratarse de un movimiento uniforme, es constante, es decir,

vr

vr =

constante.

rrrr =r

vv =r

vrar

Fig. 4

4

Si T es el tiempo que tarda en completar una vuelta (período de traslación), entonces, como el perímetro de la circunferencia es 2πr, la rapidez resulta

serT

rv π2=r y la rapidez angular

T360º

=ω , si los ángulos se expresan en grados

sexagesimales, y T2πω = si los ángulos se expresan en radianes. En este último

caso se ve claramente que rv ω=r

.

Con un poco de geometría, para el movimiento circunferencial uniforme se puede demostrar que la aceleración está exactamente dirigida hacia el centro de la circunferencia, razón por la cual se denomina aceleración centrípeta, y

que su módulo es: r

va

2rr = , o bien, ra 2ω=

r.

Por ejemplo, si el radio de la trayectoria de un automóvil que se mueve en una rotonda es de 100 metros y tarda 31,4 segundos en dar una vuelta

moviéndose uniformemente, entonces su rapidez es segundos 31,4

metros 0013,142 ⋅⋅=vr =20

m/s (72 km/h). Además su rapidez angular en relación al centro de su

trayectoria debe ser segundos 4,31

º360=ω = 11,5 º/s o bien

srad 2,0

segundos 31,4rad 14,32

=⋅

=ω y su aceleración centrípeta 22

m/s 4m 100

m/s) 20(==ar .

La fuerza también es una magnitud vectorial. En efecto, el segundo principio de Newton (principio de masa) debe escribirse así: amF rr

= , en que m es la masa del objeto y su aceleración. Nótese que la fuerza posee la dirección y sentido de la aceleración, razón por la cual en el movimiento circunferencial uniforme, la fuerza está dirigida en cada instante también hacia el centro de la circunferencia. Por ello nos referimos a ella como fuerza centrípeta y su

módulo lo podemos calcular con las expresiones:

ar

rmr

vmFC

22

ω==r

r.

Si el automóvil del ejemplo anterior posee una masa de 1.200 kg, la fuerza

centrípeta sobre él debe ser newton 800.4m/s 4kg 1.200 2 =⋅=CFr

.

La fuerza necesaria para que el automóvil de la figura 4 pueda dar vueltas en la rotonda es aplicada por el pavimento. En el caso de la persona que hace girar la piedra atada a un cordel (figura 5), la aplica el propio cordel y, en el caso de la Luna que orbita alrededor de la Tierra, es la propia Tierra la que, a distancia, actúa sobre ella por medio de la gravedad.

5

La fuerza centrípeta me la está

aplicando el cordel. ¿Qué me pasaría si

se corta? Fig. 5

3. Rotaciones y momento de inercia

Cuando un disco sólido, por ejemplo una rueda, gira en relación a un eje, como se ilustra en la figura 6, hablaremos de rotación. Debes notar que en estos casos cada punto del disco posee un movimiento circunferencial en relación al eje de giro. Mientras todos los puntos poseen la misma rapidez angular, solo poseen igual rapidez y aceleración los que se encuentran a igual distancia del eje de giro.

P QTodos los puntos de la rueda poseen, respecto del eje de giro, igual velocidad angular (ω).

Respecto del eje de giro P y Q tienen igual rapidez angular (ω), pero distinta rapidez (v) y distinta aceleración centrípeta (a), las cuales dependen de la distancia al eje de rotación.Fig. 6

El concepto de masa expresa la dificultad que presenta un objeto para que una fuerza modifique su estado de movimiento. Mientras más masa posea un objeto, mayor fuerza debemos aplicar para que al trasladarlo alcance cierta rapidez, o bien para detenerlo o también para desviar su trayectoria. Para hacer girar un cuerpo alrededor de un cierto eje ocurre algo similar.

Seguramente te has dado cuenta de que el esfuerzo que debes hacer para rotar un objeto, por ejemplo un libro, depende del eje en relación al cual lo hagas. Verifica lo que se ilustra en la figura 7. El concepto físico que da cuenta de este hecho es el momento de inercia, que expresaremos por I. Esta es una magnitud más compleja, pues depende tanto de la masa, como del modo en que ella está distribuida en relación al eje de giro.

6

Fig. 7

Para el caso simple de una masa m situada en el extremo de una varilla de largo l, el momento de inercia corresponde, por definición, a I = ml2, si el eje de giro es el que se indica en la figura 8. Por razones de simplicidad suponemos despreciable la masa de la varilla.

m

l

Fig. 8

Mientras más larga sea la varilla; es decir, a mayor l, mayor es su momento de inercia o, dicho de otro modo, mientras más alejada se encuentre la masa del eje de giro, mayor será el valor de I. Esto tiene algunas aplicaciones que con seguridad ya conoces. Debes haber equilibrado, por ejemplo, una escoba con un dedo, como se ilustra en la figura 9a. ¿En cuál de los siguientes casos resulta más difícil mantener una varilla en equilibrio?

7

Fig. 9

db c a

Si tienes dudas debes hacer la prueba. Entre los casos a y b, es más fácil mantener el equilibrio de la escoba en el caso a. Entre los casos c y d es más fácil equilibrar la varilla más larga. Esto ocurre porque en relación al eje de giro (la mano de la persona) el momento de inercia es mayor en a que en b y mayor en c que en d. Por otra parte, en a es más fácil que en c, pues hay más masa lejos del eje de giro. Otra situación en que un gran momento de inercia resulta de utilidad, es el caso del equilibrista en la cuerda floja (figura 10), quien sostiene entre sus manos una larga varilla.

Gracias varilla ¡si no fuera por ti!

Fig. 10

Literalmente se está sujetando de ella, pues presenta un gran momento de inercia. La figura 11 propone un experimento simple. Construye el sistema que se ilustra en dicha figura teniendo en cuenta que puedes colgar de una pitilla una varilla de madera para maquetas en la cual has enterrado un par de naranjas. ¿En cuál de los dos casos (a o b) el sistema posee un mayor momento de inercia?

8

En ambos casos la masa del sistema es la misma, pero ella está distribuida de distinta manera. En el caso a la masa está más alejada del eje de giro y por tanto allí el momento de inercia es mayor. Al aplicar en ambos casos un torque que saque del reposo el sistema, constataremos que en el caso b el sistema opone menos dificultad para rotar.

F

Caso a

F

Caso bFig. 11

4. Rotaciones y momento angular

Una cantidad física de gran importancia en las rotaciones es el momento angular, que se define como el producto entre el momento de inercia y la rapidez angular. Expresado con L, corresponde entonces a L = Iω.

Su importancia radica en que es una cantidad que se conserva en los sistemas aislados; es decir, aquellos sobre los cuales el torque externo es nulo. Un caso bien conocido que pone en evidencia la tendencia a la conservación del momento angular es el de una bailarina que en la punta de sus pies hace girar su cuerpo en relación a un eje vertical (figura 12). Ella, si inicialmente gira con sus brazos extendidos (a), incrementa su rapidez angular cuando acerca los brazos a su cuerpo (b) y la disminuye cuando los aleja nuevamente de él. En este caso, como el roce entre la bailarina y el entorno es pequeño, durante una buena parte del movimiento se lo puede despreciar y se aprecia, por lo menos cualitativamente, la tendencia de L a conservarse. Debes notar que cuando la bailarina está con los brazos extendidos presenta un momento de inercia I mayor que cuando los junta a su cuerpo, de modo que Iω = constante.

(a) (b)

Fig. 12

9

Una situación en la que se puede apreciar fácilmente la ley de conservación del momento angular en la sala de clases, es la que se ilustra en la figura 13. Si haces girar, a modo de boleadora, una goma de borrar por medio de un hilo que pasa por el tubito de un lápiz pasta, comprobarás que al tirar con fuerza el hilo la rapidez de la goma aumenta significativamente; es decir, aumenta ω como consecuencia de la reducción del radio de giro R, con lo cual disminuye el momento de inercia del sistema.

Fr

R

Si tiran del hilo disminuye mi momento

de inercia (I), pero aumenta mi rapidez

angular ω, de modo que L se conserva.

Fig. 13

Otro hecho importante de destacar es que el momento angular es una magnitud vectorial, porque la rapidez angular también lo es (esto se explica con mayor detalle un poco más adelante en este mismo texto, mediante la figura 26). Lo anterior implica que también tiende a conservarse la dirección espacial del eje de rotación.

Ello se pone en evidencia al intentar cambiar la dirección del eje de rotación de una rueda de bicicleta, como se ilustra en la figura 14. Resulta muy difícil cuando está girando en comparación a cuando está en reposo.

10

Si haces la misma experiencia, pero estando sentado en una silla de secretaria que pueda girar, constatarás que al intentar cambiar la dirección del eje de la rueda de bicicleta, tú y la silla empezarán a girar. En efecto, el sistema complejo formado por la rueda de bicicleta y tu cuerpo con la silla giratoria tiende a conservarse para el conjunto.

Cuesta más cambiar la dirección del eje de rotación de la rueda

cuando ella está girando que cuando está en reposo. ¡Esta es otra consecuencia de la ley de conservación del momento angular L!

Fig. 14

Este es también el principio bajo el cual funciona el giroscopio, instrumento de gran importancia en la navegación aérea y espacial. Se trata de una rueda de gran momento de inercia que gira con una gran velocidad angular en un sistema de ejes que puede rotar libremente. El eje de giro de la rueda se mantiene entonces paralelo a sí mismo dando cuenta a los pilotos de la nave de los cambios que ella experimenta en su orientación. 5. Trabajo mecánico y energía

Otra cantidad que se conserva en el tiempo, tal vez la más importante de la física, es la energía mecánica. De ella algo aprendiste en 2° Año Medio. Un sistema físico posee energía (por ejemplo un automóvil o una persona), debido a que posee capacidad para realizar trabajo mecánico. Es decir, hay energía cuando algo tiene la capacidad para aplicar sobre un objeto una fuerza capaz de desplazarlo. Más exactamente, como lo ilustra la figura 15, el trabajo T que realiza una

fuerza Fr

corresponde al producto entre el componente de la fuerza que posee

la dirección del desplazamiento ||Fr

y el desplazamiento rr∆ ; o sea rFT ∆= ||

r. Si

11

sabes algo de trigonometría comprenderás que el trabajo también puede ser expresado como )cos(αrFT ∆=

r, en que α es el ángulo que forman y F

rrr∆ .

Cajón

Fr

||Fr

⊥Fr

Dirección del desplazamiento

Fr

||Fr

⊥Fr

rr∆

α

α

Fig. 15 Es importante observar que T es: - una magnitud escalar (o no vectorial) cuya unidad en el Sistema Internacional de unidades (SI) es el joule (newton×metro). - cero cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento, pues cos(90º) = 0.

- rF rr∆ cuando la fuerza posee la misma dirección y sentido del

desplazamiento.

- rF rr∆− cuando la fuerza posee la misma dirección, pero sentido opuesto al

del desplazamiento, como suele ocurrir con la fuerza de roce. Veamos un ejemplo que ilustra estos aspectos. Supón que la persona de la figura 16 arrastra por el piso horizontal un refrigerador aplicándole una fuerza de 30 newton y que lo traslada una distancia de 5 metros con rapidez constante. ¿Qué trabajo realiza la fuerza que aplica la persona?

Fig. 16

12

Puesto que en este caso FFrr

=|| = 30 newton ( 0rr

=⊥F , o bien cos(0º) = 1),

rr∆ = 5 metros y los vectores Fr

y rr∆ poseen la misma dirección y sentido, T =

150 joules. ¿Qué trabajo realiza en este caso la fuerza de gravedad que actúa sobre el refrigerador? Puesto que el peso del refrigerador es perpendicular al desplazamiento, esta fuerza no realiza trabajo; T = 0. ¿Qué trabajo realiza la fuerza de roce que actúa sobre el refrigerador? Como el movimiento del refrigerador es rectilíneo y uniforme, la fuerza neta o total sobre él es cero y, por lo tanto, la fuerza de roce debe ser de 30 newton. Además tiene sentido opuesto al del desplazamiento, razón por la cual el trabajo que ella realiza es T = – 150 joules. En muchas ocasiones nosotros levantamos o bajamos objetos desplazándolos a favor o en contra de la fuerza de gravedad. En algunos de estos casos hay trabajo y en otros no. Analicemos las situaciones que se ilustran en la figura 17.

