chapter 1 introduction to differential...
TRANSCRIPT
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-1
Chapter 1 Introduction to Differential Equations
1.1 Definition and Terminology
■ Introduction
- 미분방정식: 도함수를 포함하는 식의 풀이를 암시함
- 이 주제에 관한 기본적인 정의와 용어들을 고찰함
■ A Definition
20.1( ) xy x e
20.10.2 0.2 , or 0.2xdy dyxe xy xydx dx
(1)
- 식 (1)이 주어졌을 때 ( )y x 를 어떻게 구할 수 있을까?
- 주어진 도함수에 대하여 그의 역도함수를 찾는 문제
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-2
Definition 1.1.1 Differential Equation
(도함수를 포함하는 방정식) 미분방정식 (Differential Equation)
■ Classification by Type
Example 1 Types of Differential Equations
- 상미분 방정식 (ODE; Ordinary differential equation)
한 개의 독립변수에 대한 상도함수를 포함하는 방정식
6 xdy y edx
,
2
2 12 0d y dy ydx dx
, and
3 2dx dy x ydt dt
an ODE can contain more
than one dependent variable
( 5 xy y e , 6 0y y y , and 2x y x y )
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-3
- 편미분 방정식 (PDE; Partial differential equation)
두 개 이상의 독립변수에 대한 한 개 이상의 종속변수의 편도함수를 포함하는 방정식;
2 2 2 2
2 2 2 20, and u u u u u u vx y x t t y x
( , , , , ,0, 2 and xx yy xx tt t y xu u u u u u v )
■ Notation
Leibniz notation: 2 2/ , / , ,dy dx d y dx
Prime notation: , ,y y
Newton’s dot notation: , ,s s (시간 t 에 대한 미분 표현에 사용됨)
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-4
■ Classification by Order
방정식의 계수 (Order): 미분방정식에 들어 있는 최고계 도함수의 계수
Example 2 Order of a Differential Equation
32
2
5 4 xd y dy y edx dx
Highest Order
2 계 상미분 방정식
4 2
4 2
2 0u ux t
Highest Order
4 계 상미분 방정식
( )( , , , , ) 0nF x y y y ; n-계 미분방정식의 일반형
( 1)( , , , , )n
nn
d y f x y y ydx
; 정규형 (Normal form)
2
2( , ) ( , d , )andy d yf x y f x y ydx dx
; 1 계 / 2 계 상미분방정식의 정규형 (Normal form)
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-5
■ Classification by Linearity
( )( , , , , ) 0nF x y y y 가 ( ), , , ny y y 에 대해 선형인 경우 선형미분방정식
1
1 1 01( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
n nn n
d y d y dya x a x a x a x y g xdx dx dx
n-계 선형 상미분방정식
- 종속변수 y 와 그 도함수는 모두 1 차식
- 각 계수는 독립변수만의 함수
2
1 0 2 1 02( ) ( ) ( ) (and ) ( ) ( ) ( ) dy d y dya x a x y g x a x a x a x y g xdx dx dx
1 계 / 2 계 선형 상미분방정식
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-6
Example 3 Linear and Nonlinear Differential Equations
(a) 1 계 / 2 계 / 3 계 선형 상미분방정식의 예:
3
3( ) 4 0, 2 0, 3 5 xd y dyy x dx x dy y y y x y edx dx
(b) 1 계 / 2 계 / 4 계 비선형 상미분방정식의 예:
Nonlinear term;coefficient depends on
(1 ) 2y
xy ey y
,
Nonlinear term;nonlinear funct2
2
ion of
0siny
d ydx
y ,
Nonlinear term;power not
24
1
4 0d ydx
y
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-7
■ Solution
Definition 1.1.2 Solution of an ODE
함수 ( )x 를 주어진 미분방정식에 대입하여 그 방정식을 만족시키는 경우 해 (Solution)
( )( , ( ), ( ), , ( )) 0 for all in nF x x x x x I
■ Interval of Definition; 함수와 함수의 도함수가 정의되는 구간 I , 여러 이름으로 부름
정의 구간 (Interval of definition)
존재 구간 (Interval of existence)
유효 구간 (Interval of validity)
해의 정의역 (Domain of the solution)
개구간 ( , )a b , 폐구간 [ , ]a b , 또는 무한구간 ( , )a 등이 될 수 있음.
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-8
Example 4 Verification of a Solution
주어진 함수가 구간 ( , ) 에서 미분방정식의 해 임을 증명하기.
(a) 1/ 2/dy dx xy ,
4 /16y x
(b) 2 0; xy y y y xe
Solution
(a) 좌변:
3 3
416 4
dy x xdx
우변:
1/ 24 2 31/ 2
16 4 4x x xxy x x
좌변과 동일
(b) 좌변: 2 ( 2 ) 2( ) 0x x x x xy y y xe e xe e xe 우변과 동일
Note) 위의 (a), (b)에서 0y 도 solution 이다. 이것을 자명해 (trivial solution)라고 부름.
