EFFORT TRANCHANT

V

M

V

1

Dans la section ΣΣΣΣ, V (ΣΣΣΣ ) = Somme des composantes, perpendiculaires à la ligne moyenne et contenues dans le plan moyen, des forces appliquées à gauche de ( ΣΣΣΣ ).

Définition : EFFORT TRANCHANT

∑

gR

Gauche (g) Droite (D)

x

Définition de l’effort tranchant dans une section d’une poutre à plan moyen

2

Effet des contraintes tangentes

Béton comprimé

g dxg dx

g dxArmatures

1

dxA B

D C

d

b1

Coupe : 1-1Bσt

D

A σc

C

b0

3

En plus des contraintes tangentes τ, l’effort tranchant provoque surdes plans inclinés à 45° par rapport à la ligne moyenne des contraintesde traction σt et de compression σc toutes deux d’intensité égale à τ.

- Risque de fissuration à 45° notamment au voisinage des appuis=> nécessité de ‘’coudre’’ les fissures obliques (potentielles) pardes armatures dites ‘’armatures d’âme’’.

Effet des contraintes tangentes

‘’Bielle’’

- Risque d’écrasement du béton suivant des ‘’bielles ‘’découpéespar les fissures => nécessité de limiter la contrainte tangente pourne pas avoir une contrainte excessive de compression dans lesbielles.

Fissures à 45°

4

• Armatures de cisaillement = armatures transversales• Positionnées en localisant les zones où il existe un

effort tranchant non nul• Il faut analyser les états de contrainte des

différentes sections

Armatures de cisaillement

différentes sections• La détermination des zones cisaillées est donnée

par l’intensité de V(x)

5

Exemple : poutre sur deux appuis uniformément charg ée

6

Exemple de la poutre sur deux appuis en console

7

• Schéma de calcul: Modèle de treillis• les bielles de béton comprimées forment un angle θ avec la ligne moyenne de la poutre (θ =45°: Treillis de Morsch)

• les armatures d’âme forment un angle α avec la ligne

• Tous les calculs sont menés à l’ELU

Dimensionnement

• les armatures d’âme forment un angle α avec la ligne moyenne de la poutre.

Membrure comprimée : béton comprimé

Membrure tendue :Armatures longitudinales

Diagonale comprimée : Bielle de béton

Montanttendu :armatured’âmedroite

(θ =45°, α=90°)

θ α

8

L’état limite ultime sous sollicitations tangentes peut alors être atteint soit :

• par compression excessive du béton des bielles compriméesbielles comprimées

• par dépassement de la résistance de calcul des armatures d’âme.

9

Dimensionnement

• Contrainte tangente conventionnelle:

db

V

0

u=uτb0: largeur de l’âme

L’effort tranchant de calcul:

Cas les plus courants:

iQi

iQQGGu VVVVV ∑>

+++=1

01minmax 3,135,11

ψγ

QGu VVV 5.135,1 +=

GV

QV

: Effort tranchant dû aux charges permanentes

: Effort tranchant dû aux charges variables.

b0: largeur de l’âmed: hauteur utile (d ≅ 0.9h)

10

ELU du Béton de l’âme

)5;2.0

( MPaf

Minb

cju γ

τ ≤

)4;15.0

( MPaf

Minb

cju γ

τ ≤

1- Armatures d’âme droites (perpendiculaires à la fibre moyenne) :

• En Fissuration peu préjudiciable:

• En Fissuration préjudiciable et très préjudiciable:bγ

2- Armatures inclinées à 45° : )7;27.0

( MPaf

Minb

cju γ

τ ≤

3- 45°<α<90°=> Interpolation linéaire entre 1 et 2 pour fixer τu

11

ELU des armatures d’âme

)sin(cos9.0

)3.0(

0 αατγ

+−

≥e

tjus

t

t

f

kf

sb

A

ftj: résistance à la traction à j jours (ftj ≤3.3MPa)

At: la section d’armatures d’âme

st: espacement d’armatures d’âme

k est un coefficient qui vaut:

- k=0 si fissuration préjudiciable ou très préjudiciable ou s’il y a reprise de - k=0 si fissuration préjudiciable ou très préjudiciable ou s’il y a reprise de bétonnage non traité

