chương mẶt nÓn – mẶ trỤ – mẶt...

Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ

1

Chương

1/ Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng P , cho 2 đường thẳng d ,cắt nhau tạiO và chúng tạo thành góc b với 0 00 90b .

Khi quay mp P xung quanh trụcvới góc b không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnhO (hình 1).

Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳnggọi là trục, đường thẳngd được gọi là đường sinh và góc2b gọi là góc ở đỉnh.

2/ Hình nón tròn xoay

Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuôngOI thì đường gấp khúcOIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay(gọi tắt là hình nón) (hình 2). Đường thẳngOI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao vàOM gọi là đường sinh của hình nón. Hình tròn tâmI , bán kínhr IM là đáy của hình nón.

3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáyr và đường sinh là l thì có:

Diện tích xung quanh: . .xqS r lp

Diện tích đáy (hình tròn): 2.ðS rp

Thể tích khối nón: 21 1. . .3 3non ðV S h r hp .

4/ Tính chất:

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinhThiết diện là tam giác cân. + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt

phẳng tiếp diện của mặt nón. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón giao tuyến là một đường tròn. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là 1 đường parabol.

Hình 1 Hình 2

Diện tích toàn phần hình nón: tp xq ðS S S .

MẶT NÓN

MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU 2


2

5/ Một số thí dụ

Bài giải tham khảo GọiS là đỉnh của hình nón. Mặt phẳng P đi qua đỉnhS cắt khối nón theo

hai đường sinh bằng nhauSA SB l nên ta có thiết diện là tam giác cânSAB . Gọi I là trung điểm của đoạnAB OI AB . Từ tâmO , ta kẻOH SI tạiH . Ta có: , 12OH mp SAB OH d O SAB cm .

a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho.

* Ta có: 2 2 2 220 25 5 41SA AO SO cm (Pitago trong tam giác vuông SAO)

* Diện tích xung quanh của hình nón:

2. . . . .25.5 41 125 41xqS r l OASA cmp p p p .

b/ Thể tích của khối nón: 2 2 31 1 12500. . .25 .203 3 3nonV r h cmpp p .

c/ Tính diện tích của thiết diện SABS

* Diện tích thiết diện: 1 1. .2 . . 12 2SABS AB SI IASI IASI .

* Xét tam giác vuôngSOI , ta có: 2 2 2

1 1 1 15OI cmOH OI OS

.

* Mặt khác, xét tam giác vuôngSOI thì: . 20.15. . 25 212

OSOIOI OS SI OH SI cmOH

.

* Trong tam giác vuông 2 2 2 2: 25 15 20 3AIO IA OA OI cm .

* Thay 2 , 3 vào 21 20.25 500SABS cm .

Bài giải tham khảo

* Khối nón có chiều cao bằnga và bán kính đáy2ar .

* Diện tích xung quanh khối nón:

2 2

2 5. .2 4xq

a aS rl a a Ðvdtpp p

.

* Thể tích của khối nón:

2

2 31 1 1 13 3 2 2 12

aV Bh r h a a Ðvttp p p

.

Thí dụ 1. Một hình nón tròn xoay có đường cao 20h cm , bán kính đáy 25r cm . a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho. b/ Tính thể tích khối nón tạo nên bởi hình nón đó. c/ Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm .

Tính diện tích thiết diện đó.

S

A

B O

I

H

h

r

l

Thí dụ 2. Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có cạnh làa . Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâmO của hình vuôngABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ' ' ' 'A B C D .

A’

A B

D C

O

B’

D’ C’

a

a

a


3


Do thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cân ( SAB vuông cân tại

đỉnhS ) có cạnh huyền bằng 2a nên SAB là nửa hình vuông với

đường chéo hình vuông là 2AB a . đường sinh hình nón: l SA SB a , đường cao hình nón

là2

2 2AB ah SO và bán kính đáy:

22

ar h SO .

a/ Tính diện tích xung quanh hình nón.

22 2. .

2 2xq

a aS rl a Ðvdtpp p

Diện tích toàn phần:

22 2 2

21 22 2

2 2 2 2tp xq ð

aa a aS S S rpp p pp

Thể tích khối nón tương ứng: 3

21 1 2.3 3 12

aV B h r h Ðvttpp

b/ Tính diện tích thiết diện SBCS

Gọi I là trung điểm củaBC và kẻOH SI tạiH . Đặt mặt phẳng chứa đáy hình nón là mp a

Ta có:

0; 60mp SBC mp BCBC OI mp mp SBC mp SIOBC SI mp SBC

aa a

.