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-9
■ Solution Curve
상미분방정식의 해 ( )x 의 곡선 해곡선 (Solution Curve)
주의: 함수 ( )x 의 영역과 해 ( )x 의 정의구간 I 는 다를 수 있음.
함수의 영역 (Domain): 함수가 정의되는 영역
해의 구간 (Interval) I : 해가 정의되는 영역의 부분집합
Example 5 Function vs. Solution
(ex) 1/y x ( 0xy y 의 해)
영역 (Domain): 0x 을 제외한 모든 점
해의 구간 (Interval): 0x 을 포함하지 않은 모든 구간
예: ( 3, 1), (1/ 2,10), ( ,0), (0, )
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-10
■ Explicit and Implicit Solutions
Explicit solution (양함수 해): ( )y x
Definition 1.1.3 Implicit Solution of an ODE
구간 I 에서 미분방정식을 만족하고 다음 관계를 만족하는 ( )x 가 존재하면,
( , ) 0G x y implicit solution (음함수 해)
Example 6 Verification of an Implicit Solution
2 2 25x y 은 다음 미분방정식의 implicit solution 이다
dy xdx y
(6)
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-11
(확인)
주어진 Implicit solution 을 미분하면,
2 2( ) ( ) (25) or 2 2 0d d d dyx y x ydx dx dx dx
식 (6) 과 동일
Implicit solutio 을 종속변수에 대하여 풀면
225y x
따라서 225y x 및
225y x 은 explicit solutions 이 됨.
Note:
c 에 대하여 2 2 0x y c 은 (6)의 해이다.
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-12
■ Families of Solution
미분방정식 ( , , ) 0F x y y 에 대하여
One parameter family of solution
( , , ) 0G x y c
미분방정식 ( )( , , , , ) 0nF x y y y 에 대하여
n-parameter family of solution
1 2( , , , , , ) 0nG x y c c c
예) 2 sinxy y x x 의 해는 cosy cx x x
- 해의 그림을 여러 값의 c에 대하여 도시함.
- 0c 인 경우의 해, 즉 parameter 를 포함하지 않는 해 특수해 (Particular Solution)
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-13
Example 7 Using Different Symbols
1 cos 4x c t 및 2 sin 4x c t 은 다음 미분 방정식의 해이다.
16 0x x
(확인)
1 cos 4x c t , 14 sin 4x c t , 116 cos 4x c t
1 116 16 cos 4 16( cos 4 ) 0x x c t c t
2 sin 4x c t , 24 cos 4x c t , 216 sin 4x c t
2 216 16 sin 4 16( sin 4 ) 0x x c t c t
Note: 해의 선형조합 1 2cos 4 sin 4x c t c t 도 해가 됨.
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-14
Example 8 A Piecewise Defined Solution
4y cx 은 4 0xy y 의
One parameter family of solution
구분적 구간에서 정의된 다음 함수도 해가 됨.
4
4
, 0, 0
x xy
x x
이 경우는 상수 c를 다음과 같이 선택한 경우이다.
i.e. 1, 0
1, 0x
cx
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-15
■ General Solution
( )( , , , , ) 0nF x y y y
n-parameter family of solution
1 2( , , , , , ) 0nG x y c c c General Solution
■ Singular Solution
Note: n-parameter family of solution 에 포함되지 않는 해도 존재함
예) 1/ 2y xy 의 경우의 해
2 2( / 4 )y x c 일반해
4 /16y x 특수해 (Particular Solution, 0c 인 경우)
0y 특이해 (Singular Solution) ( c의 변화로는 구해지지 않음)
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-16
■ Systems of Differental Equations
( , , )dx f t x ydt
( , , )dy g t x ydt
두개 이상의 종속변수가 있는 경우 (Coupled system)
연립미분방정식의 해: 1 2( ) ( )x t y t
Remarks
- 방정식의 해를 반드시 Explicit form 으로 구해야 하지는 않음
- 방정식의 해가 항상 반드시 존재하지 않을 수도 있음
- ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy 의 형태인 경우 종속변수를 정해주지 않으면 선형성 판정이 모호해짐.
