chap 4 - 上海交通大学数学系math.sjtu.edu.cn/course/gskc/gszl/yike/chap4/4.1-2/yk chap...
TRANSCRIPT
4.1.1 典型例子
■ 质线的质量
质线位于x 轴上[a,b],线密度为μ(x) ,那么质
线的质量m=?
若μ=常数,则 m =μ(b- a)
若μ不一定为常数 ,怎么求?
a b
(1) 分成 n个小段: 分点a =x0< x1< x2<···< xn =b
小区间[xi-1, xi]的长度Δxi= xi- xi-1
xixi-1
(2) 求近似质量: 每一小段质量
总质量近似值
∑=
Δ=n
iii xm
1)(ξμ
(3) 求质量:
小区间最大长度 则,max1 ini
xΔ=≤≤
λ
∑=
→Δ=
n
iimm
10limλ
求此质量的三个步骤:分割、求和、求极限
],[,)( 1 iiiiii xxxm −∈Δ≈Δ ξξμ
■ 质点运动的路程
质点运动从时间t =a 到t =b,速度为v(t),路程=?
若v =常数,则路程 S =v(b- a)
若v 不一定为常数,则
(1) 分割:分[a,b]为小区间,分点为
a =t0< t1< t2<···< tn =b,而 1−−=Δ iii ttt
(2) 求和:路程近似值
],[)( 11
iiii
n
ii tttv −
=
∈Δ∑ ξξ
inii
n
ii ttvS Δ=Δ=
≤≤=→ ∑ 110
max)(lim λξλ
(3) 求极限
■ 曲边梯形的面积
若 f(x)≥0(a ≤ x ≤ b ),由曲线y =f(x ),直线x =a,
x = b及x 轴围成的图形称曲边梯形,其面积 A=?
O
y
xa bxi-1 xi
ξi
若f =常数,则面积
A =f(b- a)
若f 不一定为常数,
(1) 分割:分[a,b]
为小区间,分点为 a =x0< x1< x2<···< xn =b,而
1−−=Δ iii xxx
(2) 求和:面积近似值
],[)( 11
iiii
n
ii xxxf −
=
∈Δ∑ ξξ
(3) 求极限
inii
n
ii xxfA Δ=Δ=
≤≤=→ ∑ 110
max)(lim λξλ
■ 这些例子的共同点?
求在某区间上的分布率不均匀的量
通过分割、求和(得近似值)、再求极限得到
f(x)定义在[a,b],分[a,b]为小区间,分点
a =x0< x1< x2<···< xn =b,称为[a,b] 的一个分划
若∃ I ∈R,对[a,b]的任何分划和 ],[ 1 iii xx −∈∀ξ
所作和 均有,)(1
i
n
ii xf Δ∑
=
ξ
Ixf i
n
ii =Δ∑
=→ 10
)(lim ξλ
)max(1 ini
xΔ=≤≤
λ
则称f(x)在[a,b]可积, I 称为f (x)在[a,b]的定积分,
记为
∫=b
adxxfI )(上限
下限积分
积分变量
积分微元
4.1.2 定积分的定义
定积分的值与积分变量的选取无关
∫∫ =b
a
b
aduufdxxf )()(
规定
∫∫∫ −==b
a
a
b
a
adxxfdxxfdxxf )()(0)(
几何意义:曲边图形
正
负
面积的代数和
思考一下 定义中极限的含义 十分复杂 !