Trong tam giác vuôngSIO (vuông tại O), ta có: 0

262sin

3sin 60 32

aSO SO aSIO SISI

.

Trong tam giác vuôngSIB (vuông tại I), ta có: 2

2 2 2 2 2 32 2. 23 3a aBC IB SB SI a .

Do đó, diện tích thiết diện cần tìm là: 21 1 6 2 3 2. . .

2 2 3 3 3SBC

a a aS SI BC Ðvdt .


Thí dụ 3. Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằng 2a . a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, giả sử nó có đỉnh làS . b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng. c/ Cho dây cungBC của đường tròn đáy hình nón, sao cho mp SBC tạo với mặt phẳng chứa đáy

hình nón một góc 060 . Tính diện tích tam giácSBC .

S

A B O

C

I

Thí dụ 4. Mặt nón tròn xoay có đỉnh làS ,O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng 2a và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 060 . a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên.

b/ Gọi I là một điểm trên đường caoSO của hình nón sao cho tỉ số13

SISO

. Tính diện tích của thiết

diện qua I và vuông góc với trục của hình nón.


4

a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón: . . 1xqS rl AO SAp p

* DoAO là hình chiếu củaSA lên mặt phẳng đáy, nên góc giữa đường

sinh SAvà mặt phẳng đáy là 060SAO . * Trong tam giác vuôngSAO :

00

22cos60 22.cos60

2

SA aSA aAOaSA AO SA AO

* Thay 2 vào 1 22. 2.2xq

aS a a Ðvdtp p .

Diện tích toàn phần của hình nón:

2 2

2 2 2 32 2tp xq ð

a aS S S a r a Ðvdtp pp p p .

Thể tích của khối nón tròn xoay:

2

32 2 0 21 1 1 2 1 3 6. . . . sin 60 . 2.

3 3 3 2 6 2 12a aV r h AO SO SA a a Ðvttpp p p p

.

b/ Tính diện tích của thiết diện

Thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón là một hình tròn có bán kính làIB như hình vẽ. Gọi diện tích của hình tròn này là tdS .

Do 1 2 2. .3 2 6

SI IB SI a aSIB SOA IB OASO OA SO

2

2.18td

aS IB Ðvdtpp .

Bài giải tham khảo a/ Diện tích xung quanh của hình nón

Trong tam giác vuông SOA : 2 2 2 24 5SA SO OA R R R

2. 5 5xqS rl RR Rp p p . Thể tích khối nón:

32 21 1 2. 2

3 3 3RV OA SO R R pp p .

b/ CMR: N di động trên một đường thẳng cố định. * Gọi là mặt xung quanh của mặt nón đã cho và

mp a là mặt phẳng đi qua các điểm , ,S A I . * Ta có:

N

N mpN mp doN IM

aa

B

r

l

S

A O

I

600

B

h

Thí dụ 5. Cho hình nón đỉnhS với đáy là đường tròn tâmO , bán kínhR , chiều cao của hình nón bằng2R . Gọi I là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao cho 2IO R . Giả sửA là điểm nằm trên đường tròn ,O R

sao choOA OI . a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo thành. b/ GọiM là một điểm di động trên ,SA IM cắt mặt nón tại điểm thứ hai làN . Chứng minh rằngN di

động trên một đường thẳng cố định. c/ Chứng minh rằng hình chiếuK củaO trên IM di động trên một đường tròn cố định đi qua trực tâm

H của SAI .

I

M K

O

N

S

B A

H


5

VậyN di động trên đoạnSB là giao tuyến thứ hai của mp a và (B là giao điểm thứ hai của IAvà đường tròn đáy).

c/ CMR: Hình chiếuK củaO trênIM di động trên một đường tròn cố định đi qua trực tâmH của SAI . Dễ thấy trực tâmH của SAI chính là hình chiếu vuông góc củaO trên mp SAI .

Do 090

OH SAI OH IMIM OHK HK IM HKI

OK IM

.

Vậy, K di động trên đường tròn, đường kínhIH trong mp a . Hiển nhiên, đường tròn này đi quaH và nó là đường tròn cố định.

Bài giải tham khảo Giả sửAB là một đường kính của đường tròn đáy hình nón,O là tâm đáy. Mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cânSAM có:

2 2SA SM h R (không đổi).

Ta có: 1 . .sin2ASMS SASM ASM

2 2 21 1.sin sin2 2

SA h R ASMa a a .

