chapter ii
TRANSCRIPT
-
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Teori Relativitas Einstein
Relativitas merupakan subjek yang penting yang berkaitan dengan pengukuran
(pengamatan) tentang di mana dan kapan suatu kejadian terjadi dan bagaimana
kejadian tersebut dianalisa atau diukur menurut suatu kerangka acuan yang bergerak
relatif terhadap kerangka yang lain. Topik tentang teori relativitas dibagi ke dalam dua
bagian, yakni Teori Relativitas Khusus (Special Theory of Relativity) dan Teori
Relativitas Umum (General Theory of Relativity).
Dalam teori relativitas khusus, subjek yang menjadi fokus adalah kerangka
acuan yang inersial, yaitu kerangka yang padanya hukum gerak Newton berlaku.
Sedangkan teori relativitas umum berkaitan dengan situasi yang lebih rumit dimana
kerangka acuannya mengalami percepatan gravitasi. Kedua teori tersebut dibuat untuk
menjelaskan bahwa gelombang elektromagnetik tidak sesuai dengan teori relativitas
klasik yang didasari konsep Galileo Galilei dan didefenisikan kembali oleh Sir Isasc
Newton melalui teori relativitas geraknya.
2.1.1 Teori Relativitas Khusus (TRK)
Pada tahun 1905, Albert Einstein mempublikasikan beberapa makalahnya yang salah
satunya berjudul,On the Electrodynamics of Moving Bodies (Elektrodinamika Benda
Bergerak). Makalah tersebut menyajikan teori relativitas khusus berdasarkan dua
postulatnya:
Universitas Sumatera Utara
-
1. Postulat Relativitas: Hukum-hukum fisika berlaku sama untuk setiap pengamat di
dalam kerangka acuan yang inersial.
2. Postulat Kelajuan Cahaya: Kelajuan cahaya dinyatakan dengan c yang bernilai
tetap pada semua kerangka acuan.
Hadirnya kedua postulat tersebut memunculkan teori-teori baru. Seperti pada
postulat pertamanya dikatakan bahwa jika hukum-hukum itu dibedakan, maka
perbedaan tersebut dapat membedakan satu kerangka acuan inersial dari kerangka
lainnnya. Disamping itu, yang tidak kalah baru adalah teori tentang ramalan mengenai
laju radiasi elektromagnetik yang diturunkan dari persamaan Maxwell. Menurut
analisis ini, cahaya dan semua gelombang elektromagnetik lain berjalan dalam ruang
hampa dengan laju konstan yang sekarang didefenisikan secara eksak sebesar
299.792.458 m/s atau biasa dituliskan dengan 3 x 108 m/s. Hal ini akan kita temukan
dalam ruang hampa yang memiliki peranan penting dalam teori relativitas Einstein.
Kehadiran kedua postulat tersebut juga sukses dalam memperluas cakupan
hukum-hukum gerak oleh Galileo yang terbatas di mekanika ke hukum-hukum
elektromagnetik dan optik. Hasil dari memperkenalkan teori relativitas khusus ini,
diperkenalkannya transformasi koordinat baru yang dinamakan Transformasi Lorentz
yang sesuai untuk laju tinggi.
2.1.1.1 Transformasi Lorentz
Transformasi Galileo mengenai koordinat, waktu dan kecepatan tidak taat
dengan kedua postulat Einstein. Meskipun transformasi Galileo sesuai dengan akal
sehat kita, ia tidak memberi hasil yang sesuai dengan berbagai percobaan pada laju
tinggi. Oleh karena itu, kita memerlukan seperangkat persamaan transformasi baru
yang dapat meramalkan berbagai efek relativistik seperti penyusutan panjang,
pemuluran waktu dan efek Doffler relativistik. Karena kita juga mengetahui bahwa
transformasi Galileo berlaku baik pada laju rendah, transformasi baru ini haruslah
Universitas Sumatera Utara
-
memberikan hasil yang sama seperti transformasi Galileo apabila laju relatif antara
dan adalah rendah. (Krane, Kenneth S., 2006)
z
y
x
SS
z
y
x
v
Oo
Gambar 2.1 Kerangka acuan inersial dari S dan S
Transformasi yang memenuhi semua persyaratan ini dikenal dengan
transformasi Lorentz dan seperti halnya transformasi Galileo, ia mengaitkan koordinat
suatu peristiwa sebagaimana diamati dari kerangka dengan koordinat
peristiwa yang sama yang diamati dari kerangka acuan yang sedang
bergerak dengan kecepatan terhadap . Dengan menganggap bahwa gerak relatifnya
adalah sepanjang arah positif. Bentuk transformasi Lorentz ini adalah sebagai
berikut:
(2.1)
Persamaan (2.1) adalah transformasi koordinat Lorentz yang merupakan generalisasi
dari transformasi Galileo terdahulu . Untuk
nilai yang mendekati nol, akar-akar dalam penyebut . Namun, umumnya baik
Universitas Sumatera Utara
-
koordinat ruang maupun waktu dari suatu peristiwa dalam suatu kerangka acuan
bergantung pada koordinat waktunya dalam kerangka acuan lainnya. Sekarang ruang
dan waktu telah menjadi saling jalin menjalin. Kita tidak dapat lagi mengatakan
bahwa panjang dan waktu mempunyai arti mutlak yang tidak tergantung kerangka
acuannya.
