BÀI T P NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂNẬ Tr n Xuân Huy nầ ế

Phone:01235775838I/ NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S Đ N GI NỐ Ơ Ả1/ Tìm nguyên hàm các hàm s sauố

a. 452

xy x= −

b. 4 3( ) 2 3 1f x x x= + −c.

2

( ) (3 2 )(5 1)f x x x x= − +

d. 2

3( ) 5 1f x x

x= − +

e. 5

2 2 1( ) ( )(4 )

3f x x

x xx= − +

f. 1

32

5( )

2f x x

x

−= +

g. ( ) 20xf x =h. 2 1( ) xf x e +=

2/ Tìm các nguyên hàm sau

a. 2

43( ).x x dx−∫

b. 3

.3

x x xdx

x

+∫

c. os .c x dx∫d.

1 osx.

3

cdx

+∫

e. 2 5

3

3 5 2.

x xdx

x

−∫

f. ( ) 21 (3 5).x x dx− +∫

g. 1

2 .3

5

x x

x+∫ dx

h. 3

.2

x

x

edx∫

i. ( )ln lg .x x dx+∫k. ( )5 7

2 3 5log log log .x x x dx+ −∫

II/ DÙNG PH NG PHÁP Đ I BI N S Đ TÍNH NGUYÊN HÀMƯƠ Ổ Ế Ố Ể1/ Tính các nguyên hàm sau

a. sin 2 .x dx∫b. os5x.dxc∫c. sin(3 7).x dx−∫d.

2os( x+17).dx

3c∫

e. 5 1.xe dx+∫

f.2 53 .27 .x x dx+∫

g2sin cos .x x dx∫

hmos sin .c x x dx∫

i.sinx osx.dxe c∫

k.os2x5 sin 2 .c x dx∫

l.9os (5x-7)sin(5 7).c x dx−∫

m. ( ) 73 8 .x dx−∫

2/ Tìm các nguyên hàm sau

a. ( ) 57 10 .x dx−∫

b. ( )2 32 3 2008x x −∫ .dx

c. 2

2.

1

xdx

x +∫

d. 9

10

5

1

x

x +∫e.

2 3 52 ( 4) .x x dx+∫

f. ln

.xdx

x∫g.

7

8

3.

1

xdx

x +∫h.

2 1.

1

x

x

edx

e

−+∫

i. ln ln

.ln

xdx

x x∫k.

ln .ln ln

dx

x x x∫III/ TÍCH PHÂN HÀM L NG GIÁC :ƯỢ(Chúng ta hãy l u ý r ng đ làm t t nguyên hàm c a các hàm l ng giác thì c n ph i s d ng thànhư ằ ể ố ủ ượ ầ ả ử ụ th o các công th c l ng giác đã đ c h c l p 11. Ph i coi chúng nh b ng c u ch ng ho cạ ứ ượ ượ ọ ở ớ ả ư ả ử ươ ặ nh là 7 h ng đ ng th c đáng nh . Tr c h t chúng ta xét nh ng d ng bài t p c b n)ư ằ ẳ ứ ớ ướ ế ữ ạ ậ ơ ả1/ Tính nguyên hàm

a. 2sin .x dx∫

b. 2os .c x dx∫

c. t anx.dx∫d. cot .x dx∫e.

2tan .x dx∫

f. 2 .cot x dx∫

g. sin .sin .x x dxα β∫h. sin . os x.dxx cα β∫i. os x.cos x.dxc α β∫

2/ Tính các nguyên hàm

a. 4sin .x dx∫

b. 4os .c x dx∫

c. 4tan .x dx∫

d. 4cot .x dx∫

e. 6tan .x dx∫

f. sin 7 . os15x.dxx c∫g. os7x.cos9x.dxc∫i. sin 2 .sin 6 .x x dx∫

3/ Tìm các nguyên hàm sau

a. 3sin . osx.dxx c∫

b. 5sin .x dx∫

c. 7os .c x dx∫

d. 5 10sin . os .x c x dx∫

e. 2os (7x-10)

dx

c∫

f. osx

dx

c∫g.

s inx

dx∫

h. 1 osx

dx

c+∫i.

1 s inx

dx

+∫k. s inx. 3+cosx.dx∫l. .

sin( 1)sin( 3)

dxdx

x x+ −∫

m. .sin(2 7). os(2x+3)

dxdx

x c−∫

p. 3

2

osx.sin.

1 sin

c xdx

x+∫IV/ NGUYÊN HÀM C A HÀM H U T (HÀM PHÂN TH C)Ủ Ữ Ỉ Ứ(L p nguyên hàm c a bài toán này khá d , đ tìm đ c nguyên hàm c a nh ng l p hàm này chúng taớ ủ ễ ể ượ ủ ữ ớ l u ý nh ng đi m sau:ư ữ ểi. Quan sát b c đa th c trên t và b c d i m u, n u b c đa th c trên t l n h n ho c b ngậ ứ ử ậ ướ ẫ ế ậ ứ ử ớ ơ ặ ằ

b c đa th c d i m u thì th c hi n phép chía đa th c ậ ứ ướ ẫ ự ệ ứii. Quan tâm t i nghi m c a đa th c d i m u s )ớ ệ ủ ứ ướ ẫ ố1/ Tìm các nguyên hàm sau

a. ( 9)( 10)

dx

x x− −∫

b. ( 2)(7 )

dx

x x+ −∫

c. (2 5)( 3)

dx

x x− −∫

d. 22 3 1

xdx

x x+ +∫e. 2

2

2 3 2

xdx

x x− −∫

f. 3 26 7 3

dx

x x x− −∫

g. 3

3

1.