Fig. 17

h

A

B

Fr

gFr h

B

A

Fr

gFr BA

Fr

gFr

(c) (b) (a)

En los tres casos la persona mueve un objeto de masa m desde el punto A al B con movimiento uniforme, pero en (a) lo está subiendo, en (b) lo está bajando y en (c) lo está trasladando horizontalmente. Como el movimiento es uniforme, en los tres casos la fuerza neta sobre el cuerpo es cero, ya que las dos únicas fuerzas que actúan, la que aplica la persona ( F

r) y la gravedad

( gmFgrr

= ), se anulan entre sí. En consecuencia, en los tres casos el trabajo neto (el realizado por la fuerza neta) es cero. En el caso (a) el trabajo que realiza la fuerza que aplica la persona es T = mgh, mientras que el trabajo que realiza la fuerza de gravedad es T= – mgh.

13

En el caso (b) el trabajo que realiza la persona es T= – mgh y el que realiza la fuerza de gravedad es T= mgh. Por último, en el caso (c), tanto el trabajo realizado por la fuerza que aplica la persona como el que realiza la fuerza de gravedad son cero, pues son perpendiculares a la dirección del desplazamiento. En base a lo anterior es fácil demostrar que el trabajo que realizamos a favor o en contra de la fuerza de gravedad es independiente de la trayectoria por donde traslademos un objeto. Esta idea se ilustra en la figura 18.

Fig. 18

A

B

Cualquiera sea la trayectoria por la que lleve

la masa m de A hasta B, realizo el mismo trabajo:

T = mgh.

gr

mh

Por último, es importante tener presente que en el movimiento circunferencial uniforme la fuerza centrípeta no realiza trabajo, pues es en todo instante perpendicular al desplazamiento. 6. Potencia Una fuerza puede realizar un mismo trabajo demorando tiempos distintos. De ello da cuenta el concepto de potencia, que habitualmente designamos con la letra W. Si T es el trabajo realizado por una fuerza en el tiempo ∆t, entonces la potencia

desarrollada es ∆tTW = y su unidad en el Sistema Internacional es el

segundojoule

,

que se denomina watt.

14

Veamos un ejemplo. Supongamos que la persona de la figura 19 aplica sobre un mueble una fuerza horizontal de 100 newton logrando desplazarlo una distancia de 10 metros en 50 segundos, ¿cuál es la potencia que desarrolla?

Fig. 19 El trabajo realizado por la persona es T = 1.000 joule y, como lo realiza en 50 s, la potencia desarrollada es W = 20 watt.

Si otra persona hiciera el mismo trabajo, pero demorando 25 s, desarrollaría una potencia de 40 watt.

Es interesante observar que la potencia también se puede calcular como W = Fv, en que v es la velocidad. En el caso anterior el mueble recorrió 10 m en 50 s, es decir, su rapidez fue 0,2 m/s. Como la fuerza fue de 100 newton, empleando esta nueva fórmula llegamos al mismo resultado.

Estudiemos un problema. Imagina que en el diseño de un rascacielos hay un ascensor de 500 kg que debe trasladar hasta 600 kg de carga (unas 10 personas) hasta una altura de 300 metros (unos 85 pisos). Si se desea que en un viaje expreso desde el primer y hasta el último piso el ascensor demore 4 minutos, ¿cuál debiera ser la mínima potencia del motor que mueva el ascensor?

La masa total que debe trasladarse es de 1.100 kg, por lo tanto, la fuerza que se le debe aplicar, igual al peso, debe ser de unos 11.000 newton (considerando g = 10 m/s2). Como el desplazamiento que experimenta el ascensor es de 300 metros, el trabajo que debe realizar el motor es de 3.300.000 joule. Como el tiempo que debe demorar en realizar esta tarea es de 4 minutos = 240 s, la potencia del motor debiera ser de 13.750 watt.

7. La energía mecánica y su conservación 7.1. Energía cinética y potencial

Es fácil ver que el trabajo mecánico que realiza la fuerza de gravedad sobre una piedra de masa m que se suelta desde una altura h es, respecto del suelo,

T = mgh e igual a 2

21 mvT = en que vv r

= es la rapidez con que llega al suelo.

Como se ilustra en la figura 20, la piedra que cae posee los dos tipos de energía.

15

h gr

Poseo energía potencial (EP) y cinética (EC) vr

Fig. 20

La primera cantidad (la energía potencial o posicional) corresponde a la que posee un cuerpo debido a la posición que ocupa; la denominamos energía potencial gravitatoria y la podemos escribir como EP = mgh. La segunda cantidad, que corresponde a la energía que posee un cuerpo por el hecho de estar trasladándose con cierta rapidez, la denominamos energía cinética de

traslación y la podemos escribir como 2

21 mvECT = .

Si la piedra estuviera girando sobre sí misma en relación a un eje con una rapidez angular ω y un momento de inercia I, tendría también una energía

cinética de rotación, que se puede calcular como 2

21 ωIECR = . En los ejemplos

que veremos a continuación consideraremos situaciones en que los cuerpos no rotan sobre sí. El caso de la energía de rotación lo trataremos en forma especial más adelante en este mismo módulo. Si durante la caída de un objeto este no experimenta roce con el aire (o bien dicho roce pueda ser despreciado), como ocurre en muchas situaciones cotidianas, la energía mecánica total E = EP + EC permanece constante en el tiempo. Por eso hablamos de la ley de conservación de la energía mecánica. Esta ley no es aplicable solo a la caída de los cuerpos. Es en realidad completamente general y constituye un sólido pilar de la física. Por otra parte resulta de gran utilidad práctica para resolver en forma simple algunos complejos problemas, permitiendo predecir situaciones de movimiento. Un caso particularmente interesante en que se puede aplicar la ley de conservación de la energía mecánica, es el de un carrito que viaja por una montaña rusa cuando el roce puede ser despreciado. Veamos un par de ejemplos que ilustran la manera de emplear esta ley.

16

Ejemplo 1. Una pelota se deja caer libremente en condiciones de vacío desde lo alto de una torre de 20 metros de altura, como se indica en la figura 21. ¿Con qué rapidez llega al suelo?

A

B

h

Fig. 21 Sea A el punto del cual se suelta la pelota y B el punto donde llega a impactar el suelo. Si m es la masa de la pelota, h la altura respecto del suelo desde donde es soltada y g la aceleración de gravedad del lugar, entonces, la energía mecánica total de la pelota en A, respecto del suelo, debe ser EA = mgh, y en B,

2

21 mvEB = , en que v es la rapidez con que llega al suelo. En A su energía

cinética es cero debido a que parte del reposo y en B la energía potencial es cero porque h = 0. Ahora bien, como las condiciones son de vacío, no hay roce y, por lo tanto, la energía mecánica de la pelota en A y en B deben ser iguales; es decir

EB = EA, por lo tanto: mghmv =2

21

Despejando encontramos que ghv 2= . Como h = 20 metros, si consideramos g

= 10 m/s2 tendremos que v = 20 m/s. Nota que la masa de la pelota se simplifica y por lo tanto no es un dato relevante en el problema; en otras palabras, la ley de conservación de la energía ratifica el hecho de que, en condiciones de vacío, todos los cuerpos caen de la misma manera independientemente de la masa que posean.

17

Ejemplo 2. Un carrito se suelta desde lo alto de una montaña rusa de 30 m de altura, como se muestra en la figura 22. Si despreciamos los efectos del roce y el giro de las ruedas, a) ¿con qué rapidez pasa el carrito por el punto P, situado a 18 m del suelo?

P

18 m

30 m

A

Q

hQ

Fig. 22 Si m es la masa del carrito y g la aceleración de gravedad en el lugar, la energía mecánica total del carrito en el punto A es, respecto del suelo, EA =

mgh y, en el punto P, 2

21 mvmghE PP += , en que hP es la altura a que se

encuentra P y v la rapidez con que el carrito pasa por él. Como los efectos de roce son despreciables, entonces la energía mecánica en P y en A debe ser

igual; es decir: EP = EA, o sea, mghmvmghP =+ 2

21

. Despejando v encontramos:

)(2 Phhgv −= . Si g = 10 m/s2, como h = 30 m y hP = 18 m, tenemos que

5,15240 ≈=v m/s. b) Si el carrito pasa por el punto Q con una rapidez de 17 m/s, ¿a qué altura se encuentra este punto Q?

La energía del carrito en el punto Q debe ser 2

21

QQQ mvmghE += e igual a la que

posee en el punto A: EA = mgh; es decir: mghmvmgh QQ =+ 2

21

. Despejando

obtenemos 2

21

QQ vg

hh −= . Reemplazando los datos de que disponemos

encontramos que hQ = 15,55 metros.

18

7.2. Energía cinética de rotaciones Si un objeto, como por ejemplo una rueda, está girando en relación a un eje, entonces por ese solo hecho posee energía cinética aunque no se esté desplazando. Si I es su momento de inercia y ω su rapidez angular, entonces esta energía, que denominaremos energía cinética de rotación, como se dijo

antes, queda expresada por 2

21 ωIECR = .

Hay situaciones en que los objetos se trasladan y rotan a la vez. En estos casos, a lo que vimos en el punto anterior es necesario agregar la expresión de ECR, quedando la ley de conservación de la energía mecánica como:

=++ mghImv 22

21

21 ω constante

Un caso en que es necesario considerar la energía cinética de rotación al aplicar la ley de conservación de la energía mecánica es el de una bolita o rueda que gira a medida que desciende por un plano inclinado, como se sugiere en la figura 23.

gr

Fig. 23

Para comprender mejor esta idea, analicemos la situación en forma cualitativa. Supongamos que la esfera de la figura 23 está inicialmente en reposo y se la suelta de modo que descienda por el plano inclinado. Aquí pueden suceder dos cosas: que la bolita se deslice sin rodar (por ejemplo, si el roce entre las superficies es nulo o despreciable) o que la bolita empiece a rodar (por ejemplo si el roce entre las superficies es significativo). En cualquiera de los dos casos la bolita llegará con cierta rapidez v al final del plano inclinado. Entonces, ¿cómo será la rapidez de la bolita en cada uno de estos casos?

19

Si la bolita empieza a girar irá adquiriendo una rapidez angular cada vez mayor

y, por lo tanto, adquirirá una energía cinética rotacional 2

21 ωIECR = , que

también irá aumentando. Como la variación de energía potencial en ambos casos es la misma, necesariamente al final del recorrido su energía cinética, debido a su traslación

2

21 mv , debe ser menor en el segundo caso y, por lo tanto, la bolita que rueda

debe llegar al final del plano inclinado con una rapidez menor a la experimentada por la que se desliza sin rodar. 8. Traslaciones versus rotaciones Como hemos visto, existe un conjunto de conceptos y leyes que dan cuenta de las traslaciones y otros que dan cuenta de las rotaciones o giros. Si bien son muy diferentes, es posible establecer entre ellos algunas analogías que facilitan su comprensión. A continuación presentamos un resumen de tales conceptos y leyes, poniendo la atención en las traslaciones, en las rotaciones y en las relaciones y diferencias que existen entre unos y otros. 8.1. Posición Para un objeto que se traslada en el plano XY su posición ( rr ) respecto de un punto O, queda definida por el vector que se muestra en la figura 24a, que cambiará en cada instante de t. Análogamente, para un cuerpo que rota en relación a un punto P del plano XY, se define la posición angular α, que es el ángulo que forma con el eje X, como se indica en la figura 24b.

X

Y

α

Posición angular (α)

P

Posición lineal ( rr )

X

rr

O

Y b a Fig. 24

20

8.2. Desplazamiento Para un objeto que se traslada en el plano XY se ha definido el desplazamiento

if rrr rrr −=∆ . Análogamente, un cuerpo que rota describirá cierto desplazamiento

angular ∆α = αf – αi, según se ilustra en la figura 25 a y b respectivamente.