Bentuk-bentuk transformasi Lorentz pada (2.1) dapat digunakan untuk
menurunkan generalisasi relativitas sebagai efek penggunaan transformasi ini.
Diantaranya:
Pemuluran Waktu Relativistik yang mana waktu bergerak lebih lambat dari
penanda waktu yang berada dalam keadaan diam.
Kontraksi Panjang Lorentz,
Transformasi Kecepatan,
Bila untuk laju yang lebih kecil dari laju cahaya c dalam ruang hampa,
transformasi kecepatannya memperlihatkan kepada kita bahwa sebuah benda yang
bergerak dengan laju yang lebih kecil dari c dalam satu kerangka acuan selalu
mempunyai laju yang lebih kecil dari c dalam tiap-tiap kerangka acuan yang lain. Ini
merupakan alasan yang digunakan untuk menyimpulkan bahwa tidak ada benda yang
berjalan dengan laju yang sama atau lebih besar dari c dalam ruang hampa relatif
terhadap sembarang kerangka acuan inersial. (M. S. Longair, 1987)
Universitas Sumatera Utara
-
2.1.1.2 Kerangka Acuan Inersial
Dengan adanya peta (atlas), setiap peristiwa mempunyai label berupa 4 bilangan real,
misalnya atau . Arti fisis dari atlas adalah suatu kerangka acuan
dengan sistem koordinat tertentu. Kerangka acuan terdiri atas partikel-partikel berlabel
yang dilengkapi dengan penanda waktu. Sebuah kerangka acuan dicirikan dengan
gerakan tertentu dari partikel-partikel penyusunnya, sedangkan cara pemberian label
menunjukkan sistem koordinat yang digunakan dalam kerangka acuan itu. Jadi,
kerangka acuan adalah suatu sarana untuk memberikan label pada setiap peristiwa.
Salah satu label menunjukkan saat terjadinya peristiwa, dan dalam mekanika klasik
Newtonian, label itu bersifat mutlak.
Cara penentuan saat terjadinya peristiwa adalah dengan menyediakan penanda
waktu yang sudah disinkronkan dan kemudian disebar ke dalam ruang. Saat dari suatu
peristiwa ditunjukkan dengan penanda waktu yang berada di tempat peristiwa itu
terjadi. Penunjukkan waktu bersifat mutlak, artinya tidak dipengaruhi oleh gerakan
waktu ketika dibawa oleh partikel penyusun kerangka acuan. Karena saat dari
peristiwa-peristiwa dalam ruang-waktu bersifat mutlak, maka ruang-waktu dapat
dibagi menjadi sub ruang 3 dimensi, dimana setiap subruang (ruang spatial) terdiri
atas peristiwa-peristiwa yang terjadi pada saat yang sama (simultan). Peristiwa dalam
ruang spatial cukup diberi label berupa 3 bilangan real dan memberikan posisi dari
peristiwa itu dalam ruang spatial. Mekanika klasik Newtonian menyatakan bahwa
hanya ada satu cara pembagian ruang-waktu menjadi subruang yang simultan dan
subruang berdimensi 3 itu berstruktur Euklidean.
Sebuah partikel bebas yang bergerak merupakan serentetan peristiwa yang
disebut sebagai garis sejarah (world line). Dalam ruang spatial, himpunan titik-titik
yang merupakan posisi dari peristiwa-peristiwa dalam garis sejarah merupakan sebuah
kurva (disebut sebagai lintasan) yang pada umumnya melengkung. Kurva lintasan
partikel itu dapat dinyatakan sebagai dan kecepatannya adalah
Universitas Sumatera Utara
-
Kita dapat menggunakan atlas yang lain dalam manifold ruang-waktu, misalnya
menghasilkan label untuk peristiwa yang dinyatakan sebagai atau .
Karena hanya ada satu cara pembagian ruang-waktu, maka itu berarti
Hubungan antara dengan mempunyai dua kemungkinan, yaitu
yang berarti kita berpindah kerangka acuan, atau
yang berarti kita hanya berganti sistem koordinat.