Do đó, ASMS lớn nhất khi và chỉ khi sin a lớn nhất. Vậy:

Nếu 090ASB , nghĩa làh R thì sin a lớn nhất khi sin sinASBa , lúc đó: max .SAMS h R .

Nếu 090ASB , nghĩa làh R thì sin a lớn nhất bằng 1, lúc

đó: 2 21max2SAMS h R .

6/ Bài tập rèn luyện Bài 1. Cho khối nón tròn xoay có đường caoh a và bán kính đáy là 5

4ar . Một mặt phẳng P đi qua đỉnh

của khối nón và có khoảng cách đến tâmO của đáy bằng35

a .

a/ Hãy xác định thiết diện của mp P đối với khối nón. Tính diện tích khối thiết diện đó. b/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón. c/ Tính thể tích của khối nón tạo nên hình nón đó.

Bài 2. Trong không gian cho OIM vuông tại I có 030IOM và cạnh IM a . Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuôngOI thì đường gấp khúcOMI tạo thành một hình nón tròn xoay. a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. b/ Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón trên.

Bài 3. Một hình nón tròn xoay có chiều cao 30h cm và bán kính đáy bằng20cm . a/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng chứa đường cao. Tính diện tích của thiết diện. b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được một thiết diện là một tam giác đều. Tính diện tích của

thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện. Bài 4. Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằnga .

a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.

Thí dụ 6. Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáyR và chiều caoh . Trong tất cả các mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, hãy xác định mặt phẳng cắt hình nón theo thiết diện có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất đó.

M

S

A O B

với


6

c/ Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc 060 . Tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

Bài 5. Hình nón có bán kính đáy bằng2a , thiết diện qua trục là một tam giác đều. a/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón. b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được thiết diện là một tam giác vuông. Tính diện tích của

thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện. Bài 6. Một hình nón có bán kính đáy bằng2cm , góc ở đỉnh bằng 060 .

a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.

Bài 7. Một hình nón có đỉnhS , bán kính đáy 10r cm . a/ Tính diện tích thiết diện do mp P cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau.

b/ GọiG là trọng tâm của thiết diện và mặt phẳng a quaG , đồng thời vuông góc với trục của hình nón.

Tính diện tích của thiết diện do mặt phẳng a cắt hình nón.

Bài 8. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, thiết diện này có diện tích bằng 212a . a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.

c/ Mặt phẳng P đi qua đỉnh của hình nón, cắt mặt phẳng đáy theo một dây cung có độ dài bằng2 3a .

Tính góc tạo bởi mặt phẳng P và mặt phẳng đáy.

Bài 9. Mặt nón tròn xoay có đỉnh làS ,O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng 2a và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 060 . a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên.

b/ Gọi I là một điểm trên đường caoSO của hình nón sao cho tỉ số 2SISO

. Tính diện tích của thiết

diện qua I và vuông góc với trục của hình nón. Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằnga , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 030 .

Hình nón đỉnhS có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đềuABC (được gọi là hình nón nội tiếp hình chóp). a/ Tính thể tích của hình chóp .S ABC . b/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên.

Bài 11. Cho hình chóp đều .S ABCD có chiều cao 0 0, , 45 90SO h SAB a a . Hãy tính diện tích

xung quanh của hình nón có đỉnh làS và có đường tròn đáy ngoại tiếp đáyABCD của hình chóp. Bài 12. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng2a .

a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên.

b/ Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng là2

a . Tính diện tích của

thiết diện tạo thành đó. Bài 13. Đường sinh của hình nón bằng13a , chiều cao là12a . Một đường thẳngd song song với đáy của hình nón

và cắt hình nón. Khoảng cách từ đường thẳngd ấy đến mặt phẳng đáy và chiều cao hình nón lần lượt là 6a và2a . Tính độ dài đoạn thẳngd nằm trong phần hình nón.

Bài 14. Cho hình nón đỉnhS và đáy là hình tròn tâmO . Mặt phẳng( )a đi qua đỉnh, cắt đáy theo một dây cung

AB , sao cho 060AOB và ( )mp a hợp với mặt phẳng chứa đáy một góc 030 .

a/ Tính góc ASB . b/ Cho diện tích của tam giácSAB bằngb . Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Bài 15. Tính thể tích hình nón biết thể tích hình chóp tam giác đều nội tiếp hình nón làV . Bài 16. Trên một hình tròn làm đáy chung ta dựng hai hình nón (hình này chứa hình kia). Sao cho hai đỉnh cách

nhau một đoạn là a . Góc ở đỉnh của thiết diện qua trục của hình nón lớn là 2a và của hình nón nhỏ là 2b .Tính thể tích phần ở ngoài hình nón nhỏ và ở trong hình nón lớn.