X

Y

αi

Desplazamiento angular (∆α)

P

αf

∆α

Desplazamiento lineal ( rr∆ )

X

rr∆

O

Y

irr

frr

a b Fig. 25

8.3. Velocidad media Como recordarás, la velocidad lineal es un concepto vectorial. Ella posee la dirección y sentido del desplazamiento rr∆ , como se ilustra en la figura 26a,

pues se define según trvm ∆

∆=

rr . Análogamente, la velocidad angular también es

un vector, que designamos por ωv , en que su dirección es perpendicular al plano en que se realiza el movimiento, su sentido está dado por la regla de la

mano derecha y su módulo está dado por tm ∆

∆=

αω , según se ilustra en la

figura 26b.

ωr

vr

R irr

frr

rr∆

mvr a b

Fig. 26

21

8.4. Velocidad instantánea La velocidad lineal instantánea vr es la que posee un cuerpo en un instante t

específico y corresponde a la razón tr

∆∆r

cuando t ∈ ∆t y ∆t tiende a cero; es

decir ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆

=→∆ t

rlímvt

rr

0. Siguiendo la misma analogía se define la velocidad angular

instantánea ωr . 8.5. Rapidez La rapidez lineal corresponde al módulo de la velocidad lineal, que expresamos entre barras o bien sin la flecha arriba; es decir, vv r= . Análogamente, la

rapidez angular será ωω r= . Esto es así tanto para los valores medios como

instantáneos. Cuando la rapidez de un cuerpo (lineal o angular) es constante, decimos que dicho movimiento es uniforme. En adelante nos ocuparemos solo de los casos en que la rapidez angular es constante, como es el del movimiento circular uniforme. En esta situación se pueden ver algunas relaciones simples. Por ejemplo, para

el movimiento circunferencial uniforme se cumple que T

Rv π2= , en que R es el

radio de la circunferencia y T su período de traslación y, por otra parte, se

cumple que Tπω 2

= , en que el ángulo está expresado en radianes. Claramente

se ve entonces que v = ωR.

22

Es importante notar que para un disco sólido que rota como se ilustra en la figura 27, mientras todos los puntos que lo constituyen poseen la misma rapidez angular ω, poseen distinta rapidez lineal (flechas verdes), la cual es mayor mientras más alejados estén del eje de rotación. Lo mismo ocurre con la aceleración centrípeta (flechas rojas), que es mayor mientras más alejados estemos del eje de rotación. Fig. 27 8.6. Aceleración Igual que en los casos anteriores, es posible hablar de aceleración lineal y de aceleración angular. La aceleración lineal da cuenta de los cambios en la

velocidad lineal y se define como tva

∆∆

=r

r . Análogamente, la aceleración angular

da cuenta de los cambios en la velocidad angular y, no obstante poseer una definición que alumnas y alumnos fácilmente imaginarán, no la estudiaremos aquí por no ser necesaria. Para el caso del movimiento circular uniforme, la aceleración angular es nula, pero la aceleración lineal está dirigida hacia el centro de rotación, razón por la

cual se denomina aceleración centrípeta ( Car ) y su módulo es RvaC

2

= o bien

. RaC2ω=

23

8.7. Masa y momento de inercia

La masa (m) de un cuerpo es la medida de su inercia. En otras palabras, la masa expresa la dificultad que los objetos presentan para cambiar su estado de reposo o movimiento. Por ejemplo, entre dos objetos poseerá mayor masa aquel que nos cueste más acelerar, frenar o cambiar la dirección en que se está moviendo. El concepto análogo aquí es el de momento de inercia (I), que expresa la dificultad que ofrece un cuerpo para rotar alrededor de un eje. Como hemos visto, es un poco más complejo que el de masa, pues depende tanto del eje en relación al cual se lo haga girar como de la manera en que se distribuye su masa en relación a ese eje de rotación o giro. Por ejemplo, si dos ruedas poseen la misma masa, poseerá mayor momento de inercia aquella cuyo radio sea mayor. Mientras más alejada esté la masa del eje de giro o rotación en un cuerpo, mayor será su momento de inercia. Por esta razón, como vimos, la bailarina que rota sobre sí misma tiene mayor momento de inercia cuando está con sus brazos extendidos que cuando los tiene junto a su cuerpo. 8.8. Fuerza y torque Si la fuerza neta sobre una masa m es F

r, producirá en ella una aceleración ar

tal que amF rr= , como lo establece el segundo principio de Newton. Si sobre m

no actúan fuerzas, entonces el cuerpo en cuestión conservará su estado de reposo o movimiento. Es decir, si está en reposo, continuará en reposo y, si está en movimiento, continuará moviéndose con rapidez constante y en línea recta. Todo esto, claro está, se refiere a las traslaciones. El concepto análogo para las rotaciones es el de torque (τ). Si el torque neto sobre un sistema es cero, entonces dicho sistema conservará su estado de rotación. Es decir, si está en reposo, continuará en reposo, y si está rotando, conservará su movimiento rotacional en dos aspectos: su rapidez angular, que será constante, y la dirección del eje de rotación. Recuerda que el torque, cuando la fuerza F es perpendicular al brazo r, está dado por: τ = Fr. 8.9. Momentum lineal y momento angular

Como recordarás de Segundo Año Medio, una cantidad física importante es la cantidad de movimiento o momentum lineal. El momentum de un cuerpo se define como el producto de su masa por su velocidad. El concepto fue tratado cuando no sabías de vectores, pero ahora comprenderás que se trata de una magnitud vectorial. En efecto, queda bien definido como: vmp rr = .

24

Para el caso de las rotaciones también hay un concepto análogo, que es el de momento angular ( L ) y que corresponde al producto entre el momento de inercia (I) y la velocidad angular (

r

ωr ); es decir, corresponde a una magnitud vectorial que se puede expresar como ωr

rIL = , cuya dirección y sentido son las

de ωr . Ahora bien, ambas cantidades ( pr y L

rr) están asociadas a leyes de

conservación: la primera a la ley de conservación del momentum lineal y la segunda a la ley de conservación del momento angular.

La ley de conservación del momentum lineal establece que, para un sistema formado por uno o varios cuerpos, su momentum lineal total permanece constante en el tiempo si sobre dicho sistema no actúan fuerzas externas. Cuando esto ocurre decimos que el sistema está aislado. Si un sistema físico aislado está formado por n cuerpos, entonces su momentum total es npppP rrrr

+++= ...21 . Los cuerpos que constituyen este

sistema, pueden interactuar entre sí como los carritos o bolitas que chocan, pero, si sobre ellas no actúan fuerzas externas, entonces constante=P

r.

La ley de conservación del momento angular establece que para un sistema formado por uno o más cuerpos en rotación, su momento angular total permanece constante en el tiempo si sobre el sistema no hay un torque neto externo; es decir, el sistema también debe estar aislado.

Si un sistema de n cuerpos rota en torno a ciertos ejes (iguales o distintos), entonces el momento angular del conjunto será nLLLL

rrrr...21 ++= . Los cuerpos

en este sistema pueden interactuar entre sí, como el caso de la rueda de bicicleta y la persona en la silla de secretaria, pero si no hay torque externo, entonces, constante=L

r.

8.10. Energía cinética Por último, mencionemos la evidente analogía que existe entre la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotaciones. Basta en este caso repetir las expresiones que permiten calcularlas para ver su parecido.

Energía cinética de traslación: 2

21 mvECT =

Energía cinética de rotaciones: 2

21 ωIECR =

¿Tienen la misma unidad? Verifícalo.

25

II. Fluidos 1. Descripción general de los fluidos Los objetos de nuestro entorno inmediato los encontramos en estado sólido, en estado líquido o como gases. Los sólidos se caracterizan por poseer una forma y un volumen propio y estable; los líquidos, en cambio, si bien poseen un volumen definido, se depositan en el fondo de los recipientes adaptándose a la forma de estos; y los gases no poseen ni forma ni volumen propio, ocupando todo el espacio que tienen disponible. Esta definición, si bien es útil para muchos casos, con frecuencia resulta un tanto vaga. Esto se advierte cuando nos preguntamos, ¿en qué estado se encuentra la jalea de un postre? o ¿en qué estado nos encontramos nosotros? o ¿en qué estado se encuentra el aire de la atmósfera considerada globalmente?

Por otra parte, si preguntamos en qué estado se encuentra el vidrio de una ventana o de un vaso, la respuesta será unánime: sólido. Sin embargo, se ha observado que en los ventanales de antiguas catedrales los vidrios son más gruesos abajo que arriba; es decir, lentamente se están derramando, como se ilustra en la figura 28. Así, incluso algo que nos parece muy sólido podría corresponder, como en este caso, a un líquido altamente viscoso. Las definiciones, aunque útiles, no siempre se prestan para ser seguidas a ciegas.

Vidrio fluyendo

Fig. 28

26

Los objetos que mejor se comportan como un sólido son los cristales de diamante, pero incluso ellos pueden ser alterados. En definitiva, los conceptos de sólido, líquido y gas son un tanto relativos y dependen de las circunstancias en que se encuentre la materia. Nosotros consideraremos el vidrio de una ventana o a la madera de la cubierta de una mesa como sólidos por cuanto durante el período de tiempo en que los podemos considerar, para el análisis de una situación o un experimento, conservan prácticamente inalterada su forma. El que un material se encuentre en alguno de estos estados depende principalmente de la temperatura que tenga y, como se estudió en la unidad “El Calor” en Segundo Año Medio, ello se debe a una fuerza eléctrica de cohesión entre átomos y entre moléculas. Los sólidos, átomos y moléculas vibran dentro de posiciones bien definidas, ya que las fuerzas de cohesión entre ellos son muy grandes debido a su gran proximidad. En los líquidos, las moléculas están un poco más separadas, de modo que presentan cierta libertad de movimiento. En los gases, en cambio, las moléculas están a distancias tan grandes unas de otras que las fuerzas de cohesión prácticamente no existen. En algunos casos (gases ideales), incluso se pueden despreciar. En esta unidad nos preocuparemos de comprender el comportamiento de los llamados fluidos. Este es un término genérico que incluye a líquidos y gases; es decir, materiales en que átomos y moléculas pueden moverse con cierta facilidad unos respecto de otros. Al estudio de un fluido que está en reposo (agua quieta en un vaso, aire cuando no hay viento, etc.) se lo denomina hidrostática y cuando se estudia un fluido que está en movimiento o algo se mueve en él (agua corriendo por un río o saliendo de una cañería, avión en vuelo, etc.) se habla de hidrodinámica. Muchos de los hechos que observamos a nuestro alrededor encuentran su explicación en el interesante comportamiento de los fluidos. Veremos, por ejemplo, por qué se sostiene una ventosa en un vidrio, por qué podemos tomar bebida con una bombilla, por qué los objetos menos densos que el agua flotan en ella, por qué un barco de acero flota en el mar, por qué pueden volar los aviones, etc. y descubriremos que muchas de las respuestas que habitualmente damos a preguntas como las anteriores son profundamente incorrectas.

27

1.1. Área, volumen, masa y densidad Para abordar adecuadamente el tema de esta unidad es necesario que tengas presente algunos aspectos relativos a los conceptos de área, volumen, masa y densidad; particularmente, cómo se miden.

Tanto el área como el volumen de los objetos pueden determinarse, muchas veces, haciendo uso directamente de nuestros conocimientos de geometría. En la figura 29 se resumen las fórmulas que usaremos con mayor frecuencia y en la figura 30 se indican las unidades que empleamos para medirlas , así como sus relaciones.

hrV 2π= 3

34 rV π=abhV

21

=abcV =3aV =

Volumenes: r

hr

hba

c

ba

a

aa

Areas:r

bb

a a a2aA = abA =

2abA = 2rA π=

Fig. 29

La masa de los objetos podemos medirla con una balanza o (indirectamente) con un dinamómetro. La unidad de masa en el Sistema Internacional (SI) es el kilogramo (kg), que conocemos bien porque lo empleamos en la vida diaria. También empleamos algunos de sus derivados, como el gramo (g) y la tonelada (1.000 kg).