Jika dapat ditemukan suatu transformasi sehingga dalam ruang spatial
kerangka acuan itu, kurva lintasan partikel bebas berupa garis lurus dan kecepatannya
konstan, maka kerangka acuan itu disebut sebagai kerangka acuan yang inersial.
(Arief Hermanto, 2003)
2.1.2 Teori Relativitas Umum Einstein
Teori relativitas umum merupakan perluasan dari teori relativitas khusus ke arah
gravitasi dan menggantikan hukum gravitasi Newton. Teori ini menggunakan
matematika geometri diferensial dan tensor untuk menjelaskan gravitasi. Bentuk teori
ini sama untuk seluruh pengamat yang bergerak dalam kerangka acuan inersial
ataupun bagi pengamat yang bergerak dalam kerangka acuan yang dipercepat. Dalam
relativitas umum, gravitasi bukan lagi sebuah gaya seperti dalam hukum gravitasi
Newton tetapi merupakan konsekuensi dari kelengkungan ruang-waktu. Dan melalui
relativitas umum juga ditunjukkan bahwa kelengkungan ruang-waktu terjadi akibat
kehadiran massa.
Universitas Sumatera Utara
-
2.1.2.1 Prinsip Ekuivalensi
Ketika Newton merumuskan hukum gerak dan hukum gravitasinya, ia mendefenisikan
massa inersial dan massa gravitasi. Massa inersial diukur berdasarkan ukuran
kelembaman suatu benda terhadap gaya dorong atau gaya tarik yang bekerja,
sedangkan massa gravitasi diukur berdasarkan pengaruh gaya gravitasi pada benda
tersebut. Para eksperimentalis sejak zaman Newton hingga pertengahan abad ke-20
telah berusaha membuktikan kesetaraan antara kedua jenis massa tersebut. Salah satu
percobaan yang paling terkenal adalah percoban Eotvos yang membuktikan bahwa
kedua massa tersebut setara. Berdasarkan bukti eksperimen tersebut, akhirnya Einstein
menyimpulkan dalam postulatnya yang terkenal dengan nama Prinsip Ekuivalensi
Massa bahwa,Gaya gravitasi dan gaya inersial yang bekerja pada 1 benda adalah
sama dan tidak terbedakan (indistinguisable) satu sama lain. Konsekuensinya adalah
bahwa tidak ada lagi kerangka acuan inersial.
2.1.2.2 Prinsip Kovariansi Umum
Akibat prinsip ekuivalensi massa yang menyebabkan tidak adanya kerangka acuan
inersial, maka prinsip relativitas khusus menyatakan bahwa hukum-hukum fisika
berlaku sama pada kerangka acuan inersial tidaklah berlaku umum. Oleh karena itu,
Einstein merumuskan postulat keduanya yang terkenal dengan nama Prinsip
Kovariansi Umum yang menyatakan bahwa,Semua hukum-hukum fisika berlaku
sama pada semua kerangka acuan tanpa kecuali. Konsekuensinya adalah setiap
besaran fisika haruslah dinyatakan dalam bentuk umum dan tidak bergantung pada
koordinat dimana ia didefenisikan. Artinya semua besaran fisika harus dinyatakan
dalam bentuk tensor. Seperti telah dinyatakan sebelumnya dalam relativitas khusus,
hukum-hukum gerak dinyatakan dalam bentuk yang invarian terhadap transformasi
Lorentz dengan konsekuensi diperkenalkannya konsep ruang dan waktu dimensi 4
dengan metrik Minkowski. Generalisasinya, teori relativitas umum menyatakan bahwa
hukum-hukum fisika harus invarian terhadap transformasi umum dengan konsep
ruang-waktu 4 dimensi.
Universitas Sumatera Utara
-
2.1.2.3 Kelengkungan Ruang-Waktu
Dari teori relativitas khusus, baik waktu atau ruang adalah bergerak relatif terhadap
gerak pengamat dengan interval panjang dan waktu diukur oleh seorang pengamat
secara umum tidak sama dengan interval panjang dan waktu yang diukur oleh
pengamat yang berbeda. Karena panjang dan waktu relatif dan keduanya bergantung
pada gerak relatif pada lintasan yang sama maka perlu untuk menyatakan kembali
bahwa ruang berdimensi 3 dan 1 dimensi waktu tidak terpisah, dan lebih dari itu juga
keduanya merupakan komponen yang setara dari suatu ruang-waktu 4 dimensi yang
tunggal. Untuk menggambarkannya memang sulit tapi kita masih dapat
merepresentasikannya secara matematis dengan menggunakan pertimbangan
persamaan yang sesuai.
Beberapa contoh penggambaran kelengkungan ruang-waktu ditunjukkan pada
gambar 2.2 yang mengilustrasikan ruang datar berimensi 1 yang berupa garis lurus.