- k≤1 si la reprise de bétonnage est munie d’indentations dont la saillie atteint au moins 5mm

12cj

tm

fk

σ101−=−

cj

cm

fk

σ31+=− En flexion composée avec compression (σcm contrainte moyenne de

compression de la section totale du béton sous l’effort normal de calcul)

En flexion composée avec traction (σtm contrainte moyenne de traction de la section totale du béton sous l’effort normal de calcul)

- k= 1 en flexion simple et fissuration peu préjuduciable

ELU des armatures d’âme

En flexion simple, on utilise souvent:

(Armatures droites, participation du béton en traction négligée)

e

us

t

t

fsb

A

9.00

τγ≥

Epaisseur de l’âmeEffort

tranchant

Cours d’armature de section

St St St St

α

b0

13

Dispositions constructives

Diamètre des armatures d’âme: )10

,35

( 0;

bhMin lt Φ≤Φ

En général, on commence par fixer le diamètre φt des armatures d’âme, puis on détermine leur espacement st

φ

MPasb

fA

cmdMins

t

et

t

4.0

)40;9.0(

0

≥

≤Pourcentage minimal d’armatures d’âme:

φl: diamètre des armatures longitudinales tendues

14

• Appui simple d’about (appui de rive):Justification des sections d’appuis

- Les bielles de béton comprimé convergent vers l’appui en formant un angle voisin de 45° avec l’axe de la poutre.- Les charges sont transmises à l’appui par l’intermédiaire d’une bielle unique, dite ‘’bielle d’about’’ inclinée à 45° sur l’axe de la poutre.- Compte tenu de ce modèle de transmission d’efforts, l’équilibre est réalisé par une bielle unique. Cet équilibre se traduit par les justifications suivantes :

Z

B

A

Z

Fissure

Bilan des forces au voisinage de l’appui

Vu

F0

45°

15

�Armatures inférieures longitudinales à prolonger au délà du bord de l’appui:

- une section d’armatures longitudinales inférieures doit être prolongée au delà du bord de l’appui (côté travée) et doit être suffisante pour équilibrer l’effort tranchant selon le bilan de forces. - les armatures longitudinales inférieures sont soumises (au voisinage de l’appui) à un effort de traction . Pour obtenir cet effort, on écrit l’équilibre des moments par rapport à B.

Appui simple d’about (appui de rive)

e

usancréest f

VA 0γ=• Section minimale à ancrer:

Équilibre des moments % B VuZ – F0Z= 0 donc F0=VuAinsi la section d’aciers, traversant la section du nu d’appui et ‘’équilibrant’’ F0

16

Z

B

A

Z

Fissure

Bilan des forces au voisinage de l’appui

Vu

F0

45°

• Longueur d’ancrage droit nécessaire:

sus

us n

Vl

τπΦ= 0

2826.0 tssu fΨ=τ 5.1=Ψ

sPour les barres HA:

ns: nombre des barres ancréesBielle d’about

Appui simple d’about (appui de rive)

• Si ls ≤ a => ancrage droit

• Si ls > a => ancrage courbea: largeur de la bielle d’about

d’about

17

�Justification de la bielle d’about: condition de no n écrasement

Appui simple d’about (appui de rive)

0b2 uV

o45

2

a

a

Nu d’appui

Equilibre de la bielle d’about

b

cjubc

f

ab

V

γσ 8,0

2

0

0 ≤=

Equilibre de la bielle d’about

18

• Appui intermédiaire

;)

.( u

us d90

MV

A+γ

=

�Armatures inférieures longitudinales à prolonger au délà du bord de l’appui:

• Section minimale à ancrer (M en valeur algébrique)

Justification des sections d’appuis

• Il faut vérifier que la section d’armatures longitudinales inférieures Ast ancréetraversant la section du nu d’appui peut équilibrer l’effort de traction F0

;.

eancréest f

d90A =• Section minimale à ancrer de chaque coté de l’appui:

(Mu en valeur algébrique)