Fig. 30 Concepto Unidad SI Símbolo Longitud metro m Área metro2 m2

Volumen metro3 m3

Masa kilogramo kg

Densidad 3metrokilogramo

3mkg

28

Toda porción de materia posee una masa m y, bajo ciertas condiciones, un volumen V que permiten definir la densidad D. Esta importante cantidad la calculamos según:

VmD = [1]

de donde tenemos que:

volumende unidadmasa de unidadndidad de Unidadde =

cuya unidad SI debe ser: 3mkg

. También se suele usar el 3cmg

.

Debes notar que, como 1 kg = 1.000 g y 1 m = 100 cm, se tiene que:

1 3cmg

= 1.000 3mkg

En el cuadro de la figura 31 se señalan algunas relaciones entre unidades de uso frecuente en física que es conveniente que tengas presente. 1 m = 102 cm = 103 mm 1 litro (lt) = 103 cm3

1 m2 = 104 cm2 = 106 mm3 1 ml = 1 cm3 = 10–3 lt 1 m3 = 106 cm3 = 109 mm3

1 kg = 103 g

1 3mkg = 10–3 3cm

g

Fig. 31 Algunas conversiones que conviene tener presente.

Notar que: 102 = 100 103 = 1.000 104 = 10.000

En la tabla de la figura 32 se dan las densidades de algunos materiales que será importante tener presente para el desarrollo esta unidad. No debe olvidarse que la densidad del agua (destilada, a 0° C y a 1 Atm) es exactamente 1 g/cm3 o 1000 kg/m3.

29

Fig. 32 Material (g/cm3) Aire atmosférico 1,29 × 10–3 Corcho 0,24 Madera de pino 0,42 Aceite de comer 0,98 Aluminio 2,70 Acero 7,80 Diamante 3,50 Cobre 8,90 Mercurio (Hg) 13,6 Oro(Au) 19,3 Estos valores corresponden a cuando la temperatura es 0° C y la presión 1 atmósfera.

Por otra parte, existen en el universo densidades mucho mayores a la del agua, como la de las estrellas de neutrones (1025 g/cm3), y otras muy pequeñas, como la del espacio interestelar (10–19 g/cm3). En el Big Bang, según los astrofísicos, la densidad habría sido infinitamente grande. Conocer la densidad de un material puede ser muy importante. Supongamos que cierta piedra posee una densidad de 4,2 g/cm3 y una masa de 1.260 g. ¿Qué volumen ocupa?

De [1] tenemos que DmV = ; luego, considerando los datos, encontramos:

V = 3g/cm 4,2g 1.260

= 300 cm3.

¿Qué masa de aire habrá en la sala de clases? Aventura un valor y luego realiza las mediciones pertinentes que te permitan estimarlo con mayor exactitud. Considerando nuestro planeta como un cuerpo esférico de 6.370 km de radio, cuya masa es de 5,9 × 1024 kg, estima la densidad de la Tierra en g/cm3. ¿Cómo explicas el hecho de que la densidad promedio de las rocas de su superficie (~ 4 g/cm3) sea menor que la del planeta considerado en su conjunto? Considerando que la atmósfera posee unos 80 km de altura, estima cuál es su volumen. ¿Cómo crees que será su densidad a distintas alturas?

30

2. Hidrostática 2.1. Presión hidrostática

Antes de referirnos específicamente a la presión en fluidos, que es lo que nos interesa, veremos el caso de los sólidos para introducirnos así más fácilmente en el concepto de presión. 2.2. El concepto de presión Sean dos porciones de materia (A y B) que interactúan entre sí con una fuerza, F, a través de una superficie, S. La presión P que se ejercen se define como:

SFP = [2]

De acuerdo con esto la unidad para medir la presión debe ser:

Unidad de presión = sùperficie de unidad

fuerza de unidad

En el SI, en que la fuerza se mide en newton y el área de una superficie en

metros cuadrados, la unidad de presión es 2metronewton

y se denomina pascal (Pa),

en honor a Blas Pascal. Lee el recuadro de la figura 33 para saber sobre este gran personaje. Más adelante nos referiremos a otras unidades de presión de uso corriente que son muy importantes. Veamos, ahora, algunos ejemplos.

31

Blas Pascal (1623 – 1662) Filósofo, escritor, matemático y físico francés. Inventó la máquina de calcular cuando era muy joven. Contribuyó a desarrollar el concepto de presión atmosférica, el equilibrio de los líquidos y la prensa hidráulica. En matemáticas inicia el cálculo de probabilidades.

Fig. 33

La figura 34 ilustra un libro sobre una mesa aquí en la Tierra. Como ejerce una fuerza sobre la mesa (su peso) y entre él y la mesa hay una superficie de contacto, entonces el libro está ejerciendo una presión sobre la masa.

Fig. 34

10 m/s2 0,3 m

2 kg

Como la masa del libro es 2 kg, su peso es F = 20 newton. Por otra parte, el área de contacto es S = 0,3 m × 0,2 m = 0,06 m2. Luego, reemplazando en [2] encontramos que la presión es: P = 33,3 pascal. Es importante comprender que la presión será mayor mientras mayor sea la fuerza y mientras menor sea el área de contacto. Este último hecho explica la eficacia con que funcionan ciertos utencilios como los que se ilustran en la figura 35: cuchillos, tijeras, clavos, etc.; pues con fuerzas relativamente pequeñas es posible ejercer presiones muy grandes, que es lo que interesa realmente en estos casos.

32

Fig. 35

Cuando empujamos un mueble o a una persona, evidentemente estamos aplicando una fuerza, pero lo que sentimos en nuestras manos al empujar el mueble, y lo que siente la persona cuando la empujamos, es una presión. El dolorcito que sentimos cuando la enfermera nos clava la aguja de una jeringa, también es consecuencia de una gran presión. Estima la presión que se ejerce en alguno de estos casos. ¿Aproximadamente qué presión ejerce sobre el suelo una persona que está de pie? Si la masa es de 60 kg, como la del señor de la figura 36, y el área de contacto entre la planta los zapatos y el suelo es 0,012 m2, entonces esta

presión esSF

P g= , o S

mgP = ; es decir:

2

2

m 012,0m/s 10kg 60 ⋅

=P ,

lo que corresponde a 50.000 pascal. ¿Cómo cambia la presión si la persona levanta uno de sus pies separándolo completamente del suelo?

g = 10 m/s2

120 cm2

60 Kg

Fig. 36

33

2.3. La presión en líquidos ¿Por qué un buzo o un submarino están sometidos a mayor presión mientras mayor sea la profundidad a que se encuentren? La presión que ejerce un líquido en el fondo del recipiente que lo contiene ¿depende o no de la forma de este? ¿De qué factores depende?

Para responder a estas preguntas consideremos un líquido de densidad D (no necesariamente agua) que se halla en un recipiente cilíndrico alcanzando una altura h según se indica en la figura 10.

h

g

D

S

P

Fig. 37 La fuerza que aplica el líquido en el fondo del recipiente debe ser su peso; es decir, F = mg. Según [1] su masa debe ser: m = DV y su volumen V = Sh, en que S es el área del fondo del recipiente. Reemplazando en [2] encontramos:

SDShg

SDVg

SmgP === ; simplificando,

DghP = [3]

Esta importante relación nos dice que la presión que ejerce el líquido en el fondo del recipiente depende solamente de su densidad D, de la altura h de la columna de líquido y de la aceleración de gravedad g del lugar donde se encuentre; es decir, no depende de la forma del recipiente, ni de la superficie del fondo, ni del volumen de líquido.

34

Veamos algunos ejemplos para entender el alcance de la relación [3].

Ejemplo: ¿Qué presión ejerce una columna de agua de 15 cm de altura en el fondo del vaso que la contiene, aquí en la superficie terrestre? Solución: Como se trata de agua D = 1 g/cm3 = 1.000 kg/m3; h = 15 cm = 0,15 m. Considerando g = 10 m/s2, al reemplazar en [3] encontramos:

pascalDghP 500.115,0101000 =××==

Ejemplo: En la figura 38 se muestran tres vasos que contienen agua hasta el mismo nivel. ¿Cómo es la presión que el agua ejerce en el fondo de cada uno de ellos?

Fig. 38

Solución: Como el líquido, la altura y la gravedad son iguales en los tres casos, la presión también lo es.

35

Ejemplo: ¿Qué presión ejerce el agua en el fondo de un lago de 40 m de profundidad (figura 39)?

Agua Fig. 39

40 m

Solución: Reemplazando los datos en la expresión [3] tenemos

pascalsmm

mKgP 000.4001040000.1 23 =××= .

Nota importante: en los ejemplos anteriores se ha considerado solo la presión ejercida por los líquidos. Más adelante veremos que la presión total en el fondo de los recipientes se encuentra sumando la presión que ejerce la atmósfera.

h

Fig. 40 Si en un recipiente practicamos orificios en diferentes posiciones, según se ilustra en la figura 40, veremos que por el orificio más bajo, aquel para el cual h es mayor, el chorro de agua sale con mayor rapidez y llega más lejos, lo cual prueba que allí la presión es mayor. Es interesante observar que la fuerza que produce la presión es perpendicular a las paredes del recipiente. Más aún, actúa perpendicularmente a la superficie de cualquier objeto con el que esté en contacto.

36

Fig. 41

En la figura 41 se ilustra un recipiente de forma caprichosa en el cual también hay sumergido un cuerpo cualquiera de forma arbitraria. Por medio de flechas se señala la dirección en que actúa la fuerza en cada punto y las longitudes de las mismas representan la magnitud de las presiones en dichos puntos. Nótese que para alturas o profundidades iguales, las longitudes de las flechas también son iguales. Con esta representación hay que ser cuidadoso pues la presión no es una magnitud vectorial. Analicemos el caso de los vasos comunicantes: si en un tubo o manguera con forma de U colocamos agua, esta alcanzará en ambos brazos la misma altura cuando se establezca el equilibrio, es decir, hasta que en cada brazo las presiones sean iguales. Pero si colocamos aceite en uno de los brazos veremos que el sistema queda como se ilustra en la figura 42.

10 cm hB

Agua

Aceite A B

g = 10 m/s2

Fig. 42

Supongamos que la altura (hB) de la columna de aceite es un poco mayor que 10 cm. Como la presión ejercida por el agua en el punto A debe ser la misma que ejerce el aceite en el punto B, tenemos:

PA = PB [4]

37

considerando [3], esto implica que:

DBghB = DAghA, donde DB y DA son las densidades del aceite y el agua respectivamente y hB y hA (10 cm) sus respectivas alturas. Como g, la aceleración de gravedad es la misma, y se puede simplificar*, con lo cual queda:

DBhB = DAhA Por último, como la densidad del aceite es 0,98 g/cm3, podemos determinar la altura de la columna de aceite. En efecto:

B

AB D

hDh A=

Reemplazando los datos del ejemplo que hemos desarrollado encontramos que:

hB = 3

3

g/cm 0,98cm 10g/cm 1 ⋅

= 10,2 cm.

* La presión atmosférica también contribuye prácticamente igual en ambas columnas, razón por la cual no la consideraremos. 2.4. El principio de Pascal y la máquina hidráulica “Si en un recipiente cerrado hay un fluido, la variación de presión se transmite en todas direcciones con la misma intensidad”.

F = ?

4.500 kg

Pistón APistón B

g = 10 m/s2

fluido

Fig. 43

38

Para comprender este enunciado del principio de Pascal, resulta conveniente analizar la máquina hidráulica que se ilustra en la figura 43. En estos casos despreciaremos las diferencias de presión atmosférica que existen a diferentes alturas del fluido, así como la presión hidrostática. Para que el camión esté en equilibrio es necesario que las presiones en ambos pistones (A y B) sea la misma; es decir, PA = PB. Considerando [2] este principio se puede escribir:

B

B

A

A

SF

SF

= , [5]

donde FA y FB son las fuerzas ejercidas sobre los pistones y SA y SB sus respectivas áreas de contacto con el fluido. Si la superficie del pistón B es 60 veces mayor que la del pistón A; es decir, si SB = 60 SA; entonces la fuerza que debe aplicarse en A, para mantener el camión en equilibrio, es la cincuentava parte del peso del camión. En efecto, si reemplazamos los datos en [5] y calculamos FA, encontramos:

B

BAA S

FSF = = A

A SS

60newton 45000

= 750 newton

Esta fuerza es la que se necesita para levantar del suelo un cuerpo de unos 75 kg. Como puede verse, la máquina hidráulica es muy eficiente y permite multiplicar considerablemente las fuerzas. Si lo deseas, puedes experimentar con una máquina hidráulica elemental como la que se ilustra en la figura 44. Se trata de dos jeringas unidas por una manguera (una bombilla de plástico para tomar bebidas resulta ideal). Si se llena todo con agua, basta presionar con las manos ambos pistones para apreciar que la fuerza que debe hacerse sobre cada uno de ellos para mantenerlos en equilibrio es muy diferente.