Untuk melengkungkannya, harus dibengkokkan pada arah yang lain. Tapi,
kelengkungan yang ditunjukkan dalam 1 dimensi tidak cukup dan memerlukan 2
dimensi untuk mengilustrasikannya lebih lanjut. Gambar 2.3 menyajikan suatu ruang
2 dimensi dan ilustrasi bagaimana ruang itu dilihat jika dibengkokkan.
(a)
(b)
Gambar 2.2 Ruang 1 dimensi (a) yang datar (b) yang lengkung
Universitas Sumatera Utara
-
(a) (b)
Gambar 2.3 Ruang 2 dimensi (a) yang datar (b) yang lengkung
Geometri dari sistem koordinat ruang datar adalah geometri Euklidean yang aturan
penggunaanya diilustrasikan pada 2.4 dengan suatu garis lurus yang menjadi jarak
terpendek antara dua titik dan total sudut segitiga dalam ruang datar adalah 180o, serta
garis-garis sejajar yang tidak akan saling berpotongan. Untuk geometri lengkung yang
dikenal dengan geometri non-Euklidean diberikan oleh 2.5, dimana aturan geometri
euklidean tidak bisa digunakan, sehingga jarak terpendek antara dua titiknya
merupakan busur lingkaran besarnya dengan jumlah sudut segitiga dalam ruang ini
lebih dari 180o dan garis-garis sejajarnya dapat saling berpotongan.
A
B
BA
Gambar 2.4 Ruang Euklid dan Gambar 2.5 Ruang non-Euklid dan
komponen-komponen geometrinya komponen-komponen geometrinya
Lebih lanjut, kita dapat menentukan kapan suatu ruang dikatakan melengkung atau
datar dengan mengukur derajat kelengkungannya. Caranya dengan menghitung rasio
keliling bola terhadap diameternya. Dalam ruang datar, rasionya diberikan sebesar
(Gambar 2.6.a), sedang dalam ruang lengkung rasionya akan menjadi lebih besar atau
Universitas Sumatera Utara
-
kurang dari (Gambar 2.6.b). Sebagaimana yang akan dibahas berikutnya,
kelengkungan ruang-waktu ditentukan oleh massa terdekat atau disekitar massa
massifnya, dengan kelengkungan yang dapat bernilai cukup besar untuk memberikan
efek yang tampak (2.7).
(a)
D
C
D
C
(b)
Gambar 2.6 (a) Dalam ruang datar (b) Dalam ruang lengkung
atau .
Lintasan-lintasan sejajar
Ruang Datar yang jauh dari massa
bumi
Ruang melengkung
Bumi
Gambar 2.7 Tampilan ruang-waktu yang melengkung oleh benda bermassa
Sumber: Nggieng (2007)
Pada gambar 2.7 tampak bahwa ketika jauh dari posisi bumi (dalam hal ini memiliki
massa lebih besar dibandingkan dengan benda yang bermassa lain disekitarnya), ruang
berbentuk datar dan lintasan-lintasan sejajarnya tetap sejajar. Sebaliknya, ketika dekat
dengan bumi, lintasan-intasan sejajar mulai konvergen karena ruang dilengkungkan
oleh massa bumi tersebut.
Universitas Sumatera Utara
-
Banyak prediksi akan peristiwa yang terjadi yang telah berhasil dibuktikan dan
dikemukakan oleh teori relativitas umum yang tentunya berbeda dari fisika klasik.
Prediksinya juga telah dikonfirmasikan dalam semua percobaan dan pengamatan
fisika. Walaupun teori ini bukan satu-satunya teori tentang relativistik gravitasi, ia
merupakan teori paling sederhana dan konsisten dengan data-data eksperimen. Salah
satu prediksinya adalah peristiwa terbeloknya cahaya matahari di sekitar matahari.
Teori relativitas umum memprakirakan bahwa titik-titik kerucut cahaya (bintang)
yang berada di dekat matahari akan terbelokkan menuju matahari karena pengaruh
massa matahari. Karenanya cahaya yang datang dari bintang-bintang jauh dan lewat
dekat matahari akan mengalami defleksi yang menyebabkan bintang-bintang tersebut
tampak berbeda di posisi yang berbeda bagi pengamat di bumi. Karena bumi bergerak
dengan mengorbit pada matahari maka bintang-bintang yang berbeda akan berada di
belakang matahari dan cahayanya terdefleksi sehingga posisinya berubah relatif
terhadap bintang lain. (Kenneth S. Krane, 1983)
2.2 Analisis Tensor
Aljabar tensor adalah suatu disiplin matematik yang sangat penting peranannya dalam
fisika karena hukum fisis tidak akan bergantung pada sistem koordinat yang
digunakan untuk memberikan tafsiran yang tepat pada hukum tersebut. Jika di dalam
sebuah sistem koordinat terdapat suatu persamaan tensor maka bentuk daripada
persamaan tersebut akan tetap sama (kovarian) di dalam semua sistem koordinat lain.