- ( )( , , , , ) 0nF x y y y 을
( )ny 에 대해 풀 수 있음을 가정하는 것에 주의가 필요함
- Closed Form Solution: 초등함수의 항으로 나타낸 Explicit Solution
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-17
1.2 Initial-Value Problems
■ Introduction
규정된 부가조건 ( ( )y y x 혹은 그 도함수에 부가된 조건)에 종속된 미분방정식
Initial-Value Problem (초기치 문제)
■ Initial-Value Problem
Solve: ( 1)( , , , , )
nn
n
d y f x y y ydx
Subject to: ( 1)
0 0 0 1 0 1( ) , ( ) , , ( )nny x y y x y y x y
(initial conditions)
n-계 초기치 문제 (IVP, Initial Value Problem)
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-18
■ First- and Second-Order IVPs
0 0
Solve:
Subject to:
, )
(
( )
dy f x ydxy x y
; 1 계 IVP
2
2
0 0 0 1
Solve:
Subject to:
( , , )
( ) , ( )
d y f x y ydx
y x y y x y
; 2 계 IVP
1 계 IVP 2 계 IVP
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-19
Example 1 First-Order IVPs
, (0) 3y y y
xy ce , 초기조건에 의해 3c 3 xy e
, (1) 2y y y
xy ce , 초기조건에 의해 12c e
12 xy e
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-20
Example 2 Interval I of Definition of a Solution
22 0, (0) 1y xy y
21/( )y x c , 초기조건에 의해 1c
21/( 1)y x
- 함수21/( 1)y x 의 영역
1, 1x x 인 모든 실수
- 미분방정식 22 0y xy 의 해가 정의되는 구간 I
함수 y 가 정의되는 모든 구간
가장 큰 구간은 1, 1 1, 1x x x
- 초기치 문제 22 0, (0) 1y xy y 의 해가 정의되는 구간 I
함수 y 가 정의되고 초기값 0x 을 포함하는 모든 구간
가장 큰 구간은 1 1x
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-21
Example 3 Second-Order IVP
16 0, / 2 2, / 2 1x x x x
Two parameter family of solutions 1 2cos 4 sin 4x c t c t
Solution
/ 2 2x 1 2c
/ 2 1x 21
4c
12cos 4 sin 44
x t t
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-22
■ Existence and Uniqueness
해의 존재: 0 0
?
/ ( , ) point( , )
dy dx f x yx y
의 해가 존재하는가?
이 해는 초기조건의 를 통과할까
해의 유일성: 0 0 point( , )x y
초기조건의 를 통과하는
해는 유일한 해일까?
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-23
Example 4 An IVP Can have Several Solutions
1/ 2/ , (0) 0dy dx xy y
이 식은 최소한 다음 2 개의 해를 가진다.
4 /16 and 0y x y
Theorem 1.2.1 Existence of a Unique Solution
점 0 0( , )x y 을 포함하는 영역 R 이 다음과 같을 때
,a x b c y d 로 정의되는 영역 R 이 0 0( , )x y 을 포함.
( , )f x y 및 /f y 가 R 에서 연속이면
처음 영역 내의 구간 0 0 0( )I x h x x h 에서 정의된
유일함수 ( )y x 가 존재한다.
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-24
Example 5 Example 3 Revisted
1/ 21/ 2( , ) and
2f xf x y xyy y
이 식들은 0y 으로 정의된 상위 영역에서 연속
임의의 점 0 0 0( , ), 0x y y 을 지나는 유일한 해가 존재함
Note: 0y 인 점에서 1/ 2 2
f xy y
는 연속이 아님.
■ Interval of Existence / Uniqueness
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-25
1.3 Differential Equations as Mathematical Models
■ Introduction
- 수학적 모델: 자연 현상을 수학적으로 표현하는 것
- 자연현상을 단순화 하여 표현함
- 미분방정식의 형태로 표현되는 것만 고려함
- 2 / 3 장에서 방정식의 풀이법에 적용함
■ Mathematical Models
- 수학적 모델: 시스템이나 자연현상을 수학적으로 표현하는 것
- 시스템을 표현하는 변수의 결정
- 모델의 정밀도 단계를 규정
- 가정 / 가설의 확립 (경험적인 법칙 포함)
- 수학적인 모델의 수립: 도함수를 포함하는 식으로 표현됨.
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-26
- 보통 시간에 대한 변수를 표현 시간에 대한 시스템의 상태를 표현함.
- 적당한 시간 t 에 대한 종속변수들은 시스템의 과거 / 현재 / 미래를 설명함
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-27
■ Population Dynamics
영국의 경제학자 Thomas Malthus (1798): 수학을 통한 인구성장의 초기모델링
인구의 변화율은 그 지역 전체의 인구 수에 비례
or dPdP P kdt
Pdt
(1)
- 다른 요인들 (전 / 출입 인구)는 무시
- 짧은 시간 동안의 적은 개체에 대한 성장 모델로 적합
(세균배양용 접시에서의 세균정장)
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-28
■ Radioactive Decay
방사성 물질은 붕괴하여 다른 물질의 원자로 변화
물질의 원자핵이 감소하는 율은 현재 남아있는 물질의 총량에 비례
or dAdA A kdt
Adt
일차 반응식 (2)
- 이 경우 물질이 감소하므로 비례상수 0k
- 일반적으로 0k : Growth; 0k : Decay
■ Newton’s Law of Cooling/Warming
Newton 의 냉각 / 가열에 대한 실험식
물체의 온도 변화율은 물체의 온도와 그 물체를 둘러싸고 있는 매질의 온도와의 차이에 비례
or ( )m mdT k T Td
Tt t
dT Td
(3)
- mT 은 주위 매질의 온도, 이 값이 일정한 경우는 항상 0k 가 됨.