Fig. 44

39

Estos sistemas hidráulicos son parte de muchas maquinarias; pero posiblemente donde más se los emplea es en los automóviles, cada vez que el chofer de un vehículo pisa el pedal de freno. En la figura 45 se ilustra una parte de un circuito de freno hidráulico tradicional. Si te interesa la mecánica, puedes investigar los distintos tipos de frenos que existen.

Pedal de freno

Manguera de frenos

Depósito delíquido de frenos

Neumático

TamborBalata

Fig. 45 2.5. Presión atmosférica ¿Pesará el aire? Para responder a esta pregunta podría pensarse en realizar la medición que se ilustra en la figura 46. Fig. 46 Compara el “peso” de un globo cuando está desinflado con el peso que tiene cuando está inflado. La diferencia correspondería a la masa del aire atrapado en el interior del globo inflado. Como veras más adelante, independientemente de la precisión del instrumento que se emplee, este método es profundamente erróneo. Si bien no proporciona la masa del aire del interior del globo, permite convencerse de que la pregunta sí tiene sentido y de que la respuesta es positiva.

40

¿Existe el vacío? ¿Cómo puede producirtambién estrechamente relacionada conafirmaba que el vacío era imposible, qvacío” y que cualquier intento por producidea, como tantas otras de este pensadosiglos. El alemán Otón von Guericke fuemáquina para intentar generar el vacescultura en la que se lo recuerda junto tema muy entretenido que puedes abundante material al respecto. El experimento más importante lo realitaliano Evangelista Torricelli (1608-1647ver en la figura 48. Procedió a llenar conde 1 metro de longitud y luego lo invirtióque también contenía mercurio, según l49. Grande fue su sorpresa al constataren el recipiente, quedando dentro del tu76 cm de longitud. Fue una sorpresa pues esperaba que ocuesto es, que el mercurio permaneciera de

Fig. 18 Fig. 19 Fig. 48 Fig. 47

se? La historia de este problema está el concepto de presión. Aristóteles

ue la naturaleza le tendría “terror al irlo estaría condenado al fracaso. Esta r, no se puso en duda por más de diez uno de los primeros en realizar una

ío. En la figura 47 se muestra una a su máquina. El cómo lo realizó es un investigar en Internet, donde hay

izó un discípulo de Galileo Galilei, el ), cuyo rostro y experimento podemos mercurio un tubo de vidrio del orden abriendo su extremo en un recipiente a secuencia que se ilustra en la figura que parte del mercurio se derramaba bo una columna de mercurio de unos

rriera lo mismo que con otros líquidos, ntro del tubo sin derramarse.

41

Torricelli comprobó después que la altura de esta columna de mercurio resultaba igual aun cuando, según se ilustra en la figura 50, el largo del tubo, su diámetro y forma fueran muy diferentes. ¿Qué otra cosa aparte de vacío podía quedar en la parte superior del tubo? Si intentas realizar tú este tipo de experimentos, debes tener mucho cuidado, pues, si bien el mercurio es muy hermoso, es altamente tóxico, por lo que resulta absolutamente necesario trabajar en un lugar bien ventilado.

≈ 76 cm≈ 1 m

Llen

ar e

l tub

o co

n H

g

destapar

vacío

voltear y sumergir en recipiente con

Hg

Secuencia Tapar sin que quede aire en el tubo

Fig. 49

≈ 76 cm

Fig. 50 Si realizas el experimento con agua en vez de mercurio, verás que no se derrama en el recipiente y el tubo queda lleno de agua. La explicación de estos comportamientos no fue cosa simple. Torricelli sostuvo que la columna de mercurio era sostenida por la presión atmosférica. Si se examina el esquema de la figura 24 y aplicamos lo que aprendimos para el caso de los vasos comunicantes, podremos entender mejor a Torricelli. En efecto, la presión que ejerce la columna de mercurio de altura h en el punto B, debe ser igual a la que existe en el punto A; pero el tubo aquí está abierto y en contacto con el aire; por lo tanto, este aire atmosférico debe ser el responsable de esta presión.

42

Fig. 51

hg

BA

La presión atmosférica puede ser calculada entonces con la expresión [3]; es decir:

Patmósfera = DHg × g × hHg

Como DHg, la densidad del mercurio, es 13.600 g/cm3, hHg = 0,76 m y g = 10 m/s2, encontramos que:

Patmósfera = 103.360,0 pascal (Si empleamos valores más exactos, se encuentra que la presión atmosférica a nivel del mar es en promedio 101.325,0 Pascal) Este es evidentemente un resultado muy importante. Si quisiéramos calcular la presión total en el fondo del lago de la figura 39, a la presión del agua debiéramos sumarle este valor. También es importante saber que el instrumento construido por Torricelli, es lo que conocemos como barómetro. Fue a Blas Pascal a quien se le ocurrió un experimento que probaría que esta presión se debe efectivamente a la atmósfera. La idea consistía en ascender una montaña con un barómetro e ir midiendo, a medida que se asciende, la altura de la columna de mercurio. Al existir cada vez menos aire encima del barómetro, la presión ejercida por él debía ser menor y en consecuencia la altura de la columna de mercurio debía reducirse. El experimento fue realizado con éxito en el monte Puy-de-Dôme, como se ilustra en la figura 52, sin la participación de Pascal, debido a que su precaria salud no se lo permitía. Se encontró que, por cada 10,5 m de ascenso, la altura de la columna de mercurio se reducía en 1 mm, por lo que este instrumento sirve también como altímetro.

43

Fig. 52

Puy-de-Dôme

Por otra parte, es interesante comprender que la altura de la columna de mercurio no todos los días y a toda hora es la misma. En efecto, se observan variaciones pequeñas que están relacionadas con el estado del clima. 2.6. Otras unidades de presión Las observaciones de Torricelli hacen de gran utilidad otras unidades de medición distintas al pascal. Entre las principales encontramos el “cm de Hg” y el “mm de Hg”, también denominado “torricelli” y abreviado como “torr”. Estas unidades corresponden a la presión ejercida en la base de una columna de mercurio de 1 cm y 1 mm, respectivamente. Otra unidad es la “atmósfera”, abreviada como “atm” y que corresponde a la presión ejercida, en su base, por una columna de mercurio de 76 cm de altura. No debe confundirse la unidad atm con la presión que ejerce la atmósfera en un momento dado. Son por lo general valores cercanos, pero los significados son distintos. Otras unidades usadas en meteorología son el “bar” y el “milibar”.

1 bar = 105 pascal

Para que te familiarices con las unidades de presión, te recomendamos que completes el cuadro de equivalencias que se propone en la figura 53.

44

Fig. 53 mm Hg (torr) cm Hg atm Pascal (Pa) bar mbar 1 mm Hg 1 0,1 0,001315 1 cm Hg 10 1 0,013157 1 Atm 760 76 1 1 pascal 1 1 bar 105 1 1000 1 mbar 10–3 1 Por último, otra unidad frecuentemente usada es la libra/pulgada2 (lb/in2), que equivale a 6.895 pascal. 2.7. Algunos efectos de la presión atmosférica ¿Por qué el experimento de Torricelli no resulta si se hace con agua? En realidad sí resulta, pero el problema es que el tubo de vidrio debiera tener más de 10 m de longitud. Más exactamente, debiera ser a lo menos 13,6 veces más largo que los 76 cm que se requieren al hacerlo con el mercurio, ya que el mercurio es 13,6 veces más denso que el agua. Esto tiene una consecuencia importante: con una bomba de vacío, situada en la parte superior de una cañería (figura 54), es imposible hacer subir agua a más de 10,336 metros. En otras palabras, si queremos extraer agua de un pozo con esta técnica y el agua está a una profundidad mayor que esta, será imposible lograrlo, por muy poderosa que sea la bomba que usemos. Del mismo modo, si pretendiéramos tomar bebida con una larga bombilla, no lo lograríamos si el líquido está 10,5 m más abajo. En realidad, con la capacidad de nuestros pulmones, apenas lograríamos que el agua ascienda 1 m. Intenta verificarlo.

45

≈ 10 m

Bomba Fig. 54

Como te has dado cuenta, vivimos en el fondo de un inmenso “océano de aire” y la presión que este produce está siempre presente, permitiendo que ocurran muchas cosas. Veamos algunos ejemplos: Podremos llenar de líquido una jeringa tirando su émbolo ya que este penetra en ella gracias a la presión atmosférica. También una ventosa, como las que se adhieren a los vidrios para colgar objetos (figura 55) se sostiene gracias a la presión atmosférica. En la Luna, en cuya superficie no hay atmósfera, una ventosa no lograría adherirse a una superficie lisa como la de un vidrio.

Presión inferior a la atmosférica

Presión atmosférica

Fig. 55

46

Si sumergimos un vaso en agua estando invertido (figura 56a), vemos que en él prácticamente no entra agua. En cambio, si lo sumergimos como se indica en la secuencia b, observaremos que al sacarlo invertido, sale lleno de agua. Esto último también constituye un hecho a través del cual se pone en evidencia la presión atmosférica. ¿Puedes explicarlo?

Agua y vaso

Fig. 56

(b)(a)

El sifón es otro ejemplo. Si llenas una manguera con agua y la dispones como se indica en la figura 57, podrás vaciar el recipiente. Realiza el experimento. Fig. 57

47

Otro experimento que puedes hacer es el que se ilustra en la secuencia de la figura 58. Si llenas un vaso con agua hasta el mismo borde, lo tapas con una tarjeta o cartulina, al invertirlo constatarás que, al dejar de afirmar la tarjeta, el agua permanece en el vaso.

Fig. 58 También es fácil realizar el experimento que se ilustra en la figura 59. Al colocar el vaso sobre la vela se observa que, cuando esta se apaga una vez que ha consumido todo el oxígeno, el agua asciende en el interior del vaso.

Fig. 59 Considérese por último el dispensador de agua que se ilustra en la figura 60. Gracias a él, la mascota puede beber según sus necesidades, ya que el agua de la botella bajará en la medida que éste la consuma.

Fig. 60 Es importante que analices todos y cada uno de estos ejemplos, explicándolos y reconociendo el rol que desempeña en cada caso la presión atmosférica.

48

Además, debes comprender que nuestro organismo está sometido permanentemente a la presión atmosférica y que la presión que ejerce la atmósfera produce una fuerza perpendicular a la superficie de la piel en cada punto de nuestro cuerpo. Un cambio pequeño en su valor puede afectarnos considerablemente. Es así que se producen los malestares que experimentan los buzos al sumergirse en las profundidades del mar o los que experimentan los alpinistas que ascienden a cumbres elevadas. ¿Qué ocurrirá con un tarro de lata si lo calientas, luego lo tapas herméticamente y por último lo enfrías, por ejemplo, echándole agua? Piensa antes de responder y, si haces la experiencia, cuida de no quemarte. La figura 61 ilustra una bomba de las que se emplean en el campo para extraer agua de los pozos. Obsérvala detenidamente y explica su funcionamiento. Indica, por ejemplo, en qué momento las válvulas se abren y cierran al accionar la palanca.