Sifat tersebut menyebabkan tensor sangat banyak sekali digunakan di dalam fisika.
Khususnya dalam teori relativitas umum, maka semua perumusan fisis selalu
dinyatakan dengan persamaan tensor seperti yang akan dibahas.
Tensor pada dasarnya merupakan generalisasi daripada skalar dan vektor. Kita
akan melihat vektor sebagai suatu tensor yang mempunyai rank 1 sedang skalar adalah
suatu tensor yang mempunyai rank 0. Semua sifat-sifat vektor yang telah kita kenal
akan dimiliki juga oleh tensor. Dikatakan juga bahwa penggunaan tensor di dalam
fisika, umumnya akan membuat hukum-hukum fisis mempunyai bentuk yang lebih
umum dan sederhana. (Pantur S, 1979)
Universitas Sumatera Utara
-
2.2.1 Transformasi Koordinat
Misalkan koordinat-koordinat tegak lurus (x, y, z) dari sebarang titik dinyatakan
sebagai fungsi-fungsi sehingga
Andaikan bahwa bentuk di atas dapat dipecahkan untuk dalam , yakni
Fungsi-fungsi dalam (2.5) dan (2.6) dianggap tunggal dan memiliki turunan-turunan
yang kontiniu sehingga kaitan dengan adalah tunggal.
Diketahui sebuah titik P dengan koordinat-koordinat tegak lurus maka
dari (2.5) kita dapat mengasosiasikan suatu himpunan koordinat-koordinat
yang tunggal yang disebut koordinat-koordinat kurvilinier dari P. Himpunan
persamaan (2.5) dan (2.6) mendefenisikan suatu transformasi koordinat.
x
y
z
Gambar 2.8 Kurva-kurva dan garis koordinat
Selanjutnya, akan didefenisikan transformasi koordinat menyangkut sistem koordinat
lain dengan dimensi yang lebih tinggi. Untuk itu perlu diketahui terlebih dahulu
mengetahui ruang dengan sebarang dimensi dimana kita akan membahas sifat-sifat
transformasi daripada ruang tersebut.
P
kurva
kurva
kurva
Universitas Sumatera Utara
-
Sebuah ruang berdimensi n, dimana n adalah sembarang bilangan bulat positif,
adalah merupakan himpunan daripada susunan yang teratur,
dan yang memenuhi sifat-sifat daripada sebuah ruang vektor. Komponen sebuah
vektor dalam ruang berdimensi n tersebut akan dinyatakan dengan indeks tertentu.
Suatu kurva di dalam sebuah ruang berdimensi n adalah himpunan dari titik-titik x
yang memenuhi n buah persamaan, yaitu , dimana t adalah parameter dan
. Jika dianggap sebagai subruang dari (n < N) maka
ditunjukkan oleh dimana menyatakan n buah
parameter dan .
Kemudian diberikan sistem koordinat mencakup ruang tersebut, yaitu
yang membentuk sistem koordinat di . Setiap
menyatakan titik pada ruang . Misalkan ada transformasi dari suatu sistem
koordinat ke siatem yang lain maka bentuk perubahan koordinatnya dinyatakan sbb:
. . .
. . .
. . .
Dengan demikian, diferensial untuk dapat ditulis sebagai berikut:
. . .
. . .
. . .
Universitas Sumatera Utara
-
Atau dapat juga disederhanakan menjadi
dimana
2.2.2 Koordinat Kurvalinier
2.2.2.1 Koordinat Kurvalinier Ortogonal
Permukaan dimana adalah konstanta, disebut
permukaan-permukaan koordinat, dan setiap pasangan permukaan-permukaan ini
berpotongan melalui kurva-kurva yang disebut kurva-kurva atau garis-garis koordinat
(gambar 2.8). Bila permukaan-permukaan koordinat ini berpotongan tegak lurus,
maka sistem koordinatnya disebut ortogonal. Dengan menggunakan hubungan
transformasi (2.5) dan (2.6), dimisalkan atau sebagai
vektor posisi dari titik P. Maka berdasarkan persamaan tersebut dapat bentuk
vektornya .
2.2.2.2 Vektor Satuan dan Faktor Skala dalam Sistem Koordinat Kurvalinier
Dengan demikian,
masing-masing adalah vektor singgung terhadap kurva dengan koordinat: .
Maka vektor-vektor satuan dalam masing-masing arah koordinat kurvalinier ini
adalah:
Universitas Sumatera Utara
-
dimana
adalah panjang vektor-vektor singgung yang bersangkutan atau disebut juga sebagai
faktor skala.
