ch.5 도심과 무게중심 -...
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Ch.5 도심과 무게중심
(Centroid and Center of Gravity)
* 무게중심 및 질량중심(Center of mass)
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
==
==
==
mzm
z,wzw
z
mym
y,wyw
y
mxm
x,w
xwx
iim
iiG
iim
iiG
iim
iiG
W3G
W1
W2
Ex ≫ 질량중심의 위치(xm, ym, zm)를 구하라.
ZmA=16kg, mB=24kg
DmC=14kg, mD=36kg
400mm
500mmB
C300mm YAX
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Sol≫
90kg 36 14 24 16 m =+++=∑
mmkg 14400 = (36)(400) + (14)(0) + (24)(0) + (16)(0) =
zm + zm + zm + zm = zm mmkg 7000 =
(36)(0) + (14)(500) + (24)(0) + (16)(0) = ym + ym + ym + ym =ym
mmkg 4800 = (36)(0) + (14)(0) + (24)(0) + (16)(300) =
xm + xm + xm + xm = xm
DDCCBBAAii
DDCCBBAAii
DDCCBBAAii
⋅
⋅
∑
⋅
∑
∑
xm = ∑∑
mxm ii =
904800
= 53.3 mm
ym = ∑∑
mym ii =
907000
= 77.8 mm
zm = ∑∑
mzm ii =
9014400
= 160.0 mm
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* 선, 면적, 체적의 도심(Centroid, C): 기하학적 형상
선의 도심
xc = dLxL1∫ : ∫ == 차모멘트1선의MdLx yz
yc = dLyL1∫
zc = dLzL1∫
면적의 도심(=단면의 도심)
xc = dAxA1∫ : ∫ == 차모멘트1단면의MdAx yz
yc = dAyA1∫
zc = dAzA1∫
2 차원
2 차원
체적의 도심
xc = dVxV1∫
yc = dVyV1∫
zc = dVzV1∫
2 차원
※ Key: x, y, z ⇒ dL, dA, dV 의 중심까지의 거리
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Ex 5-2≫ 직사각형 면적의 도심의 위치(xc , yc)를 구하라.
y
h
C
2
h
xb
2b
Sol≫ ⅰ) xc
y
xc= ( ) dAxA1dA2
dxxA1
∫∫ ≈+ = )dxh(xbh1 b
0 ⋅∫ = b
0
2x21
bhh
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
= b21
미소하기 때문에, ( ) x2/dxx ≈+
x
h dA
A = b·h dA = h·dx
dxx
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ⅱ) yc
y
x
dA
b
y
dy
A = b·h dA = b·dy
yc= dAyA1∫ = )dyb(y
bh1 h
0 ⋅∫ = h
0
2y21
bhb
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
= h21
∴ C = 도심의 위치 = (xc, yc) = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2,
2hb
별해 1≫ y
dA h
xdxx
Myz = My = 2hbx
21h)dxh(xdAx
2b
0
2b
0 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⋅= ∫∫ , ∴ xc =
Mxz = Mx = [ ]2
bhx2
h)dxh(2hdAy
2b0
2b
0 ==⋅= ∫∫ , ∴ yc =
dA = h·dx
2b
bh2
hb
AM
2
y ==
2h
bh2
bh
AM
2
x ==
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별해 2≫
y
x
dA
b
y
dy
dA = b·dy
Mx = 2
bhby21)dyb(ydAy
2h
0
2h
0 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⋅= ∫∫
∴ yc = 2h
bh2
bh
AM
2
x ==
My = [ ]2hby
2b)dyb(
2bdAx
2h0
2h
0 ==⋅= ∫∫
∴ xc = 2b
bh2
hb
AM
2
y ==
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In class Exam≫ Ex 5-3
From math table: ∫−
−=−3
)yr(dyyry23
2222
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Ex 5-7≫ 체적의 도심의 위치를 구하라(Zc = ?).
Sol≫
dz)zR(dz)y(dV 222 −π=π=
V = 3R
0
32R
022 R
32z
31zRdz)zR(dV π=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −π=−π= ∫∫
∴ zc = [ ]∫∫ −ππ
= R
022
3dz)zR(z
R32
1dVzV1
R83z
41zR
21
R32
R
0
4223
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
π
π=
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See Table 5-1, 5-2
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H.W. 9 ≫ 5-19, 5-26, 5-29(ρ=kz)
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* 복합 물체의 도심
xc = ∑∑
AAx ii yc =
∑∑
AAy ii zc =
∑∑
AAz ii
Ex≫ 단면의 도심의 위치(xc, yc)를 구하라.
Sol≫
∑ =×+×= 2in10)14()16(A
xc = in5.110
)241(4)2
1(6
AAx ii =
++=
∑∑
yc = in210
)21(4)2
6(6
AAy ii =
+=
∑∑
∴C = (xc , yc) = (1.5, 2)in
`
y
5in
1inx
1in 4in
`
6in
4in
1in
1in
1
2
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In Class Exam≫ 단면의 도심의 위치(xc, yc)를 구하라.
2in
2in
6in
2in
1in 5in
Sol≫
H.W. 10 ≫ 5-34, 5-36, 5-37