Fig. 61 2.8. El barómetro anaeróbico La figura 62 representa el principio bajo el cual funciona este tipo de barómetro. Fig. 62

soporte

cara flexible

–+

49

A la izquierda, fijo a un soporte, se halla un tarro herméticamente cerrado. Si a una cara flexible fijamos una varilla y una aguja, veremos que al aumentar la presión atmosférica esta cara se hunde hasta que la presión del aire que está en el interior del tarro se equilibra con la presión atmosférica. Como el panel está fijo al soporte, veremos que la aguja se desplaza hacia la izquierda; lo opuesto ocurre cuando la presión atmosférica se reduce. Como el efecto suele ser muy pequeño, los constructores de este tipo de instrumentos, por medio de un mecanismo con engranajes, amplifican este movimiento y le dan la apariencia de un reloj, como el que se muestra en la parte inferior de la figura 63.

Fig. 63 2.9. El manómetro Cuando el barómetro se emplea como se indica en la figura 64, lo denominaremos manómetro. En este ejemplo se puede apreciar que la presión del gas del balón, que puede considerarse igual en todas partes pues la diferencia de presión en su parte superior e inferior es despreciable, es de 120 torr. Fig. 64

Hg120 mm

50

3.1. El principio de Arquímedes ¿Cómo lo hacen los submarinos y los peces para permanecer quietos a cierta profundidad, sumergirse y emerger? ¿Por qué para los pájaros esto es imposible sin aletear? ¿Cómo funcionan los chalecos salvavidas? ¿Por qué flotan los témpanos de hielo? ¿Por qué las burbujas de aire en el agua, o de gas en las bebidas, siempre ascienden? Si colocamos sobre agua (figura 65) distintos objetos: madera, plástico, papel, clavos, cubos de hielo, un barquito de papel, etc., veremos que algunos flotan y otros se hunden. Pero esto no depende únicamente del material, también depende de la forma que este tenga. Si con un mismo trozo de plasticina construyes una bola y un disco ahuecado, verás que el primero se hunde mientras que el segundo flota, según se ilustra en la figura 66. Por la misma razón un clavo de hierro se hunde y un barco, del mismo material, flota. Todas estas preguntas y los hechos señalados encuentran su explicación en el principio de Arquímedes. Para saber más sobre Arquímedes lee el recuadro de la figura 67.

monedapapelclavo

hieloplástico madera Fig. 65 Fig. 66 plasticina

Fig. 67 Arquímedes de Siracusa nace el 287 AC y en el 212 AC, año que cayó Siracusa en manos de los romanos, es asesinado por un soldado a pesar de existir la orden de respetar la vida del sabio. Realizó grandes aportes enfísica y geometría.

51

Este célebre principio se puede formular del siguiente modo: Sobre un cuerpo sumergido en un líquido actúa una fuerza, de abajo hacia arriba (el empuje), que es igual al peso del líquido desalojado.

El análisis de la figura 68 te ayudará a entender esto. Al sumergir la piedra el nivel del líquido sube, poniendo en evidencia el líquido desalojado por la piedra. Al mismo tiempo, es claro que los volúmenes de la piedra y el líquido desalojado son iguales. Ahora bien, el peso de este líquido, es decir, su masa multiplicada por la aceleración de gravedad, es igual a la magnitud de la fuerza que actúa sobre la piedra, de sentido opuesto al peso y que, por lo tanto, la haría sentir más liviana.

Líquido desalojado Empuje

Fig. 68 Nadie sabe cómo Arquímedes llegó a esta conclusión, pero se conoce bien la leyenda según la cual el rey Herón de Siracusa encargó al genio averiguar si la corona de oro que le había hecho un orfebre, contenía todo el oro que le habían entregado para su fabricación. Según se dice, hizo el descubrimiento cuando se estaba bañando, y tan contento se puso que salió desnudo y con la corona en sus manos gritando por las calles de su ciudad “¡Eureka! ¡Eureka!...”, en señal de que había hallado la solución al problema. Ahora bien, lo interesante es comprender que el principio de Arquímedes es una consecuencia de la presión hidrostática. Para entender este punto sigamos el siguiente análisis ayudados por la figura 69. Allí se muestra un líquido de densidad D y sumergido en él un cuerpo cilíndrico de altura H y área A en su parte superior e inferior. Según [3], en la superficie superior la presión es P1 = Dgh1, donde h1 es la profundidad a que se encuentra dicha superficie. Igualmente, en la superficie inferior es P2 = Dgh2. Arriba la fuerza producida por la presión actúa hacia abajo y la de abajo actúa hacia arriba, siendo mayor esta última dado que h2 > h1.

52

h1

h2

A

PP22==DDgghh22

PP11==DDgghh11

Fig. 69

H

Los valores de estas dos fuerzas deben ser F1 = P1A y F2 = P2A, respectivamente, con lo cual la fuerza total resultante a la presión que aplica el fluido, ya que las fuerzas laterales se anulan, es:

F = F2 – F1; es decir,

F = (P2 – P1)A, o bien,

F = (Dgh2 – Dgh1)A; lo que se puede escribir como:

F = Dg(h2 – h1)A = DgHA; Pero como el volumen del cilindro, y también el del líquido desalojado, es V = HA, encontramos que la fuerza que actúa hacia arriba y corresponde al empuje E es:

E = DgV [6]

Como la masa del líquido desalojado es, según [1],

m = DV,

53

el empuje corresponde a

E = mg,

que es el peso del líquido desalojado. Así, hemos demostrado, gracias a las matemáticas, el principio de Arquímedes. No es muy difícil comprender que este es un resultado general; es decir, no depende de la forma del cuerpo que esté sumergido. 3.2. Empuje y peso aparente Todos hemos experimentado la sensación de sentirnos más livianos cuando estamos sumergidos en agua. Ello no se debe a una reducción de nuestro peso, sino a la presencia del empuje. Si haces el experimento que se ilustra en la figura 70, podrás constatar que en apariencia el peso de una piedra se reduce al sumergirla en agua. Por ejemplo, si al colgar la piedra del dinamómetro este indica que el peso de la piedra es de 10 newton (a) y al sumergirla en agua (b) indica 8 newton, ello se debe a que sobre la piedra, además de la fuerza de gravedad, está actuando el empuje que ejerce el agua. El peso de la piedra es 10 newton, su peso aparente 8 newton y el empuje 2 newton.

(a) (b)

10 newton 8 newton

Fig. 70

Debes notar que, si consideramos que la densidad del agua es 1.000 kg/m3 y la aceleración de gravedad 10 m/s2, entonces, con la ecuación [6] podemos determinar el volumen de líquido desalojado y el de la piedra (que es el mismo). En efecto,

DgEV = ;

54

)

por lo tanto:

( ) ( 23 m/s 10kg/m 1.000newton 2

⋅=V = 0,0002 m3 = 200 cm3

También es importante notar que si conociéramos el volumen de la piedra, la medición del empuje con esta metodología y la expresión [6] nos permitirían determinar la densidad D del líquido en que la hemos sumergido. Este es el principio del densímetro. 3.3. Empuje y flotabilidad Sabemos que algunos objetos flotan sobre los líquidos y otros se hunden. Más exactamente, como lo indica la figura 71, hay tres posibilidades. Si el peso del objeto es mayor que el empuje (a), este se hunde hasta llegar al fondo del recipiente; si es igual al empuje (b), permanecerá “entre dos aguas”; y si es menor que el empuje (c), el cuerpo saldrá a flote y emergerá del líquido reduciéndose el empuje hasta hacerse igual al peso.

Fg = E Fg < E Fg > E Fig. 71

(b) (c) (a)

En la figura 72 se ilustra este último caso con más detalle. En (a) el cuerpo está completamente sumergido, pero como el empuje es mayor que su peso, está ascendiendo. Luego llegará a la posición que se indica en (b), pero igual que antes, seguirá ascendiendo. Desde este momento en adelante parte del cuerpo quedará por encima del nivel del líquido y el empuje se empezará a reducir, hasta hacerse igual a su peso. En este momento el cuerpo flotará en equilibrio. Las flechas azules indican el sentido del movimiento del cuerpo. En los líquidos en general, en tanto, las burbujas de aire u otros gases ascienden igual que un corcho, y lo hacen por la misma razón.

55

Fg < E Fg < E Fg = E

(a) (b) (c)

Fig. 72 Problema: En la figura 73 se ilustra un trozo de madera que flota en equilibrio sobre el agua. ¿Qué parte de él sobresale del agua?

10 cm

10 cm

x

y

Agua

8 cm.

?

Fig. 73 Solución: Si consideramos [1] tenemos que la masa del trozo de madera es: M = DV. Como la densidad de la madera es 0,42 g/cm3, tomando en cuenta las medidas dadas en la figura 73, tenemos que:

M = 0,42 g/cm3 ·10 cm · 10 cm · 8 cm

M = 336 g

Por lo tanto su peso es

Fg = mg = 0,336 kg · 10 m/s2. = 3,36 newton.

56

Esta fuerza debe ser igual al empuje que ejerce el agua, dado que la madera está en equilibrio. Luego, considerando [6] podemos escribir:

3,36 newton = 1.000 kg/m3 · 10 m/s2 · 0,10 cm · 0,10 cm · y

de donde

y = 0,0336 m = 3,33 cm; por lo tanto, como x + y = 8 cm, tenemos que

x = 4,64 cm.

Es importante advertir que el empuje no solamente actúa sobre cuerpos sumergidos en líquidos. En efecto, también actúa sobre los cuerpos sumergidos en la atmósfera. Por ejemplo, un globo lleno de helio, como el que sostiene la persona de la figura 74, asciende porque el empuje que el aire le aplica es mayor que su peso, siendo lo mismo lo que ocurre con los globos aerostáticos. Pero, por extraño que parezca, también actúa sobre las personas y todas las cosas que nos rodean. En otras palabras, cuando nos subimos a una pesa, ella marca un poco menos de lo que marcaría si la atmósfera no existiera. Por esta razón el procedimiento indicado en la figura 46 para determinar el “peso” del aire es incorrecto.

Fig. 74 Hagamos una estimación del empuje que el aire le aplica a una persona. Si ella posee una masa de 60 kg y suponiendo que su densidad es igual a la del agua, tendremos que su volumen, considerando [1], es de 0,06 m3. Si la densidad del aire la consideramos igual a 1,29 kg/m3, entonces, según [6], el empuje que él ejerce sobre esta persona es del orden de 0,77 newton, que se puede despreciar si se lo compara con los 600 newton de su peso.

57

Ahora te mostraremos un juego entretenido. Introduce un gotario a medio llenar con agua en una botella plástica casi llena de agua, según se ilustra en la figura 48, y de modo que flote. Al cerrar la botella y presionar con los dedos sus paredes, podrás constatar que el gotario desciende y, al dejar de presionar la botella, asciende. Este juguete, conocido como ludión o diablillo de Descartes (pues a él se le atribuye su invención), se explica en base al principio de Arquímedes. ¿Cuál es esa explicación?

Fig. 75 Para que este juguete funcione como lo hemos descrito y sea sensible a la débil presión que con las manos ejerzamos sobre los costados de la botella, es preciso ajustar el agua dentro del gotario de modo que, cuando flote sobre el agua, esté casi a punto de hundirse en ella. 3.4. La capilaridad y la tensión superficial Al introducir diferentes objetos en agua u otros líquidos, observarás que las zonas en que dichos objetos están en contacto con la superficie de tales líquidos adoptan curvaturas especiales, que llamaremos meniscos. Si el objeto es un tubo capilar, inferior a unos 4 mm de diámetro interior, observarás que el nivel que alcanza el líquido dentro y fuera del tubo es diferente. También podrás constatar que algunos líquidos mojan de manera diferente los objetos; pero en algunos casos los líquidos no mojan en lo absoluto a los objetos, como es el caso del mercurio y el vidrio. En la figura 76 se ilustran los distintos efectos señalados hasta aquí.