Uraian di atas memberikan bentuk pernyataan untuk sistem koordinat
ortogonal yang ditinjau dimana berlaku syarat:
yang ketiga vektor satuan ini membentuk himpunan vektor satuan koordinat
kurvalinier (gambar 2.9). Dalam hal seperti ini penggunaan sistem koordinat
kurvalinier yang sesuai seperti koordinat bola ternyata mengalihkan persoalan menjadi
sederhana untuk ditangani. (Hans J. Wospakrik, 1972)
2.2.2.3 Koordinat Kurvalinier Umum
z
y
x
u1
u2
er
e
e
r
Gambar 2.9 Sistem koordinat kurvalinier umum bola
Universitas Sumatera Utara
-
Dari kita peroleh
Maka diferensial dari panjang busur ditentukan dari Untuk sistem
ortogonal,
Untuk sistem-sistem kurvalinier yang tak ortogonal maka bentuk tidak akan
memiliki bentuk yang sederhana seperti sebelumnya. Tapi secara umum dapat
dituliskan sebagai berikut:
dimana komponen pada persamaan merepresentasikan koefisien-koefisien yang
muncul dalam perhitungan . Bentuk dapat juga disederhanakan
menjadi
Dalam bentuk matriks dapat dituliskan dengan
Persamaan (2.14) adalah representasi lainnya yang dinyatakan oleh bentuk
matriks. (M. L. Boas, 1983)
Universitas Sumatera Utara
-
2.2.3 Kaidah Penjumlahan
Dalam menuliskan suatu pernyataan seperti kita dapat
mempergunakan notasi singkat
atau notasi yang lebih singkat lagi , dimana menyetujui suatu kaidah (convention)
bahwa setiap sebuah indeks (indeks atas atau bawah) diulangi dalam suatu suku
tertentu maka ini berarti kita menjumlahkan terhadap indeks tersebut dari 1 sampai n
kecuali bila ada pernyataan lain. Inilah yang disebut kaidah penjumlahan.
2.2.4 Klasifikasi Tensor Berdasarkan Hukum Transformasi
Skalar dan vektor dapat dikatakan sebagai kasus khusus dari tensor. Karena tensor
adalah objek geometri yang memerlukan uraian lebih dari satu faktor seperti skalar
atau tiga faktor seperti pada vektor. Secara umum tensor termasuk didalamnya skalar
dan vektor dibedakan berdasarkan penempatan indeksnya. Namun demikian, tensor
juga dapat dibedakan berdasarkan hukum transformasi yang dimilikinya.
2.2.4.1 Vektor Kontravarian
Fungsi dalam sistem koordinat disebut vektor kontravarian jika
pada suatu transformasi koordinat , sehingga fungsi akan
ditransformasikan menjadi
dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat
Universitas Sumatera Utara
-
disebut komponen vektor kontravarian atau tensor kontravarian rank satu.
2.2.4.2 Vektor Kovarian
Fungsi dalam sistem koordinat disebut vektor kovarian jika pada
suatu transformasi koordinat , sehingga fungsi akan ditransformasikan
menjadi
dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat
disebut komponen vektor kovarian atau tensor kovarian rank satu atau order satu.
2.2.4.3 Invarian
Suatu fungsi disebut invarian jika pada suatu transformasi
koordinat , sehingga fungsi akan ditransformasikan menjadi
Universitas Sumatera Utara
-
2.2.4.4 Tensor Campuran
Dalam konsep tensor, suatu tensor campuran adalah tensor yang bukan jenis kovarian
kuat maupun kontravarian kuat. Fungsi dalam sistem koordinat
disebut tensor campuran yang memiliki komponen kontravarian rank satu dan
komponen kovarian rank satu. Jika pada suatu transformasi koordinat ,
maka fungsi ditransformasikan menjadi
dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat . Diperoleh
yang menyatakan komponen tensor campuran.
Dengan menggunakan defenisi dari tensor campuran di atas akan ditunjukkan
bahwa juga merupakan suatu tensor campuran. Sekarang perhatikan persamaan
transformasi berikut
dimana dan . Jadi diketahui bahwa merupakan tensor
campuran dengan kontravarian dan kovarian masing-masing ber-rank satu atau biasa
dinamakan dengan delta kronecker.
Universitas Sumatera Utara
-
2.2.4.5 Tensor Simetri dan Antisimetri
Misalkan sebarang tensor kontravarian, berlaku
1. Jika maka disebut simetri terhadap pertukaran
indeks dan .
2. Jika maka disebut antisimetri terhadap
pertukaran indeks dan .