Armatures inférieures

Armatures supérieures

Mu

19

• Appui intermédiaire

Justification des sections d’appuis

�Justification de la bielle d’about: condition de no n écrasement

b

cjug f

ab

V

γ8,0

2

0

≤

b

cjud

b

f

ab

V

γ8,0

2

0

0

≤

20

Liaison table -nervure pour une section en T

• Risque de séparation entre la table de compression et l’âme (plan MNN’M’) sous l’action des contraintes de cisaillement => armatures de couture droites

21

Hypothèse : calculs menés en supposant que les matériaux travaillent dans le domaine élastique (hypothèse des calculs aux ELS), puis transposés aux ELU sans modifications.Isolons un demi-hourdis en équilibre sous :- des contraintes normales sur ses faces MNPQ et M’N’P’Q’- des contraintes de cisaillement sur sa face MNM’N’

Liaison table -nervure pour une section en T

y1

dx

-

dx

Liaison table -nervure pour une section en T

Contrainte tangente moyenne 0u )bb(V −=τ τ≤τSi => OK

e

su

c

c

fb

bb

d

V

s

A

**2

)(

9,00 γ−

≥

• l’espacement sc des aciers de couture est généralement identique à celui des cadres de l’âme st

Section d’acier de couture:

Contrainte tangente moyenne dan le plan (MNN’M’) : 1

0uu bh2

)bb(

d9,0

V −=τ

OR

limuu τ≤τSi => OK

sc1

ecu sh

fA

γ=τ

Liaison talon -âme pour une section à talon •Risque de séparation entre l’âme et le talon au niveau des plans (MM’ et NN’) sous l’action des contraintes de cisaillement => armatures de couture droites

l

luu A

A

d

Vg 1

9,0=

Effort de glissement dans le plan (MM’) :

el

slu

c

c

fA

A

d

V

s

A γ1

9,0≥

Al1 : Section des aciers longitudinaux dans un demi-talon

Al : Section des acies longitudinaux dans le talon entier

sc: Espacement des cadres du talon

Al1

Al

M

M’

Ac

N

N’

Section d’acier de couture:

25

Exemple 1

35 cm

60 c

m

1

1 1-1

54 c

m

8 m

26

Exemple 1• Poutre uniformément chargée

– Charges permanentes y compris poids propre: p=12,5 kN/ml

– Charges d’exploitation: q = 17,2 kN/ml– Durée d’application des charges > 24h

• Béton: fc28 = 25 MPa• Acier: FeE 400 HA• Fissuration préjudiciable• Armatures d’âme droites• Reprise de bétonnage non traitéeCalculer la section d’acier à l’ELU au niveau de la section

médiane de la poutre27

3 HA10

3 HA163 HA20

3 HA16=> A = 21,4cm2

28

Exemple 2

1,2m

0,8m

0,4m

0,21m

Coupe 1-10,5m4,8m

1,65m

1

1 A

• Charges permanentes y compris poids propre: g=3T/ml• Charges d’exploitation: q = 0,8T/ml

• Charge concentrée : G= 79T ; Q=23T• Béton: fc28 = 25 MPa• Acier: FeE 400 HA• Fissuration préjudiciable• Armatures d’âme droites• Reprise de bétonnage non traitée

29

Exemple 2Schéma de ferraillage longitudinal proposé:

5 HA10

10 HA205 HA16 + 5 HA14

=> A=48,9cm2

30

1

1

2,7m2 m 2 m 2m

2,5 cm

3,8 cm

3 HA203 HA20

3 HA14

10cm

80cm

20cm

70cm

Exemple 3

Coupe 1-1

Charges permanentes uniformément reparties (y compris poids propre de la poutre) : 5 KN/mCharges d’exploitation uniformément reparties : 1,2 KN/m ;Charges permanentes concentrées : 150 KNCharges d’exploitation concentrées : 50 KNBéton : fc28 = 25MPaAcier : FeE400 HAFissuration préjudiciableArmatures d’âme droites1/ Calculer l’effort tranchant maximal dans la poutre, calculé à l’ELU2/ Vérifier les contraintes normales à l’ELS au niveau de la section médiane sous l’action de Mser3/ En vérifiant l’état limite des armatures d’âme, proposer un ferraillage transversal de la poutre.