(a) Agua moja al vidrio

(b) Mercurio no moja al vidrio

Fig. 49

58

Si bien estos efectos son pequeños y en la vida diaria suelen pasar desapercibidos, son de gran importancia y en muchos casos resultan de gran utilidad práctica. Estos fenómenos ocurren debido a que las moléculas de los distintos materiales interactúan eléctricamente con las moléculas de los líquidos y fluidos en general. Cuando el líquido moja al objeto, estas fuerzas son atractivas, y cuando no los mojan, repulsivas. Por otra parte, en las superficies de los líquidos estos átomos y moléculas se atraen entre sí más fuertemente que en otros lugares, produciendo lo que se denomina tensión superficial. El que los líquidos puedan ascender por delgados tubos se denomina capilaridad. A continuación señalaremos distintas situaciones corrientes en que tales fenómenos tienen lugar. Es importante que realices las observaciones y experimentos que se proponen y te convenzas por ti mismo de lo que aquí se dice. Si calientas en un mechero un tubo capilar de vidrio y lo estiras cuando se esté fundiendo de modo que se adelgace lo más posible, observarás que al introducir un extremo en agua esta asciende varios centímetros por el tubo, como se indica en la figura 77. Prueba con capilares de diferentes diámetros; el efecto puede llegar a ser sorprendente. Si agregas al agua una gota de tinta china, posiblemente verás que el colorante no asciende por el tubo. ¿Por qué ocurrirá esto?

El agua asciende

hasta aquí

Fig. 77

59

Hay papeles más absorbentes que otros. La publicidad de servilletas y toallas de papel suelen destacar esta propiedad. La figura 78 muestra el diseño de un experimento que permite evaluar este aspecto. Corta tiras de igual ancho pero de distintos papeles y cartones e introduce sus extremos en agua. Después de un rato verás que el agua asciende más en unos que en otros. ¿Qué fenómeno es el que está ocurriendo aquí? ¿Qué tienen los papeles que permiten que esto ocurra? Fig. 78 Con un alambre muy delgado construye un resorte cuyas espiras posean unos 2 cm de diámetro y midan unos 10 cm de largo cuando entre las espiras haya alrededor de 5 mm de distancia. En su extremo conforma una argolla lo más plana posible. Lo que has construido es un dinamómetro de gran sensibilidad, útil para poner en evidencia la tensión superficial en líquidos. Si introduces la argolla en agua, como se indica en la figura 79, constatarás que al levantar el resorte este se estira. Compara la tensión superficial que producen diferentes líquidos: aceite, mercurio, alcohol, etc. Si eres muy cuidadoso y paciente, posiblemente serás capaz de poner una aguja de cocer sobre el agua sin que se hunda (figura 79). Si no tienes tanta paciencia, puedes lograrlo pasando primero la aguja por una vela (parafina sólida). ¿Qué efecto producirá la esperma?

Superficie de un líquido

Fig. 79

60

Posiblemente has visto que algunos insectos pueden caminar sobre el agua, ¿cómo lo lograrán? Dato curioso: si una piscina estuviera llena de mercurio en vez de agua, podrías caminar por su superficie al igual que algunos insectos en el agua. Si disuelves un poco de jabón en agua e introduces en ella una argolla, al sacarla podrás ver una delgada película de líquido que se sostiene en los bordes de la argolla. Si soplas suavemente podrás formar hermosas burbujas que vuelan por el aire hasta reventar en el momento de tocar un objeto. Al agitar la superficie del agua jabonosa también podrás ver que en ella se forman numerosas burbujas. ¿Cómo explicas la formación de las burbujas? Otra observación interesante que tiene relación con los hechos descritos son las gotas en diferentes líquidos; ¿serán todas las gotas de agua del mismo tamaño? ¿Qué pasa con gotas de agua, alcohol, aceite y mercurio si se colocan sobre la superficie horizontal de un vidrio? ¿Qué diferencia tiene una gota de agua, colocada sobre un vidrio horizontal, comparada con la que se forma en una superficie de teflón? ¿Por qué los gásfiter emplean huinchas de teflón en las uniones de las cañerías de agua? La capilaridad es aprovechada por el reino animal y vegetal, siendo de gran importancia para la vida. Por ejemplo, en todos los organismos hay una red capilar que lleva los nutrientes a los tejidos y los órganos, a través de la linfa en los vegetales, y de la sangre en los animales. La capilaridad contribuye significativamente a que la linfa llegue a más de 120 metros de altura en los grandes árboles. Si te interesa la biología puede resultar muy interesante que realices una investigación bibliográfica acerca de estos aspectos. 4. Hidrodinámica En este capítulo estudiaremos algunos fenómenos interesantes que acontecen cuando los fluidos se mueven en relación a un conducto y cuando un objeto se mueve en relación a ellos. El personaje central de esta apasionante historia es Daniel Bernoulli, cuyo perfil podemos ver en el recuadro de la figura 80.

61

Fig. 80 Daniel Bernoulli

(1700 – 1782) Miembro de una familiade grandes matemáticos. Fue inicialmente profesor de anatomía, después de botánica y finalmente de física en la universidad de Basilea. Desarrolló las leyes que rigen la dinámica de los fluidos (hidrodinámica) y contribuyó a los inicios de la teoría cinética de los gases.

4.1. Las leyes de Bernoulli A continuación te proponemos una serie de observaciones y experimentos simples muy interesantes de realizar. Antes de hacerlos intenta predecir lo que ocurrirá y, después, intenta explicar lo que ocurre. a) Sopla por encima de una hoja de papel dispuesto horizontalmente bajo tu boca, como se indica en la figura 81. A muchas personas les sorprenderá ver que el papel se levanta. Una variante de este experimento consiste en soplar por el espacio que hay entre dos globos ligeramente separados, como lo indica la figura 82. Aquí también ocurre algo inesperado para la mayoría de las personas: los globos se juntan.

Fig. 82Fig. 81

62

b) Sopla por una pajilla doblada sobre una abertura de modo que funcione como atomizador, tal como se ilustra en la figura 83. Es curioso observar que el agua asciende por el tubo vertical. Fig. 83 c) Afirma con un dedo una pelota de pimpón en un embudo (preferiblemente transparente, para que puedas ver lo que ocurre) y justo cuando soples fuertemente saca el dedo. Esto también produce una sorpresa: la pelotita, en vez de caer, se mantiene dentro del embudo, como muestra la figura 84.

Fig. 84 d) Con un secador de pelo puedes mantener flotando en el aire una pelotita de pimpón del modo que se ilustra en la figura 85. Lo que debe llamar tu atención es que, cuando la pelota está en equilibrio, al mover el chorro de aire de un lado a otro, la pelota sigue al chorro y continúa en equilibrio. Si inclinas un poco el chorro de aire, constatarás que tampoco cae. Fig. 85

63

e) Si estás a la orilla de una carretera y pasa por ella un bus o camión muy grande y muy rápido, ¿qué sientes? Esta observación puede ser muy peligrosa, especialmente si vas en bicicleta, pues una fuerza te empujará hacia la carretera y puedes caer sobre ella. f) Si acercas una pelota que cuelga de un hilo al chorro de agua que sale de una llave observarás que la pelota puede mantenerse en equilibrio en la posición que se indica en la figura 86; es decir, parece que el flujo de agua y la pelota se atraen. Fig. 86 Todas estas situaciones tienen algo en común: fluidos en rápido movimiento. Las explicaciones las encontramos en el análisis que realizaremos a continuación, haciendo uso de nuestros conocimientos matemáticos. Empecemos por preguntarnos: ¿Qué ocurre con la velocidad de un fluido que se mueve por un tubo en que cambia su sección, por ejemplo, al pasar de una cañería gruesa a otra más delgada? Fig. 87 La figura 87 ilustra bien esta idea. Si presionamos de igual manera el pistón de dos jeringas idénticas, una sin aguja y otra con aguja, podremos apreciar que el líquido sale mucho más veloz en el segundo caso; es decir, cuando la sección del conducto es menor. En realidad la rapidez v con que se mueve el fluido es inversamente proporcional a la sección A de la cañería. Posiblemente has notado que el agua que fluye por un río o canal se mueve también más rápido en los lugares en que este es más angosto o menos profundo. Este fue el primer descubrimiento de Bernoulli, el cual puede expresarse diciendo que:

vA = constante [7]

64

Analicemos un ejemplo para comprender mejor este punto. Supongamos que un flujo de agua viaja con una rapidez de 50 cm/s por una cañería cuya sección es de 6 cm2, según se indica en la figura 88. Si la cañería se hace más angosta, de modo que su sección se reduce a 2 cm2, ¿con qué rapidez se moverá en esta zona?

50 cm/s

6 cm2 2 cm2

v = ?

Fig. 89 Aplicando la relación [7] tenemos que:

v·(2 cm2) = (50 cm/s) ·(6 cm2),

de donde se tiene que:

v = 150 cm/s Es importante preguntarse también cuántos litros de agua atraviesan la sección de la cañería en cada zona durante un cierto tiempo, por ejemplo en 10 segundos. En la zona más gruesa el volumen de agua que cruzará la sección será:

500 cm · 6 cm = 3.000 cm3 = 3 litros.

En la zona más delgada será:

1.500 cm · 2 cm = 3.000 cm3 = 3 litros.

Como se ve, el volumen de agua que atraviesa ambas secciones es el mismo, lo cual es lógico, pues en otro caso significaría que cierta cantidad de agua se está perdiendo o está surgiendo de la nada.

65

Otra manera de visualizar esto es considerando un tubo como el de la figura 89 con dos medidores de presión como los que se usan para medir la presión de los neumáticos de los automóviles, semejantes al representado en la Figura 89(a); o de los cuales salen tubos verticales, como en 89(b); o conectados a manómetros de mercurio. Al circular un fluido por él, la presión será mayor en el tubo de mayor sección.

(b) (a)

Fig. 89 Todo lo anterior es igualmente válido para un gas, aunque los efectos térmicos y las turbulencias que se producen ya no son despreciables, como ocurre con la mayoría de los líquidos Si dos cañerías de distinta sección se encuentran a alturas distintas, la descripción del movimiento de un fluido a través de ellas es más complejo, pues influye la presión hidrostática y su análisis debe considerar la ley de conservación de la energía mecánica. La expresión matemática que describe esta situación es conocida como ecuación de Bernoulli. Ella puede deducirse a partir del análisis de la figura 90.

h1 v1t

A1 F1 = P1A1

v1

v2tv2

F2 = P2A2 A1

gD

h1

Fig. 90 La parte inferior del tubo posee una sección A1 y se encuentra a una altura h1 de cierto nivel. La parte más elevada del tubo está a una altura h2 y tiene una sección A2.

66

El fluido está retenido por pistones en ambos extremos y se puede iniciar su movimiento aplicando una fuerza F1 en el pistón inferior, forzando un desplazamiento del pistón superior, donde la fuerza será F2. Estas fuerzas, en función de las presiones, deben ser:

F1 = P1A1 y F2 = P2A2, y el trabajo realizado por ellas:

T1 = P1A1d1 y T2 = – P2A2d2;

en que d1 y d2 son los desplazamientos de los pistones. Como el volumen es V = Ad (iguales en la parte angosta y en la ancha), podemos escribir:

T1 = P1V y T2 = – P2V,

luego, el trabajo total realizado por estas fuerzas debe ser:

T = (P1 – P2)V. [8] Por otra parte, si m es la masa de líquido desplazado (igual arriba que abajo), la variación de energía cinética,

2

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = mvEC ,

debe ser: 21

22 2

121 mvmvEC −=∆ [9]

donde v2 y v1 son las velocidades con que se mueve el fluido en la parte alta y baja respectivamente. Por último, el cambio de energía potencial gravitatoria (EP = mgh) es:

∆Ep = mgh2 – mgh1 [10] Entonces, considerando la ley de conservación de la energía mecánica tenemos que:

T = ∆EC + ∆EP.