Sekarang perhatikan, jika adalah suatu tensor simetri dan adalah suatu
tensor antisimetri, maka . Setiap tensor selalu dapat dinyatakan
sebagai penjumlahan tensor simetri dengan tensor antisimetri.
2.2.5 Operasi-Operasi Dasar Tensor
Semua sifat-sifat yang berlaku pada vektor, akan berlaku pula pada tensor. Hal itu
dikarenakan operator-operator yang berlaku dan digunakan pada tensor merupakan
bentuk generalisasi dari operator-operator yang berlaku pada vektor. Berikut ini akan
dijelaskan operasi-operasi dasar yang berlaku pada tensor.
Penjumlahan
Penjumlahan dari dua tensor atau lebih memiliki rank dan jenis yang sama (sebagai
contoh: Misalkan tensor A dan B banyaknya indeks kontravarian dan indeks kovarian
adalah sama) akan menghasilkan tensor yang memiliki rank dan jenis yang sama pula.
Misalkan dan merupakan tensor dalam sistem koordinat ,
maka
(2.21)
Pengurangan
Selisih dari dua tensor atau lebih yang memiliki rank dan jenis yang sama adalah
tensor dengan rank yang jenisnya sama pula. Misalkan dan merupakan
tensor dalam sistem koordinat , maka
Universitas Sumatera Utara
-
(2.22)
merupakan tensor juga.
Perkalian (Outer Multiplication)
Hasil kali dua tensor adalah tensor dimana ranknya merupakan jumlah dari rank
tensor-tensor tersebut. Komponen tensor ini disebut outer product. Sebagai contoh,
(2.23)
adalah outer product dari dan . Tetapi tidak semua bentuk tensor dapat
dinyatakan sebagai hasil kali dari dua tensor yang ranknya lebih sederhana.
Konstraksi
Misalkan adalah suatu tensor campuran yang memiliki rank lima, dengan
kontravarian rank dua dan kovarian rank tiga. Jika salah satu indeks kovarian
samadengan salah satu indeks kontravarian, maka rank tensor tersebut akan berkurang
sebanyak dua. Artinya, bentuk merupakan tensor yang memiliki rank tiga.
Proses demikian lebih dikenal sebagai konstraksi tensor.
Perkalian Dalam (Inner Multiplication)
Misalkan dan merupakan tensor dalam sistem koordinat , maka
(2.24)
disebut outer product. Misalkan , sehingga diperoleh atau dengan
memisahkan dan , sehingga diperoleh bentuk tensor . Dengan
menggunakan proses outer multiplication dan konstraksi, dapat diperoleh tensor baru
yang disebut inner product. Proses ini disebut inner multiplication. Pada inner maupun
outer multiplication berlaku juga sifat komutatif dan assosiatif.
Universitas Sumatera Utara
-
2.2.6 Tensor Metrik
A
B
Gambar 2.10 Jarak antara dua titik A dan B ditinjau dalam ruang berdimensi
Pada bagian ini jika A dan B adalah dua titik dalam suatu ruang berdimensi n masing-
masing dengan vektor kedudukan dengan titik , maka jarak di antara
kedua titik tersebut dinyatakan oleh persamaan
(2.25)
dimana Susunan besaran-besaran dapat disusun menjadi
(2.26)
Tensor dinamai tensor metrik untuk ruang tersebut. Ruang dengan metrik , di
mana
(2.27)
dikenal dengan sebutan ruang Riemann. Tensor dapat dianggap sebagai sebuah
tensor simetri, karena:
Universitas Sumatera Utara
-
Karena
(
Maka
Yakni bahwa adalah sebuah tensor simetri. Jika , di mana t adalah
sebuah parameter, maka
atau
Yang menyatakan jarak antara dua titik di dalam ruang Riemann tersebut. Sebuah
kurva (t) dinamai kurva nol (null curve), jika
di dalam sebuah ruang non-Euklidean maka jarak antara dua titik boleh sama dengan
0, walaupun kedua titik tersebut tidak berimpit. Misalnya dalam teori relativitas
khusus, setiap elemen jarak akan dinyatakan oleh persamaan
(2.29)
(2.30)
Ruang yang bermetrik diatas, dinamai sebuah ruang Minkowski. Elemen garis atau
kuadrat metrik jarak memiliki interval yang diklasifikasikan ke 3 kelompok yang
berbeda berdasarkan bentuk kurva dan interval kurva itu sendiri.
Universitas Sumatera Utara
-
Jika:
Kurva Timelike
Kurva Spacelike
Kurva null
(Lampiran A).
2.2.7 Tensor Konjugat
Misalkan merupakan tensor metrik dan dinotasikan sebagai
determinan dengan elemen-elemen dari sebagai berikut
(2.31)
maka adalah kontravarian tensor simetri rank dua yang disebut konjugat atau
reciprocal tensor dari .