Bài 17. Cho hình nón có đường caoSO h và bán kính đáy R . GọiM là điểm trên đoạnOS , đặt OM x

0 x h .


7

∆

A

D

B

C

l r

r

a/ Tính diện tích thiết diện( ) vuông góc với trục tạiM . b/ Tính thể tích của khối nón đỉnhO và đáy( ) theo , ,R h x . Xác địnhx sao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất. Bài 18. Cho hình nón tròn xoay đỉnhS . Trong đáy của hình nón đó có hình vuôngABCD nội tiếp, cạnh bằng a .

Biết rằng: 0 02 , 0 45ASB a a . Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón.

1/ Mặt trụ tròn xoay

Trong mp P cho hai đường thẳngvà l song song nhau, cách nhau một

khoảngr . Khi quay mp P quanh trục cố định thì đường thẳngl sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. Đường thẳng được gọi là trục. Đường thẳngl được gọi là đường sinh. Khoảng cáchr được gọi là bán kính của mặt trụ.

2/ Hình trụ tròn xoay

Khi quay hình chữ nhậtABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnhAB thì đường gấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ. Đường thẳngAB được gọi là trục. Đoạn thẳngCD được gọi là đường sinh. Độ dài đoạn thẳngAB CD h được gọi là chiều cao của hình trụ. Hình tròn tâmA , bán kínhr AD và hình tròn tâmB , bán kínhr BC được gọi là 2 đáy của hình trụ. Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.

3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ

Cho hình trụ có chiều cao làh và bán kính đáy bằngr , khi đó:

Diện tích xung quanh của hình trụ: 2xqS rhp

Diện tích toàn phần của hình trụ: 22. 2 2tp xq ÐayS S S rh rp p

Thể tích khối trụ: 2.V B h r hp 4/ Tính chất:

Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính làr ) bởi một mp a vuông góc với trục thì ta được đường tròn

có tâm trênvà có bán kính bằngr vớir cũng chính là bán kính của mặt trụ đó. Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính làr ) bởi một mp a không vuông góc với trụcnhưng cắt tất cả

các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng2r và trục lớn bằng2

sinrj

, trong đó

j là góc giữa trục và mp a với 0 00 90j .

Cho mp a song song với trục của mặt trụ tròn xoay và cáchmột khoảngk .

+ Nếuk r thì mp a cắt mặt trụ theo hai đường sinh thiết diện là hình chữ nhật.

+ Nếuk r thì mp a tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

+ Nếuk r thì mp a không cắt mặt trụ.

MẶT TRỤ

h


8

D

B’

A O

C

A’

C’

B

D’

5/ Một số thí dụ

Bài giải tham khảo a/ Tính diện tích của thiết diện.

Từ một đáy của khối trụ, ta vẽ hai bán kính ,OA OB sao cho 030AOB . Gọi ', ', 'A O B lần lượt là hình chiếu vuông góc của , ,A O B trên mặt đáy còn lại. Ta có: OAvà ' 'O B tạo với nhau một góc

030 . Thiết diện là hình chữ nhật ' 'ABB A có:

2 2 2 02. . .cos 30 100 2 3AB OA OB OAOB

10 2 3AB cm .

Mặt khác, ta có: ' ' ' 20AA BB OO cm .

2' ' . ' 10 2 3.20 200 2 3ABB AS AB BB cm .

b/ Diện tích xung quanh của hình trụ.

22 2 . . ' 2 .10.20 400xqS rh OAOO cmp p p p

Diện tích toàn phần hình trụ:

2 2 22. 2 2 400 2 10 600tp xq ÐayS S S rh r cmp p p p p .

Thể tích khối trụ: 2 2 3. .10 .20 2000V B h r h cmp p p .


a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ.

Vì thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông nên 2l h r . Do đó, diện tích xung quanh của khối trụ đó là: 22 4xqS rl rp p .

b/ Tính thể tích của hình lăng trụ

Gọi . ' ' ' 'ABCD A B C D là lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ. Ta có, hình vuôngABCD nội tiếp trong đường tròn đáy.

Do đó, 2AB r và thể tích khối lăng trụ là:

2

3. ' 2 .2 4ABCDV S AA r r r Ðvtt .

c/ Tìm tỉ số: 3 3

2

4 4 2' .2

V r rV Bh r r pp

.