Reemplazando aquí [8], [9] y [10] queda:

1221

2221 2

121)( mghmghmvmvVPP −+−−

67

Si dividimos esta expresión por V, teniendo en cuenta [1]; es decir, que la

densidad del líquido es VmD = , tenemos:

1221

2221 DghDghDv

21Dv

21

−+−=−PP

Llevando todos los términos con subíndice 1 al primer miembro y los con subíndice 2 al segundo, nos queda:

22221

211 2

121 DghDvPDghDvP ++=++ [11]

o bien, podemos decir que:

Constante 21 2 =++ DghDvP [12]

Esta es la ecuación de Bernoulli, y debes notar que todas las cantidades que figuran en ella tienen unidades de presión. Si consideramos que el líquido posee la misma densidad D en todas partes, que la aceleración de gravedad g y que la diferencia de altura h se conservan en todo momento; entonces, si cambia P debe también cambiar v, de tal manera que si una aumenta la otra disminuye. Si aplicamos esto, entonces los experimentos señalados en las figuras 54 a 59 encuentran una fácil explicación. Por ejemplo, al soplar encima de un papel, el aire en movimiento aplica en esa cara una presión menor a la que el aire en reposo aplica sobre la otra cara, por lo que la fuerza resultante sobre la hoja de papel estará dirigida hacia arriba, haciendo que el papel se eleve. Lo mismo ocurre con los globos: la presión del aire en la superficie de los globos donde está en movimiento es menor que en las restantes, produciendo sobre ellos la fuerza que los junta. Por otra parte, si soplamos el extremo superior de un tubo sumergido en un líquido, la presión en este también será menor que la presión atmosférica normal y el líquido dentro de él ascenderá. Además, si soplamos alrededor de una pelota, las zonas de esta por donde el aire circula más rápidamente, ejercerán sobre ella una presión inferior que en las otras. Por ejemplo, en el caso de la pelota que se aproxima al chorro de agua, la zona en que el agua se mueve recibirá una presión menor que del otro lado y en consecuencia la fuerza total sobre ella estará dirigida hacia el chorro de agua. Lo mismo explica el caso del secador de pelo.

68

Es interesante analizar lo que ocurre cuando hay un fuerte viento: contrariamente a lo que podría pensarse, la presión atmosférica es menor que la normal. Esta es la explicación de por qué tornados y huracanes quiebran los vidrios de los ventanales hacia fuera, abren las puertas también hacia fuera y levantan las techumbres, tal como se ilustra en la figura 91. Fig. 91

Fuerza

Viento En juegos de pelota, como el tenis o el fútbol, hay un efecto considerado comúnmente curioso que encuentra aquí su explicación: nos referimos al “chanfle”. Este efecto se consigue haciendo girar la pelota sobre sí misma mientras se desplaza. La diferente rapidez de ciertas partes de la pelota respecto del aire circundante produce presiones diferentes, lo cual tiene como consecuencia la acción de una fuerza que implica una desviación en la trayectoria rectilínea que tendría si no girase. La figura 92 ilustra el efecto.

Fuerza

Fig. 92 El caso más espectacular es el del ala de un avión. La figura 93 ilustra la particular forma del corte de un ala típica. La gracia de su diseño consiste en obligar al aire a circular con mayor rapidez por la parte superior que por la inferior, lo que se consigue haciendo que, en el mismo tiempo, el aire deba recorrer una distancia mayor. Al ser la rapidez del aire mayor por arriba que por debajo del ala, la presión que actúa arriba es inferior a la que actúa abajo y, en consecuencia, aparece una fuerza total sobre el ala dirigida hacia arriba. Cuando esta fuerza total sobre las alas, debida a esta diferencia de presión, es mayor que el peso del avión, este se empieza a elevar.

69

Fig. 93

Presión

Flujo de aire La figura 94 ilustra un experimento que puedes realizar con el propósito de verificar lo anterior. La idea es hacer un ala con papel corriente que, colgada de un dinamómetro por medio de hilos, la expongas a la corriente de un ventilador. Luego compara lo que marca el dinamómetro cuando el ventilador no funciona, con lo que marca cuando gira con diferentes velocidades.

Papel tamaño carta Cartón

Fig. 94 Si bien en primera instancia el principio de Bernoulli explica bastante bien el comportamiento de un ala de avión, el vuelo de estas máquinas es un fenómeno bastante más complejo debido a que en el aire se producen torbellinos que este principio no considera. En todo caso, si te interesa el tema puedes investigar más a fondo la estructura aerodinámica de los aviones. Por ejemplo, es instructivo conocer el efecto de los alerones y cómo el piloto se las arregla para ascender, descender y cambiar el rumbo.

70

Problema: Apliquemos la ley de Bernoulli a un problema numérico interesante. Supón un estanque muy grande, lleno de algún líquido, por ejemplo agua, que sale por un agujero situado en su parte inferior, como se indica en la figura 95. ¿Con qué rapidez sale el líquido?

g

Fig. 95

D

v2

v1 ≈ 0

h

Solución: Si el estanque es muy grande la rapidez con que desciende el nivel superior del líquido puede considerarse nula; es decir, v1 = 0. Si h1 es la distancia ente la superficie del líquido y el agujero, donde h2 = 0, y consideramos otra aproximación razonable: que la presión en la parte superior del líquido es la misma que a la salida del agujero; es decir, la presión atmosférica, P1 = P2, entonces al reemplazar todos estos valores en [11], encontramos que:

222

1 DvDgh = ,

de donde despejando v2, que es lo que queremos conocer, obtenemos:

ghv 22 = .

Este resultado es sorprendente: la rapidez con que sale el líquido no depende de la densidad del líquido del que se trate, ni de la forma del recipiente, ni del volumen de líquido; depende solo del desnivel h y, lo más interesante, este sale con la misma rapidez que adquiere un objeto que cae libremente desde la altura h. 4.2. Roce y velocidad límite Compara la rapidez con que caen en el aire diferentes objetos; por ejemplo, dos hojas de papel iguales, pero estando uno estirado y el otro arrugado conformando una pelota. O, como lo hiciera Galileo, la caída de una pluma con la de un martillo. Compara también la rapidez de caída de una moneda en el aire y en el agua. ¿Cómo explicas las diferencias que se observan?

71

Si no existiera el aire o el agua; es decir, en el vacío, papeles arrugados o estirados, plumas, martillos y monedas, dejados caer simultáneamente desde alturas iguales, tendrían en todo momento la misma rapidez y experimentarían todos la misma aceleración constante, del orden de 10 m/s2 aquí, en la superficie terrestre. En un homenaje rendido a Galileo Galilei, el astronauta David Scott estando en la Luna dejó caer simultáneamente una pluma y un martillo frente a las cámaras de televisión. Como en nuestro satélite no hay atmósfera, se pudo apreciar que ambos objetos caían uno junto al otro. El video de este experimento puedes verlo en Internet en la dirección http://www.lpi.usra.edu/expmoon/Apollo15/A15_surfops.html. Evidentemente es el fluido el que aplica sobre ellos una fuerza que los frena*, es el roce que se origina en la superficie del cuerpo que se mueve y el medio en que lo hace. Esta fuerza se opone al movimiento y depende principalmente de la rapidez, de la forma del cuerpo que se mueve y del fluido. Se trata de una fuerza aproximadamente proporcional a la rapidez. Por lo tanto, cualquier cuerpo que se deje caer desde el reposo, inicialmente aumentará su rapidez y también la magnitud de esta fuerza. Si el tiempo de caída es suficientemente largo, esta fuerza se hará igual al peso y la fuerza neta será cero desde ese momento en adelante, por lo tanto, continuará moviéndose con velocidad constante. Esta velocidad se denomina velocidad límite o terminal. El gráfico de la figura 96 ilustra la situación descrita. En él se puede ver cómo la rapidez de un cuerpo que se mueve en un fluido depende del tiempo de caída. Una buena descripción matemática de esta situación, considerando la segunda ley de Newton, consiste en escribir:

F – γv = ma, [13] donde F = mg es el peso del cuerpo de masa m, a su aceleración y γ una constante. La aceleración a se reduce desde un valor máximo (la aceleración de gravedad g) hasta hacerse cero. Su valor corresponde a la pendiente de la curva del gráfico (figura 96) para cada instante de tiempo. La constante γ, que debe ser positiva para que la expresión tenga sentido, depende tanto de la forma, posición y material del cuerpo que cae, como del medio en que cae. La velocidad límite es v = F/γ, pues corresponde a la que adquiere el cuerpo cuando su aceleración es nula. ¿Qué unidades debe tener γ?

* La fuerza a que nos referimos es distinta a la del empuje que describe el principio de Arquímedes. En los casos que estudiaremos a continuación y por razones de simplicidad supondremos despreciable dicho empuje.

72

Fig. 96

t

vVelocidad

límite

Tiempo de caída

Esto se puede estudiar en forma experimental y cuantitativamente analizando el movimiento de una bolita de acero que cae dentro de un frasco largo y lleno de aceite (figura 97). Bastará una regla larga y el cronómetro del (la) profesor(a) de Educación Física para obtener los datos necesarios.

A

ceite

Fig. 97

Hay algunas circunstancias en que este efecto es de gran importancia. Por ejemplo, cuando llueve, gracias al roce con el aire, las gotas de agua alcanzan rápidamente la velocidad límite, la cual afortunadamente es bastante pequeña. Si no fuera así, se convertirían en peligrosos proyectiles que atentarían contra nuestras vidas. Esto es también importante para los paracaidistas, quienes antes de abrir el paracaídas, alcanzan velocidades límites del orden de los 100 km/h, pudiendo disfrutar de la caída durante varios minutos, aunque pueden cambiar su rapidez cambiando la posición de su cuerpo.

73

Fig. 98

Cuando la superficie que enfrenta el aire aumenta, por ejemplo cuando se ponen en posición horizontal con los brazos extendidos, la velocidad límite será menor, fenómeno que conocen muy bien los murciélagos. Los paracaidistas que poseen mayor masa tardan más tiempo en alcanzar la velocidad límite y ella es mayor, por cuanto, para hacer piruetas mientras caen (figura 98) y descender todos juntos, deben poner sus cuerpos en distintas posiciones. Cuando abren el paracaídas la fuerza de roce se incrementa significativamente y la velocidad límite se reduce a unos 15 o 20 km/h, lo cual permite un aterrizaje seguro. 4.3. Presión sanguínea Una de las primeras cosas que hace el médico cuando nos examina es medir nuestra “presión arterial”. Si todo está bien, informa que tenemos “120/80”. ¿De qué presión se trata? ¿Cómo se mide? ¿Qué significan los valores que informa? ¿Por que simultáneamente se usa un estetoscopio? Con seguridad en más de una oportunidad tendrás que ir al médico y es preferible que conozcas las respuestas a preguntas como las anteriores, pues, si no ha ocurrido ya, te medirán la presión arterial. Las características y función del sistema circulatorio sanguíneo es un relevante tema de estudio de la Biología, ya que dichas funciones son esenciales para la vida y la salud. Aquí estudiaremos los aspectos del sistema circulatorio que tienen que ver con la Física.

74

Fig. 99

Lo primero a considerar es que nuestro corazón (figura 99) es una compleja bomba que impulsa mecánicamente la sangre por arterias, venas y capilares. Este bombeo es variable en intensidad y a ello se debe nuestro “pulso”; pero a medida que la sangre circula, la corriente sanguínea se va haciendo más uniforme y es prácticamente continua cuando regresa al corazón. Por otra parte, este flujo, cumpliendo la ley de Bernoulli, se mueve más rápido mientras menor es el diámetro de las venas. La excepción son los capilares. La presión sanguínea también depende de la altura respecto de nuestro corazón. Por esta razón se ha convenido en medirla siempre en el mismo lugar, en el brazo y en la posición que se indica en la figura 100; es decir, a la misma altura del corazón. En este bombeo se denomina sistólica a la presión máxima y diastólica a la mínima. Al decir “120/80”, el 120, corresponde a la sistólica y 80 a la diastólica. Su unidad, rara vez mencionada por los médicos, es el torr o mm de Hg. Suelen decir también 12/8, correspondiendo a cm de Hg.

Fig. 100

75

En relación a su medición, debe saberse que el instrumento que se usa tiene un nombre difícil: esfigmomanómetro. Consiste en una manga que se le enrolla a la persona en el brazo y que se infla con una pequeña bomba manual y un manómetro de mercurio que mide la presión de aire dentro de la manga. El estetoscopio permite al médico oír el momento en que deja de circular sangre por el brazo.

El procedimiento es el siguiente: se infla la manga hasta que deja de circular sangre por la arteria branquial, y la presión medida en esa circunstancia corresponde a la sistólica o alta. Al abrir la válvula de la manga y dejar salir el aire de ella, se reestablece el flujo sanguíneo y la presión medida en ese momento es la diastólica o mínima.