4

xdx

x x

−−∫

h. 5 4

3

8.

4

x xdx

x x

+ −−∫

i. 2 1

x

x

e dx

e −∫

2/ Tìm nguyên hàm các hàm h u t sauữ ỉ

a. 4 23 2

xdx

x x− +∫ b. 3

4 24 3

x dx

x x− +∫

2

c. 5

6 3 2

x dx

x x− −∫

d. 3

2

3 2

( 2 1)

x x

x x x

− ++ +∫

e. 2

2

( 2).

( 2 1)

xdx

x x x

+− +∫

f. 2( 2)

dx

x x +∫

g. 2 2( 4)( 1)

dx

x x− −∫

h. 2

2 2( 1)( 9)

x dx

x x− −∫

i. 2

4

( 1)

1

x dx

x

−+∫

k(3 )x x

dx

e e−+∫V/ NGUYÊN HÀM T NG PH NỪ Ầ(M c đích c a vi c nguyên hàm t ng ph n là chuy n m t nguyên hàm r t khó tính b ng cácụ ủ ệ ừ ầ ể ộ ấ ằ ph ng pháp đã bi t v m t nguyên hàm d tính h n, V y nh ng bài toán nh th nào thì ph iươ ế ề ộ ễ ơ ậ ữ ư ế ả dùng nguyên hàm t ng ph n?ừ ầĐó là nh ng bài toán có d ng nh sau; ữ ạ ư

i. ( ).sin .P x mx dx∫ ; ( ). osmx.dxP x c∫ ; (P(x là m t đa th c nào đó vd: ộ ứ 2( 1)sin 3 .x x dx+∫ )

ii. ( ). .mxP x e dx∫ ; ( ). .nxP x a dx∫ ; vd: (3 5)5 .xx dx−∫ iii. .sin .mxe nx dx∫ ….) os x.dxxa cα β∫ vd:

2 s inx.dxxe∫ iv. ( ) ln .P x x dx∫ ( ) log .aP x x dx∫ vd:

3 ln .x x dx∫ )

1/ Tính các nguyên hàm sau b ng ph ng pháp toàn ph nằ ươ ầ

a. 2 3(2 1) xx e+∫ .dx

b. 2 ln .x x dx∫

c. 2 sin 2 .xe x dx∫

d. 2os . .xc x e dx∫

e. ln .x dx∫f. lg .x dx∫

VI. NGUYÊN HÀM C A HÀM VÔ TỦ Ỉ(T ng th nguyên hàm c a m t hàm vô t là m t nguyên hàm có ch a căn th c. Đây là l p bài toánổ ể ủ ộ ỉ ộ ứ ứ ớ t ng đ i khó . Ph ng pháp chung đ gi i quy t chúng là dùng ph ng pháp đ i bi n s )ươ ố ươ ể ả ế ươ ổ ế ố1/ tìm các nguyên hàm

a. 3

1.

3 1

xdx

x

++∫

b. .

1 2 1

x dx

x+ +∫

c. 3

dx

x x+∫d. 3x x−∫ .dx

e. 3

3 4

.

1 1

x dx

x+ +∫

f. 3

2

.

2

x dx

x +∫

g. 2 1

dx

x x +∫

h. 22 2 1

dx

x x x+ +∫

i. 2( 1) 2 2

dx

x x x+ + +∫

k. 1 1

dx

x x+ + −∫

l. 1 1

. .1

xdx

x x

−+∫

m. 1 1

dx

x x+ + +∫

ÔN TÂP̣

1/ Tính các nguyên hàm sau

3

a. ∫ + dxxx )53( 2

b. ∫

−dx

x

xx 44 532

c. ∫ ++ dxxxxx )25cos(sin 3

d. dxx

xxx∫

++−

22

2 sin

77

cos

5

e. ( )∫ + dxe xx7

f. dxe xx

x

∫

+ 3

5

4

g. ∫

+

+

dxxxx

x5

2

2

47

4

2/ Tìm a đ cho F(x) là nguyên hàm c a f(x)ể ủ F(x) = xxx 376 23 −+ ; axxxf 51418)( 2 −+=3/ Tìm c đ F(x) là nguyên hàm c a f(x)ể ủ F(x) = xxxx sin3ln2 2 ++ . f(x) = cxxx +++ cos6ln24/ Tìm nguyên hàm c a các hàm s sauủ ố

a. dxxxx x∫

++

4

111

b. dxxx∫ 22.3

c. dxx.cot 2∫d. dxx.tan 2∫

5/ Tìm các nguyên hàm sau

a. dxx

xx∫

+− 4

22

b. dxx

xxx∫

+++2

234 12

c. ( )

dxxx

x∫

+ 22 1

d. ( )dxxxx∫ ++ 5 43

6/ Tìm các nguyên hàm sau

a. ∫ xx

dx22 sin.cos

b. ∫ xx

dxxco22 sin.cos

.2

c. dxx

x∫ +

+2cos1

cos1 2

d. dxx.

2sin3 2∫

7/ Cho hàm xxy 23 −= . Tìm a, b, c đ cho ể xcbxaxxF 23)()( 2 −++= là nguyên hàm c a hàm s yủ ố

4