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-29
■ Spread of a Disease (질병 확산)
질병은 접촉에 의해 집단 내의 사람들에게 확산. 감염자 수 ( )x t , 미 감염자 ( )y t 라 하면,
질병의 확산율은 감염자 및 미 감염자 각각에 비례, 즉 각각의 곱에 비례함
dx kxydt
(4)
예): 인구 n 인 마을에 감염자 1 명이 외부에서 들어왔을 때
( 1 )dx kx n xdt
, (0) 1x
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-30
■ Chemical Reactions
많은 화학반응은 식 (2)와 같은 일차반응식을 따름.
(즉 분해 반응 비율이 초기 물질의 총량에 비례, t-부틸렌 염화물이 t-부틸렌 알코올로 변하는 과정)
3 3 3 3(CH ) CCl+NaOH (CH ) COH+NaCl
이 경우는 t-부틸렌 염화물의 농도가 반응 속도를 조절함.
다음과 같은 반응을 고려하자
3 3CH Cl+NaOH CH OH+NaCl
이 경우는 남은 3CH Cl 의 농도 ( )X 와 남은 NaOH 의 농도 ( )X 의 곱에 비례
(역기서 초기 3CH Cl 의 농도는 , 초기 NaOH 의 농도는 , 현재 3CH OH 의 양은 X )
( )( )dX k X Xdt
이차 반응식 (6)
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-31
■ Mixtures
현재 탱크의 소금의 양을 ( )A t 로 하면 소금의 양의 변화율은 다음과 같다.
input rate output rate of salt of salt in out
dA R Rdt
(7)
concentration of salt input rate input rate in inflow of brine of salt
(2 lb/gal) (3 gal/min) (6 lb/min)inR
concentration of salt output rate in outflow of saltoutput rate
of brine
( ) ( ) lb/gal (3 gal/min) lb/min300 100outA t A tR
6100
dA Adt
6100
dA Adt
(8)
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-32
■ Draining a Tank
Torricelli’s Law (토리첼리 의 법칙): 깊이 h 인 용기에서 구멍을 통하여 배출되는 물의 속도
속도 v는 높이 h 에서 자유낙하하는 물체가 얻는 속도와 동일
즉 2(1/ 2)mv mgh 에서 2v gh
면적 hA 인 구멍을 통하여 물이 배출될 때 탱크의 체적 변화율은
2hdV A ghdt
(9)
여기서 ( ) wV t A h 이므로
2h
w
Adh ghdt A
(10)
만일 wA 가 높이에 따라 변화하는 경우라면
( ) / ( ) /wdV t dt d A h dt 의 계산에서 ( )wA A h 로 하여 계산함
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-33
■ Series Circuits
Kirchhoff’s second law: 폐회로상에 공급되는 전압은 루프상의 소자의
전압강하의 총합과 동일함
각각의 소자의 전압강하는 다음과 같다. 단 ( ) /i dq t dt
2
2
1, , di d q dqL L iR R qdt dt dt C
Inductor CapacitorResistor
따라서 다음 식이 구해진다.
2
2
1 ( )d q dqL R q E tdt dt C
(11)
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-34
■ Falling Bodies
뉴턴의 제 1 운동법칙: 관성의 법칙
뉴턴의 제 2 운동법칙: ( ) /F ma d mv dt
2 2
2 2
or dd s s gdt
m mgdt
(12)
2
0 02 , (0) , (0)d s g s s s vdt
(13)
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-35
■ Falling Bodies and Air Resistance
저항이 있는 경우 낙하 속도가 감소함
점성감쇠 (Viscous Damping): 저항력은 속도에 비례하여 작용함
dvm mg kvdt
(14)
2 2
2 2 or d s ds d s dsm mg k m k mgdt dt dt dt
(15)
Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns
Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-36
■ Suspended Cables
수직/수평 방향의 힘의 평형을 고려하면
1 2 2cos and sinT T W T
2T 를 소거하고 tandydx
임을 이용하면
1
dy Wdx T
(17)
Remarks
- 동적시스템: 시간에 따라 변하는 상태변수의 집합
- 상태변수는 시스템의 과거/현재/미래를 표현함
- 시스템의 상태: 상태변수의 값
- 시스템의 응답: 초기값 문제의 해