Thí dụ 7. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm . Người ta kẻ hai bán kính đáy

OAvà ' 'O B lần lượt nằm trên hai đáy, sao cho chúng hợp với nhau một góc bằng 030 . Cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng 'AB và song song với trục của khối trụ đó. a/ Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt hình trụ trên. b/ Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ

A O

O'

B

B'

A'

030

Thí dụ 8. Một khối trụ có bán kính đáy bằngr và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó. b/ Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho.

c/ GọiV là thể tích hình lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ và 'V là thể tích khối trụ. Hãy tính tỉ số'

VV

.

Thí dụ 9. Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuôngABCD cạnha có hai đỉnh liên tiếp ,A B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng ABCD tạo với đáy hình trụ góc 045 . Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích của khối trụ.


9


* Gọi ,M N theo thứ tự là trung điểm củaAB vàCD . Khi đó: OM AB và 'O N DC . Giả sửI là giao điểm củaMN và 'OO .

* Đặt , 'R OA h OO .

* Trong IOM vuông cân tại I nên: 22

OM OI IM .

2 2.2 2 2 2h a h a .

* Ta có: 2 2 2 2R OA AM MO 22 2 2 22 3

2 4 4 8 8a a a a a

.

2 32

2

3 2 3 2.8 2 16

3 2 32 2 .2 22 2

xq

a a aV R h

a a aS Rh

p p

pp p


* Kí hiệuR là bán kính đáy,h là độ dài đường cao của khối trụ. * Ta có: 22 2S R Rhp p . Ta cần tìmR vàh để 2V R hp có giá trị lớn nhất.

* Theo trên, ta có: 22 2S R Rhp p 2

2 2 32

3.2 2 2 4

CôsiS V V V VR RR R Rp p p p p

32 3

227

2 544V S S

Vp pp

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi2

2

2 2 2V R h RhR

R Rp

p p hay 2h R .

Khi đó nên 266SS R Rpp

.

* Vậy khối trụ có thể tích lớn nhất là khối trụ có 6SRp

và 2.6Shp

.


* Ta có: 'OO OAB . GọiH là trung điểm củaAB thì , 'OH AB O H AB 0' 60OHO .

D

450

A

O

C

N O’

B

M

I

Thí dụ 10. Trong số các khối trụ có diện tích toàn phần bằngS , khối trụ nào có thể tích lớn nhất ?

Thí dụ 11. Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ,O R và ',O R . Biết rằng tồn tại dây cungAB của

đường tròn O sao cho 'O AB đều và 'mp O AB hợp với mặt phẳng chứa đường tròn O một góc 060 . Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.


10

* Giả sử OH x . Khi đó: 0 x R và 0' tan 60 3OO x x . * Xét OAH , ta có: 2 2 2AH R x .

* Vì 'O AB đều nên: 2 2' 2 2 1O A AB AH R x .

* Mặt khác, 'AOO vuông tạiO nên:

2 2 2 2 2' ' 3 2AO OO R x R .

* Từ 1 , 2 2

2 2 2 2 2 34 37RR x x R x .

3 7' 37

Rh OO x .

* Vậy, nếu kí hiệuS là diện tích xung quanh vàV là thể tích của hình trụ

thì, ta có:

2

32

6 727

3 77

RS Rh

RV R h

pp

pp

6/ Bài tập rèn luyện Bài 19. Trong không gian cho hình vuôngABCD cạnha . Gọi ,I H lần lượt là trung điểm của các cạnhAB và

CD . Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH , ta được một hình trụ tròn xoay. a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó. b/ Tính thể tích khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ nói trên.

Bài 20. Một khối trụ có bán kính đáy bằngR và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a/ Tính diện tích xung, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ. b/ Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông

nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ). Bài 21. Một hình trụ có bán kính đáy là 20 cm , chiều cao là 30 cm .

a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b/ Tính thể tích của khối trụ tương ứng. c/ Cho hai điểmA và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc giữa đường thẳngAB và trục

của hình trụ bằng 060 . Tính khoảng cách giữa đường thẳngAB và trục của hình trụ.

Bài 22. Một khối trụ có bán kính đáy bằng 10 cm và chiều cao bằng 10 3 cm . Gọi ,A B lần lượt là hai điểm

trên hai đường tròn đáy, sao cho góc được tạo thành giữa 2 đường thẳngAB và trục của khối trụ bằng 030 . a/ Tính diện tích của thiết diện quaAB và song song với trục của khối trụ. b/ Tính góc giữa hai bán kính đáy quaA và quaB . c/ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung củaAB và trục của khối trụ.