2.2.8 Differensiasi Tensor
Proses differensiasi tensor adalah suatu generalisasi proses differensial yang biasa
dikenal sebagai differensial fungsi. Pada analisis tensor dikenal dua jenis differensiasi
yang biasa digunakan, yaitu
1. Differensiasi Kovarian
2. Differensiasi Intrinsik
Selanjutnya akan dijabarkan differensiasi kovarian yang terkait dengan
pembahasan masalah selanjutnya. Untuk itu maka tinjau persamaan transformasi.
Dengan mendifferensiasikan terhadap , maka diperoleh persamaan yang berikut:
Universitas Sumatera Utara
-
Kita telah perlihatkan bahwa bukanlah suatu tensor dan untuk
membentuk tensor dari turunan parsial tersebut maka didefenisikan simbol-simbol
Christoffel berikut:
1. Simbol Christoffel yang pertama, yang biasanya dinyatakan dengan notasi
yang didefenisikan menurut persamaan
(2.32)
2. Simbol Christoffel yang kedua, yang biasanya didefenisikan menurut persamaan
dan dinyatakan dengan notasi di mana adalah tensor metrik
untuk ruang yang bersangkutan (ruang Riemann). Jadi
(2.33)
Adapun hukum transformasi untuk Simbol Christoffel diatas adalah sebagai berikut:
Tinjau suatu geodesik,
untuk kedua sistem koordinat dalam ruang Riemann. Sekarang ditentukan
hubungan antara dengan
disubtitusi , kita peroleh
Universitas Sumatera Utara
-
Selanjutnya, persamaan di atas dikalikan dengan dan dijumlahkan harga
yang sama,
Hasil di atas dibandingkan dengan bentuk geodesiknya, tampak bahwa
Ini merupakan hukum transformasi untuk . bukan merupakan komponen tensor,
sehingga memungkinkan harga bernilai nol pada suatu sistem koordinat tapi bukan
pada semua sistem koordinat.
2.2.9 Geodesik
Pada bagian ini akan dibahas generalisasi pengertian jarak terpendek di antara dua
titik dalam suatu ruang Riemann. Andaikan kurva menguhubungkan titik
A dan B dengan koordinat A dan B masing-masing diberikan oleh dan
. Maka persamaan geodesik diberikan oleh
penjumlahan pada indeks-indeks , dimana s adalah panjang busur dan
adalah simbol Christoffel dari jenis kedua. Untuk kasus bagaimana persamaan
geodesik untuk koordinat kartesius di ruang Euklidean. Jika koefisien jaraknya
konstan maka turunannya nol, dan simbol Christoffelnya juga nol. Akibatnya,
persamaan geodesiknya berbentuk
untuk solusi adalah berupa garis lurus. Sembarang sistem koordinat yang simbol-
simbol Christoffelnya adalah sistem koordinat geodesik.
Universitas Sumatera Utara
-
2.3 Medan Gravitasi Einstein
Disini akan ditentukan hukum suatu gerak, yang tidak tergantung pada sistem
koordinat yang digunakan, yang menggambarkan medan gravitasi suatu partikel
tunggal. Dalam teori relativitas khusus, elemen garis untuk koordinat ruang-waktunya
adalah diberikan oleh
Dalam ruang (x, y, z, t), adalah konstanta dan ruangnya adalah Euklidean,
maka . Untuk partikel yang berada di bawah pengaruh gravitasi tensor
Riccinya dihilangkan. Karena , suatu ruang 4 dimensi menghasilkan
persamaan menyertakan dan turunannya. Karena , dimana
, , dan untuk j = 1, 2, 3, 4, kesepuluh persamaan utama akan
direduksi menjadi 6 persamaan.
Kita andaikan elemen garis (dalam kaitan dengan Schwarzchild) berubah
bentuk menjadi
sehingga ruangnya menjadi non-Euklidean. Dari persamaan tersebut dapat kita susun
, , ,
dan
, , , ,
Sekarang , dan karena untuk , kita
peroleh
dengan i tidak dijumlahkan.
Universitas Sumatera Utara
-
Jika i, j, k adalah berbeda, maka . Kita juga lihat bahwa
Ketiga persamaan tersebut digunakan untuk mendapat harga-harga berikut: , ,
, , , , , . Dan semua yang lain dihilangkan. Selanjutnya, harga-
harga tersebut digunakan untuk hukum gravitasi Einstein yang dirumuskan dalam
tensor Ricci yang diberikan sebagai berikut:
Sedemikian sehingga,
Dengan jalan yang sama dengan yang di atas, dapat ditentukan pula , , dan .
(Harry Lass, 1950)
Universitas Sumatera Utara