■ 常见可积函数
(1) [a, b] 上的连续函数
(2) 在[a,b]有界且仅有有限个间断点的函数
(3) [a,b]上单调有界函数
例 计算抛物线 y =x2 与直线x =1及x 轴所围成
图形的面积
■ 不可积函数的例子
⎩⎨⎧
=为无理数
为有理数函数
xx
xDDirichet01
)(
■ 药物有效度的测定
服用药物后由血液系统吸收才发生作用,临床上
药物在时段[0,T]排出,则有效药量(即总排出量)
用监测病人排尿中药物速率c(t)来确定血液中药量,若
■ 前面几个例子
( )b
aS v t dt= ∫( )
b
am x dxμ= ∫质线质量 路程
( )b
aA f x dx= ∫曲边梯形面积
0( )
Tc t dt∫
4.1.3 定积分的性质
设 f (x), g(x)均在[a, b]可积
线性
∀α,β∈R , α f (x) +β g(x) 也在[a, b]可积,且
∫∫∫ +=+b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ βαβα
乘积可积性 f (x) g(x) ∈R[a, b]
对区间的可加性
f (x)∈R[a, b] ⇔ f (x)∈R[a, c]∩ R[ c,b]∀c∈(a, b),
且 dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a ∫∫∫ += )()()(
保序性
∫∫ ≥⇒≥b
a
b
adxxgdxxfxgxf )()()()(
推论
0)(0)()1( ∫ ≥⇒≥b
adxxfxf
)()()(
)()2(
abMdxxfabm
Mxfmb
a−≤≤−⇒
≤≤
∫绝对可积性
( ) [ , ], ( ) ( )b b
a af x R a b f x dx f x dx∈ ≤∫ ∫且
积分中值定理
若 f(x)在[a,b]连续,则∃ξ∈[a,b],
))(()( abfdxxfb
a−=∫ ξ
其意义是函数f (x) 的平均值
( )( )
b
af x dx
fb a
ξ =−
∫也即
常数的积分
)( abcdxcb
a−=∫
例 比较下列积分的大小
dxedxe xx ∫∫ −− 1
0
1
0
2
)1( 与
dxxdxx ∫∫ 20
320
2 sinsin)2(ππ
与
dxexp xpn
nn
−+
∞→ ∫> 2lim,0 求例
H.W
1(2) 2 (2)(3) 3
若 f (x)在[a, b]可积,定义函数
称为 f (x)在[a, b]的变上限积分(或积分上限函数)
连续性
4.2.1 变上限积分
∫ ∈=Φx
abaxdttfx ],[,)()(
■ 变上限积分的性质
在[a,b]连续
( ) ( )x
ax f t dtΦ = ∫若 f (x)在[a, b]可积,则
可微性
在[a,b]可导,且
)()( xfx =Φ′
例 求下列函数的导数
∫=x
dttxf0
2sin)()1( ∫=x
dttxf0
2cos)()2(
∫ +=0 22
)1ln()()3(x
dttxf
∫=xe
xxgdttgxf
2)(,)()()4( 连续其中
( ) ( )x
ax f t dtΦ = ∫若 f (x)在[a, b]连续,则
由方程例 )(xyy =
∫∫ =+1
2
2
1
2
cosx
y t
edttdtt
e
确定,试求y 的导数y ’(x)
)1ln(
arctanlim1 3
0
0
2
x
dttx
x +∫
+→)(
例 求下列极限
25
2
arctanlim2 0
0 x
dttxx
x
∫+→
)(
例 求 ∫ −=x
dtt
xf1
)12()( 的单调与凹凸性 (x > 0)
4.2.2 微积分基本定理
(Newton-Leibniz 公式)
)()()( aFbFdxxfb
a−=⇒ ∫
引进写法
)()()()( aFbFxFdxxf b
a
b
a−==∫
说明求定积分 ∫b
adxxf )(
f(x)的一个原函数
例 ?sin0
=∫ dxxπ
的值归结为求出
( ) ( )F x f x′ =
f (x)在[a, b]连续
■ 艾萨克 • 牛顿 Sir Isaac Newton
(英格兰 1643-1727年)
物理学家 数学家 天文学家
哲学家
炼金术士 造币厂总监
科学史上最有影响力的人
较之科学他更多致力于《圣经》的研究
专心于科学研究到痴情
性格内向 独身一生