Bài 23. Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâmO và 'O , có bán kínhr và có đường cao 2h r . GọiA là một điểm trên đường tròn tâmO vàB là một điểm trên đường tròn tâm 'O sao choOA vuông góc với 'O B . a/ Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện 'OABO là những tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện này. b/ Gọi mp a đi quaAB và song song với 'OO . Tính khoảng cách giữa trục 'OO và mp a .

c/ Chứng minh rằng mp a tiếp xúc với mặt trụ trục 'OO có bán kính bằng2

2r

dọc theo 1 đường sinh.

Bài 24. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 30 cm và có chiều cao 30h cm . a/ Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên. b/ Một đoạn thẳng có chiều dài 60 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách

từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ. Bài 25. Hình chóp tam giác đều .S ABC cóSA SB SC a và góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng b .

A

O

O’

B

H


11

a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp.

b/ Các mặt bên , ,SAB SBC SCA cắt hình trụ theo những giao tuyến như thế nào? Bài 26. Một hình trụ có thiết diện qua trụ là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng4p .

a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên. b/ Một mp a song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện 1 1ABAB . Biết một cạnh

của thiết diện là một dây cung của một đường tròn đáy và căng một cung 0120 . Tính diện tích của thiết diện này.

Bài 27. Cho hình lăng trụ lục giác đều . ' ' ' ' ' 'ABCDEF A B C D E F có cạnh đáy bằnga , chiều caoh . a/ Tính diện tích xung quanh và thể thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ. b/ Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ.

Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáyABCD là hình thang cân với đáy nhỏAB a , đáy

lớn 4CD a , cạnh bên bằng52a

và chiều cao hình lăng trụ làh .

a/ Chứng minh rằng có một hình trụ nội tiếp được trong hình lăng trụ đã cho. b/ Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ đó.

Bài 29. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâmO và 'O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằnga .Trên đường tròn đáy tâmO lấy điểmA , trên đường tròn đáy tâm 'O lấy điểmB sao cho 2AB a .Tính thể khối tứ diện

'OO AB . Bài 30. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuôngABCD cạnha nội tiếp mà 2 đỉnh liên tiếp ,A B nằm trên

đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 045 .Tính diện tích và thể tích của hình trụ đó.

I. Mặt cầu

1/ Định nghĩa

Tập hợp các điểmM trong không gian cách điểmO cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâmO , bán kính R , kí hiệu là: R;S O hay R{ / }M OM .

2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu

Cho mặt cầu R;S O và một điểmAbất kì, khi đó:

Nếu R R;OA A S O . Khi đóOA gọi là bán kính mặt cầu.

NếuOA vàOB là hai bán kính sao choOA OB

thì đoạn thẳngAB gọi là 1 đường kính của mặt cầu.

Nếu ROA A nằm trong mặt cầu. Nếu ROA A nằm ngoài mặt cầu.

Khối cầu R;S O là tập hợp tất cả các điểmM sao cho ROM .

3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu R;S O và một mp P . Gọi d là khoảng cách từ tâmO của mặt cầu đến mp P vàH là hình

chiếu củaO trên mp P d OH .

Nếu d R mp P cắt mặt cầu R;S O theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp P có tâm là

H và bán kính 2 2 2 2r HM R d R OH (hình a). Nếu d R mp P không cắt mặt cầu R;S O (hình b)

MẶT CẦU – MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

A

A A

B

O


12

Nếu d R mp P có một điểm chung duy nhất. Lúc này, ta gọi mặt cầu R;S O tiếp xúc mp P .

Do đó, điều kiện cần và đủ để mp P tiếp xúc với mặt cầu R;S O là ,d O mp P R (hình c).

Hình a Hình b Hình c

4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu R;S O và một đường thẳng . GọiH là hình chiếu củaO trên đường thẳngvàd OH là

khoảng cách từ tâmO của mặt cầu đến đường thẳng . Khi đó: Nếu d R không cắt mặt cầu R;S O .

Nếu d R cắt mặt cầu R;S O tại hai điểm phân biệt.

Nếu d R và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu là ,d d O R .

Định lí: Nếu điểmAnằm ngoài mặt cầu R;S O thì:

QuaA có vô số tiếp tuyến với mặt cầu R;S O .

Độ dài đoạn thẳng nốiA với các tiếp điểm đều bằng nhau. Tập hợpc các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu R;S O .

II. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

1/ Các khái niệm cơ bản Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với

mặt phẳng chứa đa giác đáy. Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.

Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính

là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.

Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản

a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ

C’

A B

D

D’

B’ I

A’

C

A

C’

I

d d =


13

nhật (hình lập phương). Tâm là I , là trung điểm của 'AC . Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp

chữ nhật (hình lập phương).

Bán kính: '

2ACR .

b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.

Xét hình lăng trụ đứng ' ' ' '1 2 3 1 2 3... . ...n nAAA A AAA A , trong đó có 2 đáy

1 2 3... nAA A A và ' ' ' '1 2 3... nAA A A nội tiếp đường tròn O và 'O . Lúc đó,

mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: Tâm: I với I là trung điểm của 'OO . Bán kính: '

1 2 ... nR IA IA IA . c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.

Hình chóp .S ABC có 090SAC SBC . + Tâm: I là trung điểm củaSC .

+ Bán kính: 2

SCR IA IB IC .

Hình chóp .S ABCD có 090SAC SBC SDC . + Tâm: I là trung điểm củaSC .

+ Bán kính: 2

SCR IA IB IC ID .

d/ Hình chóp đều.

Cho hình chóp đều . ...S ABC Gọi O là tâm của đáy SO là trục của đáy. Trong mặt phẳng xác định bởiSO và một cạnh bên,

chẳng hạn như mp SAO , ta vẽ đường trung trực của cạnhSA

là cắtSA tại M và cắtSO tạiI I là tâm của mặt cầu. Bán kính:

Ta có: SM SISMI SOASO SA

Bán kính là:

2. ...2

SM SA SAR IS IA IB ICSO SO

e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

Cho hình chóp . ...S ABC có cạnh bênSA đáy ...ABC và đáy ...ABC nội tiếp được trong đường tròn

tâmO . Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . ...S ABC được xác định như sau: Từ tâmO ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳngd vuông góc với ...mp ABC tạiO .

Trong ,mp d SA , ta dựng đường trung trực của cạnhSA , cắtSA tạiM , cắt d tại I .

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính ...R IA IB IC IS

Tìm bán kính: Ta có: MIOB là hình chữ nhật.

O

O’

I

A1

A2 A3

An

A’1

A’2 A’3

A’n

S

A

I

C

B

S

A

B C

D I

S

A

B

C

D O

I

∆

M

A

S

M ∆ I

O C

d


14

Xét MAI vuông tạiM có: 2

2 2 2

2SAR AI MI MA AO

.

f/ Hình chóp khác.

Dựng trụccủa đáy. Dựng mặt phẳng trung trực a của một cạnh bên bất kì.

I Ia là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.

Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.

4/ Diện tích và thể tích mặt cầu

Diện tích mặt cầu: 24CS Rp .

Thể tích mặt cầu: 343CV Rp .

∆ vuông: O là trung điểm của cạnh huyền.

O

Hình vuông: O là giao điểm 2 đường chéo.

O

Hình chữ nhật: O là giao điểm của hai đường chéo.

O O

∆ đều: O là giao điểm của 2 đường trung tuyến (trọng tâm).

∆ thường: O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh ∆.

O


15

Bài 31. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh ,a SA ABCD . Cạnh bênSB tạo với mặt

phẳng đáy một góc 030 . Hãy tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD . Bài 32. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằnga , cạnh bên bằng2a . Xác định tâm và bán kính mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC . Bài 33. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằnga , cạnh bên bằng3a . Hãy tìm tâm và bán kính mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .

Bài 34. Cho hình chóp .S ABC có đáyABC là tam giác vuông tại ,C SA ABC . Biết rằng: 3,AB a

,BC a SB tạo với mp ABC một góc 060 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp .S ABC . Bài 35. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh đều bằnga . Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích và thể tích của khối cầu đó.

Bài 36. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật và , , 2SA ABCD SA a AC a . Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu đó.

Bài 37. Cho hình chóp .S ABCD cóABCD là nửa lục giác đều và SA ABCD . a/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b/ Gọi , ,H K L là chân đường cao vẽ từA tỏng các tam giác: , ,SAB SAC SAD . Chứng minh rằng

các điểm , , , , , ,A B C D H K L nằm trên một mặt cầu.

Bài 38. Cho hình chóp .S ABC có 0, 120 , , 2AB AC a BAC SA ABC SA a . Định tâm và bán

kính mặt cầu đi qua các điểm , , ,S A B C . Tìm diện tích và thể tích khối cầu đó.

Bài 39. Cho hình chóp .S ABC có mp SBC mp ABC và ,SC b SA SB AB AC a . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tìm diện tích và thể tích của nó.

Bài 40. Cho hình chóp đều .S ABCD có cạnh đáy bằng2a và O là tâm của mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 060 . Gọi M là trung điểm của cạnhCD vàH là hình chiếu củaO trênSM .

a/ Tính khoảng cách từA đến mp SCD . Tính thể tích hình chóp .S ABCD .

b/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD . Tìm diện tích và thể tích mặt cầu đó. Bài 41. Cho hình chóp .S ABCD cóABCD là hình vuông cạnha và SAB là tam giác đều. Mặt phẳng

SAB ABCD .

a/ Tính thể tích của hình chóp .S ABCD . b/ Tìm góc giữa hai ,mp SAB mp SCD . c/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tìm diện tích và thể tích khối cầu đó.

Bài 42. Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C đáy là tam giác vuông tại , ,A AC a ACB a và 'BC hợp với mặt

phẳng ' 'ACC A một góc b . a/ Tính thể tích lăng trụ đã cho. b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Bài 43. Cho lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có cạnh đáy bằnga , bán kính đường tròn ngoại tiếp một mặt bên

là a . a/ Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho. b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Tính diện tích và thể tích khối cầu đó. Bài 44. Cho hình chóp đều .S ABC có cạnh đáy bằng 10 cm và mỗi cạnh bên đều bằng 15 cm . Xác định tâm và

bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tìm diện tích và thể tích mặt cầu đó. Bài 45. Ba đoạn thẳng , ,SA SB SC đôi một vuông góc với nhau tạo thành một tứ diện

, , ,SABC SA a SB b SC c . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU


16

Bài 46. Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có 9 cạnh đều bằng nhau. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp đó và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp đó. Biết mỗi cạnh có độ dài là 10 cm .

Bài 47. Cho tứ diệnSABC có , , ,SA mp ABC SA a AB b AC c . Xác định tâm, bán kính, diện tích và thể tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a/ 090BAC .

b/ 060 ,BAC b c .

c/ 0120 ,BAC b c .

Bài 48. Cho hình chóp .S ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằnga và cạnh bên bằng 2a . Một mặt cầu qua đỉnhA và tiếp xúc với hai cạnh ,SB SC tại trung điểm của mỗi cạnh.

a/ Chứng minh mặt cầu đó đi qua trung điểm của ,AB AC . b/ Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳngSA làD . Tính độ dài đoạn thẳng ,AC SD . Bài 49. Hình tứ diệnABCD có cạnh bằnga có đường caoAH . GọiO là trung điểmAH . Xác định tâm và bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD . Bài 50. Hình chóp .S ABCD cóSA a là chiều cao của hình chóp và đáyABCD là hình thang vuông tại ,A B có

, 2AB BC a AD a . Gọi E là trung điểm củaAD . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópSCDE . Tìm diện tích và thể tích mặt cầu đó.

Bài 51. Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có cạnh là a . a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD và

' ' ' 'A B C D . b/ Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương. c/ Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng 'AC làm trục và đường sinhAB . Bài 52. Cho tam giác vuông cânABC có cạnh huyền 2AB a . Trên đường thẳngd đi quaAvà vuông góc với

mặt phẳng ABC lấy một điểmS khácA ta được tứ diệnSABC .

a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnSABC . b/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnSABC trong trường hợp mp SBC tạo với mp ABC một

góc 030 . Bài 53. Cho hình lăng trụ có bán kính đáy bằngR . Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông. a/ Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ. b/ Một mp P song song với trục của hình trụ, cắt đáy hình trụ theo một dây cung có độ dài bằng bán kính

đáy hình trụ. Tính diện tích các thiết diện của hình trụ và hình cầu ngoại tiếp hình trụ khi cắt bởi mp P .

Bài 54. Cho hình chóp .S ABC có ABC đều cạnha và mp SBC mp ABC , 2SC SB a

a/ Tính góc giữa ,mp SAB mp SAC và khoảng cách từB đến mp SAC . b/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp đã cho. c/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC . Tính diện tích và thể tích khối cầu này. Bài 55. Cho hình chóp .S ABCD cóABCD là hình chữ nhật, , 2AB a AD a . Hai mặt bên ,SAD SAB

cùng vuông góc với ( ),mp ABCD SA a . GọiO là tâm của hình chữ nhật. a/ Tính thể tích hình chóp .O SCD . b/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD . Tính diện tích và thể tích khối cầu đó. Bài 56. Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình thang vuông, đáy lớn 2AD a , đường cao

,AB a BC a , ,SA ABCD SA a . a/ Tính thể diện tích toàn phần và thể tích hình chóp. b/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .S ABD . c/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S CDM vớiM là trung điểmAD . d/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .S BCD .

chương mẶt nÓn – mẶ trỤ – mẶt...

Documents